微分方程模型习题解答人口的预测和控制模型

在人口的预测和控制模型中，总和生育率β(t)和生育模式h(r,t)两种控制人口增长的手段。试说明我国目前的人口政策,如提倡一对夫妻只生一个孩子、晚婚晚育，及生育第 2 胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。

一、问题分析

目前，我国人口总数占世界人口总数的1/5，居世界第一。虽然在二十世纪八十年代开始就已经开始控制人口，但

现在人口的增长仍然很快，人口老年化问题也越来越严重,所以现在开始提倡晚婚晚育,一对夫妻只能生一个孩子以及

定下了一些关于生第二胎的政策。所以在此我们可以考虑

用微分方程中生育率和生育模式来求解问题。

二、模型的假设

⑴时刻t 年龄小于r 的人口即人口分布函数记作F(r,t);

⑵婴儿的出生率记为p( 0, t)= f( t)；

⑶时刻t 年龄r 的人的死亡率记为μ(r,t)

⑷μ(r,t) p(r,t)dr表示时刻t 年龄在[r, r +dr] 内单位时间死亡人数;

⑸p0(r)是人口调查得到的已知函数;

⑹婴儿的出生率记为f(t );

三模型的建立与求解

由问题假设我们可以得到各个年龄的人口数,即人口分布函数为:

F(r,t)=∫r 0p(s,t)ds

由于在社会安定的局面下和不太长的时间里,死亡率大

致与时间无关,于是可近似的假设μ(r,t)= μ(r)

因为p0(r)与μ(r)可由人口统计数据得到

,所以) , μ

(r,t)可由μ(r,0)粗略估计，为了预测和控制人口的发展状况,

我们需要关注和可以用作控制的就是婴儿的出生率f(t)了,下

面我们就来讨论

f(t) 。

记女性的性别函数为k(r,t)即时刻t 年龄在

[r, r +dr]

的女性人数为k(r,t)μ(r,t)dr 将这些女性在单位时间内平均每人的生育数记作

b(r,t)则育龄区间为[r1,r2]则: f(t)=∫

21

r r b(r,t)k(r,t)p(r,t)dr

再将b( r,t) 定义为

b(r,t)=β(t)h(r,t)

其中h(r,t)满足

∫

21

r r h(r,t)dr=1

于是就有

β(t)=∫21

r r B(r,t)dr

f(t)=β(t)∫21

r r b(r,t)k(r,t)dr

可以看出β(t)就是时刻t 单位时间内平均每个育龄女

性的生育率。如果所有的育龄女性在她的育龄期所及的时刻

都保持这个生育数,那么β(t)即为生育总和。从上式我们得到h(r,t)是年龄为

r 女性的生育加权因子

,即生育模式。在稳定

环境下可近似地认为它与t 无关,即h(r,t)=h(r),h(r)表示了

哪些年龄生育率高,哪些低。所以

r 取得一定的值的时候

,生

育率能达到最高。由人口统计资料可以知道当前实际的h(r,t)。作理论分析时常采用的h(r)的一种形式是借用概率论

中的F 分布:

h(r)=

)

(F )(1

1

1a

r r a e r r

r>r 1

并取=2,α=

2

n 这时有

r e =r1+n-2

即r1意味着晚婚,而增加n 意味着晚育。所以生育率β(t)和生育模式

h(r,t)是可以控制人口发展

过程的两种手段.β(t)可以控制生育的多少

,而h(r,t)可以控

制生育的早晚与疏密。我国的计划生育正是通过这两种手段实施的。

所以一对夫妻只生一个孩子,即总和生育率为

1,所以

β(t)=1晚婚晚育相当于生育模式

h(r)中使r1和r e 增大；生

育第二胎的一些规定可相当于总和生育率略高于

1即β(t)

略高于1，且h(r)曲线扁平一些,因为规定了生二胎要间隔多少年。

四模型的评注

在上面的模型中密度函数p(r,t)或分布函数F(r,t)固然是人口发展过程中最完整的描述，但是使用起来不是很方便，

在人口统计学中常用一些所谓人口指数来简明扼要地表示

一个国家或地区的人口特征。不过根据上面的生育率和生育

模式我们还是可以很方便的预测和控制人口的增长，并针对

我国的人口情况做一些相关的计划生育策略。使得人口能够

更优更好的发展。