多次运用基本不等式错解例析

多次运用基本不等式错解例析

在《不等式》的学习中,我们结识了一个重要的不等式定理，即基本不等式(又叫均值定理)，这个定理在解题中应用十分广泛，运用基本不等式时除了要注意 “一正、二定、三相等” 的条件以外，当多次运用基本不等式时,如果忽视了取等号的条件也一样会功败垂成,前功尽弃.

例1.设x ∈(0,π),则函数f(x)=sinx+

x

sin 4的最小值是( ) A ．4 B. 5 C.3 D.6 【典型错误】因为x ∈(0,π),所以sinx>0,

x sin 4>0, f(x)=sinx+x sin 4≥2x x sin 4sin ⋅=4 因此f(x)的最小值是4.故选A.

【错因分析】忽略了均值不等式a+b ≥2ab (a>O,b>0)中等号成立的条件：当且仅当a=b 时等号成立．事

实上，sinx=

x

sin 4不可能成立，因为它成立的条件是sinx ＝±2，这不可能． 【正确解答1】f(x)=sinx+x sin 4=sinx+x sin 1+x sin 3,因为sinx+x

sin 1≥2, 当且仅当sinx=1，即x=2π时等号成立.又x sin 3≥3，当且仅当sinx=1,即x=2

π时等号成立．所以f(x)=sinx+x

sin 4≥2+3=5,f(x)的最小值是5. 故选B. 【正确解答2】令sinx=t,因为x ∈(0,π)，所以0

例2.若实数m,n,x,y 满足条件m 2+n 2=a,x 2+y 2=b(a ≠b) ,则mx+ny 的最大值是 .

【典型错误】因为a+b=m 2+x 2+n 2+y 2≥2mx+2ny,所以mx+ny ≤

2b a +，即mx+ny 的最大值为2b a +. 【错因分析】m 2+x 2≥2mx 的等号成立的条件是m=x,n 2+y 2≥2ny 的等号成立的条件是n=y.所以m 2=x 2，

n 2=y 2⇒m 2+n 2=x 2+y 2即a=b,与a ≠b 矛盾．因此mx+ny 不可能取到最大值2

b a +． 【正确解答】令m=a cos α,n=a sin α,x=b cos β,y=b sin β，则mx+ny=ab (cos αcos β+sin αsin β)=ab cos(α-β)≤ab ,所以mx+ny 的最大值是ab ．

例3.求函数f(x)=x 2+324

-x x (x 2>3)的最小值． 【典型错误】f(x)=x 2+33233)3(23333224

224224≥+=+-⋅-≥+-+-=-x x x x x x x x x ，因此函数f(x)的最小值为3.

【错因分析】上述解答中两个等号成立的条件不一致，第一个等号成立的条件是x 2-3=324

-x x ，即x 2=23；第二个等号成立的条件是x 2

=0.因此f(x)=3不可能取到.

【正确解答】f(x)=x 2+324

-x x =x 2+39)3(6)96(2224-++++-x x x x =(x 2-3)+ 26939)3(2339)3(6)3(222222≥+-+-=+-+-+-x x x x x +9,当x 2=3+23时取等号,因此函数f(x)的最小值为62+9.