弹性力学问题一般解空间轴对称问题共38页文档
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弹性力学空间问题解答
将式（7-12）代入式（7-9）,得应力分量与位移函数的关系式:
（7-14）
对空间轴对称问题，只要找到满足式（7-13）的位移函数 ，代入式（7-12）和式（7-14）求出位移和应力分量。如能满足边界条件，即为问题的解。 拉甫位移函数的量纲比应力分量高三次
球坐标表示的基本方程（自学）
见教材P144~145
7-3 半空间体在边界上受法向集中力 设有一半空间体，不计体力，在水平边界受法向集中力P作用。 x y z M(r，z) r z 选P的作用点为坐标原点，Oz轴与P的作用线重合。水平边界面为xOy面。
在半空间体中过任一点M（r，z），作与边界平面平行的水平截面，取半空间体的上部分，在z方向有平衡条件
03
在柱坐标系下的应力分量为
应变分量为
位移分量为
7-2柱坐标和球坐标系下的基本方程
01
平衡方程
02
（7-1）
柱坐标表示的基本方程
几何方程
（7-2）
（7-3）
或
（7-4）
物理方程
（7-5）
当物体的几何形状、约束情况以及外力都对称于z轴时，则称为空间轴对称问题。
在空间轴对称问题中，有： 应力分量、应变分量、位移分量仅是r，z的函数，与q无关。
空间问题求解的基本思路与平面问题相同，只是问题的维数从二维扩展到三维，求解更复杂。
（参考教材第6、7章）
202X年12月20日
7-1 空间问题的基本方程
平衡微分方程方程
几何方程
物理方程
各种弹性常数之间的关系
相容方程
位移边界条件：对于给定的表面Su，其上沿x，y，z方向给定位移为 ，则
（7-7）
（7-6）
几何方程：将式（7-5）代入式（7-2），得
《弹塑性力学》第九章空间轴对称问题
80%
物理方程
描述了材料在不同应力状态下表 现出的物理性质。
塑性力学的基本方程
流动法则
描述了塑性应变与应力之间的 关系。
屈服准则
描述了材料屈服的条件，即应 力达到屈服点时的状态。
强化准则
描述了材料在塑性变形过程中 的应力增强机制。
空间轴对称问题的边界条件和初始条件
边界条件
描述了物体在边界上的受力状态和位 移约束。
如旋转机械、航空航天器等的 设计和分析。
土木工程
如桥梁、高层建筑等大型结构 的分析。
石油工程
如油藏模拟、油气管道设计等 。
核工程
如核反应堆、核废料处理设施 等安全评估。
02
空间轴对称问题的数学模型
弹性力学的基本方程
80%
平衡方程
描述了物体内部各点的受力平衡 状态。
100%
几何方程
描述了物体在受力后产生的形变 和位移。
近原问题的解。
在处理空间轴对称问题时，有限元法能 够将复杂的空间几何形状和边界条件简 化为易于处理和计算的离散模型，从而
提高求解效率。
有限元法在空间轴对称问题中广泛应用 于弹性力学、塑性力学等领域，能够得
到高精度的数值解。
有限差分法在空间轴对称问题中的应用
有限差分法是一种将偏微分方程离散化为差分方程的方法，通过求解差分方程来逼近原问题
目
CONTENCT
录
• 空间轴对称问题的基本概念 • 空间轴对称问题的数学模型 • 空间轴对称问题的解析解法 • 空间轴对称问题的数值解法 • 空间轴对称问题的实验研究
01
空间轴对称问题的基本概念
定义与特性
定义
空间轴对称问题是指物体在空间中关于某一直线或平面对称分布 的问题。
弹性力学问题的有限元法_轴对称问题
A
Wi U j W j U m Wm
S
T
2 r p 0
2013-7-24
11
Ni e R 2π A 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 2r rdrdz Nm 0
T
使用
Ni Li (i, j, m) r Lr L r L r i i j j m m , 得到 2 A ! ! ! Li L j Lmdrdz z ! A
Ri
当
e
0 πA 2ri rj rm 6
(i, j, m)
rc ri r j rm, 则有
1 Wi W j Wm 2πArc 3
2013-7-24 13
面积力 沿单元的jm面
Ni e R 2π A 0 0 Ni Nj 0 0 Nj Nm 0
L j q q 0
0 L j q rdS Nm 0
T
z
m
j i r 2013-7-24
q
14
在 jm面 ,
z
m j i r q
整合,
Ni 0, N j L j , N m Lm r L j rj Lm rm ! ! l Li L j dS l 1!
