静磁场-习题课
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0 q B1 A1 0 (1 ) ez 6R0
0 3(m R) R m B2 A2 0 ( 2 ) [ 3] 5 4 R R
哈尔滨工程大学理学院
习题课
第三章 静磁 场
例4 ：内外半径分别为R1和R2的空心球，位于均匀外磁场 H 0 内， 球的磁导率为，求腔内的磁场 B ，讨论>> 0时磁屏蔽作用。 解： H 0 H 0e z
an bn cn d n 0, n 1
a1 H0
2 2( 0 ) ( 2 0 )(2 0 ) R2 1 2 9 0 2( 0 ) R1 2
空腔内的标势和磁场为
1 a1 R cos , B1 01 0 a1e z
B1是与外场 B 0 0 H 0方向相同的均匀场，但比作用外电场弱， 对于给定比值R2/R1，介质的磁导率 越大， 越弱，球壳对外 B1 部磁场的屏蔽作用越显著。当>> 0， B1 。0
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腔内、介质球中及球外三个区 域均无传导电流。
B 2 H 2 0 (H 2 M 2 ) 介质中：
H0
z
球腔内： M1 0
球外：M 3 0
m 0 M 0
三个区域内假想磁荷密度m均为零。
21 0, 22 0, 23 0
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设转动轴为z轴，则球内任一点转动速度 v e z r re 球内电流密度与动量密度分别为
J q v qre , p m v mre
小球的磁矩m与自转角动量L பைடு நூலகம்别为
2 2 2M 0R0 1 qR0 1 L r pdV ez m r JdV ez V 2 5 2 V 5 m q L 2M 0
J Je z
A1 A1 (r )e z e z 方向分量，且由对称性，它只能是r的函数。 只有
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习题课
第三章 静磁 场
又由r=a处矢势连续条件，外部矢势也只能是 A 2 A2 (r )e z
dA1 dA2 1 d 1 d (r ) 0 J , (r )0 则方程(1)和(2)分别为 r dr dr r dr dr (5)
习题课
第三章 静磁 场
例5 电荷按体均匀分布的刚性小球，总电荷电量为q，半径为R0， 以角速度绕自身某一直径转动。求（1）它的磁矩；（2）它的 磁矩与自转角动量之比。设小球质量为M0是均匀分布的。 解：小球电荷密度与质量密度分别为 q
3M 0 3q , m 3 3 4R0 4R0
(5) ( R R2 ) (6)
c1 c2 d1 由条件（2）和（3）得 a1 R1 b1 R1 2 , b1 R2 2 2 H 0 R2 R1 R2 R2
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习题课
第三章 静磁 场
2c1 2c1 2d1 0 a1 (b1 3 ), (b1 3 ) 0 ( 3 H 0 ) R1 R2 R2
标量磁位满足拉普拉斯方程 2 m 0
m Mn
Jm 0
在J m 0时，磁场的边值问题的求解和静电场 的求解方法相同。
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习题课 二、典型例题
第三章 静磁 场
例1 ：均匀无穷长直圆柱形螺线管，每单位长度线圈匝数 为n，电流为I，试用唯一性定理求管内外磁感应强度。 解：设螺线管截面半径为a，中心轴为z轴，柱坐标系中螺线 B2 。 管表面电流密度α f nIe 。管内外磁场分别为B1 ，
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(3)
习题课
由z轴对称及（2）得
第三章 静磁 场
1 a n R n Pn (cos ) n bn 2 n 1 Pn (cos ) n R R R0 R R0 ( 4) (5)
2 qR0 q mR cos , 2 cos 由（3）得 1 2 6R0 12R 4R 3
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第三章 静磁 场
方法二、磁矢势法：球内外两区域均无传导电流，故矢势的定 解条件为 2 A 0 ( A 0) (R R0 , R R0 )
R 0, A1有限，R ，A 2 0
q R R0 , A1 A 2，e R ( A 2 A1 ) sin e 0 0 4R0 1 1
3、场源 J (r) 确定下，微分方程的特解
0 Jd C 体电流 J A 4 R 线电流 I A 0 J d 4 面电流 J S A 0 S C 4 S R
Idl l R C
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习题课 5、不同磁介质交界面上的边界条件为
n (B1 B 2 ) 0,即B1n B 2n
2 qR0 1 球面线电流形成的磁矩 m S R0 (e R α f )ds ez 2 3
(6)
