乘法公式活用专题训练
乘法公式综合运用经典能力提高题
乘法公式复习题1、已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
2、已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
3、计算19992-2000×19984、已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。
5、已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x 2-z 2的值。
6、判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？7、运用公式简便计算（1）1032 （2）19828、计算（1）(a +4b -3c )(a -4b -3c ) （2）(3x +y -2)(3x -y +2)9、解下列各式（1）已知a 2+b 2=13，ab =6，求(a +b )2，(a -b )2的值。
（2）已知(a +b )2=7，(a -b )2=4，求a 2+b 2，ab 的值。
（3）已知a (a -1)-(a 2-b )=2，求222a b ab +-的值。
（4）已知13x x -=，求441x x+的值。
10、四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？分析：由于1⨯2⨯3⨯4+1=25=522⨯3⨯4⨯5+1=121=1123⨯4⨯5⨯6+1=361=192……猜想并证明：任意四个连续自然数之积加上1，都是平方数。
11、计算：()()53532222x y x y +-12、 计算：()()()()111124-+++a a a a13、 计算：()()32513251x y z x y z +-+-+--14、计算：()()57857822a b c a b c +---+15、计算：()()x y z x y z +-++2616、已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。
17、计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．18、若a +a 1=5，求（1）a 2+21a，（2）（a －a 1）2的值．19、计算：()()a b a b +-+22120、 计算：331313131842+++++()()()()21、计算：11211311411102222-⎛⎝⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪…22、如图2，在长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a b >），把余下的部分剪成一个矩形，如图3，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是______________。
专题02乘法公式_答案
专题02乘法公式_答案1.用乘法公式计算：(3x+2)(4x-5)。
解答：使用分配律展开乘法式子，得到：(3x+2)(4x-5)=3x*4x+3x*(-5)+2*4x+2*(-5)=12x^2-15x+8x-10=12x^2-7x-10。
2.用乘法公式计算：(2a+3b)(-4a+5b)。
解答：使用分配律展开乘法式子，得到：(2a + 3b)(-4a + 5b) = 2a * -4a + 2a * 5b + 3b * -4a + 3b * 5b = -8a^2 + 10ab - 12ab + 15b^2 = -8a^2 - 2ab + 15b^23.用乘法公式计算：(x+3)(2x^2-4x+5)。
解答：使用分配律展开乘法式子，得到：(x+3)(2x^2-4x+5)=x*2x^2+x*(-4x)+x*5+3*2x^2+3*(-4x)+3*5=2x^3-4x^2+5x+6x^2-12x+15=2x^3+2x^2-7x+154.用乘法公式计算：(2x-1)(x^2-3).解答：使用分配律展开乘法式子，得到：(2x-1)(x^2-3)=2x*x^2+2x*(-3)-x^2+3=2x^3-6x-x^2+3=2x^3-x^2-6x+35.用乘法公式计算：(3m-2)(2m^2+3m-4).解答：使用分配律展开乘法式子，得到：4)=6m^3+9m^2-12m-4m^2-6m+8=6m^3+5m^2-18m+86.用乘法公式计算：(3x+5)(3x-5).解答：使用分配律展开乘法式子，得到：(3x+5)(3x-5)=3x*3x+3x*(-5)+5*3x+5*(-5)=9x^2-15x+15x-25=9x^2-257.用乘法公式计算：(2a+3)(2a-3).解答：使用分配律展开乘法式子，得到：(2a+3)(2a-3)=2a*2a+2a*(-3)+3*2a+3*(-3)=4a^2-6a+6a-9=4a^2-98.用乘法公式计算：(x+2)(x^2-4x+7).解答：使用分配律展开乘法式子，得到：(x+2)(x^2-4x+7)=x*x^2+x*(-4x)+x*7+2*x^2+2*(-4x)+2*7=x^3-4x^2+7x+2x^2-8x+14=x^3-2x^2-x+149.用乘法公式计算：(2x-3)(3x^2+2x-5).解答：使用分配律展开乘法式子，得到：(2x-3)(3x^2+2x-5)=2x*3x^2+2x*2x+2x*(-5)-3*3x^2-3*2x-3*(-5)=6x^3+4x^2-10x-9x^2-6x+15=6x^3-5x^2-16x+1510.用乘法公式计算：(3m-4)(2m^2+5m-2).解答：使用分配律展开乘法式子，得到：2)=6m^3+15m^2-6m-8m^2-20m+8=6m^3+7m^2-26m+8。
完整版)乘法公式专项练习题
完整版)乘法公式专项练习题1.平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（）。
答案：D。
以上都可以。
2.下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）。
答案：B。
（－a+b）（a－b）3.若x2－x－m=(x－m)(x+1)且x≠0，则m等于（）。
答案：C。
14.计算［(a－b)(a+b)］等于（）。
答案：A。
a2－b25.已知(a+b)2=11,ab=2，则(a－b)2的值是（）。
答案：B。
36.若x2－7xy+M是一个完全平方式，那么M是（）。
答案：D。
49y27.若x,y互为不等于的相反数，n为正整数，你认为正确的是（）。
答案：B。
xn、XXX一定是互为相反数。
8.下列计算中，错误的有（）。
答案：D。
4个。
