随机过程 第二章 泊松过程
泊松(possion)过程
显然有：
p( i
m j
)
(n)
≥
0
(i, j ∈ S)
∑ p(m) ij
(n)
=
1
j∈S
m = 1时，即为一步转移矩阵。
(i ∈ S)
规定：
p( i
0) j
(n)
= δi j
=
1 0
i= j i≠ j
（二）切普曼－柯尔莫哥洛夫（C－K）方程
定理：对于 m 步转移概率有如下的 C－K 方程：
∑ p (m+r ij
= ∑ P{X (n + m + r) = j X (n + m) = k}P{X (n + m) = k X (n) = i} k∈S
∑ =
p(m) ik(n)Leabharlann p(r) kj(n
+
m)
k∈S
对于齐次马氏链的情形：我们可以写成矩阵的形式即有：
P = P P (m+r)
(m) (r)
中科院研究生院 2008～2009 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞
考虑顾客到达一服务台排队等待服务的情况。
若服务台前至少有一顾客等待，则在单位时间周期内，服务员完成一个顾客
的服务后，该顾客立刻离去；若服务台前没有顾客，则服务员空闲。
在一个服务周期内，顾客可以到达，设第 n 个周期到达的顾客数ξn 是一个取 值为非负整数的随机变量，且{ξn , n ≥ 1} 相互独立同分布。在每个周期开始时 系统的状态定义为服务台前等待服务的顾客数。若现在状态为 i ，则下周期的状 态 j 应该为：
中科院研究生院 2008～2009 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞
第二章 Markov 过程
随机过程(3.2)
例3.同一概率空间下的独立泊松过程的叠 加也是泊松过程
分析：要证明随机过程是泊松过程，只能用定义 证明，零初值性和独立增量性比较容易，只需要 证明平稳增量性即可.
P( N (t ) N (s) n) P( L(t ) L( s) k , M (t ) M (s) n k )
P(下一辆是红色汽车)=P(TR TX ) R e
0 R t R
dt R X e X t X dt X
tR
R R R X R G B
令TY 是从t0算起的非蓝色汽车的到达时刻，则同理可得
B P(下一辆是蓝色汽车)=P(TB TY ) R G B
令上式两边h→0,得迭代常微分方程
qk (t )+ qk (t )= qk -1 (t ),其中q1 (0)=0,q0 (t )=e- t
解上边的常微分方程得
(t )k -t qk (t )= e ,其中k =1,2, k!
例子1
对于参数为λ>0的泊松过程N={N(t)：t≥0},求在 {N(t)=1}的条件下，泊松过程N的第一个达到时间间 隔T1服从的概率分布
§2. 泊松过程的0-1律
本节主要研究在充分小的时间区间内发生跳的次 数等于或大于2的概率趋于0 定理4.2.2 对于参数为λ>0的泊松过程N(t)，它 满足如下的性质：对任意的时间指标t>0和充分 小的h>0, (1) P( N (t h) N (t ) 0) 1 h (h) (2) P( N (t h) N (t ) 1) h (h) 其中 (h) 表示h的高中的性质(1)(2)，那么 这个计算过程一定是个泊松过程 证明：我们只需要证明
二章Poisson过程-精品文档
k t exp t Poison分布，即：p N s t N t k ,k 0 , 1 ,
• 例2.1顾客依Poisson过程到达某商店，速率为4人／小时。 已知商店上午9：oo开门。试求到9：30时仅到一位顾客，
而到11：30时总计已到达5位顾客的概率。
互独立同分布的随机变量，且与 相互独立， N t, t 0
称随机过程 为复合泊松过程。 X t, t 0
i位旅客的 NtΒιβλιοθήκη 位客人，就是 。 Et Wi i1
Nt
W t ．而所要求的平均总等待时间
• 为求出它可以先求条件期望：
N t n E t W N t n t W N t n i i E 1 1 i i n nt E W t n i N 1 i
m 12 sds 195
12 0
195 195 p N 12 N 0 100 e ! K 0 K
100 K
• 2.3.2 复合Poisson过程 • 定义2.3设 是一个泊松过程， 是一列相 Y1,Y2 , N t, t 0
• 注意到给定 N 的联合密度是与 ( 0, t ] t n , W , i 1 , 2 , , n i 上均匀分布中随机样本 ，的次序统计量 U i 1 , 2 , ,n i,
U i 1 , 2 , ,n的联合密度是一样的。所以： i,
n n n nt E W t n E U E U iN i i i 1 i 1 i 1 2
的Poisson过程到达车站。若火
泊松过程
泊松过程一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。
例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数，就构成一个泊松过程。
泊松过程是由法国著名数学家泊松（Poisson, Simeon-Denis）（1781—1840）证明的。
1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。
Poisson过程（Poisson process，大陆译泊松过程、普阿松过程等，台译卜瓦松过程、布瓦松过程、布阿松过程、波以松过程、卜氏过程等），是以法国数学家泊松（1781 - 1840）的名字命名的。
泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。
