2018年11月29日金太阳广东省百校联考文科数学教师版
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高三数学考试（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{|321},{|(23)0}≤A x x B x x x =-<=-，则A B =（ ）A ．(1,2]B ．91,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(1,)+∞1．答案：C解析：因为3{|1},02A x x B x x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭≤≤，所以312AB x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭≤．2．已知复数z 满足31i z -=-（i 为虚数单位），则复数z 的模为（ ）A ．2 BC ．5D2．答案：D解析：因为31i 2i z =-+=+，所以z = 3．已知71sin cos ,sin cos 55αααα+=--=，则cos 2α=（ ） A ．725B ．725-C ．1625D ．1625-3．答案：A解析： 227cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )25ααααααα=-=+-=． 4．如图1为某省2018年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误．．的是（ ）A ．2018年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2018年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看，2018年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长 4．答案：D解析：选项A ，B 显然正确；对于选项C ，2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误．5．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若,4,24ABC C a S π===△，则232sin 3sin sin a c bA C B+-=+- （ ）A B ．C ．D ．5．答案：B解析：11,4,sin 42422ABC C a S ab C b π====⨯⨯=△，得b =2222cos 10c a b ab C =+-=，即c =，所以2322sin 3sin sin sin a c b cR A C B C+-===+-6．已知平面向量,a b 满足2,1a b ==，且()()432a b a b -⋅+=，则向量,a b 的夹角θ为（ ） A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 6．答案：D解析：因为()()224343112,2,1a b a b a b a b a b -⋅+=-+⋅===，所以1a b ⋅=-， 由cos 2cos 1a b a b θθ⋅=⋅==-，得1cos 2θ=-，所以23πθ=．7．为了得到2cos 2y x =-的图象，只需把函数2cos2y x x =-的图象（ ）A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度7．答案：D解析：因为2cos 22cos 22cos 236y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要得到函数2cos 2y x =-，只需将2cos2y x x -的图象向右平移6π个单位长度即可． 8．已知函数()ln(2)ln(6)f x x x =-+-，则（ ） A ．()f x 在(2,6)上单调递增 B ．()f x 在(2,6)上的最大值为2ln 2 C ．()f x 在(2,6)上单调递减 D ．()y f x =的图象关于点(4,0)对称8．答案：B解析：()ln(2)ln(6)ln[(2)(6)]f x x x x x =-+-=--，定义域为(2,6)，令(2)(6)t x x =--，则ln y t = ,二次函数(2)(6)t x x =--的对称轴为直线4x =，所以()f x 在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，A 错，C 也错，D 显然是错误的；当4x =时，t 有最大值，所以max ()ln(42)ln(64)2ln 2f x =-+-=，B 正确．9．如图，B 是AC 上一点，分别以,,AB BC AC 为直径作半圆．从B 作BD AC ⊥，与半圆相交于D ．6,AC BD == ）A ．29B ．13C ．49D ．239．答案：C解析：连接,AD CD ，可知ACD △是直角三角形，又BD AC ⊥，所以2BD AB BC =⋅，设(06)AB x x =<<，则有8(6)x x =-，得2x =，所以2,4AB BC ==，由此可得图中阴影部分的面积等于2223122222ππππ⎛⎫⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，故概率241992P ππ==⨯． 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为（ ） ABCD．10．答案：C解析：如图，可知最长的棱为长方体的体对角线AC =最短的棱为1BD =，异面直线AC 与BD 所成的角为ACE ∠，由三视图中的线段长度可得，1,AB BD CE CD AE ===tan ACE ∠=ABCD E11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -， (0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为12,S S ，则12S S =（ ） A ．4 B ．8C．D．11．答案：A 解析：由2ce a==，得2,c a b ==，故线段MN所在直线的方程为)y x a +，又点P 在线段MN上，可设()P m ，其中[,0]m a ∈-，由于12(,0),(,0)F c F c -，即12(2,0),(2,0)F a F a -，得12(2,33),(2,)PF a m m a PF a m =----=-，所以221246PF PF m ma a ⋅=+-223134()44m a a =+-．由于[,0]m a ∈-，可知当34m a =-时，12PF PF ⋅取得最小值，此时P y a =，当0m =时，12PFPF ⋅取得最大值，此时P y ，则214S S ==．12．已知函数cos ,02()1,0π≤x x x f x e x ⎧⎛⎫+⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪->⎩，若()1≥f x ax -恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0,)+∞ B ．[0,]e C ．[0,1] D ．[,)e +∞12．答案：B解析：由题意可以作出函数()y f x =与1y ax =-的图象，如图所示．若不等式()1≥f x ax -恒成立，必有0≤≤a k ，其中k 是1x y e =-过点(0,1)-的切线斜率．设切点为00(,1)xx e -，因为x y e '=，所以000(1)(1)x x e k e x ---==-，解得01x =，所以k e =，故0≤≤a e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点01(,)2P x 在C 上，且34PF =，则p = ． 13．答案：12解析：由焦半径公式，0132224p p PF y =+=+=，解得12p =． 14．已知实数,x y 满足12,3321,14,2y x y x y x ⎧-+⎪⎪--⎨⎪⎪+⎩≥≤≤ 则目标函数3z x y =-+的最大值为 ．14．答案：14解析：作可行域如图所示，由图可知，当3z x y =-+ 过点(4,2)A -时，z 取得最大值14．15．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，()()f x g x -=222x x x b +++（b 为常数），则(1)(1)f g -+-= ．15．答案：4-解析：由()f x 为定义在R 上的奇函数可知(0)0f =，所以0(0)(0)20f g b -=+=，得1b =-， 所以(1)(1)4f g -=，于是(1)(1)(1)(1)[(1)(1)]4f g f g f g -+-=-+=--=-． 16．已知正六棱柱的高为8，侧面积为14，则它的外接球的表面积为 ． 16．答案： 100π解析：设底面正六边形的边长为a ，外接球的半径为r ，则由86144a ⨯=，得3a =，又22283252r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以24100ππS r ==球．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11S =，且对任意正整数n ，都有111n n n S n S S n +++=-+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 17．解析：（1）由11S =，得11a =．……………………………………………………………………1分又对任意正整数n ， 111n n n S n S S n +++=-+都成立，即11(1)(1)(1)n n n S n n n S n S ++++=+-+， 所以1(1)(1)n n nS n S n n +-+=+，所以111n n S Sn n+-=+，………………………………………………3分即数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为公差，1为首项的等差数列．……………………………………………………4分 所以nS n n=，即2n S n =，得121(2)n n n a S S n n -=-=-≥，………………………………………5分 又由11a =，所以21()n a n n N *=-∈．…………………………………………………………………6分 解法2：由1111n n n n S n S S a n ++++=-=+，可得11(1)(1)n n S n n n a ++++=+， 当2n ≥时，(1)n n S n n na +-=，两式相减，得112(1)n n n a n n a na +++=+-，整理得12n n a a +-=， 在111n n S n a n +++=+中，令2n =，得2212Sa +=，即22122a a ++=，解得23a =，212a a ∴-=， 所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，12(1)21n a n n ∴=+-=-．（2）由（1）可得2122n n n na nb -==，……………………………………………………………………7分 所以231135232122222n n nn n T ---=+++++， ①……………………………………………………8分 则234111352321222222n n n n n T +--=+++++， ②……………………………………………………9分 -①②，得2341112222212222222n n n n T +-=+++++-，……………………………………………10分整理得1113221323222222n n n n n n T ++-+=--=-，…………………………………………………………11分所以2332n nn T +=-．……………………………………………………………………………………12分 18．（12分）2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10, 20)，[20, 30)，[30, 40)，[40, 50)，[50, 60)，[60, 70)，[70, 80]后得到如图所示的频率分布直方图． （1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值； （2）（i ）若从样本中年龄在[50, 70)的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；（ii ）已知该小区年龄在[10, 80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．18．解：（1）平均数150.15250.2350.3450.15550.1(6575)0.0537x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯=…2分 前三组的频率之和为0.150.20.30.65++=，故中位数落在第3组，设为x ，则(30)0.030.150.20.5x -⨯++=，解得35x =，即中位数为35．……………………………………4分 （2）（i ）样本中，年龄在[50,70)的人共有400.156⨯=人，其中年龄在[50,60)的有4人，设为,,,a b c d ，年龄在[60,70)的有2人，设为,x y ．………………………………………………………………………6分 则从中选取2人共有如下15个基本事件：(,),(,)(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,)a b a c a d a x a y b c b d b x b y ，(,),(,),(,),(,),(,),(,)c d c x c y d x d y x y ．