过一点求曲线的切线方程的三种类型知识分享
求切线方程的三种方法
求切线方程的三种方法宝子们，今天咱们来唠唠求切线方程的那些事儿。
这切线方程啊，就像是给曲线找到一个最亲密接触的直线小伙伴，可有意思啦。
一、利用导数求切线方程。
咱先说说这个用导数的方法。
导数这玩意儿啊，其实就是曲线在某一点的斜率。
比如说有个函数y = f(x)，咱们先求出它的导数f'(x)。
那在某一点x = a处的切线斜率k呢，就等于f'(a)。
这时候啊，我们已经知道了斜率，再知道这个点(a, f(a))在切线上，就可以用点斜式y - y₁ = k(x - x₁)来求出切线方程啦。
就像你知道一个朋友的走路速度（斜率），又知道他从哪个地方（点）出发，就能算出他走的路线（切线方程）啦。
二、设切点法。
再来说说设切点法。
有时候啊，题目没有直接告诉你切点是啥。
这时候咱就可以聪明点，设切点为(x₀, y₀)。
那这个点既在曲线上又在切线上哦。
如果曲线方程是y = f(x)，那y₀ = f(x₀)。
然后呢，求出函数在x₀处的导数f'(x₀)，这就是切线的斜率啦。
再根据点斜式写出切线方程y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀)。
这就像是在玩一个猜谜游戏，我们先假设一个神秘的点（切点），然后通过各种线索（曲线方程和导数）来找出这个切线方程这个宝藏呢。
三、利用已知切线方程的形式来求。
还有一种方法呢，就是利用已知切线方程的形式。
比如说对于圆的方程(x - a)²+(y - b)² = r²，在点(x₁, y₁)处的切线方程是(x₁ - a)(x - a)+(y₁ - b)(y - b)= r²。
对于椭圆、双曲线等一些特殊的曲线也有类似的固定形式的切线方程哦。
这就像是有个小秘籍一样，直接套用这个形式就能求出切线方程啦。
就好比你有一把万能钥匙，遇到特定的锁（特殊曲线在某点的切线），直接一插就能打开（求出切线方程）啦。
宝子们，这三种求切线方程的方法是不是很有趣呀？只要多练练，你就能在求切线方程这个小天地里畅游无阻啦。
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
空间曲线在一点处的切线方程可以通过以下步骤求得：
1. 求出曲线在该点处的切向量，假设曲线的参数方程为
$r(t)=(x(t), y(t), z(t))$，则曲线在该点处的切向量为
$r'(t_0)=(x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0))$，其中 $t_0$ 是曲线参数在该点处的取值。
2. 将切向量除以它的长度 $|r'(t_0)|$，得到单位切向量
$T=\frac{r'(t_0)}{|r'(t_0)|}$。
3. 曲线在该点处的切线方程为 $r(t_0)+sT$，其中 $s$ 是实数。
空间曲线在一点处的法平面方程可以通过以下步骤求得：
1. 求出曲线在该点处的切向量，根据上面的求法，可以得到单位切向量 $T=\frac{r'(t_0)}{|r'(t_0)|}$。
2. 求出曲线在该点处的法向量，假设曲线的参数方程为
$r(t)=(x(t),y(t),z(t))$，则法向量为
$N=\frac{d^2r}{dt^2}|_{t=t_0}\times T$，其中 $\times$ 表示向量的叉积运算符。
3. 法平面方程为 $N\cdot(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)$，其中
$(x_0,y_0,z_0)$ 是曲线在该点处的一个点。
过一点求曲线的切线方程的三种类型
过一点求曲线的切线方程的三种类型舒云水过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明﹒1.已知曲线)(x f y =上一点))(,(00x f x P ，求曲线在该点处的切线方程﹒这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型﹒其求法为：先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率，后写出切线方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，并化简﹒例1 求曲线33)(23+-=x x x f 在点)1,1(P 处的切线方程﹒解：由题设知点P 在曲线上，∵x x y 632-='，∴曲线在点)1,1(P 处的切线斜率为3)1(-='f ，所求的切线方程为)1(31--=-x y ，即43+-=x y ﹒2. 已知曲线)(x f y =上一点))(,(11x f x A ，求过点A 的曲线的切线方程﹒这种类型容易出错，一般学生误认为点A 一定为切点，事实上可能存在过点A 而点A 不是切点的切线，如下面例2，这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为))(,(00x f x P ，先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率（用0x 表示），写出切线方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，再将点A 坐标),(11y x 代入切线方程得)(01x f y -=)(0x f ')(01x x -，求出0x ，最后将0x 代入方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -求出切线方程﹒例2 求过曲线x x y 23-=上的点)1,1(-的切线方程﹒解：设切点为点)2,(0300x x x -，232-='x y ，切线斜率为2320-x ， 切线方程为))(23()2(020030x x x x x y --=--﹒又知切线过点)1,1(-，把它代入上述方程，得)1)(23()2(100030x x x x --=---﹒解得10=x ，或210-=x ﹒所求切线方程为)1)(23()21(--=--x y ，或)21)(243()181(+-=+--x y ，即02=--y x ，或0145=-+y x ﹒上面所求出的两条直线中，直线02=--y x 是以)1,1(-为切点的切线，而切线0145=-+y x 并不以)1,1(-为切点，实际上它是经过了点)1,1(-且以)87,21(-为切点的直线，如下图所示﹒这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点﹒3. 已知曲线)(x f y =外一点))(,(11x f x A ，求过点A 作的曲线的切线方程﹒这种类型的题目的解法同上面第二种类型﹒例 3 过原点O 作曲线6324+-=x x y 的切线，求切线方程﹒（2009年全国卷Ⅰ文21题改编 ）解：由题设知原点O 不在曲线上，设切点坐标为P )63,(20400+-x x x ， x x y 643-='，切线斜率为（03064x x -），切线方程为：))(64()63(00302040x x x x x x y --=+--﹒ 又知切线过点)0,0(，把它代入上述方程，得))(64()63(000302040x x x x x --=+--﹒ 整理得：0)2)(1(2020=-+x x ﹒ 解得20-=x ，或20=x ﹒ 所求切线方程为：x y 22-=或x y 22=﹒练习：1.求曲线14)(23+-=x x x f 在点)2,1(-P 处的切线方程﹒2. 求过曲线34313+=x y 上的点)4,2(的切线方程﹒3.过点)2,0(作抛物线12++-=x x y 的切线，求切线方程﹒ 答案：1.035=-+y x ；2.044=--y x 或02=+-y x ；3.023=+-y x 或02=--y x ﹒。
求曲线在某点的切线方程方法
求曲线在某点的切线方程方法引言在数学和物理学中，研究曲线的切线是很常见的问题。
切线可以帮助我们了解曲线的局部特征和性质，它在微积分、力学和工程学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍一些常见的方法来求解曲线在某点的切线方程。
切线的定义在数学中，曲线上某点的切线可以被定义为通过该点并且与曲线在该点附近重合的直线。
切线的斜率即为曲线在该点的导数。
方法一：求导法一种常见的方法是使用导数来求解曲线在某点的切线方程。
设曲线的方程为y=f(x)，我们要求解曲线在点(x0,y0)处的切线方程。
1.首先求曲线的导数f'(x)。
2.将点(x0,y0)带入导数函数，求出导数的值f'(x0)。
3.使用切线方程的一般形式y-y0=f'(x0)(x-x0)，将(x0,y0)和f'(x0)代入，得到切线方程。
方法二：斜率和点法另一种常用的方法是使用斜率和已知点来求解切线方程。
同样假设曲线的方程为y=f(x)，我们要求解曲线在点(x0,y0)处的切线方程。
1.计算曲线在点(x0,y0)处的斜率，即f'(x0)。
2.使用点斜式切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0)，将(x0,y0)和f'(x0)代入，得到切线方程。
方法三：曲线近似法第三种方法是使用曲线的近似来求解切线方程。
此方法适用于那些难以计算导数的曲线。
1.在点(x0,y0)处取曲线的一个非常小的线段，该线段基本上与切线重合。
2.使用线性函数来拟合这个线段，得到近似切线方程。
方法四：参数法对于参数方程表示的曲线，我们可以使用参数法来求解切线方程。
假设曲线的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，我们要求解曲线在参数值t0处的切线方程。
1.计算参数值t0对应的点的坐标(x0,y0)。
2.求解参数方程的导数dx/d t和dy/dt。
3.使用点斜式切线方程y-y0=(dy/d t)/(dx/d t)(x-x0)，将(x0,y0)、dx/d t和d y/dt代入，得到切线方程。
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程空间曲线是三维空间中的一条曲线，它可以由参数方程或者一般方程表示。
在某一点处，我们可以求出该点处的切线方程和法平面方程。
我们来看一下切线方程的求解。
对于空间曲线来说，切线方程可以通过求曲线在该点处的切向量来获得。
切向量是曲线上一点的切线方向的向量表示。
设空间曲线的参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z分别是曲线上一点的坐标，而f(t)、g(t)、h(t)是曲线的参数方程。
现在我们要求曲线在某一点P(t0)处的切向量。
我们可以求出曲线在点P(t0)处的切线方向的向量表示：r'(t0) = (f'(t0), g'(t0), h'(t0))其中，f'(t0)、g'(t0)、h'(t0)分别是f(t)、g(t)、h(t)对t求导后在t0处的值。
然后，我们可以得到曲线在点P(t0)处的切线方程的向量表示：r(t) = (x, y, z) = (f(t), g(t), h(t))切线方程的向量表示为：r(t) = r(t0) + (t - t0) * r'(t0)切线方程的参数方程为：x = f(t0) + (t - t0) * f'(t0)y = g(t0) + (t - t0) * g'(t0)z = h(t0) + (t - t0) * h'(t0)这就是空间曲线在一点处的切线方程。
接下来，我们来看一下法平面方程的求解。
对于空间曲线来说，法平面是垂直于曲线切线的平面。
设曲线在点P(t0)处的切线方程为：x = f(t0) + (t - t0) * f'(t0)y = g(t0) + (t - t0) * g'(t0)z = h(t0) + (t - t0) * h'(t0)其中，f(t0)、g(t0)、h(t0)是曲线在点P(t0)处的坐标，f'(t0)、g'(t0)、h'(t0)是曲线在点P(t0)处的切向量。
(完整版)函数图像的切线问题
