中点弦问题(基础知识)

圆锥曲线的中点弦问题
一：圆锥曲线的中点弦问题：
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
①在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；
②在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；
③在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。

注意：因为Δ＞0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验Δ＞0！
1、以定点为中点的弦所在直线的方程
例1、过椭圆14
162
2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。

例2、已知双曲线12
2
2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。

若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。

策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。

本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。

2、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2
1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。

例4、已知椭圆125
752
2=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。

3、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为
2
1，求椭圆的方程。

∴所求椭圆的方程是125
752
2=+x y 4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
例6、已知椭圆13
42
2=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。

五、注意的问题
（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。

利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。

答案：1.解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B
)1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y
又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642
222=+y x
两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x
于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴
2
1244)(421212121-=⨯-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2
11--=-x y ，即042=-+y x 。

2.解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B
则221=+x x ，221=+y y 122121=-y x ，122
222=-y x 两式相减，得
0))((2
1))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121
=--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由⎪⎩
⎪⎨⎧=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2<-=⨯⨯--=∆
这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。

评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。

由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。

（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2） 若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。

3.解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则2
10=x 12021==+x x x ， 0212y y y =+
又 125752121=+x y ，125
752
222=+x y 两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y
即0)(3)(221210=-+-x x y y y ∴0212123y x x y y -=-- 32121=--=
x x y y k ∴ 3230=-y ，即2
10-=y ∴点M 的坐标为)2
1,21(-。

4.解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(y x M ，则
x x x 221=+， y y y 221=+ 又 125752121=+x y ，125
752
222=+x y 两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y
即0)(3)(2121=-+-x x x y y y ，即y
x x x y y 32121-=-- 32121=--=x x y y k ∴33=-y
x ，即0=+y x 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+125
75022x y y x ，得)235,235(-P )235,235(-Q 点M 在椭圆内
∴它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为)2
35235(0<<-=+x y x 5.解：设椭圆的方程为122
22=+b
x a y ，则5022=-b a ┅┅① 设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则
210=x ，2
12300-=-=x y ∴12021==+x x x ，12021-==+y y y 又1221221=+b x a y ，1222222=+b
x a y 两式相减得0))(())((2121221212=-++-+x x x x a y y y y b
即0)()(212
212=-+--x x a y y b ∴ 22
2121b
a x x y y =-- ∴ 322=
b a ┅┅② 联立①②解得752=a ，252
=b
6.解：设),(111y x P ，),(222y x P 为椭圆上关于直线m x y +=4的对称两点，),(y x P 为弦21P P 的中
点，则12432121=+y x ，12432222=+y x
两式相减得，0)(4)(322212221=-+-y y x x
即0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x x x x 221=+，y y y 221=+，4
12121-=--x x y y ∴x y 3= 这就是弦21P P 中点P 轨迹方程。

它与直线m x y +=4的交点必须在椭圆内
联立⎩⎨⎧+==m x y x y 43，得⎩⎨⎧-=-=m
y m x 3 则必须满足22433x y -<， 即224
33)3(m m -<，解得1313213132<<-m。