………………………………………………………………8分至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a x a y b x b y c x c y d x d y x y ．…………………………………………9分记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A ， 故所求概率为93()155P A ==．………………………………………………………………………………10分 （ii ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1(1810)0.0150.88--⨯=，故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为20000.881760⨯=．……………………12分 19．（12分）如图，在五面体ABCDFE 中，底面ABCD 为矩形，//EF AB ，BC FD ⊥，过BC 的平面交棱FD 于P ，交棱FA 于Q ．（1）证明：//PQ 平面ABCD ；（2）若1,1,23CD BE EF EC CD EF BC ⊥====，求五面体ABCDFE 的体积． ABCDEF PQ19．（1）证明：因为底面ABCD 为矩形，所以//AD BC ，又因为AD ⊂平面ADF ，BC ⊄平面ADF ，所以//BC 平面ADF ，……………………………………………………………………………………2分 又因为BC ⊂平面BCPQ ，平面BCPQ平面ADF PQ =，所以//BC PQ ，…………………………4分又因为PQ ⊄平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以//PQ 平面ABCD ．…………………………6分 （2）解：,,CD BE CD CB BE CB B ⊥⊥=，CD ∴⊥平面BCE ，又因为CE ⊂平面BCE ，所以CD CE ⊥；………………………………………………………………………………………………7分因为,,BC CD BC FD CDFD D ⊥⊥=，所以BC ⊥平面CDFE ，所以BC CE ⊥，即,,CD CE CB 两两垂直．………………………………………………………………………………9分 连接,FB FC ，则12,3,(23)123F ABCD CD BC V -===⨯⨯⨯=，……………………………………10分 111311322F BCE V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，…………………………………………………………………………11分15222ABCDFE F ABCD F BCE V V V --=+=+=．…………………………………………………………………12分 20．（12分）已知F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 交C 于,A B 两点，交直线8x =于点M ．判定直线,,PA PM PB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．20．解：（1）因为点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴，所以2c =………………………………………1分由22224914a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，得221612a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，…………………………………………………………………………4分 故椭圆C 的方程为2211612x y +=．…………………………………………………………………………5分 （2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的的方程为(2)y k x =-，令8x =，得M 的坐标为(8,6)k ．……………………………………………………………………6分由2211612(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)1616(3)0k x k x k +-+-=．…………………………………………7分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有221212221616(3),4343k k x x x x k k -+==++．①…………………………8分设直线,,PA PM PB 的斜率分别为123,,k k k ， 从而121231233631,,22822y y k k k k k x x ---====----．……………………………………………………9分 因为直线AB 的方程为(2)y k x =-，所以1122(2),(2)y k x y k x =-=-， 所以12121212121233113222122y y y y k k x x x x x x ⎛⎫--+=+=+-+ ⎪------⎝⎭1212124232()4x x k x x x x +-=-⨯-++． ②……………………………………………………………………10分把①代入②，得2212222216443232116(3)3244343k k k k k k k kk k -++=-⨯=---+++．………………………………11分 又312k k =-，所以1232k k k +=，故直线,,PA PM PB 的斜率成等差数列．…………………………12分21．（12分）设函数22()xx f x e x m=+-．（1）求()f x 的单调区间；（2）若对于任意12,[,](0)x x m m m ∈->，都有12()()1f x f x e --≤，求m 的取值范围．21．解：（1）因为22()xx f x e x m=+-，所以2222()1(1)x xx x f x e e m m '=+-=-+，………………2分所以当(,0)x ∈-∞时，2210,0,()0xxe f x m'-<<<；………………………………………………3分 当(0,)x ∈+∞时，2210,0,()0xxe f x m'->>>．………………………………………………………4分 所以()f x 的单调递减区间是(,0)-∞，单调递增区间是(0,)+∞．……………………………………5分 （2）由（1）知，()f x 在[,0]m -上单调递减，在[0,]m 上单调递增，故()f x 在0x =处取得最小值，且(0)1f =．…………………………………………………………6分 所以对于任意的12,[,]x x m m ∈-，12()()1f x f x e --≤的充要条件为()(0)1()(0)1f m f e f m f e ⎧--⎪⎨---⎪⎩≤≤ ，即11m m e m e e m e -⎧--⎪⎨+-⎪⎩≤≤ ①…………………………………………7分 设函数()tg t e t =-，则()1tg t e '=-．………………………………………………………………8分 当0t <时，()0g t '<；当0t >时，()0g t '>，故()g t 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增．………………………………………………9分又(1)1g e =-，()m g m e m =-，()m g m e m --=+，………………………………………………10分 所以当(0,1]m ∈时，1()(1)1,()(1)11g m g e g m g e e -=---=+<-≤≤，即①式成立，…………11分 综上所述，m 的取值范围是(0,1]．…………………………………………………………………………12分（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos 55sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．M 是曲线1C 上的动点，将线段OM 绕O 点顺时针旋转90︒得到线段ON ，设点N 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线12,C C 的极坐标方程；（2）在（1）的条件下，若射线(0)3πθρ=≥与曲线12,C C 分别交于,A B 两点（除极点外），且有定点(4,0)T ，求TAB △的面积．22．解：（1）由题设，得1C 的直角坐标方程为22(5)25x y +-=，即22100x y y +-=，…………2分故1C 的极坐标方程为210sin 0ρρθ-=，即10sin ρθ=．………………………………………………3分 设点(,)(0)N ρθρ≠，则由已知得,2M πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入1C 的极坐标方程得10sin()2πρθ=+，即10cos (0)ρθρ=≠．……………………………………………………………………………………5分（2）将3πθ=代入12,C C 的极坐标方程得,5,33A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………7分 又因为(4,0)T ，所以1sin 1523TOA S OA OT π=⋅=△，………………………………………………8分 1sin 23TOB S OB OT π=⋅=△，……………………………………………………………………9分所以15TAB TOA TOB S S S =-=-△△△10分23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数()22(0)f x x m x m m =+-->．（1）当12m =时，求不等式1()2f x ≥的解集； （2）对于任意的实数x ，存在实数t ，使得不等式()34f x t t +-<+成立，求实数m 的取值范围．23．解：因为0m >，所以3,()223,3,x m x m f x x m x m x m m x m x m x m --⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-+⎩≤≥．……………………1分（1）当12m =时，31,22111()3,,22231,22x x f x x x x x ⎧--⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-+⎪⎩≤≥ …………………………………………………………2分 所以由1()2f x ≥，可得31,2212x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≥≤或113,221122x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩≥ 或312212x x ⎧-+⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≥ ，…………………………3分 解得1132x <≤或112x ≤≤，………………………………………………………………………………4分 故原不等式的解集为113x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤．………………………………………………………………………5分（2）因为()34()43f x t t f x t t +-<+⇔+--≤， 令()43g t t t =+--，则由题设可得max max ()()≤f x g t ．…………………………………………6分由3,()3,3,x m x m f x x m m x m x m x m --⎧⎪=--<<⎨⎪-+⎩≤≥，得max ()()2f x f m m ==．……………………………………7分 因为43(4)(3)7t t t t +--+--=≤，所以7()7g t -≤≤．……………………………………8分 故max ()7g t =，从而27m <，即72m <，………………………………………………………………9分 又已知0m >，故实数m 的取值范围是70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．…………………………………………………………10分。
2018届广东省茂名市高考联考数学(文)试题(二)有答案AlUKAK