函数图像的切线问题要点梳理归纳1.求曲线y ＝f(x)的切线方程的三种类型及其方法(1)已知切点P(x 0，f(x 0))，求y ＝f(x)在点P 处的切线方程：切线方程为 y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0). (2)已知切线的斜率为k ，求y ＝f(x)的切线方程：设切点为P(x 0，y 0)，通过方程k ＝f′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点)A(s,t)，求y ＝f(x)的切线方程：设切点为P(x 0，y 0)，利用导数将切线方程表示为y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0)，再将A(s,t)代入求出x 0.2．两个函数图像的公切线函数y=f(x)与函数y=g(x) 存在公切线，若切点为同一点P(x 0，y 0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x 0)＝g ′(x 0)，f (x 0)＝g (x 0).若切点分别为(x 1,f(x 1)),(x 2,g(x 2)),则有212121)()()()(x x x g x f x g x f --='='.题型分类解析题型一 已知切线经过的点求切线方程例1.求过点(2,2)P 与已知曲线3:3S y x x =-相切的切线方程. 解：点P 不在曲线S 上.设切点的坐标()00,x y ，则30003y x x =-，函数的导数为2'33y x =-，切线的斜率为020'33x x k y x ===-，2000(33)()y y x x x ∴-=--切线方程为，Q 点(2,2)P 在切线上，20002(33)(2)y x x ∴-=--，又30003y x x =-，二者联立可得001,1x x ==或相应的斜率为0k =或9k =-±∴切线方程为2y =或(9(2)2y x =-±-+.例 2. 设函数()()2f x g x x =+，曲线()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为________解析：由切线过()()1,1g 可得：()13g =，所以()()21114f g =+=，另一方面，()'12g =，且()()''2f x g x x =+，所以()()''1124f g =+=，从而切线方程为：()4414y x y x -=-⇒=例3. 已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点(1,3)，则b 的值为_________ 解析：代入(1,3)可得：2k =，()'23f x x a =+，所以有()()'113132f a b f a =++=⎧⎪⎨=+=⎪⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩题型二 已知切线方程（或斜率），求切点坐标（或方程、参数）例4.已知函数()ln 2f x x x =+，则：（1）在曲线()f x 上是否存在一点，在该点处的切线与直线420x y --=平行 （2）在曲线()f x 上是否存在一点，在该点处的切线与直线30x y --=垂直 解：设切点坐标为()00,x y ()'0012fx x ∴=+ 由切线与420x y --=平行可得： ()'00011242f x x x =+=⇒= 011ln 122y f ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭∴切线方程为：11ln 244ln 212y x y x ⎛⎫-+=-⇒=-- ⎪⎝⎭（2）设切点坐标()00,x y ()'0012fx x ∴=+，直线30x y --=的斜率为1 ()'00011213f x x x ∴=+=-⇒=- 而()00,x ∈+∞ 013x ∴=-不在定义域中，舍去∴不存在一点，使得该点处的切线与直线30x y --=垂直例5.函数()2ln f x a x bx =-上一点()()2,2P f 处的切线方程为32ln22y x =-++，求,a b 的值思路：本题中求,a b 的值，考虑寻找两个等量条件进行求解，P 在直线32ln22y x =-++上，322ln222ln24y ∴=-⋅++=-，即()2=2ln24f -，得到,a b 的一个等量关系，在从切线斜率中得到2x =的导数值，进而得到,a b 的另一个等量关系，从而求出,a b 解：P Q 在32ln22y x =-++上，()2322ln222ln24f ∴=-⋅++=-()2ln242ln24f a b ∴=-=-又因为P 处的切线斜率为3- ()'2afx bx x=- ()'2432a f b ∴=-=-, ln 242ln 2421432a b a a b b -=-⎧=⎧⎪∴⇒⎨⎨=-=-⎩⎪⎩例6.设函数()()32910f x x ax x a =---<，若曲线()y f x =的斜率最小的切线与直线126x y +=平行，求a 的值思路：切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为12-，进而可得导函数的最小值为12-，便可求出a 的值解：()2'2222221111329393939333f x x ax x a a a x a a ⎛⎫⎛⎫=--=-+--=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()'2min 11933f x f a a ⎛⎫∴==-- ⎪⎝⎭Q 直线126x y +=的斜率为12-，依题意可得：2191233a a --=-⇒=± 0a <Q 3a ∴=- 题型三 公切线问题例7.若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切,则a 等于( ) A.1-或2564-B. 1-或214C. 74-或2564-D. 74-或7 思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线21594y ax x =+-含有参数，所以考虑先从常系数的曲线3y x =入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线21594y ax x =+-求出a 的值.设过()1,0的直线与曲线3y x =切于点()300,x x ,切线方程为()320003y x x x x -=-，即230032y x x x =-，因为()1,0在切线上，所以解得：00x =或032x =，即切点坐标为()0,0或327,28⎛⎫⎪⎝⎭.当切点()0,0时，由0y =与21594y ax x =+-相切可得()21525490464a a ⎛⎫∆=--=⇒=- ⎪⎝⎭，同理，切点为327,28⎛⎫ ⎪⎝⎭解得1a =-答案：A小炼有话说：（1）涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是链接多个函数的桥梁.所以可以考虑先从常系数的函数入手，将切线求出来，再考虑切线与其他函数的关系 （2）在利用切线与21594y ax x =+-求a 的过程中，由于曲线21594y ax x =+-为抛物线，所以并没有利用导数的手段处理，而是使用解析几何的方法，切线即联立方程后的0∆=来求解，减少了运算量.通过例7，例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面，求有关导数的问题时可以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切线问题时，若曲线可写成函数的形式，那么也可以用导数来进行处理，（尤其是抛物线）例8.若曲线21x y C =：与曲线xae y C =：2存在公切线，则a 的最值情况为（ ） A ．最大值为28e B ．最大值为24e C ．最小值为28e D ．最小值为24e 解析：设公切线与曲线1C 切于点()211,x x ，与曲线2C 切于点()22,x x ae ，由''2xy xy ae ⎧=⎪⎨=⎪⎩可得：22211212x x ae x x ae x x -==-，所以有221111221122222x x x x x x x x x ae ⎧-=⇒=-⎪-⎨⎪=⎩，所以2244x ae x =-，即()2241x x a e -=，设()()41xx f x e -=，则()()'42xx fx e -=.可知()f x 在()1,2单调递增，在()2,+∞单调递减，所以()max 242a f e==例10.曲线xy e =在点()22,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A.2eB. 22e C. 24eD.22e思路：()'x f x e = 由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出切线方程 ()'22f e ∴=所以切线方程为：()222y e e x -=-即220e x y e --=，与两坐标轴的交点坐标为()()21,00,e - 221122e S e ∴=⨯⨯=例11.一点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )． A.0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭U C.3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来.'231y x =-，对于曲线上任意一点P ，斜率的范围即为导函数的值域：[)'2=311,y x -∈-+∞，所以倾斜角的范围是30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭U .答案：B 例12.已知函数()323f x x x =-，若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围思路：由于并不知道3条切线中是否存在以P 为切点的切线，所以考虑先设切点()00,x y ，切线斜率为k ，则满足()3000'2002363y x x k f x x ⎧=-⎪⎨==-⎪⎩，所以切线方程为()00y y k x x -=-，即()()()3200002363y x x x x x --=--，代入()1,P t 化简可得：3200463t x x =-+-，所以若存在3条切线，则等价于方程3200463t x x =-+-有三个解，即y t =与()32463g x x x =-+-有三个不同交点，数形结合即可解决解：设切点坐标()00,x y ，切线斜率为k ，则有：()3000'2002363y x x k f x x ⎧=-⎪⎨==-⎪⎩∴ 切线方程为：()()()3200002363y x x x x x --=-- 因为切线过()1,P t ，所以将()1,P t 代入直线方程可得：()()()32000023631t x x x x --=-- ()()()23000063123t x x x x ⇒=--+-233320000000636323463x x x x x x x =--++-=-+-所以问题等价于方程3200463t x x =-+-，令()32463g x x x =-+-即直线y t =与()32463g x x x =-+-有三个不同交点()()'21212121g x x x x x =-+=--令()'0g x >解得01x << 所以()g x 在()(),0,1,-∞+∞单调递减，在()0,1单调递增()()()()11,03g x g g x g ==-==-极大值极小值所以若有三个交点，则()3,1t ∈--所以当()3,1t ∈--时，过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切例13. 已知曲线C:x 2=y ，P 为曲线C 上横坐标为1的点，过P 作斜率为k(k ≠0)的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于M ，过点Q 且与PQ 垂直的直线与C 交于另一点N ，问是否存在实数k ，使得直线MN 与曲线C 相切？若存在，求出K 的值，若不存在，说明理由.思路：本题描述的过程较多，可以一步步的拆解分析.点()1,1P ，则可求出:1PQ y kx k =-+，从而与抛物线方程联立可解得()()21,1Q k k --，以及M 点坐标，从而可写出QN 的方程，再与抛物线联立得到N 点坐标.如果从,M N 坐标入手得到MN 方程，再根据相切()0∆=求k ，方法可以但计算量较大.此时可以着眼于N 为切点，考虑抛物线2x y =本身也可视为函数2y x =，从而可以N 为入手点先求出切线，再利用切线过M 代入M 点坐标求k ，计算量会相对小些. 解：由P 在抛物线上，且P 的横坐标为1可解得()1,1P∴设():11PQ y k x -=-化简可得：1y kx k =-+ 1,0k M k -⎛⎫∴ ⎪⎝⎭21y x y kx k ⎧=∴⎨=-+⎩ 消去y ：210x kx k -+-= 121,1x x k ∴==- ()()21,1Q k k ∴--设直线()()21:11QN y k x k k --=---⎡⎤⎣⎦即()()2111y k x k k =----⎡⎤⎣⎦ ∴ 联立方程：()()22111y x y k x k k ⎧=⎪⎨=----⎡⎤⎪⎣⎦⎩()211110x x k k k k ⎛⎫∴+---+= ⎪⎝⎭ ()11111Q N N x x k k x k k k ⎛⎫⎛⎫∴⋅=---+⇒=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2111,1N k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴--+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由2y x =可得：'2y x =∴切线MN 的斜率'1|21N MN x x k y k k =⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭2111:1211MN y k k x k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴--+=--++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦代入1,0k M k -⎛⎫⎪⎝⎭得： 2111112111k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=--+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦211210k k k k k∴-+=⇒+-=,12k -±∴=小炼有话说：（1）如果曲线的方程可以视为一个函数（比如开口向上或向下的抛物线，椭圆双曲线的一部分），则处理切线问题时可以考虑使用导数的方法，在计算量上有时要比联立方程计算0∆=简便（2）本题在求N 点坐标时，并没有对方程进行因式分解，而是利用韦达定理，已知Q 的横坐标求出N 的横坐标.