高中数学必修一第15讲：幂函数及图象变换(中等)

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新人教版高中数学必修一《基本初等函数》之《幂函数》课件

当m=0时,函数为 f (x) x 不合题意,舍去.
所以m=2
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
练习
３．比较大小：
1) 1.30.5 ＜ 1.50.5
≤ 3) 2 a2 1.5
21.5
＜ 2) 5.12
5.092
例2.证明幂函数f ( x) x在[0,)上是增函数.
所以f ( x1 ) f ( x2 ) 即幂函数f ( x) x在[0,)上的增函数.
证明幂函数 f (x) x 在［0，+∞）上是增函数.
证法二: 任取x1 ,x2 ∈［0，+∞）,且x1< x2 ；
f (x ) 1
x 1
x 1
1
即
f (x ) f (x )
1
2
f (x ) x x
y=
1
x2
.
(5)如果某人x秒内骑车行进了1 km,那么他骑车的
平均速度 yy= x1 .
以上问题中的函数具有y什么xa 共同特征?
(二)探究新知
一般地，函数 y xa 叫做幂函数，
其中x为自变量，a 为常数( a∈R)。
你能说说幂函数有几个基本的特征? 练习1、下列函数中，哪几个是幂函数？
证明: 任取x1, x2 [0,),且x1 x2 ,则
f (x1) f (x2 )

( x1 x2
x1 x2 x1 x2
x1 x2 )( x1 x2 ) x1 x2
方法技巧:分子有理化
因为0 x1 x2 ,所以x1 x2 0, x1 x2 0,

人教A版数学必修一《幂函数及图象变换》基础知识讲解

幂函数及图象变换【学习目标】1．通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况. 2．掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题。

3．掌握初等函数图象变换的常用方法．【要点梳理】要点一、幂函数概念形如()y x R αα=∈的函数，叫做幂函数，其中α为常数. 要点诠释：幂函数必须是形如()y x R αα=∈的函数，幂函数底数为单一的自变量x ，系数为1，指数为常数.例如：()2423,1,2y x y x y x ==+=-等都不是幂函数.要点二、幂函数的图象及性质 1.作出下列函数的图象：(1)x y =；(2)21x y =；(3)2x y =；(4)1-=x y ；(5)3x y =．要点诠释：幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；(2)0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；(3)0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．2.作幂函数图象的步骤如下: (1)先作出第一象限内的图象；(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成；若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据y 轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象. 3.幂函数解析式的确定(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．(3)如函数()a f x k x =⋅是幂函数，求()f x 的表达式，就应由定义知必有1k =，即()a f x x =．4.幂函数值大小的比较(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．(3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．要点三、初等函数图象变换基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数．（三角函数、反三角函数待讲）由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数．如：2()f x x =的图象变换，22(1),1,y x y x =+=+222,||y x y x == （1）平移变换y =f (x )→y =f (x ＋a ) 图象左（0a >）、右（0a <）平移 y =f (x )→y =f (x )＋b 图象上（b 0>）、下（b 0<）平移（2）对称变换y =f (x ) →y =f (－x ), 图象关于y 轴对称 y =f (x ) →y =－f (x ) , 图象关于x 轴对称 y =f (x ) →y =－f (－x ) 图象关于原点对称y =f (x )→1()y f x -= 图象关于直线y =x 对称（3）翻折变换：y =f (x ) →y =f (|x |),把y 轴右边的图象保留，然后将y 轴左边部分关于y 轴对称．（注意：它是一个偶函数）y =f (x ) →y =|f (x )| 把x 轴上方的图象保留，x 轴下方的图象关于x 轴对称要点诠释：（1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。

2023年高中数学幂函数教学教案(7篇)

2023高中数学幂函数教学教案（7篇）高中数学必修1《幂函数》教案篇一1、教学目标学问目标：（1）把握幂函数的形式特征，把握详细幂函数的图象和性质。

（2）能应用幂函数的图象和性质解决有关简洁问题。

力量目标：培育学生发觉问题，分析问题，解决问题的力量。

情感目标：（1）加深学生对讨论函数性质的根本方法和流程的阅历。

（2）渗透辨证唯物主义观点和方法论，培育学生运用详细问题详细分析的方法分析问题、解决问题的力量。

2、教学重点：从详细函数归纳熟悉幂函数的一些性质并简洁应用。

教学难点：引导学生概括出幂函数的性质。

3、教学方法和教学手段：探究发觉法和多媒体教学4、教学过程：问题情境问题1写出以下y关于x的函数解析式：①正方形边长x、面积y②正方体棱长x、体积y③正方形面积x、边长y④某人骑车x秒内匀速前进了1m，骑车速度为y⑤一物体位移y与位移时间x，速度1m/s问题2是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？（教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，）板书课题并归纳幂函数的定义。

（二）新课讲解幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数（powerfunction），其中是自变量，是常数。

为了加深对定义的理解，请同学们判别以下函数中有几个幂函数？①y=②y=2x2我们了解了幂函数的概念以后我们一起来讨论幂函数的性质。

问题3幂函数具有哪些性质？用什么方法讨论这些性质的呢？我们请同学们回忆一下在前面学习指数函数、对数函数我们一起讨论了哪些性质呢？（学生争论，教师引导）（引发学生作图讨论函数性质的兴趣。

函数单调性的推断，既可以使用定义，也可以通过图象解决，直观，易理解。

）在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。

依据你的学习经受，你能在同一坐标系内画出函数的图象吗？（学生作图，教师巡察。

将学生作图用实物投影仪演示，指出优点和错误之处。

教师利用几何画板演示，通过超级链接几何画板演示。

3.3 幂函数课件(共48张PPT)高一数学必修第一册(人教A版2019)

1
(3) 在区间(0, )上,函数y x, y x2 , y x3 , y x 2单调递增, 函数y x1单调递减;
(4) 在第一象限内, 函数y x1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴无限接近.
学习新知例证明函数f ( x) x是增函数.
证明：函数的定义域是[0, ). x1, x2 [0, ), 且x1 x2 ,
[0,+∞)递增
(-∞,0)和(0,+∞) 递减
图象
公共点
(1,1) ( R) (0,0) ( 0时)
①为偶数, y x是偶函数. ②为—奇—数, y x是奇函数.
3.3 幂函数
02 幂函数的图象与性质
应用新知 1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
本节我们利用这些知识研究一类新的函数．
学习新知
先看几个实例： (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
或
m＝0.
当
m＝2
时，f(x)＝
x
1 2
，图象过点(4,2)；
当
m＝0
时，f(x)＝
x
3 2
，图象不过点(4,2)，舍去．
综上，f(x)＝
x
1 2
.
能力提升题型三：利用幂函数的单调性比较大小
【练习
3】已知幂函数
f(x)＝m2
2m
1
m 3
x2
的图象过点(4,2)．

