word完整版正方形2知识点及同步练习含答案推荐文档
人教版八级数学下册正方形基础知识精讲及同步练习
学科: 数学年级：初二本周教学内容：4.6 正方形【基础知识精讲】1.什么叫正方形有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.可以看成：(1)有一组邻边相等的矩形(如下图)(2)有一个角是直角的菱形(如下图)(3)一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形2.正方形的性质由于正方形既是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形和菱形，它集平行四边形、矩形、菱形的性质于一身.因此，正方形具有以下性质：(1)两组对边分别平行(2)四个角都是直角，四条边都相等(3)两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角(4)两条对角线将它分成四个全等的等腰直角三角形3.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的包含关系(如下图)4.关于正方形的判定(1)先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形(一组邻边相等的矩形)(2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形(有一个角是直角的菱形)(3)还可以先判定它是平行四边形，再用(1)或(2)进行判定.【重点难点解析】本节重点是正方形的定义，说明正方形与矩形、菱形的关系，是本节学习的难点，因为它们之间的关系重叠交错，容易混淆.例1 下列命题中，真命题是( )A.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形B.两条对角线相等的四边形是矩形C.一条对角线平分一组对角的四边形是菱形D.四条边相等的四边形是正方形分析本题主要考查考生应用平行四边形、矩形、菱形、正方形定义解题的能力.命题B、C、D均易找到反例判断它们是假命题.对于命题A，对照平行四边形的定义及平行四边形的四条判定定理，都不相同，只好自己来证明这个命题了.已知四边形ABCD是AD∥BC，∠B＝∠D(如图)，求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵AD∥BC(已知)∴∠A+∠B＝180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵∠B＝∠D(已知)∴∠A+∠D＝180°(等量代换)∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)∴四边形ABCD是平行四边形(平行四边形定义)例2 如图，正方形ABCD对角线相交于O，E是OA上任一点，CF⊥BE于F.CF交OB于G，求证：OE＝OG.分析本题是考查正方形的性质、同角的余角相等关系及全等三角形的判定与性质.OG和OE可分别看作是△OGC与△OEB的最短边，若能证两三角形全等，则命题得证.由正方形性质有OC＝OB，∠COG＝∠BOE＝90°而∠1和∠3为∠2的余角，于是∠1＝∠2证明：∵ABCD是正方形∴OB＝OC ∴AC⊥BD∴∠COG＝∠BOE＝Rt∠又∵CF⊥BE ∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝Rt∠∴∠1＝∠3 ∴△COG≌△BOE ∴OE＝OG例3 下列四个命题中正确的命题是( )①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线相等的四边形是矩形③对角线互相垂直的四边形是菱形④四边相等且对角线相等的四边形是正方形A.①④B.①③C.②③D.③④分析因为命题①就是平行四边形的判定定理3，所以命题①正确.命题④可以理解为是菱形又是矩形的四边形必是正方形.因为四边相等的四边形是菱形，它是特殊的平行四边形，而对角线相等的平行四边形是矩形.因此命题④是正确的命题.因为矩形和菱形都是特殊的平行四边形，而四边形对角线相等或对角线互相垂直不能推出此四边形的对角线互相平分，所以此四边形连平行四边形都不是，就更不可能是矩形或菱形了.因此②、③不正确.解：A例4 如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，AE与BD相交F，求证：CF⊥DE分析本题考查正方形性质及全等三角形的判定与性质，要证CF、DE互相垂直，只需证明∠DGC＝Ｒt∠，可联想∠3与∠4互余.根据正方形性质，容易得到△ABF≌△CBF，△ABE≌△CDE，于是有∠1＝∠2＝∠3，而∠2+∠4＝90°，可得∠3+∠4＝90°证明：∵AB＝BC，∠ABF＝∠CBF， BE＝BE∴△ABF≌△CBF ∴∠1＝∠2∵AB＝CD， BE＝CE，∠ABE＝∠DCE∴△ABE≌△DCE ∴∠1＝∠3∴∠2＝∠3 又∵∠2+∠4＝90°∴∠3+∠4＝90°∴∠DGC＝180°-(∠3+∠4)＝90°∴CF⊥DE【难题巧解点拨】例1 如图，已知P为正方形ABCD的对角线AC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F.求证：(1)DP＝EF；(2)DP⊥EF分析本题主要考查利用正方形的性质解决实际问题的能力.延长FP交AD于G.注意到AEPG是正方形，要证DP＝EF，只要证△DPG≌△FPE.显然这两个三角形全等条件具备.延长DP交EF于H.由于△DPG≌△FPE，可得∠1＝∠2.而∠３＝∠4，这样可证∠2+∠3＝90°.从而DP⊥EF.证明：(1)延长FP交AD于G，延长DP交EF于H.∵四边形AEPG是正方形，∴PG＝PE＝AE＝AG∵正方形ABCD ∴AB＝ADAD-AG＝AB-AE＝GF-PG即 GD＝PF∵PE⊥AB，PF⊥BC，∴∠DGP＝∠FPE＝90°∴△DPG≌△FEP ∴DP＝EF(2)∵△DPG≌△FEP ∴∠1＝∠2又∠3＝∠4，∠1+∠4＝90°∴∠2+∠3＝90°∴PH ⊥EF ，即DP ⊥EF例2 如图，已知正方形ABCD ，以对角线AC 为边作菱形AEFC ，BF ∥AC.求证：∠ACF ＝5∠F.分析 本题考查特殊平行四边形的判定、性质，四边形内角和定理，30°所对直角边的性质的逆用. 由题意，要证：∠ACF ＝5∠F ，就是要证∠F ＝∠CAE ＝30°，这样就需构造Rt △.辅助线EH ⊥AC 自然作出，问题变为转证EH ＝21AE ＝21AC.由于AC ＝DB ，变为证EH ＝21BD ，即证矩形BOHE ，证明矩形时，若用四边形判定，一定要证出三个直角.证明：过E 点作EH ⊥AC 于H ，连BD ∵正方形ABCD ∴BD ＝AC 且BO ＝21AC ∠BOC ＝90°＝∠DOC∵BF ∥AC ∴∠EBO ＝∠DOC ＝90°1AC∴四边形BEHO为矩形∴EH＝BO＝2又∵菱形AEFC ∴AC＝AE1AE ∴∠CAE＝30°∴EH＝2∵菱形AEFC ∴∠A＝∠F＝30°1＝150°∴∠ACF＝∠AEF＝(360°-2×30°)×2∴∠ACF＝5∠A例3 如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ACDE和CBFG是在△ABC外的正方形，△ABC的高CH所1DG，DM＝MG在的直线交DG于点M，求证：(1)DG＝AB (2)CM＝21DG，只需证DM＝MG分析要证DG＝AB，需证△DCG≌△ACB，要证CM＝2证明：(1)∵四边形ACDE和CBFG都是正方形∴∠DCA＝∠GCB＝90°， CD＝CACG＝CB(正方形四个角都是直角，四条边相等)又∵∠ACB＝90°∴∠DCG＝360°-∠DCA-∠ACB-∠GCB＝90°＝∠ACB ∴△DCG≌△ACB ∴DG＝AB(2)∵△DCG≌△ACB ∴∠DGC＝∠ABC又∵MH⊥AB ∴∠HCB+∠ABC＝90°∴∠HCB+∠DGC＝90°∵∠GCB＝90°∴∠MCG+∠BCH＝90°∴∠DGC＝∠MCG ∴MC＝MG同理可证：∠MDC＝∠MCD1DG∴MC＝DM ∴MC＝DM＝MG ∴MC＝2【课本难题解答】求证：矩形的各内角平分线组成的四边形是正方形.(P159 4.3 B组) 证明：∵四边形ABCD为矩形∴∠DAB＝∠ABC＝90°1∠DAB＝45°∴∠1＝∠2＝21∠ABC＝45°∠3＝∠4＝2∴∠QMN＝90°同理，∠MNP＝90°，∠NPQ＝90°∴四边形MNPQ为矩形又∵∠1＝∠3 ∴AM＝BM∵∠2＝∠4AD＝BC ∴△AQD≌△BNC∴AQ＝BN ∴AQ-AM＝BN-BM即MN＝MQ ∴四边形MNPQ为正方形【命题趋势分析】正方形的定义集平行四边形、矩形、菱形性质于一身，且正方形又是正多边形的典型代表，利用它的这些特殊性，说明边、角相等和直线垂直的重要依据，历来为中考热点，类型多以选择、计算证明等形式出现.【典型热点考题】例1 正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.对角线平分一组对角分析本题考查应用正方形、矩形、菱形的性质及其异同点解题的能力.正方形是特殊的矩形，又是特殊的菱形，而且这三者又是特殊的平行四边形.弄清楚他们之间的关系就不难判定.只有C性质正方形具有而菱形不一定具有.其余A 、B 、D 三个性质正方形和菱形都具有.解：C例2 求正方形的对角线与边长的比值分析 正方形的边长与对角线构成了等腰直角三角形，其中斜边是对角线，由勾股定理可求解.解：设正方形边长为a ，由勾股定理得，斜边之长为22a a ＝a 2 ∴对角线边长＝2a a ＝21＝22. ∴比值为22例3 某同学根据菱形的面积计算公式，推导出对角线长为a 的正方形面积是S ＝21a 2，对此结论，你认为是否正确?若正确，请给予证明；若不正确，举出一个反例来证明.分析 因为正方形是特殊的菱形，所以菱形所具有的性质，正方形都具有.当然，菱形的面积计算公式同样适用于正方形.因此这个结论一定正确.证明：如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ＝BD ＝a又∵正方形是菱形，而菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半，∴S ＝21×AC ·BD ＝21a 2.事实上，设正方形边长为x ，由勾股定理可得a 2=x 2+x 2=2x 2代入上式，得：S ＝21×2x 2＝x 2S ＝x 2就是正方形的面积公式.本周强化练习：【同步达纲练习】一、填空1.正方形既是相等的矩形，又是有一个角是的菱形.2.正方形和菱形比较，除具有的性质外，它们具有的共同性质还有：四条边都，对角线 .3.对角线的四边形是正方形.4.正方形和矩形比较，除具有的性质外，它们还具有的共同性质还有：四个角都，对角线.5.如果一个正方形的边长恰好等于边长为m的正方形对角线的长，那么这两个正方形周长和为，面积的和为 .6.如图4.6-12，正方形ABCD中，E、F分别是CD、DA上的点，并且EF＝AF+CE，∠BEF＝∠BEC，那么∠EBF＝度.7.如图4.6-13，正方形ABCD中，E是CF上的点，四边形BEFD是菱形，那么∠BEF＝度.图4.6-12 图4.6-138.如图 4.6-14，E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，若EC＝AC，AE交CD于F，那么∠AFC＝度.图4.6-14 图4.6-159.如图4.6-15，将边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上一点E，若DE为5，则折痕PQ 的长为 .10.P是正方形ABCD内一点，△PAB为正三角形，若正方形的面积为1，则△PAB的面积为 .二、选择题1.下列命题是真命题的是( )A.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形C.一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2.正方形具有而矩形不一定具有性质是( )A.对角线互相平分B.对角线相等C.对角线互相平分且相等D.对角线互相垂直3.下列命题中，错误的是( )A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B.两组对边分别相等的四边是平行四边形C.有一个角是直角的平行四边形是矩形D.四个角相等的菱形是正方形4.如图，正方形ABCD中，CE＝MN，∠MCE＝35°，那么∠ANM是( )A.45°B.55°C.65°D.75°5.下列命题正确的是( )A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B.以一条对角线所在直线为对称轴的平行四边形是菱形C.顺次连结矩形四条边中点所得的四边形仍是矩形6.下列命题中，假命题是( )A.矩形的对角线相等B.菱形的对角线互相垂直C.正方形的对角线相等且互相垂直D.梯形的对角线互相平分7.在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使AE＝AB，作EF⊥AC交BC于F，则下列关系式成立的是( )A.BF＝ECB.BF≠ECC.BF＜ECD.BF＞EC8.以正方形ABCD的边AB向外作等边三角形ABE，BD、CE交于F，则∠AFD的度数为( )A.50°B.60°C.67.5°D.75°9.在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的三等分点，则四边形EFGH是( )A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形10.给出下列结论：(1)正方形具有平行四边形的一切性质，(2)正方形具有矩形的一切性质，(3)正方形具有菱形的一切性质，(4)正方形共有两条对称轴，(5)正方形共有四条对称轴，其中正确的结论有( )A.2B.3个C.4个D.5个三、解答题1.在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，连结AE交CD于F，求∠AFD的度数?2.如图所示，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M、D在AK的同旁，连结BK和DM，求证：BK＝DM.3.如图，已知正方形ABCD，在BC上取一点E，延长AB至F，使BF＝BE，AE的延长线交CF于G，求证AG ⊥CF.4.如图，E为正方形ABCD的边AB延长线上一点，DE交AC于F，交BC于G，H为GE的中点.求证：BF⊥BH.5.如图，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF.【素质优化训练】如图，M为正方形ABCD的AB边上的中点，MN⊥DM，BN平分∠CBG.求证：DM＝MN【生活实际运用】如图，正方形ABCD的对角线相交于点O.点O是正方形A′B′C′O的一个顶点.如果两个正方形的边长相1，等，那么正方形A′B′C′O绕点O无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的4想一想这是为什么.【知识探究学习】如图，已知E是正方形ABCD的边BC上的中点，F是CD上一点，AE平分∠BAF，求证：AF＝BC+CF. 参考答案一、1.邻边相等直角 2.平行四边形相等互相垂直且平分每一组对角 3.相互平分相等互相垂3直 4.平行四边形是直角互相垂直 5.4(2+1)m 3m2 6.45°7.150° 8.112.5° 9.13 10.4二、1.C 2.D 3.A 4.B 5.B 6.D 7.A 8.C 9.A 10.C三、1.67.5° 2.提示：证△MAD≌△KAB(SAS) 3.提示：证△ABE≌△CBF，再证∠AGC＝∠ABE＝90° 4.先证△BCF≌△DCF，得：∠CDF＝∠CBF，进而证∠GBF＝∠HBG，得：∠FBG+∠GBH＝∠GBH+∠HBE＝90°，得BF⊥BH 5.提示：延长CB到G，使BG＝FD，证△ABG≌△ADF，得：∠BAG＝∠DAF，再证△AEF≌△AEG，得EF ＝EG＝EB+BG＝EB+DF【素质优化训练】提示：取AD的中点E，连EM.【生活实际运用】略.【知识探究学习】提示：延长FC交AE的延长线于H.专项训练二概率初步一、选择题1．(徐州中考)下列事件中的不可能事件是( )A．通常加热到100℃时，水沸腾 B．抛掷2枚正方体骰子，都是6点朝上C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，其内角和是360°2．小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是( )A．25% B．50% C．75% D．85%3．(2016·贵阳中考)2016年5月，为保证“中国大数据产业峰会及中国电子商务创新发展峰会”在贵阳顺利召开，组委会决定从“神州专车”中抽调200辆车作为服务用车，其中帕萨特60辆、狮跑40辆、君越80辆、迈腾20辆，现随机从这200辆车中抽取1辆作为开幕式用车，则抽中帕萨特的概率是( )A.110B.15C.310D.254．(金华中考)小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( )A.14B.13C.12D.345．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为( )A.12B.13C.14D.166．现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6.