高中数学空间几何体的表面积与体积知识总结材料+练习

空间中点、线、面间

的位置关系

点 共线的条件 线

共点的条件

确定平面的条件

空间几何体的

体积 棱柱圆柱的体积 棱台圆台的体积

球的体积

棱锥圆锥的体积 空间几何体的表面积 直棱柱的表面积 正棱锥的表面积 球的表面积

正棱台的表面积

空间几何体与平面的基本性质

空间几何体的表面积与体积

要求层次

重难点

球、棱柱、棱锥的表面积和体积

A

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）．

（一） 知识容

1．直棱柱与圆柱的侧面积等于它的底面周长和高（母线）的乘积．

()S S ch =直棱柱侧圆柱，其中c 为底面的周长，h 为直棱柱（圆柱）的高，也即侧棱（母线）长； 2．正棱锥（圆锥）的侧面积等于它的底面周长和斜高（母线）乘积的一半．

11

''22S ch nah ==正棱锥侧，其中a 为底面边长，'h 为斜高；

1

π2

S cl rl ==圆锥侧，其中c 为底面周长，r 为圆锥的底面半径，l 为母线长；

3．正棱台（圆台）的侧面积等于它的上下底面周长之和与斜高（母线）乘积的一半．

知识框架

例题精讲

高考要求

板块一：空间几何体的表面积

空间几何体的表面积与体积

1(')'(')'22

n

S c c h a a h =+=+正棱台侧，

其中,'a a 分别是正棱台上下底面的边长，'h 为斜高；

1

(')π(')2

S c c l r r l =+=+正圆台侧，

其中,'r r 分别是圆台上下底面的半径，l 为母线长；

4．球面面积等于它的大圆面积的四倍，24πS R =球，R 为球的半径．

1．除了球面，这里提到的其它几何体的表面都可以展开，侧面积公式和表面积公式可以

直

接推导出来．

2．要提醒学生注意空间与平面问题的转化，对这几种几何体的侧面展开图，轴截面的图

等

有个比较清晰的印象，在计算时能灵活转化．

5．柱体（棱柱，圆柱）体积公式：V Sh =柱体，其中S 为底面积，h 为高；

6．棱体（棱锥，圆锥）的体积公式：1

3V Sh =棱体，其中S 为底面积，h 为高；

7．台体（棱台，圆台）的体积公式：

1

(')3

V h S S =台体，其中',S S 分别是台体上，下底面的面

积，h 为台体的高；

8．球的体积：34

π3

V R =球，R 为球的半径．

对柱体与锥体体积公式的推导，课本上是以长方体的体积公式为基础的，根据祖暅原理得到的．

祖暅原理：幂势相同，则积不容异．

即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体体积相等．

祖暅提出的“幂势既同，则积不容异”，及“体积之比等于对应截面积之比”，在这里是当作公理使用．提法“幂势既同，则积不容异”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”．卡瓦列利在他的名著《连续不可分几何》中提出这一原理，这本书出版于1635年． 课本对柱体和锥体体积公式的推导过程： ⑴长方体的体积V Sh =；

⑵利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的长方体与柱体的体积相等， 故柱体的体积为：V Sh =；

⑶利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的锥体的体积均相等；

⑷三棱柱可以分割成三个体积相等的锥，故锥体的体积为1

3

V Sh =；

3

2

1

C 1

C

B 1

A 1

A 1

B 1C

B

A 1

A

B

C

A 1

B 1

C 1

C

B

A

⑸利用两个锥体做差可得台体的体积公式1

(')3

V S S h =．

（二）典例分析：

【例1】轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱．已知：等边圆柱的底面半径为r，求全面积．

【例2】轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥．已知：等边圆锥底面半径为r，求全面积．

【例3】已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．

【例4】底面是菱形的直棱柱，它的对角线的长分别是9和15，高是5，求这个棱柱的侧面积．

【例5】侧面都是直角三角形的正三棱锥，若底面边长为2，则三棱锥的全面积是多少？

【例6】侧面都是直角三角形的正三棱锥，若底面边长为a，则三棱锥的全面积是多少？

【例7】平面截球得到半径是3的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的表面积是（）

A．20πB C．100πD．500π3

【例8】正方体全面积为24，求它的外接球和切球的表面积．

【例9】将一个边长为4和8的矩形纸片卷成一个圆柱，则圆柱的底面半径为．【例10】正四棱台的斜高为4，侧棱长为5，侧面积为64，求棱台上、下底的边长．

【例11】正四棱台的斜高为12，侧棱长为13，侧面积为720，求棱台上、下底的边长．

【例12】 正三棱台111ABC A B C -中，已知10AB =，棱台的侧面积为，1O O ，分别为上、下底面正

三角形的中心，1D D 为棱台的斜高，160D DA ∠=︒，求上底面的边长．

【例13】 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为

（ ）

A ．316

B ．916

C ．38

D ．932

【例14】 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的

中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）

A B ．1 C ．1+ D

【例15】 如图所示，半径为R 的半圆的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，

求该几何体的表面积（其中30BAC ∠=︒）．

【例16】 圆锥的侧面展开图是半径为a 的半圆面，求圆锥的母线与轴的夹角的大小，轴截面的面积．

【例17】 圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．

【例18】 圆台的切球半径为R ，且圆台的全面积和球面积之比为21

8

，求圆台的上，下底面半径12

,r r （12r r <）．

【例19】 已．求圆锥的表面积．

【例20】 有两个相同的直三棱柱，高为

2

a

，底面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a ()0a >． 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值

围是 ．

【例21】 若，则其外接球的表面积是 ．

【例22】 正四面体棱长为a ，求其外接球和切球的表面积．