新人教版高中数学必修一《基本初等函数》之《幂函数》ppt教学课件

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(2)解设 f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵( 2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2， β＝－1，∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知： ①当 x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)； ②当 x＝1 时，f(x)＝g(x)； ③当 x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．
4
提示 (1)√ 函数 y＝x－5 符合幂函数的定义，所以是幂函数； (2)× 幂函数中自变量 x 是底数，而不是指数，所以 y＝2－x 不是幂函数；
1
(3)× 幂函数中 xα 的系数必须为 1，所以 y＝－x2 不是幂函数．
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知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象：
§2.3 幂函数
学习目标 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式(易错点).2.结合幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12 的图象，掌握它们的性质(重点).3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点)．
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预习教材 P77－P78，完成下面问题：知识点 1 幂函数的概念
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题型一幂函数的概念
【例1】 (1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂
函数的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.
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解析 (1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选 B． (2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1. 答案 (1)B (2)5或－1

高中数学 231,232幂函数的概念幂函数的图象和性质课件湘教版必修1

2
3
(4)y＝x－5; (5)y＝x－3； (6)y＝x－4.
解 (1)y＝x6 的定义域是 R，值域是[0，＋∞)．
(2)y＝x35＝5 x3的定义域是 R，值域是 R.
(3)y＝x14＝4 x的定义域是[0，＋∞)，值域是[0，＋∞)．
(4)y＝x－5＝x15的定义域是{x|x∈R 且 x≠0}，值域是{y|y∈R，
幂函数．
第十四页，共33页。
【变式1】下列函数中哪些是幂函数：
(1)y＝x12；
4
(4)y＝(x－2)5；
(2)y＝21x； (3)y＝32x； (5)y＝1; (6)y＝x0；
(7)y＝－2·4x; (8)y＝ 1 . 5 x2
解 (1)是幂函数，因为 y＝x12＝x－2； (2)不是幂函数，它是指数函数 y＝12x； (3)不是幂函数，y＝32x＝9x 是指数函数；
第十页，共33页。
α＝qp
α<0
0<α<1
α>1
p、q都是奇数
q是偶数 p是奇数
q是奇数 p是偶数
第十一页，共33页。
当α>0时，幂函数的图象都经过原点和点(1，1)，在第一象限内，当0<α<1时，曲线上凸；当α>1时，曲线下凸． (3)幂函数的增减性在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y＝xα是递增(dìzēng)函数；当α<0 时，y＝xα是递减函数． (4)幂函数的奇偶性
∴23－23<π6 －23，即(－23)－23<－π6 －23.
22
22
3
(4)4.15>15＝1，0<3.8－3<1－3＝1，(－1.9)5<0，

高一数学必修一幂函数课件PPT

_R_ _[_0_,_+_∞_)_ _{_y_|_y_∈__R_且__y_≠__0_}_
奇偶性 _奇__
_偶__
_奇__
_非__奇__非__ _偶__
_奇__
x∈[0,+∞),
单调性
_增__
_增__ x∈(-∞,0],
_增__
_增__
x∈(0,+∞),_减__ x∈(-∞,0),_减__
_减__
公共点
课题导入
思考：这些函数有什么
我们先看下面几个具体问题：
共同的特征？
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付
p=w元，这里p是w的函数； (2) 如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a
的函数； (3) 如果立方体的边长为a，那么立方体的体积V=a3，这里V
是a的函数；
1.五种常见幂函数的图象
2.五类幂函数的性质
幂函数 y=x 定义域 _R_
值域 _R_
y=x2 _R_ _[_0_,_+_∞__)_
y=x3
1
y x2
y=x-1
_R_ _[_0_,_+_∞_)_ (_-_∞_,_0_)_∪__(_0_,_+_∞__)
_R_ _[_0_,_+_∞_)_ _{_y_|_y_∈__R_且__y_≠__0_}_
1.指数为常数. 2.底数是自变量，自变量的系数为1. 3.幂xα的系数为1. 4.只有1项.
二.通过对未知函数的单调性，奇偶性等研究函数的图像达到对函数性质和图像紧密联系的认知，体会其中数形结合的思想。
当堂诊学
1.下列函数中不是幂函数的是（）
C