①（3a+4）（3a－4）=9a2－16；②（2a2－b）（2a2+b）=4a4－b2；③（3－x）（x+3）=－x2+9；④（－x+y）·（x+y）=－x2+y2.9.若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（）。
答案：A。
5.10.已知a1996x1995，b1996x1996，c1996x1997，那么a2b2c2ab bc ca的值为（）。
答案：C。
3.11.已知x0，且M(x22x1)(x22x1)，N(x2x1)(x2x1)，则M与N的大小关系为（）。
答案：A。
XXX。
12.设a、b、c是不全相等的任意有理数。
若x a2bc，y b2ca，z c2ab，则x、y、z（）。
答案：D。
至少有一个大于0，至少有一个小于0.1.$(-2x+y)(-2x-y)=4x^2-y^2$，$(-3x^2+2y^2)(3x^2+2y^2)=9x^4-4y^4$。
2.$(a+b-1)(a-b+1)=a^2+b^2-2b$，$(a+b-1)^2-(a-b+1)^2=4ab-2a$。
3.差为$(5-2)^2-(5-4)^2=9$。
4.$a^2+b^2-2a+2b+2=0$，$a^{2004}+b^{2005}=a^2+b^2-ab(a-b)^2=(a-b)^2$。
专训1 活用乘法公式进行计算的六种技巧
专训1 活用乘法公式进行计算的六种技巧名师点金：乘法公式是指平方差公式和完全平方公式，公式可以正用，也可以逆用．在使用公式时，要注意以下几点：(1)公式中的字母a，b可以是任意一个式子；(2)公式可以连续使用；(3)要掌握好公式中各项的关系及整个公式的结构特点；(4)在运用公式时要学会运用一些变形技巧．巧用乘法公式的变形求式子的值1．已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝4.求a2＋b2和的值．2．已知x＋＝3，求x4＋的值．巧用乘法公式进行简便运算3．计算：(1)2 0172－2 016×2 018；(2)×××…××；(3)1002－992＋982－972＋…＋42－32＋22－12.巧用乘法公式解决整除问题4．对任意正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)是不是10的倍数？为什么？应用乘法公式巧定个位数字5．试求(2＋1)(22＋1)(24＋1)·…·(232＋1)＋1的个位数字．巧用乘法公式解决复杂问题(换元法)6．计算的值．巧用乘法公式解决实际问题(分类讨论思想)7．王老师在一次团体操队列队形设计中，先让全体队员排成一方阵(行与列的人数一样多的队形，且总人数不少于25人)，人数正好够用，然后再进行各种队形变化，其中一个队形需分为5人一组，手执彩带变换图形，在讨论分组方案时，有人说现在的队员人数按5人一组分将多出3人，你说这可能吗？答案1．解：(a＋b)2＝a2＋2＋b2＝7，(a－b)2＝a2－2＋b2＝4，所以a2＋b2＝×(7＋4)＝×11＝，＝×(7－4)＝×3＝.2．解：因为x＋＝3，所以＝9，所以x2＋＝7，所以＝49，所以x4＋＝47.3．解：(1)原式＝2 0172－(2 017－1)×(2 017＋1)＝2 0172－(2 0172－12)＝2 0172－2 0172＋1＝1.(2)原式＝××××××…××××＝××××××…××××＝×＝.(3)原式＝＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)×(100－99)＋(98＋97)×(98－97)＋…＋(2＋1)×(2－1)＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝＝5 050.4．解：对任意正整数n，整式(3n＋1)·(3n－1)－(3－n)(3＋n)是10的倍数，理由如下：(3n＋1)·(3n－1)－(3－n)(3＋n)＝(3n)2－1－(32－n2)＝9n2－1－9＋n2＝10n2－10＝10(n2－1)．∵对任意正整数n，10(n2－1)是10的倍数，∴(3n＋1)·(3n－1)－(3－n)·(3＋n)是10的倍数．5．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)·…·(232＋1)＋1＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)·…·(232＋1)＋1＝(22－1)(22＋1)(24＋1)·…·(232＋1)＋1＝…＝(264－1)＋1＝264＝(24)16＝1616.因此个位数字是6.6．解：设20 182 017＝m，则原式＝＝＝＝.7．解：总人数可能为(5n)2人，(5n＋1)2人，(5n＋2)2人，(5n＋3)2人，(5n＋4)2人．(n为正整数) (5n)2＝5n·5n；(5n＋1)2＝25n2＋10n＋1＝5(5n2＋2n)＋1；(5n＋2)2＝25n2＋20n＋4＝5(5n2＋4n)＋4；(5n＋3)2＝25n2＋30n＋9＝5(5n2＋6n＋1)＋4；(5n＋4)2＝25n2＋40n＋16＝5(5n2＋8n＋3)＋1.由此可见，无论哪一种情况总人数按每组5人分，要么不多出人数，要么多出的人数只可能是1人或4人，不可能是3人．。
乘法公式应用练习题
乘法公式应用练习题本文将提供一系列乘法公式应用的练习题，帮助读者掌握乘法公式的使用方法和技巧。
通过练习，读者可以提高对乘法公式的理解和运用能力。
题目1：计算题请计算以下乘法：1. 6 × 3 =解答：6 × 3 = 18题目2：解决实际问题小明爸爸请了3个小时的家教，每小时收费30元。
计算小明爸爸需要支付的费用。
解答：3 × 30 = 90小明爸爸需要支付90元的费用。
题目3：简化计算简化以下计算：1. 7 × 8 × 9 =解答：7 × 8 × 9 = 7 × 72 = 504题目4：运用乘法表利用乘法表计算：1. 9 × 8 =解答：根据乘法表可知，9 × 8 = 72题目5：应用乘法公式利用乘法公式计算：1. (5 + 2) × 3 =解答：(5 + 2) × 3 = 7 × 3 = 21题目6：运用乘法分配律应用乘法分配律计算：1. 4 × (6 + 3) =解答：4 × (6 + 3) = 4 × 9 = 36题目7：计算面积计算一个长方形的面积，长为5米，宽为3米。
解答：面积 = 长 ×宽 = 5 × 3 = 15平方米题目8：乘法公式运用应用乘法公式计算下列问题：1. 某超市每天卖出200瓶水，每瓶水的售价为3元，求该超市一天的销售额。
解答：销售额 = 销售量 ×售价 = 200 × 3 = 600元题目9：运用乘法交换律利用乘法交换律简化计算：1. 5 × 8 × 6 =解答：5 × 8 × 6 = 5 × 6 × 8 = 30 × 8 = 240题目10：复杂计算问题解决以下复杂计算问题：1. 某电影院一天上映4场电影，每场电影有250个座位，求该电影院一天总共能容纳多少观众。