0 q B1 0 (1 ) ez 6R0
0 3(m R )R m B 2 0 ( 2 ) [ 3] 5 4 R R
球内为均匀场，球外为磁偶极子场。
(1) B 0, H 0(r a, r a) r 0, B1有限； 全部定解条件为 r , B 2 0 (2) r a, B2 r B1r , e r (H 2 H1 ) nIe (3)
由于螺线管无限长，外部磁感应强度为 B 2 0 H 2 0 由（3）的第二个条件，内部磁场为 H1 nIe z , B1 0 nIe z 满足两区域中的场方程（1）和边界条件，因此是唯一解。
21 0, 2 2 0
R0
(1)
方法一、磁标势法：球内外两区域均无传导电流分布。
R 0, 1有限，R , 2 0
(2)
R R0 , B1R B2 R , e R (H 2 H1 ) α f
1 2 1 2 1 2 q , sin R R R0 R0 4R0
边界条件(4) 为 A1 A2 r a
r a
1 dA2 1 dA1 0, dr 0 dr
(6)
0 0 2 dA1 c1 Jr A1 Jr c1 ln r c 2 dr 2 r 4
dA2 c3 A2 c3 ln r c 4 dr r
M H
B H
B (A1 A 2 ) A
故B的散度仍等于零，介质中矢量位的微分方程为 2 A J
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第三章 静磁 场
B 0
7、在J 0 的磁介质区域的磁场中 H 0 标量磁位m H m
在静磁荷模型的假设下 m M 磁介质为均匀介质 m 0
例3： 有一个均匀带电的薄导体壳，半径为R0，总电荷为q，今 使球壳绕自身某一直径以角速度转动，求球内外的磁场。 q z 解：转轴为z轴，球壳电荷面密度 f 4R02 因球壳自转而形成面电流密度为
q q αf f v e z R0 e R sin e 2 2 4R0 4R0
第三章 静磁 场
n (H1 H 2 ) J S J S 0 n (H1 H 2 ) 0 H1t H 2t
6、在安培分子电流模型的假设下，分析结果，得到 磁介质的本构关系为
B
0 磁场的基本方程不变。而矢量位 A A1 A 2
A1 为自由电流产生，而 A 2 为分子电流产生的。
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习题课
第三章 静磁 场
例2 ：半径为a的无限长圆柱导体内有恒定电流 J 均匀分布在截 面上，试解矢势A 的微分方程，设导体的磁导率为，导体外磁 导率为0。
解：由于电流不是分布于有限区域内，应选择有限远点的矢 势为零值参考点，令r=a（导体柱 面）A 0 。
2 A1 0 Je z ( A1 0) (r a) (1) 2 A 2 0 ( A 2 0) (r a) (2) 定解条件 r 0, A1有限 (3) r a, A A 0, e ( 1 A 1 A ) 0 (4) 1 2 r 2 1 0 因导体内电流总是沿 e z 方向，故由（1）知导体内矢势
习题课 一、内容小结 1、场源 J (r) 确定下，磁场基本方程为
第三章 静磁 场
B dS 0, B 0
S
H dl 0, H J
C
磁通量连续性方程 2、矢量磁位
B A 令 A 0 得 2 A 0 J 2 A 0, (J 0)
n 1 an R Pn (cos ) ( R R1 ) (4) n cn n 1 (bn R n 1 ) Pn (cos ) ( R1 R R2 ) R n dn 2 H 0 R cos n 1 Pn (cos ) ( R R1 ) n R
由 (3) 和(6)得到 c1 0, c2
A1
0
4
Ja 2 , c3
2
Ja 2 , c 4 c3 ln a
0
4
(a 2 r 2 )J, A 2
a 2 J
2
ln
a r
可验证 A1 A 2 0
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第三章 静磁 场
习题课
1 2 R R1 , 1 2 ; 0 R R R R2 , 2 3 ; 2 0 3 R R
第三章 静磁 场
(1)
边界条件： R 0,1有限; R ,3 H 0 R cos
(2) (3)
由z轴对称性及条件（1）得
2 qR0 1 ez 球面线电流形成的磁矩 m S R0 (e R α f )ds 2 3 m R 0 m sin e ( R R0 ) 故球外矢势为 A 2 0 3 2 4 R 4R
由轴对称性及R=R0处 A1 A 2 可知球内矢势函数应为 A1 A (R, )e , AR A 0
q R R0 , e R ( A 2 A1 ) sin e 0 0 4R0 1 1
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习题课
再利用球坐标旋度公式，得
第三章 静磁 场
0 q A1 R sin e 12R0
( R R0 )
可以验证 A1 , A 2 满足 R 0, A1有限，R ，A 2 0 及 A 0
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0 3(m R) R m B2 A2 0 ( 2 ) [ 3] 5 4 R R