高中数学必修一-幂函数的定义及图象

幂函数的定义及图象知识集结知识元定义的形式知识讲解幂函数的定义一般地，形如_______(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．例题精讲定义的形式例1.已知幂函数y=f（x）的图象经过点（8，），则f（）的值为（）A．3B．C．4D．例2.下列函数中是幂函数的是（）A．y=3x3B．y=（x﹣1）2C．y=﹣D．y=xπ﹣1例3.下列函数中是幂函数的是（）A．y=3x3B．y=（x﹣1）2C．y=﹣D．y=xπ﹣1幂函数形式的简单应用知识讲解幂函数的定义一般地，形如_______(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．例题精讲幂函数形式的简单应用例1.若幂函数y=f（x）的图象过点，则f（x）在定义域内（）A．有最小值B．有最大值C．为减函数D．为增函数例2.已知函数f（x）=log a（x-+1）+2（a>0，a≠1）的图象经过定点P，且点P在幂函数g （x）的图象上，则g（x）的表达式为（）A．g（x）=x2B．C．g（x）=x3D．例3.已知y=（m2+m-5）x m是幂函数，且在第一象限是单调递减的，则m的值为（）A．-3B．2C．-3或2D．3备选题库知识讲解本题库作为知识点“幂函数的定义”的题目补充.例题精讲备选题库例1.已知点（，27）在幂函数f（x）=（t-2）x a的图象上，则t+a=（）A．-1B．0C．1D．2例2.若幂函数的图象经过点（2，），则其解析式为（）A．y=（）x B．y=2x C．y=x-2D．y=x2例3.若幂函数f（x）的图象过点（4，2），则f（a2）=（）A．a B．-a C．±a D．|a|例4.已知a>0且a≠1函数的图象恒过定点P，若点P在幂函数y=f（x）的图象上，则f（8）=（）A．B．2C．D．4例5.已知幂函数f（x）=xα的图象经过点（3，5），且a=（）α，b=，c=logα，则a，b，c 的大小关系为（）A．c<a<b B．a<c<bC．a<b<c D．c<b<a例6.已知点（m，9）在幂函数f（x）=（m-2）x n的图象上，设，则a，b，c的大小关系为（）A．a<c<b B．b<c<aC．c<a<b D．b<a<c例7.幂函数在（0，+∞）上单调递增，则m的值为（）A．2B．3C．4D．2或4作图知识讲解幂函数图象步骤：1．定义域；2．判断函数在单调性；3．画出第一象限图象；4．根据奇偶性补出剩余图象；例1.请利用函数的三要素，函数的性质画出幂函数的图象：.【答案】【解析】作图后注意总结性质练习1..画函数的图象.【答案】【解析】（1），函数的定义域为．（2），函数在第一象限单调递增．（3）判断知函数为偶函数，故而其图象关于轴对称，根据对称性补出其在第二象限的图象．练习2.画出更多的图象，如①；②；③【答案】例题精讲作图例1.如图，曲线是幂函数y=x n在第一象限的图象，已知n 取2，3，，﹣1四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为．例2.'.画出更多的图象，如①；②；③'例3.如图给出了四个函数y=x a ，y=x b ，y=x c ，y=x d 的图象，则a，b，c，d 的大小关系是（）A．a＞b＞c＞d B．a＜b＜c＜d C．D．图像的简单应用知识讲解幂函数图象步骤：1．定义域；2．判断函数在单调性；3．画出第一象限图象；4．根据奇偶性补出剩余图象；例1.请利用函数的三要素，函数的性质画出幂函数的图象：.【答案】【解析】作图后注意总结性质练习1..画函数的图象.【答案】【解析】（1），函数的定义域为．（2），函数在第一象限单调递增．（3）判断知函数为偶函数，故而其图象关于轴对称，根据对称性补出其在第二象限的图象．练习2.画出更多的图象，如①；②；③【答案】例题精讲图像的简单应用例1.已知幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1），且当x＞0时，y是减函数，则m的值为．例2.若幂函数y=（m2+3m﹣17）的图象不过原点，则m的值为．例3.'已知幂函数f（x）的图象经过点（3，）（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明．'备选题库知识讲解本题库作为知识点“幂函数的图象”的题目补充.例题精讲备选题库例1.如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y=的图象是（）A．①B．②C．③D．④例2.已知幂函数f（x）过点（27，9），则f（x）的奇偶性为（）A．既不是奇函数又不是偶函数B．既是奇函数又是偶函数C．奇函数D．偶函数例3.幂函数y=f（x）的图象经过点，则f（x）的图象是（）A．B．C．D．例4.设a∈{-1，1，2，3}，则使函数y=x a的值域为R且为奇函数的所有a值为（）A．1，3B．-1，1C．-1，3D．-1，1，3例5.已知点在幂函数f（x）的图象上，则f（x）是（）A．奇函数B．偶函数C．定义域内的减函数D．定义域内的增函数例6.如图是①y=x a；②y=x b；③y=x c，在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为（）A．a>b>c B．a<b<cC．b<c<a D．a<c<b例7.设α∈，则使函数y=xα为奇函数且在（0，+∞）为增函数的所有α的值为（）A．1，3B．-1，1，2C．，1，3D．-1，1，3幂函数性质及与其它函数的综合知识讲解一、幂函数图象步骤：1．定义域；2．判断函数在单调性；3．画出第一象限图象；4．根据奇偶性补出剩余图象；二、幂函数的性质幂函数的一般结论：（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点____________；（2）如果，则幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数；（3）如果，则幂函数在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向于原点时，图象在轴右方无限地逼近轴．当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴．例1.请利用函数的三要素，函数的性质画出幂函数的图象：.【答案】【解析】作图后注意总结性质练习1..画函数的图象.【答案】【解析】（1），函数的定义域为．（2），函数在第一象限单调递增．（3）判断知函数为偶函数，故而其图象关于轴对称，根据对称性补出其在第二象限的图象．练习2.画出更多的图象，如①；②；③【答案】例题精讲幂函数性质及与其它函数的综合例1.已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，），则它的单调增区间为（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，+∞）例2.函数y=|x﹣1|的图象是（）A．B．C．D．例3.若幂函数f（x）=x m﹣1在（0，+∞）上是增函数，则（）A．m＞1B．m＜1C．m=1D．不能确定幂函数性质的综合运用知识讲解一、幂函数图象步骤：1．定义域；2．判断函数在单调性；3．画出第一象限图象；4．根据奇偶性补出剩余图象；二、幂函数的性质幂函数的一般结论：（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点____________；（2）如果，则幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数；（3）如果，则幂函数在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向于原点时，图象在轴右方无限地逼近轴．当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴．例1.请利用函数的三要素，函数的性质画出幂函数的图象：.【答案】【解析】作图后注意总结性质练习1..画函数的图象.【答案】【解析】（1），函数的定义域为．（2），函数在第一象限单调递增．（3）判断知函数为偶函数，故而其图象关于轴对称，根据对称性补出其在第二象限的图象．练习2.画出更多的图象，如①；②；③【答案】例题精讲幂函数性质的综合运用例1.如图，曲线C1与C2分别是函数y=x m和y=x n在第一象限内图象，则下列结论正确的是（）A．n＜m＜0B．m＜n＜0C．n＞m＞0D．m＞n＞0例2.函数y=的单调递增区间是（）A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，+∞）例3.'[f（x）﹣ax]（a＞0且a≠1）．已知幂函数f（x）=（m2﹣3m+3）x m+1为偶函数，g（x）=loga（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若g（x）在区间（2，3）上为增函数，求实数a的取值范围．'备选题库知识讲解本题库作为知识点“幂函数的性质”的题目补充.例题精讲备选题库例1.幂函数在（0，+∞）时是减函数，则实数m的值为（）A．2或-1B．-1C．2D．-2或1例2.若，则实数m的取值范围是（）A．（-∞，]B．[，+∞）C．（-1，2）D．[，2）例3.已知幂函数的f（x）=x a图象过点（2，），则f（x）的单调递增区间是（）A．（-∞，1）B．（-∞，0）C．（0，+∞）D．（-∞，+∞）例4.已知幂函数f（x）=，若f（a+1）<f（10-2a），则a的取值范围是（）A．（0，5）B．（5，+∞）C．（-1，3）D．（3，5）例5.已知a=，b=，，则（）A．b<c<a B．a<b<cC．b<a<c D．c<a<b例6.下列函数中，既是单调函数，又是奇函数的是（）A．y=x5B．y=5xC．y=log2x D．y=x-1例7.已知a=，b=，c=2.，则（）A．a<b<c B．c<b<aC．b<c<a D．c<a<b例8.设α∈{-3，-2，-1，-，，1，2，3}，则使y=xα为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的α值的个数为（）A．1B．2C．3D．4当堂练习单选题练习1.已知点（2，8）在幂函数f（x）=x n图象上，设a=f（（）0.5），b=f（20.2），c=f（log2），则a，b，c的大小关系为（）A．b>a>c B．a>b>cC．c>b>a D．b>c>a练习2.已知幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，），则函数f（x）为（）A．奇函数且在（0，+∞）上单调递增B．偶函数且在（0，+∞）上单调递减C．非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增D．非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递减已知幂函数f（x）=xα的图象过点（4，2），则α的值为（）A．B．-C．D．-练习4.幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，4），则f（）=（）A．B．C．D．2练习5.已知幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（8）的值为（）A．B．C．2D．8填空题练习1.若幂函数y=（k-2）x m-1（k，m∈R）的图象过点（），则k+m=___．练习2.已知幂函数f（x）=xα（0<α<1）满足，则f（4）=___．练习3.若点P（2，4），Q（3，y0）均在幂函数y=f（x）的图象上，则实数y0=___．练习4.若f（x）=（m-1）2x m是幂函数且在（0，+∞）单调递增，则实数m=___．练习5.若f（x）为幂函数，且满足，则f（3）=___．练习1.'已知幂函数f（x）的图象经过点（3，）（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明．'练习2.'已知幂函数f（x）的图象过（-，2），一次函数g（x）的图象过A（-1，1），B（3，9）．（Ⅰ）求函数f（x）和g（x）的解析式；（Ⅱ）当x为何值时，①f（x）>g（x）；②f（x）=g（x）；③f（x）<g（x）．'练习3.'已知函数f（x）是幂函数，其图象过点（2，8），定义在R上的函数y=F（x）是奇函数，当x>0时，F（x）=f（x）+1，（1）求幂函数f（x）的解析式；（2）求F（x）在R上的解析式．'练习4.'（1）已知幂函数f（x）=（-2m2+m+2）x-2m+1为偶函数，求函数f（x）的解析式；（2）已知x+x-1=3（x>1），求x2-x-2的值．'。