广东省省际名校（茂名市）2018届高三下学期联考（二）数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合()(){}230A x x x =--<，{26B x x a =<-或}x a >，若A B ⋂=∅，则a 的取值范围是（ ） A ．(],3-∞ B ．(],4-∞ C ．[]3,4 D ．()3,4 2．i 是虚数单位，复数z 满足()113i z i +=+，则z =（ ） A ．12i + B ．2i + C ．12i - D ．2i -3.已知“正三角形的内切圆与三边相切，切点是各边的中点”，类比之可以猜想：正四面体的内切球与各面相切，切点是（ ） A ．各面内某边的中点B ．各面内某条中线的中点C ．各面内某条高的三等分点D ．各面内某条角平分线的四等分点 4.设函数()f x 在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是（ ） A.()1y f x =在R 上为减函数 B.()y f x =在R 上为增函数 C.()1y f x =-在R 上为增函数D.()y f x =-在R 上为减函数5.投掷两枚质地均匀的正方体散子，将两枚散子向上点数之和记作S .在一次投掷中，已知S 是奇数，则9S =的概率是（ ） A ．16 B ．29 C ．19 D ．156.过抛物线()2:20E x py p =>的焦点，且与其对称轴垂直的直线与E 交于,A B 两点，若E 在,A B 两点处的切线与E 的对称轴交于点C ，则ABC ∆外接圆的半径是（ ） A ．)21p B ．p C 2 D ．2p7.若4cos 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2325 B ．2325- C ．725 D ．725- 8.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos 2b C c a +=，且13,3b c ==，则a =（ ） A ．1 B 6．22．49.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（ ）A．32 3B．643C．16D．1310.执行如图所示的程序框图，与输出的值最接近的是（）A．14B．34C．4πD．14π-11.《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理:“幂势既同，则积不异”，此即祖暅原理，其含义为:两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.如图，设满足不等式组240,4,x yxy⎧-≥⎪≤⎨⎪≥⎩的点(),x y组成的图形（图（1）中的阴影部分)绕y轴旋转180︒，所得几何体的体积为1V；满足不等式组()222216,4,x yx y ry⎧+≤⎪⎪+-≥⎨⎪≥⎪⎩的点(),x y组成的图形（图（2）中的阴影部分)绕y轴旋转180︒，所得几何体的体积为2V.利用祖暅原理，可得1V=（）A．323π B．643π C．32π D．64π12.若对任意的0x>，不等式()22ln10x m x m-≥≠恒成立，则m的取值范围是（）A．{}1 B．[)1,+∞ C．[)2,+∞ D．[),e+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知ar为单位向量，()1,3b=r，且1a b⋅=r r，则ar与br夹角的大小是．14. 若实数,x y满足约束条件1,10,326,,,x yx yx yx N y N+≥⎧⎪-+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩则2z x y=-的最大值是．15. 将函数()()22123cos sin cosf x x x x=---的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x=的图象，若,22xππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()g x的单调递增区间是．16. 设椭圆()222210bx ya ba+>>=的上顶点为B，右顶点为A，右焦点为F，E为椭圆下半部分上一点，若椭圆在E处的切线平行于AB，且椭圆的离心率为2，则直线EF的斜率是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列{}n a的公差d不为零，2416a a a=-，且2a≠.（1）求1a与d的关系式；（2）当29d=时，设1281nn nba a+=,求数列{}n b的前n项和n S.18.如图，四棱柱1111ABCD A B C D-的底面ABCD为菱形，且11A AB A AD∠=∠.（1）证明：四边形11BB D D为矩形；（2）若1,60AB A A BAD =∠=︒，1A C ⊥平面11BB D D ，求四棱柱1111ABCD A B C D -的体积.19.某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩x 与物理成绩y 如下表：数据表明y 与x 之间有较强的线性关系. （1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；（3）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人.能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考数据:回归直线的系数()()()121nii i nii xx y ybxx==--=-∑∑$，$ay bx =-$. ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()()226.6350.01,10.8280.01P K P K ≥=≥=.20. 已知圆()()221:222C x y -+-=内有一动弦AB ，且2AB =，以AB 为斜边作等腰直角三角形PAB ，点P 在圆外.（1）求点P 的轨迹2C 的方程；（2）从原点O 作圆1C 的两条切线，分别交2C 于,,,E F G H 四点，求以这四点为顶点的四边形的面积S . 21.已知函数()()21ln 12f x x x =+-. （1）判断()f x 的零点个数；（2）若函数()g x ax a =-，当1x >时，()g x 的图象总在()f x 的图象的下方，求a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-，直线l 的参数方程为2cos ,1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为倾斜角). （1）若34πα=，求l 的普通方程和C 的直角坐标方程； （2）若l 与C 有两个不同的交点,A B ，且()2,1P 为AB 的中点，求AB . 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()11f x x x =++-.（1）求函数()f x 的最小值a ；（2）根据（1）中的结论，若33m n a +=，且0,0m n >>，求证:2m n +≤.试卷答案一、选择题1-5: CBCDB 6-10: BDDAC 11、12：CA 二、填空题 13.3π 14. 2 15.5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（注：写成开区间或半开半闭区间亦可）三、解答题17. 解:（1）因为2416a a a =-，所以()()211135a d a a d +=-+， 即有()()11290a d a d ++=.因为20a ≠，即10a d +≠，所以1290a d +=. （2）因为1290a d +=，又29d =，所以2119n n a -=. 所以()()12211812112921129n n n b a a n n n n +===-----. 所以1231111111197755321129n n S b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L()112929929nn n -=-=---. 18.（1）证明: 连接AC ，设AC BD O ⋂=，连接111,,A B A D AO . ∵11,A AB A AD AB AD ∠=∠=，∴11A B A D =. 又O 为BD 的中点，∴1,AO BD AO BD ⊥⊥. ∴BD ⊥平面11A ACC ，∴1BD AA ⊥. ∵11//BB AA ，∴1BD BB ⊥.又四边形11BB D D 是平行四边形，则四边形11BB D D 为矩形.（2）解：由12,60AB A A BAD ==∠=︒，可得2AD AB ==，∴23AC =. 由BD ⊥平面11A ACC ，可得平面ABCD ⊥平面11A ACC ，且交线为AC . 过点1A 作1A E AC ⊥，垂足为点E ，则1A E ⊥平面ABCD . 因为1A C ⊥平面11BB D D ,∴11AC BB ⊥，即11AC AA ⊥. 在1Rt AAC ∆中，可得112622,3AC A E ==. 所以四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为132622242223V =⨯⨯⨯⨯⨯=.19. 解:(（1）由题意可知120,90x y ==， 故()()()()()()()()()()()()()()()222221451201109013012090901201201029010512078901001207090145120130120120120105120100120b --+--+--+--+--=-+-+-+-+-$50000180400108040.8625100022540013505++++====++++.$901200.86a=-⨯=-， 故回归方程为$0.86y x =-. （2）将110x =代入上述方程，得$0.8110682y =⨯-=.（3）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36. 抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人， 故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人. 于是可以得到22⨯列联表为：于是()2260241812610 6.63530303624K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，因此在犯错误概率不超过0.01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关.20.解：（1）连接11,C A C B ，∵112,2C A C B AB ===，∴1C AB ∆为等腰直角三角形. ∵FAB ∆为等腰直角三角形，∴四边形1FAC B 为正方形.∴12PC =，∴点P 的轨迹是以1C 为圆心，2为半径的圆， 则2C 的方程为()()22224x y -+-=.（2）如图，,1C N OF ⊥于点N ，连接111,,C E C F C O . 在1Rt OC N ∆中，∵1122,2OC C N ==，∴6ON =. ∴11sin 2C ON ∠=，∴130C ON ∠=︒. ∴OEH ∆与OFG ∆为正三角形.∵11C EN C FN ∆≅∆，且112C E C F ==，∴2NE NF ==. ∴四边形EFGH 的面积()()223362626OFC CEH S S S ∆∆=-=+--=.21.解:（1）()()21ln 12f x x x =+-的定义域为()0,+∞， 又()11f x x x'=+-， ∵12x x+≥，∴()10f x '≥>， ∴()f x 在()0,+∞上为增函数，又()10f =， ∴()f x 在()0,+∞上只有一个零点. （2）由题意当1x >时，()211ln 20x x ax a --+>+恒成立. 令()()211ln 2h x x x ax a =-+-+，则()11h x x a x'=+--. 当1a ≤时，∵()1110h x x a a x'=+-->-≥，∴()h x 在()1,+∞上为增函数. 又()10h =，∴()0h x >恒成立. 当1a >时，()()211x a x h x x-++'=，令()()211x x a x ϕ=-++，则()()()214310a a a ∆=+-=+->. 令()0x ϕ=的两根分别为12,x x 且12x x <，则∵121210,10x x a x x +=+>⋅=>，∴1201x x <<<， 当()21,x x ∈时，()0x ϕ<，∴()0h x '<，∴()h x 在()21,x 上为减函数，又()10h =，∴当()21,x x ∈时，()0h x <. 故a 的取值范围为(],1-∞.22.解：（1）l 的普通房成为30x y +-=， C 的直角坐标方程为22y x =.（2）把2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入抛物线方程22y x =得()()22sin 2sin cos 30*t t ααα+--=，设,A B 所对应的参数为12,t t ，则()1222sin cos sin t t ααα-+=.∵()2,1P 为AB 的中点，∴P 点所对应的参数为122sin cos 02sin t t ααα+-=-=， ∴sin cos 0αα-=，即4πα=.则()*变为21302t -=，此时26,t t ==，∴AB =23.（1）解：()()11112f x x x x x =++-≥+--=，当且仅当11x -≤≤时取等号， 所以()min 2f x =，即2a =.（2）证明:假设:2m n +>，则()332,2m m n n >->-. 所以()()3323322612n n m n n >-+=+-≥+. ① 由（1）知2a =，所以332m n +=. ② ①与②矛盾，所以2m n +≤.。
2018年11月29日金太阳广东省百校联考文科数学试题(word版,精校版)
