直线与方程知识点及典型例题.docx

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直线与方程知识点与练习试题

直线与方程【知识点一：直线的方程】（1）直线方程的几种形式（2）线段的中点坐标公式121122,(,),(,)P P x y x y 若点的坐标分别是，1212122(,)2x x x PP M x y y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩且线段的中点的坐标为【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。

如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直.【知识点三直线的交点坐标与距离】（1）两条直线的交点设两条直线的方程是1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=两条直线的交点坐标就是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解。

①若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； ②若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行. （2）几种距离两点间的距离：平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离公式12||PP =特别地，原点(0,0)O 与任一点(,)P x y的距离||OP =点到直线的距离：点00(,)o P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =两条平行线间的距离：两条平行线1200Ax By C Ax By C ++=++=与间的距离d =一、疑难辨析判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．直线的倾斜角越大，其斜率越大．( )2．斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1，不适用于垂直于x 轴和平行于x 轴的直线．( )3．当直线的斜率不存在时，其倾斜角存在．( )4．过点P (x 1，y 1)的直线方程一定可设为y －y 1＝k (x －x 1)．( ) 5．直线方程的截距式x a ＋yb ＝1中，a ，b 均应大于0.( ) 二、选择题1．已知直线l 的斜率为－33，那么直线l 的倾斜角是( ) A ．60° B ．120° C ．30° D ．150°2直线l 经过原点O 和点P (－1，－1)，则它的倾斜角是( )A ．45°B ．135°C ．135°或225°D ．0°3过点M (－2，m )，N(m ，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或44直线l 过点A (1，2)且不过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[0，2]B ．(0，2)C ．⎣⎡⎦⎤0，12D ．⎝⎛⎭⎫0，12 5.中直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则 ( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 26经过点(1，3)且斜率不存在的直线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝3C ．y ＝1D ．y ＝3 7．已知点A (－3，4)和B (0，b )，且|AB |＝5，则b 等于( )A ．0或8B ．0或－8C ．0或6D ．0或－6 8将方程3x －2y ＋1＝0化成斜截式方程为( )A ．y ＝23x ＋12B ．y ＝32x ＋12C ．y ＝32x ＋1D ．y ＝23x ＋19直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0平行，则l 的方程是10直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx ＋y －a ＝0(ab ≠0)的图象只可能是( )11已知A (2，0)，B (3，3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k ＝( )A ．－3B ．3C ．－13D ．1312已知直线l 1的斜率为0，且l 1⊥l 2，则l 2的倾斜角为( ) A ．0° B ．135° C ．90° D ．180°13点P(2，5)关于直线x＋y＝0的对称点的坐标是()A．(5，2) B．(2，5)C．(－5，－2) D．(－2，5)14．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是()A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0三填空题15已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为60°，则直线l2的倾斜角为________．16直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝________．17倾斜角为30°，且过点(0，2)的直线的斜截式方程为________．18已知直线l1过点P(2，1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为________．19．直线y＝kx＋2(k∈R)不过第三象限，则斜率k的取值范围是________．20.直角坐标平面上连接点(－2，5)和点M的线段的中点是(1，0)，那么点M到原点的距离为________．21.方程mx＋(m2＋m)y＋4＝0表示一条直线，则实数m≠________．22．已知直线l1过点A(－2，3)，B(4，m)，直线l2过点M(1，0)，N(0，m－4)，若l1⊥l2，则常数m的值是____________．四、解答题23经过两条直线2x－3y＋10＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线的方程为________．24．已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且CB∥A D．限时训练1.（2，1)，B (3，－1)两点连线的斜率为( )A ．－2B ．－12C ．12D ．22．直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( )A ．12B ．－12C ．23D ．－233.直线y ＝－2x －1的斜率与纵截距分别为( )A ．－2，－1B ．2，－1C ．－2，1D ．2，14若过两点P (6，m )和Q(m ，3)的直线与斜率为12的直线M N 平行，则m 的值为( )A ．5B ．4C ．9D ．05经过两条直线2x －3y ＋10＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线的方程为________．。