同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是( )A.13B.16C.19D.1127．分别转动图中两个转盘一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于( ) A.316 B.38 C.58 D.1316第7题图 第8题图 8．(2016·呼和浩特中考)如图，△ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB ＝15，AC ＝9，BC ＝12，阴影部分是△ABC 的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为( )A.16B.π6C.π8D.π5二、填空题9．已知四个点的坐标分别是(－1，1)，(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32，⎝⎛⎭⎪⎫－5，－15，从中随机选取一个点，在反比例函数y ＝1x 图象上的概率是________．10．(黄石中考)如图所示，一只蚂蚁从A 点出发到D ，E ，F 处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都可能随机选择一条向左下或右下的路径(比如A 岔路口可以向左下到达B 处，也可以向右下到达C 处，其中A ，B ，C 都是岔路口)．那么，蚂蚁从A 出发到达E 处的概率是________．11．(贵阳中考)现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为________．12．(荆门中考)荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是________．13．(重庆中考)点P 的坐标是(a ，b )，从－2，－1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b 的值，则点P (a ，b )在平面直角坐标系中第二象限内的概率是________．14．★从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数记为a ，那么，使关于x 的一次函数y ＝2x ＋a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为14，且使关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋2≤a ，1－x ≤2a有解的概率为________． 三、解答题15．(南昌中考)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．(1)先从袋子中取出m (m ＞1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A ，请完成下列表格： 事件A 必然事件 随机事件(2)先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于45，求m的值．16．(菏泽中考)锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项)．(1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(2)如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(3)如果锐锐将每道题各用一次“求助”，请用树状图或者列表来分析他顺利通关的概率．17．(丹东中考)甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5.将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．(1)甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；(2)若两人抽取的数字之和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字之和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．18．一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，3，5，x，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球上数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率稳定在它的概率附近，估计出现“和为8”的概率是________；(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13，那么x的值可以取4吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取4，请写出一个符合要求的x的值．参考答案与解析1．D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C 7.C8．B 解析：∵AB ＝15，BC ＝12，AC ＝9，∴AB 2＝BC 2＋AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴△ABC 的内切圆半径为12＋9－152＝3，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×12×9＝54，S 圆＝9π，∴小鸟落在花圃上的概率为9π54＝π6.9.12 10.12 11.15 12.35 13.15 14.13 15．解：(1)4 2或3 (2)根据题意得6＋m 10＝45，解得m ＝2，所以m 的值为2. 16．解：(1)14 解析：第一道肯定能对，第二道对的概率为14，所以锐锐通关的概率为14；(2)16 解析：锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，则第一道题对的概率为13，第二道题对的概率为12，所以锐锐能通关的概率为12×13＝16；(3)锐锐将每道题各用一次“求助”，分别用A ，B 表示剩下的第一道单选题的2个选项，a ，b ，c 表示剩下的第二道单选题的3个选项，树状图如图所示．共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况，∴锐锐顺利通关的概率为16.17．解：(1)所有可能出现的结果如下表，从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为13；(2)不公平．从表格可以看出，两人抽取数字之和为2的倍数有5种，两人抽取数字之和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为59，乙获胜的概率为13.∵59＞13，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．2 3 52 2 23 2 5 2 3 2 3 3 3 5 3 52 53 5 5 518．解：(1)0.33(2)图略，当x 为4时，数字和为9的概率为212＝16≠13，所以x 不能取4；当x ＝6时，摸出的两个小球上数字之和为9的概率是13.。
人教版八年级数学下册正方形2
，而在第一轮复习时，老师的主线索是知识的纵向联系与横向联系，以章节为单位，将那些零碎的、散乱的知识点串联起来，并将他 们系统化、综合化，侧重点在于各个知识点之间的融会贯通。
练习：下列正确的是
正方形
有一个角是直角
比一比，谁的答案多？
每一条对角线平分一组对角
猜一猜：正方形的判定法有哪些？ ⒉怎样将一个菱形的木框变成一个正方形的木框？
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC 猜一猜：正方形的判定法有哪些？ 猜一猜：正方形的判定法有哪些？ ⒊在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q是CD上任意一点，DP⊥AQ交BC于点P． 求证：矩形的四个角的平分线所围成的四边形是正方形． C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
要求：小组讨论交流，并且展示本组成果！ 正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？
⑴求证： DQ=CP； ⒊在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q是CD上任意一点，DP⊥AQ交BC于点P． 四边相等的四边形是正方形 ⑵OP与OQ有何关系？试证明你的结论． 猜一猜：正方形的判定法有哪些？
正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？
平行四边形
3.第三轮复习，大约一个月的时间，也称为“策略篇”。老师主要讲述“选择题的解发、填空题的解法、应用题的解法、探究性命题的
正 解法、综合题的解法、创新性题的解法”，教给同学们一些解题的特殊方法，特殊技巧，以提高同学们的解题速度和应对策略为目的
思考：
小试牛刀
１．一个矩形的２条对角线互相垂直， 它是正方形吗？
２．一个菱形的２条对角线相等，它 是正方形吗？
中考数学复习----《正方形的性质》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《正方形的性质》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2.正方形的性质：①具有平行四边形的一切性质。
②具有矩形与菱形的一切性质。
所以正方形的四条边都相等，四个角都是直角。
对角线相互平分且相等，且垂直，且平分每一组对角，把正方形分成了四个全等的等腰直角三角形。
正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。
对角线交点是对称中心，对角线所在直线是对称轴，过每一组对边中点的直线也是对称轴。
练习题1．（2022•黄石）如图，正方形OABC的边长为，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（）A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，2）【分析】连接OB，由正方形的性质和勾股定理得OB＝2，再由旋转的性质得B1在y轴正半轴上，且OB1＝OB＝2，即可得出结论．【解答】解：如图，连接OB，∵正方形OABC的边长为，∴OC＝BC＝，∠BCO＝90°，∠BOC＝45°，∴OB＝＝＝2，∵将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°后点B旋转到B1的位置，∴B 1在y 轴正半轴上，且OB 1＝OB ＝2，∴点B 1的坐标为（0，2），故选：D ．2．（2022•广州）如图，正方形ABCD 的面积为3，点E 在边CD 上，且CE ＝1，∠ABE 的平分线交AD 于点F ，点M ，N 分别是BE ，BF 的中点，则MN 的长为（ ）A ．26B ．23C ．2﹣3D ．226− 【分析】连接EF ，由正方形ABCD 的面积为3，CE ＝1，可得DE ＝﹣1，tan ∠EBC ＝＝＝，即得∠EBC ＝30°，又AF 平分∠ABE ，可得∠ABF ＝∠ABE ＝30°，故AF ＝＝1，DF ＝AD ﹣AF ＝﹣1，可知EF ＝DE ＝×（﹣1）＝﹣，而M ，N 分别是BE ，BF 的中点，即得MN ＝EF ＝． 【解答】解：连接EF ，如图：∵正方形ABCD 的面积为3，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝，∵CE ＝1，∴DE＝﹣1，tan∠EBC＝＝＝，∴∠EBC＝30°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，∵AF平分∠ABE，∴∠ABF＝∠ABE＝30°，在Rt△ABF中，AF＝＝1，∴DF＝AD﹣AF＝﹣1，∴DE＝DF，△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DE＝×（﹣1）＝﹣，∵M，N分别是BE，BF的中点，∴MN是△BEF的中位线，∴MN＝EF＝．故选：D．3．（2022•贵阳）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（）A．4B．8C．12D．16【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，然后即可得到小正方形的周长．【解答】解：由题意可得，小正方形的边长为3﹣1＝2，∴小正方形的周长为2×4＝8，故选：B．4．（2022•青岛）如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE 的长度为（ ）A ．26B ．6C ．22D ．23【分析】首先利用正方形的性质可以求出AC ，然后利用等边三角形的性质可求出OE ．【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形，AB ＝2，∴AC ＝2，∵O 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，△ACE 为等边三角形，∴∠AOE ＝90°，∴AC ＝AE ＝2，AO ＝，∴OE ＝×＝． 故选：B ．5．（2022•泰州）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为与点D 不重合的动点，以DE 为一边作正方形DEFG ．设DE ＝d 1，点F 、G 与点C 的距离分别为d 2、d 3，则d 1+d 2+d 3的最小值为（ ）A ．2B ．2C ．22D ．4【分析】连接AE ，那么，AE ＝CG ，所以这三个d 的和就是AE +EF +FC ，所以大于等于AC ，故当AEFC 四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．【解答】解：如图，连接AE ，∵四边形DEFG 是正方形，∴∠EDG ＝90°，EF ＝DE ＝DG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADC ＝90°，∴∠ADE ＝∠CDG ，∴△ADE ≌△CDG （SAS ），∴AE ＝CG ，∴d 1+d 2+d 3＝EF +CF +AE ，∴点A ，E ，F ，C 在同一条线上时，EF +CF +AE 最小，即d 1+d 2+d 3最小，连接AC ，∴d 1+d 2+d 3最小值为AC ，在Rt △ABC 中，AC ＝AB ＝2，∴d 1+d 2+d 3最小＝AC ＝2， 故选：C ．6．（2022•黔东南州）如图，在边长为2的等边三角形ABC 的外侧作正方形ABED ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，则DF 的长为（ ）A ．23+2B ．5﹣33C ．3﹣3D ．3+1【分析】方法一：如图，延长DA 、BC 交于点G ，利用正方形性质和等边三角形性质可得：∠BAG ＝90°，AB ＝2，∠ABC ＝60°，运用解直角三角形可得AG ＝2，DG ＝2+2，再求得∠G ＝30°，根据直角三角形性质得出答案．方法二：过点E 作EG ⊥DF 于点G ，作EH ⊥BC 于点H ，利用解直角三角形可得EH ＝1，BH ＝，再证明△BEH ≌△DEG ，可得DG ＝BH ＝，即可求得答案．【解答】解：方法一：如图，延长DA、BC交于点G，∵四边形ABED是正方形，∴∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∴AG＝AB•tan∠ABC＝2×tan60°＝2，∴DG＝AD+AG＝2+2，∵∠G＝90°﹣60°＝30°，DF⊥BC，∴DF＝DG＝×（2+2）＝1+，故选D．方法二：如图，过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠DGE＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∵四边形ABED是正方形，∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°，∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴EH＝BE•sin∠EBH＝2•sin30°＝2×＝1，BH＝BE•cos∠EBH＝2cos30°＝，∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°，∴四边形EGFH是矩形，∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°，∵∠DEG+∠BEG＝90°，∴∠BEH＝∠DEG，在△BEH和△DEG中，，∴△BEH≌△DEG（AAS），∴DG＝BH＝，∴DF＝DG+FG＝+1，故选：D．7．（2022•随州）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．则在剪开之前，关于该图形，下列说法正确的有（）①图中的三角形都是等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的．