这种利用韦达定理求点坐标的方法在解析几何中常解决已知一交点求另一交点的问题.例14.设函数f(x)＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g(x)＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；(2)若方程f(x)＋g(x)＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1<x 2，且对任意的x ∈[x 1，x 2]，f(x)＋g(x)<m(x －1)恒成立，求实数m 的取值范围.【解答】 (1)f′(x)＝3x 2＋4ax ＋b ，g′(x)＝2x －3. 由于曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线， 故有f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1.由此得⎩⎪⎨⎪⎧8＋8a ＋2b ＋a ＝0，12＋8a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5.所以a ＝－2，b ＝5，切线l 的方程为x －y －2＝0. (2)由(1)得f(x)＝x 3－4x 2＋5x －2， 所以f(x)＋g(x)＝x 3－3x 2＋2x.依题意，方程x(x 2－3x ＋2－m)＝0有三个互不相同的实根0、x 1、x 2， 故x 1、x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两相异的实根． 所以Δ＝9－4(2－m)>0，即m>－14.又对任意的x ∈[x 1，x 2]，f(x)＋g(x)<m(x －1)恒成立． 特别地，取x ＝x 1时，f(x 1)＋g(x 1)－mx 1<－m 成立，得m<0. 由韦达定理，可得x 1＋x 2＝3>0，x 1x 2＝2－m>0，故0<x 1<x 2. 对任意的x ∈[x 1，x 2]，有x －x 2≤0，x －x 1≥0，x>0，则f(x)＋g(x)－mx ＝x(x －x 1)(x －x 2)≤0，又f(x 1)＋g(x 1)－mx 1＝0，所以函数f(x)＋g(x)－mx 在x ∈[x 1，x 2]的最大值为0. 于是当－14<m<0时，对任意的x ∈[x 1，x 2]，f(x)＋g(x)<m(x －1)恒成立． 综上，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0. 例15.如图3－1，有一正方形钢板AB CD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC 是以直线AD 为对称轴，以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF ，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．解法一：以O 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意，可设抛物线弧OC 的方程为y ＝ax 2(0≤x ≤2)，∵点C 的坐标为(2,1)，∴22a ＝1，a ＝14， 故边缘线OC 的方程为y ＝14x 2(0≤x ≤2)， 要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，14t 2(0<t <2)， ∵y ′＝12x ，∴直线EF 的方程可表示为y －14t 2＝t 2(x －t )， 即y ＝12tx －14t 2.由此可求得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，t －14t 2，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－14t 2.∴|AF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14t 2－－1＝1－14t 2， |BE |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －14t 2－－1＝－14t 2＋t ＋1. 设梯形ABEF 的面积为S (t )，则S (t )＝－12(t －1)2＋52≤52，∴当t ＝1时，S (t )＝52， 故S (t )的最大值为2.5，此时|AF |＝0.75，|BE |＝1.75.答：当AF ＝0.75 m ，BE ＝1.75 m 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5 m 2.解法二：以A 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线的方程为y ＝ax 2＋1(0≤x ≤2)．∵点C 的坐标为(2,2)，∴22a ＋1＝2，a ＝14， 故边缘线OC 的方程为y ＝14x 2＋1(0≤x ≤2)． 要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，14t 2＋1(0<t <2)， ∵y ′＝12x ，∴直线EF 的方程可表示为y －14t 2－1＝12t (x －t )， 即y ＝12tx －14t 2＋1，由此可求得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，t －14t 2＋1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14t 2＋1. ∴|AF |＝1－14t 2，|BE |＝－14t 2＋t ＋1， 设梯形ABEF 的面积为S (t )，则S (t )＝12|AB |·(|AF |＋|BE |) ＝1－14t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－14t 2＋t ＋1＝－12t 2＋t ＋2 ＝－12(t －1)2＋52≤52. ∴当t ＝1时，S (t )＝52， 故S (t )的最大值为2.5.此时|AF |＝0.75，|BE |＝1.75.答：当AF ＝0.75 m ，BE ＝1.75 m 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5 m 2.【点评】 与切线有关的多边形的最值问题，首先应该面积建立关于动点P 的函数，再选择相关的方法求解所得函数的最值，复杂函数可以用求导进行研究．。
导数法求曲线切线方程的三种题型
导数法求曲线切线方程的三种题型本文将介绍导数法求解曲线切线方程的三种常见题型。
导数法是解决曲线切线问题的一种常用方法，能够快速而准确地求得曲线上某点的切线方程。
1. 已知函数解析式的题型对于已知函数解析式的题型，我们可以通过求导来获得函数的导函数，然后根据导数的定义来求得切线的斜率。
切线的斜率可以通过导数函数在给定点处的值得到。
最后，利用给定点和切线斜率，我们可以求得切线的方程。
以 y=f(x) 为例，求曲线在点 (a, f(a)) 处的切线方程。
具体步骤如下：1. 求函数 f(x) 的导函数 f'(x)；2. 计算 f'(a)，得到切线的斜率 k；3. 利用点斜式或一般式，将点 (a, f(a)) 和斜率 k 带入，得到切线方程。
2. 已知曲线上点和斜率的题型对于已知曲线上某点和斜率的题型，我们可以通过求导函数来得到切线的斜率。
切线的斜率等于导函数在给定点处的值。
然后，利用给定点和切线斜率，我们可以求得切线的方程。
以曲线上的点 (a, f(a)) 和切线斜率 m 为例，求曲线在该点处的切线方程。
具体步骤如下：1. 求导函数 f'(x)；2. 计算 f'(a) 的值，得到切线的斜率；3. 利用点斜式或一般式，将点 (a, f(a)) 和斜率 m 带入，得到切线方程。
3. 已知两个切线相交的题型对于已知两个切线相交的题型，我们可以通过求解方程组来求得两切线的交点坐标。
首先，我们需要利用已知切线的斜率和点来得到切线的方程。
然后，将两个切线方程联立，解方程组可以得到切线的交点坐标。
以已知切线1方程和切线2方程的斜率和交点为例，求两切线的交点坐标。
具体步骤如下：1. 求切线1和切线2的方程；2. 联立两切线方程，形成方程组；3. 解方程组，得到切线的交点坐标。
使用导数法求解曲线切线方程的三种题型，能够帮助我们准确而高效地求得曲线上某点的切线方程。
这些方法在数学和物理等领域都有广泛的应用，是解决相关问题的重要工具。
专题一：用导数求切线方程的四种类
用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，与斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型与解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 1解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．练习：1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交答案 B 2.已知函数y ＝f (x )的图像如右图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定 答案 B2．曲线y ＝－2x 2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( )A ．－4B ．0C ．4D ．不存在答案 B10．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( )A ．2B ．4C ．6＋6·Δx ＋2·(Δx )2D ．6答案 D4．函数y ＝sin 2x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，14处的切线的斜率是( )A. 3B.33C.12D.32答案 D分析 将函数y ＝sin 2x 看作是由函数y ＝u 2，u ＝sin x 复合而成的．解析 ∵y ′＝2sin x cos x ， ∴y ′|x ＝π6＝2sin π6cos π6＝322．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．60°答案 B6．y ＝x 3的切线倾斜角的围为________． 答案 [0，π2)解析 k ＝y ′＝3x 2≥0.8．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，点P 处切线倾斜角为α，则角α的取值围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，56π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π答案 D解析 由y ′＝3x 2－3，易知y ′≥－3，即tan α≥－ 3. ∴0≤α<π2或23π≤α<π.14．已知曲线C ：y ＝x 3，求在曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程．解析 将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1， ∴切点P (1,1)．∵y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0x ＋Δx 3－x 3Δx＝lim Δx →03x 2Δx ＋3x Δx2＋Δx3Δx＝lim Δx →0[3x 2＋3xΔx ＋(Δx )2]＝3x 2，∴y ′|x ＝1＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.14．求曲线y ＝sin x 在点A (π6，12)处的切线方程．解析 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x . ∴y ′|x ＝π6＝cos π6＝32，k ＝32.∴切线方程为y －12＝32(x －π6)．化简得63x －12y ＋6－3π＝0. 6．曲线y ＝xx －2在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x ＋1答案 D例3 求曲线y ＝1x 2－3x 在点(4，12)处的切线方程．