高三数学考试（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{|321},{|(23)0}≤A x x B x x x =-<=-，则A B =（ ）A ．(1,2]B ．91,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(1,)+∞2．已知复数z 满足31i z -=-（i 为虚数单位），则复数z 的模为（ ）A ．2BC ．5D3．已知71sin cos ,sin cos 55αααα+=--=，则cos 2α=（ ） A ．725B ．725-C ．1625D ．1625-4．如图1为某省2018年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误．．的是（ ）A ．2018年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2018年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看，2018年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长 5．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若,4,24ABC C a S π===△，则232sin 3sin sin a c bA C B+-=+- （ ）AB ．C ．D ．6．已知平面向量,a b 满足2,1a b ==，且()()432a b a b -⋅+=，则向量,a b 的夹角θ为（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π7．为了得到2cos 2y x =-的图象，只需把函数2cos2y x x =-的图象（ ）A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度8．已知函数()ln(2)ln(6)f x x x =-+-，则（ ） A ．()f x 在(2,6)上单调递增 B ．()f x 在(2,6)上的最大值为2ln 2 C ．()f x 在(2,6)上单调递减D ．()y f x =的图象关于点(4,0)对称9．如图，B 是AC 上一点，分别以,,AB BC AC 为直径作半圆．从B 作BD AC ⊥，与半圆相交于D ．6,AC BD == ）A ．29B ．13C ．49D ．23第10题图10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为（ ） ABCD．11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -， (0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为12,S S ，则12S S =（ ） A ．4B ．8C．D．12．已知函数cos ,02()1,0π≤x x x f x e x ⎧⎛⎫+⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪->⎩，若()1≥f x ax -恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0,)+∞B ．[0,]eC ．[0,1]D ．[,)e +∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点01(,)2P x 在C 上，且34PF =，则p = ． 14．已知实数,x y 满足12,3321,14,2y x y x y x ⎧-+⎪⎪--⎨⎪⎪+⎩≥≤≤ 则目标函数3z x y =-+的最大值为 ．15．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，()()f x g x -=222x x x b +++（b 为常数），则(1)(1)f g -+-= ．16．已知正六棱柱的高为8，侧面积为14，则它的外接球的表面积为 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11S =，且对任意正整数n ，都有111n n n S n S S n +++=-+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（12分）2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10, 20)，[20, 30)，[30, 40)，[40, 50)，[50, 60)，[60, 70)，[70, 80]后得到如图所示的频率分布直方图． （1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值； （2）（i ）若从样本中年龄在[50, 70)的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；（ii ）已知该小区年龄在[10, 80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．如图，在五面体ABCDFE 中，底面ABCD 为矩形，//EF AB ，BC FD ⊥，过BC 的平面交棱FD 于P ，交棱FA 于Q ．（1）证明：//PQ 平面ABCD ；（2）若1,1,23CD BE EF EC CD EF BC ⊥====，求五面体ABCDFE 的体积． ABCDEF PQ20．（12分）已知F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 交C 于,A B 两点，交直线8x =于点M ．判定直线,,PA PM PB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．设函数22()xx f x e x m=+-．（1）求()f x 的单调区间；（2）若对于任意12,[,](0)x x m m m ∈->，都有12()()1f x f x e --≤，求m 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos 55sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．M 是曲线1C 上的动点，将线段OM 绕O 点顺时针旋转90︒得到线段ON ，设点N 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线12,C C 的极坐标方程； （2）在（1）的条件下，若射线(0)3πθρ=≥与曲线12,C C 分别交于,A B 两点（除极点外），且有定点(4,0)T ，求TAB △的面积．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数()22(0)f x x m x m m =+-->． （1）当12m =时，求不等式1()2f x ≥的解集；（2）对于任意的实数x ，存在实数t ，使得不等式()34f x t t +-<+成立，求实数m 的取值范围．。
广东省2018届高考模拟考试数学文科试题(二)-有答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试广东省文科数学模拟试卷（二）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.421ii-=+（ ） A ．3i - B ．3i + C ．13i + D ．13i - 2.已知()1,3a =-，(),4b m m =-，若//a b ，则m =（ ） A ．1 B ．2- C ．3 D ．63.已知x R ∈，集合{}0,1,2,4,5A =，集合{}2,,2B x x x =-+，若{}0,2A B =，则x =（ ）A ．2-B ．0C ．1D ．24.空气质量指数（简称：AQI ）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：[)0,50为优，[)50,100为良，[)100,150为轻度污染，[)150,200为中度污染，[)200,250为重度污染，[)250,300为严重污染.下面记录了北京市22天的空气质量指数，根据图表，下列结论错误的是（ ）A ．在北京这22天的空气质量中，按平均数来考察，最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量B ．在北京这22天的空气质量中，有3天达到污染程度C. 在北京这22天的空气质量中，12月29日空气质量最好 D ．在北京这22天的空气质量中，达到空气质量优的天数有6天5.如图，AD 是以正方形的边AD 为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（ ）A ．16π B ．316 C.4πD ．14 6.已知等比数列{}n a 的首项为1，公比1q ≠-，且()54323a a a a +=+，则5a =（ ） A ．9- B ．9 C.81- D ．817.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点坐标为()4,0，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（ ）A ．22188x y -=B ．2211616x y -= C. 22188y x -= D ．22188x y -=或22188y x -= 8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．86π+B ．66π+ C.812π+ D ．612π+9.在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相西萨·班·达依尔.国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍.请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒.当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求.那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（ ）A． B． C. D．10.已知三棱锥D ABC-的外接球的球心O恰好是线段AB的中点，且AC BC BD AD====2=，则三棱锥D ABC-的体积为（）A．3B．3C.3D．1311.已知数列{}n a的前n项和为n S，115a=，且满足112325n na an n+=+--，已知*,n m N∈，n m>，则n mS S-的最小值为（）A．494- B．498- C.14- D．28-12.已知函数()()ln3xf x e x=-+，则下面对函数()f x的描述正确的是（）A．()0,x∀∈+∞，()2f x≤ B．()0,x∀∈+∞，()2f x>C. ()0,x∃∈+∞，()00f x= D．()()min0,1f x∈第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.将函数()()()2sin20f x xϕϕ=+<的图象向左平移3π个单位长度，得到偶函数()g x的图象，则ϕ的最大值是．14.设x，y满足约束条件2,1,1,yy xy x≤⎧⎪≥-+⎨⎪≥-⎩则3412z x y=--的最大值为．15.设函数()2logf x a x=+在区间[]1,a上的最大值为6，则a=．16.已知抛物线()220y px p=>与圆()2211x y+-=，则该抛物线的焦点到准线的距离为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC∆中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知60B=，8c=.（1）若点M 是线段BC 的中点，ANBM=b 的值； （2）若12b =，求ABC ∆的面积.18.经销商第一年购买某工厂商品的单价为a （单位：元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如下表：为了研究该商品购买单价的情况，为此调查并整理了个经销商一年的销售额，得到下面的柱状图.已知某经销商下一年购买该商品的单价为X （单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率. （1）求X 的平均估计值.（2）为了鼓励经销商提高销售额，计划确定一个合理的年度销售额m （单位：万元），年销售额超过m 的可以获得红包奖励，该工厂希望使62%的经销商获得红包，估计m 的值，并说明理由. 19.如图：在五面体ABCDEF 中，四边形EDCF 是正方形， 90ADE ∠=， （1）证明：FCB ∆为直角三角形；（2）已知四边形ABCD 是等腰梯形，且60DAB ∠=，1AD DE ==，求五面体ABCDEF 的体积.20.已知椭圆()2212:108x yC b b+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点2F 也为抛物线21:8C y x =的焦点. （1）若M ，N 为椭圆1C 上两点，且线段MN 的中点为()1,1，求直线MN 的斜率；（2）若过椭圆1C 的右焦点2F 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A ，B 和C ，D ，设线段AB ，CD 的长分别为m ，n ，证明11m n +是定值. 21.已知函数()xmf x nx e =+. （1）若函数()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为32y x =-+，求m ，n 的值；（2）当1n =时，在区间(],1-∞上至少存在一个0x ，使得()00f x <成立，求实数m 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3,4x y a ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩（t 为参数），圆C 的标准方程为()()22334x y -+-=.