专题02 乘法公式重难点题型专训(11大题型+15道拓展培优)(原卷版)
专题02 乘法公式重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）【题型目录】题型一 运用平方差公式进行运算题型二 平方差公式与几何图形题型三 运用完全平方公式进行运算题型四 通过完全平方公式变形求值题型五 求完全平方公式中的字母系数题型六 完全平方式在几何图形中的应用题型七 整式的混合运算题型八 乘法公式中的多结论问题题型九 乘法公式的相关计算题型十 乘法公式中的“知二求三”题型十一 乘法公式与几何图形的综合应用【知识梳理】知识点一、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如（3）指数变化：如（4）符号变化：如（5）增项变化：如（6）增因式变化：如知识点二、完全平方公式完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：22()()a b a b a b +-=-b a ,()()a b b a +-+(35)(35)x y x y +-3232()()m n m n +-()()a b a b ---()()m n p m n p ++-+2244()()()()a b a b a b a b -+++()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-【经典例题一【例1A．【变式训练】1．（2023(+(21)4．（2024上·广东湛江·八年级校考期末）观察下列计算∶()()22a b a b a b -+=-()()2233a b a ab b a b -++=-()()322344a ab ab a b b b a +++=--(1)猜想∶ ()()1211n n a a a a ---++++=L _______________________．(其中n 为正整数，且2n ³)；(2)利用(1)猜想的结论计算∶ 109873222222221++++++++L ；【经典例题二 平方差公式与几何图形】【例2】（2023下·甘肃兰州·七年级统考期中）下面给出的三幅图都是将阴影部分通过割，拼，形成新的图形，其中不能验证平方差公式的是（ ）A ．①B ．②③C ．①③D ．③【变式训练】1．（2023上·吉林白城·八年级统考期末）如图，从边长为()3a +的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线剪开后又拼成如图的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的另一边的长为（ ）A ．26a +B ．22a +C ．6a +2．（2023上·河南周口·八年级校联考阶段练习）有正方形纸片A 3．（2024上·云南玉溪·八年级统考期末）如图甲所示，边长为乙是由图甲中阴影部分拼成的一个长方形，设图甲中阴影部分面积为(1)请直接用含a 和b 的代数式表示达）．(2)试利用这个公式计算：112æ-çè(1)上述操作能验证的等式是_______．（请选择正确的一个）A ．()()22=a b a b a b -+-；B ．22a ab -+(2)请应用（1）中的等式完成下列各题：①2202320242022-´；【经典例题三【例则2a +【变式训练】1．（2023·A ．(1)如图所示图形可验证的等式是：(2)计算：2+´+2.23 4.463.77(3)运用（1）中的等式，若x【经典例题四【例4【变式训练】1．（2024(1)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：(a+(2)晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为2a _______．(3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题（1）已知7a b +=，12ab =，求22a b +的值；（2）已知()()202420222023x x --=，求()()2220242022x x -+-的值．拓展运用：如图3，点C 是线段AB 上一点，以AC ，BC 为边向两边作正方形【经典例题五【例5（ ）【变式训练】1．（2024整式B ，使得2A B =，则称A 完全平方式．例如()242a a =，()242a a =，()2244121a a a -+=-，则4a ，2441a a -+均为完全平方式．(1)下列各式中是完全平方式的是 （只填序号）．①6a ；②22a ab b ++；③21025x x --；④269m m ++(2)将（1）中所选的完全平方式写成一个整式的平方的形式．(3)若2x x m ++是完全平方式，求m 的值．4．（2023上·山西晋中·九年级统考期中）阅读与思考如果一个多项式()20,0ax bx c a c ++>>是完全平方式，那么它的各项系数a ，b ，c 之间存在着怎样的关系呢？围绕这个问题，小丽同学所在的小组进行了如下探究，请你加入他们的探究并补全探究过程：探究完全平方式各项系数的关系举例探究：将下列各式因式分解：()22211x x x ++=+；2816x x -+= ；24129x x -+= ；观察发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现：224110-´´=；()2841160--´´=；()2124490--´´=；归纳猜想：若多项式()200,0ax bx c a c ++=>>是完全平方式，猜想：系数a ，b ，c 之间存在的关系式为 ；验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论：解决问题：若多项式()()()26261n x n x n +++++是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出n 的值．【经典例题六【例6已知大正方形的面积是【变式训练】1．（2021划出长方形(1)你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于_______．(2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积方法①___________；方法②__________．(3)观察图②，试写出()2m n +，()2m n -，mn 这三个代数式之间的等量关系(1)代数式241x x -+有最 （填大或小）值，这个值(2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为【经典例题七【例7A ．