[思路分析] 将函数变形为y ＝(x 2－3x )－12，将其看做是由函数y ＝u －12、u ＝x 2－3x 复合而成．[解析] ∵y ＝1x 2－3x＝(x 2－3x )－12， ∴y ′＝－12(x 2－3x )－32·(x 2－3x )′＝－12(x 2－3x )－32·(2x －3)．∴曲线y ＝1x 2－3x在点(4，12)处的切线斜率为 k ＝y ′|x ＝4＝－12(42－3×4)－32·(2×4－3)＝－516.∴曲线在点(4，12)处的切线方程为y －12＝－516(x －4)，即5x ＋16y －28＝0. 探究3 此题不要将函数y ＝1x 2－3x看做是由y ＝1u ，u ＝v ，v ＝x 2－3x 三个函数复合而成的，这样求导就麻烦了．思考题 3 (1)曲线y ＝3x 2＋1在点(1,2)处的切线方程为__________________．[答案] 3x －2y ＋1＝0(2)y ＝11－x 2的水平切线方程是________．[解析] 令y ′＝0，得x ＝0，∴y ＝1.12．求曲线y ＝2x －x 3在点(－1，－1)处的切线的方程与此切线与x 轴、y 轴所围成的平面图形的面积．答案 x ＋y ＋2＝0；28．曲线y ＝e 12 x在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2答案 D解析 ∵y ′＝12·e 12 x，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝4＝12e 2.∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)．∴横纵截距分别为2，－e 2，∴S ＝e 2，应选D.11．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.答案 3解析 f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋2＝52，∴f (1)＋f ′(1)＝3.5．如图是函数f (x )与f (x )在点P 处切线的图像，则f (2)＋f ′(2)＝________.答案 98解析 由题图知，切线方程为x 4＋y4.5＝1，f (2)＝4.5·(1－24)＝94，f ′(2)＝－4.54＝－98.∴f (2)＋f ′(2)＝94－98＝98.类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --=2 解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x xy x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，应选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，应选Ｄ．练习：3．曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(1,1)，(－1，－1) C ．(2,8) D ．(－12，－18)答案 B13．若曲线y ＝2x 3上某点切线的斜率等于6，求此点的坐标． 解析 ∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →02x 0＋Δx3－2x 30Δx＝6x 20，∴6x 20＝6.∴x 0＝±1.故(1,2)，(－1，－2)为所求． 3．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12答案 A解析 y ′＝12x －31x ，由12x －3x ＝12.得x ＝3或x ＝－2.由于x >0，所以x ＝3.3．已知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)>0D ．f ′(x 0)不能确定答案 B5．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)>0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在答案 B7．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)答案 D2．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0答案 A解析 ∵l 与直线x ＋4y －8＝0垂直， ∴l 的斜率为4.∵y ′＝4x 3，∴由切线l 的斜率是4，得4x 3＝4，∴x ＝1. ∴切点坐标为(1,1)．∴切线方程为y －1＝4(x －1)， 即4x －y －3＝0.应选A.11．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，则与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程是________．答案 4x －4y －1＝0解析 k ＝4－12－－1＝1，又y ′＝2x ，令2x ＝1，得x ＝12，进而y ＝14，∴切线方程为y －14＝1·(x －12)，即4x －4y －1＝0.13．如果曲线y ＝x 2＋x －3的某一条切线与直线y ＝3x ＋4平行，求切点坐标与切线方程．答案 切点坐标为(1，－1)，切线方程为3x －y －4＝0 13．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为______________．答案 3x －y －11＝0解析 y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3≥3， 当且仅当x ＝－1时取等号，当x ＝－1，时y ＝－14. ∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.9．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b的值为________．答案 ln2－14．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－1答案 A14．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.答案 2解析 由题意得y ′＝a e ax ，y ′|x ＝0＝a e a ×0＝2，a ＝2. 10．函数f (x )＝a sin ax (a ∈R )的图像过点P (2π，0)，并且在点P 处的切线斜率为4，则f (x )的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2 D.π4答案 B解析 f ′(x )＝a 2cos ax ，∴f ′(2π)＝a 2cos2πa . 又a sin2πa ＝0，∴2πa ＝k π，k ∈Z . ∴f ′(2π)＝a 2cos k π＝4，∴a ＝±2. ∴T ＝2π|a |＝π.6．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( )A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D ．0 答案 A解析 y ′＝22x －1＝2，∴x ＝1.∴切点坐标为(1,0)．由点到直线的距离公式，得d ＝|2×1－0＋3|22＋12＝ 5. 19．曲线y ＝x (x ＋1)(2－x )有两条平行于y ＝x 的切线，则两切线之间的距离为________．答案 16272解析 y ＝x (x ＋1)(2－x )＝－x 3＋x 2＋2x ，y ′＝－3x 2＋2x ＋2，令－3x 2＋2x ＋2＝1，得x 1＝1或x 2＝－13.∴两个切点分别为(1,2)和(－13，－1427)．切线方程为x －y ＋1＝0和x －y －527＝0.∴d ＝|1＋527|2＝16227.类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．6．以下说确的是( )A ．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点B ．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处无切线D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)不一定存在答案 D例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．3解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x xy x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法． 练习：类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．4解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x xy x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得02011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=． 评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．5解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，则点M的坐标满足30003y x x =-．因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．练习：17．已知曲线方程为y ＝x 2，求过A (3,5)点且与曲线相切的直线方程．解析 解法一 设过A (3,5)与曲线y ＝x 2相切的直线方程为y －5＝k (x －3)，即y ＝kx ＋5－3k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋5－3k y ＝x 2，得x 2－kx ＋3k －5＝0.Δ＝k 2－4(3k －5)＝0，整理得(k －2)(k －10)＝0. ∴k ＝2或k ＝10. 所求的直线方程为2x －y －1＝0,10x －y －25＝0.解法二设切点P的坐标为(x0，y0)，由y＝x2，得y′＝2x.∴y′|x＝x0＝2x0.由已知kPA＝2x0，即5－y03－x0＝2x0.又y0＝2x0，代入上式整理，得x0＝1或x0＝5.18．已知曲线S：y＝3x－x3与点P(2,2)，则过点P可向S引切线，其切线条数为( )A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析显然P不在S上，设切点为(x0，y0)，由y′＝3－3x2，得y′|x＝x0＝3－3x20.切线方程为y－(3x0－x30)＝(3－3x20)(x－x0)．∵P(2,2)在切线上，∴2－(3x0－x30)＝(3－3x20)(2－x0)，即x30－3x20＋2＝0.∴(x0－1)(x20－2x0－2)＝0.由x0－1＝0，得x0＝1.由x20－2x0－2＝0，得x0＝1± 3.∵有三个切点，∴由P向S作切线可以作3条．综合练习：10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于( )A．0 B．－4C．－2 D．2答案 B解析 f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2. ∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4.12．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12答案 A解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，选A.15．(1)求过曲线y ＝e x 上点P (1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程；(2)曲线y ＝15x 5上一点M 处的切线与直线y ＝－x ＋3垂直，求此切线方程．解析 (1)∵y ′＝e x ，∴曲线在点P (1，e)处的切线斜率是y ′|x ＝1＝e. ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为k ＝－1e .∴所求直线方程为y －e ＝－1e(x －1)，(2)∵切线与y ＝－x ＋3垂直，∴切线斜率为1. 又y ′＝x 4，令x 4＝1，∴x ＝±1.∴切线方程为5x －5y －4＝0或5x －5y ＋4＝0.4．y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A.18 B.14 C.12 D ．1答案 B解析 由已知{ y ＝ax 2＋1，y ＝x 有唯一解，即x ＝ax 2＋1，ax 2－x ＋1＝0有唯一解， ∴Δ＝1－4a ＝0，∴a ＝14.15．