直线与方程知识点及典型例题.docx

第三章直线与方程知识点及典型例题

1. 直线的倾斜角

定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

2. 直线的斜率

① 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示。即 k=tan 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当直线 l 与 x 轴平行或重合时 ,α=0°,k = tan0 =0;°

当直线 l 与 x 轴垂直时 ,α= 90k°不,存在 .

当0,90时， k0 ；当90 ,180时， k0；当90 时，k不存在。

例 .如右图，直线l 1的倾斜角 =30°，直线 l1⊥ l 2，求直线 l1和 l2的斜率 .

y

解： k1=tan30° =3∵ l1⊥ l2∴ k1· k2 =— 1l

1

3

∴ k2 =—32x

1

例：直线 x 3 y50 的倾斜角是()o

l2

°°°°

②过两点 P1 (x1， y1)、P1(x1，y1) 的直线的斜率公式： k y2y

1 ( x1x

2 )

x2x1

注意下面四点：

(1)当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

(2)k与 P1、 P2的顺序无关；

(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

例 .设直线l1经过点A(m，1)、B(—3，4)，直线l2经过点C(1，m)、D(—1，m+1)，

当 (1) l / / l

2(2) l⊥l时分别求出 m 的值

111

※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。

3. 直线方程

① 点斜式：y y1k( x x1 )直线斜率k，且过点x1, y1

注意：当直线的斜率为0°时， k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都

等于

x 1，所以它的方程是

x x

1。

=

② 斜截式： y=kx+b ，直线斜率为

k ，直线在 y 轴上的截距为 b

③

y y 1 x x

1

（

x 1

x 2 , y 1

1 1

1 1 1 1

两点式：

y 1 x 2 x 1

y ）直线两点 P (x ， y )、 P (x ， y )

y 2

④ x y 1 其中直线 l 与 x 轴交于点 (a ， 0)，与 y 轴交于点 (0， b),即 l 与 x 轴、 y 轴的

截矩式：

b

a

截距分别为 a 、 b 。

注意： 一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情况

①两个截距都不为 0 ②或都为 0 ；

但不可能一个为

0，另一个不为 0.

x y 或 y=kx.

其方程可设为：

1

a

b

⑤ 一般式： Ax+By+C=0（ A ， B 不全为 0）

注意： (1)在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。

各式的适用范围 (3)特殊式的方程如：

平行于 x 轴的直线：

y b （ b 为常数）； 平行于 y 轴的直线： x

a （ a 为常数）；

例题： 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：

(1)斜率是

1

，经过点 A(8， —2)；

.

2

(2)经过点 B(4,2)，平行于 x 轴；

. (3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是

3

.

, 3 ；

2

(4)经过两点 P 1 (3， —2)、 P 2(5， —4)；

.

例 1：直线 l 的方程为 Ax+By+C=0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（

）

A ． C=0， B>0

B ． C=0， B>0， A>0

C ． C=0， AB<0

D ． C=0， AB>0

例 2：直线 l 的方程为

Ax —By — C=0，若 A 、B 、C 满足 AB.>0 且 BC<0，则 l 直线不经的象限是 （ ）

A ．第一

B ．第二

C ．第三

D ．第四

4. 两直线平行与垂直

当 l 1 : y k 1 x b 1 ， l 2 : y k 2 x b 2 时，

l 1 // l 2

k 1 k 2 , b 1 b 2 ； l 1 l 2

k 1k 21

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

5. 已知两条直线 l 1： A 1x+B 1y+C 1=0，l 2： A 2 x+B 2y+C 2 =0，

(A 1 与 B 1 及 A 2 与 B 2 都不同时为零 )

A 1 x

B 1 y

C 1

0 若两直线相交，则它们的交点坐标是方程组

的一组解。

A 2 x

B 2 y

C 2

两条直线的交角：