电子电工学 第四章知识点
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dt C
id t
(2)相量法 相量式 设
2I (
1 ) si n(ω t 90) ωC
U U U U R L C
I0 （参考相量） I I R U I ( jX ) I (jX ) U 则 U R C C L L
I Z 令 Z R j X L XC 则 U 复数形式的欧姆定律 U u U U Z Z u i I I i I
(2) 平均功率 Ｐ 1 T 1 P p d t T 0 T
T
0
UI sin (2 ω t ) dt 0
结论： 纯电容不消耗能量，只和电源进行能量交换。 所以电容C是储能元件。 (3) 无功功率 Q
p UI si n2 ωt
无功功率等于瞬时功率达到的最大值。
Q UI I X C
220 U 45 V？ 2
• j45
1.已知：
3.已知：
复数 j30 I 4e A
4 2 sin (ω t 30 )A ？
瞬时值
有效值
45 Um 220 e V？
4.已知：
10 60A 2.已知： I
i 10 sin ( ω t 60 )A ？
u
du dt
i
+ u
_
C
2 U ωC si n( ω t 90)
① 频率相同
ψ u ψ i 90
1 或 U 有效值 I U ω C I ω C 1 1 定义： X C 容抗（Ω ） 则: ωC 2π fC
所以电容C具有隔直通交的作用 可得相量式
U I XC
R
i 2 Isin ωt
u iR R
I
U
则
U IR
u 2Usin ωt
设
I R 2 U I R u、 i 同相
U
UI
0
L u
+ -
i 2 Isin ωt
di uL dt
jX L
则
U IX L X L L
jI X U L I
u领先 i 90°
2. 功率关系 (1) 瞬时功率 p i u U m I m si nω t si n( ω t 90)
U m I m sin ω t cos ω t
UI s i n2 ω t T 1 1 P p dt T o T
Um Im sin 2 ω t 2
(2) 平均功率
2. 功率关系
I 0 相量式： I
U 0 I R U
U
(1)
瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积
i 2 I sin ω t
u 2 U sin ω t
p u i Um I m sin2 ω t 1 U m I m (1 cos 2 ω t ) 2 结论: p 0 （耗能元件）,且随时间变化。
I
UI
0
- I 2 XC
4.4 R、L、C串联的交流电路
1.
电流、电压的关系
直流电路两电阻串联时 (1) 瞬时值表达式 根据KVL可得：u uR uL uC iR L di 1 设： i 2 I si nω t 则 u 2 IR si nω t 2 I ( ω L) si n( ω t 90)
I R I (jX ) I (jX ) I R j X X U L C L C
I
U 10 U 10 318m A I 3 .1 8 m A XL 31.4 XL 3 1 40
三、
电容元件的交流电路
1.电流与电压的关系
i C
设：
2 U sin ω t 则： i C du 2 UC ω cos ω t dt
② I =UC ③电流超前电压90 相位差
UI
u 2 Iω L si n ( t 90 )
0
I2XL
i
设
i C du dt
C
+ u -
jI X jX C 则 U C U IX C U u 2 Iω C X C 1 / c si n ( t 90 ) u落后 i 90°
i 2 Isin ωt
o
T
UI sin (2 ω t ) dt 0
结论： 纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换 （能量的吞吐)。 电感L是储能元件。 (3) 无功功率 Q 用以衡量电感电路中能量交换的规模。用瞬时 功率达到的最大值表征，即
Q U I I 2XL U
2
XL
单位：var
例1:把一个0.1H的电感接到 f=50Hz, U=10V的 正弦电源上，求I，如保持U不变，而电源f = 5000Hz, 这时I为多少？
直流：XC→∞ ，电容C视为开路 交流：f越大， XC越小
U 0 U
I 90 jUω C I
超前 U 90 I
则：
jI U
1 X jI C ωC
电容电路中复数形式的欧姆定律
2.功率关系
(1) 瞬时功率
p i u U m I m si nω t si n( ω t 90) Um Im sin 2 ω t UI si n2 ω t 2
i
u R
_
一、 电阻元件的交流电路
1. 电压与电流的关系 根据欧姆定律: 设
u iR
u U msi nω t
I U R
u U msinω t i R R
2U sinω t R
① 频率相同 ②大小关系：
Imsin ω t
2 I sin ω t
I
相量图
u i 0 ③相位关系 ： 相位差 ： u、i 相位相同
有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。
0
T
2 i 2 R dt I R T
则有
I
1 T
T
0
wk.baidu.com
Im i dt 2
2
同理：
U
Um 2
E
Em 2
注意：交流电压、电流表测量数据为有效值,交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值 三、初相位与相位差 相位：