(i, j , m)
u f N e N i I 2 w
N j I2
N m I 2
e
备注:
平面三角形单元 轴对称三角形单元
x, y
r, z
4
弹性力学 空间问题的基本理论
应力中只有 σ,σ,σz,z, z 0 ;
形变中只有 ,,z,z,
z
0
;
(a)
位移中只有 u ,uz ,
u 0。
弹性力学
精选ppt课件
36
五 轴对称问题的基本方程
平衡微分方程：
F 0, FZ 0,
σ z z
σσ
f
0,
σz z
z
z
fz
0.
(b)
而由 F 0, 得出为σ σ 。
空间问题的应力，形变，位移等15个未 知函数，它们都是(x ,y ,z)的函数。这些函数 在区域V内必须满足3个平衡微分方程，6个 几何方程及6个物理方程，并在边界上满足3 个应力或位移的边界条件。
弹性力学
精选ppt课件
33
第七章 空间问题的基本理论
内容提要
徐芝纶院士(1911-1999)
一、平衡微分方程 二、物体内任一点的应力状态 三、主应力 最大与最小的应力 四、几何方程及物理方程 五、轴对称问题的基本方程 例题
精选ppt课件
39
五 轴对称问题的基本方程 应力用应变表示：
σ 1E(12)，（,,z),
z 2(1E)z.
(e)
其中 zu uuzz。
弹性力学
精选ppt课件
40
五 轴对称问题的基本方程
平衡微分方程弹性力学空间问题的基本理论弹性力学空间问题的基本理论轴向投影力的平衡微分方程可得因为x弹性力学空间问题的基本理论由3个力矩方程得到3个切应力互等定理空间问题的平衡微分方程精确到三阶微量yxxyxzzxzyyz弹性力学一平衡微分方程二物体内任一点的应力状态三主应力最大与最小的应力四几何方程及物理方程五轴对称问题的基本方程例题内容提要弹性力学简明教程第三版徐芝纶院士19111999弹性力学空间问题的基本理论在空间问题中同样需要解决
弹性力学空间轴对称问题有限元法
轴对称问题是空间问题的一种特殊情况，在实际工程中存 在大量的轴对称问题，如飞轮、回转类的压力容器、发动机 汽缸套、烟囱及受内压的球壳等，无限大、半无限大的弹性 体受集中载荷作用时也可以处理为轴对称问题。
7.1 弹性力学空间轴对称问题的描述
一、柱坐标系
由于轴对称性质，采用柱坐标系（ r、θ、z ） 分析轴对称问题
w r
u z
• 尽管点的位移发生在平面内，但是，对于垂直于 平面的线元素却存在着伸缩的可能，因此，轴对 称问题的环向应变不为零。
2）几何方程
• 对于周向应变，尽管不存在周向位移，但由于A点 发生径向位移后，它与轴的距离变为，从而导致 产生周向的变形，如图所示，则产生周向应变为
(r u)d rd rd
Ke
B
eT
e
DB
dv
Ve
Fbe NeTf dv
Ve
Fqe NeT f dS Se
Fe 0
BeT0 dv
Ve
Fe 0
BeTD0 dv
Ve
Ke 2
BeT
e
DB
rdrdz
e
Fbe 2 NeTf rdrdz e
Fqe 2 NeT f rds Se
Fe 0
2
BeT0 rdrdz
u r
u
r
z
r u r w
rz
z
w
u
r z
7.1 弹性力学空间轴对称问题的描述 三、基本方程
（2）应力应变关系 —物理方程
1
1 1
0
r
σ
z rz
E 1 1 1
2
1 1
1
1
1
1
7.1 弹性力学空间轴对称问题的描述
一、柱坐标系
由于轴对称性质，采用柱坐标系（ r、θ、z ） 分析轴对称问题
w r
u z
• 尽管点的位移发生在平面内，但是，对于垂直于 平面的线元素却存在着伸缩的可能，因此，轴对 称问题的环向应变不为零。
2）几何方程
• 对于周向应变，尽管不存在周向位移，但由于A点 发生径向位移后，它与轴的距离变为，从而导致 产生周向的变形，如图所示，则产生周向应变为