A．只有①B．①②C．①③D．②③【分析】①利用正方形的性质和中位线的性质可以解决问题；②利用①的结论可以证明OM≠MP解决问题；③如图，过M作MG⊥BC于G，设AB＝BC＝x，利用正方形的性质与中位线的性质分别求出BE和MG即可判定是否正确．【解答】解：①如图，∵E，F分别为BC，CD的中点，∴EF为△CBD的中位线，∴EF∥BD，∵AP⊥EF，∴AP⊥BD，∵四边形ABCD为正方形，∴A、O、P、C在同一条直线上，∴△ABC、△ACD、△ABD、△BCD、△OAB、△OAD、△OBC、△OCD、△EFC都是等腰直角三角形，∵M，N分别为BO，DO的中点，∴MP∥BC，NF∥OC，∴△DNF、△OMP也是等腰直角三角形．故①正确；②根据①得OM＝BM＝PM，∴BM≠PM∴四边形MPEB不可能是菱形．故②错误；③∵E，F分别为BC，CD的中点，∴EF∥BD，EF＝BD，∵四边形ABCD是正方形，且设AB＝BC＝x，∴BD＝x，∵AP⊥EF，∴AP⊥BD，∴BO＝OD，∴点P在AC上，∴PE＝EF，∴PE＝BM，∴四边形BMPE是平行四边形，∴BO＝BD，∵M为BO的中点，∴BM＝BD＝x，∵E为BC的中点，∴BE＝BC＝x，过M作MG⊥BC于G，∴MG＝BM＝x，∴四边形BMPE的面积＝BE•MG＝x2，∴四边形BMPE的面积占正方形ABCD面积的．∵E、F是BC，CD的中点，∴S△CEF＝S△CBD＝S四边形ABCD，∴四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的（1﹣﹣﹣）＝．故③正确．故选：C．8．（2022•宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．正方形纸片的面积B．四边形EFGH的面积C．△BEF的面积D．△AEH的面积【分析】根据题意设PD＝x，GH＝y，则PH＝x﹣y，根据矩形纸片和正方形纸片的周长相等，可得AP＝x+y，先用面积差表示图中阴影部分的面积，并化简，再用字母分别表示出图形四个选项的面积，可得出正确的选项．【解答】解：设PD＝x，GH＝y，则PH＝x﹣y，∵矩形纸片和正方形纸片的周长相等，∴2AP+2（x﹣y）＝4x，∴AP＝x+y，∵图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣2△ADH﹣2S△AEB＝（2x+y）（2x﹣y）﹣2ו（x﹣y）（2x+y）﹣2ו（2x﹣y）•x＝4x2﹣y2﹣（2x2+xy﹣2xy﹣y2）﹣（2x2﹣xy）＝4x2﹣y2﹣2x2+xy+y2﹣2x2+xy＝2xy，A、正方形纸片的面积＝x2，故A不符合题意；B、四边形EFGH的面积＝y2，故B不符合题意；C、△BEF的面积＝•EF•BQ＝xy，故C符合题意；D、△AEH的面积＝•EH•AM＝y（x﹣y）＝xy﹣y2，故D不符合题意；故选：C．9．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（）A．45°B．60°C．67.5°D．77.5°【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到∠ADF的度数，从而可以求得∠CDF的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°，在△DAF和△ABE中，，△DAF≌△ABE（SAS），∠ADF＝∠BAE，∵AE平分∠BAC，四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠BAC＝22.5°，∠ADC＝90°，∴∠ADF＝22.5°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣22.5°＝67.5°，故选：C．10．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．∵OE＝OF，∴△OEF为等腰直角三角形，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∵∠AFE＝25°，∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，∴∠F AO＝20°．在△AOF和△BOE中，，∴△AOF ≌△BOE （SAS ）．∴∠F AO ＝∠EBO ＝20°，∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等腰直角三角形，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°，∴∠CBE ＝∠EBO +∠OBC ＝65°．故选：C ．11．（2022•益阳）如图，将边长为3的正方形ABCD 沿其对角线AC 平移，使A 的对应点A ′满足AA ′＝31AC ，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是 ．【分析】由正方形边长为3，可求AC ＝3，则AA ′＝AC ＝，由平移可得重叠部分是正方形，根据正方形的面积公式可求重叠部分面积．【解答】解：∵正方形ABCD 的边长为3，∴AC ＝3，∴AA ′＝AC ＝， ∴A ′C ＝2，由题意可得重叠部分是正方形，且边长为2，∴S 重叠部分＝4．故答案为：4．12．（2022•海南）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，AE ＝AF ，∠EAF ＝30°，则∠AEB ＝ °；若△AEF 的面积等于1，则AB 的值是 ．【分析】利用“HL”先说明△ABE与△ADF全等，得结论∠BAE＝∠DAF，再利用角的和差关系及三角形的内角和定理求出∠AEB；先利用三角形的面积求出AE，再利用直角三角形的边角间关系求出AB．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．∴∠BAE＝∠DAF．∴∠BAE＝（∠BAD﹣∠EAF）＝（90°﹣30°）＝30°．∴∠AEB＝60°．故答案为：60．过点F作FG⊥AE，垂足为G．∵sin∠EAF＝，∴FG＝sin∠EAF×AF．∵S△AEF＝×AE×FG＝×AE×AF×sin∠EAF＝1，∴×AE2×sin30°＝1．即×AE2×＝1．∴AE＝2．在Rt△ABE中，∵cos∠BAE＝，∴AB＝cos30°×AE＝×2＝．故答案为：．13．（2022•广西）如图，在正方形ABCD中，AB＝42，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是．【分析】作辅助线，构建全等三角形，先根据翻折的性质得△EGH'≌△EGH，所以△EGH′的周长＝△EGH的周长，接下来计算△EGH的三边即可；证明△BME≌△FNE（ASA）和△BEO≌△EFP（AAS），得OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，利用三角函数和勾股定理分别计算EG，GH和EH的长，相加可得结论．【解答】解：如图，过点E作EM⊥BC于M，作EN⊥CD于N，过点F作FP⊥AC于P，连接GH，∵将△EFH沿EF翻折得到△EFH′，∴△EGH'≌△EGH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝4，∠BCD＝90°，∠ACD＝∠ACB＝45°，∴BD＝BC＝8，△CPF是等腰直角三角形，∵F是CD的中点，∴CF＝CD＝2，∴CP＝PF＝2，OB＝BD＝4，∵∠ACD＝∠ACB，EM⊥BC，EN⊥CD，∴EM＝EN，∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴∠MEN＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°，∴∠BEM＝∠FEN，∵∠BME＝∠FNE，∴△BME≌△FNE（ASA），∴EB＝EF，∵∠BEO+∠PEF＝∠PEF+∠EFP＝90°，∴∠BEO＝∠EFP，∵∠BOE＝∠EPF＝90°，∴△BEO≌△EFP（AAS），∴OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，∵tan∠OEG＝＝，即＝，∴OG＝1，∴EG＝＝，∵OB∥FP，∴∠OBH＝∠PFH，∴tan∠OBH＝tan∠PFH，∴＝，∴＝＝2，∴OH＝2PH，∵OP＝OC﹣PC＝4﹣2＝2，∴OH＝×2＝，在Rt△OGH中，由勾股定理得：GH＝＝，∴△EGH′的周长＝△EGH的周长＝EH+EG+GH＝2+++＝5+．故答案为：5+．14．（2022•无锡）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE 且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝．【分析】设CG＝x，则BG＝8﹣x，根据勾股定理可得AB2+BG2＝CE2+CG2，可求得x 的值，进而求出BG的长．【解答】解：连接AG，EG，∵E是CD的中点，∴DE＝CE＝4，设CG＝x，则BG＝8﹣x，在Rt△ABG和Rt△GCE中，根据勾股定理，得AB2+BG2＝CE2+CG2，即82+（8﹣x）2＝42+x2，解得x＝7，∴BG＝BC﹣CG＝8﹣7＝1．故答案是：1．15．（2022•江西）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为．【分析】根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，然后利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，则长方形的对角线长＝＝．故答案为：．。
正方形知识点及同步练习含答案1推荐文档
【学习目标】1.掌握正方形的定义、性质和判定方法.2 •能正确区别平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系.3•能运用正方形的性质和判定方法进行有关的计算和证明.【主体知识归纳】1.正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.2•正方形的性质：正方形除具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质外，还具有：(1)正方形的四个角都是直角，四条边都相等；(2)正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.3.正方形的判定(1)根据正方形的定义；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形；(3)有一个角是直角的菱形是正方形；(4)既是矩形又是菱形的四边形是正方形.【基础知识精讲】1.掌握正方形定义是学好本节的关键，正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：(1) 有一组邻边相等的平行四边形(菱形)正方形(2) 并且有一个角是直角的平行四边形(矩形)形正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形.2.正方形的性质可归纳如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.此外：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45 °;正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴，学习时，应熟悉这些最基本的内容.【例题精讲】［例1］如图4 —50,已知矩形ABCDK F为CD的中点，在BC上有一点E,使DC + CE AF 平分/ EAD求证：矩形ABCDI正方形.图4—50剖析：欲证矩形ABCD是正方形，只要证明有一组邻边相等即可，由已知AE= DO CE 容易想到若能证明AE= A［＞CE便可证得AD- DC由于AF平分/ EAD因此可在AE上截取AG= AD再证GE= CE就可得出要证的结论.证明：在AE上截取AG= AD连结FG FE•••四边形ABCD^矩形，•••/ D=Z C- 90°.•/ AD- AG / DAF=Z GAF AF= AF•••△ADF^A AGF •- DF- GF, / D-Z AG- 90 ° .•/ DF= CF, ••• GF= CF.•••Z FGE=Z C= 90° , FE= FE,•Rt △ GFE^ Rt △ CFE•GE= CE •- AD^ CE= AE 又DO CE= AE • AD- DC•矩形ABCD是正方形.说明：要判定一个四边形是正方形，可先判定这个四边形是矩形，再证明有一组邻边相等；或先判定它是菱形，再证明有一个角是直角.［例2］如图4—51,已知正方形ABCD勺对角线AC BD相交于点O E是AC上一点，过点A作AGL EB,垂足为G AG交BD于点F,则0E= OF图4—51对上述命题的证明如下：••四边形ABCD^正方形，•Z BOE=Z AOF= 90° , BO= AO•Z 3+Z 2= 90° ,•/ AGLBE •Z 1 + Z 3-90°.•Z 1-Z 2 ,•△ BOE^ AOF • OE= OF问题：对于上述命题，若点E在AC延长线上，AGL EB交EB的延长线于G AG的延长线交DB的延长线于点F,其他条件不变（如图4—52）,结论“OE= OF”还成立吗？如果成立,请给出证明；如果不成立，请说明理由.剖析：可仿上述的证明，证△ BOE^A AOF解：结论O氐OF仍然成立，证明如下：•••四边形ABCD是正方形，•••/ BOE=Z AO F 90°, BO= AQ•••/ OFA-Z FAE F 90°又••• AGL EB •••/ OE—Z EAF= 90°,• Z OE FZ OFA•••△BO^A AOF •- OE= OF［例3］有一正方形池塘，池塘四个角上有四棵树，现计划把此池塘改为面积扩大一倍的正方形，能否不毁掉树木而达到要求？请你设计出方案来.图4—53剖析：新改造的池塘的面积是原面积的2倍，因此，新边长应为原边长的.2倍，而正方形的对角线是边长的.2倍，故以原对角线的长为边长构造新的正方形.答案：如图4—53,分别过B、D作AC的平行线，分别过A C作BD的平行线，四条线分别交于A'、B'、C'、D'，则四边形A B' C D为要求的正方形.【同步达纲练习】1 •选择题(1)下列命题中，假命题的个数是( )①四边都相等的四边形是正方形②对角线互相垂直的平行四边形是正方形③四角A. 1 B . 2 C . 3 D . 4(2) 正方形具有而菱形不具有的性质是( A.对角线互相垂直平分 C.邻边相等(3) 正方形的对角线与边长之比为( )A. 1 : 1 B .2 : 1 C . 1 : 2 D . 2 : 1(4) 以等边A ABC 勺边BC 为边向外作正方形BCDE 则①/AB 9105。
最新北师版初中数学九年级上册1.3正方形的 性质与判定 2过关习题及解析答案
