自动控制理论第八章 采样控制..
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自动控制原理采样控制系统PPT课件
s
/s
ωS=2∏/T
传递函数
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零阶保持器的频率特性
低通特征：
|G0(jω)|
幅频特性中幅值随频率值的增大而迅速衰减. ωS -∏
相角滞后特性：
2ωS 3ωS
w = ws 处，相角滞后可达－180°
零阶保持器可以用无源网络近似代替.
G0 (s)
1 [1 esT s
]
1 s
1
1 e sT
lim e * (t ) lim( z 1)E( z)
t
z 1
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举例
例: 已知 e(t)=te-at，求E（z）。
解：由复数位移定理
Z[e(t)] Z[t eat ] E[z eaT ]
令e1 (t )
t, 则E1(z)
Z[e1(t)]
Tz (z 1)2
所以
Z[e(t)]
2. 名称由来：处在每个采样区间内的信号值为常数，导数为零，故得名。
将阶梯信号eh(t) 的每个区间中点连接起来，可得到与e(t)形状一 致时间上落后T/2的曲线e(t-T/2)。
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3.零阶保持器的传递函数和频率特性
r(t)=δ(t) , R(s)=1
理想单位脉冲
频率特性:
gh(t)=1(t)-1(t-T)
一. 采样过程 连续信号变换为脉冲信号。
输出为宽度等于τ的调幅脉冲系列，在采样瞬时nT(n= 0,1,2,…)时出现。
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二.采样过程的数学描述
τ非常小，通常为毫秒到微秒级，一般远小于采样周期T。
e*(t) = e(t) δT(t）
其中:T (t) (t nT)
自控08 采样系统分析
则
1 e * ( t ) e( kT )e jkws t T k
1 E * ( s ) E ( s jk s ) T k
17
上式描述了采样过程的复频域特征。
如果连续信号e(t)的频谱E(j)是单一的连续频谱，则离散信 号e*(t)的频谱除包含原连续信号主频谱外（幅值为1/T），还 包含无穷多个高频频谱。
τ
对e*(t)取拉氏变换，得
*
0
T
E (s) L e (t ) L e(kT ) (t kT ) e(kT )ekTs k 0 k 0
*
2T 连续信号与采样信号
上式可以将E*(s)与离散时域信号e(kT)联系起来，可以直接看出e*(t)的 时间响应。但是e*(t)仅描述了e(t)在采样时刻的值，所以E*(s)不可能 给出e(t)在两个采样时刻之间的任何信息。
10
3、单位脉冲序列函数 函数的序列。
T (t )
k
下式为 (t ) (t T ) (t kT )
…… -2T -T 0 T 2T ……
单位脉冲序列函数 4、断续信号(采样信号） 将连续的信号经采样后得到断续信号， 利用单位脉冲序列函数可以描述断续信号为：
– 结构简单、控制灵活 – 检测器精度可以做得很高，则控制精度高 – 抗干扰性好：除非扰动和离散信号同时出现才 会受到干扰 – 便于远距离传递。
9
6.2.2 采样信号的数学描述
1、几点假定（理想化） 采样开关应能立即开或闭； 通过采样开关的输出不发生畸变； 采样时间(即采样装置闭合的时间) τ 远小于采样周期T，分 析时可以近似认为趋近于零； 开关闭合时，其输出为常数； 等采样周期，即采样周期T 为常数。 2、单位脉冲函数 (t ) 为单位脉冲函数，脉冲的宽度为无限小、 幅度为无限大，而面积为1。 1 1 1 t 0 0 t (t ) (t ) 0 t 0或t t 0 t 0 0
自动控制原理课件：采样控制系统的分析
特性，而不能反映其在采样时刻之间的特性。
例8-2：试求函数 f(t)=1(t) 的z变换。
解:
f (kT) =1(kT) =1
(k=0,1,2,3….)
F ( z ) f (kT ) z k 1 1 z 1 1 z 2
k 0
1 z k
通过外，一些高频分量也允许通过。
9
8.3
采样控制系统的数学基础
例8-1：求如下系统采样后输入到采样后输出的传递函数
解：取∗ = ，则 ∗ = ，连续对象的输出为
= − ⇒ ∗ = () + − − + − − + ⋯
⇒
(Discrete-time signal)
离散信号通常是按照一定的时间间隔对连续的模拟信号进行采样而
得到的，又称采样信号。
脉冲采样（理想情形）
1
0
t
T ( t )
理想采样器 对应脉冲序列 = σ∞
=−∞ ( − )
t
0
T
2T
8.2
采样过程和采样定理
按一定的时间间隔对连续信号采样，将其变换为在时间上离散的脉冲序列
线性采样系统稳定的充要条件是，闭环系统的全部特征根均位于
z平面的单位圆内，即满足特征根皆
i 1，i 1，
2，
，n
问题：高阶系统求取特征根不容易，如何不用求解特征方程的根
就能判别线性采样系统的稳定性呢？
问题：如何推广应用劳斯稳定判据？
首先要通过双线性变换
w 1
z
w 1Байду номын сангаас
将Z平面的单位圆映射到W平面的虚轴，然后在W平面中应用
例8-2：试求函数 f(t)=1(t) 的z变换。
解:
f (kT) =1(kT) =1
(k=0,1,2,3….)