i I m sin( ω t ψ )
2
U2 XC
单位：var
习题 指出下列各式中哪些是对的，哪些是错的？ 在电阻电路中： 在电感电路中： 在电容电路中：
U I R U i R
u i XL
U I ωL
U j ωL I
U I ωC
u i XC
u i R
U jX L I
U I R
反映正弦量变化的进程。
t ψ
初相位： 表示正弦量在 t =0时的相角。
: 给出了观察正弦波的起点或参考点。
三、
两同频率的正弦量之间的初相位之差。 相位差 ：
i I m sin( ω t ψ 2 ) u Umsin(ω t ψ1 ) ( t 1 ) ( t 2 ) ψ1 ψ2 若 ψ1 ψ2 0 电压超前电流
e
j90
cos 90 j sin 90 j
设相量
r e jψ A
相量 相量
A A
乘以 乘以
将逆时针旋转 90，得到 e j 90 ， A
e
-j90 ， 将顺时针旋转 90，得到 A
B C
正误判断
u 220 sin(ω t 45)V
第4章 正弦交流电路
4.1 正弦电压与电流
正弦量： 随时间按正弦规律做周期变化的量。
正弦交流电的优越性： 便于传输；易于变换；便于运算；有利于电器设备的运行……
设正弦交流电流：
i Im sin t
初相角：决定正弦量起始位置 角频率：决定正弦量变化快慢
正弦量的三要素
幅值：决定正弦量的大小
XL
I 0 I i 2 I si n ω t 可得： 根据： U U 90 Iω L 90 u 2 I ω L sin ( ω t 90 )
则：
U U I I
90 jL
电感电路复数形式的欧姆定律
jI ωL I (jX ) U L
最大值
100 15V U
负号 U 100 V ？
100 e U
j15
V？
例1: 将 u1、u2 用相量表示
u1 220 2 sin(ω t 20 ) V u2 110 2 sin(ω t 45) V
解: (1) 相量式
220 20V U 1
12.7( cos 30 j sin 30 )A 11( cos 60 j sin 60 )A
( 1 6 .5 - j3 .1 8 )A 1 6 .8 1 0 .9 A
i 16.8 2 sin( 314 t 10.9 ) A
4.3
单一参数的交流电路 +
Um ψ
相量的模=正弦量的最大值
注意:
①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
i Imsin(ω t ψ ) Ime jψ Im ψ
②只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。 ③只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。
I
U
3.“j”的数学意义和物理意义 旋转 90 因子： e j 90
(2) 平均功率(有功功率)P：瞬时功率在一个周期内的平均值
P 1 T
P 单位:瓦（W）
T
0
p dt
1 T
T
0
u i dt
1 T
T
0
UI (1 cos2 ω t )d t UI
二、 电感元件的交流电路 1. 电压与电流的关系 设： i
2 I sin ω t d( I msinω t ) uL 2 Iω L sin(ω t 90) 2 U sin( ω t 90) dt
一、
频率与周期
周期T：变化一周所需的时间 （s） 1 2π 频率f： f （Hz） 角频率：ω 2πf （rad/s） T T 电网频率：我国 50 Hz ，美国 、日本 60 Hz 高频炉频率：200 ~ 300 kHZ 中频炉频率：500 ~ 8000 Hz 无线通信频率： 30 kHz ~ 30GHz 二、 幅值与有效值 幅值：Im、Um、Em
di U XL u L dt I u i ωL
U jω C I
U 1 I jω C
单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路 电路图 基本 参数 (参考方向) 关系 阻抗 i 设 + u i
电压、电流关系 瞬时值 有效值
功 相量图 相量式
率
有功功率 无功功率
(2) 相量图
110 45 V U 2
例2: 已知
i1 12 .7 2 sin (314 t 30 )A 求： i i1 i2 。
12.7 30A I 1
i2 11 2 sin(314t 60 )A
11 60A I 2
I I 12.7 30 A 11 60 A I 1 2
A a j b r cos j r sin r e j ψ r ψ
设正弦量: 相量表示:
u Umsin( ω t ψ )
相量的模=正弦量的有效值 相量辐角=正弦量的初相角 相量辐角=正弦量的初相角
Ue j ψ U ψ U
U e jψ 或： U m m
注意: ① 两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时的选择起点无关。 ② 不同频率的正弦量比较无意义。
4.2 １.正弦量的表示方法 波形图 瞬时值表达式 相量
正弦量的相量表示法
u Umsin( t )
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
Uψ U
2. 正弦量的相量表示 实质：用复数表示正弦量 复数表示形式 设A为复数:
② U =I L ③ 电压超前电流90 相位差
di u e L L dt
① 频率相同
ψ u ψ i 90
感抗(Ω )
X L L 2 f L 有效值: U I ω L 定义：
则: U I X L
X L 2 π fL
交流：f