1.3 正方形的性质与判定基础过关1.若正方形的边长是4，则它的对角线长是_________，面积是_________.2.正方形的对角线与边长之比是_____________.3．如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上的一点，且CE=AC ，若AE 交CD 于点F ，则∠E= °； ∠AFC= °4.如图，E 是正方形ABCD 对角线AC 上任意一点，四边形EFBG 是矩形，若正方形ABCD 的周长a ，则矩形EFBG 的周长是__________.5.已知四边形ABCD 是菱形，当满足________________时，它成为正方形（填上你认为正确的一个条件即可）.6. 已知四边形ABCD 是矩形，当满足_______________时，它成为正方形（填上你认为正确的一个条件即可）.能力提高7.如图，以数轴的单位长线段为边作一正方形，以数轴的原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴正半轴与点A ，则点A 表示的数是______________.8．如图，E 为正方形ABCD 内一点，若△ABE 是等边三角形，则∠DCE= °.(3题图)FEBD AC(4题图)FG BDA C E-1AO 1 (7题图)9.如图，正方形ABCD 的边长为4，MN BC ∥分别交AB 、CD 于点M N ，，在MN 上任取两点P 、Q ，那么图中阴影部分的面积是 .10.如图，正方形ABCD 边长为８，M 在DC 上，且DM ＝２，N 是在AC 上的一动点，则DN ＋MN 的最小值为___________.11. 如图，正方形ABCD 的对角线AC 是菱形AEFC 的一边，则∠FAB 等于( )A.135°B.45°C.22.5°D.30°12.如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE=DF ，AE 、BF 相交于点O ，下列结论（1）AE=BF ；（2）AE ⊥BF ；（3）AO=OE ；（4）S △AOB =S 四边形DEOF 中，错误的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个13．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是 （ ）（11题图）（12题图）OEDBAC F(10题图)BD ACNMabcl（第14题图）(9题图)A BCDMNPQDAECB(8题图)A ．B ．C ．D ．14．如图，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ） Ａ．4 Ｂ．6 Ｃ．16 Ｄ．5515.四边形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ） A.OA=OB=OC=OD ，AC ⊥BD B.AB ∥CD ，AC=BD C.AD ∥BC ，∠A=∠C D.OA=OC ，OB=OD ，AB=BC16.用两块完全相同的直角三角形一定能拼下列图形：（1）平行四边形（2）矩形（3）菱形（4）正方形（5）等腰三角形（6）等边三角形，一定能拼成的图形是（ ） A.（1）（4）（5） B.（2）（5）（6） C.(1)(2)(3) D.(1)(2)(5)17.如下图，ABCD 和AEFG 都是正方形.求证：BE=DGGEACB DF18.把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H （如图）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．D CGHFA BE19. 如图，ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，DE ⊥AG 于E ，BF ∥DE ，交AG 于F ，求证：AF —BF=EF ．证明：∵四边形ABCD 是正方形，20.如图，正方形ABCD 的边长是1，G 是CD 边上的一个动点（点G 与C 、D 不重合），以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连结DE 交BG 的延长线于H.（1）求证：△BCG ≌△DCE ；（2）BH ⊥DE ；（3）试问当点G 运动到什么位置时，BH 垂直平分DE ？HEGB DACFGFEDCBA21．如图l ，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，连结EB ，过点A 作AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 交BD 于点F ． ⑴求证：OE ＝OF ；⑵如图2，若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥BE 于点M ，交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE ＝OF ”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．22.如图，Q 是正方形ABCD 的CD 边的中点，P 为CD 上一点，且AP=PC+CB.求证：∠BAP=2∠ QAD.AB DCOE F M图1AB DC图2OMFE聚沙成塔1.如图，△ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O 作直线MN ∥BC ，交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于F.（1）求证：EO=FO ；（2）当O 运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？证明你的结论；（3）在（2）的条件下，当ABC 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？说明你的理由.FEBCADOM N BCQ DAP2.如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，E 、F 分别是BM 、CM 的中点.（1）求证：四边形MENF 是菱形； （2）若四边形MENF 是正方形，请探索等腰梯形ABCD 的高和底边BC 的数量关系并说明你的结论.FE N BMCDA。
初二数学下册知识点《正方形的性质》经典150例题及解析
初二数学下册知识点《正方形的性质》经典150例题及解析副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共52小题，共156.0分）1.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了勾股定理的应用有关知识，观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2=21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案.【解答】解：如图所示：∵（）2=21，∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面积为13，∴a2+b2=13，∴2ab=21-13=8，∴小正方形的面积为13-8=5．故选C.2.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（）A. 18B.C.D.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=12，BM=5，∴MC=12-5=7．∵ME⊥AM，∴∠AME=90°，∴∠AMB+∠CMG=90°．∵∠AMB+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CMG，∠B=∠C=90°，∴△ABM∽△MCG，∴=，即=，解得CG=，∴DG=12-=．∵AE∥BC，∴∠E=∠CMG，∠EDG=∠C，∴△MCG∽△EDG，∴=，即=，解得DE=．故选：B．先根据题意得出△ABM∽△MCG，故可得出CG的长，再求出DG的长，根据△MCG∽△EDG即可得出结论．本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．3.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC=BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，故④选项正确，故选：A．因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．4.我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（）A. （，1）B. （2，1）C. （1，）D. （2，）【答案】D【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确地识别图形是解题的关键．由已知条件得到AD'=AD=2，AO=AB=1，根据勾股定理得到OD'==，于是得到结论．【解答】解：∵AD'=AD=2，AO=AB=1，∴OD'==，∵C'D'=2，C'D'∥AB，∴C'（2，），故选D．5.如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】解：（1）S1=a2，S2=b2，S3=c2，∵a2+b2=c2，∴a2+b2=c2，∴S1+S2=S3．（2）S1=a2，S2=b2，S3=c2，∵a2+b2=c2，∴a2+b2=c2，∴S1+S2=S3．（3）S1=a2，S2=b2，S3=c2，∵a2+b2=c2，∴a2+b2=c2，∴S1+S2=S3．（4）S1=a2，S2=b2，S3=c2，∵a2+b2=c2，∴S1+S2=S3．综上可得，面积关系满足S1+S2=S3图形有4个．故选D．根据直角三角形a、b、c为边，应用勾股定理，可得a2+b2=c2．（1）第一个图形中，首先根据等边三角形的面积的求法，表示出3个三角形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．（2）第二个图形中，首先根据圆的面积的求法，表示出3个半圆的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．（3）第三个图形中，首先根据等腰直角三角形的面积的求法，表示出3个等腰直角三角形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．（4）第四个图形中，首先根据正方形的面积的求法，表示出3个正方形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．此题还考查了等腰直角三角形、等边三角形、圆以及正方形的面积的求法，要熟练掌握6.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝3，E为OC上一点，OE＝1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G，则BF的长是（）A. B. C.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明△GAO≌△EBO，得到OG=OE=1，证明△BFG∽△BOE，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=3，∴∠AOB=90°，AO=BO=CO=3，∵AF⊥BE，∴∠EBO=∠GAO，在△GAO和△EBO中，，∴△GAO≌△EBO，∴OG=OE=1，∴BG=2，在Rt△BOE中，BE==，∵∠BFG=∠BOE=90°，∠GBF=∠EBO，∴△BFG∽△BOE，∴=，即=，解得，BF=.故选A．7.如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】D【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴==2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．故选D．8.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE=4，过点E作EF∥BC，分别叫BD,CD于G,F两点。
word完整版必修2立体几何复习知识点经典习题推荐文档
一、判定两线平行的方法1、平行于同一直线的两条直线互相平行2、垂直于同一平面的两条直线互相平行3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、判定线面平行的方法1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法1、定义：没有公共点2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行3 垂直于同一直线的两个平面平行4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法1、定义：成90角2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法1、定义：两面成直二面角，则两面垂直2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八、面面垂直的性质1、二面角的平面角为902、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面九、各种角的范围1、异面直线所成的角的取值范围是：0900 ,902、直线与平面所成的角的取值范围是：0900 ,903、斜线与平面所成的角的取值范围是：0900 ,904、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：0 180十、三角形的心1、内心: 内切圆的圆心，角平分线的交点2、外心: 外接圆的圆心，垂直平分线的交点3、重心: 中线的交点4、垂心: 高的交点考点一，几何体的概念与性质【基础训练】1•判定下面的说法是否正确：(1) 有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱(2) 有两个面平行，其余各面为梯形的几何体叫棱台•2.如图E,F分别是AB,AA 的中点探索过EF体所得截面的形状0 ,180的平面截正方6•下列说法不正确的是(A •空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。
人教版八年级数学下册18.2.3正方形同步综合练习【含答案】.docx
人教版八年级数学下册18.2.3正方形同步综合练习1．如图，有一▱ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B的度数为(C)A．50° B．55°C．70° D．75°2．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是(D)A．∠D＝90° B．AB＝CDC．AD＝BC D．BC＝CD3．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是(D)A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形4．(2017·舟山)一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按下图步骤折叠纸片，则线段DG长为(A)A. 2 B．22C．1 D．25．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是(C)A．45° B．35°C．22.5° D．15.5°6．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是(A)A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直平分且相等7．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，则此正方形的面积为(C)A．3 2 B．12C．18 D．368．如图，在正方形ABCD中，以AB为边在正方形内作等边△ABE，连接DE，CE，则∠CED的度数为150°．9．如图，正方形ABCD的面积为5，正方形BEFG面积为4，那么△GCE的面10．在▱ABCD 中，对角线AC 与DB 相交于点O.要使四边形ABCD 是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB ⊥AD ，且AB ＝AD ；②AB ＝BD ，且AB ⊥BD ；③OB ＝OC ，且OB ⊥OC ；④AB ＝AD ，且AC ＝BD.其中正确的序号是①③④．11． ▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ⊥BD ，请添加一个条件：答案不唯一，如：AC ＝BD ，使得▱ABCD 为正方形．12．如图，正方形ABCD 边长为3，连接AC ，AE 平分∠CAD ，交BC 的延长线于点E ，FA ⊥AE ，交CB 延长线于点F ，则EF 的长为13．已知，如图，四边形ABCD 是正方形，E ，F 分别是AB 和AD 延长线上的点，且BE ＝DF.(1)求证：CE ＝CF ；(2)求∠CEF 的度数．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴DC ＝BC ，∠B ＝∠ADC ＝90°.在△CDF 和△CBE 中，⎩⎨⎧DC ＝BC ，∠CDF ＝∠B ＝90°，DF ＝BE ，∴△CDF ≌△CBE(ASA)．∴CE ＝CF.(2)∵△CDF ≌△CBE ，∴∠DCF ＝∠BCE.∴∠ECF ＝∠DCB ＝90°.∵CF ＝CE ，∴∠CEF ＝45°.14．已知：如图，在菱形ABCD 中，点E ，O ，F 分别是边AB ，AC ，AD 的中点，连接CE ，CF ，OF.(1)求证：△BCE ≌△DCF ；(2)当AB 与BC 满足什么条件时，四边形AEOF 是正方形？请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠B ＝∠D.又∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点，∴BE ＝DF.在△BCE 和△DCF 中，⎩⎨⎧BC ＝DC ，∠B ＝∠D ，BE ＝DF ，∴△BCE ≌△DCF(SAS)．(2)当AB 与BC 满足AB ⊥BC 时，四边形AEOF 为正方形．理由如下：∵E，O分别是AB，AC的中点，∴EO∥BC.又∵BC∥AD，∴OE∥AD，即OE∥AF.同理可证OF∥AE，∴四边形AEOF为平行四边形．∵在菱形ABCD 中，点E，F 分别是边AB, AD的中点，∴AE＝AF.∴四边形AEOF为菱形．∵AB⊥BC，∴∠BAD＝∠B＝90°.∴四边形AEOF为正方形．15．如图所示，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点．(1)当四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是菱形，请说明理由；(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？并说明理由．解：(1)理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD.由题意，得EF＝12AC，EH＝12BD，GH＝12AC，GF＝12BD，∴EF＝EH＝GH＝GF.∴四边形EFGH是菱形．(2)当四边形ABCD满足AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．理由：∵E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF＝12AC.同理：EH∥BD，EH＝12BD，GF＝12BD，GH＝12AC.又∵AC＝BD，∴EF＝EH＝GH＝GF.∴四边形EFGH是菱形．∵AC⊥BD，∴EF⊥EH.∴四边形EFGH是正方形．。