F ( z ) f (kT ) z k 1 1 z 1 1 z 2
k 0
1 z k
通过外，一些高频分量也允许通过。
9
8.3
采样控制系统的数学基础
例8-1：求如下系统采样后输入到采样后输出的传递函数
解：取∗ = ，则 ∗ = ，连续对象的输出为
= − ⇒ ∗ = () + − − + − − + ⋯
⇒
(Discrete-time signal)
离散信号通常是按照一定的时间间隔对连续的模拟信号进行采样而
得到的，又称采样信号。
脉冲采样（理想情形）
1
0
t
T ( t )
理想采样器 对应脉冲序列 = σ∞
=−∞ ( − )
t
0
T
2T
8.2
采样过程和采样定理
按一定的时间间隔对连续信号采样，将其变换为在时间上离散的脉冲序列
线性采样系统稳定的充要条件是，闭环系统的全部特征根均位于
z平面的单位圆内，即满足特征根皆
i 1，i 1，
2，
，n
问题：高阶系统求取特征根不容易，如何不用求解特征方程的根
就能判别线性采样系统的稳定性呢？
问题：如何推广应用劳斯稳定判据？
首先要通过双线性变换
w 1
z
w 1Байду номын сангаас
将Z平面的单位圆映射到W平面的虚轴，然后在W平面中应用
自动控制原理--信号采样相关知识与零阶保持器及例题
8.2 信号采样相关知识与零阶保持器 2) 脉冲序列的数学表达
当脉冲宽度相对于采样周期足够小，可统一将其近似为宽度为零且冲量等
于其面积的理想脉冲。数学上，采样信号f*(t)可用连续信号f(t)与周期为Ts
的单位脉冲序列来
描述。
Ts (t )
f *(t) f (t )Ts (t) f (t) (t kTs ) f (kTs ) (t kTs ),
• 采样频谱的主分量与相邻 的高频谐波分量以及各相 邻的谐波分量之间将出现 重叠，这种现象称为混叠。 显然，此时仅通过低通滤 波已无法复原信号。
香农定理（C.E.Shannon）:
若则采原样连角续频信率号f(ts)满可足从以采下样条信件号：f*(t)中唯一确定。s 2max
(8 - 8)
说明: 对于实际控制系统而言，为保证控制系统的动态性能及抗干扰能 力，采样周期的选择往往远大于2max，例如，可取为闭环系统带宽的 20倍以上。当然，采样频率过大往往需要增大计算机和A/D及D/A转换 器的字长，提高其运算与转换速度，增加系统实现成本。
fh(t)与连续信号f(t)相比，形状一致但在时间上 平均落后Ts/2；即零阶保持器相当于滞后时间 常数为Ts/2的延迟环节。 • 从相频特性可知，所引入的滞后角度随的增 大而增大，在=s处，相角滞后为180； • 因此，采样频率的选择不能过小，当小于20 倍闭环系统带宽时，控制系统的分析和设计 一般需要考虑零阶保持器的影响。
8.2 信号采样相关知识与零阶保持器 8.2.1 信号采样
1. 采样信号的数学表示
1) 采样的形状多样： • 对同一连续信号，采样方式和采样装置不同，所得的脉冲序列的形状（包
括高度和宽度等）也不一样。
• 采样结果可能为幅值恒定而宽 度正比于采样值大小的脉冲调 宽序列，亦可能为幅值正比于 采样值而宽度恒定的脉冲调幅 序列，或者其他形式的脉冲序 列。
(自动控制原理)采样控制系统
X(s )= M(s ) N(s ) 的多项式， 其中， 其中，M(s )及 N(s )分别为复变量s 的多项式，并
且有 deg M( s ) ≤ deg N( s )以及 deg N( s ) = n . 展开成部分分式和的形式， 将 X(s)展开成部分分式和的形式，即
n
Ai X(s)= ∑ i =1 s + si 式中： 的零点， 的极点， 式中： i 为 N(s)的零点，即 X(s) 的极点，且设为 s
①线性性质 若 Z[ x1(t )] = X 1( z ), Z[ x2(t )] = X 2( z ) , a1, a2为常数 则 Z[a1 x1(t )+ a2 x2(t )] = a1 X 1( z )+ a2 X 2( z ) ②平移定理 若 Z[ x(t )] = X( z )
Z[ x(t + kT )] = z k X( z )− z k − j x( j ) ∑ 则 j =0 Z[ x(t − kT )] = z − k X( z ) 若 k = 1时，有 Z[ x(t + T )] = z[ X( z )− x(0)] Z[ x(t − T )] = z −1 X( z )
若上述级数收敛，则称 E ( z ) 为采样信号的z变换。 为采样信号的z变换。 若上述级数收敛， 为了书写方便， 为了书写方便，通常写成 E ( z ) = Z [e(t )] ,但仍理 变换。 解为是对取 Z 变换。
（2）常用函数的 Z 变换和 Z 变换的性质 变换见表8 1）常用普通时间函数的 Z 变换见表8-1 表8-1 Z 变换表
* n=0
+∞
( n 式中 e nT ) = e t )t = nT ， (
且有 deg M( s ) ≤ deg N( s )以及 deg N( s ) = n . 展开成部分分式和的形式， 将 X(s)展开成部分分式和的形式，即
n
Ai X(s)= ∑ i =1 s + si 式中： 的零点， 的极点， 式中： i 为 N(s)的零点，即 X(s) 的极点，且设为 s
①线性性质 若 Z[ x1(t )] = X 1( z ), Z[ x2(t )] = X 2( z ) , a1, a2为常数 则 Z[a1 x1(t )+ a2 x2(t )] = a1 X 1( z )+ a2 X 2( z ) ②平移定理 若 Z[ x(t )] = X( z )