直流： f = 0, XL =0，电感L视为短路 电感L具有通直阻交的作用
id t
(2)相量法 相量式 设
2I (
1 ) si n(ω t 90) ωC
U U U U R L C
I0 （参考相量） I I R U I ( jX ) I (jX ) U 则 U R C C L L
I Z 令 Z R j X L XC 则 U 复数形式的欧姆定律 U u U U Z Z u i I I i I
(2) 平均功率 Ｐ 1 T 1 P p d t T 0 T
T
0
UI sin (2 ω t ) dt 0
结论： 纯电容不消耗能量，只和电源进行能量交换。 所以电容C是储能元件。 (3) 无功功率 Q
p UI si n2 ωt
无功功率等于瞬时功率达到的最大值。
Q UI I X C
220 U 45 V？ 2
• j45
1.已知：
3.已知：
复数 j30 I 4e A
4 2 sin (ω t 30 )A ？
瞬时值
有效值
45 Um 220 e V？
4.已知：
10 60A 2.已知： I
i 10 sin ( ω t 60 )A ？
u
du dt
i
+ u
_
C
2 U ωC si n( ω t 90)
① 频率相同
ψ u ψ i 90
1 或 U 有效值 I U ω C I ω C 1 1 定义： X C 容抗（Ω ） 则: ωC 2π fC
所以电容C具有隔直通交的作用 可得相量式
U I XC
R
i 2 Isin ωt
u iR R
I
U
则
U IR
u 2Usin ωt
设
I R 2 U I R u、 i 同相
U
UI
0
L u
+ -
i 2 Isin ωt
di uL dt
jX L
则
U IX L X L L
jI X U L I
u领先 i 90°
2. 功率关系 (1) 瞬时功率 p i u U m I m si nω t si n( ω t 90)
U m I m sin ω t cos ω t
UI s i n2 ω t T 1 1 P p dt T o T
Um Im sin 2 ω t 2
(2) 平均功率
2. 功率关系
I 0 相量式： I
U 0 I R U
U
(1)
瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积
i 2 I sin ω t
u 2 U sin ω t
p u i Um I m sin2 ω t 1 U m I m (1 cos 2 ω t ) 2 结论: p 0 （耗能元件）,且随时间变化。
I
UI
0
- I 2 XC
4.4 R、L、C串联的交流电路
1.
电流、电压的关系
直流电路两电阻串联时 (1) 瞬时值表达式 根据KVL可得：u uR uL uC iR L di 1 设： i 2 I si nω t 则 u 2 IR si nω t 2 I ( ω L) si n( ω t 90)
I R I (jX ) I (jX ) I R j X X U L C L C
I
U 10 U 10 318m A I 3 .1 8 m A XL 31.4 XL 3 1 40
三、
电容元件的交流电路
1.电流与电压的关系
i C
设：
2 U sin ω t 则： i C du 2 UC ω cos ω t dt
② I =UC ③电流超前电压90 相位差
UI
u 2 Iω L si n ( t 90 )
0
I2XL
i
设
i C du dt
C
+ u -
jI X jX C 则 U C U IX C U u 2 Iω C X C 1 / c si n ( t 90 ) u落后 i 90°
i 2 Isin ωt
o
T
UI sin (2 ω t ) dt 0
结论： 纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换 （能量的吞吐)。 电感L是储能元件。 (3) 无功功率 Q 用以衡量电感电路中能量交换的规模。用瞬时 功率达到的最大值表征，即
Q U I I 2XL U
2
XL
单位：var
例1:把一个0.1H的电感接到 f=50Hz, U=10V的 正弦电源上，求I，如保持U不变，而电源f = 5000Hz, 这时I为多少？
直流：XC→∞ ，电容C视为开路 交流：f越大， XC越小
U 0 U
I 90 jUω C I
超前 U 90 I
则：
jI U
1 X jI C ωC
电容电路中复数形式的欧姆定律
2.功率关系
(1) 瞬时功率
p i u U m I m si nω t si n( ω t 90) Um Im sin 2 ω t UI si n2 ω t 2
i
u R
_
一、 电阻元件的交流电路
1. 电压与电流的关系 根据欧姆定律: 设
u iR
u U msi nω t
I U R
u U msinω t i R R
2U sinω t R
① 频率相同 ②大小关系：
Imsin ω t
2 I sin ω t
I
相量图
u i 0 ③相位关系 ： 相位差 ： u、i 相位相同
有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。
0
T
2 i 2 R dt I R T
则有
I
1 T
T
0
wk.baidu.com
Im i dt 2
2
同理：
U
Um 2
E
Em 2
注意：交流电压、电流表测量数据为有效值,交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值 三、初相位与相位差 相位：
i I m sin( ω t ψ )
2
U2 XC
单位：var