初三正方形知识点归纳总结
初三正方形知识点归纳总结初三学习阶段，数学知识点变得更加复杂和深入。
在几何学中，正方形是一个重要且基础的形状。
通过本文，我将总结初三学习中与正方形相关的知识点，帮助读者加深对正方形的理解。
一、定义及性质正方形是一种特殊的四边形，它有以下几个重要性质：1. 四边相等：正方形的四条边长度相等。
2. 四角相等：正方形的四个内角都是90度，即直角。
3. 对角相等：正方形的对角线相等且互相垂直。
4. 线对称性：正方形关于对角线对称。
二、周长和面积1. 周长计算：正方形的周长等于4倍边长，即公式C=4s，其中C 为周长，s为边长。
2. 面积计算：正方形的面积等于边长的平方，即公式A=s^2，其中A为面积。
三、正方形相关概念1. 对角线：正方形的对角线是连接正方形相对顶点的线段。
2. 正方形的高：正方形的高等于任意一条边长。
3. 内切圆和外接圆：正方形的内切圆是与正方形的四条边相切的圆，外接圆则是通过正方形四个顶点的圆。
四、正方形的性质运用1. 判定正方形：当一个四边形满足正方形的定义及性质时，可以判定它为正方形。
2. 正方形的构造：已知一条边长或者一条对角线，可以使用竖直线段和直角线段的性质来构造正方形。
3. 正方形的性质在解题中的应用：在解决几何问题时，可以通过正方形的性质来推导和证明其他结论，解决实际问题。
五、例题解析以下是几个与正方形相关的例题及解析：1. 已知正方形的面积为64平方厘米，求它的周长。
解析：由面积公式A=s^2可知，边长为s=√A=√64=8厘米。
再利用周长公式C=4s，得到周长C=4×8=32厘米。
2. 某正方形的对角线长为10厘米，求它的面积。
解析：正方形的对角线相等，设对角线长为d=10厘米。
由对角线和边长的关系可得，边长s=d/√2=(10/√2)厘米。
再利用面积公式A=s^2，得到面积A=(10/√2)^2=100/2=50平方厘米。
3. 如图所示，ABCD是正方形，AE为正方形外一点的延长线，且AE与CD垂直交于点E。
人教版初二数学下册正方形、梯形知识点总结及例题-2b95
正方形一周强化一、一周知识概述1、正方形的定义及性质、正方形的定义及性质有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形．有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形．从定义可知，正方形既是一种特殊的矩形（有一组邻边相等的矩形），又是一种特，因此它具有矩形和菱形的所有性质．殊的菱形（有一个角是直角的菱形），因此它具有矩形和菱形的所有性质．正方形被对角线分成的三角形，都是等腰直角三角形．正方形被对角线分成的三角形，都是等腰直角三角形．2、正方形的判定、正方形的判定从平行四边形出发：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形． 从平行四边形出发：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形．从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形．从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形．从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形．从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形．3、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图．正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图．二、重难点知识归纳1、利用正方形对角线的性质解题、利用正方形对角线的性质解题2、利用正方形的轴对称性解题、利用正方形的轴对称性解题上． 例4、已知，如图，在正方形ABCD中，点E在AC上．3、利用旋转法解决有关正方形问题、利用旋转法解决有关正方形问题 ∴．4、构造正方形解题、构造正方形解题5、利用正方形性质解选择题、利用正方形性质解选择题梯形一周强化一、一周知识概述 1、梯形的概念、梯形的概念梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，这两个条件缺一不可．梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，这两个条件缺一不可．换一换一种说法就是，一组对边平行且不相等的四边形是梯形．种说法就是，一组对边平行且不相等的四边形是梯形． 等腰梯形和直角梯形是两种特殊梯形．等腰梯形和直角梯形是两种特殊梯形． 2、等腰梯形的性质与判定、等腰梯形的性质与判定 (1)等腰梯形的性质等腰梯形的性质①等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，底边的垂直平分线是它的对称轴； ②等腰梯形同一底边上的两个角相等；②等腰梯形同一底边上的两个角相等； ③等腰梯形的两条对角线相等．③等腰梯形的两条对角线相等． (2)等腰梯形的判定等腰梯形的判定同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形． 3、梯形中常见辅助线作法、梯形中常见辅助线作法(1)平移一腰，使两腰、两底角集中于同一个三角形中，并且得出两底之差(如图(1))； (2)平移一条对角线，使两条对角线及两底之和构成一个三角形，并且能得出两底之和(如图(2))；(3)延长两腰交于一点，将梯形转化为三角形(如图(3))； (4)作梯形的高，将梯形转化为矩形与直角三角形(如图(4))；(5)延长顶点与一腰中点的连线交底边于一点，将梯形转化为三角形，并且集中了两底(如图(5))；(6)将梯形割补为平行四边形(如图(6))；1、直接利用等腰梯形的性质或判定解题、直接利用等腰梯形的性质或判定解题∴EF∥AD，．∴EF∥BC．又，∴∠ABC=∠AEB ，∴AB=AE，∴．2、梯形辅助线的作法、梯形辅助线的作法在Rt△BDE中，∴∴∴AF=7cm ∴．同理．∴．∴．(3)若AD=3，BC=7，，求证：AC⊥BD．(1)分别过点A、D作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，则．又AE=DF=4，∴(2)．∴．∵，∴BD2＋DG2=BG2．点评：(1)是作等腰梯形的两条高，构造直角三角形，运用勾股定理求腰长；由(3)知在等腰梯形中，已知对角线互相垂直或要证对角线互相垂直，一般的方法就是平移一腰．。
正方形知识点总结仁爱版
正方形知识点总结仁爱版1. 正方形的定义正方形是一种具有平行四边形性质的四边形，它拥有四条相等的边和四个等角，每个角都是90度。
正方形的特点是边长相等，并且对角线相等和互相垂直。
正方形是一种特殊的长方形，它具有很多与长方形相似的性质。
2. 正方形的性质正方形的性质是它具有独特的几何特点，下面我们来详细了解一下正方形的性质：• 边长相等：正方形的四条边长度都相等，这意味着它的周长为4倍边长。
• 角度相等：正方形的四个角都是90度，这意味着它是一个直角四边形。
• 对角线相等：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直。
• 互为补角：相对的两个角是互为补角的关系，它们的和等于180度。
• 对称性：正方形具有对称性，它可以进行水平、垂直和中心对称。
3. 正方形的周长和面积正方形的周长是其四条边的长度之和，即周长=4×边长。
正方形的面积是其边长的平方，即面积=边长×边长。
4. 正方形的判定方法判断一个四边形是否为正方形，可以通过以下方法进行判断：• 边长相等：首先要判断四条边的长度是否相等。
• 角度相等：其次要判断四个角是否都是90度。
• 对角线相等：最后要判断对角线是否相等，并且互相垂直。
5. 正方形的应用正方形具有丰富的应用价值，它在生活和工作中有很多实际的应用，下面我们来了解一下正方形的应用：• 建筑领域：正方形是建筑设计中常见的几何形状，例如正方形的房屋平面设计，正方形的庭院设计等。
• 制造业：在制造业中，正方形常用于材料的切割、加工和生产。
• 数学领域：在数学中，正方形是几何形状的研究对象，它具有丰富的性质和应用。
• 艺术领域：在艺术中，正方形是一种常见的构图元素，例如画作的画框或者画布形状就是正方形。
6. 正方形的变形正方形可以进行各种变形，例如扭曲、拉伸等变形，这些变形会改变正方形的原有性质。
在实际应用中，我们需要对正方形的变形进行研究和应用。
7. 正方形的相关定理正方形有许多相关的几何定理，例如：• 对角线平分：正方形的对角线互相平分。
正方形的判定-【 重难点突破练】 八年级数学下学期同步训练(人教版)(解析版)
§18.2.3.2正方形的判定一、知识导航正方形的判定：1.从四边形出发：（1）四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；（2）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.2.从平行四边形出发：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形3.从矩形出发：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形4.从菱形出发：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形二、重难点突破重点1添一个条件成正方形例1.菱形ABCD添上下列的哪个条件，可证明ABCD是正方形（）A．AC＝BD B．AB＝CD C．BC＝CD D．都不正确【答案】A【分析】根据有一个角是90°的菱形是正方形，以及对角线相等的菱形是正方形进行判断即可．【详解】要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角（2）对角线相等．即∠ABC=90°或AC=BD．故选：A．【点睛】此题主要考查了正方形的判定，正确掌握正方形的判定方法是解题关键．，AC平变式1如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD//BC，OA OC分BAD．欲使四边形ABCD是正方形，则还需添加添加________（写出一个合适的条件即可）【答案】AC BD （答案不唯一）【分析】由平行线的性质可知，DAC BCA ，即易证()AOD COB ASA ，得出AD CB ，由此可证明四边形ABCD 为平行四边形．由角平分线的性质可知DAC BAC ，即得出BAC BCA ，从而证明BA BC ，即平行四边形ABCD 为菱形．故在四边形ABCD 为菱形的基础上，添加条件使其为正方形即可．【详解】∵//AD BC ，∴DAC BCA ，∴在AOD △和COB △中，AOD COB AO CO DAO BCO，∴()AOD COB ASA ，∴AD CB ，∴四边形ABCD 为平行四边形．∵AC 平分∠BAD ，∴DAC BAC ，∴BAC BCA ，∴BA BC ，∴平行四边形ABCD 为菱形．∴再添加AC BD 或90ABC 等，即可证明菱形ABCD 为正方形．故答案为：AC BD （答案不唯一）．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，平行四边形、菱形、正方形的判定．掌握特殊四边形的判定方法是解题的关键．重点点拨：添加一个条件，使得四边形成为正方形的方法很多，只要能证明这个四边形既是矩形，又是菱形即可.重点2正方形的判定例2.如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，对角线BD 平分∠ABC ，P 是BD 上一点，过点P 作PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，垂足分别为M 、N．（1）求证：∠ADB=∠CDB ；（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND 是正方形．【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD ≌△CBD ，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB ；（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND 是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形即可证明四边形MPND 是正方形．【详解】证明：（1）∵对角线BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD ，在△ABD 和△CBD 中，AB CB ABD CBD BD BD，∴△ABD ≌△CBD （SAS ），∴∠ADB=∠CDB ；（2）∵PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，∴∠PMD=∠PND=90°，∵∠ADC=90°，∴四边形MPND 是矩形，∵∠ADB=∠CDB ，∴∠ADB=45°∴PM=MD ，∴四边形MPND 是正方形．【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．变式2-1如图，在四边形ABCD 中，点E 是线段AD 上的任意一点（E 与A ，D 不重合），G ，F ，H 分别是BE ，BC ，CE 的中点.（1）证明四边形EGFH 是平行四边形；（2）若EF ⊥BC ，且EF=12BC ，证明平行四边形EGFH 是正方形【分析】（1）通过中位线定理得出GF ∥EH 且GF=EH ，所以四边形EGFH 是平行四边形；（2）当添加了条件EF ⊥BC ，且EF=12BC 后，通过对角线相等且互相垂直平分（EF ⊥GH ，且EF=GH ）就可证明是正方形．【详解】证明：（1）∵G ，F 分别是BE ，BC 的中点，∴GF ∥EC 且GF=12EC ．又∵H 是EC 的中点，EH=12EC ，∴GF ∥EH 且GF=EH ．∴四边形EGFH 是平行四边形．（2）连接GH ，EF ．∵G ，H 分别是BE ，EC 的中点，∴GH ∥BC 且GH=12BC ．又∵EF ⊥BC 且EF=12BC ，又∵EF ⊥BC ，GH 是三角形EBC 的中位线，∴GH ∥BC ，∴EF ⊥GH ，又∵EF=GH ．∴平行四边形EGFH 是正方形．【点睛】本题考查平行四边形的判定和正方形的性质．正方形对角线的特点是：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角．变式2-2已知：如图，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，E 、F 分别是线段BM 、CM 的中点（1）求证：△ABM≌△DCM（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD：AB=_时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）【分析】（1）求出AB=DC，∠A=∠D=90°，AM=DM，根据全等三角形的判定定理推出即可．（2）根据三角形中位线定理求出NE∥MF，NE=MF，得出平行四边形，求出BM=CM，推出ME=MF，根据菱形的判定推出即可.（3）先假设四边形MENF是正方形得到∠BMC=90°，再进一步得出∠AMB=45°，进而求出AB=AM，再反过来求证即可完成求解．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC．∵M是边AD的中点，∴MA＝MD，∴△ABM≌△DCM（SAS）．（2）四边形MENF是菱形．证明如下：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，∴NE∥CM，NE=12CM，MF=12CM．∴NE=FM，NE∥FM．∴四边形MENF是平行四边形．∵△ABM≌△DCM，∴BM=CM．∵E、F分别是BM、CM的中点，∴ME=MF．∴平行四边形MENF是菱形．（3）当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形，理由如下：∵M为AD中点，∴AD=2AM．∵AD：AB=2：1，∴AM=AB．∵∠A=90°，∴∠ABM=∠AMB=45°．同理∠DMC=45°．∴∠EMF=180°-45°-45°=90°．∵四边形MENF是菱形，∴菱形MENF是正方形．【点睛】本题考查了菱形的判定、正方形的性质与判定、三角形的中位线定理等知识，解决本题的关键是理解相关概念，能分析出要得出结论的条件并进行求解，本题逻辑性较强，对学生的分析能力要求较高．重点点拨：当图形中含有对角线时，可考虑利用“对角线相等的菱形是正方形”进行判定；如果图形中没有对角线，可考虑利用“有一组邻边相等的矩形是正方形”或“有一个角是直角的菱形是正方形”进行判定.重点3正方形的性质和判定综合例3.