Z[ x(t + kT )] = z k X( z )− z k − j x( j ) ∑ 则 j =0 Z[ x(t − kT )] = z − k X( z ) 若 k = 1时，有 Z[ x(t + T )] = z[ X( z )− x(0)] Z[ x(t − T )] = z −1 X( z )
若上述级数收敛，则称 E ( z ) 为采样信号的z变换。 为采样信号的z变换。 若上述级数收敛， 为了书写方便， 为了书写方便，通常写成 E ( z ) = Z [e(t )] ,但仍理 变换。 解为是对取 Z 变换。
（2）常用函数的 Z 变换和 Z 变换的性质 变换见表8 1）常用普通时间函数的 Z 变换见表8-1 表8-1 Z 变换表
* n=0
+∞
( n 式中 e nT ) = e t )t = nT ， (
自动控制原理课件
1 ∞ E*(s) = ∑E[s + jnωs ] T n=−∞
上式表明，采样函数的拉氏变换式 是以ωs 上式表明，采样函数的拉氏变换式E*(s)是以 是以 为周期的周期函数。另外， 为周期的周期函数。另外，上式还表示了采样函数 的拉氏变换式E*(s)与连续函数拉氏变换式 与连续函数拉氏变换式E(s)之间 的拉氏变换式 与连续函数拉氏变换式 之间 的关系。 的关系。 通常E*(s)的全部极点均位于 平面的左半部， 的全部极点均位于S平面的左半部 通常 的全部极点均位于 平面的左半部， 因此可用jω代替上式中的复变量 代替上式中的复变量s， 因此可用 代替上式中的复变量 ，直接求得采样信 号的傅氏变换： 号的傅氏变换：
∞ k=0 ∞
或
e*(t ) = e(t )∑δ (t − kT) = e(t )δT (t )
k=0
采样开关相当于一个单位脉冲发生器， 采样开关相当于一个单位脉冲发生器，采样信 号的调制过程如图8-7所示 所示。 号的调制过程如图 所示。
图8-7：采样信号的调制过程
8.2.2 采样定理
采样定理(shannon定理 ，由于它给出了从采 采样定理 定理)， 定理 样的离散信号恢复到原连续信号所必需的最低采 样频率，所以在设计离散系统时是很重要的。 样频率，所以在设计离散系统时是很重要的。
返回
§8.3 采样信号保持器
实现采样控制遇到的另一个重要问题， 实现采样控制遇到的另一个重要问题，是如何 把采样信号恢复为连续信号。 把采样信号恢复为连续信号。 的条件下， 根据采样定理，在满足ωs ≥2 ωmax的条件下， 根据采样定理， 离散信号的频谱彼此互不重叠。这时， 离散信号的频谱彼此互不重叠。这时，就可以用具 有图8-9特性的理想滤波器滤去高频频谱分量， 有图 特性的理想滤波器滤去高频频谱分量，保 特性的理想滤波器滤去高频频谱分量 留主频谱，从而无失真地恢复原有的连续信号。 留主频谱，从而无失真地恢复原有的连续信号。
上式表明，采样函数的拉氏变换式 是以ωs 上式表明，采样函数的拉氏变换式E*(s)是以 是以 为周期的周期函数。另外， 为周期的周期函数。另外，上式还表示了采样函数 的拉氏变换式E*(s)与连续函数拉氏变换式 与连续函数拉氏变换式E(s)之间 的拉氏变换式 与连续函数拉氏变换式 之间 的关系。 的关系。 通常E*(s)的全部极点均位于 平面的左半部， 的全部极点均位于S平面的左半部 通常 的全部极点均位于 平面的左半部， 因此可用jω代替上式中的复变量 代替上式中的复变量s， 因此可用 代替上式中的复变量 ，直接求得采样信 号的傅氏变换： 号的傅氏变换：
∞ k=0 ∞
或
e*(t ) = e(t )∑δ (t − kT) = e(t )δT (t )
k=0
采样开关相当于一个单位脉冲发生器， 采样开关相当于一个单位脉冲发生器，采样信 号的调制过程如图8-7所示 所示。 号的调制过程如图 所示。
图8-7：采样信号的调制过程
8.2.2 采样定理
采样定理(shannon定理 ，由于它给出了从采 采样定理 定理)， 定理 样的离散信号恢复到原连续信号所必需的最低采 样频率，所以在设计离散系统时是很重要的。 样频率，所以在设计离散系统时是很重要的。
返回
§8.3 采样信号保持器
实现采样控制遇到的另一个重要问题， 实现采样控制遇到的另一个重要问题，是如何 把采样信号恢复为连续信号。 把采样信号恢复为连续信号。 的条件下， 根据采样定理，在满足ωs ≥2 ωmax的条件下， 根据采样定理， 离散信号的频谱彼此互不重叠。这时， 离散信号的频谱彼此互不重叠。这时，就可以用具 有图8-9特性的理想滤波器滤去高频频谱分量， 有图 特性的理想滤波器滤去高频频谱分量，保 特性的理想滤波器滤去高频频谱分量 留主频谱，从而无失真地恢复原有的连续信号。 留主频谱，从而无失真地恢复原有的连续信号。
自动控制原理第八章
1) σ < 0, z < 1, 瞬态分量衰减。 2) σ > 0, z > 1, 瞬态分量发散。 3) σ = 0, z = 1, 瞬态分量等幅振荡。
离散系统的Routh稳定判据（在w平面上的应用） 稳定判据（ 平面上的应用） 离散系统的 稳定判据 平面上的应用
选择w 平面，取z 选择w = σ + jω平面，取z = 由幅值条件 z = z < 1, σ < 0; w + 1 σ + jω + 1 = 作双线性变换 w 1 σ + jω 1 得： z = 1, σ = 0; 1+ w 或z = 1 w
∞
s )e
nT s s
Z变换的求取方法
