随机过程 第二章 泊松过程

P{ X (t h) X (t ) 1} h o(h) P{ X (t h) X (t ) 2} o(h)
例如： •电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数；
•火车站某段时间内购买车票的旅客数；
•机器在一段时间内发生故障的次数； •保险的理赔
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定理 ： 定义1和定义2是等价的。
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泊松过程的分解可推广到n个类型，用Pi(s)表示type-i在时刻s达到的概率， 定义： 1 t
pi
n
t
0
Pi ( s )ds
i 1, 2
n
p
i 1
i
1
则{Ni ( t ) ，t≥0}为参数λ pi的泊松分布，且{Ni ( t )}相互独立
例：某沙滩汽车的到达服从指数为λ的泊松过程，汽车在沙滩的逗留时间 分布为G(s)，假定各汽车逗留时间之间，以及逗留时间与到达时间之间相 互独立，用N1 ( t ) 表示时刻t离开沙滩的汽车数量， N2 ( t ) 表示时刻t仍然 在沙滩上的汽车数量，则N1 ( t ) 和 N2 ( t ) 是一个type-1和type-2的分解。
或
n0
[m X (t )]n P{ X (t ) n} exp{ m X (t )}, n!
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到达时间的条件分布
设{ X (t ), t 0}为非其次泊松过程，均值函数为m(t ) (t ) dt，则在{ X (t )=n}
0 t
的条件下，n次事件到达时间W1 W2 f (t1 , n (t ) , n ! , tn | X (t ) n) i 1 m(t ) 0，
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定理 设
N (t )
X (t )
Y
k 1
k
,
t 0 是复合泊松过程，则
1. {X(t), t≥0}是独立增量过程； 2. X(t)的特征函数 g X (t ) (u) exp{t[ g Y (u) 1]} ，其中g Y (u ) 是随机 变量Y1的特征函数，λ 是时间的到达率；
s0 0st st
0st 其它
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分布密度
定理： 设{X(t),t≥0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A发生n次，则这n次到达时间 W1<W2, …<Wn与相应于n个[0,t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计 量有相同的分布。
例题
设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0<s<t，对于0<k<n，求 P{X(s)=k|X(t)=n}
2 ], D [ X ( t )] tE [ Y 3. 若E(Y12)<∞，则 E[ X (t )] tE[Y 1 1 ]
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例题：结巴（stuttering）泊松过程 对于一个复合泊松过程，如果Yn服从几何分布：
P(Y y ) (1 ) y，y 1, 2, 可以求得： P{ X (t ) n} e
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定理： 设{X(t),t≥0}为具有参数λ的泊松过程，{Tn,n≥1}是对应的时间间隔序列， 则随机变量Tn是独立同分布的均值为1/λ的指数分布。 对于任意n=1,2, …事件A相继到达的时间间隔Tn的分布为
1 e t , t 0 FTn (t ) P{Tn t} t0 0,
P{ X (t h) X (t ) 2} o(h)
非齐次泊松过程的均值函数（积分强度函数）为
m X (t )
(s)ds
0
t
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定理： 设{X(t),t≥0}为具有均值函数 则有
m X (t )
(s)ds非齐次泊松过程，
0
t
P{ X (t s) X (t ) n} [m X (t s) m X (t )]n exp{[m X (t s) m X (t )]}, n!
例题
设在[0,t]内事件A已经发生n次，求第k(k<n)次事件A发生的时间Wk的条 件概率密度函数。
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到达时间的条件分布的说明
1、设{X(t),t≥0}是泊松过程，在给定[0,t]内事件A发生n次的条件下，这n 次到达时间W1，W2, …，Wn ，每一个都是U[0,t]的一个样本，且相互独 立。 2、若不考虑其大小顺序，其分布就如n个独立的均匀随机变量U[0,t]，如
1. N(t) ≥0;
2. N(t)取正整数值； 3. 若s<t，则N(s) ≤N(t)；
4. 当s<t时，N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生的“事件A”的次数。
计数过程N(t)是独立增量过程 如果计数过程在不相重叠的时间间隔内，事件A发生的次数是相互独立的。 计数过程N(t)是平稳增量过程 若计数过程N(t)在(t,t+s]内（S>0），事件A发生的次数N(t+s)-N(t)仅与时 间差s有关，而与t无关。
泊松过程的分解：
强度为λ的泊松过程，事件A在时刻s到达，则此到达可分解成概率为P(s)的 type-1到达和概率为1- P(s) 的type-2到达，用{Ni ( t ) ，t≥0}，i=1,2，表示 type-i在时间(0,t]的达到次数，则有
pt ( pt ) n qt ( qt ) m P N1 (t ) n, N 2 (t ) m e e n ! m ! 1 t 其中，p P( s)ds，q 1 p t 0
泊松过程同时也是平稳增量过程