我们说一个随机过程N(t) 是一个时间齐次的一维泊松过程，如果它满足以下条件：在两个互斥（不重叠）的区间内所发生的事件的数目是互相独立的随机变量。
在区间内发生的事件的数目的概率分布为：其中λ是一个正数，是固定的参数，通常称为抵达率（arrival rate）或强度（intensity）。
所以，如果给定在时间区间之中事件发生的数目，则随机变数呈现泊松分布，其参数为。
更一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得•在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重叠）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变数是独立的。
•在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变数，遵循泊松分布。
（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变数。
）泊松过程是莱维过程（Lévy process）中最有名的过程之一。
时间齐次的泊松过程也是时间齐次的连续时间Markov过程的例子。
一个时间齐次、一维的泊松过程是一个纯出生过程，是一个出生-死亡过程的最简单例子。
第二章-泊松过程-随机过程
布的指数随机变量。Sn Xi ,n 1，第 n 个事件在时刻 Sn 发生，N(t) i1
表示到时刻 t 为止已发生的“事件”的总数，即 N (t) sup{n : Sn t}， 则
计数过程{N(t),t≥0}是参数为的泊松过程。
三、来到时刻的条件分布（conditional distribution of the arrival
X1=x1
X2=x2
x1
x1+ x2
Xn-1=xn-1 x1+ x2+…+ xn-1
Xn>t x1+ x2+…+ xn-1+t
所以，从上可得，Xn 也是一个具有均值 1/的指数随机变量，且 Xn
独立于 X1, …, Xn-1。
注记 这个命题不应使我们惊奇。平稳独立增量的假定等价于说在概率 意义上过程在任何时刻都重新开始，即从任何时刻起过程独立于先前已 发生的一切(由独立增量)，且有与原过程完全一样的分布(由平稳增量)。 换言之，过程无记忆，因此指数间隔是预料之中的。
n
f ( yi1 ) f ( yin ) f ( yi ) ， 所 以 Y(1),Y(2),, Y(n) 的 联 合 密 度 为 i1 n
f ( y1, y2 , , yn ) n! f ( yi ), y1 y2 yn i1
若 Yi，i=1,2,,n,都是(0,t)上均匀分布，则由上面的讨论可知，顺序统
Pn (t ) Pn (t ) Pn1(t ) 于是
Pn (t ) et ( Pn1(t )etdt Cn )
P1(t ) et ( P0 (t )etdt C1 )＝et ( etetdt C1 )＝et (t C1 )，
泊松过程
第二讲 泊松过程1．随机过程和有限维分布族现实世界中的随机过程例子：液体中，花粉的不规则运动：布朗运动；股市的股票价格； 到某个时刻的电话呼叫次数；到某个时刻服务器到达的数据流数量，等。
特征：都涉及无限多个随机变量，且依赖于时间。
定义（随机过程） 设有指标集T ，对T t ∈都有随机变量)(t X 与之对应，则称随机变量族}),({T t t X ∈为随机过程。
注 一个随机过程是就是一个二元函数E T t X →⨯Ωω:),(。
固定ω，即考虑某个事件相应的随机变量的值，得到函数R T t X →:),(ω称为样本函数或轨道或一个实现。
映射的值域空间E 称为状态空间。
例 随机游动(离散时间，离散状态)质点在直线上每隔单位时间位置就发生变化，分别以概率p 或概率p -1向正或负向移动一个单位。
如果以n S 记时刻n 质点所处的位置，那么就得到随机过程{,0}n S n ≥。
这里指标集},1,0{ =T ，状态空间},1,0,1,{ -=E 。
如果记n X 为时刻n ，质点的移动，那么{,1}n X n ≥也是随机过程。
两个过程的区别：{}n S 不独立；{}n X 独立； 两个过程的关系：01nn kk S S X==+∑习题 计算n ES 和n DS （设00S =）。
提示 利用∑==nk kn XS 1，其中k X 是时刻k 的移动方式。
习题 设从原点出发，则()/2()/2()/2,2()0,21n k n k n k n n C q p n k iP S k n k i +-+⎧+===⎨+=-⎩。
例 服务器到达的数据流(连续时间，离散状态)在],0[t 内，到达服务器的数据包个数记为)(t N ，那么}0),({≥t t N 也是个随机过程，其指标集}{+∈=R t T ，状态空间},1,0{ =E 。
例 布朗运动（连续时间，连续状态）直线上质点的位移是连续的。
在时刻t 的位置为t X 。
泊松过程
pk (t +h) −pk (t) o(h) , = −λpk (t) +λpk−1(t) + h h pk'(t) = −λpk (t) + λpk−1(t) h ,(k = 0,1,2,L ) 令 →0得 ， pk (0) = P{N(0) = k} = 0
k=1时 k=1时, p1'(t) = −λp1(t) + λe−λt p1(0) = 0 解得： (t)＝ 所以k=1时结论成立。 k=1时结论成立 解得：p1(t)＝λte-λt，所以k=1时结论成立。
(λt)k−1 −λt e 。 假设k-1时结论成立， pk−1(t) = 假设k 时结论成立， (k −1)! pk'(t) = −λpk (t) + λpk−1(t) (λt)k −λt 解 , 得 pk (t) = e 。 pk (0) = 0 k!
