递次衰变规律和放射性平衡

12 . . .n 1 2 )(3 2 )...(n

`
2 )
.........
hn

(1
12 . . .n 1 n )(2 n )...(n1
n )
第n个子体的放射性活度为：
An (t) n Nn n N1(0)[h1e1t h2e2t ... hnent ]
N1(0)[e(3 1)t

e ] (3 2 )t
N3

12 2 1
N1 (0) [ 3
1
1
e 1t

3
1
2
e2t ] Ce3t
N3(0) 0
C


12 2 1
N1 (0) [ 3
1
1

3
1
2
]

(3

12 1 ) (3
§2.4、放射性平衡
对于两个放射体的递次衰变
A
1 T1
B
2 T2
C
其中T1和T2分别为母体A和子体B的半衰期.
当时间足够长时，有可能出现放射性平衡。
1、暂时平衡
1）、定义
当母体A的半衰期不是很长，但比子体B的半衰期还是要长，即T1>T2, 或λ1<λ2时，则在观察时间内可以看出母体放射性的变化，以及子体B的 核数目在足够长时间以后，将和母核数目建立一固定的比例，即此时子体B
（2）由于N1和A1是按半衰期T1衰减，则当达到暂时平衡时，N2和A2也按 半衰期T1衰减。
（3）在 1 2情况下，子体的生长和衰减情况如下图所示。
曲线a表示子体的放射性活度A2随时间的变化；
曲线b表示母体(T1=8h)的放射性活度A1随时间的变
化；曲线d表示子体B（T2=0.8h）单独存放时的活度 随时间的变化。
的变化将按母体的半衰期衰减。这就叫做暂时平衡。
200 78
Pt
12.6h27090
Au0.81h28000
Hg
T1=12.6h; T2=0.81h
即：T1>T2,且T1不是太长，则在观察时间内可以看出母体铂放射性的变化。 2）、规律
对于两体放射体的递次衰变
N2 (t)

1 2 1
1
N1 (0) [ 1
(1
e1t
)

1
2
(1
e2t
)]
C
又因为：N3(0)=0， 所以：C=0
N3

12 2 1
1
N1(0)[ 1
(1
e 1t
)

1
2
(1
e2t
)]
由上式可见：当 t 时， N3(t) N1(0)
此时母体A全部衰变成子体C。

12 1 2
N1 (0)e 2t
由此可见，当时间足够长时，母体将
几乎全部转变为子体，子体则按自身的指
数规律衰减。
在 1 2 情况下，子母体放射性核素的
活度随时间的变化规律如下图。其中：
a—子体的放射性活度随时间的变化
b—母体的活度衰减（T1=0.8 h） c—子母体的总放射性活度的变化
N1(0)e2t [e(2 1)t
1]

1 1 2
N1(0)e2t [1 e(12 )t ]
1 2
所以：当t足够大时， e(12 )t 1

N2 (t)

1 1 2
N1 (0)e 2t
放射性活度为：
A2

2 N2 (t)
T1=1600y, T2=3.824d, T1>>T2
T1很长，在观察时间内，如几天或几十天不会看出28286 Ra 放射性的变化。
2）、规律
N2 (t)

1 2 1
N1(0)e1t [1 e(2 1)t ]
1 2

N2 (t)

1 2 1
N1(t)[1 e2t ]
d—子体(T2=8h)单独存放时的活度变化
由不成平衡的核素递次衰变规律可得出：为了得到单纯的子体，最简 单的办法就是把放射体搁置足够长的时间，让母体几乎都衰变完，剩下就 是单纯的较长寿命的子体。
说明：对于任何递次衰变系列，不管各放射体的衰变常数之间相互关系如 何，其中必有一个最小者，即半衰期最长者，则在时间足够长以后，他们 均按最长半衰期的简单指数规律衰减。
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1 ] 2
1 2
N1(tm )
所以： A1(tm ) A2 (tm )
上式表明：在t=tm时，子母体的放射性活度相等。而当t<tm时，A2<A1;当 t>tm时，A2>A1。
对于多代子体的递次衰变：
A1 1 A2 2 A3 3 A4 4 ...
只要母体A1的衰变常数λ1比各代子体的衰变常数λ2,λ3,λ4,…都小， 则当时间足够长时，整个衰变系列也会达到暂时平衡，即各放射体的数 量之比不随时间变化，各子体都按母体的半衰期而衰减。
由曲线a看到，子体的放射性活度最初随时间而增加，然后达到某一饱 和值，此时子体与母体的活度相等。所以，饱和时的总活度为母体活度的 两倍。
3）、多代子体的递次衰减
如果T1>>T2, T1>>T3, T1>>Ti, …,则在足够长时间后，整个衰变系列必 然达到长期平衡，即各个放射性活度彼此相等。
1N1 2 N2 3N3 ...
§2.3、递次衰变规律
原子核的衰变往往是一代又一代地连续进行的，直到最后达到稳定为 止，这种衰变叫做递次衰变，或连续衰变。
a 232Th1.4110 10 y228
Ra
228 5.76 y
Ac 228Th 6.13h
1.913y...208Pb
在递次衰变中,任何一种放射性物质分离出来单独存放时，它的衰变 规律都满足单一指数衰减规律。但是，它们混在一起的衰变情况却要复 杂得多。
3、不成平衡情况
当母体的半衰期小于子体的半衰期，即T1<T2, 或λ1>λ2, 则母体按指数规律较快衰减。
子体的原子核数开始为零，随时间逐渐增加，越过极大值后较慢衰减，
当t足够大时，子体则按自身的半衰期而衰减。
N2 (t)