级数求和法 查表计算法（ Z Z变换表）
Z x * (t) = X(z) =
{
}
∑ x(nT
n=0
∞
s )z
n
( z = e Ts )
Z变换的基本定理 Z反变换的求取方法
长除法 分布分式查表计算法
差分方程的求解
直接递推求解 利用z变换求解
Z变换的求取方法（对离散系统而言） 变换的求取方法 对离散系统而言）
R(s)
求所示开环系统的传递 函数 G(s) = 1 e Ts
T Gh0(s) R*(s) G(s) C(s)
T C*(s)
1 ; G (s) = . ho s(s + 1) s C(z) 1 = Z G (s)G (s) = (1 z 1 )Z[ G(z) = ] 1 2 2(s + 1) R(z) s
x * (t) = Z 1 [X(z)] = 10δ(t T) + 30δ(t 2T) + 70δ(t 3T) + 150δ(t 4T) + 310δ(t 5T) +
离散系统的Routh稳定判据（在w平面上的应用） 稳定判据（ 平面上的应用） 离散系统的 稳定判据 平面上的应用
选择w 平面，取z 选择w = σ + jω平面，取z = 由幅值条件 z = z < 1, σ < 0; w + 1 σ + jω + 1 = 作双线性变换 w 1 σ + jω 1 得： z = 1, σ = 0; 1+ w 或z = 1 w
∞
s )e
nT s s
Z变换的求取方法
级数求和法 查表计算法（ Z Z变换表）
Z x * (t) = X(z) =
{
}
∑ x(nT
n=0
∞
s )z
n
( z = e Ts )
Z变换的基本定理 Z反变换的求取方法
长除法 分布分式查表计算法
差分方程的求解
直接递推求解 利用z变换求解
Z变换的求取方法（对离散系统而言） 变换的求取方法 对离散系统而言）
R(s)
求所示开环系统的传递 函数 G(s) = 1 e Ts
T Gh0(s) R*(s) G(s) C(s)
T C*(s)
1 ; G (s) = . ho s(s + 1) s C(z) 1 = Z G (s)G (s) = (1 z 1 )Z[ G(z) = ] 1 2 2(s + 1) R(z) s
x * (t) = Z 1 [X(z)] = 10δ(t T) + 30δ(t 2T) + 70δ(t 3T) + 150δ(t 4T) + 310δ(t 5T) +
自动控制原理 第8章_采样控制系统
离散控制系统、数字控制系统和采样控 制系统都是同类系统，但严格是有差别的。 一、离散控制系统：内涵最广，它涵盖了采 样和数字控制系统。离散控制处理的是 离散信号。 二、采样控制系统：包括了采样数据信号和 数字信号，如过程控制系统（PCS）。 采样控制处理的是采样信号。 三、数字控制系统：信号是一个数字序列， 如数字仿真系统（DSS）。数字控制处 理的是数字信号。
C ne
j n s t
…………………(8-13) 为采样角频率；
1 T
式中：T 为采样周期，
1 T
ωs
2 T
Cn
T /2 T / 2
T ( t )e
j n t t
dt
…………… (8-14)
理想单位脉冲序列 T ( t ) 的傅氏级数为：
T (t )
e * ( t ) e ( t ) T ( t ) ……………………(8-6)
其中理想的单位脉冲序列 T ( t ) 可以表示为：
T (t )
( t n T ) ………………………(8-7)
实际的控制系统中，当 t 0 时，e ( t ) 0 ，所以式(8-7) 求和下限变为零后代入式（8-6）中得到：
零阶保持器可以实现采样点的常值外推，它的输出是 一个高度为，宽度为的方波，如图8-11所示，零阶保 持器的输出相当于一个幅值为的阶跃函数和滞后时间 的反向阶跃函数之差，即：
e(t ) A(t )
eh (t ) Au(t ) Au(t T )
零阶保持器的传递函数为：
G0 ( s ) L [ eh ( t )] L [ e( t )] A 1 s A A 1 s e
自动控制原理采样数据系统知识点总结
自动控制原理采样数据系统知识点总结自动控制原理采样数据系统是现代控制理论中重要的组成部分，广泛应用于各个领域，如工业控制、仪器仪表和机电设备等。
它通过对被控对象进行采样和处理，实现对系统的控制和监测。
本文将对自动控制原理采样数据系统的相关知识点进行总结。
一、采样基础知识采样是将连续时间的信号转换为离散时间的信号，即在一定时间间隔内对信号进行测量、记录或存储。
采样频率是采样的重要参数，它决定了信号的还原能力。
根据香农采样定理，采样频率应不小于信号最高频率的两倍。
二、理想采样器理想采样器是指对输入信号进行瞬时量化和保持的装置，它的输出是离散时间的序列。
理想采样器的输入输出关系可以用冲激函数表示，即输出等于输入乘以冲激函数。
三、采样定理采样定理是指信号在连续时间和离散时间之间的转换条件。
香农采样定理是其典型例子，它要求采样频率大于信号最高频率的两倍。
违反采样定理会导致混叠现象，即高频信号在离散频谱中出现。
四、模拟滤波器模拟滤波器用于对采样信号进行滤波，以去除混叠现象和噪声。
常见的模拟滤波器包括低通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器等。
滤波器的设计要考虑滤波器类型、频率响应和滤波器阶数等参数。
五、采样保持电路采样保持电路用于对输入信号进行保持，使得采样结果能够在采样间隔内有效保存。
采样保持电路一般由开关、电容和运算放大器等组成。