结论成立。 结论成立。 由归纳法知，对一切k=0,1,2, k=0,1,2,…，结论成立。 由归纳法知，对一切k=0,1,2, ，结论成立。 (λt)k −λt 得证
j=0
k
k
{N(t) = j}P N(h = k − j} { ) = ∑P
) ) ) p ) = ∑pj(t)pk−j(h = pk(t)p0(h +pk−1(t)p1(h + ∑ j(t)pk−j(h
j=0 j=0
j=0 k
k−2
(t)[1(t)[λh+o(h)]+o(h)， ＝pk(t)[1-λh+o(h)]+pk-1(t)[λh+o(h)]+o(h)，
定义3 如果取非负整数值得计数过程{N(t),t 0}满足下列 {N(t),t≥ 定义3 如果取非负整数值得计数过程{N(t),t≥0}满足下列 条件： 条件： N(0)＝ a) N(0)＝0； 具有独立增量； b) 具有独立增量； P{N(h)=1}＝ h+0(h)； c) P{N(h)=1}＝λh+0(h)； P{N(h)≥2}＝ d) P{N(h)≥2}＝0(h) 则称{N(t),t 0}为参数(或平均率、强度) {N(t),t≥ 齐次) 则称{N(t),t≥0}为参数(或平均率、强度)为λ的(齐次)泊 松过程。 松过程。 考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼唤.令 例1 考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼唤 令X(t)表 表 示电话交换台在(0,t]内收到的呼唤次数 则{X(t),t≥0}满足定义 内收到的呼唤次数,则 满足定义3 示电话交换台在 内收到的呼唤次数 ≥ 满足定义 的条件, 是一个泊松过程. 的条件 故{X(t), t≥0}是一个泊松过程 ≥ 是一个泊松过程 考虑到某车站售票窗口购买车票的旅客,若记 若记X(t)为在时间 例2 考虑到某车站售票窗口购买车票的旅客 若记 为在时间 [0,t]内到达售票窗口的旅客数 则{X(t),t≥0}为一泊松过程 内到达售票窗口的旅客数,则 内到达售票窗口的旅客数 ≥ 为一泊松过程
2-1泊松过程
det P 1 t dt
t P t t C e 1
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
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结 束
《应用随机过程》电子课件 张 峰
第二章 Poisson 过程
二、Poisson过程的两个等价定义的证明 t P 0 0 P t te 由初始条件 1 1
b P N t h N t 2 P N h 2 o h
P N (t h)- N (t )=1 he
h
(3)
证：由（1）显然可得Poisson过程是平稳过程
k! h 1 h o h h o h
mN t EN (t )= t
DN t DN (t )= t
均方值函数
2 N
t EN (t )=DN t EN t t t
2 2
2
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第二章 Poisson 过程
t 再由 P0 0 0 P N t 0 e
。Leabharlann hNORTH UNIVERSITY OF CHINA
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《应用随机过程》电子课件 张 峰
第二章 Poisson 过程
二、Poisson过程的两个等价定义的证明
2 定义2 定义1 即:由(2),(3) (1) 证：当 k 1 时，Pk t h P N (t h) k
《随机过程——计算与应用》课件泊松过程2
个到达时刻T1 <T2 <…<Tn有以下联合概率密度函
数:
p(u1,
u2
,,
un
)
n!，0 tn 0，
u1
u2 其它
un t
证明：对0 u1 u2 un t，取充分小的正数h1, h2, , hn ,
使得uk Tk uk hk ,且各小区间(uk ,uk hk ](k 1, 2, n)
试计算：
(1) 过程 N1 的第一个事件先于过程 N 2
的第一个事件发生的概率.
(2) 过程 N1 的第k个事件先于过程 N 2 的第一个事件发生的概率.
解题思路: 考虑两个随机变量的联合密度函数,再计算有关的概率
P(T1(1)
T1(2) )
1 1 2
P(Tk(1)
T (2) 1
)
( 1 1 2
1) P{Nth Nt 0} 1 h (h) 2) P{Nth Nt 1} h (h) 则该计数过程一定是参数为的泊松过程.
记 qk (t) P(Nt k), k 0,1, ,对充分小的h 0, 可计算
q0 (t h) P(Nth 0) P(Nth Nt 0, Nt 0)
泊松过程
泊松过程的一个等价定义 称随机过程N={Nt,t≥0}是参数为λ 的泊松过程，如果 它满足以下条件：
① N0 0 ② N是平稳的独立增量过程
③ P{Nth Nt 0} 1 h (h) ④ P{Nth Nt 1} h (h)
泊松过程两个定义的等价性由下面的两个定理验证
定理4.2.2 参数为λ 的泊松过程N={Nt,t≥0}一定满足 以下性质：
qk (t)[1 h (h)] qk1(t)[h (h)] (h)
随机过程的分支过程和泊松过程
随机过程的分支过程和泊松过程随机过程，指的是随时间而变化的一系列随机事件的集合。
随机过程的数学模型可以用随机变量的集合来描述。
其中，分支过程（branching process）和泊松过程（Poisson process）是随机过程中比较经典并且应用广泛的两种模型。
一、分支过程分支过程最早出现在爱尔兰数学家戈尔登的研究中。
他在研究人口增长的过程中发现，如果假设每个人在他的有生之年内可以产生若干个子女，那么就可以把人口增长的过程看作是一个分支过程。
分支过程是一类离散时间的随机过程，可以描述由一个个独立的、概率相同的“父代”产生的“子代”数目的随机变化过程。
具体来说，在分支过程中，每个父代独立地产生一个随机整数，表示它将会产生的子代数目。
每个子代的产生也是独立的，并且都遵循与父代相同的分布。