2b a =B ．3b a =【变式训练】1．（2022上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考开学考试）设()()22@x y x y x y =+--，则下列结论：①若@0x y =，则x ，y 均为0；②()@@@x y z x y x z +=+；③存在实数x ，y ，满足22@5x y x y =+；④设x ，y 是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当x y =时，@x y 最大．其中正确的个数（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（2022·河北保定·校考模拟预测）已知222810x x -=，则()()()212111x x x ---++= 3．（2024上·四川成都·八年级校考期末）（1）先化简，再求值：2()()()()x y x x y x y x y +-++-+，其中2x =-，1y =-．（2）已知260m m --=，求2(2)(2)(4)m n m n n m +-+-的值．4．（2024上·福建莆田·八年级统考期末）庆祝元旦期间，张老师出了一道“年份题”：计算22222023202320242024+´+的算术平方根．张老师提示可将上述问题一般化为：计算2222(1)(1)n n n n ++++的算术平方根（n 为正整数），然后对n 进行特殊化：当1n =时，222221122(121)+´+=´+，当2n =时，222222233(231)+´+=´+，当3n =时，222223344(341)+´+=´+，……(1)根据以上规律，请直接写出22222023202320242024+´+的算术平方根；（按规律写出结果即可，不必计算）(2)根据以上等式规律，请写出第n 个等式，并验证其正确性；(3)某同学将上述问题更一般化为：计算2222n n m m ++的算术平方根，并猜想22222()n n m m nm m n ++=+-，【经典例题八【例82x，第二项是【变式训练】1．（2023①不存在这样的实数【经典例题九【例9(1)(x【变式训练】1．（2023【经典例题十【例10(1)2x【变式训练】1．（20233ab =Q ，2225225619a b ab \+=-=-=．()2222a b a b ab \+=+-．5a b +=Q ，3ab =，2225619a b \+=-=．请你参照上面两种解法中的一种，解答以下问题．(1)已知1a b -=，229a b +=，求ab 的值；(2)已知14a a +=，求21a a æö-ç÷èø的值．3．（2023上·福建厦门·八年级厦门市第十中学校考期中）已知4m n -=-，2mn =，求下列代数式的值．(1)22m n +(2)()()11m n +-4．（2023上·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期中）阅读下列材料并解答下面的问题：利用完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+，通过配方可对22a b +进行适当的变形，如：()2222a b a b ab +=+-或()2222a b a b ab +=-+，从而使某些问题得到解决．例：已知5,3+==a b ab ，求22a b +的值．解：()2222252319a b a b ab +=+-=-´=．通过对例题的理解解决下列问题：(1)已知2,3a b ab -==，求22a b +的值；(2)若16a a +=，求221a a+的值；(3)若n 满足()()22202420231n n -+-=，求式子()()20242023n n --的值．【经典例题十一【例11A 种纸片是边长为【发现】（1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 ；【应用】（2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题：①已知：7a b +=，22a b 29+=，求ab 的值；【变式训练】1．（2023的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由(1)若用不同的方法计算这个边长为(2)若实数a，b，c满足3．（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）问题呈现数学运用：如图，分别以a ，b ，m ，n 为边长作正方形，已知m n >且满足①222224a m abmn b n -+=与②2222216b m abmn a n ++=．若图4中阴影部分的面积为3，图5中梯形ABCD 的面积为5，则图5阴影部分的面积是______．（直接写出结果）．【拓展培优】1．（2024A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②④6．（2023·江苏泰州·统考一模）已知()()2022202448x x --=，则代数式2(2023)x -的值为 7．（2024上·湖北随州·八年级统考期末）如果()2221914a b a b +=+=，，则()2a b -= ．9．（2023上·江苏南通·八年级统考期中）请同学们运用公式题：已知,,a b c 满足2226a b c ++=10．（2024上·湖南湘西·八年级统考期末）完全平方公式（2）利用等量关系解决下面的问题：①5a b -=，6ab =-，求()2a b +和22a b +的值；②已知13x x -=，求441x x +的值．根据上面灰太狼的解题思路与方法，请解决下列问题：(1)①若4mn =，22m n +②若6x y +=，22x y +=③若6a b +=，4ab =，则。
人教版八年级数学上册专题训练(七) 乘法公式的灵活应用
3．已知a－b＝3，ab＝2，求： (1) (a＋b)2； (2)a2－6ab＋b2的值． 解：(1)将a－b＝3两边平方得：(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝9，把ab＝2 代入得：a2＋b2＝13，则(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋4＝17 (2)a2－6ab＋b2＝a2＋b2－6ab＝13－12＝1
专题训练(七) 乘法公式的灵活应用
类型一 变形乘法公式求式子的值 1．(2016·雅安)已知 a＋b＝8，a2b2＝4，则a2＋2 b2－ab＝_2__8_或__3_6_.