高一数学《幂函数》PPT课件

函数的性质不同
指数函数的底数是一个大于0且不等于1的常数，而幂函数的底数可以是任意实数。此外，指数函数的值域为正实数集，而幂函数的值域为非负实数集。
图像的形状不同
指数函数的图像是一条经过点 (0,1)的曲线，而幂函数的图像是一条经过原点的曲线。
02
常见幂函数类型及其特点
一次幂函数
表达式
幂的乘方法则
幂的乘方
底数不变，指数相乘。公式： (a^m)^n = a^(m×n)
举例
(2^3)^4 = 2^(3×4) = 2^12； (x^2)^5 = x^(2×5) = x^10
积的乘方法则
积的乘方
把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。公式： (ab)^n = a^n × b^n
举例
在幂函数中，指数a可以取任意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
02 03
函数定义域
幂函数的定义域与指数a的取值有关。例如，当a≤0时，函数定义域为非零实数集；当a>0且a为整数时，函数定义域为全体实数集。学生需要注意根据指数a的取值来确定函数的定义域。
幂函数性质
幂函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性等。例如，当a>0时，幂函数在定义域内单调递增；当a<0时，幂函数在定义域内单调递减。
幂函数图像
幂函数的图像根据a的不同取值而呈现出不同的形态，如直线、抛物线、双曲线等。通过图像可以直观地了解幂函数的性质。
易错难点剖y = x^n（n为实数）
图像
02
一条直线（n=1时）或射线（n≠1时）
性质
03
当n>0时，函数在(0, +∞)上单调递增；当n<0时，函数在(0,

人教A版高中数学必修1课件：2.3幂函数(共15张PPT)

-6
y x1
幂函数的图象
(-2,4)
4
3
2
1
(-1,1)
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
y=x3 (2,4) y=x2
y=x
1
y=x 2
(4,2)
(1,1)
y=x-1
2
4
6
例3证明：幂函数 f (x) x 在［0，+∞）上是增函数.
练习
1.幂函数y (m2 m 1)x m在x (0,) 上为减函数，则m的值为（...........)
在同一平面直角坐标系内作出这五个幂函数的图象.
1
y=x y x2 y x3 y x 2 y x1 小组合作
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
yx …
…
y x2 …
…
y x3 …
…
1
y x2 …
…
y x1 …
…
1
y=x y x2 y x3 y x2 y x1
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
y x3 … -27 -8 -1 0 1
1
y x2 … \
\ \01
8 27 …
2 3…
y x1 … -1/3 -1/2 -1 \ 1 1/2 1/3 …
幂函数的图像
利用几何画板作出五个幂函数的图象，并研究其性质，完成教材P78的表。
幂函数与指数函数的对比理解
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点：看看未知数x是指数还是底数

高一数学重点知识点：幂函数解析

高一数学重点知识点：幂函数解析高中数学相对于初中来说在学习方法和解题难度上都会有所增加，所以我们要熟悉每个重点知识点，以此来找到更好的学习方法。

掌握幂函数的内部规律及本质是学好幂函数的关键所在，下面是整理的高一数学重点知识点：幂函数解析，希望对广大朋友有所帮助。

定义：形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域性质：对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+)。

当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x0，函数的定义域是(-，0)(0，+).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数;排除了为0这种可能，即对于x0和x0的所有实数，q不能是偶数;排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

高中数学必修一课件：幂函数

3.3 幂函数
要点1 幂函数的概念
一般地，函数____y_＝_x_α_____叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
要点2 五个幂函数的图象与性质 1
(1)在同一平面直角坐标系内，函数①y＝x；②y＝x 2 ；③y＝x2；④y＝x－1； ⑤y＝x3的图象如图．
(2)五个幂函数的性质
y＝x
y＝x2
(2)幂函ห้องสมุดไป่ตู้y＝x2，y＝x－1，y＝x
1 3
y＝x－
1 2
在第一象限内的图象依次是图中的曲
线( D )
A．C1，C2，C3，C4 B．C1，C4，C3，C2
C．C3，C2，C1，C4 D．C1，C4，C2，C3 【解析】由于在第一象限内直线x＝1的右侧，幂函数y＝xα的图象从上到下相应的指数α由大变小，即“指大图高”，故幂函数y＝x2在第一象限内的图象
1 2
，则α＝－1，f(x)＝x－1，所以函数f(x)的单调递减区间
是(－∞，0)，(0，＋∞)．
6．已知a＝413，b＝1212，c＝(－8)13，则a，b，c的大小关系为__c_<_b_<_a __．解析 413>113＝1，0<1212<112＝1，(－8)13<0，所以c<b<a.
1
解析 ∵y＝f(x)和y＝－f(x)的单调性相反，y＝x 2 －1在[0，＋∞)上单调递增，∴对称后的函数在[0，＋∞)上单调递减．故选B.
4．下列函数既是偶函数又是幂函数的是( B )
A．y＝x
2
B．y＝x3
1
C．y＝x2
D．y＝|x|
解析对于A，函数是奇函数，不合题意；对于B，函数是偶函数且是幂函

高中数学——幂函数和函数的图像(教案)