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和圆C 的极坐标方程； （2）若射线()03πθρ=>与l 的交点为M ，与圆C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点，求a 的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知()32f x mx x n =+-+.（1）当2m =，1n =-时，求不等式()2f x <的解集；（2）当1m =，0n <时，()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于24，求n 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:DABCD 6-10:BABCA 11、12：CB 二、填空题 13.6π-14.9- 15.416.6三、解答题17.解：（1）若点M 是线段BC的中点，AMBM=BM x =，则AM =， 又60B =，8AB =，在ABM ∆中，由余弦定理得2236428cos60x x x =+-⨯， 解得4x =（负值舍去），则4BM =，8BC =. 所以ABC ∆为正三角形，则8b =. （2）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin b cB C=，得8sin 2sin 123c BC b===又b c >，所以B C >，则C为锐角，所以cos 3C =. 则()1sin sin sin cos cos sin 2A B C B C B C =+=+==， 所以ABC ∆的面积1sin 4826S bc A ==⨯=18. 解：（1）由题可知：0.20.90.30.850.240.80.120.750.10.70.040.873a a a a a a a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）因为后4组的频率之和为0.040.10.120.240.50.62+++=<， 而后5组的频率之和为0.040.10.120.240.30.80.62++++=>， 所以100200m ≤≤. 由0.120.3200100m =-，解得160m =. 所以年销售额标准为160万元时，62%的经销商可以获得红包.19.（1）证明：由已知得AD DE ⊥，DC DE ⊥，,AD CD ⊂平面ABCD ，且AD CD D =，所以DE ⊥平面ABCD .又BC ⊂平面ABCD ，所以BC ED ⊥.又因为//ED FC ，所以FC BC ⊥，即FCB ∆为直角三角形. （2）解：连结AC ，AF ，ABCDEF A CDEF F ACB V V V --=+.过A 作AG CD ⊥交CD 于G ，又因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE AG ⊥， 且CDDE D =，所以AG ⊥平面CDEF ，则AG 是四棱锥A CDEF -的高.因为四边形ABCD 是底角为60的等腰梯形，1AD DE ==，所以AG =,2AB =，13A CDEF CDEF V AG S -=⋅=因为DE ⊥平面ABCD ，//FC DE ，所以FC ⊥平面ABCD ，则FC 是三棱锥F ACB -的高.13F ACB ACB V FC S -∆=⋅=.所以3ABCDEF A CDEF F ACB V V V --=+=.20.解：因为抛物线22:8C y x =的焦点为()2,0，所以284b -=，故2b =.所以椭圆221:184x y C +=.（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，则221122221,841,84x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得()()()()12121212084x x x x y y y y +-+-+=，又MN 的中点为()1,1，所以122x x +=，122y y +=. 所以212112y y x x -=--.显然，点()1,1在椭圆内部，所以直线MN 的斜率为12-. （2）椭圆右焦点()22,0F .当直线AB 的斜率不存在或者为0时，118m n +==当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为()2y k x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程得()222,28,y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()2222128880k x k x k +-+-=， 因为()()()()222228412883210kk k k ∆=--+-=+>，所以2122812k x x k +=+，()21228112k x x k-=+. 所以)22112k m k+==+，同理可得)2212k n k +=+.所以222211122118k k m n k k ⎫+++=+=⎪++⎭为定值. 21.解：（1）因为()'xm f x n e=-+，让你以()'0f n m =-，即3n m -=-. 又因为()0f m =，所以切点坐标为()0,m ，因为切点在直线32y x =-+上，所以2m =，1n =-.（2）因为()x m f x x e=+，所以()'1x x x m e m f x e e -=-+=.当0m ≤时，()'0f x >，所以函数()f x 在(],1-∞上单调递增，令00x a =<，此时()00a mf x a e=+<，符合题意；当0m >时，令()'0fx =，则ln x m =，则函数()f x 在(),ln m -∞上单调递减，在()ln ,m +∞上单调递增.①当ln 1m <，即0m e <<时，则函数()f x 在(),ln m -∞上单调递减，在(]ln ,1m 上单调递增， ()()min ln ln 10f x f m m ==+<，解得10m e<<.②当ln 1m ≥，即m e ≥时，函数()f x 在区间(],1-∞上单调递减，则函数()f x 在区间(],1-∞上的最小值为()110mf e=+<，解得m e <-，无解. 综上，1m e <，即实数m 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.22. 解：（1）在直线l 的参数方程中消去t ，可得，304x y a --+=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入以上方程中， 所以，直线l 的极坐标方程为3cos sin 04a ρθρθ--+=. 同理，圆C 的极坐标方程为26cos 6sin 140ρρθρθ--+=. （2）在极坐标系中，由已知可设1,3M πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,3A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，3,3B πρ⎛⎫⎪⎝⎭. 联立2,36cos 6sin 140,πθρρθρθ⎧=⎪⎨⎪--+=⎩可得(23140ρρ-++=，所以233ρρ+=+因为点M 恰好为AB的中点，所以132ρ+=，即323M π⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.把3M π⎫⎪⎪⎝⎭代入3cos sin 04a ρθρθ--+=，得(31130224a +⨯-+=，所以94a =. 23. 解：（1）当2m =，1n =-时，()2321f x x x =+--.不等式()2f x <等价于()()3,223212,x x x ⎧<-⎪⎨⎪-++-<⎩或()()31,2223212,x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++-<⎩ 或()()1,223212,x x x ⎧>⎪⎨⎪+--<⎩解得32x <-或302x -≤<，即0x <.所以不等式()2f x <的解集是(),0-∞. （2）由题设可得，()3,3,3233,3,23,,2x n x n f x x x n x n x n x n x ⎧⎪+-<-⎪⎪=+-+=++-≤≤-⎨⎪⎪-+->-⎪⎩所以函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为3,03n A +⎛⎫-⎪⎝⎭，()3,0B n -，,322nn C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 所以三角形ABC 的面积为()2613332326n n n n -+⎛⎫⎛⎫-+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 由题设知，()26246n ->，解得6n <-.。
2018-2019学年高三金太阳联考文科数学答案(11月份)
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2018届高三金太阳内部特供卷高三文科数学(三)解析版
2018届高三金太阳内部特供卷高三文科数学（三）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．若集合{}{}1,0,1,2,0,2,3P Q =-=，则P Q = __________． 【答案】{}0,2【解析】根据集合交集的定义，两个集合的公共元素为0，2，所以{}02P Q = ，，故填P Q = {}02，．2．若复数z 满足()21i 1i z +=-，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为__________． 【答案】16【解析】因为高校甲乙丙丁四个专业分别有150，150，400，300名学生，所以本校共有学生1000名，因为用分层抽样的方法从该校四个专业共抽取40名学生进行调查，所以每个个体被抽到的概率是401100025=，因为丙专业有400人，所以要抽取14001625⨯=人． 4．已知直角坐标系中，点()0,1A ，向量()4,3AB =--uu u r ，()7,4BC =--uu u r，则点C 的坐标为（ ）A ．()11,8B ．()3,2C ．()11,6--D ．()3,0-【答案】C5．记函数()f x =D ．若在区间[－5，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率为__________． 【答案】12【解析】由2430x x --≥，得41x -≤≤，因为[]4,1D =-，所以由几何概型概率公式，在区间上随机取一个数x ，则x D ∈的概率()()411552P --==--，故答案为12．6．已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l x ay ++=．若12l l ⊥，则实数a 的值是 ． 【答案】0或－3【解析】由题意得：(2)00 3.a a a a a ++=⇒==-或7．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（ ）A ．10日B ．20日C ．30日D ．40日【答案】C8．已知函数32()2f x x x mx =-++，若对任意12,x x ∈R ，均满足[]1212()()0x x f x f x -->（），则实数m 的取值范围是 ．【答案】1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由[]1212()()0x x f x f x -->（）可知()f x 在R 上为增函数，所以()0f x '≥在R 上恒成立，而2()32f x x x m '=-+，所以4120m ∆=-≤，所以13m ≥．9．已知偶函数2y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()13sin f x x x =+．设()1a f =，()2b f =，()3c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】D10．如图，在梯形ABCD 中，,4,3,2,2AB CD AB AD CD AM MD====∥．若3AC BM ⋅=- ，则AD AB ⋅=__________．【答案】32【解析】设DAB θ∠=，()()()23AC BM AD CD AM AB AD CD AD AB ⎛⎫⋅=--=-- ⎪⎝⎭222||33AD AD AB CD AD CD AB =-⋅-⋅+⋅22934cos 23cos 2428cos 333θθθ=⨯-⨯+⨯⨯-⨯=--=-， 所以1cos 8θ=，故AD AB ⋅= 13cos 3482AD AB θ⋅=⨯⨯= ，故填32．11．已知动圆C 与直线20x y ++=相切于点()0,2A -，圆C 被x 轴所截得的弦长为2，则满足条件的所有圆C 的半径之积是__________． 【答案】10【解析】∵动圆C 与直线20x y ++=相切于点()0,2A -，故直线AC 与直线20x y ++=垂直，故C 落在直线20x y --=上，设C 点坐标为(),2a a -，则圆的半径r =，则圆的方程为：()()22222x a y a a -+-+=．令0y =，则()()22222x a a a -+-+=，即22440x a x a --+=，∵C 被x 轴所截得的弦长为2，∴2=，解得：5a =-或1a =，故所有圆C 的半径之积为510=，故答案应填10．12．已知,x y ∈R ，且222,x y x y +=≠，则()()2211x y x y ++-的最小值是__________． 