2．已知(a＋b)2＝25，(a－b)2＝9，求ab与a2＋b2的值． 解：∵(a＋b)2＝25，(a－b)2＝9，∴a2＋2ab＋b2＝25①，a2－2ab ＋b2＝9②，∴①＋②得：2a2＋2b2＝34，∴a2＋b2＝17，①－②得： 4ab＝16，∴ab＝4
4．已知 x－1x＝3，(x－1x)2＝x2＋x12－2，∴x2＋x12＝(x－1x)2＋2 ＝32＋2＝11.x4＋x14＝(x2＋x12)2－2＝112－2＝119
类型二 巧用乘法公式简便计算 5．计算：(1)9982； 原式＝(1 000－－2)2＝1 0002－2×1 000×2＋22＝996 004 (2)2 0162－2 014×2 018； 原式＝2 0162－(2 016－2)×(2 016＋2)＝2 0162－(2 0162－22)＝4
(3)(x＋2y)2－(x－2y)2－(x＋2y)(x－2y)－4y2，其中 x＝－2，
y＝12. 解：原式＝－x2＋8xy.当 x＝－2，y＝12时，原式＝－(－2)2
＋8×(－2)×12＝－12
类型四 巧用乘法公式解决整除问题 7．已知n为整数，试说明(n＋7)2－(n－3)2的值一定能被20整除． 解：(n＋7)2－(n－3)2＝(n＋7＋n－3)(n＋7－n＋3)＝20(n＋2)， ∴(n＋7)2－(n－3)2的值一定能被20整除
提高小学生乘法口诀技巧深入应用的练习题
提高小学生乘法口诀技巧深入应用的练习题一、选择题1. 下面哪个是九九乘法表中4乘以3的结果：A. 12B. 10C. 8D. 72. 下面哪个是九九乘法表中5乘以6的结果：A. 27B. 30C. 32D. 353. 下面哪个是九九乘法表中8乘以9的结果：A. 65B. 72C. 80D. 884. 下面哪个是九九乘法表中7乘以8的结果：A. 52B. 56C. 60D. 645. 下面哪个是九九乘法表中3乘以7的结果：A. 21B. 24C. 28D. 30二、填空题1. 4乘以5等于 _______。
2. 6乘以7等于 _______。
3. 8乘以9等于 _______。
4. 2乘以9等于 _______。
5. 3乘以6等于 _______。
三、计算题1. 7乘以8等于多少？2. 5乘以9等于多少？3. 4乘以6等于多少？4. 3乘以9等于多少？5. 2乘以7等于多少？四、应用题1. 小明有5个篮球，每个篮球上有6个黑色的线条，他总共看到了多少条线条？2. 运动会上，小红参加了10个项目，每个项目中有8个选手，总共有多少个选手参加了运动会？3. 小李拿到了12本图书，每本图书中有4章节，他总共要阅读多少章节？4. 妈妈给小强买了6个苹果，每个苹果重200克，小强一共获得了多重的苹果？5. 一箱牛奶有24瓶，每瓶牛奶有250毫升，一共有多少毫升的牛奶？五、解答题1. 请你用九九乘法表中的口诀，计算出4乘以7的结果。
2. 请你用九九乘法表中的口诀，计算出6乘以8的结果。
3. 请你用九九乘法表中的口诀，计算出9乘以5的结果。
4. 请你用九九乘法表中的口诀，计算出7乘以9的结果。
以上就是提高小学生乘法口诀技巧深入应用的练习题，希望能帮助小学生们熟练掌握乘法口诀表，提高计算能力。
请同学们认真思考，认真解答，加油！。
《活用乘法公式的八种技巧》素养练
《活用乘法公式的八种技巧》素养练技巧1 巧用乘法公式的变形求式子的值1.【教材98P 复习题B 组5T 变式】已知2()a b +=27,()4a b -=，求22a b +和ab 的值.2.已知13x x +=，求441x x+的值. 技巧2 巧用乘法公式进行简便运算3.计算：(1)2220420419296+⨯+ (2)12403933⨯ (3)2222211111111(1)1234910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(4)222222221009998974321-+-++-+-技巧3 巧用乘法公式解决整除问题4.对任意正整数n ，整式()()()()313133n n n n +---+能不能被10整除？为什么？ 技巧4 巧用乘法公式进行计算5.【2022·衡水第五中学期末】利用我们学过的知识，可以推导出下面的等式：(2222221[()())2a b c ab bc ac a b b c c a ⎤++---=-+-+-⎦ (1)请你检验这个等式的正确性；(2)若a =2022，b =2023，c =2024，你能很快求出222a b c ab bc ac ++---的值吗？试求出这个值.技巧5 巧用乘法公式解决换元问题(换元法)6.计算：22220 242 02320 242 02220 242 0242+- 技巧6 巧用乘法公式解决规律问题7.【探究题】有一系列等式：222123415(1311)⨯⨯⨯+==+⨯+2222345111(2321)⨯⨯⨯+==+⨯+2223456119(3331)⨯⨯⨯+==+⨯+2224567129(4341)⨯⨯⨯+==+⨯+…(1)根据你观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果为__________；(2)试猜想n (n +1)(n +2)(n +3)+1是哪一个数的平方，并予以说明.技巧7 巧用乘法公式解决实际问题(分类讨论思想)8.王老师在一次团体操队列队形设计中，先让全体队员排成一方阵(行与列的人数一样多的队形，且总人数不少于25人)，队员正好排完，然后再进行各种队形变化，其中一个队形需分为5人一组，手执彩带变换队形.在讨论分组方案时，有人说现在的队员人数按5人一组分将多出3人，你说这可能吗？技巧8 巧用乘法公式解决最值问题9.【阅读理解题】先仔细阅读材料，再尝试解决问题：2222()x xy y x y ±+=±及2()x y ±的值恒为非负数的特点在数学中有着广泛的应用，比如探求多项式22124x x +-的最小值时，我们可以这样处理：解：原式()222622(6992x x x x =+-=++--）)(2223112(3)22x x ⎤⎡=+-=+-⎢⎥⎣⎦ 因为无论x 取什么数，都有22(3)0x +≥，即22(3)x +的最小值为0，此时3x =-，所以当3x =-时，原多项式的最小值是-22.