幂函数和函数的图像【知识导图】知识讲解知识点1 幂函数的定义一般地，形如()y x R αα=∈的函数称为幂函数，其中α是常数．自变量x 是幂的底数，换句话说，幂的底数是单变量x ，幂指数是个常数，幂的系数是1，符合上述形式的函数，就是幂函数．这些函数虽然定义域不同，但有公共区间()0+∞，．为了更好地观察函数图象特征，总结幂函数的性质，我们把6个幂函数的图象画在同一平面直角坐标系中．虽然这6个幂函数图象所分布的象限不同，但是我们还是不难发现它们共同的特征．这6个幂函数在()0+∞，都有定义，图象都过点(1)1，．讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线．知识点3 利用基本函数的图像作图1.平移变换(1)水平平移：)0)((>±=a a x f y 的图象，可由)(x f y =的图象向左()＋或向右()－平移a 个单位而得到．(2)竖直平移：)0()(>±=b b x f y 的图象，可由)(x f y =的图象向上()＋或向下()－平移b 个单位而得到．2.对称变换(1))(x f y -=与)(x f y =的图象关于y 轴对称． (2))(x f y -=与)(x f y =的图象关于x 轴对称． (3))(x f y --=与)(x f y =的图象关于原点对称．(4)要得到|)(|x f y =的图象，可将)(x f y =的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．(5)要得到|)(|x f y =的图象，可将)(x f y =，0≥x 的部分作出，再利用偶函数的图象关于y 轴的对称性，作出0<x 时的图象． 3.伸缩变换(1))0)((>=A x Af y 的图象，可将)(x f y =图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变而得到．(2))0)((>=a ax f y 的图象，可将)(x f y =图象上所有点的横坐标变为原来的a1倍，纵坐标不变而得到．例题精解类型1 幂函数的概念【例题1】函数()()2231m m f x m m x+-=--⋅是幂函数，且当()0,x ∈+∞时，()f x 是增函数，求()f x 的解析式．【答案】根据幂函数定义得，211m m --=，解得2m =或1m =-，当2m =时，()3f x x =在()0,+∞上是增函数，当1m =-时，()3f x x -=，在()0+∞，上是减函数，不合要求．∴()f x 的解析式为()3f x x =．【例题2】已知幂函数()f x x α=的图象经过点()93，，则()100f =________．【答案】由题意可知()93f =，即93α=，12α∴=，()12f x x ∴=，∴()1210010010010f ===．类型2 幂函数的图象【例题3】如图所示，图中的曲线是幂函数n y x =在第一象限的图象，已知n 取2±，12±四个值，则相应于1234c c c c ，，，的n 依次为( )A ．2-，12-，12，2B ．2，12，12-，2- C ．12-，2-，2，12 D ．2，12，－2，12- 【答案】考虑幂函数在第一象限内的增减性．注意当0n >时，对于ny x =，n 越大，ny x=增幅越快，0n <时看n 的大小．根据幂函数ny x =的性质，在第一象限内的图象当0n >时，n 越大，n y x =递增速度越快，故1c 的2n =，2c 的12n =，当0n <时，n 越大，曲线越陡峭，所以曲线3c 的12n =-，曲线4c 的2n =-，故选B ．【例题4】如图是幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象，则( )A ．101n m -<<<<B ．1n <-，01m <<C ．10n -<<，1m >D ．1n <-，1m >【答案】在(0)1，内取同一值0x ，作直线0x x =，与各图象有交点，如图所示．根据点低指数大，有01m <<，1n <-．故选B类型3 比较幂的大小【例题5】比较下列各组数中两个数的大小：(1)1213⎛⎫ ⎪⎝⎭与1214⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)123-⎛⎫- ⎪⎝⎭与135-⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)140.25-与146.25；(4)0.20.6与0.30.4．【答案】(1)∵12y x =是[0,)+∞上的增函数，且1134>，∴11221134⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (2)∵1y x -=是()0-∞，上的减函数，且2335-<-，∴112335--⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(3) 11144210.2524--⎛⎫== ⎪⎝⎭，11426.25 2.5=∵12y x =是[0,)+∞上的增函数，且2 2.5<，11222 2.5∴<，即11440.25 6.25-<．(4)由幂函数的性质，知0.60.60.20.3<，又0.3x y =是减函数，0.40.60.30.3>∴，从而0.60.40.20.3<．【例题6】比较下列各组数的大小： (1)0.523⎛⎫ ⎪⎝⎭与0.535⎛⎫⎪⎝⎭；(2) 33.14-与3π-；(3)3412⎛⎫ ⎪⎝⎭与1234⎛⎫ ⎪⎝⎭．【答案】】(1)∵0.5y x =在[0,)+∞上是增函数且2335>，∴0.50.52335⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． (2)∵3y x =是R 上的增函数，且3.14π<，333.14π<∴，333.14π∴>--．(3)∵12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，∴31421122⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．12y x =是[0,)+∞上的增函数，∴11223142⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴13243142⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．类型4 含绝对值的函数【例题7】若关于x 的方程x a x -=||只有一个解，则实数a 的取值范围是________．【答案】由题意x x a +=||令⎩⎨⎧<≥=+=0002||x x x x x y ，，图象如图所示，故要使x x a +=||只有一解则0>a .答案：),0(+∞【例题8】分别画出下列函数的图象：（1）|lg |x y =；（2）22+=x y ；（3）1||22--=x x y .【答案】(1)⎩⎨⎧<<-≥=10lg 1lg x x x x y ，，图象如图1.(2)将xy 2=的图象向左平移2个单位．图象如图2.(3)⎩⎨⎧<-+≥--=01201222x x x x x x y ，，图象如图3.类型五判断函数的图象【例题9】已知定义在区间]2,0[上的函数)(x f y =的图象如图所示，则)2(x f y --=的图象为( )【答案】B由)(x f y =的图象知⎩⎨⎧≤<≤≤=21,110)(x x x x f ，当]2,0[∈x 时，]2,0[2∈-x ，所以⎩⎨⎧≤<-≤≤=-21,210,1)2(x x x x f故⎩⎨⎧≤<-≤≤-=--=21,2101)2(x x x x f y ，【例题10】在下列图象中，二次函数bx ax y +=2与指数函数xab y )(=的图象只可能是（）A. B. C. D.【答案】方法一：由指数函数图象可以看出10<<a b .抛物线方程是2224)2(a b a b x a y -+=，其顶点坐标为)4,2(2ab a b --，又由10<<a b ，可得0221<-<-a b .观察选择支，可选A.方法二：求bx ax y +=2与x 轴的交点，令02=+bx ax ，解得0=x 或abx -=，而01<-<-ab.故选A. 课堂练习【基础】1．下列函数是幂函数的是( )A ．5x y =B ．5y x =C ．5y x =D ．()31y x =+ 【答案】B【解析】函数5x y =是指数函数，不是幂函数；函数5y x =是正比例函数，不是幂函数；函数()31y x =+的底数不是自变量x ，不是幂函数；函数5y x =是幂函数． 2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( ) A ．13y x = B ．12y x -= C ．53y x = D ．23y x =【答案】A【解析】23y x ==R ，值域为[0,)+∞，故定义域与值域不同．3．设11,1,,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．13，B ．11-，C ．13-，D ．11,3-，【答案】A【解析】可知当113α=-，，时，y x α=为奇函数，又∵y x α=的定义域为R ，则13α=，．4．若3512a ⎛⎫=⎪⎝⎭，3515b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()32c =-，则a b c 、、的大小关系为________．【答案】a b c >>【解析】∵35y x =在()0,+∞上为增函数．∴33551125⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即0a b >>．而332(2)0c -=-<=，∴a b c >>． 5．幂函数()()22231m m f x m m x--=--⋅在()0,+∞上是减函数，则实数m =________．【答案】2【解析】∵()()22231m m f x m m x--=--⋅为幂函数，∴21m m --，∴2m =或1m =-．当2m =时，()3f x x -=在()0,+∞上是减函数，当1m =-时，()01f x x ==不符合题意．综上可知2m =．6．已知幂函数()f x 的图象经过点22⎛ ⎝⎭，，则()4f 的值为( ) A ．16 B ．116 C ．12D ．2 【答案】C【解析】设()f x x α=，则有2α=，解得12α=-，即()12f x x -=，所以()121442f -==．7．下列命题中正确的是( )A ．当0α=时，函数y x α=的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0)0，、(1)1，两点C ．若幂函数y x α=的图象关于原点对称，则y x α=在定义域上是增函数D ．幂函数的图象不可能在第四象限【答案】D【解析】当0α=时，函数y x α=的定义域为0{|}x x x R ≠∈，，其图象为两条射线，故A 选项不正确；当0α<时，函数y x α=的图象不过(0)0，点，故选项B 不正确；幂函数1y x -=的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故选项C 不正确；当0x >，R α∈时， 0y x α=>，则幂函数的图象都不在第四象限，故选项D 正确．8．下列幂函数中①1y x -=；②12y x =；③y x =；④2y x =；⑤3y x =，其中在定义域内为增函数的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解析】由幂函数性质知②③⑤在定义域内为增函数． 