(r u)d rd rd
Ke
B
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e
DB
dv
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Fqe NeT f dS Se
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Fbe 2 NeTf rdrdz e
Fqe 2 NeT f rds Se
Fe 0
2
BeT0 rdrdz
u r
u
r
z
r u r w
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z
w
u
r z
7.1 弹性力学空间轴对称问题的描述 三、基本方程
（2）应力应变关系 —物理方程
1
1 1
0
r
σ
z rz
E 1 1 1
2
1 1
1
1
1
1
第2章 弹性力学中的若干典型问题及基本解法的讨论
（2.12）
同样可以由上式导出另一方向上的应力平衡微分方程式 综合起来得到如下空间轴对称问题的应力平衡微分方程：
r z r r K 0 r z r r r z r z Z 0 z r r
z r z r z Z 0 z r r
(r+dr)d
图2-3 轴对称问题示意
（c）
2.2 空间轴对称问题 平衡微分方程的推导：
14
如图2-3（c）所示的微元体的内侧面的正应力是r ，外侧面 r dr 上的正应力近似为 r 。由于对称， 在方向（环向）没有 r z 增量。下侧面的正应力是z ，上侧面的正应力近似为 z z dz。 rz dr，下面及上面的 内侧面和外侧面上的剪应力分别为rz 及 rz r zr dr 剪应力则分别为zr 及 zr 。径向体力用K表示，而轴向体力 r （z方向的体力）用Z表示。将该微元体所受的各力都投影到六面 d d d sin cos 1 ，可得到如下力 体中心的径向轴上，并取 及 2 2 2 平衡关系式
x xy X 0 x y y xy Y 0 y x
（2.1）
2.1.1 平面应力问题 平面应力问题的几何方程
u x x v u ε y , y x xy v u x y
（2.10）
15
2.2 空间轴对称问题 化简，同时除以rddrdz，并略去微量，得轴对称问题的一个方向 上的应力平衡微分方程式如下
r z r r K 0 r z r
（2.11）
将微元体所受的各力都投影到z轴上，则得力平衡关系式
同样可以由上式导出另一方向上的应力平衡微分方程式 综合起来得到如下空间轴对称问题的应力平衡微分方程：
r z r r K 0 r z r r r z r z Z 0 z r r
z r z r z Z 0 z r r
(r+dr)d
图2-3 轴对称问题示意
（c）
2.2 空间轴对称问题 平衡微分方程的推导：
14
如图2-3（c）所示的微元体的内侧面的正应力是r ，外侧面 r dr 上的正应力近似为 r 。由于对称， 在方向（环向）没有 r z 增量。下侧面的正应力是z ，上侧面的正应力近似为 z z dz。 rz dr，下面及上面的 内侧面和外侧面上的剪应力分别为rz 及 rz r zr dr 剪应力则分别为zr 及 zr 。径向体力用K表示，而轴向体力 r （z方向的体力）用Z表示。将该微元体所受的各力都投影到六面 d d d sin cos 1 ，可得到如下力 体中心的径向轴上，并取 及 2 2 2 平衡关系式
x xy X 0 x y y xy Y 0 y x
（2.1）
2.1.1 平面应力问题 平面应力问题的几何方程
u x x v u ε y , y x xy v u x y
（2.10）