请根据上面的解题思路，探求多项式23612x x -+的最小值，并写出相应的x 的值.参考答案1.答案：见解析解析：∵222()27a b a ab b +=++=，222()24a b a ab b -=-+= ∴()2211117411222a b +=⨯+=⨯=，()113743444ab =⨯-=⨯= 2.答案：见解析 解析：∵13x x +=，∴22211()29x x x x +=++=， ∴2217x x+= ∴2242411()249x x x x+=++= ∴44147x x+= 3.答案：见解析解析：(1)原式222220422049696(20496)30090000=+⨯⨯+=+==(2)原式2211118404040()1600159933399⎛⎫⎛⎫=+⨯-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (3)原式111111112233⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯-⨯+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111449⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111191010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3142531081191122334499101020⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= (4)原式()()22222210099(9897)21=-+-++- ()()()()()()1009910099989798972121=+⨯-++⨯-+++⨯-…10099=++989721++++…()100100150502⨯+==4.答案：见解析解析：对任意正整数n ，整式()()()()313133n n n n +---+能被10整除. 理由：()()()()313133n n n n +---+()222(3)13n n =---22919n n =--+()221010101n n =-=-∵对任意正整数n ，()2101n -能被10整除，∴()()()31313(3)n n n n +---+能被10整除.5.答案：见解析解析：(1)右边()2221()()2a b b c c a ⎡⎤=-+-+-⎣⎦ 2222221(222)2a ab b b bc c c ac a =-++-++-+ 2221(222222)2a b c ab bc ac =++---222a b c ab bc ac =++---=左边(2)当2022,2023,2024a b c ===时， 原式()()22211[()()]114322a b b c c a +=-+--=⨯++= 6.答案：见解析解析：设20 242 023m =，则原式222(1)(1)2m m m =-++- ()()22221212m m m m m =-++++- 22122m m ==7.答案：见解析解析：(1)289(2)猜想：()()()123n n n n ++++221(31)n n =++.说明如下：()()()1231n n n n ++++()22()561n n n n =++++ 4323256561n n n n n n =++++++43261161n n n n =++++()222222(31)(1)2319n n n n n n ++=++⋅⋅++423221669n n n n n =+++++ 43261161n n n n =++++∴()()()221231(31)n n n n n n ++++=++8.答案：见解析解析：不可能.理由如下：人数可能为2(5)n 人，2(51)n +人，2(52)n +人，2(53)n +人，2(54)n +人，n 为正整数22(5)55n n =⨯222(51)251015(52)1n n n n n +=++=++222(52)252045(54)4n n n n n +=++=++222(53)253095(561)4n n n n n +=++=+++222(54)2540165(583)1n n n n n +=++=+++由此可见，无论哪一种情况，总人数按每组5人分，要么不多出人数，要么多出的人数是1人或4人，不可能是3人.9.答案：见解析解析：原式()2223243(2114)3(1)9x x x x x =-+=-+-+=-+因为无论x 取什么数，都有23(1)0x -≥，即23(1)x -的最小值为0，此时1x =.所以当1x =时，原多项式的最小值是9.。
活用乘法公式的八种常见题型PPT课件
延伸 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写 出理由． 解：任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2.理由： 设三个连续整数的中间一个为m，则其余的两个整数是m －1，m＋1，它们的平方和为(m－1)2＋m2＋(m＋1)2＝m2 －2m＋1＋m2＋m2＋2m＋1＝3m2＋2. ∵m是整数，∴m2是整数． ∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2.
【点拨】由“杨辉三角”的规律可知，令a＝b ＝1，代入(a＋b)9计算可得所有项的系数和 为(1＋1)9＝29＝512.
8．王老师在一次团体操队列队形设计中，先让全体队员 排成一方阵(行与列的人数一样多的队形，且总人数不 少于25人)，人数正好够用，然后再进行各种队形变化， 其中一个队形需分为5人一组，手执彩带变换图 形．在讨论分组方案时，有人说现在的队员人数按5 人一组分将多出3人，你说这可能吗？
6．计算：20
242
20 242 0232 0222＋20 242
0242－2.
解：设 20 242 023＝m，则原式＝（m－1）2＋m（2 m＋1）2－2 ＝（m2－2m＋1）＋m（2 m2＋2m＋1）－2＝2mm22＝12.