【答案】1【解析】令,u x y v x y =+=-，则,22u v u vx y +-==， ∵222x y +=，∴()()228u v u v ++-=，∴224u v +=，由柯西不等式得：()2222114u v u v ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥，当且仅当u v ==即x =0y =或0x =，y =时，()()2211x y x y ++-的最小值是1，故填1．13．已知函数()232ln f x x x x =+-，则函数()f x 的单调递减区间为 ．【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭14．对任意[]1,1a ∈-，函数()()2442f x x a x a =+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围是 ． 【答案】1x <或3x >二、解答题：本题包括6小题，共计90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =+． （1）求证：数列{}1n a -是等比数列；（2）设()2log 1n n b a =-，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】解：（1）当1n =时，11121a S a ==+，解得11a =- 当1n >时，由题意，()1121n n S a n --=+-()()11221n n n n S S a n a n ---=+---⎡⎤⎣⎦1221n n a a -=-+，即121n n a a -=-所以()1121n n a a --=-，即1121n n a a --=- 数列{}1n a -是首项为2-，公比为2的等比数列 （2）由（1），11222n n n a --=-⋅=-，所以12n n a =-2log 2n n b n ==，()1111111n n b b n n n n +==-++ ∴1111112231n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 1111n n n =-=++16．（本小题满分14分）已知函数()()22f x x x =+-．（1）若不等式()f x a ≤在[]3,1-上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解不等式()3f x x >．【答案】（1）[)4,+∞；（2）{|4}x x >或41}x -<<．【解析】（1）当[]3,1x ∈-时，()()()()222224f x x x x x x =+-=+-=-+．231,09x x -∴ ≤≤≤≤．于是2544x --+≤≤，即函数()f x 在[]3,1-上的最大值等于4．∴要使不等式()f x a ≤在[]3,1-上恒成立，实数a 的取值范围是[)4,+∞． （2）不等式()3f x x >，即()2230x x x +-->．当2x ≥时，原不等式等价于2430x x -->，解得4x >或1x <-．又2,4x x ∴> ≥． 当2x <时，原不等式等价于2430x x -->，即2340x x +-<，解得41x -<<，满足2x <．综上可知，原不等式的解集为{|4x x >或41}x -<<． 17．（本小题满分14分）已知直线3x π=是函数()sin 2cos 2f x m x x =-的图象的一条对称轴．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2f B =，且b =，求ac +的最大值．【答案】解：（1）3x π=是函数()sin 2cos 2f x m x x =-的一条对称轴3f π⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭或()m f x ⇒=⇒2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴增区间为(),63k k k ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z（2）()2sin 216f B B π⎛⎫=⇒-= ⎪⎝⎭3B π⇒=又b =，由正弦定理得：2sin a A =，2sin c C =22sin 2sin 3a c A A π⎛⎫+=+-=⎪⎝⎭3sin 6A A A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭∵20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴3A π=时，a c +取最大值18．（本小题满分16分）旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元．旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35人，飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35人，则给予优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅行团的人数最多60人．设旅行团的人数为x 人，飞机票价格为y 元，旅行社的利润为Q 元．（1）写出飞机票价格y 元与旅行团人数x 之间的函数关系式； （2）当旅行团的人数x 为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润．【答案】解：（1）依题意得，()()8001351011503560x x y x x x ⎧∈⎪=⎨-+<∈⎪⎩N N ≤≤且≤且 （2）设利润为Q ，则15000Q y x =⋅-=()()280015000135101150150003560x x x x x x x ⎧-∈⎪⎨-+-<∈⎪⎩N N ≤≤且≤且 当135x ≤≤且x ∈N 时，max 800351500013000Q =⨯-= 当3560x <≤且x ∈N 时，2max115361251022Q x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭∴57x =或58时，可获最大利润为18060元．19．（本小题满分16分）已知圆22:4O x y +=与坐标轴交于1212A A B B 、、、（如图）．（1）点Q 是圆O 上除12A A 、外的任意点（如图1），12AQ Q A 、与直线30y +=交于不同的两点,M N ，求MN 的最小值；（2）点P 是圆O 上除1212A A B B 、、、外的任意点（如图2），直线2B P 交x 轴于点F ，直线12A B 交2A P 于点E ．设2A P 的斜率为,k EF 的斜率为m ，求证：2m k -为定值．【答案】（1）2；（2）证明见解析．【解析】（1）由题设可以得到直线2A Q 的方程为()2y k x =-，直线1AQ 的方程为()12,0y x k k=-+≠， 由()2 30y k x y =-+=⎧⎨⎩，解得32 3x k y =-=-⎧⎪⎨⎪⎩；由()12 30y x k y =-++=⎧⎪⎨⎪⎩，解得32 3x k y =-=-⎧⎨⎩． 所以，直线2A Q 与直线30y +=的交点32,3M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线1AQ 与直线30y +=的交点()32,3N k --，所以3|34|MN k k=+-． 当0k >时，3|34|642MN k k =+--=≥，等号成立的条件是1k =． 当0k <时，()3|34||46|10MN k k=+---=≥，等号成立的条件是1k =-．故线段MN 长的最小值是2．（2）由题意可知()()()()12122,0,2,0,0,2,0,2A A B B --，2A P 的斜率为,k∴直线2A P 的方程为()2y k x =-，由()222 4y k x x y =-+=⎧⎨⎩，得222224,11k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 则直线2B P 的方程为121k y x k +=-+-，令0y =，则()211k x k -=+，即()21,01k F k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭， 直线12A B 的方程为20x y -+=，由()20 2x y y k x -+==-⎧⎨⎩，解得222241, ,4111k x k k k E k k k y k +⎧=⎪+⎪⎛⎫-∴⎨ ⎪--⎝⎭⎪=⎪-⎩， EF ∴的斜率()4111,22121222211kk k k m m k k k k k k ++-==∴-=⋅-=-+--+（定值）． 20．（本小题满分16分）已知函数()ln 1af x x x=+-的图象与x 轴相切．（1）求a 的值； （2）求证：()()21x f x x-≤；（3）若1x <<()211log 2b x b x -->．【答案】解：（1）设切点()0,0x ，则()()0000f x f x =⎧⎪⎨'=⎪⎩即00200ln 1010a x x a x x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩∴01a x ==（2）∵()1ln 1f x x x =+-，()()21x f x x -≤等价于ln 1x x -≤设()ln 1h x x x =-+，则()11h x x'=-，当01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，∴()()10h x h =≤，即ln 1x x -≤，得证．（3）设()()211log 2b x g x b x -=--，()()2ln 11ln ln b x b b g x x x b x b-+--'=-=， 由()0g x '=，得0x =2）可得，当1x >时，ln 1x x <-，即11ln x x->； 以1x 代换x 可得1ln 1x x <-，有1ln x x x ->，即1ln x x x-<，∴当1b >时，有01x <<当01x x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增；当0x x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减， 又∵()10g g==，所以()0g x >，即()211log 2b x b x -->。
广东省百校联盟2018届高三第二次联考数学文试题(含答案)
广东省百校联盟2018届高三第二次联考数学文试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数23ii -=- （ ） A ．711010i - B ．711010i + C ．171010i + D ．171010i - 2.已知222{|log (31)},{|4}A x y x B y x y ==-=+=，则A B = （ ） A ．1(0,)3 B ．1[2,)3- C ．1(,2]3 D ．1(,2)33. 下表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温()C 的数据一览表.已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（ ）A ．最低温与最高温为正相关B ．每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加C ．月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D ．1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，公差70,7d S <=，且2615a a =-，则11a =（ ）A ．13-B ．14-C ．15-D ．16-5.已知点P 在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上，,A B 分别为双曲线C 的左右顶点，离心率为e ，若ABP ∆为等腰三角形，且顶角为0150 ，则2e = （ ）A ．4+．2 C ．3 D ．36. 设,x y 满足约束条件22026020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则x z y =的取值范围是（ ）A ．[1,4]B ．7[1,]2C ．1[,1]4D ．2[,1]77. 某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为 （ ）A．8+．6+ C．6+ D．8+8. 将曲线1:sin()6C y x π=-上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π个单位长度，得到曲线()2:C y g x =，则()g x 在[,0]π-上的单调递增区间是（ ） A ．5[,]66ππ-- B ．2[,]36ππ-- C ．2[,0]3π- D ．[,]6ππ-- 9. 如图，E 是正方体1111ABCD A BC D -的棱11C D 上的一点（不与端点重合），1//BD 平面1BCE ，则（ ） A ．1//BD CE B ．11AC BD ⊥ C ．112D E EC = D ．11D E EC = 10. 执行如图所示的程序框图，若输入的4t =，则输出的i =（ ）A ．7B ．10C ．13D ．1611. 函数()22x xe ef x x x --=+-的部分图象大致是（ ）12. 已知函数()ln (2)24(0)f x x a x a a =+--+>，若有且只有两个整数12,x x 解使得1()0f x >且2()0f x >，则a 的取值范围是（ ）A ．(ln 3,2)B ．