高考真题突破：数学归纳法

专题十三 推理与证明

第三十九讲 数学归纳法

解答题

1．（2017浙江）已知数列{}n x 满足：11x =，11ln(1)n n n x x x ++=++()n ∈*

N ．

证明：当n ∈*

N 时 （Ⅰ）10n n x x +<<； （Ⅱ）1

122

n n n n x x x x ++-≤

； （Ⅲ）1211

22

n n n x --≤≤．

2．(2015湖北) 已知数列{}n a 的各项均为正数，1

(1)()n n n b n a n n

+=+∈N ，e 为自然对数的

底数．

（Ⅰ）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1

(1)n n +与e 的大小；

（Ⅱ）计算

11b a ，1212

b b

a a ，123123

b b b a a a ，由此推测计算12

12n

n

b b b a a a 的公式，并给出证明； （Ⅲ）令112()n

n n c a a a =，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明：e n n T S <．

3．(2014江苏)已知函数0sin ()(0)

x f x x x

=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．

（Ⅰ）求()()

122222

f f πππ+的值；

（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()(

)

1444n n nf f -πππ+=成立．

4．（2014安徽）设实数0>c ，整数1>p ，*N n ∈． （Ⅰ）证明：当1->x 且0≠x 时，px x p

+>+1)1(； （Ⅱ）数列{}n a 满足p

c a 11>，p

n n n a p

c a p p a -++-=

111， 证明：p n n c

a a 1

1>>+．

5．（2014

重庆）设1

11,(*)n a a b n N +==+∈

（Ⅰ）若1b

=，求23,a a 及数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若1b =-，问：是否存在实数c 使得221n n a c a +<<对所有*

n N ∈成立？证明

你的结论．

6．（2012湖北）（Ⅰ）已知函数()(1)r

f x rx x r =-+-(0)x >，其中r 为有理数，且01r <<.

求()f x 的最小值；

（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设120,0a a ≥≥，12,b b 为正有理数. 若121b b +=，

则12121122b b a a a b a b ≤+；

（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．

证明你所推广的命题． 注：当α为正有理数时，有求导公式1()x x ααα-'=.

7．（2011湖南）已知函数3()f x x =，()g x x =+

（Ⅰ）求函数()()()h x f x g x =-的零点个数，并说明理由；

（Ⅱ）设数列{n a }（*

n N ∈）满足1(0)a a a =>，1()()n n f a g a +=，证明：存在常数

M ，使得对于任意的*n N ∈，都有n a ≤ M ．

专题十三 推理与证明

第三十九讲 数学归纳法

答案部分

1．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：0n x >

当1n =时，110x => 假设n k =时，0k x >，

那么1n k =+时，若10k x +≤，则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>．

因此0n x >()n ∈*

N

所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++>

因此10n n x x +<<()n ∈*

N

（Ⅱ）由111ln(1)n n n n x x x x +++=++>得

2

111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++ 记函数2

()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥

函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)f x f ≥=0， 因此 2

111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥ 故1

12(N )2

n n n n x x x x n *++-∈≤ （Ⅲ）因为

11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=+++=≤

所以1

12n n x -≥得 由

1

122

n n n n x x x x ++-≥得 11111

2()022

n n x x +-->≥ 所以

1211111111

2()2()2222

n n n n x x x -----⋅⋅⋅-=≥≥≥ 故2

1

2n n x -≤

综上，1211(N )22

n n n x n *

--∈≤≤ ．

2．【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x f x '=-．

当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增； 当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减．

故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞． 当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e x x +<．

令1x n =，得1

11e n n +<，即1

(1)e n n

+<． ①

（Ⅱ）

1111

1(1)1121

b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=；

23331233121231231

33(1)(31)43

b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=． 由此推测：

12

12(1)n n

n

b b b n a a a =+． ②