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第三章 静磁 场
例4 ：内外半径分别为R1和R2的空心球，位于均匀外磁场 H 0 内， 球的磁导率为，求腔内的磁场 B ，讨论>> 0时磁屏蔽作用。 解： H 0 H 0e z
an bn cn d n 0, n 1
a1 H0
2 2( 0 ) ( 2 0 )(2 0 ) R2 1 2 9 0 2( 0 ) R1 2
空腔内的标势和磁场为
1 a1 R cos , B1 01 0 a1e z
B1是与外场 B 0 0 H 0方向相同的均匀场，但比作用外电场弱， 对于给定比值R2/R1，介质的磁导率 越大， 越弱，球壳对外 B1 部磁场的屏蔽作用越显著。当>> 0， B1 。0
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腔内、介质球中及球外三个区 域均无传导电流。
B 2 H 2 0 (H 2 M 2 ) 介质中：
H0
z
球腔内： M1 0
球外：M 3 0
m 0 M 0
三个区域内假想磁荷密度m均为零。
21 0, 22 0, 23 0
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设转动轴为z轴，则球内任一点转动速度 v e z r re 球内电流密度与动量密度分别为
J q v qre , p m v mre
小球的磁矩m与自转角动量L பைடு நூலகம்别为
2 2 2M 0R0 1 qR0 1 L r pdV ez m r JdV ez V 2 5 2 V 5 m q L 2M 0
J Je z
A1 A1 (r )e z e z 方向分量，且由对称性，它只能是r的函数。 只有
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第三章 静磁 场
又由r=a处矢势连续条件，外部矢势也只能是 A 2 A2 (r )e z
dA1 dA2 1 d 1 d (r ) 0 J , (r )0 则方程(1)和(2)分别为 r dr dr r dr dr (5)
习题课
第三章 静磁 场
例5 电荷按体均匀分布的刚性小球，总电荷电量为q，半径为R0， 以角速度绕自身某一直径转动。求（1）它的磁矩；（2）它的 磁矩与自转角动量之比。设小球质量为M0是均匀分布的。 解：小球电荷密度与质量密度分别为 q
3M 0 3q , m 3 3 4R0 4R0
(5) ( R R2 ) (6)
c1 c2 d1 由条件（2）和（3）得 a1 R1 b1 R1 2 , b1 R2 2 2 H 0 R2 R1 R2 R2
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第三章 静磁 场
2c1 2c1 2d1 0 a1 (b1 3 ), (b1 3 ) 0 ( 3 H 0 ) R1 R2 R2
标量磁位满足拉普拉斯方程 2 m 0
m Mn
Jm 0
在J m 0时，磁场的边值问题的求解和静电场 的求解方法相同。
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习题课 二、典型例题
第三章 静磁 场
例1 ：均匀无穷长直圆柱形螺线管，每单位长度线圈匝数 为n，电流为I，试用唯一性定理求管内外磁感应强度。 解：设螺线管截面半径为a，中心轴为z轴，柱坐标系中螺线 B2 。 管表面电流密度α f nIe 。管内外磁场分别为B1 ，
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(3)
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由z轴对称及（2）得
第三章 静磁 场
1 a n R n Pn (cos ) n bn 2 n 1 Pn (cos ) n R R R0 R R0 ( 4) (5)
2 qR0 q mR cos , 2 cos 由（3）得 1 2 6R0 12R 4R 3
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第三章 静磁 场
方法二、磁矢势法：球内外两区域均无传导电流，故矢势的定 解条件为 2 A 0 ( A 0) (R R0 , R R0 )
R 0, A1有限，R ，A 2 0
q R R0 , A1 A 2，e R ( A 2 A1 ) sin e 0 0 4R0 1 1
3、场源 J (r) 确定下，微分方程的特解
0 Jd C 体电流 J A 4 R 线电流 I A 0 J d 4 面电流 J S A 0 S C 4 S R
Idl l R C
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习题课 5、不同磁介质交界面上的边界条件为
n (B1 B 2 ) 0,即B1n B 2n
2 qR0 1 球面线电流形成的磁矩 m S R0 (e R α f )ds ez 2 3
(6)
0 q B1 0 (1 ) ez 6R0