15
2.2 空间轴对称问题 化简，同时除以rddrdz，并略去微量，得轴对称问题的一个方向 上的应力平衡微分方程式如下
r z r r K 0 r z r
（2.11）
将微元体所受的各力都投影到z轴上，则得力平衡关系式
弹性力学课件08第八章 空间问题的解答
将应力表达式代入
∞
σ ρ = A2 σϕ =
A2 , R( R + z ) Az Aρ σ z = − 23 , τ zρ = − 2 3 , R R
∫
0
(2πρ d ρ)σ z + F = 0
第三节
半空间体在边界上受法向集中力
F (1 − 2ν ) R 3ρ 2 z − 3 σρ = 2 2πR R + z R (1 − 2ν ) F z R − σϕ = 2πR 2 R R + z
∇ 2ϕ = 0
第三节
半空间体在边界上受法向集中力 根据位移分量和应力分量与位移 函数的关系：
1 ∂ 2ζ 1 ∂2 u=− ,ω = 2(1 −ν )∇ 2 − 2 ζ ∂z 2G ∂ρ∂z 2G ∂ 2 ∂2 σ ρ = ν∇ − 2 ζ ∂ρ ∂z
半空间体，体力不计， 坐标系如图。通过量纲分 析，位移函数应是F乘以R、 z、ρ等长度坐标的正一次 幂，试算后，取设位移函 数为
化简后得到
∂σ ρ
τ ρz + + + Fb z = 0 ∂z ∂ρ ρ
∂τ ρz
第二节 空间轴对称问题 这样，空间轴对称问题的平 迭加得到几何方程 衡方程为 ∂σ ρ ∂τ zρ σ ρ − σ ϕ ∂u u + + + Fb ρ = 0 ε ρ = , εϕ = ρ ∂ρ ∂z ∂ρ ρ ∂σ z ∂τ ρz τ ρz ∂u ∂w ∂w + + + Fb z = 0 + , γ zρ = εz = ∂z ∂ρ ρ ∂z ∂ρ ∂z 由于对称，各点环向位移为零， 这里的物理方程是 由径向位移产生的应变为 1 ∂u u ∂u ε ρ = [σ ρ −ν (σ φ + σ z )] ερ = , ε ϕ = , γ zρ = E ∂ρ ρ ∂z 1 ε ϕ = [σ ϕ −ν (σ z + σ ρ )] E 由轴向位移w产生的应变为
∞
σ ρ = A2 σϕ =
A2 , R( R + z ) Az Aρ σ z = − 23 , τ zρ = − 2 3 , R R
∫
0
(2πρ d ρ)σ z + F = 0
第三节
半空间体在边界上受法向集中力
F (1 − 2ν ) R 3ρ 2 z − 3 σρ = 2 2πR R + z R (1 − 2ν ) F z R − σϕ = 2πR 2 R R + z
∇ 2ϕ = 0
第三节
半空间体在边界上受法向集中力 根据位移分量和应力分量与位移 函数的关系：
1 ∂ 2ζ 1 ∂2 u=− ,ω = 2(1 −ν )∇ 2 − 2 ζ ∂z 2G ∂ρ∂z 2G ∂ 2 ∂2 σ ρ = ν∇ − 2 ζ ∂ρ ∂z
半空间体，体力不计， 坐标系如图。通过量纲分 析，位移函数应是F乘以R、 z、ρ等长度坐标的正一次 幂，试算后，取设位移函 数为
化简后得到
∂σ ρ
τ ρz + + + Fb z = 0 ∂z ∂ρ ρ
∂τ ρz
第二节 空间轴对称问题 这样，空间轴对称问题的平 迭加得到几何方程 衡方程为 ∂σ ρ ∂τ zρ σ ρ − σ ϕ ∂u u + + + Fb ρ = 0 ε ρ = , εϕ = ρ ∂ρ ∂z ∂ρ ρ ∂σ z ∂τ ρz τ ρz ∂u ∂w ∂w + + + Fb z = 0 + , γ zρ = εz = ∂z ∂ρ ρ ∂z ∂ρ ∂z 由于对称，各点环向位移为零， 这里的物理方程是 由径向位移产生的应变为 1 ∂u u ∂u ε ρ = [σ ρ −ν (σ φ + σ z )] ερ = , ε ϕ = , γ zρ = E ∂ρ ρ ∂z 1 ε ϕ = [σ ϕ −ν (σ z + σ ρ )] E 由轴向位移w产生的应变为