直线与方程知识点及典型例题

11. 关于直线的对称点与对称直线的求法课堂练习：已知直线 l：2x-3y+1=0 和点 P(-1，-2). (1) 分别求：点 P(-1，-2)关于 x 轴、y 轴、原点 O、直线 y=x、直线 y= - x 的对称点 Q 坐标； x 轴： y 轴：原点 O：直线 y=x：直线 y= - x： (2) 分别求：直线 l：2x-3y+1=0 关于 x 轴、y 轴、原点 O、直线 y=x、直线 y= - x 的对称的直线方程； x 轴： y 轴：原点 O：直线 y=x：直线 y= - x：（3）总结（2）中各对称直线斜率 k 及截距之间的关系：关于 x 轴对称的两个直线斜率 k 及截距之间的关系：关于 y 轴对称的两个直线斜率 k 及截距之间的关系：关于原点 O 对称的两个直线斜率 k 及截距之间的关系：关于直线 y=x 对称的两个直线斜率 k 及截距之间的关系：关于直线 y= - x 对称的两个直线斜率 k 及截距之间的关系：【课后作业：】 1、点 P(-1，-2)关于直线 l： x+y-2=0 的对称点的坐标为。
【课后作业：】关于 x、y 的方程组
有无穷多组解，实数 m=
．
7. 两点间距离公式：设 A(x1，y1)、B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两个点，则|AB|= ( x 2 x 1 ) ( y 2 y1 )
2
2
例题：已知直线 l 的斜率为 6，且被两坐标轴所截得的线段长为
，则直线 l 的方程为
．（填序号）
4、已知直线 l 1 的方程是 ax-y+b=0， l 2 的方程是 bx-y-a=0（ab≠0，a≠b），则下列示意图形中，正确的是
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直线与方程知识点总结及练习(word文档物超所值)

第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率一、什么是直线的倾斜角？定义：。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°二、什么叫直线的斜率？①定义：。

直线的斜率常用k 表示。

即k= 。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当时，；当时，；当时，不存[)o o 90,0∈α0≥k ()o o 180,90∈α0<k o 90=αk 在。

②过两点的直线的斜率公式：k=注意：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°,这时直线21x x =与y 轴或；(2)k 与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

三、两条直线平行或者垂直（1）两条直线平行，则他们斜率，即l 1∥l .（2）两直线的k 1=k 2,则两直线有两种可能，或四、两条直线互相垂直（1）两直线互相垂直，则k 1 k 2=。

（2）如果k 1 k 2= ,则两条直线互相垂直。

基础练习：一、已知A(3，2)，B(-4,1),C(0,1),求直线AB,BC,CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

二、已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率：（1）a=30o(2)a=45o(3)a=120o(4)a=135o三、求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角。

（1）C(18,8), D(4,-4) (2 ) P(0,0), Q(-1,)3四、已知a,b,c是两两不等的实数，求经过下列两点直线的倾斜角：（1）A（a，c），B（b，c）（2）C（a，b），D（a，c）（3）P（b，b+c），Q（a，c+a）五、已知A（2，3），B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论。

