高中数学必修一第15讲：幂函数及图象变换(中等)

幂函数及图象变换

【学习目标】

1．通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况. 2．掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题。 3．掌握初等函数图象变换的常用方法． 【要点梳理】 幂函数概念

形如的函数，叫做幂函数，其中α为常数. 要点诠释：

幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x ，系数为1，指数为常数.例如：

()2

423,1,2y x y x y x ==+=-等都不是幂函数.

幂函数的图象及性质 1.作出下列函数的图象：

(1)x y =；(2)2

1x y =；(3)2x y =；(4)1-=x y ；(5)3

x y =．

要点诠释：

幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： (1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；

(2)0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；

(3)0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y

()y x R α

α=∈()y x R α

α=∈

轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 2.作幂函数图象的步骤如下: (1)先作出第一象限内的图象；

(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成； 若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据y 轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象. 3.幂函数解析式的确定

(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． (2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．

(3)如函数()a

f x k x =⋅是幂函数，求()f x 的表达式，就应由定义知必有1k =，即()a

f x x =． 4.幂函数值大小的比较

(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．

(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． (3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 要点三、初等函数图象变换

基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数．（三角函数、反三角函数待讲）

由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数．

如：2()f x x =的图象变换，2

2

(1),1,y x y x =+=+222,||y x y x ==

（1）平移变换

y=f(x)→y=f(x ＋a) 图象左（0a >）、右（0a <）平移 y=f(x)→y=f(x)＋b 图象上（b 0>）、下（b 0<）平移 （2）对称变换

y=f(x) →y=f(－x), 图象关于y 轴对称 y=f(x) →y=－f(x) , 图象关于x 轴对称 y=f(x) →y=－f(－x) 图象关于原点对称 y=f(x)→1

()y f

x -= 图象关于直线y=x 对称

（3）翻折变换：

y=f(x) →y=f(|x|),把y 轴右边的图象保留，然后将y 轴左边部分 关于y 轴对称．（注意：它是一个偶函数）

y=f(x) →y=|f(x)| 把x 轴上方的图象保留，x 轴下方的图象 关于x 轴对称 要点诠释：

（1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。 （2）若f(a －x)＝f(a ＋x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a 对称。

【典型例题】 类型一、求函数解析式 例1.已知()

2

1

21

2223m y m m x n -=+-⋅+-是幂函数，求m 、n 的值．

举一反三：

【变式一】判断下列函数有哪些是幂函数？ （1）2y x =；（2）23y x =；（3）3

y x x =-；（4）2

3

y x -

=；（5）21y x

=

；（6）3y =．

类型二、幂函数的图象

例1．幂函数y x α

=在第一象限内的图象如图所示，已知α分别取-1，1

,1,22

四个值，则相应图象依次为： ．

【变式1】函数13

y x =的图象是（ ）

类型三、幂函数的性质 例1.比较下列各组数的大小.

(1)52

3.14-

与52

π

-

； (2)35

(-

与35

(-

.

举一反三：

【变式1】比较0.50.8，0.5

0.9，0.5

0.9

-的大小.

类型四、求参数的范围 例1. 讨论函数2

221

()k k y k k x --=+在0x >时，随着x 的增大其函数值的变化情况。

【变式1】若()()2

2

132a a --+>-，求实数a 的取值范围.

类型五、幂函数的应用

例1. 求出函数2245()44

x x f x x x ++=++的单调区间，并比较()f π-与(f 的大小。

举一反三：

【变式1】讨论函数2

1

1

()()m m f x x m *++=∈N 的定义域、奇偶性和单调性．