单摆周期影响因素探究

当单摆大于 5°时，有关 T 的推导过程较为复杂，这里只记录有关结论，相 应推导过程请参看附件“单摆周期推导”。此时，单摆的周期服从下式：
T = T0 （1+ sin2 + sin4 + …），其中 T0 = 2π 从这一公式也可以看出，当摆角增大时，单摆的周期 T 是变长的。
空气阻力对小球周期的影响 根据查阅的文献，当小球速度不大时，其受到的空气阻力正比于小球速度 v，
正比于小球半径 R。而小球质量正比于 R3。因此与回复力方向相反的空气阻力
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所产生的加速度应反比于 R2。因此在同种材质的条件下，小球的半径越大，振 幅在空气阻力作用下衰减得也越快。
实验设计方法
变量的初步选择
响应变量 单摆摆动 20 个周期的时间和。因为希望反应变量能够准确而且尽可能明显
事实上 5°≈0.087266 弧度，Sin 5°≈0.087155，二者相差只有千分之一点 几，是十分接近的。在低精度的实验中，这种系统误差可以忽略不计（因为实验 操作中的偶然误差就比它大）。但如果换成 25°，误差高达百分之三，就不宜再 看成是简谐振动了。
由于正弦函数的性质，这个近似是角度越小，越精确，角度越大越不精 确。如果角度很大（比如 60 度处，误差高达 17%），就完全不能说它是简谐振 动了。
理想单摆周期公式推导 .............................................................................................................2 空气阻力对小球周期的影响 .....................................................................................................4 实验设计方法.................................................................................................................................... 5 变量的初步选择 ........................................................................................................................ 5
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关于单摆运动近似为简谐运动的过程如下： M = - m * g * l * Sin x.
其中 m 为质量，g 是重力加速度，l 是摆长，x 是摆角。 我们希望得到摆角 x 的关于时间的函数，来描述单摆运动。由力矩与角 加速度的关系不难得到， M = J * β. 其中 J = m * l^2 是单摆的转动惯量，β = x（'' 摆角关于时间的 2 阶导数） 是角加速度。 于是化简得到 x'' * l = – g * Sin x 我们对上式适当地选择比例系数，就可以把常数 l 与 g 约去，再移项就 得到化简了的运动方程 x'' + Sin x = 0 因为单摆的运动方程（微分方程）是 x'' + Sin x = 0…………（1） 而标准的简谐振动（如弹簧振子）则是 x'' + x = 0………………（2） 我们知道（1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ式是一个非线性微分方程，而（2）式是一个线性微分方 程。所以严格地说上面的（1）式描述的单摆的运动并不是简谐运动。
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实验背景
单摆：质点振动系统的一种，是最简单的摆。绕一个悬点来回摆动的物体， 都称为摆，但其周期一般和物体的形状、大小及密度的分布有关。但若把尺寸很 小的质块悬于一端固定的长度为 l 且不能伸长的细绳上，把质块拉离平衡位臵， 使细绳和过悬点铅垂线所 成角度小于 5°，放手后质块往复振动，可视为质点的 振动，其周期 T 只和摆长 l 及当地的重力加速度 g 有关，即而和质点的质量、形 状和振幅的大小都无明显关系，其运动状态可用简谐振动公式表示，称为单摆或 数学摆。如果振动的角度大于 10°，则振动的周期将随振幅的增加而变大，就不 服从简单的简谐振动规律了。此时单摆的摆动的周期需要由高等数学来做推导。
响应变量 ............................................................................................................................ 5 控制变量 ............................................................................................................................ 5 固定变量 ............................................................................................................................6 干扰参数 ............................................................................................................................6 实验器械 ............................................................................................................................ 7 实验设计 .................................................................................................................................... 8 变量输入 ............................................................................................................................ 8 实验实施 ............................................................................................................................ 8 数据分析 ......................................................................................................................................... 10 主效应图和交互作用图 ........................................................................................................... 10 主效应图 .......................................................................................................................... 10 交互作用图 ...................................................................................................................... 11 一般线性模型 .......................................................................................................................... 11 以 m、θ、l 为控制变量，20T 为反应变量的一般线性模型 ........................................... 11 以 m、θ、lnl 为控制变量，ln(20T)为反应变量的一般线性模型 .................................... 12 对模型的验证.................................................................................................................................. 15 参考文献 ......................................................................................................................................... 15
实验目的
本实验的目的在于探究单摆周期经验公式所反映的变量关系的正确性；并发 掘在不是完全理想条件下（如存在空气阻力等）影响单摆周期的其他因素，如摆 角大小、摆球质量、摆球大小等；并分析这些新增变量对单摆周期的具体影响。 从而给出在非理想条件下，影响单摆周期长短的一般性结论。
文献综述
理想单摆周期公式推导 当单摆在摆角小于 5°的条件下，单摆运动近似为简谐运动，其周期为
单摆周期影响因素探究
李润岐 宋馥璇 朱家楠 赵兴政
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目录
实验背景 ...........................................................................................................................................2 实验目的 ...........................................................................................................................................2 文献综述 ...........................................................................................................................................2
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不过，在 x 比较小时，近似地有 Sin x ≈ x。（这里取的是弧度制。即当 x → 0 时有 Sin x / x = o(1)。）因而此时（1）式就变为（2）式，单摆的非线性的 运动被线性地近似为简谐运动。
然后说一下为什么是 10°。由于 Sin x ≈ x 这个近似公式只在角度比较小 的时候成立（这一个可以从正弦函数的在原点附近的图象近似看出），所以只有 在小角度下（1）式化作（2）式才是合理的。
地反应微小的差异，我们通过多个周期的时间和来放大单摆周期的变化。
反应变量 单位 测量方法
与真实周期的关系
单摆 20 次周期 t
秒（s） 测量单摆 20 次连续摆动的时间。 由于空气阻力、摩擦力等噪音的存 从单摆第 1 次经过最低点时开始， 在，20 次摆动的周期一定是逐渐 第 21 次经过最低点时停止。操作 减小的。但是由于单摆单次摆动的 员 1 名，每次由该操作员将摆球 周期很难精确测量，且 20 次摆动 移动至相应位臵放开。测量员 3 的周期差异不大，因此平均值对真 名，每次测量取 3 人平均值。 实周期仍然具有很强的描述性。