9.函数|1|)(-=x x f 的图象是( )【答案】B【解析】直接先画出1-=x y 的图像，再将x 轴下方的图像往上翻折即可.10.已知函数⎩⎨⎧>-≤+=02012x x x x y ，，则使函数值为5的x 的值是( )A.2-B.2或25-C.2或2-D.2或2-或25-【答案】A【解析】画出函数的图像，则)(x f 与5=y 只有1个交点，2-=x ，选A.11.函数)10(||<<=a x xa y x的图象的大致形状是( )【答案】D【解析】分类讨论：当0>x 时，xa y =单调递减，排除A,B 选项；当0<x 时，xa y -=单调递增，选D.【巩固】1．当01x <<时，()2f x x =，()12g x x =，()2h x x -=的大小关系是( )A ．()()()h x g x f x <<B ．()()()h x f x g x <<C ．()()()g x h x f x <<D ．()()()f x g x h x << 【答案】D【解析】在同一坐标系中，画出当01x <<时，函数2y x =，12y x =，2y x -=的图象，如下图所示．∴当01x <<时，有1222xx x ->>，即()()()f x g x h x <<．2．下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,+∞上单调递减的函数是( ) A ．2y x -= B ．1y x -= C ．2y x = D ．13y x = 【答案】A【解析】由于1y x -=和13y x =都是奇函数，故B 、D 不合题意．又2y x =虽为偶函数，但在()0,+∞上为增函数，故C 不合题意．221y x x -==在()0,+∞上为减函数，且为偶函数，故A 满足题意．3．幂函数()y f x =的图象经过点128⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则满足()27f x =-的x 值等于________．【答案】13-【解析】设()f x x α=，由题意可知218α=，3α=-，即()3f x x -=．由327x -=-可知13x =-．4．比较下列各组中两个值的大小：(1)351.5与351.6；(2) 1.30.6与 1.30.7；(2) 233.5-与235.3-；(4)0.30.18－与0.30.15－．【答案】略【解析】(1)∵幂函数35y x =在()0,+∞上单调递增，且1.5 1.6<，33551.5 1.6∴<． (2)∵幂函数 1.3y x =在()0,+∞上单调递增，且0.60.7<， 1.3 1.30.60.7<∴． (3)∵幂函数23y x-=在()0,+∞上单调递减，且3.5 5.3<，22333.55.3--∴>．(4)∵幂函数0.3y x=－在()0,+∞上单调递减，且0.180.15>，0.30.30.180.15∴<－－5．设322555223,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c >> B ．c a b >> C ．a b c << D ．b c a >> 【答案】C【解析】∵函数25xy ⎛⎫=⎪⎝⎭在R上是减函数，又2355<，32552355⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a ＜b ．又∵函数25y x =在R 上是增函数，且2355<，22553255⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎭∴⎝，即c b >，∴a b c << 6．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”．那么函数解析式为()2f x x =，值域为{1}4，的“同族函数”共有( )A ．7个B ．8个C ．9个D ．无数个【答案】C【解析】值域为{1}4，，∴其定义域由1,1,2,2--组成，∴有{}{}{}{}{}{121,2121,211211212212,21,12,2}{},{}{}------------，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有9种情况． x【答案】D【解析】分类讨论，当0>x 时，1+=x y ，当0<x 时，1-=x y ，所以选D.8.设函数⎩⎨⎧>≤++=020)(2x x c bx x x f ，，，若)0()2(f f =-，3)1(-=-f ，则方程x x f =)(的解集为________．【答案】}2,2{-【解析】因为02<-，01<-，则⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+-=+-223124c b c b c c b ，画出图像，可知)(x f 与x y =有两个交点，横坐标分别是2-=x 和2=x .9.画出函数1||22++-=x x y 的图象并写出函数的单调区间．【答案】单调增区间为)1,(--∞，]1,0[，单调减区间为)0,1(-，),1(+∞【解析】⎩⎨⎧<+--≥++-=01201222x x x x x x y ，，，即⎩⎨⎧<++-≥+--=02)1(02)1(22x x x x y ，，函数的大致图象如图所示，单调增区间为)1,(--∞，]1,0[，单调减区间为)0,1(-，),1(+∞【拔高】1．已知幂函数()f x 的图象过点(25)5，． (1)求()f x 的解析式；(2)若函数()()2g x f lgx =-，求()g x 的定义域、值域．【答案】同解析【解析】(1)设()af x x =，则由题意可知255a=，12a ∴=，()12f x x ∴=．(2)()()2g x f lgx =-=∴要使()g x 有意义，只需20lgx -≥，即2lgx ≤，解得0100x <≤．∴()g x 的定义域为(0]100，，又20lgx -≥， ∴()g x 的值域为[0,)+∞． 2．已知幂函数()223m m y f x x-+==，其中2{}2|m x x x Z <<-∈∈，，满足：(1)是区间()0,+∞上的增函数；(2)对任意的x R ∈，都有()0()f x f x -+=．求同时满足(1)，(2)的幂函数()f x 的解析式，并求]3[0x ∈，时()f x 的值域．【答案】同解析【解析】因为2{}2|m x x x Z <<-∈∈，，所以101m =-，，．因为对任意x R ∈，都有()0()f x f x -+=，即()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数．当1m =-时，()2f x x =只满足条件(1)而不满足条件(2)；当1m =时，()0f x x =条件(1)、(2)都不满足．当0m =时，()3f x x =条件(1)、(2)都满足，且在区间[0]3，上是增函数．所以]3[0x ∈，时，函数()f x 的值域为[]027，．3．已知幂函数()()223m m f x xm N --∈=的图象关于y 轴对称，且在()0,+∞上函数值随着x 的增大而减小，求满足()()33132m m a a --+<-的a 的取值范围．【答案】同解析【解析】∵函数()f x 在()0,+∞上的函数值随着x 的增大而减小，2230m m ∴-<-，利用二次函数的图象可得13m -<<．又m N ∈，012m ∴=，，．又函数的图象关于y 轴对称，223m m ∴--是偶数，故1m =，()()1133132a a --∴+<-．又13y x -=在()0-∞，和()0,+∞上均单调递减， ∴有以下三种情况： ①当10320a a +<⎧⎨->⎩即1a <-时，不等式的左边为负数，右边为正数，不等式成立；②当10320a a +>⎧⎨->⎩时，必有132a a +>-，即10320132a a a a+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩解得2332a <<；③当10320a a +<⎧⎨-<⎩时，必有132a a +>-，即10320132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩此不等式组无解，综上可得a 的取值范围是23,1,32()⎛⎫ ⎪⎝-∞-⎭． 4.求k 为何值时，方程k x =-|13|无解？有一解？有两解？【答案】见解析【解析】函数|13|-=x y 的图象是由函数x y 3=的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到，函数图象如图所示．当0<k 时，直线k y =与函数|13|-=x y 的图象无交点，即方程无解；当0=k 或1≥k 时，直线k y =与函数|13|-=xy 的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当10<<k 时，直线k y =与函数|13|-=xy 的图象有两个不同交点，所以方程有两解．5.已知0>a ，且1≠a ，函数x ya log =，xa y =，a x y +=在同一坐标系中的图象可能是( )【答案】C【解析】若10<<a ，则x y a log =单调递减，x a y =单调递减，a x y +=单调递增，感觉D 选项是符合的，但是a x y +=与y 轴的交点的纵坐标是小于1的，所以D 错误；选C.若1>a ，则x y a log =单调递增，x a y =单调递增，a x y +=单调递增，A 错误，所以最后答案选C.6.已知b a <，函数))(()(b x a x x f --=的图象如图所示，则函数)(log )(a x x g b +=的图象可能为( )【答案】B【解析】通过图象可以得出：10<<a ，1>b ，所以根据函数图像的平移变换，答案选B.小结1．幂函数y x α=的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．2．幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线1x =的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线1x =的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小． 3．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在()0,+∞上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即()11f =． (2)如果0α>，幂函数在[0,)+∞上有意义，且是增函数． (3)如果0α<，幂函数在0x =处无意义，在()0,+∞上是减函数．函数的图象（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点.作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象.运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究.而这个研究要借于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点. （2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；（3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面.