这个过程一直持续下去，一直到所有的后代都无法再产生新的子代为止。
对于一个分支过程，我们可以定义一个生成函数G(x)，表示从一个父代生成的所有子代的数目的概率分布。
对于一个父代可以生成k个后代的概率为pk，则G(x)可以表示为：G(x) = p0 + p1x + p2x2 + ... + pnxn其中，pn表示最后一代后代数目为n的概率。
我们可以根据这个生成函数来计算分支过程的很多性质，如在每个时刻，所有后代的数目的期望、方差和协方差等等。
二、泊松过程泊松过程是一个连续时间的随机过程，它具有无记忆性（memorylessness）和独立增量（independent increments）的性质，这使得它成为了极其重要的一种数学模型。
在泊松过程中，事件发生的时间无规律，但是平均每单位时间内事件发生的次数是固定的。
具体来说，对于一个泊松过程，我们定义一个速率参数λ，表示在单位时间内事件发生的平均次数。
我们假设事件是独立发生的，并且事件发生的时间间隔服从指数分布。
这样，我们就可以用泊松分布来描述在任意时间段内事件发生的次数。
应用随机过程实验2-泊松过程
应用随机过程实验2—泊松过程一.准备知识1.泊松过程2.非齐次泊松过程3. 复合泊松过程二.作业1. 设()1X t 和()2X t 分别是参数为1λ和2λ的相互独立的泊松过程，（1）模拟()1X t 和()2X t ，并画图；（2）生成随机过程()()()12Y t =X +X t t ，并画图；（3）计算(){}Y t ,t 0≥ 的平均到达率与+1λ2λ的相对误差。
2. 设到达某商店的顾客组成强度为λ的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为p ，且与其他顾客是否购买商品无关，假设每位购买商品的顾客的花费i X 独立同分布，且服从正态分布2X (,)iN μσ，1,2,3,i = ，令()Y t 是t 时刻购买商品的顾客数，()Z t 是t 时刻商品的营业额，0t ≥ ，（1）试模拟随机过程(){},0Y t t ≥，并画图，计算随机过程(){},0Y t t ≥ 的均值函数与pt λ的相对误差；（2）试模拟随机过程(){},0Z t t ≥，并画图，计算随机过程(){}t ,t 0Z ≥ 的均值函数与pt λμ的相对误差。
3. 某路公共汽车从早晨5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时按平均乘客为200人/小时计算；5时至8时乘客平均到达率线性增加，8时到达率为1400人/小时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到21时到达率线性下降，到21时为200人/小时，假定乘客数在不重叠的区间内是相互独立的，令()X t 是t 时刻到达公共汽车的总人数，（1）计算早晨5时到晚上9时的乘客到达率，并画图；（2）模拟从早晨5时到晚上9时的乘客到达过程(){}X t ,t 0≥。
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泊松过程
2 N ( t ) D[ N ( t )] D[ N ( t ) N (0)] t
13
解：首先M1(0)=0， M1(t) 具有平稳独立
增量，接下来只需验证 M1(t) 服从均值
为 pt 的泊松分布. 即对任意 t >0 ,
(pt)m pt P{ M 1 ( t ) m } e . m!
下边将用到全概率公式，二项分布的背 景、公式，以及泰勒展式 x n ex n! n 0
泊松过程
3.1 泊松过程的定义
• 定义1 随机过程{N(t)，t 0 }是计数过 程，如果 N(t) 表示到时刻 t 为止已经发 生的事件A 的总数，且 N(t) 满足条件
(1) N(t) 0 ， 且 N(t) 取整数； (2)当s< t 时，则 N(s)N(t), 且 N(t)-N(s) 表示在时间(s, t]中事件A 发生的次数.
6
10k 10 P{N (t 1) N (t ) 20} e 0.9984 k 0 k!
20
P{N (t 2) N (t ) 0} e20 2.06109
984 k 0 k!
3
• 定义2 计数过程{N(t)，t 0 }是泊松过程, 如果N(t)满足 (1) N(0)=0， (2) N(t)是独立增量过程， (3) 在任一长度为 t 的区间中，事件A发生 的次数服从参数 t >0 的泊松分布，即 对任意s, t 0，有 n t ( t ) P N ( t s ) N ( s ) n e , n! n 0,1, 2,
随机-泊松
3.泊松分布与泊松过程
泊松过程是个比较多见的现象,我们在概率论的 学习中已知道, Bernoulli 试验中, 每次试验成功 的概率很小, 而试验的次数很多时, 基站的例子 , , 就恰好符合。每一个人要打电话, 相对于统计 的时间是很小的概率事件,而对一基站而言, 人 数就很大。二项式分布会逼近Poisson 分布, 这 一想法很自然地推广到随机过程情况, 推广的 泊松分布得到的随机过程, 应有如下性质:
这恰好是一次Bernoulli 试验, 发生1 次电 话呼入即试验成功, 不发生即为试验失败。 N ( t) 就相当于n 次独立Bernoulli 试验中 试验成功的总次数。 由Poisson 分布的二次分布逼近可知, N( t) 服从参数为 λt的Poisson 分布。
二、泊松过程的求解
从上面介绍, 我们不难理解为什么有很 多问题要用Poisson过程来考虑。阴极上 的电子射向阳极, 可理解为阴极上 n( n→∞) 个小块, 每个小块向阳极发 射一个电子, 与n 个人向基站打电话是 一类问题。放射性物质放射出α 粒子, 售票处的售票情况, 经过公路上某一路 口的汽车数量等等, 都是泊松过程。下 面,我们来举几个例子, 了解泊松过程的 求解。
例1.( Poisson 过程在排队论中的应用) 在随机服务系统中排队现象的研究中, 经 常用到Poisson 过程模型。以某火车站售 票处为例, 设从早上8:00 开始, 此售票处 连续售票乘客依10 人/h 的平均速率到达, 则从9:00 到10:00 这1 个小时内最多有5 名乘客来此购票的概率是多少? 从10:00 到11:00 没有人来买票的概率是多少?