7．(2019·烟台)南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》 中揭示了(a＋b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系 数的有关规律如下，后人也将下图称为“杨辉三角”．
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13．【中考·荆州】在探究“物质熔化规律”的实验中，小芳 将质量相等的冰和石蜡分别装在两个相同的试管中，并 放在同一个装有水的大烧杯中进行加热，如图甲所示。 根据实验数据绘制的温度随时间变化的图像，如图丙所 示。请回答下列问题：
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A
BHale Waihona Puke CD专题技能训练
专题14活用乘法公式计算求值(解析版)
专题14活用乘法公式计算求值类型一整体运用乘法公式计算方法：利用添括号法则将可以视为一个整体的式子括起来，使算式的公式特征明显化，进而运用乘法公式计算【例1】计算：（Ⅰ）（a+b﹣2c）（a+b+2c）；（2）（2a+b﹣3c）（﹣2a+b+3c）．【答案】（1）a2+2ab+b2﹣4c2（2）b2﹣4a2+12ac﹣9c2【解答】（1）（a+b﹣2c）（a+b+2c）＝[（a+b）﹣2c][（a+b）+2c]＝（a+b）2﹣（2c）2＝a2+2ab+b2﹣4c2；（2）（2a+b﹣3c）（﹣2a+b+3c）＝[b+（2a﹣3c）][b﹣（2a﹣3c）]＝b2﹣（2a﹣3c）2＝b2﹣4a2+12ac﹣9c2．【练1】（2021春•南岸区校级期中）计算：（1）（ab+4）2﹣（ab﹣4）2；（2）（x﹣2y+3z）（x+2y+3z）．【答案】（1）16ab（2）x2+6xz+9z2﹣4y2【解答】解：（1）（ab+4）2﹣（ab﹣4）2＝（ab+4+ab﹣4）（ab+4﹣ab+4）＝2ab×8＝16ab；（2）（x﹣2y+3z）（x+2y+3z）（x+3z﹣2y）（x+3z+2y）＝（x+3z）2﹣（2y）2＝x2+6xz+9z2﹣4y2【例2】已知（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝5，求（2020﹣a）（a﹣2019）的值；【答案】-2【解答】设2020﹣a＝x，a﹣2019＝y，则x+y＝1，∵（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝5，∴x2+y2＝5，∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，∴xy＝＝＝﹣2，即（2020﹣a）（a﹣2019）＝xy＝﹣2；【练1】已知（x﹣2021）2+（x﹣2019）2＝52，求x﹣2020的值【答案】±5【解答】设x﹣2020＝a，则x﹣2021＝a﹣1，x﹣2019＝a+1．∵（x﹣2021）2+（x﹣2019）2＝52，∴（a﹣1）2+（a+1）2＝52．∴a2﹣2a+1+a2+2a+1＝52．∴2a2＝50．∴a2＝25．即（x﹣2020）2＝25．∴x﹣2020＝±5．类型二运用乘法公式进行简便运算方法；根据算式特征，在不改变算式值的前提下对算式进行适当变形，使之具备乘法公式的特殊结构，从而运用乘法公式简化计算。
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乘法公式的活用 一、公式 :(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b) 2=a 2+2ab+b 2(a-b) 2=a 2-2ab+b 2 (a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 （a-b ）（a 2+ab+b 2）=a 3－ 归纳小结公式的变式， ① 位置变化， x y ② 符号变化， x y ③ 指数变化， x 2 y 2 ④ 系数变化， 2a b ⑤ 换式变化， xy zyx 2 x 2 y2 2 2 2xyxy xy 22 4 4 xy x y 2a b 224a 2 b 2 m xy zm 2 2 xy z m 22 x 2y 2 z m z m 22 2 2xy z zm zm m 22 2 2 x 2y 2 z 2zm m b3 准确灵活运用公式：⑥ 增项变化， x y z ⑦ 连用公式变化， x ⑧ 逆用公式变化， x x y z x y z例 1．已知 a b 2 ， xyz22x y z2x y x y z2 2 2 x xy xy y z 2 2 2x 2xy y z22y x y x y2 2 2 2 x y x y 44xy22y z x y zx y z x y z 2x 2y 2z 4xy 4xzab 1，求 a 2 b 2的值 例 2．已知 a b 8， ab 2 ，求 （a b ）2 的值 例 3：计算 19992-2000 ×19982 2 2例 4：已知 a+b=2， ab=1，求 a+b 和 （a-b ） 的值。
22例 5：已知 x-y=2 ，y-z=2 ，x+z=14 。
求 x -z 的值。
例 6：判断（ 2+1）（ 22+1）（24+1）⋯⋯（ 22048+1）+1 的个位数字是几？例 7．运用公式简便计算 （1）1032 （2） 1982例 8．计算(1) a 4b 3c a 4b 3c ( 2) 3x y 2 3x y 2例9 ．解下列各式（1）已知a2 b2 13，ab 6，求a b 2，a b 2的值2 2 2 2（2）已知a b 2 7，a b 2 4，求a2 b2，ab 的值a2b2（3）已知a a 1 a2 b 2，求 a b ab 的值。
24）已知x 1 3，求x4 14 的值xx二、乘法公式的用法（一）、套用: 这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。
例1. 计算：5x23y25x23y222解：原式5x23y225x49y4（二）、连用: 连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例2. 计算：1 a a 1 a21 a41例3. 计算：3x 2y 5z 1 3x 2y 5z 1三、逆用: 学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。
22例4. 计算：5a 7b 8c 25a 7b 8c 2例10．计算1） 2 xx 2)3mn 2 p22四、变用 : 题目变形后运用公式解题。
例 5. 计算： x y 2z x y 6z五、活用 : 把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合， 可得如下几个比较有用的派生公式：1. a2b 2ab2ab 22. 2 2ab 22a b ab 2 3.2222a b a b2 a 2 b 24. a2b 2a2b 24ab灵活运用这些公式， 往往可以处理一些特殊的计 算问题，培养综合运用知识的能力。
三、学习乘法公式应注意的问题(一) 、注意掌握公式的特征， 认清公式中“两数” 例1 计算(-2 x 2-5)(2 x 2-5)例 6. 已知 a b 4，ab 5，求 a 2 b 2 的值。