六、已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明。

第三章直线与方程知识点归纳及练习题

1.直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角与斜率从“形”和“数”两方面刻画了直线的倾斜程度，但倾斜角α是角度(0°≤α<180°)，是倾斜度的直接体现；斜率k是实数(k∈(－∞，＋∞))，是倾斜程度的间接反映.在解题的过程中，用斜率往往比用倾斜角更方便.(2)倾斜角与斜率的对应关系：当α＝90°时，直线的斜率不存在；当α≠90°时，斜率k＝tan α，且经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k AB＝y2－y1 x2－x1.(3)当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k由0(含0)逐渐增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到0(不含0).2.解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论.3.由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件的限制；同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方程的系数关系时，要根据题目条件设出合理的直线方程.4.学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的几何意义，解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合.5.直线系方程直线系方程是解析几何中直线方程的基本内容之一，它把具有某一共同性质的直线族表示成一个含参数的方程，然后根据直线所满足的其他条件确定出参数的值，进而求出直线方程.直线系方程的常见类型有：(1)过定点P (x 0，y 0)的直线系方程是：y －y 0＝k (x －x 0)(k 是参数，直线系中未包括直线x ＝x 0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数，λ≠C )；(3)垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)；(4)过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ是参数，当λ＝0时，方程变为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，恰好表示直线l 1；当λ≠0时，方程表示过直线l 1和l 2的交点，但不含直线l 2).6.“对称”问题的解题策略对称问题主要有两大类：一类是中心对称，一类是轴对称.(1)中心对称①两点关于点对称，设P 1(x 1，y 1)，P (a ，b )，则P 1(x 1，y 1)关于P (a ，b )对称的点为P 2(2a －x 1,2b －y 1)，即P 为线段P 1P 2的中点.特别地，P (x ，y )关于原点对称的点为P ′(－x ，－y ).②两直线关于点对称，设直线l 1，l 2关于点P 对称，这时其中一条直线上任一点关于点P 对称的点在另一条直线上，并且l 1∥l 2，P 到l 1，l 2的距离相等.(2)轴对称①两点关于直线对称，设P 1，P 2关于直线l 对称，则直线P 1P 2与l 垂直，且线段P 1P 2的中点在l 上，这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程.②两直线关于直线对称，设l 1，l 2关于直线l 对称.当三条直线l 1，l 2，l 共点时，l 上任意一点到l 1，l 2的距离相等，并且l 1，l 2中一条直线上任意一点关于l 对称的点在另外一条直线上；当l 1∥l 2∥l 时，l 1与l 间的距离等于l 2与l 间的距离.题型一直线的倾斜角和斜率倾斜角和斜率分别从“形”和“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度.倾斜角α与斜率k 的对应关系和单调性是解题的易错点，应引起特别重视.(1)对应关系①α≠90°时，k ＝tan α.②α＝90°时，斜率不存在.(2)单调性当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k 由0(含0)逐渐增大到＋∞，然后由－∞逐渐增大到0(不含0).经过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)两点的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，应注意其适用的条件x 1≠x 2，当x 1＝x 2时，直线斜率不存在.例1 已知坐标平面内的三点A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1).(1)求直线AB ，BC ，AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 的斜率k 的取值范围.跟踪训练1 求经过A (m,3)、B (1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围.题型二直线方程的五种形式直线方程的五种形式在使用时要根据题目的条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论.求直线方程的方法一般是待定系数法，在使用待定系数法求直线方程时，要注意直线方程形式的选择及适用范围，如点斜式、斜截式适合直线斜率存在的情形，容易遗漏斜率不存在的情形；两点式不含垂直于坐标轴的直线；截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线；一般式适用于平面直角坐标系中的任何直线.因此，要注意运用分类讨论的思想.在高考中，题型以选择题和填空题为主，与其他知识点综合时，一般以解答题的形式出现.例2 求与直线y ＝43x ＋53垂直，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24的直线l 的方程.跟踪训练2 过点P (－1,0)，Q (0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程.题型三直线的位置关系两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直.通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系.解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况.例3已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a、b的值.(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、l2的距离相等.跟踪训练3(1)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程；(2)已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为 5.求直线l1的方程.题型四最值问题方法梳理1.构造函数求解最值：利用函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性等性质特征及复合函数的结构特征求解函数的最值.2.结合直线方程的相关特征，保证在符合条件的范围内求解最值.3.结合图象，利用几何性质帮助解答.数学思想函数思想：通常情况下求解最值问题可以转化为对函数的研究，函数思想给我们一种最严谨的眼光来看待问题，是一种探求普遍真理的思想，本章中求最大距离、最大面积等问题时常常会用到函数思想.例4已知△ABC，A(1,1)，B(m，m)(1＜m＜4)，C(4,2).当m为何值时，△ABC的面积S最大？跟踪训练4 如图，一列载着危重病人的火车从O 地出发，沿北偏东α度(射线OA )方向行驶，其中sin α＝1010.在距离O 地5a (a 为正常数)千米，北偏东β度的N 处住有一位医学专家，其中sin β＝35，现120指挥中心紧急征调离O 地正东p 千米B 处的救护车，先到N 处载上医学专家，再全速赶往乘有危重病人的火车，并在C 处相遇.经计算，当两车行驶的路线与OB 所围成的三角形OBC 的面积S 最小时，抢救最及时.(1)在以O 为原点，正北方向为y 轴的直角坐标系中，求射线OA 所在的直线方程；(2)求S 关于p 的函数关系式S ＝f (p )；(3)当p 为何值时，抢救最及时？题型五分类讨论思想分类讨论思想其实质就是将整体问题化为部分问题来解决.在解题过程中，需选定一个标准，根据这个标准划分成几个能用不同形式解决的小问题，从而使问题得到解决.在本章中涉及到分类讨论的问题主要是由直线的斜率是否存在及直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式的局限性引起的分类讨论问题.例5 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.题型六数形结合思想根据数学问题的条件和结论的内在联系，将抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合. 例6 已知直线l 过点P (－1,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围.1.在平面解析几何中，用代数知识解决几何问题时应首先挖掘出几何图形的几何条件，把它们进一步转化为代数方程之间的关系求解.2.关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指：两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过这两个条件列方程组求解.3.涉及直线斜率问题时，应从斜率存在与不存在两方面考虑，防止漏掉情况.。