2.泊松过程定义
即上例在一很短时间间隔△t 内, 来一次 呼唤的概率与△t成正比, 来一次以上呼 唤的概率为△t 的高阶无穷小。 再简要说明一下: 泊松过程｛N( t) , t∈ 〔0,∞) ｝是具有指数数间隔的计数过程, 只需证明计数过程中, X1, X2⋯⋯是相互 独立, 具有相同概率分布的随机变量, 且 每个Xi 都服从参数λ的指数分布即可。
研究生随机分析2.Poisson过程
= Pn (t )P0 (h ) + Pn − 1 (t )P1 (h ) + o(h )
= Pn (t )e − λh + Pn − 1 (t )[λh + o(h )] + o(h )
(独立， 平稳增量)
= Pn (t )[1 − λh + o(h )] + Pn −1 (t )[λh + o(h )] + o(h ) = Pn (t )[1 − λh] + Pn −1 (t )λh + o(h )
n!
,n ≥ 0
由(3)可知，EN (t ) = λt , λ称为过程的率.
定义2.
{N (t ), t
≥ 0} 称为Poisson过程如果
(1) (3) (4)
N (0 ) = 0 ≥ 0}有平稳、 独立增量 P( N (t ) = 1) = λt + o(t ) P ( N (t ) ≥ 2 ) = o(t )
(2) {N (t ), t
定理1
定义 1 与定义 2 等价
证
先证定义2 ⇒ 定义 1
令 Pn (t ) = P( N (t ) = n )
导出关于P0 (t )的微分方程， 再求出P0 (t )的表示式
P0 (t + h ) = P( N (t + h ) = 0)
= P( N (t ) = 0, N (t + h ) − N (t ) = 0 )
∑X
k =1
n
k
,
则 {N (t ), t ≥ 1}是 Poisson 过程.
事实上： P( N (t ) = n ) = P( N (t ) ≥ n ) − P( N (t ) ≥ n + 1)
随机过程——泊松过程
随机过程——泊松过程计数过程 在(0,t)内出现事件A的总数所组成的过程{N(t),t＞0}称为计数过程。
如果⽤N(t)表⽰到时刻t为⽌已发⽣的“事件A”的总数，若N(t)满⾜下列条件：1. N(t)≥02. N(t)取正整数值3. 对任意两个时刻t1<t2，有N(t1)≤N(t2)4. 对任意两个时刻t1<t2，N(t2)-N(t1)等于在区间(t1,t2]中发⽣的“事件A”的次数 则随机过程{N(t),t≥0}称为⼀个计数过程。
注意：如果在不相交的时间区间中发⽣的事件个数是独⽴的，则称计数过程有独⽴增量。
若在任⼀时间区间中发⽣的事件个数的分布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程有平稳增量。
独⽴增量过程 如果在不相交的时间间隔内出现事件A的次数是互相统计独⽴的则A事件的计数过程为独⽴增量过程。
平稳(齐次)增量计数过程 在时间间隔(t,t+s)内出现事件A的次数[N(t+s)-N(t)]仅与s有关⽽与t⽆关，则称N(t)为平稳增量计数过程。
泊松过程 设随机过程{X(t),t≥0}是⼀个计数过程，满⾜1. X(0)=02. X(t)是独⽴增量过程3. 对任⼀长度为t的区间中事件的个数服从参数为λt(λ>0)的泊松分布，即对⼀切s,t≥0，有P{X(t+s)-X(s)=k}=(λt)k/(k!).exp(-λt)(其中k=0,1,2,…) 则称X(t)为具有参数λ的泊松过程。
注意：从条件3可知泊松过程有平稳增量，且E[X(t)]=λt并称λ为此过程的⽣起率或强度（单位时间内发⽣事件的平均个数）。
说明： 要确定计数过程是泊松过程，必须证明它满⾜三个条件：条件1只是说明事件的计数是从时刻t=0开始条件2通常可从对过程的了解的情况去直接验证然⽽全然不清楚如何去确定条件3是否满⾜ 为此给出⼀个与泊松过程等价的定义定义 设随机过程{X(t),t≥0}是⼀个计数过程，参数为λ(λ>0)，满⾜1. X(0)=02. X(t)是独⽴平稳增量过程3. X(t)满⾜下列两式：①P{X(t+h)-X(t)=1}=λh+o(h)；②P{X(t+h)-X(t)≥2}=o(h)；其中o(h)表⽰当h→0时对h的⾼阶⽆穷⼩ 则称X(t)为具有参数λ的泊松过程。
北大随机过程课件泊松过程PPT
互独立的随机变量。求在五周内移民到该地区
的人口数的数学期望及其方差。
2018/11/10
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非齐次泊松过程举例
假设不相交叠的时间间隔内到达商店的 顾客数是相互统计独立的 ，问在上午8:30 －9:30间无顾客到达商店的概率是多少？ 在这段时间内到达商店顾客数学期望是多 少？
2018/11/10
复合泊松过程
定义：
设有泊松过程{ N(t),t ≥0 }和一族独立同分布 随机变量{ Yn }，n=1，2，3，…，且{ N(t) }和{ Yn} 也是相互统计独立的. 设随机过程 X (t ) Yn ,
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基本概念--泊松过程
泊松过程为满足下列假设的计数过程 :
1. 从t=0起开始观察事件，即N(0)=0； 2. 该过程是独立增量过程； 3. 该过程为平稳增量过程； 4. 在(t，t+∆t)内出现一个事件的概率为λ ∆t+ o(∆t)(当∆t→0时)， λ 为一常数；在(t，t+∆t) 内出现事件二次以及二次以上的概率为o(∆t), 即 P{[N(t+ ∆t)-N(t)] ≥2}=o(∆t)；
(1). 泊松过程{N(t), t>0}的第一个事 件到达时间t的概率密度分布.
t ~ t t 内有一个到达。 即：0 ~ t 内无到达，
f ( ) e
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泊松分布相关的问题
(2). 泊松过程{N(t), t>0}的各次事件 间的时间间隔分布.