习题 指出下列各式中哪些是对的，哪些是错的？ 在电阻电路中： 在电感电路中： 在电容电路中：
U I R U i R
u i XL
U I ωL
U j ωL I
U I ωC
u i XC
u i R
U jX L I
U I R
反映正弦量变化的进程。
t ψ
初相位： 表示正弦量在 t =0时的相角。
: 给出了观察正弦波的起点或参考点。
三、
两同频率的正弦量之间的初相位之差。 相位差 ：
i I m sin( ω t ψ 2 ) u Umsin(ω t ψ1 ) ( t 1 ) ( t 2 ) ψ1 ψ2 若 ψ1 ψ2 0 电压超前电流
e
j90
cos 90 j sin 90 j
设相量
r e jψ A
相量 相量
A A
乘以 乘以
将逆时针旋转 90，得到 e j 90 ， A
e
-j90 ， 将顺时针旋转 90，得到 A
B C
正误判断
u 220 sin(ω t 45)V
第4章 正弦交流电路
4.1 正弦电压与电流
正弦量： 随时间按正弦规律做周期变化的量。
正弦交流电的优越性： 便于传输；易于变换；便于运算；有利于电器设备的运行……
设正弦交流电流：
i Im sin t
初相角：决定正弦量起始位置 角频率：决定正弦量变化快慢
正弦量的三要素
幅值：决定正弦量的大小
XL
I 0 I i 2 I si n ω t 可得： 根据： U U 90 Iω L 90 u 2 I ω L sin ( ω t 90 )
则：
U U I I
90 jL
电感电路复数形式的欧姆定律
jI ωL I (jX ) U L
最大值
100 15V U
负号 U 100 V ？
100 e U
j15
V？
例1: 将 u1、u2 用相量表示
u1 220 2 sin(ω t 20 ) V u2 110 2 sin(ω t 45) V
解: (1) 相量式
220 20V U 1
12.7( cos 30 j sin 30 )A 11( cos 60 j sin 60 )A
( 1 6 .5 - j3 .1 8 )A 1 6 .8 1 0 .9 A
i 16.8 2 sin( 314 t 10.9 ) A
4.3
单一参数的交流电路 +
Um ψ
相量的模=正弦量的最大值
注意:
①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
i Imsin(ω t ψ ) Ime jψ Im ψ
②只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。 ③只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。
I
U
3.“j”的数学意义和物理意义 旋转 90 因子： e j 90
(2) 平均功率(有功功率)P：瞬时功率在一个周期内的平均值
P 1 T
P 单位:瓦（W）
T
0
p dt
1 T
T
0
u i dt
1 T
T
0
UI (1 cos2 ω t )d t UI
二、 电感元件的交流电路 1. 电压与电流的关系 设： i
2 I sin ω t d( I msinω t ) uL 2 Iω L sin(ω t 90) 2 U sin( ω t 90) dt
一、
频率与周期
周期T：变化一周所需的时间 （s） 1 2π 频率f： f （Hz） 角频率：ω 2πf （rad/s） T T 电网频率：我国 50 Hz ，美国 、日本 60 Hz 高频炉频率：200 ~ 300 kHZ 中频炉频率：500 ~ 8000 Hz 无线通信频率： 30 kHz ~ 30GHz 二、 幅值与有效值 幅值：Im、Um、Em
di U XL u L dt I u i ωL
U jω C I
U 1 I jω C
单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路 电路图 基本 参数 (参考方向) 关系 阻抗 i 设 + u i
电压、电流关系 瞬时值 有效值
功 相量图 相量式
率
有功功率 无功功率
(2) 相量图
110 45 V U 2
例2: 已知
i1 12 .7 2 sin (314 t 30 )A 求： i i1 i2 。
12.7 30A I 1
i2 11 2 sin(314t 60 )A
11 60A I 2
I I 12.7 30 A 11 60 A I 1 2
A a j b r cos j r sin r e j ψ r ψ
设正弦量: 相量表示:
u Umsin( ω t ψ )
相量的模=正弦量的有效值 相量辐角=正弦量的初相角 相量辐角=正弦量的初相角
Ue j ψ U ψ U
U e jψ 或： U m m
注意: ① 两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时的选择起点无关。 ② 不同频率的正弦量比较无意义。
4.2 １.正弦量的表示方法 波形图 瞬时值表达式 相量
正弦量的相量表示法
u Umsin( t )
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
Uψ U
2. 正弦量的相量表示 实质：用复数表示正弦量 复数表示形式 设A为复数:
② U =I L ③ 电压超前电流90 相位差
di u e L L dt
① 频率相同
ψ u ψ i 90
感抗(Ω )
X L L 2 f L 有效值: U I ω L 定义：
则: U I X L
X L 2 π fL
交流：f
直流： f = 0, XL =0，电感L视为短路 电感L具有通直阻交的作用