李同林 弹塑性力学 第八章 空间轴对称问题
并采用拉普拉斯算符：
可得下列用位移表示的平衡微分方程，也称拉梅位移方程：
可缩记为：
G u jji Guijj Fi 0
可改写为：
187
缩记为：
G i G2ui Fi 0 1 2
2．位移解法的张量推导：
若以位移为基本未知量，必须将泛定方程改用位移 ui 来表示。现在来进行 推导： 将式几何方程（4—2）代入本构方程（4—6）得：
192
（6）
uv0
(1 )(1 2 ) p 2 2 w q ( h z ) 2 (h z ) (1 ) E
（8—7）
显然最大位移发生在边界上，由式（8—7）可知：
wmax ( w) z 0 (1 )(1 2 ) 1 2 qh ph (1 ) E 2
一、 位移法： 1．位移解法的一般推导：
为用位移作为基本未知量，必须将泛定方程改用位移 u、v 和 w 来表示。
186
为此，由本构方程，再利用几何方程可得：
再代入平衡微分方程得： 注意到：
x y z ，则：
2u 2v 2 w x x 2 xy xz
问题的特点假设一部分应力或位移为已知，然后在基本方程和边界条件中，求 解另一部分，这样便得到了全部未知量。在具体计算中对于简单问题经常先利 用材料力学中对同类型问题的初等解作为近似解，建立应力（或位移）函数再 代入弹性力学的基本方程中逐步修正得到精确解。
（3）迭代法：在塑性力学中使用全量理论并按位移求解问题时，还经常
F i (e ij 2Gij )l j e ijl j G(uij u ji )l j
弹性力学第四章 (5)轴对称问题
A 2 BC (1 2 ln ) 2C A 2 B (3 2 ln ) 2C 0
（4—11）
三、位移分量：
（4-11） 代 （4-3） 代 （4-2）
1 1 A ( ) (1 ) 2 B[(1 3 ) E E
1 1 A ( ) (1 ) 2 B[(3 ) 2(1 ) ln ] E E
2(1 ) ln ] 2(1 )C
2(1 )C
令 e
t
则 由几何方程得：
ln t d et dt
d 2 f ( ) f ( ) 0 2 d
将(g) 带入 (b): 1 A u [(1 ) 2(1 ) B (ln 1) (1 3 ) B E
2(1 ) B 2(1 )C ]
I cos K sin
2
2
二、轴对称问题应力分量： 1、解出方程 （A）,求
4 3 2 d d d d 3 2 （A）式写为： 4 2 0 4 3 2 d d d d
方程为 （欧拉型 ）四阶.变系数.齐次.线性.常微分方程：
引入代换：
e (t ln ) （a）
ln d te dt
t
分步积分
te e (ln 1)
t t
u
1 E
A ( 1 ) B [( 1 3 ) 2 ( 1 ) ln ] 2 ( 1 ) C 2
1 2 2 0
（4—11）
三、位移分量：
（4-11） 代 （4-3） 代 （4-2）
1 1 A ( ) (1 ) 2 B[(1 3 ) E E
1 1 A ( ) (1 ) 2 B[(3 ) 2(1 ) ln ] E E
2(1 ) ln ] 2(1 )C
2(1 )C
令 e
t
则 由几何方程得：
ln t d et dt
d 2 f ( ) f ( ) 0 2 d
将(g) 带入 (b): 1 A u [(1 ) 2(1 ) B (ln 1) (1 3 ) B E
2(1 ) B 2(1 )C ]
I cos K sin
2
2
二、轴对称问题应力分量： 1、解出方程 （A）,求