设各次事件间的时间间隔记为Tn , n 1, 2,3, 则
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泊松分布相关的问题
(5).(续)
随机过程——泊松过程(2) 共28页
的归类独立，则有如结 下论：
4.1’ Poisson过程的分解
定理4.5 Nit表示到时t，刻i型事件发生的 i I,II，则N1t和N2t是相互独立的随机 ， 分别服从均值tp和 为t1 p的Poi sso分n布，
P s Y t s G t s
N 1t和 N 2t相 互 独 P立 oi分 s， so 布 均 n
E N 1 t tp t1 t0 tG t sd s 0 tG x dx
E N 2 t t1 p 0 t1 G x dx
比 如 ， 公 交 车 站乘达客到流的， 早 晚 高速峰 率 明 显 比 其 他 时；段再要比大如 ， 研 究生某 地震的次数，夏速秋率季也的会比冬春. 季
因此，为了描 象述 ，这 我些 们P现 将 ois齐 s 过程推广到 Po非 is过 s齐 on程 .次
4.2.1 非齐次Poisson过程
二、定义
k
PNt
k
PN1t n, N2t m Nt n mPNt n m
C
n n
m
pn 1
pm
et t nm n m!
etp tp n et1 p t 1 p m
Байду номын сангаас
n!
m!
PN1t nPN2t m
设随机 N过 t是程 一个计数足 过程
(1)N0 0
(2)Nt是独立增量 . 过程
( 3 h 0 ， ) P N t h N t 2 o h
( h 4 0 ， P ) N t h N t 1 t h o h 则称 Nt为 具 有 强 t的 度非 函齐 数次
随机过程(二)
第三章 泊松过程（Possion Process ）定义3.1 如果对任何12,,,n t t t T ∈ ，12n t t t <<< ，随机变量211()(),,()()n n X t X t X t X t --- 相互独立，则称{(),}X t t T ∈为独立增量过程。
如果对任何12,t t ，有1122()()()()dX t h X t X t h X t +-=+-，则称{(),}X t t T ∈为平稳增量过程。
兼有独立增量和平稳增量过程称为平稳独立增量过程。
平稳独立增量过程主要有⏹随机游动⏹泊松过程⏹布朗运动⏹Cauchy过程⏹稳定过程（Stable Process）本章主要内容⏹泊松过程的定义⏹与泊松过程有关时刻的分布⏹泊松过程的推广⏹非齐次泊松过程⏹复合泊松过程⏹条件泊松过程⏹更新过程⏹排队论*一、泊松过程的定义定义3.2 随机过程{(),0}N t t≥称为计数过程，如果N(t)表示从时刻0到t时刻内某一事件A发生的次数，它具备以下两个特点：1.()0N t≥且取值为整数；2.s<t时，()()-表示(,]N t N s≤且()()N s N ts t时间内事件A 发生的次数。
定义3.3 计数过程{(),0}N t t≥称为参数为λ的泊松过程，如果1.(0)0N=2.过程有独立增量；3.对任意,0s t≥，λ称为泊松过程的强度或速率，表示单位时间内发生事件的平均次数。
常见的泊松过程✧火车站售票数✧保险公司的索赔数✧到达电话总机的呼叫数目例：设从早上8：00开始，某火车站售票处开始连续售票，乘客以10人/小时的平均速率达到，请问：（1）从9：00到10：00这一个小时内最多有5名乘客来此购票的概率是多少。
（2）假设每位乘客平均购买1张车票，从8：00到12：00，此售票处平均售出多少张车票。
解：我们用一个泊松过程来描述购票的乘客数。
设8：00为0时刻，则9：00为1时刻，参数10λ=。
随机过程3.4 泊 松 过 程(二)
注等价于时间间隔序列T1,T2,…,Tn,…相互独立 同服从相同指数分布.
证 由定理3.3.2 知必要性,仅需证充分性, 应有
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P{N (t) k} (t)k et ,
k!
Ti的特征函数为
1 min( s, t) 21st 2 min( s, t) 22st 212st (1 2 )min( s, t) (21 22 )st 212st.
电子科技大学
2) 根据泊松分布的可加性知 X(t)=N1(t) +N2(t), t>0,
的载客人数为ξn，则经公交车通过此路口的
人数为：
N(t)
X(t) n n1
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EX.6 若将股票交易次数N(t)看作一个Poisson
过程,ξn表示第n 次与第n－1次易手前后股票价 格差,则X( t ) 就代表直到t 时刻股票的价格变化.
定义3.4.2 设{N(t), t≥0}是强度为λ的齐次 Poisson过程, {ξn, n≥1}是相互独立同分布的随 机变量序列，并与N(t)相互独立,称
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(1) 因 0= N (0) N1(t) N2(t) ,推知 N1(0) 0, N2(0) 0 , (2) 对 任 意 的 0 t0 t1 t2 tn1 tn , 泊 松 过 程 {N(t),t 0} 的增量
相互独立.