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，P为BD上的一点，连接CP，过点P作PF⊥CP交AD的延长线于点F，延长FP交AB于点E，则下列结论：（1）∠DPF=∠PCA；（2）BE=DF；（3）点P为EF的中点；（4）SΔBPE=SΔDCP；（5）若OP =2，则BE =其中正确的结论有_______个．（填正确结论的个数）【答案】4【分析】先证∠PCA +∠CPB =90°，再证∠EPB +∠CPB =90°，再由∠EPB =∠DPF ，即可判断（1）；故（1）正确；如图所示，过点P 作直线MN ⊥BC 分别交BC 于M ，交AD 于N ，作直线GH ⊥AB 分别交AB 于G ，交CD 于H ，证明△PGB ≌△PMB （AAS ），得到PG =PM ，则四边形BMPG 是正方形，再证明△PGE ≌△PMC 得到GE =CM =DN ，同理可证四边形PHDN 是正方形，得到PN =DN =GE ，即可证明△GPE ≌△NFP 得到PF =PE 即可判断（3）；则CP 垂直平分EF ，连接CE ，CF ，得到CE =CF ，即可证明Rt △CBE ≌Rt △CDF 即可判断（2）；1=2DCP PCB BCD ABCD S S S S V V V 正方形===PBE PBC PMC PGE BMPG BEPM BEPM S S S S S S S △△△△正方形梯形梯形，而BMPG S 正方形不一定等于12ABCD S 正方形，则DCP S △不一定等于PBE S △，即可判断（4）；证明△EPK ≌△PCO 得到EK =PO =2，由此即可判断（5）．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，即∠COD =90°，∴∠PCA +∠CPB =90°．∵PF ⊥CP ，∴∠CPE =90°，∴∠EPB +∠CPB =90°，∴∠EPB =∠PCA ．又∵∠EPB=∠DPF，∴∠PCA=∠DPF，故（1）正确；如图所示，过点P作直线MN⊥BC分别交BC于M，交AD于N，作直线GH⊥AB分别交AB于G，交CD于H，则四边形PGBM是矩形，四边形CMND是矩形，∴CM=DN．∵∠PBG=∠PBM=45°，∠PGB=∠PMB=90°，PB=PB，∴△PGB≌△PMB（AAS），∴PG=PM，∴四边形BMPG是正方形．∵∠GPE+∠MPE=90°=∠CPM+∠MPE，∴∠GPE=∠MPC．又∵∠PGE=∠PMC=90°，PG=PM，∴△PGE≌△PMC（ASA），∴GE=CM=DN．同理可证四边形PHDN是正方形，∴PN=DN=GE．∵∠GPN=90°，∴∠GPE+∠NPF=90°=∠GPE+∠GEP，∴∠GEP=∠NPF，∴△GPE≌△NFP（ASA），∴PF=PE，∴点P是EF的中点，故（3）正确；又∵CP⊥EF，∴CP垂直平分EF．连接CE，CF，∴CE=CF．又∵CB =CD ，∠CBE =∠CDF =90°，∴Rt △CBE ≌Rt △CDF （HL ），∴BE =DF ，故（2）正确；∵1=2DCP PCB BCD ABCD S S S S V V V 正方形，===PBE PBC PMC PGE BMPG BEPM BEPM S S S S S S S △△△△正方形梯形梯形．又∵BMPG S 正方形不一定等于12ABCD S 正方形，∴DCP S △不一定等于PBE S △，故（4）错误；如图所示，过点E 作EK ⊥BP 于K ，∵∠EPK =∠PCO ，∠EKP =∠POC =90°，PE =PC ，∴△EPK ≌△PCO （AAS ），∴EK =PO =2．∵∠EBK =45°，∠EKB =90°，∴∠BEK =45°=∠EBK ，∴EK =BK =2，∴BE5）正确，∴正确的结论有4个，故答案为4．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．变式3如图．已知正方形ABCD 的边长为12，BE ＝EC ，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ．现有如下3个结论；①AG +EC ＝GE ；②∠GDE ＝45°；③△BGE 的周长是24．其中正确的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【分析】由正方形的性质和折叠的性质可得，DF =DC =DA ，∠DFG =∠A ，进而Rt △ADG ≌Rt △FDG ，根据全等三角形的性质以及折叠的性质，可得到EB =EG ，由此可得△BGE 的周长．【详解】由折叠可知：CE =FE ，DF =DC =DA ，∠DFE =∠C =90°，∴∠DFG =∠A =90°，在Rt △ADG 和Rt △FDG 中，DG DG DF DA，∴Rt △ADG ≌Rt △FDG （HL ），∴AG =FG ，∴AG +EC =GF +EF =GE ，故①正确，∵Rt △ADG ≌Rt △FDG ，∴∠ADG =∠FDG ，由折叠可知，∠CDE =∠FDE ，∴∠GDE =∠GDF ＋∠EDF =1452ADC ，故②正确，∵正方形的边长为12，∴BE =EC =EF =6，设AG =FG =x ，则EG =x +6，BG =12-x ，由勾股定理可得：222EG BE BG ，即 2226612x x ，解得：x =4，∴AG =GF =4，BG =8，EG =10，∴△BGE 的周长=BE +EG +GB =6+10+8=24，故③正确，故选：D ．【点睛】本题主要考查折叠变换，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，能够熟练应用勾股定理是解决本题的关键．重点点拨：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的性质和判定主要从边、角、对角线这三个方面进行总结，它们各自特有的性质可以为证明有关线段相等、角相等、直线平行于垂直等问题提供方法和思路.三、提升训练1.下列判断错误的是（）A ．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C ．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形【答案】C【分析】根据正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，判断即可；【详解】A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，选项正确，不符合题意；B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，选项正确，不符合题意；C．对角线相等的四边形不一定是矩形，例如：等腰梯形的对角线相等，选项错误，符合题意；D．对角线互相平分的四边形是平行四边形，选项正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查判断真假命题．涉及正方形的判定，平行线的判定，三角形三边关系和平行公理．熟练掌握各知识点是解题的关键．2.以下命题的逆命题为真命题的是（）A．对顶角相等B．正方形的对角线相等且互相垂直平分C．若a＝b，则a2＝b2D．若a＞0，b＞0，则a2＋b2＞0【答案】B【分析】根据逆命题与原命题的关系，先写出四个命题的逆命题，然后依次利用对顶角的定义、平行线的性质、有理数的性质进行判断．【详解】A、对顶角相等逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题，故A选项错误；B、正方形的对角线相等且互相垂直平分的逆命题为对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，此逆命题为真命题，故B选项正确；C、若a=b，则a2=b2的逆命题为若a2=b2，则a=b，此逆命题为假命题，故C选项错误；D、若a＞0，b＞0，则a2+b2＞0的逆命题为若a2+b2＞0，则a＞0，b＞0，此逆命题为假命题，故D选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．考查逆命题是否为真命题，关键先找出逆命题，再进行判断．3.如图是用8块A 型瓷砖（白色四边形）和8块B 型瓷砖（黑色三角形）不重叠、无空隙拼接而成的一个正方形图案，图案中A 型瓷砖的总面积与B 型瓷砖的总面积之比为（）AB ．3:2CD2【答案】A 【分析】作DC EF 于C ，DK FH 于K ，连接DF ,可知四边形DCFK 是正方形，90CDK DKF ，DK FK，DF，再求出DFN DNKS S22A DFN DNK B S S S S 型型【详解】如图，作DC EF 于C ，DK FH 于K ，连接DF ．由题意：四边形DCFK 是正方形，CDM MDF FDN NDK ，∴90CDK DKF ，DK FK，DF ，∵DN 平分∠FDK ，∴△DFN 与△DNK 的高相等，底分别为DF 与DK.∴DFN DNK S FN DF S NK DK∴22A DFN DNKB S S S S 型型∴图案中A 型瓷砖的总面积与B，故选A ．、【点睛】此题主要考查正方形内的面积求解，解题的关键是根据图形的特点进行做辅助线进行求解.4.如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且2EC AE ，Rt FEG 的两直角边EF ，EG 分别交BC ，DC 于点M ，N ．若正方形ABCD 的边长为a ，则重叠部分四边形EMCN 的面积为（）A ．223aB ．214aC ．259aD ．249a 【答案】D【分析】过E 作EP ⊥BC 于点P ，EQ ⊥CD 于点Q ，△EPM ≌△EQN ，利用四边形EMCN 的面积等于正方形PCQE 的面积求解．【详解】如图，过点E 作EP BC 于点P ，EQ CD 于点Q ，∵四边形ABCD 是正方形，∴90BCD ，又∵90EPM EQN ，∴90PEQ ，∴90PEM MEQ ，∴四边形PCQE 为矩形．在Rt FEG 中，90NEF QEN MEQ ，∴PEM QEN ．∵CA 平分BCD ，90EPC EQC ，∴EP EQ ，∴四边形PCQE 是正方形．在EPM 和EQN 中，PEM QEN EP EQ EPM EQN，，，∴EPM EQN ≌，∴EQN EPM S S ，∴四边形EMCN 的面积等于正方形PCQE 的面积．∵正方形ABCD 的边长为a ，∴AC ，又∵2EC AE ，∴3EC ，∴23EP PC a ，∴正方形PCQE 的面积为2224339a a a ，∴四边形EMCN 的面积为249a ．故选D ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出△EPM ≌△EQN ．5.如图，点P 是正方形ABCD 内一点，1PA ，PD 135APB ，则PB 的长为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】将APD 绕着点A 顺时针旋转90°得到AP B ，连接PP ，则PAP 是等腰直角三角形，P B PD 【详解】将APD 绕着点A 顺时针旋转90°得到AP B ，连接PP ，则PAP 是等腰直角三角形∴P B PD ∴AP AP ，45APP∴PP ∵135APB∴90P PB∴PB 故选C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，和勾股定理，正确的作出辅助线是本题的关键．6.如图，已知正方形ABCD 的边长为5，点E 、F 分别在AD 、DC 上，AE =DF =2，BE 与AF 相交于点G ，点H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为_______．【分析】先证明 AEB DFA SAS ，再利用全等角之间关系得出EGA BGF ，再由H 为BF 的中点，又BGF 为直角三角形，得出1GH BF 2，BCF 为直角三角形再利用勾股定理得出BF 即可求解．【详解】,,90AE DF AB AD BAE ADF ∵ ， AEB DFA SAS ．∴∠BEA =∠AFD ，又∵∠AFD ＋∠EAG =90°，∴∠BEA ＋∠EAG =90°，∴∠BGF =90°．∵H 为BF 的中点，又BGF 为直角三角形，12GH BF ．∵DF =2，∴CF =5-2=3．∵BCF 为直角三角形．∴BF122GH BF ．【点睛】本题主要考查全等三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半知识点，解题的关键是熟悉掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半．7.如图，M 、N 是正方形ABCD 的边CD 上的两个动点，满足AM BN ，连接AC 交BN 于点E ，连接DE 交AM 于点F ，连接CF ，若正方形的边长为6，则线段CF 的最小值是______．【答案】3【分析】先判断出Rt ADM ≌ Rt BCN HL ，得出DAM CBN ，进而判断出DCE ≌ BCE SAS ，得出CDE CBE ，即可判断出AFD 90 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得1OF AD 32，利用勾股定理列式求出OC ，然后根据三角形的三边关系可知当O 、F 、C 三点共线时，CF 的长度最小．【详解】如图，在正方形ABCD 中，AD BC CD ，ADC BCD ，DCE BCE ，在Rt ADM 和Rt BCN 中，AD BCAM BN ，Rt ADM ≌ Rt BCN HL ，DAM CBN ，在DCE 和BCE 中，BC CD DCE BCE CE CE，DCE ≌ BCE SAS ，CDE CBE ，DAM CDE ，ADF CDE ADC 90 ∵，DAM ADF 90 ，AFD 1809090 ，取AD 的中点O ，连接OF 、OC ，则1OF DO AD 32，在Rt ODC中，OC 根据三角形的三边关系，OF CF OC ，当O 、F 、C 三点共线时，CF 的长度最小，最小值OC OF 3 ，故答案为3．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系等，综合性较强，有一定的难度，确定出CF 最小时点F 的位置是解题关键．8.如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，BE ∥AC ，CE ∥DB ．求证：四边形OBEC是正方形．【分析】先根据两边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形OBEC 为平行四边形，然后根据正方形的性质：对角线互相垂直平分且相等，可得∠BOC=90°，OC=OB ，从而根据正方形的判定得证结论.【详解】∵BE ∥OC ，CE ∥OB ，∴四边形OBEC 为平行四边形，∵四边形ABCD 为正方形，∴OC=OB ，AC ⊥BD ，∴∠BOC=90°，∴四边形OBEC 是矩形．∵OC=OB ，∴四边形OBEC 是正方形.【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键.9.知识再现：已知，如图1，四边形ABCD 是正方形，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，连接AM 、AN 、MN ，45MAN ，延长CB 至G 使BG DN ，连接AG ，根据三角形全等的知识，我们可以证明MN BM DN ．(1)知识探究：在图1中，作AH MN ，垂足为点H ，猜想AH 与AB 有什么数量关系？并证明；(2)知识应用：如图2，已知45BAC ，AD BC 于点D ，且2BD ，6AD ，则CD 的长为______；(3)知识拓展：如图3，四边形ABCD 是正方形，E 是边BC 的中点，F 为边CD 上一点，2FEC BAE ，24AB ，求DF 的长．【分析】（1）利用全等三角形的判定和性质可得ABG ≌ADN △，GAB NAD ，AG AN ，继续利用全等三角形的判定及性质及角平分线的性质即可证明；（2）由翻折的性质及正方形的判定和性质得出四边形AEFG 为正方形，设CD CG x ，利用勾股定理求解即可得出结果；（3）连接AF ，过点A 作AM EF ，设BAE ，则2FEC ，利用全等三角形的判定和性质可得AMF ≌AFD V ，设FM FD x ，结合勾股定理求解即可得出结果．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴90ABG ADN ，AB AD ，BG DN ∵，ABG ≌ ADN SAS ，GAB NAD ，AG AN ，45MAN ∵，45BAM NAD ，45GAB BAM ，GAM MAN ，AM AM ∵，AG AN ，AGM ≌ ANM SAS ，AMG AMN ，∴AM 平分∠GMN ，AB BM ∵，AH MH ，AH AB ；(2)如图1所示，将ABD △和ADC 翻折，延长EB 、GC 交于点F ，∵ABD △翻折得到ABE △，2EB BD ，6AE AD ，90 E ADB ，∵ADC 翻折得到AGC ，6AD AG ，90ADC G ，45BAG ∵，290EAG BAC ，四边形AEFG 为矩形，6AE AG ∵，四边形AEFG 为正方形，设CD CG x ，6CF x ，4BF ，2BC x ，2224(6)(2)x x ，解得3x ，3CD ，故答案为：3．