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此文档下载后即可编辑直线与方程专题复习一、基础知识回顾 1.倾斜角与斜率知识点1：当直线l 与x 轴相交时， x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.注意: 当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度. 知识点2：直线的倾斜角(90)αα≠︒的正切值叫做这条直线的斜率.记为tan k α=.注意: 当直线的倾斜角90οα=时，直线的斜率是不存在的知识点3：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式：2121y y k x x -=-.知识点4：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即12//l l ⇔1k =2k ．知识点5：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.即12l l ⊥⇔121k k =-⇔121k k =-注意：1．1212//l l k k ⇔=或12,l l 的斜率都不存在且不重合.2．12121l l k k ⊥⇔=-或10k =且2l 的斜率不存在，或20k =且1l 的斜率不存在.2.直线的方程知识点6：已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程. 注意：⑴x 轴所在直线的方程是，y 轴所在直线的方程是 .⑵经过点000(,)P x y 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是 .⑶经过点000(,)P x y 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是 .知识点7：直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.直线y kx b =+叫做直线的斜截式方程.注意：截距b 就是函数图象与y 轴交点的纵坐标.知识点8：已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠，则通过这两点的直线方程为1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，由于这个直线方程由两点确定，叫做直线的两点式方程. 知识点9：已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠，则直线l 的方程为1=+bya x ，叫做直线的截距式方程. 注意：直线与x 轴交点（a ,0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交点（0,b ）的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距. 知识点10：关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程. 注意：（1）直线一般式能表示平面内的任何一条直线（2）点00(,)x y 在直线0Ax By C ++=上⇔00Ax By +0C += 3、直线的交点坐标与距离知识点11：两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行.知识点12：已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则12PP =特殊地：(,)P x y与原点的距离为OP =知识点13：已知点00(,)P x y 和直线:0l Ax By C ++=，则点P 到直线l 的距离为：d =.知识点14：已知两条平行线直线1l 10Ax By C ++=，2:l 20Ax By C ++=，则1l 与2l的距离为d知识点15：巧妙假设直线方程：（1）与10Ax By C ++=平行的直线可以假设成：20Ax By C ++=（C 1和C 2不相等）（2）与0Ax By C ++=垂直的直线可以假设成：Bx -Ay+m=0 （3）过1l :A 1x+B 1y+C 1=0和2:l A 2x+B 2y+C 2=0交点的直线可以假设成A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0（该方程不包括直线2:l ) 知识点16：1l :A 1x+B 1y+C 1=0和2:l A 2x+B 2y+C 2=0垂直等价于：A 1A 2+B 1B 2=0(A 1和B 1不全为零；A 2和B 2不全为零；) 知识点17：中点坐标公式:1122(,),(,)A x y B x y ,则AB 的中点(,)M x y ,则2121,22x x y y x y ++==.例题解析例1. 在第一象限的ABC ∆中，(1,1),(5,1)A B ，60,45O O A B ∠=∠=.求 ⑴AB 边的方程；⑵AC 和BC 所在直线的方程.例2.点(3,9)关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是（）. A ．(1,3)-- B.(17,9)- C ．(1,3)- D ．(17,9)-例3. 求经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.例4．方程(1)210()a x y a a R --++=∈所表示的直线（）. A ．恒过定点(2,3)- B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(2,3)-和(2,3) D ．都是平行直线例5．已知直线12:220,:1l x ay a l ax y +--=+-a -0=. ⑴若12//l l ，试求a 的值； ⑵若12l l ⊥，试求a 的值例6 .已知两直线1:40l ax by -+=，2:(1)l a x y -+0b +=，求分别满足下列条件的,a b 的值.⑴直线1l 过点(3,1)--，并且直线1l 与直线2l 垂直；⑵直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到12,l l 的距离相等.例7. 过点(4,2)P 作直线l 分别交x 轴、y 轴正半轴于,A B 两点，当AOB ∆面积最小时，求直线l 的方程.例8点P(x,y)在x+y-4=0上，则x 2+y 2最小值为多少？一、基础巩固练习：1．已知点(3,)m 到直线40x -=的距离等于1，则m =（）.A ．B ．C ． D2．已知(3,)P a 在过(2,1)M -和(3,4)N -的直线上，则a = .3．将直线2)y x =-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30o ，所得的直线方程是 .4．两平行直线12,l l 分别过点1(1,0)P 和(0,5)P ， ⑴若1l 与2l 的距离为5，求两直线的方程； ⑵设1l 与2l 之间的距离是d ，求d 的取值范围。