在采样阶段，开关闭合，将输入信号传递到电容上；在保持阶段，开关断开，电容上的电压被保持。
六、数字滤波器数字滤波器用于对采样信号进行滤波和处理，以获取目标信号。
常见的数字滤波器包括FIR滤波器和IIR滤波器等。
滤波器的设计要考虑滤波器类型、截止频率和滤波器阶数等参数。
七、采样数据系统的实现采样数据系统的实现主要包括信号采样、信号处理和控制算法等步骤。
信号采样通过采样器和采样保持电路实现，信号处理通过模拟滤波器和数字滤波器实现，控制算法通过计算机或专用芯片实现。
八、采样数据系统的应用采样数据系统广泛应用于仪器仪表、机电设备和工业控制等领域。
自动控制理论最新版精品课件第8章 采样控制系统的分析与设计
第8章 采样控制系统的分析与设计
8-1 引言 8-2 信号的采样与复现 8-3 Z变换与Z反变换 8-4 脉冲传递函数 8-5 采样系统的分析 8-6 最少拍采样系统的校正
8-1 引言
• 前面各章分析了连续控制系统，这些系 统中的变量是时间上连续的；
• 随着被控系统复杂性的提高，对控制器 的要求也越来越高，控制的成本随着数 学模型的复杂化而急剧上升—模拟实现；
为
E*(s)
(ekT e2kT )ekTs
k0
1 1 eT(s1)
1 1 eT(s2)
(eT e2T )eTs (eTs eT )(eTs e2T )
2、采样定理
采样时间满足什么条件？ 才能复现原信号！
• 由前面的分析可知，采样窄脉冲为周期性的，
采样后的信号
e*(t) 1
e t e jkst
• 采样脉冲的持续时间远小于采样周期T和 系统的时间常数
• 可以将窄脉冲看成是理想脉冲，从而可
得采样后的采样信号为 e*(t) e(t)T (t)
(t) = (t 是kT理) 想脉kT冲出现的时刻 k
因此采样信号只在脉冲
T t
出现的瞬间才有数值，
于是采样信号变为
e*(t) e(kT) (t kT) k
由式（8-7）得
X s
A0 T
s
1
jks 2
02
A0 T
s2
1 02
s
1
js 2
02
s
1
js 2
02
s
2
1 js
2
02
由此可见，X*的极点有无穷多个。
3、零阶保持器
• 保持器是采样系统的一个基本单元，功能是将 采样信号恢复成连续信号。
8-1 引言 8-2 信号的采样与复现 8-3 Z变换与Z反变换 8-4 脉冲传递函数 8-5 采样系统的分析 8-6 最少拍采样系统的校正
8-1 引言
• 前面各章分析了连续控制系统，这些系 统中的变量是时间上连续的；
• 随着被控系统复杂性的提高，对控制器 的要求也越来越高，控制的成本随着数 学模型的复杂化而急剧上升—模拟实现；
为
E*(s)
(ekT e2kT )ekTs
k0
1 1 eT(s1)
1 1 eT(s2)
(eT e2T )eTs (eTs eT )(eTs e2T )
2、采样定理
采样时间满足什么条件？ 才能复现原信号！
• 由前面的分析可知，采样窄脉冲为周期性的，
采样后的信号
e*(t) 1
e t e jkst
• 采样脉冲的持续时间远小于采样周期T和 系统的时间常数
• 可以将窄脉冲看成是理想脉冲，从而可
得采样后的采样信号为 e*(t) e(t)T (t)
(t) = (t 是kT理) 想脉kT冲出现的时刻 k
因此采样信号只在脉冲
T t
出现的瞬间才有数值，
于是采样信号变为
e*(t) e(kT) (t kT) k
由式（8-7）得
X s
A0 T
s
1
jks 2
02
A0 T
s2
1 02
s
1
js 2
02
s
1
js 2
02
s
2
1 js
2
02
由此可见，X*的极点有无穷多个。
3、零阶保持器
• 保持器是采样系统的一个基本单元，功能是将 采样信号恢复成连续信号。
《自动控制原理》孙亮、杨鹏北京工业大学exe【khdaw_lxywyl】
ui
2－10 已知陀螺动力学系统的结构图
w.
ww
2－11 题图所示的力学测量系统原理，在满足相应要求的条件下，可以用于地震测量，也可 以用于测量物体的加速度，位移量 y(t) 和 y0 (t) 均为相对于惯性空间的位移。
kh da w. co m
yi k1 k2 k1 m m1 m2 k2 F(t ) x (t )
(d) 习题 2－13
R(s) + -
G1(s) G2(s)
C(s3;
课后答案网
+ +
R(s) +-
10 s +1
1 s
C(s) ++
Ks
(a)
2－15 写出题图所示系统的输出表达式 C ( s) 。
2－16 已知系统的微分方程组描述如下，试画出结构图，并化简求取传递函数。
（2） x ( k + 2) − 3 x ( k + 1) + 2 x ( k ) = 0
w.
出输出信号波形 c (t ) 。
课
1 − e −Ts （ 4） X ( s ) = 2 s ( s + 1) ∗ 8－3 已知采样信号的 z 变换 X ( z ) 如下，试求 z 反变换 x (t ) 。 z （ 1） X ( z ) = ( z − 1)( z − 2) 1 （ 2） X ( z ) = ( z − 1)( z − 2) z （ 3） X ( z ) = −T ( z − e )( z − e − 2T ) z （ 4） X ( z ) = 2 ( z − 1) ( z − 2)
1 （ 3） X ( s ) = 2 s ( s + 1)
8－5 采样控制系统如图所示，采样间隔为 T = 1 秒，试计算其输出 c (t ) ， c (t ) ，并画
自动控制理论第八章 采样控制..
