2021年高中数学第3章直线与方程章末综合提升学案含解析人教A版必修2.doc

第3章

[巩固层·知识整合]

[提升层·题型探究]

直线的倾斜角与斜率

【例1】(1)如图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1与l2垂直，求l1，l2的斜率．

(2)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，求x2，y1的值．

[解](1)由图形可知，α2＝α1＋90°，则k1，k2可求．

直线l1的斜率k1＝tan α1＝tan 30°＝3

3.

∵直线l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，

∴直线l2的斜率k2＝tan 120°＝－ 3.

(2)由α＝45°，故直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， 又P 1，P 2，P 3都在此直线上，故kP 1P 2＝kP 2P 3＝k l ， 即5－y 1x 2－2

＝1－53－x 2

＝1，解得x 2＝7，y 1＝0.

求直线的倾斜角与斜率注意点

(1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x 轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围．

(2)当直线的倾斜角α∈[0°，90°)时，随着α的增大，直线的斜率k 为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈(90°，180°)时，随着α的增大，直线的斜率k 为负值且逐渐变大．

[跟进训练]

1．(1)若三点A (3，1)，B (－2，b )，C (8，11)在同一直线上，则实数b 等于________．

(2)如果直线l 1的倾斜角是150°，l 2⊥l 1，垂足为B .l 1，l 2与x 轴分别相交于点C ，A ，l 3平分∠BAC ，则l 3的倾斜角为________．

(1)－9 (2)30° [(1)∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC . ∴b －1－2－3＝11－1

8－3

，即b ＝－9. (2)因为直线l 1的倾斜角为150°，所以∠BCA ＝30°，所以l 3的倾斜角为1

2×(90°－30°)＝30°.]

直线五种形式的方程的应用

【例2】 已知△ABC 中，A (1，3)，AB ，AC 边上中线方程分别为x －2y ＋1＝0和y －1＝0，求△ABC 各边所在的直线方程.

思路探究：本题利用中线的特殊点(即AB 的中点D 在AB 边的中线上)可解出各顶点的坐标，然后利用两点式可求出各边的方程．

[解] 设AB ，AC 边的中线分别为CD ，BE ，其中D ，E 为中点， ∵点B 在中线y －1＝0上， ∴设点B 的坐标为(x B ，1).

∵点D 为AB 的中点，又点A 的坐标为(1，3)， ∴点D 的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x B ＋12，2.

∵点D 在中线CD ：x －2y ＋1＝0上， ∴x B ＋1

2－2×2＋1＝0，∴x B ＝5. ∴点B 的坐标为(5，1).

∵点C 在直线x －2y ＋1＝0上， ∴设点C 的坐标为(2t －1，t ). ∴AC 的中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫

t ，

t ＋32. ∵点E 在中线BE ：y ＝1上， ∴t ＋3

2＝1，∴t ＝－1. ∴点C 的坐标为(－3，－1)，

∴△ABC 各边所在直线的方程为AB ：x ＋2y －7＝0，BC ：x －4y －1＝0，AC ：x

－y ＋2＝0.

求直线方程的方法

(1)求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况．

(2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单．

[跟进训练]

2．过点P (－1，0)，Q (0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．

[解] (1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x ＝－1，x ＝0，它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；

(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k ，则两条直线的方程分别为y ＝k (x ＋1)，y ＝kx ＋2.

令y ＝0，分别得x ＝－1，x ＝－2k . 由题意得⎪⎪⎪

⎪⎪⎪－1＋2k ＝1，即k ＝1.

则直线的方程为y ＝x ＋1，y ＝x ＋2， 即x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0

综上可知，所求的直线方程为x ＝－1，x ＝0，或x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0.

两条直线的位置关系

【例3】 已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的a ，b 的值．

(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与直线l 2垂直； (2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等． [解] (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0. 即a 2－a －b ＝0，① 又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 1∥l 2且l 2的斜率为1－a ，

∴l 1的斜率也存在，a b ＝1－a ，即b ＝a 1－a .

故l 1和l 2的方程可分别表示为 l 1：(a －1)x ＋y ＋4（a －1）

a ＝0，

l 2：(a －1)x ＋y ＋

a

1－a

＝0. ∵原点到l 1与l 2的距离相等，

∴4⎪⎪

⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1－a ，解得a ＝2或a ＝2

3. 因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝2

3，b ＝2.

两条直线的位置关系的判断方法及注意点