直线与方程知识点总结和练习

必修二第三章直线与方程的知识点倾斜角与斜率1. 当直线与x 轴相交时，我们把x 轴方向与直线向方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角. 直线的倾斜角α的范围是 .2. 斜率：①倾斜角为α，则 k= （条件：）②已知直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有k= （条件：）特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴，斜率k 注意：当090α︒<<︒时，斜率，随着α的增大，斜率；当90180α︒<<︒时，斜率，随着α的增大，斜率。

两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）平行（2）垂直2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；两条直线中一条斜率不存在，另一条斜率为0，则它们垂直。

直线的点斜式方程1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为 .2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为 .3. 点斜式和斜截式不能表示的直线.4. 注意：00y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.直线的两点式方程1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为，2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为 .3. 两点式不能表示的直线；截距式不能表示的直线4. 线段12P P 中点坐标公式直线的一般式方程1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程，斜率为，y 轴上截距为 .2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为 . 3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）平行（2）垂直 .两条直线的交点坐标1. 求交点：解方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. 两点间的距离1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为： .点到直线的距离及两平行线距离1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为 .2.两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式，对称问题1、关于点的对称：实质考察：2、关于线的对称：要点：一.选择题1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（） A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=02. 过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（）A. 012=-+y xB. 052=-+y xC. 052=-+y xD. 072=+-y x 3. 已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（） A. 0 B. -8 C. 2 D. 104.(安徽高考)直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是（）A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=0 5.设直线ax+by+c=0的倾斜角为θ，切sin cos 0θθ+=则a,b 满足（）A. a+b=1B. a-b=1C. a+b=0D. a-b=06. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、23- D 、327.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（）A 2 B 21 C 1 D 278. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是（）A （-2，1）B （2，1）C （1，-2）D （1，2）9. 已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（） A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2 10、若图中的直线L 1、L 2、L 3的斜率分别为K 1、K 2、K 3则（） A 、K 1﹤K 2﹤K3 B 、K 2﹤K 1﹤K 3C 、K 3﹤K 2﹤K 1D 、K 1﹤K 3﹤K 211、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（）A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C. 3x-2y-12=0D. 2x+3y+8=0 12. 若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则( )A. ab ＞0，bc ＞0B. ab ＞0，bc ＜0C. ab ＜0，bc ＞0D. ab ＜0，bc ＜0 13. 原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为( )A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54- B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- 二、填空题1. 点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________.2.已知A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a)三点共线，则a 的值为3.经过两直线11x+3y －7=0和12x+y －19=0的交点，且与A （3，－2），B （－1，6）等距离的直线的方程是。