z e j T
在Z平面上，上式表示单位圆
jω
j
S平面
T
s j
Im
Z平面
z e e
T j
T
σ
j
-1
T
0
0
1
T
Re
可见S平面上的虚 轴，映射到Z平面， 是以原点为圆心的 单位圆，且左半S 平面对应单位圆内 的区域。
二、线性采样系统稳定的充要条件
设采样系统的闭环脉冲传递函数为 系统特征方程为
G( z) C ( z) R( z)
采样脉冲函数的物理意义 采样系统的脉冲传递函数是系统单位脉冲响应 g (t )经采样后 * 的采样信号 g (t ) 的Z变换。
g (t )
*
n 0
g (nT ) (t nT )
* n0 n g ( nT ) z
G ( z ) Z [ g (t )]
r (t )
T
1 S
a S a
C (t )
a G1 ( s )G 2 ( s ) s( s a) L1 [G1 ( s )G 2 ( s )] 1 e aT G ( z ) G1G 2 ( z ) Z [1 e aT ] z (1 e aT ) ( z 1)( z e aT )
g
* 2
(t ) 的乘积的Z变
换。结论可推广到n个环节直接串联的情况。
例：
r (t )
T
由
1 S
T
a S a
C (t )
1 z G1 ( s ) ，得 G1 ( z ) s z 1 a az G 2 ( s) ，得 G 2 ( z ) sa z e aT az 2 G ( z ) G1 ( z )G 2 ( z ) ( z 1)( z e aT )
自动控制原理第八章
§8-2 采样过程及采样定理
F ( j )
1
max 0 max
1 T
F * ( j )
s
0 max s
由图知，采样函数频谱是离散的 1 当 k 0 时， F ( j ) 为主频谱；
T
当 k 0 时，有无穷多个附加的高频频谱，并且每隔采样频 率 s 重复一次，所以理想采样信号是周期函数，且含有高 频分量。
§8-2 采样过程及采样定理
三.采样定理
采样定理所要解决的问题是：采样周期选多大， 才能将采样信号较少失真地恢复为原来的连续信 号。 举例说明：设有一顺时钟旋转的轮子上面有一个 标志用摄像机给轮子拍照后，再反映、观察结果。
§8-2 采样过程及采样定理
放映结果 1圈拍一次 3/4圈拍一次 1/2圈拍一次 1/4圈拍一次 状态 静止
f (t )
T (t )
f (t )
t
t
t
§8-2 采样过程及采样定理
二.采样函数 f * (t ) 的频谱分析 一个周期函数展开为傅立叶级数的复数形式为
f (t )
n
cn e
jn0t
1 cn T
T 2 T 2
f (t )e jn0t
§8-2 采样过程及采样定理
§8-2 采样过程及采样定理
令 s j
1 F ( j ) F ( j jk s ) T k 1 1 1 F ( j j s ) F ( j ) F ( j j s ) T T T
得到了关于连续函数 f (t ) 的频谱 F ( j) 与采样 函数频谱 F ( j )的关系。
夏德铃《自动控制理论》(第4版)笔记和考研真题详解(采样控制系统)【圣才出品】
第8章 采样控制系统8.1 复习笔记1．模拟信号与数字信号（1）模拟信号模拟信号是指在时间上连续，在幅值上也连续的信号。
（2）数字信号离散信号是指有一处或数处的信号在时间上离散的信号。
2．采样系统（1）系统框图典型的采样系统框图如图8-1所示：图8-1 采样系统（2）控制流程①由输入信号和反馈信号确定误差信号；②误差信号经过采样开关后变成脉冲序列；③控制器对采样信号进行处理；④处理后的采样信号经过保持器去控制被控对象。
（3）采样控制特点②用计算机实现的数字控制器具有很好的通用性；③可以用一台计算机分时控制若干个对象。
一、采样过程及采样定理1．采样过程（1）定义采样过程是指按照一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其变成在时间上离散的脉冲序列的过程。
用来实现采样过程的装置叫做采样器或采样开关。
（2）采样简介①采样时间：采样持续时间ε远小于采样周期T，也远小于系统中连续部分的时间常数。
因此，在分析采样控制系统时，可以近似地认为ε→0。
②采样过程：采样过程可以看成是一个脉冲调制过程。
如图8-2所示。
图8-2 单位脉冲序列（3）采样表达式①单位脉冲序列δT（t）的数学表达式为：②脉冲调制器的输出信号e*（t）可表示为2．采样定理（1）离散信号频谱①采样信号e*（t）的傅里叶变换②离散信号频谱图上式所对应的离散信号频谱如图8-3所示图8-3 离散信号频谱（2）香农采样定理只有在（即采样频率大于等于两倍连续信号的最大频率）的条件下，才能将采样后的离散信号无失真的恢复为原来的连续信号。
二、保持器保持器是一种采用时域外推原理的装置，常用的有零阶保持器和一阶保持器。
1．零阶保持器（1）定义零阶保持器是指采用恒值外推规律的保持器。
它把前一采样时刻nT 的采样值e （nT ）不增不减地保持到下一个采样时刻。
（2）输出信号零阶保持器的输入信号和输出信号的关系如图8-4所示。
图8-4 零阶保持器的输入和输出信号（3）幅频特性零阶保持器的幅频特性如8-5所示：图8-5 零阶保持器的幅频特性（4）特点①零阶保持器的幅值随角频率w 的增大而衰减，具有明显的低通滤波特性；②采用零阶保持器将产生相位滞后，会降低系统的相对稳定性。
自动控制原理实验报告采样系统分析