服从参数为(λ1+λ2)t 的泊松分布. 问题:如何证明?
3) Y(t)=N1(t)－N2(t)的特征函数为
独立和的 特征函数
Y (u) exp{1teiu 1teiu (1 2 )t}
随机过程 第二章 泊松过程
强度为λ的泊松过程，事件A在时刻s到达，则此到达可分解成概率为P(s)的 type-1到达和概率为1- P(s) 的type-2到达，用{Ni ( t ) ，t≥0}，i=1,2，表示 type-i在时间(0,t]的达到次数，则有
pt ( pt ) n qt ( qt ) m P N1 (t ) n, N 2 (t ) m e e n ! m ! 1 t 其中，p P( s)ds，q 1 p t 0
P{ X (t h) X (t ) 2} o(h)
非齐次泊松过程的均值函数（积分强度函数）为
m X (t )
(s)ds
0
t
16
定理： 设{X(t),t≥0}为具有均值函数 则有
m X (t )
(s)ds非齐次泊松过程，
0
t
P{ X (t s) X (t ) n} [m X (t s) m X (t )]n exp{[m X (t s) m X (t )]}, n!
s0 0st st
0st 其它
12
分布密度
定理： 设{X(t),t≥0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A发生n次，则这n次到达时间 W1<W2, …<Wn与相应于n个[0,t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计 量有相同的分布。
例题
设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0<s<t，对于0<k<n，求 P{X(s)=k|X(t)=n}
2
例题
设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时 按平均乘客为200人/时计算；5时至8时乘客平均到达率按线性增加， 8时到达率为1400人/时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到 21时从到达率1400人/时按线性下降，到21时为200人/时。假定乘客 数在不相重叠时间间隔内是相互独立的。求12时至14时有2000人来 站乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。
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( t ) k n k n k Cn 1 (1 ) k k!
-结巴概率：产生另一个需求 (1 )-下一个需求发生的概率（经过一个指数时间的逗留）
泊松过程的分解
例题
设到达某商场的顾客组成强度为λ的泊松过程，每个顾客购买商品的概率 为p，且与其他顾客是否购买商品无关，若{X( t )，t≥0}为购买商品的顾客 数，证明{X( t )，t≥0}是强度为λ p的泊松过程。
2
例题
设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时 按平均乘客为200人/时计算；5时至8时乘客平均到达率按线性增加， 8时到达率为1400人/时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到 21时从到达率1400人/时按线性下降，到21时为200人/时。假定乘客 数在不相重叠时间间隔内是相互独立的。求12时至14时有2000人来 站乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。
Hale Waihona Puke Wn的条件概率密度为： 0 t1 tn t ,
其他
说明在{ X (t )=n}的条件下，n次事件到达时间的分布是n个独立同分布样 本的顺序统计量，其母体X 的分布函数为： m( x ) F ( x) m(t ) 1， x t, xt
18
例题 设{X(t),t≥0}是具有跳跃强度 (t ) 1 (1 cost ) 的非齐次泊 松过程（ω ≠0），求E[X(t)]和D[X(t)]。
Sn Wi U i , U i ~U [0, t ]
i 1 i 1 n n
3、如果我们有一组n个独立均匀分布U[0,t]随机变量的观测值，将其按大 小排列，则可以将其视为给定X(t)=n的齐次泊松过程的n个到达点，是一 种产生齐次泊松过程的方法
例题 设{X1 (t),t ≥0}和{X2 (t),t ≥0}是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间 W 内平均出现的事件数分别为λ1和λ2，记 为过程 X1(t)的第k次事件到达时 W 间， 为过程 X2(t)的第1次事件到达时间，求 P(W W )
例题
设在[0,t]内事件A已经发生n次，求第k(k<n)次事件A发生的时间Wk的条 件概率密度函数。
13
到达时间的条件分布的说明
1、设{X(t),t≥0}是泊松过程，在给定[0,t]内事件A发生n次的条件下，这n 次到达时间W1，W2, …，Wn ，每一个都是U[0,t]的一个样本，且相互独 立。 2、若不考虑其大小顺序，其分布就如n个独立的均匀随机变量U[0,t]，如
t (t ) n 1 , e fWn (t ) (n 1) 0,
t0 t0
例：已知仪器在[0，t]内发生振动的次数X(t)是具有参数λ的泊松 过程，若仪器振动k（k>=1）次就会出现故障，求仪器在时刻t0正 常工作的概率。
11
到达时间的条件分布
假设在[0,t]内时间A已经发生一次，我们要确定这一事件到达时间W1的 分布。 泊松过程 平稳独立增量过程
由于X(0)=0，所以
m X (t ) E[ X (t )] t
2 X (t ) D[ X (t )] t
RX (s, t ) E[ X (s) X (t )] s(t 1)
一般情况下，泊松过程的协方差函数可表示为
BX (s, t ) min( s, t )
第二章 泊松过程
泊松过程定义 泊松过程的数字特征 时间间隔分布、等待时间分布及到达时间的 条件分布 复合泊松过程 非齐次泊松过程 滤过泊松过程
1
计数过程： 称随机过程{N(t),t≥0}为计数过程，若N(t)表示到时刻t为止已发生的“事 件A”的总数，且N(t)满足下列条件：
23