(3)如图2所示，连接AF ，过点A 作AM EF ，2FEC BAE ∵，设BAE ，则2FEC ，90BEA ，90AEM ，AEB AEM ，AB BE ∵，AM EM ，AB AM AD ，AF AF ∵，AMF △≌ AFD HL ，24AB ∵，点E 为BC 边上的中点，12BE EC EM ，设FM FD x ，则24CF x ，12EF x ，22212(24)(12)x x ，解得8x ，8DF ．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，翻折的性质，勾股定理解三角形，正方形的判定及性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．10.如图所示，已知边长为13的正方形OEFG ，其顶点O 为边长为10的正方形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，连接CE ，DG ．(1)求证：DOG COE ≌；(2)当点D 在正方形OEFG 内部时，设AD 与OG 相交于点M ，OE 与DC 相交于点N ．求证：MD ND ；(3)将正方形OEFG 绕点O 旋转一周，当点G ，D ，C 三点在同一直线上时，请直接写出EC 的长．【分析】（1）先由正方形的性质得到OD =OC ，OG =OE ，只需要证明∠GOD =∠EOC 即可证明DOG COE ≌；（2）如图所示，过点O 作OK ⊥AD 于K ，OJ ⊥CD 于J ，则四边形OJDK 是矩形，先证明四边形OJDK 是正方形，得到OK =OJ =DK =DJ ，则OD ；再证OKM OJN ≌得到KM =JN ，由此即可得到答案；（3）分G 在CD 延长线上和G 在DC 的延长线上，两种情况讨论求解即可．【详解】(1)解：∵四边形ABCD 是正方形，∴OD =OC ，∠DOC =90°，∵四边形EFGO 是正方形，∴90GOE DOC ，OG =OE ，∴GOE DON DOC DON ，即∠GOD =∠EOC ，∴GOD EOC SAS ≌（）；(2)解：如图所示，过点O 作OK ⊥AD 于K ，OJ ⊥CD 于J ，则四边形OJDK 是矩形，又∵∠JDO =45°，∴DJO 是等腰直角三角形，∴DJ =OJ ，∴四边形OJDK 是正方形，∴OK =OJ =DK =DJ ，∴222OD OJ DJ DJ ；∵90GOE KOJ ，∴KOM JON ，又∵90OKM OJN ，∴OKM OJN ASA ≌（），∴KM =JN ，∴22DM DN DK KM DJ NJ DK KM DJ KM DJ OD(3)解：如图2所示，过点O 作OH ⊥CD 于H ，∵∠DOC =90°，CD =10，OD =OC ，OH ⊥DC ，∴DH =CH =5，∴152OH CD ，∵OG =13，∴12GH ，∴DG =GH -DH =7，∵DOG COE ≌，∴CE =DG =3；如图3所示，当G 在DC 的延长线上时，同理可得GH =12，DG =DH +GH =17，∴CE =DG =17，综上所述，满足题意的CE 的长为3或17．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握正方形的相关知识．。
八年数学下章节要点归纳与典题解析正方形二
年班姓名【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【要点梳理】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、正方形的性质1、已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．（1）求证：AP=BQ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．【思路点拨】（1）根据正方形的性质得出AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再根据已知条件得到∠AQB=∠DPA，判定△AQB≌△DPA并得出结论；（2）根据AQ﹣AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析．【答案与解析】解：（1）∵正方形ABCD∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°∵DP⊥AQ∴∠ADP+∠DAP=90°∴∠BAQ=∠ADP∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P∴∠AQB=∠DPA=90°∴△AQB≌△DPA（AAS）∴AP=BQ（2）①AQ﹣AP=PQ②AQ﹣BQ=PQ③DP﹣AP=PQ④DP﹣BQ=PQ【总结升华】本题主要考查了正方形以及全等三角形，解决问题的关键是掌握：正方形的四条边相等，四个角都是直角．解题时需要运用：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，以及全等三角形的对应边相等．举一反三：【变式1】如图四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE ＝BK ＝AG ．以线段DE 、DG 为边作DEFG ．(1)求证：DE ＝DG ，且DE ⊥DG ．(2)连接KF ，猜想四边形CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．【答案】证明：(1)∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ DC ＝DA ，∠DCE ＝∠DAG ＝90°．又∵ CE ＝AG ，∴ △DCE ≌△DAG ，∴ ∠EDC ＝∠GDA ，DE ＝DG ．又∵ ∠ADE ＋∠EDC ＝90°，∴ ∠ADE ＋∠GDA ＝90°，∴ DE ⊥DG ．(2)四边形CEFK 为平行四边形．证明：设CK ，DE 相交于M 点，∵ 四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形，∴ AB ∥CD ，AB ＝CD ，EF ＝DG ，EF ∥DG ；∵ BK ＝AG ，∴ KG ＝AB ＝CD ．∴ 四边形CKGD 为平行四边形．∴ CK ＝DG ＝EF ，CK ∥DG ∥EF∴ 四边形CEFK 为平行四边形．【变式2】如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_______．【答案】2；提示：阴影部分面积等于正方形面积的一半.类型二、正方形的判定2、如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD=CD ，点E 是边AC 的中点，连接DE ，DE 的延长线与边BC 相交于点F ，AG ∥BC ，交DE 于点G ，连接AF 、CG ．（1）求证：AF=BF ；（2）如果AB=AC ，求证：四边形AFCG 是正方形．Y【思路点拨】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，再根据等角的余角相等可得∠B=∠BAF，所以AF=BF．（2）由AAS可证△AEG≌△CEF，所以AG=CF．由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AFCG是平行四边形，进而证得四边形AFCG是菱形，最后根据有一个角为直角的菱形是正方形得证四边形AFCG是正方形．【答案与解析】证明：（1）∵AD=CD，点E是边AC的中点，∴DE⊥AC．即得DE是线段AC的垂直平分线．∴AF=CF．∴∠FAC=∠ACB．在Rt△ABC中，由∠BAC=90°，得∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°．∴∠B=∠BAF．∴AF=BF．（2）∵AG∥CF，∴∠AGE=∠CFE．又∵点E是边AC的中点，∴AE=CE．在△AEG和△CEF中，，∴△AEG≌△CEF（AAS）．∴AG=CF．又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．∵AF=CF，∴四边形AFCG是菱形．在Rt△ABC中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF．即得点F是边BC的中点．又∵AB=AC，∴AF⊥BC．即得∠AFC=90°．∴四边形AFCG是正方形．【总结升华】本题考查的是正方形的判定方法，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识的灵活运用，判别一个四边形是正方形主要是根据正方形的定义及其性质．举一反三：【变式】如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF．（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；（2）若DG=6，求△FCG的面积．【答案】（1）证明：∵四边形EFGH为菱形，∴HG=EH，∵AH=2，DG=2，∴DG=AH，在Rt△DHG和△AEH中，，∴Rt△DHG≌△AEH，∴∠DHG=∠AEH，∵∠AEH+∠AHG=90°，∴∠DHG+∠AHG=90°，∴∠GHE=90°，∵四边形EFGH为菱形，∴四边形EFGH为正方形；（2）解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，∵四边形EFGH为菱形，∴HE=GF，HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠QGF，在△AEH和△QGF中，∴△AEH≌△QGF，∴AH=QF=2，∵DG=6，CD=8，∴CG=2，∴△FCG的面积=CG•FQ=×2×2=2．类型三、正方形综合应用3、E、F分别是正方形ABCD的边AD和CD上的点，若∠EBF＝45°．(1)求证：AE＋CF＝EF．(2)若E点、F点分别是边DA、CD的延长线上的点，结论（1）仍成立吗？若成立，请证明，若不成立，写出正确结论并加以证明．【答案与解析】证明：（1）延长DC ，使CH ＝AE ，连接BH ，∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ ∠A ＝∠BCH ＝90°，又AB ＝BC ，CH ＝AE ，∴ Rt △BAE ≌Rt △BCH ，∴ ∠1＝∠2，BE ＝BH ．又∵ ∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠4＝45°，∴ ∠1＋∠3＝45°，∠2＋∠3＝45°，在△EBF 和△HBF 中，∴ △EBF ≌△HBF ，∴ EF ＝FH ＝FC ＋CH ＝AE ＋CF ．即AE ＋CF ＝EF ．(2)如图所示：不成立，正确结论：EF ＝CF －AE ．证明：在CF 上截取CH ＝AE ，连接BH ．∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ 在Rt △EAB 和Rt △HCB 中，∴ Rt △EAB ≌Rt △HCB ，∴ BE ＝BH ，∠EBA ＝∠HBC ．∵ ∠HBC ＋∠ABH ＝90°，∴ ∠EBA ＋∠ABH ＝90°．又∵ ∠EBF ＝45°，∴ ∠HBF ＝45°，即∠EBF ＝∠HBF ．在△EBF 和△HBF 中∴ △EBF ≌△HBF ，∴ EF ＝FH ＝CF －CH ＝CF －AE ，即EF ＝CF －AE ．【总结升华】本题主要考察正方形的性质，全等三角形的性质和判定，关键在于用“截长补短”的方法正确地作出辅助线.4、正方形ABCD 的对角线交点为O ，如图所示，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，交OB 于F ，求证：EC ＝2FO ．,,,BE BH EBF HBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩90AE CH EAB HCB AB BC =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩,°,,,,,BE BH EBF HBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩【思路点拨】在平面几何中，要证明一条线段等于另一条线段的2倍或12，通常采用折半法或加倍法．而折半法又可分直接折半法和间接折半法；加倍又可分直接加倍法和间接加倍法．这就需要学生仔细研究，找到解决问题的合适方法．【答案与解析】证法一：(间接折半法)如图①所示．∵∠3＝∠1＋∠4，∠5＝∠2＋∠6．而∠1＝∠2，∠4＝∠6＝45°．∴∠3＝∠5，BE＝BF．取AE的中点G，连接OG，∵ AO＝OC，∴ OG 12 EC．由∠7＝∠5，∠8＝∠3，∴∠7＝∠8，∴ FO＝GO．∴ EC＝2OG＝2FO．证法二：(直接折半法)如图②所示．由证法一得BE＝BF．取EC的中点H，连接OH．∵ AO＝OC，∴ OH∥AE．∴∠BOH＝∠BFE＝∠BEF＝∠BHO．∴ BO＝BH，∴ FO＝EH．∴ EC＝2EH＝2FO．证法三：(直接加倍法)如图③所示．由证法一得BE＝BF．在OD上截取OM＝OF，连接MC．易证Rt△AOF≌Rt△COM．∴∠OAF＝∠OCM，∴ AE∥MC．由∠BMC＝∠BFE＝∠BEF＝∠BCM，∴ FM＝EC．∴ EC＝FM＝2FO．【总结升华】若题目中涉及线段的倍半关系和中点问题时，要联想中位线定理，利用中点构造中位线，要注意从不同的角度进行思构，构造不同的辅助线来解决问题．举一反三：【变式】在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图①，易证EG＝CG，且EG⊥CG．(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图②，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想．(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图③，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想，并加以证明．【答案】解：(1)EG ＝CG ，且EG ⊥CG ．(2)EG ＝CG ，且EG ⊥CG ．证明：延长FE 交DC 延长线于M ，连MG ，如图③， ∵ ∠AEM ＝90°，∠EBC ＝90°，∠BCM ＝90°， ∴ 四边形BEMC 是矩形．∴ BE ＝CM ，∠EMC ＝90°，又∵ BE ＝EF ，∴ EF ＝CM ．∵ ∠EMC ＝90°，FG ＝DG ，∴ MG ＝FD ＝FG ． ∵ BC ＝EM ，BC ＝CD ，∴ EM ＝CD ．∵ EF ＝CM ，∴ FM ＝DM ，∴ ∠F ＝45°． 又FG ＝DG ，∠CMG ＝∠EMD ＝45°， ∴ ∠F ＝∠GMC ，∴ △GFE ≌△GMC ，∴ EG ＝CG ，∠FGE ＝∠MGC ，∵ MG ⊥DF ，∴ ∠FGE ＋∠EGM ＝90°，∴ ∠MGC ＋∠EGM ＝90°即∠EGC ＝90°， ∴ EG ⊥CG ．1212。
八年级数学正方形2
八年级数学正方形2
三带二