1 2 1
N1 (0) [e 1t
e2t ]
1 2 1
1
N1 (t )
N2 (t) 1 N1(t) 2 1
子母体的放射性活度关系为：
A2 (t)

2 2 1
A1 (t )
A2 (t) 2 A1(t) 2 1
讨论：
（1）由以上公式可以看出，当时间足够长时，子母体间出现暂时平衡。即 它们的核数目（或放射性活度）之比为一固定值。
( N 2e2t
)

1N1(0)e(2 1)t
N 2e 2t

1 2 1
N1(0)e(2 1)t
C
N2

1 2 1
N1 (0)e 1t
Ce2t
又因为：t=0时，N2(0)=0
C


1 2 1
N1 (0)
N2 (t)

1 2 1
N1 (0) (e 1t
h1

(2

12 1 ) (3

1 )
h2

(1
12 2 )(3
2 )

h3

(1

12 3 )(2

3 )
此时C的放射性活度为：
A3 (t) 3 N3 3 N1(0)[h1e1t h2e2t h3e3t ]

2
)
N1 (0)
N3 (t)

N1(0)[ (2

12 1 )( 3

1 )
e 1t

(1

12 2 )(3

2 )
e2t

12
e3t ]
(1 3 )(2 3 )
N1(0)(h1e1t h2e2t h3e3t )
式中：
0
e(1 2 )tm

1 2
tm

1
1 2
ln
1 2
dN2 dt
|t tm
0 1N1(tm ) 2 N2 (tm )

0
N2 (tm )

1 2 1
N1 (tm )[1 e(1 2 )tm ]

1 2 1
N1(tm )[1
2、递次衰变系列 A1 A2 A3 ... An ... 的衰变规律
Nn (t) N1(0)[h1e1t h2e2t ... hnent ]
其中：
h1

(2

12 . . .n 1 1)(3 1)...(n

1 )
h2

(1
e2t )
子体B的放射性活度为：
A2 (t)

2 N2

12 2 1
N1 (0)( e 1t
e2t )
对于子体C，如果它是稳定的，则λ3=0
dN3 dt
2 N2

12 2 1
N1 (0) (e 1t
e2t )
N3

12 2 1
1 2
N1(t)[1 e2t ]
当t相当长时，则有
N2

1 2
N1
1 N1(t) 2N2 (t)
A1 A2
这就出现了长期平衡。
在λ1<<λ2情况下子母体的放射性活度随时 间的变化如右图。
a—子体的活度； b—母体的活度(T1=∞)
c—子母体的总活度；d—子体单独存放时 的活度（T2=0.8h）
由曲线a看出：子体的放射性活度最初随时间的
增加而增加，达到某一极大值后，按母体的半衰期而
减少。子体的放射性活度达到极大值所需要的时间为
dA2 dt
|ttm
0
A2

12 2 1
N1 (0)( e 1t
e2t )
把A2代入上式有：
e1tm 1
e2tm 2
N1 (0) [e 1t
e2t ]

1 2 1
N1(0)e1t [1 e(2 1)t ]

1 2 1
N1(t)[1 e(2 1)t ]
因为： 1 2
所以：当时间t足够长时，有： e(2 1)t 1
N2 (t)

1 2
1、二代递次衰变规律
对于母体A衰变为子体B，然后衰变为第二代子体C情况。 ABC
设：1）A，B，C的衰变常数分别为λ1，λ2，λ3。 2）在时刻t，A，B，C的原子核数分别为N1，N2，N3。 3）在时刻t=0时，N2(0)=N3(0)=0，只有母体A。
用 e2t 同乘以上式两边则有：
d dt
2、长期平衡
1）、定义
当母体的半衰期比子体的长得多，即T1>>T2, 或λ1<<λ2,而且在观 察时间内看不出母体放射性的变化，在相当长时间以后(t≥7T2),子体的 核数目和放射性活度达到饱和，并且子母体的放射性活度相等。这叫长 期平衡。
如： 28286Ra1600y28262Rn3.824d 28148Po
子体C的放射性活度为：A3=λ3N3=0
如果C也不稳定，3 0 情况
则：
dN3 dt
2 N2
3N3
dN3 dt

3 N 3

12 2 1
N1 (0)[ e 1t
e2t ]
e 将 3t 同乘上式左右两边
d dt
(N3e3t )

12 2 1