泊松过程的分解可推广到n个类型，用Pi(s)表示type-i在时刻s达到的概率， 定义： 1 t
pi
n
t
0
Pi ( s )ds
i 1, 2
n
p
i 1
i
1
则{Ni ( t ) ，t≥0}为参数λ pi的泊松分布，且{Ni ( t )}相互独立
例：某沙滩汽车的到达服从指数为λ的泊松过程，汽车在沙滩的逗留时间 分布为G(s)，假定各汽车逗留时间之间，以及逗留时间与到达时间之间相 互独立，用N1 ( t ) 表示时刻t离开沙滩的汽车数量， N2 ( t ) 表示时刻t仍然 在沙滩上的汽车数量，则N1 ( t ) 和 N2 ( t ) 是一个type-1和type-2的分解。
1. N(t) ≥0;
2. N(t)取正整数值； 3. 若s<t，则N(s) ≤N(t)；
4. 当s<t时，N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生的“事件A”的次数。
计数过程N(t)是独立增量过程 如果计数过程在不相重叠的时间间隔内，事件A发生的次数是相互独立的。 计数过程N(t)是平稳增量过程 若计数过程N(t)在(t,t+s]内（S>0），事件A发生的次数N(t+s)-N(t)仅与时 间差s有关，而与t无关。
8
定理： 设{X(t),t≥0}为具有参数λ的泊松过程，{Tn,n≥1}是对应的时间间隔序列， 则随机变量Tn是独立同分布的均值为1/λ的指数分布。 对于任意n=1,2, …事件A相继到达的时间间隔Tn的分布为
1 e t , t 0 FTn (t ) P{Tn t} t0 0,
20
定理 设
N (t )
X (t )
Y
k 1
k
,
t 0 是复合泊松过程，则
1. {X(t), t≥0}是独立增量过程； 2. X(t)的特征函数 g X (t ) (u) exp{t[ g Y (u) 1]} ，其中g Y (u ) 是随机 变量Y1的特征函数，λ 是时间的到达率；
19
复合泊松过程
定义： 设{N(t),t≥0}是强度为λ 的泊松过程，{Yk,k=1,2,…}是一列独立同分布 随机变量，且与{N(t),t≥0}独立，令
N (t )
X (t )
Y ,
k k 1
t0
则称{X(t),t≥0}为复合泊松过程。 N(t) Yk X(t) 在时间段(0,t]内来到商店的顾客数 第k个顾客在商店所花的钱数 该商店在(0,t]时间段内的营业额
2 ], D [ X ( t )] tE [ Y 3. 若E(Y12)<∞，则 E[ X (t )] tE[Y 1 1 ]
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例题：结巴（stuttering）泊松过程 对于一个复合泊松过程，如果Yn服从几何分布：
P(Y y ) (1 ) y，y 1, 2, 可以求得： P{ X (t ) n} e
泊松过程的分解：
强度为λ的泊松过程，事件A在时刻s到达，则此到达可分解成概率为P(s)的 type-1到达和概率为1- P(s) 的type-2到达，用{Ni ( t ) ，t≥0}，i=1,2，表示 type-i在时间(0,t]的达到次数，则有
pt ( pt ) n qt ( qt ) m P N1 (t ) n, N 2 (t ) m e e n ! m ! 1 t 其中，p P( s)ds，q 1 p t 0
泊松过程同时也是平稳增量过程
E[ X (t )] 表示单位时间内事件A发生的平均个数，故称为过程的速率 t 或强度
3
泊松过程定义2： 称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ>0的泊松过程，若它满足下列条件： 1. X(0)=0； 2. X(t)是独立、平稳增量过程； 3. X(t)满足下列两式：
例子：设交换机每分钟接到电话的次数X(t)是强度为λ的泊松过 程。求 (1) 两分钟内接到3次呼叫的概率。 (2) 第二分钟内接到第3次呼叫的概率。
5
泊松过程的数字特征
设{X(t),t≥0}是泊松过程，对任意的t,s∈[0, ∞)，且s<t，有
E[ X (t ) X (s)] D[ X (t ) X (s)] (t s)
(1) k (2) 1 (1) k (2) 1
例题
有线电视公司从客户签约时刻起开始收费，每单位时间收费1元，设签约 客户为参数为λ的泊松过程，求公司在(0，t]时间段内的平均总收入。
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非齐次泊松过程
允许时刻t的来到强度是t的函数 定义： 称计数过程{X(t),t≥0}为具有跳跃强度函数λ (t)的非齐次泊松过程，若 它满足下列条件： 1. X(0)=0； 2. X(t)是独立增量过程； 3. P{ X (t h) X (t ) 1} (t )h o(h)
可以认为[0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相等，或者 说，这个事件的到达时间应在[0,t]上服从均匀分布。对于s<t有
P{W1 s | X (t ) 1 }?
分布函数
0, s FW1| X (t ) 1 (s) , t 1,
1 , fW1 | X ( t ) 1 ( s ) t 0,
s0 0st st
0st 其它
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分布密度
定理： 设{X(t),t≥0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A发生n次，则这n次到达时间 W1<W2, …<Wn与相应于n个[0,t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计 量有相同的分布。
例题
设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0<s<t，对于0<k<n，求 P{X(s)=k|X(t)=n}
或
n0
[m X (t )]n P{ X (t ) n} exp{ m X (t )}, n!
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到达时间的条件分布
设{ X (t ), t 0}为非其次泊松过程，均值函数为m(t ) (t ) dt，则在{ X (t )=n}