点P 在曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上，且曲线在点P 处的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标．解析 设P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20＋1.f ′(x 0)＝lim Δx →0x 0＋Δx2＋1－x 20＋1Δx＝2x 0.所以过点P 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x ＋1－x 20.而此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切，所以切线与曲线y ＝－2x 2－1只有一个公共点． 由{ y ＝2x 0x ＋1－x 20，y ＝－2x 2－1，得即Δ＝4x 20－8(2－x 20)＝0.解得x 0＝±233，y 0＝73.所以点P 的坐标为(233，73)或(－233，73)．17．若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，求k 的值． 解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2＝k .若x 0＝0，则k ＝2.若x 0≠0，由y 0＝kx 0，得k ＝y 0x 0.∴3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0，即3x 20－6x 0＋2＝x 30－3x 20＋2x 0x 0.解之，得x 0＝32. ∴k ＝3×(32)2－6×32＋2＝－14.综上，k ＝2或k ＝－14.16．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )、g (x )的表达式．解析 ∵f (x )＝2x 3＋ax 的图像过点P (2,0)， ∴a ＝－8.∴f (x )＝2x 3－8x .∴f ′(x )＝6x 2－8. 对于g (x )＝bx 2＋c 的图像过点P (2,0)，则4b ＋c ＝0. 又g ′(x )＝2bx ，∴g ′(2)＝4b ＝f ′(2)＝16. ∴b ＝4.∴c ＝－16. ∴g (x )＝4x 2－16. 综上可知，f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16.1．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1，l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．分析 (1)求曲线在某点处的切线方程的步骤：先求曲线在这点处的导数，这点对应的导数值即为过此点切线的斜率，再用点斜式写出直线方程；(2)求面积用S ＝12a ·h 即可完成．解析 (1)因为y ′＝2x ＋1，则直线l 1的斜率k 1＝2×1＋1＝3，则直线l 1的方程为y ＝3x －3，设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (x0,y0)，因为l 1⊥l 2。
函数图像的切线问题(最新整理)
设切点为 P(x0，y0)，利用导数将切线方程表示为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再将
A(s,t)代入求出 x0. 2．两个函数图像的公切线
函数 y=f(x)与函数 y=g(x) 存在公切线，
若切点为同一点 P(x0，y0)，则有 Error!
若切点分别为(x1,f(x1)),(x2,g(x2)),则有
y
kx
与曲线
y
l8n
x
有公共点，则
k
6
的最大值为
15 5
30
20 10
.
解：根据题8意画出右图，由图可知，当直线和曲线相切时， k 取8 得最大值.
设切点坐标为 x0,
y0
，则
y0
ln
x0
，
y
'
1 x
y ' 1 ，切线方程为
x 10x0
x0
y
ln
x0
1 x0
(x
x0 ) ，原点在切线上，ln
x0
4
A. 1 或 25 64
B. 1 或 21 4
C. 7 或 25 4 64
D. 7 或 7 4
思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线 y ax2 15 x 9 含有参数，所以考虑 4
先 从 常 系 数 的 曲 线 y x3入 手 求 出 切 线 方 程 ， 再 考 虑 在 利 用 切 线 与 曲 线
1， x0
e12
斜率的最大值为
1
.
e
例 10.曲线 y ex 在点 2, e2 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A. e2
B. 2e2
C. 4e2
e2
D.
求曲线的切线方程的几种方法
2017届高三数学二轮复习——求曲线)(x f y =的切线方程的几种方法课前预习1、已知函数()ln (,)f x m x nx m n =+∈R ，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为220x y --=，则m n +=2、若x 轴是曲线3ln )(+-=kx x x f 的一条切线，则=k 3、已知曲线x y =与xy 8=的交点为P ，两曲线在点P 处的切线分别为21,l l ，则切线21,l l 与y 轴所围成的三角形的面积为4、已知函数x x f =)(，x a x ln )(g =，R a ∈.若曲线)(x f y =与曲线)(x g y =相交，且在交点处有相同的切线，则切线方程为5、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线)0(2>=x x y和)0(3>=x x y 均相切，切点分别为),(11y x A 和),(22y x B ,则=21x x 典型例题例1、已知函数x x x f 32)(3-=． （1）求)(x f 在点)1,1(-处的切线方程；（2）若过点)1(t P ，存在3条直线与曲线)(x f y=相切，求t 的取值范围．例2、已知函数为常数）b a b ax x x x f ,(25)(23+++=，其图象是曲线C ． (1)当2-=a 时，求函数)(x f 的单调递减区间； (2)已知点A 为曲线C 上的动点，在点A 处作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于另一个点B ，在点B 处作曲线C 的切线2l ，设切线21l l ，的斜率分别为21,k k ．问：是否存在常数λ，使得12k k λ=若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．例3、对于函数)(x f ，)(g x ，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数)(x f 和)(g x 在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点．设函数)0()(2≠-=a bx ax x f ，()x x ln g =．（1）当0,1=-=b a 时，判断函数)(x f 和)(g x 是否相切，并说明理由；（2）已知0>=a b a，，且函数)(x f 和)(g x 相切，求切点P 的坐标．求曲线)(x f y =的切线方程的几种方法 巩固训练1、已知)(x f 为偶函数，当0<x 时，x x x f 3)ln()(+-=，则曲线)(x f y =在点)3,1(-处的切线方程是 ．2、已知函数x x f e )(=，()n mx x g +=，设)()()(x g x f x h -=，若曲线)(x h y =在0=x 处的切线过点)0,1(，则=+n m ．3、过曲线1(0)y x x x=->上一点00(,)P x y 处的切线分别与x 轴，y 轴交于点A 、B ，O 是坐标原点，若OAB ∆的面积为13，则0x = ． 4、设函数x x ax x f cos sin )(++=．若函数)(x f 的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线)(x f y =在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ．5、曲线)0(1<-=x xy 与曲线y =ln x 公切线(切线相同)的条数为 ． 6、在平面直角坐标系xOy 中，直线b x y+=是曲线x a y ln =的切线，则当0>a 时，实数b 的最小值是 ．7、在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线C 1：y ＝ax 3＋1(a >0)与曲线C 2：x 2＋y 2＝52的一个公共点，若C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是________．8、设函数⎩⎨⎧≤-->=0.120,ln )(x x x x x f D 是由x 轴和曲线)(x f y =及该曲线在点)0,1(处的切线所围成的封闭区域，则y x z2-=的最大值为________． 9、已知函数x x f e )(=，),(1)(2R b a bx ax x g ∈++=．（1）若0≠a ，则b a ,满足什么条件时，曲线)(x f y=与)(x g y =在0=x 处总有相同的切线（2）当1=a 时，求函数)()()(x f x g x h =的单调递减区间．10、已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=.(1) 求函数)(x f 的单调区间；(2) 若函数)(x f y =的图象在点))2(,2(f 处的切线的倾斜角为45，且对于任意的[]2,1∈t ，函数)2)()(g 23m x f x x x +⋅+=（在区间)3,(t 上总不是单调函数，求实数m 的取值范围．。
曲线的切线(详解)
曲线的切线(详解)曲线的切线一、基础知识：1、切线的定义：设P是曲线上的一点，Q是曲线上与P邻近的一点。
当点Q沿着曲线无限接近点P时，如果割线PQ有一个极限位置PT，那么直线PT就叫做曲线在点P处的切线。
2、函数y=f(x)在x=x0处可导，则曲线y=f(x)在点P处的切线方程是：y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)3、关于切线的几个问题：（1）曲线的切线和曲线可以有几个交点？（答：可以有无数个交点）（2）直线y=kx+b在其上一点P处有切线吗？（答：有，切线与直线重合）二、例题选讲：例1 下列曲线在点x=0处没有切线的是（）（A）y=x3+sinx （B）y=x+cosx （C）y=xx+1 （D）y=|x|答：选D，因为它在x=0处没有导数且不符合切线定义。
问1：（B）中函数在x=0处也没有导数，它有切线吗？答：有，切线为直线x=0。
小结：f(x)在x0处可导⇒f(x)在x0处有切线，反之不成立f(x)在x0处不可导≠>f(x)在x0处没有切线。
问2：既然不能从可导不可导来判定是否存在切线，那么怎么来判定呢？答：围绕定义。
小结：要深入体会运动变化思想：两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合（切点），从而割线→切线。
3例2 已知曲线y=。
x+33（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程。
解：（1）所求切线斜率k=4，故所求切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=04（2）设曲线与过点P的切线相切于点A（x0,1），则切线的斜率k=y'|x=x0=x0，x0+∴切线方程为y-(， 3x0+3)=x0(x-x0)3232∵点P(2,4)在切线上，∴4-( 3x0+3)=x0(2-x0)32解得x0=2或-1，故所求的切线方程为：4x-y-4=0或x-y+2=0。
变式：从点（-1，1）向曲线y=x+1引切线，试求切线的方程。
用导数求切线方程的四种类型
用导数求切线方程的四种类型浙江 曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ）Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x xy x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例3求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x xy x ='=-|． ∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x xy x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得02011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=．评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上．设切点为00()M x y ，， 则点M 的坐标满足30003y x x =-．因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--．化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。