图18-11标出了某地区的运输网。各结点之间的运输能力如表18-6（单位：万吨/小时）。从结点①到结点⑥的最大运输能力（流量）可以达到万吨／小时。A.26B.23C.22D.21 下列材质属性中，用来调制材质自发光效果的选项是。A.EnvironmentB.TransparencyC.BumpMappingD.Incandescence 下列不属于国家食品药品监督管理总局职责的是A.负责监督管理医疗器械质量安全B.负责国家药品储备管理工作C.拟定、修订和颁布药品法定标准D.负责制定中药监督管理规范E.负责药品注册和管理工作 矿业工程项目施工队的组织形式包括。A.井筒掘进队B.巷道掘进队C.安装工作队D.专业掘进队E.综合掘进队 下列关于补体活化的三条激活途径的描述，错误的是A.三条途径的膜攻击复合物相同B.旁路途径在感染后期发挥作用C.经典途径从C1激活开始D.旁路途径从C3激活开始E.MBL途径中形成的C3转化酶是C4b2b [单选,案例分析题]病历摘要：患者男性，50岁。平地跳跃后觉腰部剧痛伴左下肢疼痛，左腰3～4、4～5棘间及棘旁压痛，小腿前内侧、膝前部、足背内侧浅感觉减退。左直腿抬高30°实验明显阳性。神经根受累及的范围主要为A.L4神经B.L5神经C.L3-4神经D.L神经E.L3-5神经 连翘在保和丸中的作用是。A.清热解毒B.辛凉透表C.透热转气D.清泄胸膈之热E.清热散结 驾驶台组织总的原则应包括：A.委派给驾驶员合适的任务B.班组成员成员尽职尽责C.消除成员中任何一人的失误D.以上均对 对红细胞内裂殖体有迅速而强大的杀灭作用的药物是A.伯氨喹B.乙胺嘧啶C.氯喹D.奎宁.10C.12D.14 急性心肌梗死时，不出现异常Q波的情况见于A.坏死心肌的直径>20～25mmB.坏死心肌的厚度>5～7mmC.心肌梗死发生在前壁D.心肌梗死发生在下壁E.心肌梗死发生在基底部 把NaCl溶液加热蒸发至干，直至析出全部溶质，选用最合适的仪器是。A.表面皿B.蒸发皿C.烧杯D.烧瓶 在白酒中的醇含量居多。 工程建设期一般划分为4个施工阶段，工程正式开工前由业主单位负责筹建对外交通、施工用电、通信、征地、移民以及招标、评标、签约等工作，为承包单位进场开工创造条件所需的时间，称为。A.工程筹建期B.工程准备期C.主体工程施工期D.工程完建期 哪些作物抗旱性强？ istheprocessofobtainingthestakeholders’formalacceptanceofthecompletedprojectscope.Verifyingthescopeincludesreviewingdeliverablesandworkresultstoensurethatallwerecompletedsatisfactorily.A.ProjectacceptanceB.ScopeverificationC.ScopedefinitionD.WBSCreation 咽后壁的特点正确的是()A．粘膜下有丰富的血窦B．无明显粘膜下组织，纤维层与粘膜层紧密附着C．粘膜层为单一的复层鳞状上皮构成D．淋巴组织稀少E．没有肌层 肺痨的四大主症是A.咳嗽、胸痛、发热、汗出B.咳嗽、咯血、潮热、盗汗C.咳嗽、消瘦、低热、自汗D.咳嗽、神疲、心悸、盗汗E.干咳、气促、潮热、胸痛 [单选,配伍题]属于躁狂症是。A.童样痴呆B.情感高涨C.睡眠障碍D.强制性哭笑E.情感倒错 随着国际经济、金融形势的变化，目前不少国家尤其是发展中国家拥有了大量的外汇储备，为管理好这部分资金，成立了代表国家进行投资的。A．主权财富基金B．信托投资公司C．国家开发银行D．保险公司及保险资产管理公司 二级保护野生药材物种名录中收载了A.4种B.24种C.27种D.32种E.45种 [配伍题]具有升发生理特性的脏是。</br>具有肃降生理特性的脏是。A.肝B.心C.脾D.肺E.肾 保存金属钠的方法，正确的是。A.在水中B.在液体石蜡或煤油中C.在四氯化碳中D.在酒精中 血细胞分化 公路工程竣工验收必须具备的条件有。A.经过交工验收各标段均达到合格以上的工程B.对未完工程或交工验收时提出的修复、补救工程已处理完毕，并经监理工程师和质量监督部门检验合格C.按国家《基本建设项目档案资料管理暂行规定》和相关要求已编制完成竣工文件D.施工单位机械设备全部 汽车车身外围板约占车身质量的。A．40％B．30％C．20％ 在施工阶段，应按照《公路桥梁和隧道工程施工安全风险评估指南(试行)》要求，须进行施工安全风险评估的项目是。A.跨径大于40m的石拱桥B.跨径大于或等于100m的钢筋混凝土拱桥C.跨径大于或等于100m的梁式桥D.跨径大于800m的悬索桥 是以太阳通过当地的子午线时为正午12点来计算一天的时间的计时方式。 医疗卫生机构应当建立医疗废物的暂时贮存设施、设备，不得露天存放医疗废物；医疗废物暂时贮存的时间不得超过天。 根据外能的形式，炸药的感度主要指的是哪几方面？ 教育统计资料的来源有两个方面：、。 脊神经共有A.28对B.29对C.30对D.31对E.32对 不是主动脉瓣关闭不全体征的是A.靴形心B.心尖搏动向左下移位C.杂音向颈部传导D.叹气样舒张期杂音E.水冲脉 女性的基础体温在排卵后可升高。这种基础体温的升高与哪种激素有关A.孕激素B.雌激素C.甲状腺素D.黄体生成素E.卵泡刺激素 [单选,A2型题]男，39岁。腰椎骨折后走路正常，大小便失禁，应考虑A.肛门括约肌同时受损B.尿道括约肌同时受损C.直肠有炎症D.脊髓或马尾神经损伤E.尿道有炎症 下列哪项是HTLV-Ⅰ在人体内主要感染的细胞。A.CD4+T淋巴细胞B.CD8+T淋巴细胞C.神经胶质细胞D.树突细胞E.单核细胞 按照《中国药典》2010年版的要求，内服散剂粒度应为A.粗粉B.中粉C.细粉D.最细粉E.极细粉 下列微生物染色方法正确的是A.新生隐球菌——革兰染色B.钩端螺旋体——镀银染色C.立克次体——碘液染色D.结核分枝杆菌——Giemsa染色E.结核病的细菌检查——抗酸染色 脑外伤及其后遗症时脑SPECT可显示血流灌注缺损或减低区，其检出率()A.高于X线CT，低于MRIB.低于X线CT，高于MRIC.高于X线CT和MRID.低于X线CT和MRIE.高于X线CT，而与MRI相仿 角膜基质炎最常见的原因是A.先天性梅毒B.麻风C.带状疱疹D.结核E.真菌
《正方形2》同步练习 (精品)2022年 附答案
22.6 正方形一、填空题1、如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，那么∠ACE＝°.2、如图，四边形ABDC是正方形，延长CD到点E，使CE=CB，那么∠AEC＝°.3、如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,那么以下结论：①∠E= °；②∠°；③∠ACE=135°；④AC=CE；⑤AD∶CE=1∶ 2. 其中正确的有个.4、如图，等边△EDC在正方形ABCD内，连结EA、EB，那么∠AEB＝°；∠ACE＝°.第1题图第2题图第3题图第4题5、正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，那么∠AED的度数是°.6、如图，四边形ABCD是正方形，E是边CD上一点，假设△AFB经过逆时针旋转角θ〔0°＜θ＜180°〕后，与△AED重合，那么θ值为°第6题图第7题图第8题图第9题图7、正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2，EC = 1，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，那么F、C两点的距离为___________.8、如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，那么这个最小值为 .9、如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的处，点A对应点为，且=3，那么CN= ；AM的长是 .10、正方形的面积是，那么其对角线长是________.11、如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，那么阴影局部的面积是 .第11题图第12题图第13题图第14题图12、如图，将n个边长都为1cm的正方形按如以下列图摆放，点A1、A2、…、A n分别是正方形的中心，那么n个这样的正方形重叠局部的面积和为 .13、边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝〞〔如以下列图重叠局部〕，那么这个风筝的面积是 .14、如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，那么四边形AB′OD的周长是 .15、如右图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．以下结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确的结论是 .〔填序号〕16、如右图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边△ABE，CE与DB相交于点F，那么= 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学科：数学教学内容：正方形【学习目标】1. 探索并掌握正方形的概念及特征，并学会识别正方形.2•能正确理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的区别与联系.【基础知识概述】1. 正方形定义：(1) 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.(2) 正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形.(3) 既是矩形又是菱形的四边形是正方形.2. 正方形的特征：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切特征.(1) 边一一四边相等、邻边垂直、对边平行.(2) 角——四角都是直角.(3) 对角线一一①相等；②互相垂直平分；③每条对角线平分一组对角.(4) 是轴对称图形，有4条对称轴.3. 正方形的识别方法：(1) 一组邻边相等的矩形是正方形.(2) —个角是直角的菱形是正方形.4. 正方形与矩形、菱形、平行四边形的关系：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图图12-2-135. 正方形的面积：正方形的面积等于边长的平方或者等于两条对角线乘积的一半.【例题精讲】例1 如图12-2-14，已知过正方形ABCD对角线BD上一点P,作PE丄BC于E,作PF丄CD于F.试说明AP = EF.12-2-13 .分析：由PE 丄BC , PF 丄CD 知，四边形PECF 为矩形，故有 EF = PC ,这时只需证 AP =CP ,由正方形对角线互相垂直平分知AP = CP .解：连结AC 、PC ,•••四边形ABCD 为正方形， ••• BD 垂直平分AC , ••• AP = CP .•/ PE 丄 BC , PF 丄 CD ，/ BCD = 90°, •四边形PECF 为矩形，• PC = EF , • AP = EF .注意：①在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等.②无论是正方形还是矩形经常通过连结对角线证题，这样可以使分散条件集中. 思考：由上述条件是否可以得到 AP 丄EF .提示：可以，延长 AP 交EF 于N ，由PE // AB ，有/ NPE =Z BAN . 又/ BAN =Z BCP ，而/ BCP = Z PFE ，故/ NPE =Z PFE ,而/ PFE +Z PEF = 90°,所以/ NPE +Z PEF = 90°,贝U AP 丄 EF .例 2 如图 12-2-15 ,△ ABC 中，Z ABC = 90°, BD 平分Z ABC , DE 丄 BC , DF 丄 AB , 试说明四边形 BEDF 是正方形.解：T Z ABC = 90°, DE 丄 BC ,• DE // AB ，同理，DF // BC , • BEDF 是平行四边形.•/ BD 平分Z ABC , DE 丄 BC , DF 丄 AB ,• DE = DF .又•••/ ABC = 90°, BEDF 是平行四边形， •四边形BEDF 是正方形. 思考：还有没有其他方法？提示：（有一种方法可以证四边形 DFBE 为矩形，然后证 BE = DE ，可得.另一种方法, 可证四边形DFBE 为菱形，后证一个角为 90°可得）注意：灵活选择正方形的识别方法.甘 E.V■ 12-2U4例3 如图12-2-16所示，四边形ABCD是正方形，△ ADE是等边三角形，求/ BEC 的大小.(D (2)图12-2-16分析：等边三角形和正方形都能提供大量的线段相等和角相等，常能产生一些等腰三角形，十分便于计算.在本题中，必须注意等边三角形与正方形不同的位置关系.在（1）图中,△ ABE和厶DCE都是等腰三角形，顶角都是150°,可得底角/ AEB与/ DEC都是15°,则/ BEC为30°.而在（2）图中，等边三角形在正方形内部，△ABE和厶DCE是等腰三角形，顶角是30°,可得底角/ AEB和/ DEC为75。
，再利用周角可求得/ BEC = 150°.解：⑴当等边△ ADE在正方形ABCD外部时，AB = AE , / BAE = 90° + 60°= 150° , 所以/ AEB = 15° .同理可得/ DEC = 15°,则/ BEC = 60°—15 ° - 15°= 30°.（2）当等边△ ADE 在正方形ABCD 内部时，AB = AE，/ BAE = 90°—60°= 30°,所以/ AEB = 75° .同理可得/ DEC = 75°，则/ BEC = 360° —75°—75°—60°= 150° .【中考考点】会用正方形的性质来解决有关问题，并能用正方形的定义来判断四边形是否为正方形.【命题方向】本节出题比较灵活，填空题、选择题、证明题均可出现.正方形是特殊的平行四边形，考查正方形的内容，实质上是对平行四边形知识的综合，涉及正方形知识的题型较多，多以证明题形式出现.【常见错误分析】已知如图12-2-18 , △ ABC中，/ C= 90°,分别以AC和BC为边向外作正方形ACFH 和正方形BCED , HM丄BA的延长线于M , DK丄AB的延长线于K .试说明AB = DK + HM .F H图12-2-18错解：延长DK到S,使KS = HM，连结SB .•••/ 2=Z 3,Z 2+Z 4= 90°,•••/ 3+Z 4= 90°.在厶ABC和厶SDB中，•••/ ACB =Z SBD = 90°,BC = BD ,/ 2= 90°—/ 4=/ 5•△ ABC与厶SDB重合，AB = SD = SK + DK , 即AB = HM + DK .分析指导：由于S、B、C三点共线未经证明，所以/ 2 = / 3的理由是不充足的，因此又犯了思维不严密的错误.正解：如图12-2-18，延长DK交CB延长线于S,下面证KS = MH .在厶ACB和厶SBD中，•/ BD = BC，/ SBD = / ACB = 90°,又/ 2=/ 3=/ 5,•△ ACB与厶SBD重合，•AB = DS , BS = AC = AH .在厶BKS和厶AMH中，•••/ 1=/ 2=/ 3,/ AMH =/ SKB = 90°, BS = AH ,•△ BKS与厶AMH重合，•KS = HM ,•AB = DK + HM .【学习方法指导】正方形是最特殊的平行四边形，它既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形，所以它的性质最多，易混淆•故最好把平行四边形、矩形、菱形、正方形列表写出它们的定义、性质、判定，这样更容易记忆和区分.【同步达纲练习】一、填空题1•正方形既是 ________ 相等的矩形，又是有一个角是__________ 的菱形.2. 正方形ABCD中，对角线AC = 24 , P是AB边上一点，则点P到对角线AC、BD的距离和为_________ .3. 已知•’川对角线AC、BD相交于O,⑴若AB = BC,则口AECD是_________ ；(2) 若AC = BD，则•’貂 | 是_______ ;(3) 若/ BCD = 90°,「：是_________ ;⑷若OA = OB，则二二二是___________ ;⑸若AB = BC ,且AC = BD，则口肛CD是__________ .4. ____________________________________________________________________ 在边长为2的正方形中有一点P,那么这个点P到四边的距离之和是__________________________ .2 25. 如图12-2-19，正方形ABCD的面积等于9cm，正方形DEFG的面积等于4cm ,则阴影部分的面积S= _________ cm2.A B图12-2-196. 如图12-2-20，下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第n个图形由n个正方形组成，通过观察可以发现：□ m azo料一=1 rt n=3图12-£-10⑴第4个图形中火柴棒的根数是 __________ ；(2)第n个图形中火柴棒的根数是__________ .7. _____________________________________________ 已知E、F为正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若/ EAF = 50 °，则/ CME +Z CNF = _________________________________________________ .二、解答题&如图12-2-21所示，四边形ABCD是正方形，延长BC到点E,使CE= AC,连结AE，交CD于F,求/ AFC的度数.圈12-2-219 .如图12-2-22，已知正方形AE = AC，试说明CE= CF.10.如图12-2-23，正方形ABCD中，AC与BD相交于O, E、F分别是DB、BD延长线上的点，且BE = DF，试说明/ E =Z F .11.如图边EF过点A，已知DG= 5,求FC的值.参考答案【同步达纲练习】1•邻边，直角DEFG 的12-2-24所示，点G是边长为4的正方形ABCD边上的一点，矩形D2. 123. （1）菱形（2）矩形⑶矩形⑷矩形（5）正方形6. (1)13 (2)3n + 17. 100°&在正方形ABCD中，/ ACB = 45° (正方形的每条对角线平分一组对角).已知AC =CE ,所以/ CAE =Z E,所以/ CAE + Z E = 45°,所以/ E= 22. 5°.因为/ DCE = 90°, / AFC =Z DCE + Z E= 90 ° + 22. 5°= 112. 5°.9. 过点E作EG丄AC于G,连结BD ,•/ EG 丄AC , BD 丄AC ,••• EG // BD .又AC // BE ,•四边形EGOB是矩形，•EG= BO .•/ BD = AC ,1 1•EG —AC -AE ,2 2•/ EAG = 30°.•••△ACE是等腰三角形，1•AEC (180 30 ) 75 .2•/ AC是正方形ABCD的对角线，•/ ACB = 45°.•••/ CFE=Z EAC +Z FCA = 30°+ 45°= 75°,即/ CFE=Z CEF,•CF= CE.10. 提示：易知OF= OE,且AC丄BD于O,•AC为EF的中垂线，•EC= CF,•/ E=Z F.11. 连结AG ,过点A作AH丄GD，过点G作GP丄AD，垂足分别为H、P,易知AH1 1=FG , PG = AB，所以依题意有S AGD DG AH AD PG ,即2 21 1—5 AH — 4 4，所以AH = 3. 2，即FG = 3. 2.2 2。