课后练习【基础】1．设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a b c 、、的大小关系是( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a << 【答案】C【解析】(1)060∈．，，06x y ∴=．是减函数，06150606>∴．．．．，又06y x =．在()0,+∞是增函数，06061506>∴．．．．，∴b a c <<，故选C ．2．下列幂函数在(0),-∞上为减函数的是( )A ．13y x = B ．2y x = C ．3y x = D ．12y x = 【答案】B【解析】函数13y x =，3y x =，12y x =在各自定义域上均是增函数，2y x =在(0),-∞上是减函数．3．设11,13{,,}2α∈-，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为( )A ．13，B ．11-，C ．13-，D ．113-，，【答案】A【解析】函数1y x -=的定义域是{|}0x x ≠，函数12y x =的定义域是[0,)+∞，函数y x =和3y x =的定义域为R 且为奇函数． 4．函数()()22231m m f x m m x+-=-+⋅是幂函数，且在()0,+∞上是减函数，则实数m =( )A ．0B ．1C ．2D ．0或1 【答案】A【解析】由211m m -+=，得0m =或1m =，再把0m =和1m =分别代入2230m m -<+检验，得0m =，故选A ．5．函数y x α=与11,({,)2},23y x αα=-∈的图象只可能是下面中的哪一个( )【答案】C【解析】直线对应函数y x =，曲线对应函数为1y x -=，11≠-．故A 错；直线对应函数为2y x =，曲线对应函数为12y x =，122≠．故B 错；直线对应函数为2y x =，曲线对应函数为2y x =，22=．故C 对；直线对应函数为y x =-，曲线对应函数为3y x =，13-≠．故D 错． 6.函数xx y ||ln =的图像大致是（）A B. C. D.【答案】D【解析】首先判断函数的奇偶性，()f x 为奇函数，排除A,B 选项，又(1)0f =，所以选D. 7.若函数)1,0(1)(≠>-=-a a ax f kx 过定点)0,2(，且)(x f 在定义域R 上是减函数，则)(log )(k x x g a +=的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意可知，函数)(x f 恒过)0,2(，所以2=k ，又)(x f 单调递减，则10<<a ，所以答案选A.8.函数13)(||+-=x x f 的图像大致是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由函数解析式可知，该函数为偶函数，又0)0(=f ，故选A.【巩固】1．已知幂函数()21mf x x-=()m Z ∈的图象与x 轴，y 轴都无交点，且关于原点对称，则函数()f x 的解析式是________．【答案】()1f x x=－【解析】∵函数的图象与x 轴，y 轴都无交点，210m ∴-<，解得11m -<<；图象关于原点对称，且m Z ∈，0m ∴=，∴()1f x x =－．2．下列函数中，在(0)1，上单调递减，且为偶函数的是________．①12y x =；②4y x =；③2y x =－；④13y x =-．【答案】③【解析】①中函数12y x =不具有奇偶性；②中函数4y x =是偶函数，但在[0,)+∞上为增函数；③中函数2y x =－是偶函数，且在()0,+∞上为减函数；④中函数13y x =-是奇函数．故填③．3．已知函数()253()1m f x m m x---=-，m 为何值时，()f x ：(1)是幂函数；(2)是正比例函数；(3)是反比例函数；(4)是二次函数．【答案】同解析【解析】(1)∵()f x 是幂函数，故211m m --=，即220m m --=，解得2m =或1m =-．(2)若()f x 是正比例函数，则531m --=，解得m ＝－45．此时210m m --≠，故45m =-．(3)若()f x 是反比例函数，则531m --=-，则25m =-，此时210m m --≠，故25m =-． (4)若()f x 是二次函数，则532m --=，即1m =-，此时210m m --≠，故1m =-． 4．已知函数()2mf x x x =-且()742f =． (1)求m 的值；(2)判定()f x 的奇偶性；(3)判断()f x 在()0,+∞上的单调性，并给予证明．【答案】同解析【解析】(1)因为()742f =，所以42742m-=，所以1m =． (2)由(1)知()2f x x x=-，因为()f x 的定义域为{|}0x x ≠，又()22()x f x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭．所以()f x 是奇函数． (3)()f x 在()0,+∞上单调递增，设120x x >>，则()()1212121212222()()()1f x f x x x x x x x x x -=-=---+，因为120x x >>，所以120x x ->，12210x x +>，所以()()12f x f x >，所以()f x 在()0,+∞上为单调递增函数．5．如图所示，曲线1C 与2C 分别是函数m y x =和n y x =在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )A ．0n m <<B ．0m n <<C ．0n m >>D ．0m n >> 【答案】A【解析】由图象可知，两个函数在第一象限内单调递减，所以0m <，0n <．6．当1()x ∈+∞，时，幂函数y x α=的图象在直线y x =的下方，则α的取值范围是( )A ．(0)1，B ．()0-∞，C ．0(0)1()-∞⋃，，D ．1(()0)-∞⋃+∞，，【答案】C【解析】幂函数12y x =，1y x -=在(1)+∞，上时图象在直线y x =的下面，即0α<或01α<<，故选C ． 7．函数13y x =的图象是( )【答案】B【解析】显然代数表示式“()()f x f x -=-”，说明函数是奇函数，同时由当01x <<时，13x x >，当1x >时，13x x <，故选B ．8．已知幂函数()y f x =的图象过点(2)2，，则()216f log =( )A ．2B 2C 2D ．12【答案】A【解析】设()f x x α=，则22α=12α∴=，()x f x ∴=， ()()216442f log f ===，故选A ．9.作出函数⎩⎨⎧>+-≤--=13)2(13)(2x x x x x f ，，的图象，并指出函数的单调区间．【答案】见解析【解析】⎩⎨⎧>+-≤--=13)2(13)(2x x x x x f ，，的图象如图所示．由图象可知：函数的单调减区间为]1,(-∞和]2,1(；单调递增区间为),2(+∞．10.若1>a ，01<<-b ，则函数b a y x+=的图象一定在( )A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限C.第二、三、四象限D.第一、二、四象限【答案】A【解析】因为1>a ，则xa y =单调递增，又01<<-b ，所以函数的图象经过一、二、三象限，选A.11.函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=0)91(log 0)(x x x b ax x f c ，，的图象如图所示，则=++c b a ______.【答案】313 【解析】由图可知函数经过)0,1(-和)2,0(，所以2=b ，2=a ，31291log =⇒=c c ，所以=++c b a 313. 【拔高】1．已知幂函数()14f x x -=，若()()1102f a f a <+-，则a 的取值范围是________．、【答案】(3)5，【解析】∵())140f x xx -==>，易知()f x 在()0,+∞上为减函数，又()()1102f a f a <+-，∴1010201102a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩解得153a a a >-⎧⎪<⎨⎪>⎩，35a ∴<<．2．若231()2a =，231()5b =，131()2c =，则a b c 、、的大小关系是________．【答案】b a c <<【解析】设()312f x x =，则()1f x 在()0,+∞上为增函数，1125>，a b ∴>．又()21()2x f x =在(,)-∞+∞上为减函数，a c ∴<． 3．幂函数()f x的图象经过点)，点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭在幂函数()g x 的图象上．(1)求()f x ，()g x 的解析式；(2)x 为何值时()()f x g x >？x 为何值时()()f x g x <? 【答案】同解析【解析】(1)设()f x x α=，则2α=，2α∴=，()2f x x ∴=，设()g x x β=，则1(2)4β-=，2β∴=-，()20()g x x x -∴≠=．(2)从图象可知，当1x >或1x <-时，()()f x g x >；当10x -<<或01x <<时，()()f x g x <．4．已知幂函数()()223m m f x x m -++=∈Z 为偶函数，且在区间()0,+∞上是单调增函数．(1)求函数()f x 的解析式；(2)设函数()()2g x f x x c =+，若()2g x >对任意的x R ∈恒成立，求实数c 的取值范围．【答案】同解析【解析】(1) ()f x 在区间()0,+∞上是单调增函数，2230m m ∴++->，即2230m m -<-，解得13m -<<．又m Z ∈，012m ∴=，，，而02m =，时，()3f x x =不是偶函数，1m =时，()4f x x =是偶函数．∴()4f x x =． (2)由(1)知()4f x x =，则()22()(21)1g x x x c x c +=++-=+． ()2g x >对任意的x R ∈恒成立，()2min g x ∴>，且x R ∈，则12c ->，解得3c >．故实数c 的取值范围是(3,)+∞．5.直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 ______________．【答案】)45,1(【解析】曲线2y x x a =-+关于y 轴对称，当0x ≥时，221124y x x a x a ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，结合图象，要使直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，需1114a a >⎧⎪⎨-<⎪⎩，解得514a <<.故a 的取值范围是51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.6.若关于x 的方程a x x =-|2|2在]3,1[-上有只有2个解，则a 的取值范围为________.【答案】0=a 或31≤<a【解析】根据解析式作出图像，如下，则)(x f 与a y =有两个交点，所以0=a 或31≤<a .。

