第八章 欧氏空间

欧氏空间
§5 子空间
§5 子空间
一、子空间正交的定义和性质
定义1 设V1，V2是欧氏空间 V 的两个子空间，若对 V1 ,
V2 恒有 ( , ) 0, 则称V1与V2正交，记为 V1 V2 .
若向量 , 对 V1 , 恒有 ( , ) 0, 则称 与子空间V1正交， 记为 V1.
例3 在R3中，向量 (1, 0, 0), (1, 1, 0) 求 , 的夹角。
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
三、向量的正交
定义4 对欧氏空间V中的两个向量 , , 若内积 ( , ) 0, 则称
与 正交或垂直，记为：
注意： 零向量与任一向量正交。 例4 在R4中求一单位与下面三个向量
(3) ( , ) 11 2 2 1 (4) ( , ) 11 2 2 (5) ( , ) 311 5 2 2
例2 设 ( x1 , x2 ,, xn ), ( y1 , y2 ,, yn )为Rn中的任意两个
欧氏空间 例4 正交矩阵的特征值为± 1。
§2 标准正交基
例5 奇数阶的正交矩阵A满足|A|>0，则A一定有特征值1。
例6 证明上三角矩阵A必为对角矩阵，且对角线上元素为1或-1。
例7 设A为n阶实非奇异矩阵，证明：A可以分解为A=QR， 其中Q为正交矩阵，R为对角线上全为正实数的上三角矩阵， 并且这种分解是唯一的。
3) 设V为n维欧氏空间，正交变换 A 有特征值1，且属于特征 值1的特征子空间V1的维数为n-1，则 A 为镜面反射。 例5 1) 设 , 是欧氏空间V中的两个不同的单位向量，证明： 存在一个镜面反射 A 使得 A 2) 证明：n维欧氏空间V中任一正交变换都可以表示为一系列
镜面反射的乘积。
1 i j (1) ( i , j ) 0 i j
(2) V , 若 ki i , 则 ki ( , i ), i 1, 2,, n
(3) , V , 若 ki i , li i 则 ( , ) ki li
( 向量，A=(aij)为n阶实矩阵。证明： , ) A 为Rn的内积
的充要条件是A为正定矩阵。
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
内积的简单性质
性质1 (0, ) 0
性质2 ( , ) ( , ) ( , )
性质3 ( , k ) k ( , ) 性质4 1 , 2 ,, n , 1 , 2 ,, n V
例1 设 (1 , 2 ), (1 , 2 ) 为二维实空间R2中的任意两个 向量，问：R2对以下规定的内积是否构成欧氏空间？
(1) ( , ) 1 2 2 1
(2) ( , ) (1 2 )1 (1 2 2 ) 2
(3) ( , ) ( , ) ( , ) (4) ( , ) 0,当且仅当 0 时有 ( , ) 0 这里 , , 是V中任意的向量，k为实数，这样的线性空间V
称为欧几里得空间，简称为欧氏空间。
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
(1 , m ) ( 2 , m ) ( m , m )
证明：当且仅当 | | 0 时， 1 , 2 ,, m 线性无关。
欧氏空间
§2 标准正交基
§2 标准正交基
一、标准正交基的定义与性质
定义1 欧氏空间V中一组两两正交的非零向量称为V的一个
L(1 , 2 ,, i ) L(1 ,2 ,,i ), i 1, 2,, n
欧氏空间
§2 标准正交基
二、标准正交基的求法
例1 把
1 (1, 1, 0, 0), 2 (1, 0, 1, 0), 3 (1, 0, 0, 1)
化为单位正交的向量组。 例2 设 1 , 2 , , 5 是五维欧氏空间V的一组标准正交基，令
欧氏空间 正交变换的性质： (1) 正交变换保持向量夹角不变；
§4 正交变换
(2) 正交变换是欧氏空间到自身的一个同构映射； (3) 正交变换的乘积仍是正交变换；
(4) 正交变换是可逆的，其逆变换仍是正交变换；
欧氏空间
§4 正交变换
二、正交变换的分类
行列式等于1的正交变换称为第一类正交变换或旋转变换；
同构。
欧氏空间 定理1 同构是欧氏空间之间的等价关系。
§3 同构
定理2 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们的维数相等。 推论 任意 n 维欧氏空间均与 Rn 同构。
例1 设1 , 2 ,, m 与 1 , 2 ,, m 为欧氏空间V的两组向量，
如果
( i , j ) ( i , j ), i, j 1, 2,, m
则子空间V1 L(1 , 2 ,, m )与 V2 L( 1 , 2 ,, m ) 同构。
欧氏空间
§4 正交变换
§4 正交变换
一、正交变换的定义与性质
定义1 设 A 是欧氏空间 V 中的线性变换，如果它保持向量的
内积不变，即对 , V , 都有
(A , A ) ( , )
W L(1 , 2 , 3 )
其中
1 1 5 , 2 1 2 4 , 3 21 2 3
求W的一组标准正交基。
欧氏空间 例3 在R[x]4中定义内积为：
§2 标准正交基
( f , g ) f ( x) g ( x)dx
(4) 不同基的度量矩阵是合同的。
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
例5 设 1 , 2 ,, m 是n维欧氏空间V中的一组向量，令
(1 , 1 ) (1 , 2 ) ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( , ) ( , ) m 2 m 1