高中直线与方程知识点及经典例题

直线一、直线斜率、倾斜角1、斜率：k=θtan （θ为倾斜角） [)0180θ∈︒︒，2、斜率：k=2121x x y y --（21x x ≠）已知两点可以求斜率3、k 与θ的关系例1 过A （1，2）点，且不过第四象限的直线，求直线的斜率k 的取值范围？例2 已知直线倾斜角30120θ︒︒⎡⎤∈⎣⎦，，求直线斜率k 的取值范围例3 已知直线斜率k []31，-∈，求直线倾斜角θ的取值范围例4 已知直线l 的倾斜角β是直线1l ：012=+-y x 的倾斜角α的2倍，求直线l 的斜率.练习1.下列说法中，正确的是（）． A. 直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α B. 直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α C. 若直线的倾斜角为α，则sin 0α> D. 任一直线都有倾斜角，但它不一定有斜率2.直线l 过点P （-1,2），且与以A （-6，-3），B （3，-2）为端点的线段相交（包括端点），求l 的倾斜角的范围？3.已知直线l 过点P (−1,2),且与以A (−2,−3)、B (3,0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围是4.经过点P （0，-1）作直线l 与连接A(1，-2)，B （2，1）的线段总有公共点，找出直线l 的倾斜角α与斜率k 的取值范围.5.经过点()10，P 作直线l ，若直线l 与连接()33,13---，），（B A 的线段总有公共点，找出直线l 斜率k 的取值范围.二、直线的四种形式： 1.点斜式：作用：几何意义：范围：定点问题：例1 已知直线0355:=+--a y ax l（1）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限（2）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围例2 点P 是（x,y ）线段x+2y-4=0(22-≤≤x )上的任意一点，求xy 1+的范围.2.斜截式：作用：几何意义：范围：例3 设直线l 的方程为（a+1）x+y+2-a=0（a R ∈）（1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程（2）若l 不经过第二象限，求a 的范围（3）证明：不论a 为何值，直线恒过某定点，并求定点坐标（4）证明：不论a 为何值，直线恒过第四象限作业：1.已知直线01=+++a y ax ，不论a 取何值，则该直线恒过的定点为 .2.已知直线()0121:=-+-+a y a ax l 不通过第四象限，则a 的取值范围是 .3.下列图象不可能是直线()2--=a ax y 图象的是（） A ．B ．C ．D ．4.如果直线()0,0<<+=b a b ax y 和直线()0>=k kx y 的图像交于点P ，那么点P 应该位于第象限.3.截距式：作用：几何意义：范围：例1 已知直线过（3，-2）且在x 轴的截距a 是与y 轴的截距是3倍，求直线的截距式.4.求直线方程：两个已知条件设方程：有一个未知数 1、已知点：点斜式 2、已知k ：斜截式 3、已知截距关系：截距式例2 （1）求过点P(2,−1)，在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b ，且满足a=3b 的直线方程.（2）已知直线l 过点（1,0），且与直线)1(3-=x y 的夹角为︒30，求直线l 的方程。