[2ln 3,2)-C ．(0,2ln 3]-D ．(0,2ln 3)-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设平面向量m 与向量n 互相垂直，且2(11,2)m n -=-，若5m = ，则n = ．14.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为2864,16,24q a a a a =-=，则q = ．15.若tan()4cos(2),22ππθπθθ-=-<，则tan 2θ= ．16.已知抛物线2:4C y x =的焦点1122,(,),(,)F M x y N x y 是抛物线C 上的两个动点， 若1222x x MN ++=，则MFN ∠的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知223sin 3sin ,2sin sin 2cos A C A A B C==.（1）求A 的大小； （2）求bc的值.18. 唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画，雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已由1300多年的历史，对唐三彩的赋值和仿制工艺，至今也有百余年的历史，某陶瓷厂在生产过程中，对仿制的100件工艺品测得其重量（单位：kg ）数据，将数据分组如下表： （1）在答题卡上完成频率分布表；（2）以表中的频率作为概率，估计重量落在[2.30,2.70]中的概率及重量小于2.45的概率是多少？（3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[2.20,2.30)的中点值是2.25作为代表）据此，估计100个数据的平均值.19. 如图，四边形ABCD 是矩形，3,2,AB BC DE EC PE ===⊥平面,ABCD PE =（1）证明：平面PAC ⊥平面PBE ；（2）设AC 与BE 相交于点F ，点G 在棱PB 上，且CG PB ⊥，求三棱锥F BCG -的体积.20. 已知双曲线221x y -=的焦点是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的顶点，1F 为椭圆C 的左焦点且椭圆C 经过点(22. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右顶点A 作斜率(0)k k <的直线交椭圆C 于另一点B ，连结1BF ，并延长1BF ，交椭圆C 于点M ，当AOB ∆的面积取得最大值时，求ABM ∆的面积.21. 函数()2()xf x ax e a R =-∈ .（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与y 轴垂直，求()y f x =的最大值；（2）若对任意的120x x ≤<，都有2211()(22ln 2)()(22ln 2)f x x f x x +-<+-，求a 的取值 .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos (1sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩为参数），曲线2C 的参数方程为2cos (sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）（1）将1C ，2C 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为(cos 2sin )4ρθθ-=，若1C 上的点P 对应的参数为2πθ=，点Q 上在2C ，点M 为PQ 的中点，求点M 到直线l 距离的最小值.23.已知()223f x x a x a =-+++ .（1）证明：()2f x ≥；（2）若3()32f -<，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: ACBAD 6-10: ACBDD 11、D 12：C 二、填空题13. 5 14. 23π三、解答题17.解：（1）因为23sin 6sin cos ,cos 02222A A A A A ==≠，所以tan 2A =， 所以26A π=，即3A π=. （2）由余弦定理得22222122a b c bc b c bc =+-⨯=+-， 又23sin 2sin sin cos C A B C =，所以2222322c a b c ab ab+-=，即22240a b c +-=，消去a ，得22230b bc c --=，方程两边同时除以2c 得22()30b bcc--=， 则32b c =. 18.解：（1）（2）重量落在[2.30,2.70]中的概率约为0.260.300.280.100.94+++=，或1(0.040.02)0.94-+=，重量小于2.45的概率为10.040.260.300.452++⨯=. （3）这100个数据的平均数为2.250.04 2.350.26 2.450.30 2.550.10 2.750.02 2.47⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19. （1）证明；设BE 交AC 于F ，因为四边形ABCD是矩形，3,2AB BC DE EC ===,所以CE BCCE BC AB==, 又2ABC BCD π∠=∠=，所以,ABC BCE BEC ACB ∆∆∠=∠ ,因为2BEC ACE ACB ACE π∠=∠=∠+∠=,所以AC BE ⊥，又PE ⊥平面ABCD .所以AC PE ⊥，而PE BE E = ，所以平面PAC ⊥平面PBE ；（2）因为PE CE ==，所以3PC ==，又3,BC CG PB =⊥，所以G 为棱PB 的中点，G 到平面ABC的距离等于2PE =， 由（1）知ABF CEF ∆∆ ，所以13EF CE FB AB ==，所以3344BCF BCE S S ∆∆===， 所以.1316F BCG G BCF V V --===20.解：（1）由已知221421a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得1a b ==，所以C 的方程为2212x y +=. （2）由已知结合（1）得1(1,,0)A F -，所以设直线:(AB y k x =，联立2212x y +=，得2222(12)420k x x k +-+-=，得222()1212B k k -++，21122,(0)12212()(2)AOB B k S OA y k k k k ∆-====<+-+-当且仅当12k k -=-，即k =时，AOB ∆的面积取得最大值，所以2k =-，此时(0,1)B ， 所以直线1:1BF y x =+，联立2212x y +=，解得41(,)33M --，所以BM =，点A 到直线1:1BF y x =+的距离为12d =+所以112(11)223ABM S BM d ∆=⨯==. 21.解：（1）由()2x f x ax e '=-，得()120,2ef e a '=-==， 令()()2xg x f x ax e '==-，则()2xg x a e '=-，可知函数()g x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 所以()()max 10f x f ''==.（2）由题意可知函数()()2(22ln2)(22ln2)xh x f x x ax x e =+-=+--在[0,)+∞上单调递减，从而()2(22ln2)0xh x ax e '=+--≤在[0,)+∞上恒成立，令()2(22ln 2)xF x ax e =+--，则()2xF x a e '=-，当12a ≤时，()0F x '≤，所以函数()F x 在[0,)+∞上单调递减，则()max (0)12ln 20F x F ==-<，当12a >时，()20xF x a e '=-=，得ln 2x a =，所以函数()F x 在[0,ln 2)a 上单调递增，在(ln 2,)a +∞上单调递减，则()max (ln 2)2ln 222ln 220F x F a a a a ==+--≤，即2ln 222ln 22a a a -≤-，通过求函数ln y x x x =-的导数可知它在[1,)+∞上单调递增，故112a <≤， 综上，实数a 的取值范围是(,1]-∞.22.解：（1）1C 的普通方程为22(1)1x y +-=， 它表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆，2C 的普通方程为2214x y +=，它表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆.（2）由已知得(0,2)P ，设(2cos ,sin )Q θθ，则1(cos ,1sin )2M θθ+， 直线:240l x y --=，点M 到直线l的距离为d ==，所以d ≤=，即M 到直线l. 23.（1）证明：因为()222323f x x a x a x a x a =-+++≥++-+而2222323(1)22x a x a a a a ++-+=++=++≥，所以()2f x ≥.（2）因为222323,3334()232222,4a a a f a a a a a ⎧++≥-⎪⎪-=+++=⎨⎪-<-⎪⎩ ，所以234233a a a ⎧≥-⎪⎨⎪++<⎩或23423a a a ⎧<-⎪⎨⎪-<⎩， 解得10a -<<，所以a 的取值范围是(1,0)-.。
2018届金太阳好教育高三第三次模拟考试仿真卷文科数学(A)(解析版附后)
2018届金太阳好教育高三第三次模拟考试仿真卷文科数学（A）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·乌鲁木齐二检]为虚数单位，则复数（）A．B．C．D．2．[2018·人大附中]已知集合，，那么（）A．B．C．D．3．[2018·安庆二模]中人民银行发行了2018中国皮(狗)年金银纪念币一套，如图所示是一枚3克圆形金质纪念币，直径18，小米同学为了算图中饰狗的面积，他用1枚针向纪念币上投那500次，其中针尖恰有150次落在装饰狗的身体上，据此可估计装饰狗的面积大约是A．B．C．D．4．[2018·南康中学]在中，角，，所对应的边分别为，，．若角，，依次成等差数列，且，．则（）A．B．C．D．5．[2018·新乡二模]如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．7 B．6 C．5 D．46．[2018·榆林二模]已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足，则的最大值是（）A．1 B．C．D．7．[2018·太原三模]已知实数，满足条件，则的最小值为（）A．B．C．D．8．[2018·乌鲁木齐二模]已知函数，将的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象经过点，则函数（）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上有最大值D．在区间上有最小值9．[2018·新乡二模]我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今合买好、坏田1顷，价值10000钱．问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中的单位为钱，则输出的，分别为此题中好、坏田的亩数的是（）A．B．C．D．10．[2018·济南一模]函数的图象大致为（）A．B．C．D．11．[2018·贺州调研]已知底面半径为1的圆锥的底面圆周和顶点都在表面积为的球面上，则该圆锥的体积为（）A ．B ．C ．D ．或12．[2018·湖北联考]已知点是抛物线的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心离为（ ） A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．[2018·郑州毕业]已知，，，若与平行，则__________．14．[2018·朝阳一模]已知点，若点是圆上的动点，则面积的最小值为__________．15．[2018·石嘴山三中]_____________．16．[2018·滁州毕业]设函数，是整数集．给出以下四个命题：①；②是上的偶函数；③若，则；④是周期函数，且最小正周期是．请写出所有正确命题的序号__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．2F ()1,0=b ()1,2=-c ()0,2B17．[2018·黔东南州二模]已知数列的前项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式； （2）令，记数列的前项和为，证明：．18．[2018·三湘名校]《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；（2）预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；（3）若从表中3、4月份分别抽取4人和2人，然后再从中任选2人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率． 参考公式：，．19．[2018·玉山一中]如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，且平面，，且．（1）证明：平面平面； （2）若，求点到平面的距离． n *n N20．[2018·厦门质检]设为坐标原点，椭圆的左焦点为，离心率为．直线与交于，两点，的中点为，． （1）求椭圆的方程；（2）设点，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．21．[2018·北京理工附中]已知函数．（1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，求函数在区间上的最小值．（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．[2018·太原模拟]在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．O ()2222:10x y C a b a b+=>>F 5():0l y kx m m =+>C A B AF M 5OM MF +=C ()0,1P 4PA PB ⋅=-l xOy 1C (),1P a 1x a y ==+⎧⎪⎨⎪⎩t a ∈R O x 2C 2cos 4cos 0ρθθρ+-=（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）求已知曲线和曲线交于，两点，且，求实数的值．23．[2018·江西六校联考]选修4-5：不等式选讲 已知，使不等式成立．（1）求满足条件的实数的集合；（2）若，对，不等式恒成立，求的最小值．2018届好教育云平台高三第三次模拟考试仿真卷文科数学（A ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