采样系统分析实验原理1.采样控制系统的基本概念连续控制系统中的所有变量在时间上都是连续的，但随着被控系统复杂性的提高，系统对控制器的要求也越来越高，控制器的成本也随着控制系统数学模型的复杂化而急剧上升，但这都是对于模拟控制器而言的。
随着数字元件，数字计算机的普及和发展，离散控制器及其相关理论急速发展，要实现计算机（离散控制器)对连续系统的控制，采样，量化两个过程是必不可少的。
对比连续控制系统，离散控制系统是指控制系统中有一处或者多处信号不是连续信号，而是时间上的离散序列或者量化后的数码，这种信号称为采样信号。
根据信号在幅值上是否是数字量将离散信号分为采样（脉冲序列）信号和数字信号，前者相当于连续信号与脉冲序列卷积，在幅值上仍然为连续量，后者则经过了幅值上的量化。
离散系统又分为采样控制系统和计算机控制系统，离散控制器中最常用的是计算机，计算机控制系统有很多特点 1、有利于实现系统的高精度控制； 2、数字信号传输有利于抗干扰；3、可以完成复杂的控制算法，而且参数修改容易；4、除了采用计算机进行控制外，还可以进行显示，报警等其它功能；5、易于实现远程或网络控制 本实验主要涉及的采样控制系统，在这样的系统中既有连续信号又有离散信号，两个特有的环节是采样器和保持器。
采样过程典型的采样系统 采样器 )t (f )t (f*)t (T δ理想单位脉冲序列采样后的信号为理想单位脉冲的傅里叶变换采样信号进行拉氏变换离散信号频谱)(*ωj F 与连续信号频谱)(ωj F 的关系为∑+∞=-=0*)]([(1)(n s n j F T j F ωωω2.香农定理设连续信号的频谱为)(*ωj F ，其上限频率为max ω,则经采样所得到的离散信号可以无失真地恢复原连续信号的条件是实际情况下，采样频率的选择常通过估计得到，并且原大于这个标准。
3.保持器保持器是一种按恒值规律外推的保持器，它将当前采样时刻的值，保持到下一个采样时刻，即∑∞=-=0)()(n T nT t t δδ012ωωδδωπ∞∞∞====-===∑∑∑()()(/)s s jn tjn tT ns n n n t t nT CeeT T11ωδω∞**=∞∞====-==-∑∑∑(){()}{()()}{()}()s n jn tsn n F s L f t L f t t nT L f t eF s jn TT01ωω∞*==-=∑()(),s n F s F s jn T s j ，令max max 2ωπωω≤≥T s 或Λ,2,1,0)()()1(==+<≤n nT u t u T n t nT h ，时，常用的是零阶保持器，可以表示成两个阶跃信号的叠加由此可以得到零阶保持器的传递函数零阶保持器的幅频特性由上图可以看出，零阶保持器有两个重要特性，分别是低通特性和相角滞后特性。
自动控制第八章
理想的采样器等效于一个理想的单位脉冲序
列发生器，能产生单位脉冲序列δT(t)，如
图8-1-1所示。
图8-1-1 单位脉冲序列
单位脉冲序列δT(t)的数学表达式为
T t t nT n
（8-1-1）
式中 T——采样周期； n——整数。
脉冲调制器（采样器）的输出信号e*(t)可表示为
e* t etT t et t nT n
8-1 采样过程及采样定理
➢ 采样过程
采样过程：按照一定的时间间隔对连续信号进 行采样，将其变换为在时间上离散的脉冲序列 的过程称之为采样过程。用来实现采样过程的 装置称为采样器或采样开关。
采样器可以用一个按一定周期闭合的开关来表 示，采样周期为T，每次闭合时间为ε。通常采 样持续时间ε远小于采样周期T，也远小于系统 中连续部分的时间常数。因此，在分析采样控 制系统时，可以近似认为ε→0。
图8-0-1 采样系统
在上述系统中,采样误差信号是通过采样开关对 连续误差信号采样后得到的,如图8-0-2.
图8-0-2 模拟信号的采样
图8-0-2中，T称为采样周期，而
1 fs T
及
ห้องสมุดไป่ตู้
s
2f s
2
T
分别称为采样频率和采样角频率。
由图可见，若采样频率太低，包含在输入信 号中的大量信息通过采样就会损失掉。
图8-1-3 连续信号频谱
图8-1-3 离散信号频谱
图8-1-4a对应于 s 2的m 情况，而8-1-4b对应于 s 2的m 情况。由图8-1-4可见，相邻两部分频谱 不重叠的条件是
s 2m
（8-1-10）
而2ωm,为连续信号的有限频率带宽。
综上所述，只有在 s 2的m 条件下，才能将采
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e nsT z n 1 1 1 z s2 1(t ) s z 1 二重极点s=0的留数为 1 Tz t 21 2 1 d z 2 (z 1 ) R lim [( s 0) s 2 ] (2 1)! S 0 ds s z e ST 1 z at e sT zTe Tz aT lim s a z e S 0 ( z e sT ) 2 ( z 1) 2 aT 1 Tze at f (t ) te t的z变换为 2 aT 2 ( s a) (z e )
• 数字控制的优点： 1.占用空间小； 2.成本低；
3.灵敏、抗干扰性强；
4.方便控制算法的重构与复用。 在离散控制系统的分析中为方便起见引入以下假设： (1)定时采样和A/D转换相当于一个每隔T秒瞬时接 通一次的理想采样开关，采样时间为0，周期为T。
(2)D/A相当于保持器，将数字信号变为连续信号。 本课程中假设保持器均为0阶保持器.