E[ X (t )] 表示单位时间内事件A发生的平均个数，故称为过程的速率 t 或强度
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泊松过程定义2： 称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ>0的泊松过程，若它满足下列条件： 1. X(0)=0； 2. X(t)是独立、平稳增量过程； 3. X(t)满足下列两式：
例子：设交换机每分钟接到电话的次数X(t)是强度为λ的泊松过 程。求 (1) 两分钟内接到3次呼叫的概率。 (2) 第二分钟内接到第3次呼叫的概率。
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泊松过程的数字特征
设{X(t),t≥0}是泊松过程，对任意的t,s∈[0, ∞)，且s<t，有
E[ X (t ) X (s)] D[ X (t ) X (s)] (t s)
由于X(0)=0，所以
m X (t ) E[ X (t )] t
2 X (t ) D[ X (t )] t
RX (s, t ) E[ X (s) X (t )] s(t 1)
一般情况下，泊松过程的协方差函数可表示为
BX (s, t ) min( s, t )
(1) k (2) 1 (1) k (2) 1
例题
有线电视公司从客户签约时刻起开始收费，每单位时间收费1元，设签约 客户为参数为λ的泊松过程，求公司在(0，t]时间段内的平均总收入。
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非齐次泊松过程
允许时刻t的来到强度是t的函数 定义： 称计数过程{X(t),t≥0}为具有跳跃强度函数λ (t)的非齐次泊松过程，若 它满足下列条件： 1. X(0)=0； 2. X(t)是独立增量过程； 3. P{ X (t h) X (t ) 1} (t )h o(h)
t (t ) n 1 , e fWn (t ) (n 1) 0,
t0 t0
例：已知仪器在[0，t]内发生振动的次数X(t)是具有参数λ的泊松 过程，若仪器振动k（k>=1）次就会出现故障，求仪器在时刻t0正 常工作的概率。
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到达时间的条件分布
假设在[0,t]内时间A已经发生一次，我们要确定这一事件到达时间W1的 分布。 泊松过程 平稳独立增量过程
第二章 泊松过程
泊松过程定义 泊松过程的数字特征 时间间隔分布、等待时间分布及到达时间的 条件分布 复合泊松过程 非齐次泊松过程 滤过泊松过程

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计数过程： 称随机过程{N(t),t≥0}为计数过程，若N(t)表示到时刻t为止已发生的“事 件A”的总数，且N(t)满足下列条件：
可以认为[0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相等，或者 说，这个事件的到达时间应在[0,t]上服从均匀分布。对于s<t有
P{W1 s | X (t ) 1 }?
分布函数
0, s FW1| X (t ) 1 (s) , t 1,
1 , fW1 | X ( t ) 1 ( s ) t 0,
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例题
设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时 按平均乘客为200人/时计算；5时至8时乘客平均到达率按线性增加， 8时到达率为1400人/时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到 21时从到达率1400人/时按线性下降，到21时为200人/时。假定乘客 数在不相重叠时间间隔内是相互独立的。求12时至14时有2000人来 站乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。
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泊松过程的无记忆性： 设{X(t),t≥0}为具有参数λ的泊松过程，假定S是相邻事件的时间间 隔，求P{S>s1+s2|S>s1}。 即假定最近一次事件A发生的时间在s1时刻，下一次事件A发生的 时间至少在将来s2时刻的概率。
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时间间隔的分布
设{N(t),t≥0}是泊松过程，令N(t)表示t时刻事件A发生的次数，Tn表示 从第（n-1）次事件A发生到第n次事件A发生的时间间隔。
k 1 n t
( t ) k n k n k Cn 1 (1 ) k k!
-结巴概率：产生另一个需求 (1 )-下一个需求发生的概率（经过一个指数时间的逗留）
泊松过程的分解
例题
设到达某商场的顾客组成强度为λ的泊松过程，每个顾客购买商品的概率 为p，且与其他顾客是否购买商品无关，若{X( t )，t≥0}为购买商品的顾客 数，证明{X( t )，t≥0}是强度为λ p的泊松过程。
Wn的条件概率密度为： 0 t1 tn t ,
其他
说明在{ X (t )=n}的条件下，n次事件到达时间的分布是n个独立同分布样 本的顺序统计量，其母体X 的分布函数为： m( x ) F ( x) m(t ) 1， x t, xt
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例题 设{X(t),t≥0}是具有跳跃强度 (t ) 1 (1 cost ) 的非齐次泊 松过程（ω ≠0），求E[X(t)]和D[X(t)]。
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复合泊松过程
定义： 设{N(t),t≥0}是强度为λ 的泊松过程，{Yk,k=1,2,…}是一列独立同分布 随机变量，且与{N(t),t≥0}独立，令
N (t )
X (t )
Y ,
k k 1
t0
则称{X(t),t≥0}为复合泊松过程。 N(t) Yk X(t) 在时间段(0,t]内来到商店的顾客数 第k个顾客在商店所花的钱数 该商店在(0,t]时间段内的营业额
概率密度为
e t , f Tn (t ) 0,
t 0 t 0
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等待时间的分布
等待时间Wn是指第n次事件A到达的时间分布
Wn
T
i Hale Waihona Puke Baidu1
n
i
因此Wn是n个相互独立的指数分布随机变量之和。
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定理： 设{Wn,n≥1}是与泊松过程{X(t),t≥0}对应的一个等待时间序列，则 Wn服从参数为n与λ 的Г 分布，其概率密度为
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泊松过程定义1： 称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ >0的泊松过程，若它满足下列条件： 1、X(0)=0； 2、X(t)是独立增量过程； 3、在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数λ>0的泊松分布， 即对任意s,t≥0，有 n t ( t )
P{ X (t s ) X ( s ) n} e n! , n 0,1,
Sn Wi U i , U i ~U [0, t ]
i 1 i 1 n n
3、如果我们有一组n个独立均匀分布U[0,t]随机变量的观测值，将其按大 小排列，则可以将其视为给定X(t)=n的齐次泊松过程的n个到达点，是一 种产生齐次泊松过程的方法
例题 设{X1 (t),t ≥0}和{X2 (t),t ≥0}是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间 W 内平均出现的事件数分别为λ1和λ2，记 为过程 X1(t)的第k次事件到达时 W 间， 为过程 X2(t)的第1次事件到达时间，求 P(W W )