例2 计算(- a 2+4b) 2(二) 、注意为使用公式创造条件 例3 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．例 7. 计算：例 8. 已知实数 x 、y 、z 满足 x y 5，z 2 xy y 9 ， 那么求x 2y 3z 的值bcd例4 计算( a-1) 2( a2+a+1) 2( a6+a3+1) 2(五)、注意乘法公式的逆运用22例9 计算( a-2 b+3c) 2-( a+2b-3 c) 2．例10 计算(2 a+3b) 2-2(2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5 b) 2(三)、注意公式的推广计算多项式的平方，由(a+b) 2=a2+2ab+b2，可推广得到：( a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2 倍．例6 计算(2 x+y-3) 2(四)、注意公式的变换，灵活运用变形公式例7 (1) 已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值；(2) 已知：x+2y=7，xy=6，求( x-2 y) 2的值．四、怎样熟练运用公式：(一)、明确公式的结构特征这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．(二)、理解字母的广泛含义乘法公式中的字母a、b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算 (x+2y－3z)2，若视x+2y 为公式中的a，3z 为b，则就可用（a－b）2=a2－2ab+b2来解了。
（三）、熟悉常见的几种变化有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点．常见的几种变化是：（四）、注意公式的灵活运用有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如计算（a2+1）2·（a2－1）2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便．即原式=[ （a2+1）（a2 －1）] 2=2 4 8例5 计算(2+1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1) ．2 2 2 2例8 计算( a+b+c) +( a+b- c) +( a- b+c) +(b-a+c) ．（a4－1）2=a8－2a4+1．对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用．如计算（1－12）（1－12）23 （1－412 ）⋯（1－912 ）（1－1012 ），若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题．即原式=（1－1）2 （1+21）（1－13）（1+ 13）×⋯×（1－110）（1+110）=1×3×2×4×⋯×9×11=1×11=11．2 23 3 10 10 2 10 20 有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：a2+b2=（a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab 等．用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效．如已知m+n=7，mn=－18，求m2+n2，m2－mn+ n2的值．面对这样的问题就可用上述变式来解，即m2+n2=（m+n）2－2mn=72－2×（－18）=49+36=85，m2－mn+ n2= （m+n）2－3mn=72－3×（－18）=103．1、若a+1=5，求（1）a2+ 12 ，（2）（a－1）2的值． a a a2、求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1的末位数字．五、乘法公式应用的五个层次乘法公式：（a ＋b）（a －b）=a2－b2，22（a ±b）=a2±2ab＋b2，（a ±b）（a 2±ab＋b2）=a3±b3．第一层次──正用即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用．例1 计算（2）（－2x－y）（2x －y）．第二层次──逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用．例2 计算(1)1998 2－1998· 3994＋19972；可得（a ＋b）2＋（a－b）2=2（a 2＋b2）；22（a ＋b）2－（a －b）2=4ab；第三层次──活用：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式．例3化简：（2 ＋1）（2 2＋1）（2 4＋1）（2 8＋1）＋1．处理某些问题显得新颖、简捷．例6 计算：（2x ＋y－z＋5）（2x －y＋z＋5）．例4 计算：（2x －3y－1）（－2x－3y＋5）第四层次──变用：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a2＋b2=（a ＋b）2－2ab，a3＋b3=（a＋b）3－3ab（a ＋b）等，则求解十分简单、明快．例5已知a＋b=9，ab=14，求2a2＋2b2和a3＋b3值．第五层次──综合后用：将（a ＋b） =a ＋2ab＋b 和（a －b） =a －2ab＋b 综合，六、正确认识和使用乘法公式1、数形结合的数学思想认识乘法公式：对于学习的两种（三个）乘法公式：平方差公式：（a+b）（a-b）=a 2-b 2、完全平方公式： 2 2 2 2 2 2（a+b）2=a2+2ab+b2；（a-b）2=a2-2ab+b2，可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。
假设a、b 都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。
如图1，两个矩形的面积之和（即阴影部分的面积）为（a+b）（a-b），通过左右两图的对照，即可得到平方差公式（a+b）（a-b）=a 2-b 2；图2 中的两个图阴影部分面积分别为（a+b）2与（a-b）2，通过面积的计算方法，即可得到两个完全平方公式：2 2 2 2 2 2 （a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2。
2、乘法公式的使用技巧：24④合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相 乘，一般先将完全相同的项调到各因式的前面， 视为一组；符号相反的项放在后面，视为另一组； 再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。
计算：( 1) (x+y+1)(1-x-y);(2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).. 先提公因式，再用公式 例 2. 计算： 8x y 4x y①提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提 出负号，以避免负号多带来的麻烦。