高中数学人教A版必修1幂函数

2.3 幂函数
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幂函数
名师点拨幂函数在第一象限内的指数变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小，即指数大的在上边．
自主思考1幂函数y＝xα与指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)一样吗？
提示：不一样．幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，在指数函数y＝a x中，底数是常数，指数是自变量．
自主思考2(1)在幂函数y＝xα中，如果α是正偶数(α＝2n，n为非零自然数)，如α＝2,4,6，…，这一类函数具有哪些重要性质？
(2)在幂函数y＝xα中，如果α是正奇数(α＝2n－1，n为非零自然数)，如α＝1,3,5，…，这一类函数具有哪些重要性质？
(3)幂函数y＝xα，x∈[0，＋∞)，α>1与0<α<1的图象有何不同？
提示：(1)重要性质：①定义域为R，图象都经过(－1,1)，(0,0)，(1,1)三点；②函数的图象关于y轴对称，即函数为偶函数；③函数在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数．
(2)重要性质：①定义域、值域为R，图象都过(－1，－1)，(0,0)，(1,1)三点；②函数的图象关于原点对称，即函数为奇函数；③函数在R上单调递增．
(3)两者图象的区别和联系：无论α>1还是0<α<1，函数y＝xα在[0，＋∞)上的图象都是单调递增的，但在[0,1]上前者比后者增得慢，在(1，＋∞)上前者比后者增得快．。

人教A版高中数学必修1课件2.3幂函数的图像及性质课件

幂函数的图像及性质
【幂函数的图像】
在同一平面直角坐标系下，幂函数y＝x，y＝x2，y 1 3 ＝x ，y＝ x 2 ，y＝x－1的图象分别如下图.
幂函数的图像及性质
【典型例题】
2 1、已知f(x)＝ 2 ， x
(1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性并证明； (2)当x∈[1，＋∞)时，求f(x)的最大值. 解：函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数．证明如下：任取x1、x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， 2 2 2( x x 2( x1 x2 )( x2 x1 ) 2 2 2 1 ) f(x1)－f(x2)＝
2
m2 2 m 3
幂函数的图像及性质
【变形训练】
故所求幂函数为y＝x－3.这个函数是奇函数，其定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，根据函数在 x∈(0，＋∞)上为减函数，推知函数在(－∞，0)上也为减函数.
幂函数的图像及性质
【典型例题】 2、已知幂函数y=xp-3 (p∈N*）的图象关于y轴对称，且在 (0，＋∞)上是减函数，求满足 p p (a 1) 3 (3 2a) 3 的a的取值范围．解：∵函数y＝xp－3在(0，＋∞)上是减函数， ∴p－3<0，即p<3，又∵p∈N*，∴p＝1，或p＝2. ∵函数y＝xp－3的图象关于y轴对称，∴p－3是偶数，－2， ∴取p＝ 1 ，即 y ＝ x 1 1 1 3 在(－∞，＋∞)上是增由 (a 1) 3 (3 2a) 3 ， ∵函数 y x 1 1 函数，∴由 (a 1) 3 (3 2a) 3 ，得a-1<3+2a即a>-4 . ∴所求a的取值范围是(－4，＋∞)．
知识点—— 幂函数的图像及性质