乘法公式活用专题训练

乘法公式的活用 一、公式 :

(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b) 2=a 2+2ab+b 2

(a-b) 2=a 2-2ab+b 2 (a+b)(a 2

-ab+b 2)=a 3+b 3 （a-b ）（a 2+ab+b 2）=a 3－ 归纳小结公式的变式， ① 位置变化， x y ② 符号变化， x y ③ 指数变化， x 2 y 2 ④ 系数变化， 2a b ⑤ 换式变化， xy z

yx 2 x 2 y

2 2 2 2

xy

xy xy 22 4 4 xy x y 2a b 22

4a 2 b 2 m xy zm 2 2 xy z m 22 x 2y 2 z m z m 22 2 2

xy z zm zm m 22 2 2 x 2y 2 z 2zm m b

3 准确灵活运用公式：

⑥ 增项变化， x y z ⑦ 连用公式变化， x ⑧ 逆用公式变化， x x y z x y z

例 1．已知 a b 2 ， xyz

22

x y z

2

x y x y z

2 2 2 x xy xy y z 2 2 2

x 2xy y z

22

y x y x y

2 2 2 2 x y x y 44

xy

22

y z x y z

x y z x y z 2x 2y 2z 4xy 4xz

ab 1，求 a 2 b 2

的值 例 2．已知 a b 8， ab 2 ，求 （a b ）2 的值 例 3：计算 19992-2000 ×1998

2 2 2

例 4：已知 a+b=2， ab=1，求 a+b 和 （a-b ） 的值。

22

例 5：已知 x-y=2 ，y-z=2 ，x+z=14 。求 x -z 的值。

例 6：判断（ 2+1）（ 22+1）（24+1）⋯⋯（ 22048+1）

+1 的个位数字是几？

例 7．运用公式简便计算 （1）1032 （2） 1982

例 8．计算

(1) a 4b 3c a 4b 3c ( 2) 3x y 2 3x y 2

例9 ．解下列各式

（1）已知a2 b2 13，ab 6，求a b 2，a b 2的值

2 2 2 2

（2）已知a b 2 7，a b 2 4，求a2 b2，ab 的值a2

b

2

（3）已知a a 1 a2 b 2，求 a b ab 的值。

2

4）已知x 1 3，求x4 14 的值

xx

二、乘法公式的用法

（一）、套用: 这是最初的公式运用阶段，在这个

环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握

其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学

生的观察能力。

例1. 计算：5x23y25x23y2

22

解：原式5x23y225x49y4

（二）、连用: 连续使用同一公式或连用两个以上

公式解题。

例2. 计算：1 a a 1 a21 a41

例3. 计算：3x 2y 5z 1 3x 2y 5z 1

三、逆用: 学习公式不能只会正向运用，有时还需要

将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，

并运用其解决问题。

22

例4. 计算：5a 7b 8c 25a 7b 8c 2

例10．计算1） 2 xx 2)3mn 2 p2

2

四、变用 : 题目变形后运用公式解题。 例 5. 计算： x y 2z x y 6z

五、活用 : 把公式本身适当变形后再用于解题。 这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合， 可得如下几个比较有用的派生公式：

1. a

2

b 2ab

2

a

b 2

2. 2 2ab 2

2

a b a

b 2 3.

2

2

22

a b a b

2 a 2 b 2

4. a

2

b 2

a

2

b 2

4ab

灵活运用这些公式， 往往可以处理一些特殊的计 算问题，培养综合运用知识的能力。

三、学习乘法公式应注意的问题

(一) 、注意掌握公式的特征， 认清公式中“两数” 例1 计算(-2 x 2-5)(2 x 2-5)

例 6. 已知 a b 4，ab 5，求 a 2 b 2 的值。

例2 计算(- a 2+4b) 2

(二) 、注意为使用公式创造条件 例3 计算(2x+y-

z+5)(2x-y+z+5)．

例 7. 计算：

例 8. 已知实数 x 、y 、z 满足 x y 5，z 2 xy y 9 ， 那么求

x 2y 3z 的值

bcd

例4 计算( a-1) 2( a2+a+1) 2( a6+a3+1) 2

(五)、注意乘法公式的逆运用

22

例9 计算( a-2 b+3c) 2-( a+2b-3 c) 2．

例10 计算(2 a+3b) 2-2(2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5 b) 2

(三)、注意公式的推广计算多项式的平方，由(a+b) 2=a2+2ab+b2，可推广得到：( a+b+c)

2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2 倍．

例6 计算(2 x+y-3) 2

(四)、注意公式的变换，灵活运用变形公式例7 (1) 已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值；(2) 已知：x+2y=7，xy=6，求( x-2 y) 2的值．

四、怎样熟练运用公式：

(一)、明确公式的结构特征这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．

(二)、理解字母的广泛含义

乘法公式中的字母a、b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算 (x+2y－3z)2，若视x+2y 为公式中的a，3z 为b，则就可用（a－b）2=a2－2ab+b2来解了。

（三）、熟悉常见的几种变化有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点．

常见的几种变化是：

（四）、注意公式的灵活运用有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如计算（a2+1）2·（a2－1）2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便．即原式=[ （a2+1）（a2 －1）] 2=

2 4 8

例5 计算(2+1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1) ．

2 2 2 2

例8 计算( a+b+c) +( a+b- c) +( a- b+c) +(b-a+c) ．