0 3(m R )R m B 2 0 ( 2 ) [ 3] 5 4 R R
球内为均匀场，球外为磁偶极子场。
(1) B 0, H 0(r a, r a) r 0, B1有限； 全部定解条件为 r , B 2 0 (2) r a, B2 r B1r , e r (H 2 H1 ) nIe (3)
由于螺线管无限长，外部磁感应强度为 B 2 0 H 2 0 由（3）的第二个条件，内部磁场为 H1 nIe z , B1 0 nIe z 满足两区域中的场方程（1）和边界条件，因此是唯一解。
21 0, 2 2 0
R0
(1)
方法一、磁标势法：球内外两区域均无传导电流分布。
R 0, 1有限，R , 2 0
(2)
R R0 , B1R B2 R , e R (H 2 H1 ) α f
1 2 1 2 1 2 q , sin R R R0 R0 4R0
边界条件(4) 为 A1 A2 r a
r a
1 dA2 1 dA1 0, dr 0 dr
(6)
0 0 2 dA1 c1 Jr A1 Jr c1 ln r c 2 dr 2 r 4
dA2 c3 A2 c3 ln r c 4 dr r
M H
B H
B (A1 A 2 ) A
故B的散度仍等于零，介质中矢量位的微分方程为 2 A J
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第三章 静磁 场
B 0
7、在J 0 的磁介质区域的磁场中 H 0 标量磁位m H m
在静磁荷模型的假设下 m M 磁介质为均匀介质 m 0
例3： 有一个均匀带电的薄导体壳，半径为R0，总电荷为q，今 使球壳绕自身某一直径以角速度转动，求球内外的磁场。 q z 解：转轴为z轴，球壳电荷面密度 f 4R02 因球壳自转而形成面电流密度为
q q αf f v e z R0 e R sin e 2 2 4R0 4R0
第三章 静磁 场
n (H1 H 2 ) J S J S 0 n (H1 H 2 ) 0 H1t H 2t
6、在安培分子电流模型的假设下，分析结果，得到 磁介质的本构关系为
B
0 磁场的基本方程不变。而矢量位 A A1 A 2
A1 为自由电流产生，而 A 2 为分子电流产生的。
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第三章 静磁 场
例2 ：半径为a的无限长圆柱导体内有恒定电流 J 均匀分布在截 面上，试解矢势A 的微分方程，设导体的磁导率为，导体外磁 导率为0。
解：由于电流不是分布于有限区域内，应选择有限远点的矢 势为零值参考点，令r=a（导体柱 面）A 0 。
2 A1 0 Je z ( A1 0) (r a) (1) 2 A 2 0 ( A 2 0) (r a) (2) 定解条件 r 0, A1有限 (3) r a, A A 0, e ( 1 A 1 A ) 0 (4) 1 2 r 2 1 0 因导体内电流总是沿 e z 方向，故由（1）知导体内矢势
习题课 一、内容小结 1、场源 J (r) 确定下，磁场基本方程为
第三章 静磁 场
B dS 0, B 0
S
H dl 0, H J
C
磁通量连续性方程 2、矢量磁位
B A 令 A 0 得 2 A 0 J 2 A 0, (J 0)
n 1 an R Pn (cos ) ( R R1 ) (4) n cn n 1 (bn R n 1 ) Pn (cos ) ( R1 R R2 ) R n dn 2 H 0 R cos n 1 Pn (cos ) ( R R1 ) n R
由 (3) 和(6)得到 c1 0, c2
A1
0
4
Ja 2 , c3
2
Ja 2 , c 4 c3 ln a
0
4
(a 2 r 2 )J, A 2
a 2 J
2
ln
a r
可验证 A1 A 2 0
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第三章 静磁 场
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1 2 R R1 , 1 2 ; 0 R R R R2 , 2 3 ; 2 0 3 R R
第三章 静磁 场
(1)
边界条件： R 0,1有限; R ,3 H 0 R cos
(2) (3)
由z轴对称性及条件（1）得
2 qR0 1 ez 球面线电流形成的磁矩 m S R0 (e R α f )ds 2 3 m R 0 m sin e ( R R0 ) 故球外矢势为 A 2 0 3 2 4 R 4R
由轴对称性及R=R0处 A1 A 2 可知球内矢势函数应为 A1 A (R, )e , AR A 0
q R R0 , e R ( A 2 A1 ) sin e 0 0 4R0 1 1
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再利用球坐标旋度公式，得
第三章 静磁 场
0 q A1 R sin e 12R0
( R R0 )
可以验证 A1 , A 2 满足 R 0, A1有限，R ，A 2 0 及 A 0
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