代数方程知识点及经典习题

代数方程知识点

一.一元二次方程

1、一元二次方程的一般形式[20（a≠0）]

2、一元二次方程的判定方法

（1）根据定义判定。[即①是整式方程②只有一个未知数③未知数的最高次数是2 ] （2）根据一般形式判定。[即将整式方程进行去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，如果能化为一元二次方程的一般形式20（a≠0）,那么它就是一元二次方程。]

二.因式分解

1、因式分解法的一般步骤：（1）将方程的右边化为零（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积（3）令每个因式等于零，得到两个一元一次方程（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

2、一元二次方程解法的选择顺序：先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再用公式法。

三．一元二次方程的根的判别式

1.一元二次方程的根的判别式的概念

2.一元二次方程的根的情况与判别式的关系

判别式定理和逆定理∆>0 ⇔方程有两个不相

等的实数根

∆=0 ⇔方程有两个相等的实数根

∆<0 ⇔方程没有实数根

∆≥0 ⇔方程有两个实数根3.一元二次方程根的判别式的应用

1）不解方程，判定方程根的情况

2）根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围。

3）应用判别式证明方程根的情况（无实根、有实根、有不相等实根、有相等实根）

4）利用判别式解决一元二次方程的有关证明题。

四.根与系数的关系

1 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）

如果方程20（a≠0）的两个实数根是x

1, x

2

,那么

12

＿＿,

12

＝

＿＿,

2韦达定理的逆定理

如果实数x

1, x

2

满足

12

＿＿,

12

＝＿＿, 那么x

1

, x

2

是一元

二次方程20的两个根．

3韦达定理的两个重要推论

推论1：如果方程20的两个根是x

1, x

2

，

那么

12＿＿,

12

＝＿＿,

推论2：以两个数x

1, x

2

为根的一元二次方程（二次项系数为１）

是＿＿＿＿＿＿＿＿＿

4根与系数的关系的应用

（1）验根

（2）由已知方程的一个根，求另一个根及未知系数．

（3）不解方程，求关于x

1, x

2

的对称式的值．

如：x

12＋ x

2

2，

1

2

2

＋x

1

x

2

2，

1

1

x

＋

2

1

x

，︳x

1

－x

2

︳

（4）已知方程的两根，求作这个一元二次方程．

（5）已知两数的和与积，求这两个数

（6）已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母的取值范围

（7）证明方程系数之间的特殊关系

（8）解决其它问题，如讨论根的范围，判定三角形的形状等．（9）根的符号的讨论

五．二次三项式的因式分解（用公式法）

1．二次三项式的因式分解公式2＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2．因式分解的一般步骤：（1）用求根公式求出二次三项式2对

应的方程2０的两个实数根x

1, x

2

；（２）将a、x

1

, x

2

的值代入

二次三项式的因式分解公式，写出分解式。

3．如何判定二次三项式在实数范围内能否因式分解：即当∆≥0时，能在实数范围内分解因式；当∆<0时，不能在实数范围内分解因式

4.解分式方程的基本方法：去分母法；换元法；列分式方程解应用题

六．二元二次方程组的解法

解二元二次方程组的基本思想、方法。思想是“转化”即二元转化为一元，将二次转化为一次。方法是先降次，再消元。

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次

方程组的解法：代入消元法；逆用韦达定理。

同步练习

一、一元二次方程

1．关于x的方程(a －5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（）

A ．a ≥1

B ．a ＞1且a ≠5

C ．a ≥1且a ≠5

D ．a ≠5

2．如果关于x 的一元二次方程x 2

0的两根分别为x 1=2，x 2=1，那么p ，q 的值分别是

（A ）－3，2 （B ）3，-2 （C ）2，－3 （D ）2，3

3．已知是方程的两根，且

，则的值等于 （ ）

A ．－5 B.5 9 D.9 4．已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 5．关于的一元二次方程的两个实数根分别是

，且，则的值是（ ） A ．1 B ．12 C ．13 D ．25

二、填空题

1．已知x 1、x 2为方程x 2

＋3x ＋1＝0的两实根，则x 12

＋8x 2＋20＝．

n m ,0122=--x x 8)763)(147(22=--+-n n a m m a 20x bx a ++=(0)a a -≠ab a

b

a b +a b -x 2210x mx m -+-=12x x 、22

12

7x x +=212()x x -