量子力学总复习-2讲义

j1 j2 jm ---称为耦合表象（待求）
由无耦合表象求耦合表象：
m m1 m2;
j ( j1 j2 ), ( j1 j2 1), , j1 j2
j1 j2 jm CCG j1 j2m1m2
m1 ,m2
其中： Ccg j1 j2m1m2 j1 j2 jm
计算十分复杂，但有表可查。
正常（简单）和反常（复杂）Zeeman效应；（3）全同性原理
；（4）全同粒子、玻色子与费米子；（5）Pauli不相容原理；
（6）Pauli矩阵；
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（7）证明有关Pauli算符（角动量算符）的对易关系：
ˆ xˆ y ˆ yˆ x 0 ˆxˆ z ˆ zˆx 0 ˆ yˆ z ˆ zˆ y 0
ˆ xˆ yˆ z i
[Jˆ 2, Jˆ ] 0;
（8）写出2个电子的自旋波函数。
P213的习题5题。
P213的习题6题或对于2个全同粒子、3个单粒子态的体系，忽略 粒子间的相互作用，就玻色子系、费米子系、经典粒子系，写出 可能的波函数。
第五章 微扰理论
本章主要介绍了利用微扰法近似求解Schrödinger方程，以及利 用变分法求基态的能量与波函数：
[Sˆ , Sˆ ] i Sˆ Sˆ Sˆ iSˆ
[Sˆ
, Sˆ
]
2 2
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ˆ 1; ˆ2 1;ˆ 2 3 [ˆ ,ˆ ] 2i ˆ
[ˆ ,ˆ ] 2
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（3）计及自旋，电子的波函数为旋量—(2X1)矩阵，而算符为
(2X2)矩阵：
1
(r ,
t
)
2 (r , t)
ij
通过解 Hˆ 在
(0) ml
中的本征（矩阵）方程：
[(
Hij
)
kk
]
(0) m
E , (1) (0) mm
Hij
(
(0) mi
,
Hˆ
(0) mj
)
可得到能级 Em 的一级近似和相应波函数 m 的零级近似：
Em
E (0) m
E (1) m
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m
(0) m
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（1）选取含参量的试探波函数--- 试探 () ，并计算微观粒子
一、微扰法：
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Hamilton算符可写成--- Hˆ Hˆ 0 Hˆ
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（1）定态微扰论
非简并情况---
Hˆ
0
(0) m
Em(0)
(0) m
,
m 1,2,
,
n;
(
(0) m
,
(0) k
)
mk
Em m
Em(0)
(0) m
Em(1)
(1) m
Em(2) Em(0) Hm m
子态的玻色系，共有 Cmmn1 个可能的波函数。
无相互作用费米子系的波函数---对于m个费米子、n个单粒
子Sla态te的r行玻列色式系的，形共式有，因C此nm，费个米可子能系的要波遵函循数：，而且，可写成
Pauli不相容原理---不能有两个或两个以上的费米子处于同 一个量子态上。
四、参考题
简答题---（1）列举表明电子具有自旋的实验与事实；（2）
光谱的精细结构---由于电子具有自旋及旋-轨之间的耦合， 原子光谱线由靠得很近的细线组成的现象。
三、全同粒子的特性
（1）全同性原理：内禀特性完全相同的粒子称为全同粒子，
具有不可区分性，任意交换两个全同粒子，全同粒子系统的物
理状态不变，或Hamilton量具有交换对称性。
（2）全同粒子的波函数要满足交换对称性：自旋为整数的玻
（2）含时微扰论
比较复杂，只考虑到了一级近似，可计算微观粒子受到微扰后
从
(0) m
跃迁到
(0) n
的概率：
Wmk
1 i
2
t 0
H
km
(
x)eikm
x
dx
其中：Hkm
(
(0) k
,
Hˆ
(0) m
),
Hˆ 0
(0) m
Em(0)
(0) m
,
km
(Ek(0)
Em(0) ) /
二、变分法：
利用基态是最低的能量状态，近似求基态能量和波函数：
色子系具有交换对称性，自旋为半整数的费米子系具有交换反
对称性。
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（3）无相互作用全同粒子系波函数的构造： 可以证明---无相互作用全同粒子系的波函数可由单粒子的波 函数的直积构成，但需满足交换对称性的要求。
无相互作用玻色子系的波函数---对于m个玻色子、n个单粒
Fˆ
Fˆ11 Fˆ21
Fˆ12 Fˆ22
二、角动量理论
（1）角动量的概念：
Jˆ Jˆ iJˆ [Jˆ , Jˆ ] i Jˆ
[Jˆ 2, Jˆ ] 0
Jˆ 2 jm j( j 1)2 jm
Jˆz jm m jm
其中：角动量量子数j是非负的整数或半整数，而磁量子数m取
值为-j到+j的(2j+1)个值。
第七章 自旋与全同粒子
本章学习了电子的自旋特性、角动量理论和全同粒子的特性三 个方面的内容：
一、电子的自旋
（1）表明电子具有自旋特性的典型实验与事实： Stern-Gerlach实验；光谱精细结构。
（2）电子自旋的特点或Pauli算符的性质：
Sˆ
; 2
Sˆ2
2 4
; Sˆ 2
3 2 4
s
1 2
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是Clebsch-Gordan系数，其
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（3）利用电子的自旋以及自旋-轨道耦合可解释：
Zeeman效应---原子处于强磁场中，由于磁场与原子中电 子的自旋与轨道磁矩的相互作用，原子的能级发生分裂，导致 原子光谱出现奇数条分裂的现象称为简单（正常)Zeeman效应 ；原子处于弱磁场中，由于自旋-轨道耦合，原子的能级发生 分裂，导致原子光谱出现偶数条分裂的现象叫做复杂（反常） Zeeman效应。
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（2）两个角动量的耦合： Jˆ Jˆ1 Jˆ2 可证：(Jˆ12, Jˆ22 , Jˆ1z , Jˆ2z )是对易组，其共同的本征矢记为：
j1 j2m1m2 ---称为无耦合表象（已知）
也可证：(Jˆ12, Jˆ22, Jˆ 2, Jˆz ) 也是对易组，其共同的本征矢记为：
(0) m
k
H km
E (0) m
E (0) k
H km 2 k Em(0) Ek(0)
(0) k
其中：Hkm
(
(0) k
,
Hˆ
(0) m
)
是
Hˆ 在
(0) m
表象的矩阵元。
简并情况---
Hˆ
0
(0) ml
E , (0) (0) m ml
l
1,2,
,
k;
(
(0) mi
,
(0) mj
)