欧氏空间
第八章
欧氏空间
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
§1 欧氏空间的定义和性质
一、欧氏空间的定义
定义1 设V实数域R上的线性空间，在V上定义一个二元函数， ( 称为内积，记为： , ) 它满足以下四个条件：
(1) ( , ) ( , ) (2) (k , ) k ( , )
k1 , k2 ,, kn , l1 , l2 ,, ln R
有
( ki i , l j j ) ki l j ( i , j )
i 1 i 1 i 1 j 1
n
n
n
n
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
二、向量的长度与夹角
| 定义2 对 V , 向量 的长度定义为： | ( , )
子空间正交的性质 性质1 与自己正交的向量只能是零向量。 性质2 若两个子空间V1与V2正交，则V1+V2为直和。
性质3 若子空间V1，…，Vs两两正交，则V1+…+Vs为直和。
正交向量组。
如果一个正交组的每一个向量都是单位向量，则这样的向 量组称为标准正交向量组。 性质1 欧氏空间V中的正交向量组必定线性无关。 注： (1) 单个非零向量也称为一个正交向量组。 (2) 线性无关的向量组不一定是正交向量组。
欧氏空间
§2 标准正交基
定义2 在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为 正交基，由n个标准正交向量组成的正交基称为标准正交基。 性质2 设 1 , 2 , , n 是n维欧氏空间V中的一组标准正交基，则
i 1 i 1 i 1 i 1n n n
n
(4) 一组基为标准正交基的充要条件是它的度量矩阵为 单位矩阵。
欧氏空间
§2 标准正交基
二、标准正交基的求法
定理1 n维欧氏空间V中任一个正交向量组都可以扩充为一组 正交基。 定理2 对于n维欧氏空间V中任意一组基 1 , 2 , , n 都可以找 一组标准正交基 1 ,2 ,,n , 使得
欧氏空间
§3 同构
§3 同 构
定义1 设V与W都是实数域R上的欧氏空间，如果存在V到W 的双射 , 对 , V , k R, 满足 (1) ( ) ( ) ( ) (2) (k ) k ( ) (3) ( ( ), ( )) ( , ) 则称映射 是欧氏空间V到W的同构映射，称欧氏空间V与W
(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1), (2, 1, 1, 3)
正交。
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
四、度量矩阵
矩阵
A (aij ) nn
(1 , 1 ) (1 , 2 ) ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( , ) ( , ) n 2 n 1
定理1 对于欧氏空间V中的任意向量 , 恒有
| ( , ) || | | |
当且仅当 , 线性相关时，等号成立。
定义3 设 , 是欧氏空间的两个非零向量， , 的夹角为：
( , ) arccos , 0 | || |
(1 , n ) ( 2 , n ) ( n , n )
称为基 1 , 2 , , n 的过渡矩阵(Gram矩阵)。 注: (1) 度量矩阵A是实对称矩阵。 (2) 度量矩阵A是正定矩阵。
(3) 确定一组基后，向量的内积可由度量矩阵A完全确定。
1
1
求R[x]4的一组标准正交基。
定义3 n阶实矩阵 A 满足 A'A=E，则称 A 为正交矩阵。
定理3 在欧氏空间V中，标准正交基到标准正交基的过渡矩阵 是正交矩阵。反之，若第一组是标准正交基，过渡矩阵是正
交矩阵，则第二组基也是标准正交基。
欧氏空间
§2 标准正交基
定理4 设A=(aij)是n阶实矩阵，则下列几个结论等价： (1) A是正交矩阵，即 A'A=E； (2) AA'=E； (3) A的列向量组是标准正交向量组； (4) A的行向量组是标准正交向量组； (5) A-1=A。
行列式等于-1的正交变换称为第二类正交变换。 例1 设 A 为欧氏空间V的一个线性变换，证明：A 是正交变换 的充要条件是 A 保持任意两个向量 与 的距离保持不变，
即
| A A || |
例2 无限维欧氏空间V中的正交变换不一定是可逆变换。
例3 设 A 是n维欧氏空间V的一个正交变换， 1 , 2 ,, n 为V
则 A'GA=G 。
的一组基，此基下的Gram矩阵为G，A 在这组基下的矩阵是 A，
欧氏空间
§4 正交变换
例4 设 是欧氏空间V中的一个单位向量，定义变换： A ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2( , ) 证明：1) A 是正交变换(这样的正交变换称为镜面反射)；
2) 当V是有限维空间时，A 是第二类的；
那么称线性变换 A 为正交变换。
例如：
( x, y, z ) R3 , A ( x, y, z ) ( x, y, z )
是R3上的一个正交变换。
欧氏空间
§4 正交变换
定理1 设 A 是n维欧氏空间 V 中的一个线性变换，则下面 四个命题等价： (1) A 是正交变换； (2) A 保持向量的长度不变； (3) 如果 1 , 2 , , n 是标准正交基，那么 A1 , A 2 , , A n 也是标准正交基； (4) A 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。