专题一：用导数求切线方程的四种类
用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 1解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．练习：1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交答案 B 2.已知函数y ＝f (x )的图像如右图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定 答案 B2．曲线y ＝－2x 2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( )A ．－4B ．0C ．4D ．不存在答案 B10．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( )A ．2B ．4C ．6＋6·Δx ＋2·(Δx )2D ．6答案 D4．函数y ＝sin 2x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，14处的切线的斜率是( )A. 3B.33C.12D.32答案 D分析 将函数y ＝sin 2x 看作是由函数y ＝u 2，u ＝sin x 复合而成的．解析 ∵y ′＝2sin x cos x ， ∴y ′|x ＝π6＝2sin π6cos π6＝322．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．60°答案 B6．y ＝x 3的切线倾斜角的围为________． 答案 [0，π2)解析 k ＝y ′＝3x 2≥0.8．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，点P 处切线倾斜角为α，则角α的取值围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，56π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π答案 D解析 由y ′＝3x 2－3，易知y ′≥－3，即tan α≥－ 3. ∴0≤α<π2或23π≤α<π.14．已知曲线C ：y ＝x 3，求在曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程．解析 将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1， ∴切点P (1,1)．∵y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0x ＋Δx 3－x 3Δx＝lim Δx →03x 2Δx ＋3x Δx2＋Δx3Δx＝lim Δx →0[3x 2＋3xΔx ＋(Δx )2]＝3x 2，∴y ′|x ＝1＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.14．求曲线y ＝sin x 在点A (π6，12)处的切线方程．解析 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x . ∴y ′|x ＝π6＝cos π6＝32，k ＝32.∴切线方程为y －12＝32(x －π6)．化简得63x －12y ＋6－3π＝0. 6．曲线y ＝xx －2在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x ＋1答案 D例3 求曲线y ＝1x 2－3x 在点(4，12)处的切线方程．【思路分析】 将函数变形为y ＝(x 2－3x )－12，将其看做是由函数y ＝u －12、u ＝x 2－3x 复合而成．【解析】 ∵y ＝1x 2－3x＝(x 2－3x )－12， ∴y ′＝－12(x 2－3x )－32·(x 2－3x )′＝－12(x 2－3x )－32·(2x －3)．∴曲线y ＝1x 2－3x在点(4，12)处的切线斜率为 k ＝y ′|x ＝4＝－12(42－3×4)－32·(2×4－3)＝－516.∴曲线在点(4，12)处的切线方程为y －12＝－516(x －4)，即5x ＋16y －28＝0. 探究3 本题不要将函数y ＝1x 2－3x看做是由y ＝1u ，u ＝v ，v ＝x 2－3x 三个函数复合而成的，这样求导就麻烦了．思考题 3 (1)曲线y ＝3x 2＋1在点(1,2)处的切线方程为__________________．【答案】 3x －2y ＋1＝0(2)y ＝11－x 2的水平切线方程是________．【解析】 令y ′＝0，得x ＝0，∴y ＝1.12．求曲线y ＝2x －x 3在点(－1，－1)处的切线的方程及此切线与x 轴、y 轴所围成的平面图形的面积．答案 x ＋y ＋2＝0；28．曲线y ＝e 12 x在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2答案 D解析 ∵y ′＝12·e 12 x，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝4＝12e 2.∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)．∴横纵截距分别为2，－e 2，∴S ＝e 2，故选D.11．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.答案 3解析 f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋2＝52，∴f (1)＋f ′(1)＝3.5．如图是函数f (x )及f (x )在点P 处切线的图像，则f (2)＋f ′(2)＝________.答案 98解析 由题图知，切线方程为x 4＋y4.5＝1，f (2)＝4.5·(1－24)＝94，f ′(2)＝－4.54＝－98.∴f (2)＋f ′(2)＝94－98＝98.类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --=2 解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x xy x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．练习：3．曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(1,1)，(－1，－1) C ．(2,8) D ．(－12，－18)答案 B13．若曲线y ＝2x 3上某点切线的斜率等于6，求此点的坐标． 解析 ∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →02x 0＋Δx3－2x 30Δx＝6x 20，∴6x 20＝6.∴x 0＝±1.故(1,2)，(－1，－2)为所求． 3．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12答案 A解析 y ′＝12x －31x ，由12x －3x ＝12.得x ＝3或x ＝－2.由于x >0，所以x ＝3.3．已知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)>0D ．f ′(x 0)不能确定答案 B5．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)>0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在答案 B7．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)答案 D2．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0答案 A解析 ∵l 与直线x ＋4y －8＝0垂直， ∴l 的斜率为4.∵y ′＝4x 3，∴由切线l 的斜率是4，得4x 3＝4，∴x ＝1. ∴切点坐标为(1,1)．∴切线方程为y －1＝4(x －1)， 即4x －y －3＝0.故选A.11．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，则与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程是________．答案 4x －4y －1＝0解析 k ＝4－12－－1＝1，又y ′＝2x ，令2x ＝1，得x ＝12，进而y ＝14，∴切线方程为y －14＝1·(x －12)，即4x －4y －1＝0.13．如果曲线y ＝x 2＋x －3的某一条切线与直线y ＝3x ＋4平行，求切点坐标与切线方程．答案 切点坐标为(1，－1)，切线方程为3x －y －4＝0 13．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为______________．答案 3x －y －11＝0解析 y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3≥3， 当且仅当x ＝－1时取等号，当x ＝－1，时y ＝－14. ∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.9．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b的值为________．答案 ln2－14．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－1答案 A14．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.答案 2解析 由题意得y ′＝a e ax ，y ′|x ＝0＝a e a ×0＝2，a ＝2. 10．函数f (x )＝a sin ax (a ∈R )的图像过点P (2π，0)，并且在点P 处的切线斜率为4，则f (x )的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2 D.π4答案 B解析 f ′(x )＝a 2cos ax ，∴f ′(2π)＝a 2cos2πa . 又a sin2πa ＝0，∴2πa ＝k π，k ∈Z . ∴f ′(2π)＝a 2cos k π＝4，∴a ＝±2. ∴T ＝2π|a |＝π.6．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( )A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D ．0 答案 A解析 y ′＝22x －1＝2，∴x ＝1.∴切点坐标为(1,0)．由点到直线的距离公式，得d ＝|2×1－0＋3|22＋12＝ 5. 19．曲线y ＝x (x ＋1)(2－x )有两条平行于y ＝x 的切线，则两切线之间的距离为________．答案 16272解析 y ＝x (x ＋1)(2－x )＝－x 3＋x 2＋2x ，y ′＝－3x 2＋2x ＋2，令－3x 2＋2x ＋2＝1，得x 1＝1或x 2＝－13.∴两个切点分别为(1,2)和(－13，－1427)．切线方程为x －y ＋1＝0和x －y －527＝0.∴d ＝|1＋527|2＝16227.类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．6．下列说确的是( )A ．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点B ．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处无切线D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)不一定存在答案 D例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．3解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x xy x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法． 练习：类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．4解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x xy x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得02011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=． 