4 3 2 d d d d 3 2 （A）式写为： 4 2 0 4 3 2 d d d d
方程为 （欧拉型 ）四阶.变系数.齐次.线性.常微分方程：
引入代换：
e (t ln ) （a）
ln d te dt
t
分步积分
te e (ln 1)
t t
u
1 E
A ( 1 ) B [( 1 3 ) 2 ( 1 ) ln ] 2 ( 1 ) C 2
1 2 2 0
第10章弹性力学空间问题
第10章弹性⼒学空间问题第⼗章弹性⼒学空间问题知识点空间柱坐标系空间轴对称问题的基本⽅程空间球对称问题的基本⽅程布西内斯科解分布载荷作⽤区域外的沉陷弹性球体变形分析热应⼒的弹性⼒学分析⽅法坝体热应⼒质点的运动速度与瞬时应⼒膨胀波与畸变波柱坐标基本⽅程球坐标的基本⽅程位移表⽰的平衡微分⽅程乐普位移函数载荷作⽤区域内的沉陷球体接触压⼒分析受热厚壁管道弹性应⼒波及波动⽅程应⼒波的相向运动⼀、内容介绍对于弹性⼒学空间问题以及⼀些专门问题，其求解是相当复杂的。
本章的主要任务是介绍弹性⼒学的⼀些专题问题。
通过学习，⼀⽅⾯探讨弹性⼒学空间问题求解的⽅法，这对于引导⼤家今后解决某些复杂的空间问题，将会有所帮助。
另⼀⽅⾯，介绍的弹性⼒学专题均为⽬前⼯程上普遍应⽤的⼀些基本问题，这些专题的讨论有助于其它课程基本问题的学习，例如⼟建⼯程的地基基础沉陷、机械⼯程的齿轮接触应⼒等。
本章⾸先介绍空间极坐标和球坐标问题的基本⽅程。
然后讨论布希涅斯克问题，就是半⽆限空间作⽤集中⼒的应⼒和沉陷。
通过布希涅斯克问题的求解，进⼀步推导半⽆限空间作⽤均匀分布⼒的应⼒和沉陷、以及弹性接触问题。
另⼀⽅⾯，本章将介绍弹性波、热应⼒等问题的基本概念。
⼆、重点1、空间极坐标和球坐标问题；2、布希涅斯克问题；3、半⽆限空间作⽤均匀分布⼒的应⼒和沉陷；弹性接触问题；4、弹性波；5、热应⼒。
§10.1 柱坐标表⽰的弹性⼒学基本⽅程学习思路:对于弹性⼒学问题，坐标系的选择本⾝与问题的求解⽆关。
但是，对于某些问题，特别是空间问题，不同的坐标系对于问题的基本⽅程、特别是边界条件的描述关系密切。
某些坐标系可以使得⼀些特殊问题的边界条件描述简化。
因此，坐标系的选取直接影响问题求解的难易程度。
例如对于弹性⼒学的轴对称或者球对称问题，如果应⽤直⾓坐标问题可能得不到解答，⽽分别采⽤柱坐标和球坐标求解将更为⽅便。
本节讨论有关空间柱坐标形式的基本⽅程。
特别是关于空间轴对称问题的基本⽅程。
第七章 空间问题和空间轴对称问题
A1ci ci A1ci A2bi A2 di 0
A1di A1di di 0 A2ci A2bi
( i, j, m, p )
A1
1
(1 2 ) A2 2 1
E 1 A3 36 1 1 2
同样，可以得到
v Ni vi N j v j N mvm N p v p w Ni wi N j w j N m wm N p wp
单元内任一点的位移可以写成如下形式：
Ni f 0 0 0 Ni 0 0 0 Ni Nj 0 0 0 Nj 0 0 0 Nj Nm 0 0 0 Nm 0 0 0 Nm Np 0 0 0 Np 0 0 e 0 Np
Ryp y p Rzp Rxp
R
e
x z R zi i
Ryi Rxi Ryj Rzj j R xj Rzm
Rym m Rxm
第七章 空间问题和空间轴对称问题
单元刚度矩阵和整体刚度矩阵
根据虚功原理可得
R dxdydz
* eT e * T
f N
第七章 空间问题和空间轴对称问题
§ 7-1 弹性力学空间问题的基本方程
7-1-1 弹性力学空间问题的应力
用一个单元体表示空间任一点的应力,写成矩阵形式
x y z xy yz zx
第七章 空间问题和空间轴对称问题
7-2-3 四面体单元的应力
D D B
e
S Si
e
S j
Sm
S p
相关主题