[实用参考]高一数学直线方程知识点归纳及典型例题.doc

直线的一般式方程及综合【学习目标】1．掌握直线的一般式方程；2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；3．能利用直线的一般式方程解决有关问题. 【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于G 和P 的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为AG+BP+C=0，这个方程(其中A 、B 不全为零)叫做直线方程的一般式．要点诠释：1．A 、B 不全为零才能表示一条直线，若A 、B 全为零则不能表示一条直线.当B≠0时，方程可变形为A C y x B B =--，它表示过点0,C B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，斜率为A B -的直线．当B=0，A≠0时，方程可变形为AG+C=0，即Cx A=-，它表示一条与G 轴垂直的直线．由上可知，关于G 、P 的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于G 、P 的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于G 、P 的一次方程（如斜率为2，在P 轴上的截距为1的直线，其方程可以是2G ―P+1=0，也可以是11022x y -+=，还可以是4G ―2P+2=0等．）要点二：直线方程的不同形式间的关系在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（G 1≠G 2，P 1≠P 2），应用时若采用(P 2―P 1)(G ―G 1)―(G 2―G 1)(P ―P 1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．要点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．（1）从斜截式考虑已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,12121212//()l l k k b b αα⇒=⇒=≠；12121211221tan cot 12l l k k k k παααα⊥⇒-=⇒=-⇒=-⇒=-于是与直线y kx b =+平行的直线可以设为1y kx b =+；垂直的直线可以设为21y x b k=-+．（2）从一般式考虑：11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++= 1212120l l A A B B ⊥⇔+=121221//0l l A B A B ⇔-=且12210A C A C -≠或12210B C B C -≠，记忆式（111222A B C A B C =≠） 1l 与2l 重合，12210A B A B -=，12210A C A C -=，12210B C B C -=于是与直线0Ax By C ++=平行的直线可以设为0Ax By D ++=；垂直的直线可以设为0Bx Ay D -+=.【典型例题】类型一：直线的一般式方程例1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．（1）斜率是12-，经过点A （8，―2）；（2）经过点B （4，2），平行于G 轴；（3）在G 轴和P 轴上的截距分别是32，―3；（4）经过两点P 1（3，―2），P 2（5，―4）．【答案】（1）G+2P ―4=0（2）P ―2=0（3）2G ―P ―3=0（4）10x y +-= 【解析】（1）由点斜式方程得1(2)(8)2y x --=--，化成一般式得G+2P ―4=0．（2）由斜截式得P=2，化为一般式得P ―2=0．（3）由截距式得1332x y +=-，化成一般式得2G ―P ―3=0．（4）由两点式得234(2)53y x +-=----，化成一般式方程为10x y +-=．【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：G 的系数为正，G ，P 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含G 项、P 项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．举一反三：【变式1】已知直线l 经过点(3,1)B -，且倾斜角是30︒，求直线的点斜式方程和一般式方程.【答案】1(3)3y x +=-330y --= 【解析】因为直线倾斜角是30︒，所以直线的斜率tan tan 303k α==︒=，所以直线的点斜式方程为：1(3)3y x +=-330y --=. 例2．ABC ∆的一个顶点为(1,4)A --，B ∠、C ∠的平分线在直线10y +=和10x y ++=上，求直线BC 的方程.【答案】230x y +-=【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得A 点关于B ∠的平分线的对称点'A 在BC 上，B 点关于C ∠的平分线的对称点'B 也在BC 上．写出直线''A B 的方程，即为直线BC 的方程.例3．求与直线3G+4P+1=0平行且过点（1，2）的直线l 的方程．【答案】3G+4P ―11=0 【解析】解法一：设直线l 的斜率为k ，∵l 与直线3G+4P+1=0平行，∴34k =-．又∵l 经过点（1，2），可得所求直线方程为32(1)4y x -=--，即3G+4P ―11=0．解法二：设与直线3G+4P+1=0平行的直线l 的方程为3G+4P+m=0， ∵l 经过点（1，2），∴3×1+4×2+m=0，解得m=―11． ∴所求直线方程为3G+4P ―11=0．【总结升华】（1）一般地，直线AG+BP+C=0中系数A 、B 确定直线的斜率，因此，与直线AG+BP+C=0平行的直线可设为AG+BP+m=0，这是常采用的解题技巧．我们称AG+BP+m=0是与直线AG+BP+C=0平行的直线系方程．参数m 可以取m≠C 的任意实数，这样就得到无数条与直线AG+BP+C=0平行的直线．当m=C 时，AG+BP+m=0与AG+BP+C=0重合．（2）一般地，经过点A （G 0，P 0），且与直线AG+BP+C=0平行的直线方程为A(G ―G 0)+B(P ―P 0)=0．（3）类似地有：与直线AG+BP+C=0垂直的直线系方程为BG ―A P+m=0（A ，B 不同时为零）．举一反三：【变式1】已知直线1l ：3mG+8P+3m-10=0和2l ：G+6mP-4=0.问m 为何值时:（1）1l 与2l 平行（2）1l 与2l 垂直.【答案】（1）23m =-（2）0m = 【解析】当0m =时，1l ：8P-10=0；2l ：G-4=0，12l l ⊥当0m ≠时，1l ：310388m m y x -=-+；2l ：1466y x m m=-+由3186m m -=-，得23m =±，由103486m m -=得2833m =或而31()()186m m-⋅-=-无解综上所述（1）23m =-，1l 与2l 平行．