评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．5解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，则点M的坐标满足30003y x x =-．因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．练习：17．已知曲线方程为y ＝x 2，求过A (3,5)点且与曲线相切的直线方程．解析 解法一 设过A (3,5)与曲线y ＝x 2相切的直线方程为y －5＝k (x －3)，即y ＝kx ＋5－3k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋5－3k y ＝x 2，得x 2－kx ＋3k －5＝0.Δ＝k 2－4(3k －5)＝0，整理得(k －2)(k －10)＝0. ∴k ＝2或k ＝10. 所求的直线方程为2x －y －1＝0,10x －y －25＝0.解法二设切点P的坐标为(x0，y0)，由y＝x2，得y′＝2x.∴y′|x＝x0＝2x0.由已知kPA＝2x0，即5－y03－x0＝2x0.又y0＝2x0，代入上式整理，得x0＝1或x0＝5.18．已知曲线S：y＝3x－x3及点P(2,2)，则过点P可向S引切线，其切线条数为( )A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析显然P不在S上，设切点为(x0，y0)，由y′＝3－3x2，得y′|x＝x0＝3－3x20.切线方程为y－(3x0－x30)＝(3－3x20)(x－x0)．∵P(2,2)在切线上，∴2－(3x0－x30)＝(3－3x20)(2－x0)，即x30－3x20＋2＝0.∴(x0－1)(x20－2x0－2)＝0.由x0－1＝0，得x0＝1.由x20－2x0－2＝0，得x0＝1± 3.∵有三个切点，∴由P向S作切线可以作3条．综合练习：10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于( )A．0 B．－4C．－2 D．2答案 B解析 f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2. ∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4.12．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12答案 A解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，选A.15．(1)求过曲线y ＝e x 上点P (1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程；(2)曲线y ＝15x 5上一点M 处的切线与直线y ＝－x ＋3垂直，求此切线方程．解析 (1)∵y ′＝e x ，∴曲线在点P (1，e)处的切线斜率是y ′|x ＝1＝e. ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为k ＝－1e .∴所求直线方程为y －e ＝－1e(x －1)，(2)∵切线与y ＝－x ＋3垂直，∴切线斜率为1. 又y ′＝x 4，令x 4＝1，∴x ＝±1.∴切线方程为5x －5y －4＝0或5x －5y ＋4＝0.4．y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A.18 B.14 C.12 D ．1答案 B解析 由已知{ y ＝ax 2＋1，y ＝x 有唯一解，即x ＝ax 2＋1，ax 2－x ＋1＝0有唯一解， ∴Δ＝1－4a ＝0，∴a ＝14.15．点P 在曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上，且曲线在点P 处的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标．解析 设P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20＋1.f ′(x 0)＝lim Δx →0x 0＋Δx2＋1－x 20＋1Δx＝2x 0.所以过点P 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x ＋1－x 20.而此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切，所以切线与曲线y ＝－2x 2－1只有一个公共点． 由{ y ＝2x 0x ＋1－x 20，y ＝－2x 2－1，得即Δ＝4x 20－8(2－x 20)＝0.解得x 0＝±233，y 0＝73.所以点P 的坐标为(233，73)或(－233，73)．17．若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，求k 的值． 解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2＝k .若x 0＝0，则k ＝2.若x 0≠0，由y 0＝kx 0，得k ＝y 0x 0.∴3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0，即3x 20－6x 0＋2＝x 30－3x 20＋2x 0x 0.解之，得x 0＝32. ∴k ＝3×(32)2－6×32＋2＝－14.综上，k ＝2或k ＝－14.16．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )、g (x )的表达式．解析 ∵f (x )＝2x 3＋ax 的图像过点P (2,0)， ∴a ＝－8.∴f (x )＝2x 3－8x .∴f ′(x )＝6x 2－8. 对于g (x )＝bx 2＋c 的图像过点P (2,0)，则4b ＋c ＝0. 又g ′(x )＝2bx ，∴g ′(2)＝4b ＝f ′(2)＝16. ∴b ＝4.∴c ＝－16. ∴g (x )＝4x 2－16. 综上可知，f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16.1．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1，l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．分析 (1)求曲线在某点处的切线方程的步骤：先求曲线在这点处的导数，这点对应的导数值即为过此点切线的斜率，再用点斜式写出直线方程；(2)求面积用S ＝12a ·h 即可完成．解析 (1)因为y ′＝2x ＋1，则直线l 1的斜率k 1＝2×1＋1＝3，则直线l 1的方程为y ＝3x －3，设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (x0,y0)，因为l 1⊥l 2。
过曲线一点的切线方程
过曲线一点的切线方程过曲线一点的切线方程数学是一门探究规律和真理的学科，而曲线方程则是数学中的一个重要组成部分。
在数学中，曲线方程是描述平面上点的位置的等式，而曲线的切线则是在任何点处的切线方程。
本文将会着重讨论一种叫做“过曲线一点的切线方程”这一话题。
首先，我们需要理解什么是曲线的切线。
在数学中，曲线的切线是曲线在任意一点处的切线，它是与曲线在该点处相切的一条直线。
找到曲线的切线有很多种方法，以下介绍具体的步骤。
首先，我们需要确定曲线上的某一点，然后找到该点处的导数，导数告诉我们曲线在该点处的斜率。
接着，我们将该点和斜率代入点斜式公式，就可以得到曲线在该点处的切线方程。
接下来，我们就进入了本文的主题——过曲线一点的切线方程。
过曲线一点的切线方程是一种特殊的切线方程。
我们可以通过以下步骤来得到过曲线一点的切线方程。
首先，我们需要确定该曲线的方程，随后，我们选定一个点在曲线上，假设该点的坐标为（a, f(a)）。
接着，我们需要对曲线方程求导，求导后代入（a, f(a)）点的坐标，就可以得到曲线在该点处的斜率m。
然后，我们就可以将该点和斜率代入点斜式公式，从而可以得到过曲线一点的切线方程。
具体的计算流程如下：曲线方程：y = f(x)选定的点：（a, f(a)）求导后的斜率：f'(a)切线公式：y – f(a) = f'(a) * (x – a)过曲线一点的切线方程可以用于许多实际问题，例如物理学和工程学中。
比如，一个物体在一个弯曲的曲面上滑动，那么我们就需要求出该点的切线方程来确定它的速度和加速度。
最后，总结一下，通过本文的介绍，我们了解到曲线方程和曲线的切线是数学中的重要基础概念。
同时，我们也学习了如何求出过曲线一点的切线方程。
过曲线一点的切线方程的应用不仅可以帮助我们更好地理解曲线的特性，还可以应用于实际问题的求解中。
曲线的切线与法线求曲线的切线与法线方程
曲线的切线与法线求曲线的切线与法线方程在数学中，曲线的切线与法线是经常讨论的概念。
切线是在曲线上某一点处与曲线相切的一条直线，而法线则是与切线垂直的一条直线。
确定曲线的切线与法线方程是解析几何中的基本问题，本文将探讨曲线的切线与法线的求解方法。
一、曲线的切线求解方法对于给定的曲线方程，我们想要求解该曲线在某一点处的切线方程。
下面以曲线方程为y=f(x)为例进行讨论。
1. 切线的斜率求解首先，我们需要求解曲线在给定点的切线斜率。
假设曲线上某一点的横坐标为x0，纵坐标为y0。
切线的斜率可以通过曲线方程的导数来求解。
即：k = f'(x0)其中，f'(x0)表示曲线方程在点x0处的导数。
2. 切线的方程确定切线的方程可以通过已知点和斜率来确定。
已知点为曲线上的某一点P(x0, y0)，切线的斜率为k。
设切线方程为y=ax+b，代入已知点的坐标可以得到：y0 = ax0 + b结合斜率的定义，我们有：k = f'(x0) = a因此，切线的方程可以表示为：y = f'(x0)x + (y0 - f'(x0)x0)3. 切线的几何特征通过切线的方程，我们可以发现切线的斜率与直线的斜率有关。
当切线与横轴平行时，即切线的斜率为0时，切线为水平线。
当切线的斜率不存在时，切线为垂直于横轴的直线。
这些特征反映了曲线在给定点处的局部性质。
二、曲线的法线求解方法与切线相似，法线是垂直于切线的直线。
因此，法线的斜率与切线的斜率互为负倒数。
在给定点处的法线方程可以通过切线的方程得到。
1. 法线的斜率求解已知切线的斜率为k，法线的斜率为-1/k。
2. 法线的方程确定法线的方程可以通过已知点和斜率来确定。
已知点为曲线上的某一点P(x0, y0)，法线的斜率为-1/k。
设法线方程为y=ax+b，代入已知点的坐标可以得到：y0 = ax0 + b结合斜率的定义，我们有：-1/k = -1/f'(x0) = a因此，法线的方程可以表示为：y = -1/f'(x0)x + (y0 + 1/f'(x0)x0)3. 法线的几何特征与切线相比，法线更能体现曲线在给定点处的局部性质。
导数法求切线方程的三种题型
题目：导数法求切线方程的三种题型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一。
用导数求切线方程的关键在于清楚导数的几何意义：切线的斜率确实是函数y=f(x)在切点处的导数。
下面举出长建的题型及解法：题型一：已知切点，求曲线的切线方程。
例1：求函数y=f(x)=2x3在x=1处的切线方程。
解：先求y’=f’(x)=6x2f’(1)=6×1=6=k当x=1时y=2∴切点为(1,2)y-2=6(x-1)y=6x-4题型二：已知曲线外一点，求曲线的切线方程。
例2：已知函数f(x)=x3-3x，过点A(0,16)做曲线y=f(x)的切线，求切线方程。
解：带入可知点A不在曲线上。
设切点M(x0,y0)，且点M位于曲线上，知足y0=x03-3x0①f’(x)=3x2-3f’(x0)=3x02-3=k ②又有k=(Y0-16)/(x0-0) ③①带入③，且②=③，取得3x02-3=(x03-3x0)/x0解得x0=-2 ∴y0=-2∴M坐标为（-2，-2）K=3×(-2)2-3=9∴y+2=9(x+2)Y=9x+16题型三：弄清“过某点的切线”与“在某点的切线”例3：(1)求曲线y=x3-2x在点A(1,-1)处的切线方程。
(2)求过曲线y=x3-2x上的点A(1,-1)处的切线方程。
解：(1)做法仿照例1可得切线方程为x-y-2=0(2)设切点为(x0,y0),那么有y0=x03-3x0f’(x0)=3x02-23x02-2=k=(y0+1)/(X0-1)3x02-2= (x03-3x0+1)/ (X0-1)解得x0=1或x0=-1/2当x0=1时y0=-1 切点为(1,-1)现在切线方程为x-y-2=0当x0=-1/2时y0=7/8 切点为(-1/2,7/8) 对结果进行分析可知：“在点A处”实际是指A点确实是切点，而“过点A”包括了A点是切点和A点不是切点两种情形。
以上确实是要紧的三种题型，咱们发觉求切线方程最关键的确实是求出切点，利用切线的斜率等于切点处函数的导数，但假设函数在(x0,y0)处的导数不存在时，该切线方程为y= y0。
用导数求切线方程的四种类型[精选.]
