复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)第四章课后的习题答案

习题四

1. 复级数1

n n a ∞=∑与1

n n b ∞=∑都发散,则级数1

()n n n a b ∞

=±∑和

1

n n n a b ∞

=∑发散.这个命题是否成立?为什

么?

答.不一定．反例:

2211111111

i ,i n n n n n n a b n n n n ∞

∞

∞∞

=====+=-+∑∑∑∑发散 但21

1

2

()i n n n n a b n

∞∞

==+=⋅

∑∑收敛 112

()n n

n n a

b n

∞

∞

==-=∑∑发散 2

4

1

1

1

1[()]n n

n n a b n

n ∞∞

===-+

∑∑收敛. 2.下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛?

(1)2111i n n n +∞

=+∑ (2)115i ()2n

n ∞=+∑ (3) π

1e i n n n

∞=∑

(4) 1i ln n n n ∞

=∑ (5) 0

cosi 2n n n

∞=∑

解 (1) 21111

1i 1(1)i 1(1)i n n n

n n n n n n n +∞

∞∞===++-⋅-==+⋅∑∑∑ 因为11n n

∞

=∑发散,所以21

11i n n n +∞

=+∑发散

(2)11

15i (22n

n

n n ∞

∞

==+=∑∑发散 又因为15i 15lim()lim(i)0222n n

n n →∞

→∞+=+≠ 所以1

15i

()2n

n ∞

=+∑发散 (3)

πi

1

1e 1n

n n n n

∞

∞===∑

∑发散,又因为π111ππ

cos isin e 1ππ(cos isin )i n

n n n n n n n n n n ∞

∞

∞

===+==+∑∑∑收敛,所以不绝对收敛.

(4)

1

1i 1

ln ln n n n n n

∞

∞

===∑

∑ 因为11ln 1

n n >- 所以级数不绝对收敛. 又因为当n=2k 时, 级数化为

1

(1)ln 2k k k

∞

=-∑

收敛

当n=2k+1时, 级数化为1

(1)

ln(21)

k k k ∞

=-+∑也收敛

所以原级数条件收敛

(5) 00

00cosi 1e e 1e 11()()2222222n n n n

n n n n n n n e -∞

∞∞∞====+=⋅

=+∑∑∑∑ 其中0e

()2

n n ∞

=∑ 发散,01()2n n e ∞

=∑收敛

所以原级数发散.

3.证明:若Re()0n a ≥,且1n n a ∞=∑和21n n a ∞

=∑收敛,则级数21

n n a ∞

=∑绝对收敛.

证明:设

2222

i ,(i )2i n n n n n n n n n n a x y a x y x y x y =+=+=-+

因为1

n

n a ∞=∑和21

n n a ∞

=∑收敛

所以2

1

1

1

1

,,(),n n n n n n n n n n x y x y x y ∞∞∞∞

====-∑∑∑∑收敛

又因为Re()0n a ≥,

所以0n x ≥且2

lim lim 0n n n n x x →∞→∞

== 当n 充分大时, 2

n n x x <

所以

21

n

n x

∞

=∑收敛

2

22222

2()n n n n n n a x y x x y =+=-- 而

2

1

2n

n x

∞

=∑收敛，

221

()n n n x

y ∞

=-∑收敛

所以

21

n

n a

∞

=∑收敛，从而级数

21

n

n a

∞

=∑绝对收敛.

4.讨论级数10

()n n n z z ∞

+=-∑的敛散性

解 因为部分和11

()1n

k k n n k s z z z ++==-=-∑，所以，1

,1n z s <→-当时 1,0n z s =→当时，1,n z s =-当时不存在.

当i e z θ

=而0θ≠时（即1,1z z =≠），cosn θ和sinn θ都没有极限,所以也不收敛．

,n z s →∞当>1时.

故当1z =和1z <时,

1

()n n n z

z ∞

+=-∑收敛.

5.幂级数

(2)

n

n

n C z ∞

=-∑能否在z=0处收敛而在z=3处发散.

解： 设1lim

n n n

C C ρ+→∞

=，则当1

2z ρ-<时，级数收敛，12z ρ->时发散.

若在z=0处收敛,则

1

2ρ

>

若在z=3处发散, 则

1

1ρ

<

显然矛盾,所以幂级数

(2)

n

n

n C z ∞

=-∑不能在z=0处收敛而在z=3处发散

6.下列说法是否正确?为什么?

(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.

(2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.

答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散. (2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的. 7.若0n

n n C z ∞

=∑的收敛半径为R,求0

n

n n n C z b ∞

=∑

的收敛半径。