（2）0m =，1l 与2l 垂直．【变式2】求经过点A （2，1），且与直线2G+P ―10=0垂直的直线l 的方程．【答案】G －2P=0【解析】因为直线l 与直线2G+P ―10=0垂直，可设直线l 的方程为20x y m -+=，把点A （2，1）代入直线l 的方程得：0m =，所以直线l 的方程为：G －2P=0．类型二：直线与坐标轴形成三角形问题例4．已知直线l 的倾斜角的正弦值为35，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程．【思路点拨】知道直线的倾斜角就能求出斜率，进而引进参数——直线在P 轴上的截距b ，再根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，便可求出b ．也可以根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，设截距式直线方程，从而得出1||62ab =，再根据它的斜率已知，从而得到关于a ，b 的方程组，解之即可．【答案】334y x =±或334y x =-±【解析】解法一：设l 的倾斜角为α，由3sin 5α=，得3tan 4α=±．设l 的方程为34y x b =±+，令P=0，得43x b =±．∴直线l 与G 轴、P 轴的交点分别为4,03b ⎛⎫± ⎪⎝⎭，（0，b ）．∴2142||6233S b b b ∆=±⋅==，即b 2=9，∴b=±3．故所求的直线方程分别为334y x =±或334y x =-±．解法二：设直线l 的方程为1x y a b +=，倾斜角为α，由3sin 5α=，得3tan 4α=±．∴1||||6234a b b a⎧⋅=⎪⎪⎨⎪-=±⎪⎩，解得43a b =±⎧⎨=±⎩．故所求的直线方程为143x y +=±或143x y-=±．【总结升华】（1）本例中，由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在P 轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．举一反三：【变式1】（2015春启东市期中）已知直线m ：2G ―P ―3=0，n ：G +P ―3=0．（1）求过两直线m ，n 交点且与直线l ：G +2P ―1=0平行的直线方程；（2）求过两直线m ，n 交点且与两坐标轴围成面积为4的直线方程．【思路点拨】（1）求过两直线m ，n 交点坐标，结合直线平行的斜率关系即可求与直线l ：G +2P ―1=0平行的直线方程；（2）设出直线方程，求出直线和坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式进行求解即可．【答案】（1）G +2P ―4=0；（2）【解析】（1）由23030x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，即两直线m ，n 交点坐标为（2，1），设与直线l ：G +2P ―1=0平行的直线方程为G +2P +c =0，则2+2×1+c =0，解得c =―4，则对应的直线方程为G +2P ―4=0；（2）设过（2，1）的直线斜率为k ，（k ≠0），则对应的直线方程为P ―1=k (G ―2)，令G =0，P =1―2k ，即与P 轴的交点坐标为A （0，1―2k ）令P =0，则1212k x k k -=-=，即与G 轴的交点坐标为21(,0)k B k -，则△AOB 的面积121|||12|42k S k k-=⨯-=，即2(21)8k k -=，即244810k k k --+=，若k ＞0，则方程等价为241210k k -+=，解得32k +=32k -=，若k ＜0，则方程等价为24410k k ++=，解得12k =-．综上直线的方程为11(2)2y x -=--，或12)y x -=-，或12)y x -=- 即122y x =-+，或322y x +=--322y x -=-+ 类型三：直线方程的实际应用例6．（2015春湖北期末）光线从点A （2，3）射出，若镜面的位置在直线l ：G +P +1=0上，反射光线经过B （1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A 到B 所走过的路线长．【思路点拨】求出点A 关于l 的对称点，就可以求出反射光线的方程，进一步求得入射点的坐标，从而可求入射光线方程，可求光线从A 到B 所走过的路线长．【解析】设点A 关于l 的对称点A ＇（G 0，P 0），∵AA ＇被l 垂直平分，∴0000231022312x y y x ++⎧++=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得0043x y =-⎧⎨=-⎩∵点A ＇（―4，―3），B （1，1）在反射光线所在直线上，∴反射光线的方程为341314y x ++=++，即4G ―5P +1=0，解方程组451010x y x y -+=⎧⎨++=⎩得入射点的坐标为21(,)33--．由入射点及点A 的坐标得入射光线方程为1233123233y x ++=++，即5G ―4P +2=0，光线从A 到B所走过的路线长为|'|A B ==．【总结升华】本题重点考查点关于直线的对称问题，考查入射光线和反射光线，解题的关键是利用对称点的连结被对称轴垂直平分．举一反三：【变式1】（2016春福建厦门期中）一条光线从点A （－4，－2）射出，到直线P =G 上的B 点后被直线P =G 反射到P 轴上的C 点，又被P 轴反射，这时反射光线恰好过点D （－1，6）．求BC 所在直线的方程．【答案】10G －3P +8=0【解析】如图，A （－4，－2），D （－1，6），由对称性求得A （－4，－2）关于直线P =G 的对称点A ＇（－2，－4）， D 关于P 轴的对称点D ＇（1，6），则由入射光线和反射光线的性质可得：过A ＇D ＇的直线方程即为BC 所在直线的方程．由直线方程的两点式得：426412y x ++=++．整理得：10G －3P +8=0．例7．如图，某房地产公司要在荒地ABCDE 上划出一块长方形土地（不改变方向）建造一幢8层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积．（精确到1m 2）【答案】6017【解析】建立坐标系，则B （30，0），A （0，20）．∴由直线的截距方程得到线段AB 的方程为13020x y+=（0≤G ≤30）．设点P 的坐标为（G ，P ），则有2203y x =-． ∴公寓的占地面积为2(100)(80)(100)(8020)3S x y x x =-⋅-=-⋅-+2220600033x x =-++（0≤G ≤30）． ∴当G=5，503y =时，S 取最大值，最大值为222205560006017(m )33S =-⨯+⨯+≈．即当点P 的坐标为50(5,)3时，公寓占地面积最大，最大面积为6017m 2．【总结升华】本题是用坐标法解决生活问题，点P 的位置由两个条件确定，一是A 、P 、B 三点共线，二是矩形的面积最大．借三点共线寻求G 与P 的关系，利用二次函数知识探求最大值是处理这类问题常用的方法．。