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用导数求切线方程的四种类型浙江 曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ）Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x xy x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例3求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x xy x ='=-|． ∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x xy x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得02011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=．评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上．设切点为00()M x y ，， 则点M 的坐标满足30003y x x =-．因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--．化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。
点在曲线上的切线方程
点在曲线上的切线方程一、什么是“点在曲线上的切线方程”点在曲线上的切线方程是指，确定一条曲线上的一点，并求出该点处曲线的切线方程，即该点处曲线的切线斜率和截距。
二、如何求“点在曲线上的切线方程”1. 确定曲线上的点首先需要确定曲线上的点，记作(x0, y0)。
2. 求出曲线在该点处的导数求出曲线在该点处的导数，即曲线的斜率。
这里我们使用导数的定义式f'(x) = lim (f(x+h) - f(x))/h。
将x0代入该式中，即可求出斜率k。
3. 推导切线斜率由于切线过点(x0, y0)，因此可以用点斜式表示切线方程，即y - y0 = k(x - x0)。
4. 求出截距仍然是利用导数公式，因为此时已知点(x0, y0)和斜率k，可以利用y - y0 = k(x - x0)函数表达式求出截距b。
5. 最终的切线方程是：y = k(x - x0) + y0。
三、概念解析1. 切线和泰勒展开切线是过曲线上一个点并垂直于曲线的一条直线。
泰勒展开是一种把一个函数用一个多项式逼近的方法。
在求曲线在某点的切线，或者说在求曲线在某一点的导数的时候，我们会用到泰勒展开。
2. 曲线的斜率曲线的斜率是指曲线上某个点处曲线的切线的斜率。
当点在曲线上固定时，曲线的斜率是唯一的。
当点的位置发生变化时，曲线的斜率也随之发生变化，因此曲线的斜率可以被看作点的函数，即y=f(x)。
3. 曲线的导数曲线的导数表示曲线在该点处的切线斜率。
几何上，导数就是曲线在该点处切线的斜率。
当点在曲线上固定时，曲线的导数是唯一的。
当点的位置发生变化时，曲线的导数也随之发生变化，因此曲线的导数可以被看作点的函数，即y'=f'(x)。
四、实例分析例：曲线y = sin(x)，点(π/2, 1)处的切线方程。
1. 确定曲线上的点点(π/2, 1)处于sin(x)曲线上。
2. 求出曲线在该点处的导数f'(x) = cos(x)，所以f'(π/2) = 0。
椭圆上一点处切线方程的几种求法
答案
椭圆上一点处切线方程的几种求法
段落一：椭圆是一种二次曲线，它是由两个椭圆轴组成的，椭圆上的任意一点都可以过椭圆的长轴和短轴的中点，椭圆上的任意一点都可以求出其切线方程，有多种方法可以求出椭圆上一点处的切线方程。
段落二：其中一种求法是使用对称性，利用椭圆的对称性来求出椭圆上一点处的切线方程。
例如，当椭圆中心在原点时，椭圆的一条对称轴上的任一点A（x，y）处的切线方程可以求得，它的斜率为-xy，切线方程为y=xk，其中k= -xy。
段落三：另一种求法是使用椭圆的椭球坐标系。
椭球坐标系是一种直角坐标系，由长短轴和椭圆中心组成，可以用椭球坐标系求出椭圆上任意一点处的切线方程。
例如，椭圆上任一点A（x，y）处的切线方程可以用椭球坐标系求得，斜率为xy，切线方程为y=xk，其中k= xy。
总之，椭圆上一点处的切线方程可以采用对称性和椭球坐标系等多种求法来求解。
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过一点求曲线的切线方程的三种类型
过一点求曲线的切线方程的三种类型
舒云水
过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明.
1•已知曲线y f(x)上一点P(x o,f(x o))，求曲线在该点处的切线方程.
这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型•其求法为：先求出函数f(x)的导数f (x)，再将x o代入f (x) 求出f (x o)，即得切线的斜率，后写出切线方程
y f(x o) = f (x o) (x x o)，并化简.
例1 求曲线f(x) x3 3x2 3在点P(1,1)处的切线方程.
解：由题设知点P在曲线上，
J y 3x2 6x，二曲线在点P(1,1)处的切线斜率为f (1) 3，所
求的切线方程为y 1 3(x 1)，即y 3x 4 •
2.已知曲线y f(x) 上一点A(X1, f(xj)，求过点A的曲线的切线方程.
这种类型容易出错，一般学生误认为点A一定为切点，事实上
可能存在过点A而点A不是切点的切线，如下面例2,这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为P(x o, f (x o))，先求出函数f (x)的导数f (x)，再将x o代入 f (x)求出f (x o)，即得切线的斜率(用x o表示)，写出切线方程y f(x o) = f (x o) (x X o)，再将点A
坐标(X1,yJ代入切线方程得
y i f (X o ) = f(X o) (X i X o)，求出X o，最后将X o代入方程
y f (X o) = f (X o) (X X o)求出切线方程.
例2 求过曲线y X3 2X上的点(1,1)的切线方程.
解：设切点为点(X o,X o32X o)，y 3X2 2，切线斜率为3x。
22 ,
切线方程为y (X o32X o) (3X o22)(X x°) •
又知切线过点(1, 1)，把它代入上述方程，得
3
1 (X o 2X o) (3X o 2)(1 X o) •
1
解得X o 1，或X o •
所求切线方程为y (1 2) (3 2)(X 1),或
13 1 、
y ( — 1) ( 2)(X-)，即X y 2 0 ,或5X 4y 1 0 •
8 4 2
上面所求出的两条直线中，直线X y 2 O是以(1, 1)为切点的切线，而切线5X 4y 1 O并不以(1, 1)为切点，实际上它是经过了点(1,1)且以(1,7)为
切点的直线，如下图所示•这说明过曲线上一点
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的切线，该点未必是切点.
3.已知曲线y f(x)外一点A(X1, f(xj)，求过点A作的曲线的切线方程.
这种类型的题目的解法同上面第二种类型.
例3过原点0作曲线y x4 3x2 6的切线，求切线方程.
(2009年全国卷I文21题改编)
解：由题设知原点0不在曲线上，设切点坐标为
P(X o,x。
43x/ 6) , y 4x3 6x，切线斜率为(4x/ 6x0)，切线方程为：
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y (x o 3x o 6) (4x o 6x o)(x X o)-
又知切线过点(o,o)，把它代入上述方程，得
4 2 3
o (X o 3x o 6) (4X o 6x o)( X o) •
整理得：(X o21)(X o22) o •
解得X o 2，或X o 2 •
所求切线方程为：y 2 2x或y 2 2x •
练习：1•求曲线f (x) x3 4x2 1在点P(1, 2)处的切线方程.
2.求过曲线y £x3 4上的点(2,4)的切线方程.
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3.过点(o,2)作抛物线y X2 x 1的切线，求切线方程.
答案：1.5x y 3 o ； 2.4x y 4 o或x y 2 o ；
3.3x y 2 o 或x y 2 o •。