z e j T
在Z平面上，上式表示单位圆
jω
j
S平面
T
s j
Im
Z平面
z e e
T j
T
σ
j
-1
T
0
0
1
T
Re
可见S平面上的虚 轴，映射到Z平面， 是以原点为圆心的 单位圆，且左半S 平面对应单位圆内 的区域。
二、线性采样系统稳定的充要条件
设采样系统的闭环脉冲传递函数为 系统特征方程为
2 滞后定理（负偏移定理）：
Z [ f (t kT )] z k F ( z )
说明： 原函数在时域中延迟k个采样单位，相当于其z变换乘以 z k 。
3.超前定理（正偏移定理）
Z [ f (t kT )] z k F ( z )
说明： z k 代表超前环节，表示采样信号超前了k个采样单位，但是 在物理系统中并不存在，仅用于运算。
g
* 2
(t ) 的乘积的Z变
换。结论可推广到n个环节直接串联的情况。
例：
r (t )
T
由
1 S
T
a S a
C (t )
1 z G1 ( s ) ，得 G1 ( z ) s z 1 a az G 2 ( s) ，得 G 2 ( z ) sa z e aT az 2 G ( z ) G1 ( z )G 2 ( z ) ( z 1)( z e aT )
2、当 s p i 为q重极点，留数为
1 d q 1 z q Ri lim [( s p i ) F ( s ) ] q 1 sT (q 1)! s pi ds z e
变换 (t nT ) 例：求 f (t ) t 的Z 1 ( t ) 解： F ( s)
0。
采样过程可用图表示
T (t )
e(t )
采样器
e (t )
*
采样信号e (t ) 是e(t ) 和 T (t ) T (t ) 的乘积，其中载波信号 决定采样时刻，它是周期为T 的单位脉冲序列，采样信号 在nT(n=0,1,2…)时刻的值由
*
e(t ) 决定。
二、采样过程的数学表达式
根据零阶保持器的单位脉冲响应，推出其传递函数。
g (t )
1 0 1 0
T
零阶保持器的单位脉冲响应是一个 矩形，宽度为T，高为1，它可表示 成以下二个单位阶跃信号的迭加。
g (t ) 1(t ) 1(t T )
单位脉冲响应的拉氏变换就是零阶 保持器的传递函数。
-1
1 1 TS 1 e Ts Gh (s) L[ g (t )] e s s s
Tz F ( s) R ( z 1) 2
常见函数的Z变换P341
8.5 脉冲传递函数
一、基本概念
G(Z )
*
r (t )
r
T
(t )
G(S )
C (t )
C (t )
T
*
定义：线性离散系统中，在零初始条件下，系统输 出采样信号的Z变换与输入采样信号Z变换之比，称 为系统的脉冲传递函数。
C ( z) G( z) R ( z ) 1 GH ( z )
1 GH ( z ) 0
其特征根1，2， n是闭环极点。
线性采样系统稳定的充要条件是，闭环系统的全 部特征根均位于Z平面的单位圆内，即满足
i 1，i 1， 2， ，n
三、用劳斯判据判定采样系统的稳定性
8.2 采样过程和采样定理
一、采样过程
按一定的时间间隔对连续信号采样，将连续信号转换为脉 冲序列的过程，称为采样过程。采样开关是用来实现采样过程 的装置。 采样开关按周期T闭合，T称为采样周期。每次闭合时间 为 ，由于在实际中总有 T ，且 远小于G ( S ) 中的
时间常数，可近似认为
模拟信号——在时间上连续，且在幅值上连续（导数 连续）的信号。
采样信号——又称离散信号，按一定的时间间隔对模 拟信号进行采样得到的在时间上离散的一系列脉冲。 采样控制系统和连续控制系统的区别：在连续系统中， 各处的信号都是模拟信号；在采样系统中，一处或数 处的信号是采样信号。 采样系统的个性——采样过程和采样信号保持 采样系统和连续系统的共性——（1）闭环控制； （2）需分析稳定性、暂态性能和稳态性能； （3）需进行校正。
r (t )
T
1 S
a S a
C (t )
a G1 ( s )G 2 ( s ) s( s a) L1 [G1 ( s )G 2 ( s )] 1 e aT G ( z ) G1G 2 ( z ) Z [1 e aT ] z (1 e aT ) ( z 1)( z e aT )
* * n 0
三、采样定理
经采样得到的离散信号 x 有可能无失真地恢复到原来的连 （t） 续信号的条件是
*
s 2 max
其中
2 s : 采样角频率， s ＝ T
采样定理给出了选择 采样周期T的依据。
max : 连续信号 x(t )频谱的上限频率。
8.3 采样信号保持器
一、零阶保持器
（t） (t nT ) 单位脉冲序列 T
n 0
采样信号为
e（t） e(t ) T (t ) e(t ) (t nT ) ＝ e(nT ) (t nT )
* n 0 n 0
采样信号的拉氏变换
E ( s) L[e (t )] e(nT )e nTS
2、两个串联环节之间无采样开关隔开
G(Z )
r (t )
r * (t )
T
G1 ( S )
x(t )
G2 ( S )
C (t )
C * (t )
T
C ( z) G1 G 2 ( z ) R( z )
无采样开关隔开的两个线性环节串联，脉冲传递函数是两个环
节经采样后的单位脉冲响应
g
* 1
(t ) 和
X * (t )
X * (t )
X n (t )
零阶 保持器
X n (t )
0
T
2T
3T
4T
t
0
T
2T
3T 4T
t
零阶保持器是一种按恒值规律外推的保持器，它将前一采样时 刻的值，保持到下一个采样时刻，即
X n (t ) X (nT )，nT t (n 1)T，n 0,1,2,
二、零阶保持器的传递函数
G( z) C ( z) R( z)
采样脉冲函数的物理意义 采样系统的脉冲传递函数是系统单位脉冲响应 g (t )经采样后 * 的采样信号 g (t ) 的Z变换。
g (t )
*
n 0
g (nT ) (t nT )
* n0 n g ( nT ) z
G ( z ) Z [ g (t )]
F ( z) 4.初值定理： f (0) lim z
5.终值定理：常用于计算系统的稳态误差
设函数f ( t )的z变换为F(z), 而且(1 z )F(z)在以原点 为圆心的单位圆上和单位圆外均无极点，则： lim f ( t ) lim f (nT ) lim (1 z 1 )F(z) lim (z 1)F(z)
t n z 1 z 1 1
6卷积和定理/卷积定理：
则卷积和定理可以表示为：
c(kT ) g[( k n)T ]r (nT )
n 0
k
式中n 0,1,2......正整数[当n为负数时，c(nT ) g(nT ) r (nT ) 0], C（z） G（z）R（z） 式中C（z） Z[C(nT )] G (z) Z[g(nT )] R (z) Z[r (nT )]
首先要通过双线性变换
w 1 z w 1
将Z平面的单位圆映射到W平面的虚轴，然后在W平面中应用 劳斯判据。 例：求使系统稳定的K值范围。
R( S ) ＋
－ T 0.25s
K S ( S 4)
C (s)
解：1、求系统的开环脉冲传递函数
K K 1 1 G( s) s ( s 4) 4 s s4
T
T
G(S )
C (s)
H (S )
C ( z) D ( z )G ( z ) R ( z ) 1 D ( z )GH ( z )
典型采样系统及其C（Z）见P353
8.6 采样系统的稳定性分析
一、S域到Z域的映射
根据Z变换定义，有