高三数学-【数学】广东六校2018届高三2018月联考(文) 精品
2018届六校（惠州一中、珠海一中、东莞中学、中山纪念中学、深圳实验中学、广州二中）高三联合考试试卷（文）命题：广州二中 2018.12.23本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
一、选择题:(每小题5分，共50分)1．若A=04|{2<-x x x }，B={0，1，2，3}，则AB =A ． {0，1，2，3} B.{1，2，3} C.{1，2，3，4} D. {0，1，2，3，4} 2. 已知平面向量(3,1),(,3)a b x ==-，且a b ⊥，则x = A ．3-B.1-C.1D. 33. 等比数列}{n a 中,已知4,242==a a ,则=6aA. 6B. 8C. 10D. 16 4. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是 A. 3y x = B. cos y x = C. x y tan = D . ln y x = 5.在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则B sin = A.33 B. 33±C. D. 36± 6、已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则椭圆的离心率等于（ ）． A ．31 B ．32 C ．322 D ．310 7. 已知2z x y =-，式中变量x ，y 满足约束条件,1,2,y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z 的最大值为___________.A. 0B.5C.6D. 108．为了了解某地区学生的身体情况，抽查了该地区100名年龄为高三男生体重（kg ），得到频率分布直方图如下图，根据上图可得这100名学生中体重在［56.5，64.5］的学生人数是（ ） A ．20 B ．30C ．40D ．509. 方程 03log 3=-+x x 的解所在的区间是（ ）A ． （0,1） B. (1,2) C.(2,3) D. (3,4) 10、已知过点（1，2）的二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，给出下列论断：①0>abc ，②0<+-c b a ,③1<b ， ④21>a 其中正确论断是（ ） A ． ①③ B. ②④ C. ②③ D. ②③④二、填空题：（每小题5分，共30分，把正确答案填写在答卷相应地方上）11. 已知}{n a 是等差数列，12,3432=+=a a a ，则}{n a 的前n 项和n S =______12. 图中的三个直角三角形是一个体积为320cm的几何体的三视图，则h=_________cm13. 如下图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x =________。
2018届高三好金太阳内部特供卷高三文科数学(二)解析版
2018届高三好金太阳内部特供卷高三文科数学（二）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|9P x x =≥，{}|2Q x x =>，则P Q = （ ） A ．{}|3x x ≥ B ．{}|2x x >C ．{}|23x x <<D ．{}|23x x <≤【答案】A【解析】由题意得：{}|33P x x x =-≤或≥，{}|2Q x x =>，∴{}|3P Q x x = ≥． 2．复数()()3i 2i 5--的实部是（ ）A ．iB ．i -C ．1D ．1-【答案】C【解析】()()3i 2i 5--=265i i 55i1i 55-+-==-实部为1，故选C ． 3．11cos3π=（ ）A B ．C ．12-D ．12【答案】D【解析】11cos3π=π1cos 32⎛⎫-= ⎪⎝⎭，选D ． 4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）AB C D【答案】B【解析】由三视图易知该几何体为三棱锥．该几何体的体积1111326V ⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭． 5．已知()y f x x =+是偶函数，且()21f =，则()2f -=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【解析】∵()y f x x =+是偶函数，∴()()f x x f x x +=--， 当2x =时，()()2222f f +=--，又()21f =，∴()25f -=，6．已知直线经过点()2,5P -，且斜率为34-，则直线l 的方程为（ ）A ．34140x y +-=B ．34140x y -+=C ．43140x y +-=D ．43140x y -+=【答案】A【解析】直线l 经过点()2,5P -，且斜率为34-，则()3524y x -=-+即34140x y +-=，故选A ．7．由函数cos 2y x =的图象，变换得到函数πcos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，这个变换可以是（ ）A ．向左平移π6B ．向右平移π6C ．向左平移π3D ．向右平移π3【答案】B【解析】由函数cos 2y x =的图象，变换得到函数πcos 26y x ⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象向右平移π6．8．在ABC △中，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC △是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【解析】由正弦定理得::2:3:4a b c =，设2,3,4a m b m c m ===，则由余弦定理得22249161cos 022234a b c C ab +-+-===-<⨯⨯，C ∴为钝角，即ABC △是钝角三角形，选B ．9．若2a b c === ，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅- ≤，则a b c +- 的取值范围是（ ）A ．0,2⎡⎤⎣⎦B ．[]0,2C ．2,2⎡⎤⎣⎦ D ．2,2⎡⎤⎣⎦【答案】D 【解析】如图所示：OA a = ，OB b = ，OC c = ，OD a b =+， ∵()()0a c b c -⋅-≤，∴点C 在劣弧AB 上运动，a b c +-表示C 、D 两点间的距离CD ，CD 的最大值是2BD =，CD 的最小值是22OD -=．10．已知函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C①图象C 关于直线1112x π=对称； ②函数在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；③把3sin2y x =的图象向右平移3π个单位可得到图象C ．以上三个论断中，正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】因为①图象C 关于直线1112x =π对称；代入可知函数达到最值，成立．②函数()f x 在区间51212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内是增函数；符合题意．由3sin2y x =的图象向右平移6π个单位长度可以得到图象C ，∴③不成立，舍去． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．点()1,1P -到直线10x y -+=的距离是__________．【答案】【解析】点()1,1P -到直线10x y -+==． ．12．一个口袋中装有大小相同的2个黑球和3个红球，从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是______；若X 表示摸出黑球的个数，则EX =______．【答案】35，45【解析】从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是112325C C 63C 105P ⋅===； X 可取：0，1，2；()2325C 30C 10P X ===，()112325C C 61C 10P X ⋅===，()2225C 12C 10P X ===， 36140121010105EX =⨯+⨯+⨯=． 13．若()22A ，，()0B a ，，()0C b ，（0ab ≠）三点共线，．【解析】因为()0B a ，，()0C b ，（0ab ≠）所以直线BC 过()22A ，，14．设函数()31,12,1x x x f x x -<⎧=⎨⎩≥，则23f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________；若()()1f f a =，则实数a 的值为________．【答案】2，59【解析】∵函数()31,12,1x x x f x x -<⎧=⎨⎩≥，∴22113f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴()2 123f f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 由()()1f f a =，可知： 当23a <时，()()1313311f a a =-=--，解得59a =． 当1a ≥时，21a ＞，()1f f a ⎡⎤=⎣⎦，不成立；当213a <≤时，()1f f a ⎡⎤=⎣⎦，3121a -=，解得13a =（舍去）． 综上59a =．15．若非零向量,a b满足a =，且()()32a b a b -⊥+ ，则向量a 与b 的夹角为____．【答案】π4【解析】∵()()32a b a b -⊥+ ，∴()()320a b a b -+=，即22320a b a b --⋅= ，即2222323a b a b b ⋅=-= ，∴22cos ,ba b a b a b⋅<>===即π,4a b <>=．16．若正实数,m n 满足26m n mn ++=，则mn 的最小值是_________． 【答案】18【解析】由正实数,m n 满足26m n mn ++=可得626m n mn ++=≤，即6mn ≤t =，2262t t +≤，即24120t t--≥，解得：()26t t-≤舍，或≥，618mn，≥，∴mn的最小值是18．17．当13x≤≤时，3221ma b a b a xx⎛⎫+--⋅++⎪⎝⎭≤对任意实数,a b都成立，则实数m的取值范围是_________．【答案】94m≥【解析】当0a=时，不等式显然成立；当0a≠时，22311b b mxa a x+--++≤，而222231314b b b ba a a a⎛⎫⎛⎫+--++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤，∴14mxx++≥，即23m x x-≥，当13x≤≤时，239933244x x-⨯-=≤，∴94m≥．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（10分）已知α为第二象限的角，，β为第三象限的角，（1）求()tan+αβ的值；（2【答案】（12）0【解析】（1）∵α在第二象限，（2）因为β为第三象限的角，19．（本题15分）已知函数()21ln 2f x x a x =-，()a ∈R ． （1）若()y f x =在2x =处的切线方程为y x b =+，求,a b 的值； （2）若()f x 在()1,+∞上为增函数，求a 得取值范围．【答案】（1）22ln 2a b =⎧⎨=-⎩；（2）1a ≤．【解析】（1）因为()()0af x x x x'=->，又()f x 在2x =处的切线方程为y x b =+， 所以2ln 22212a ba-=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，所以22ln 2a b =⎧⎨=-⎩． （2）因为()f x 在()1,+∞上为增函数，所以()0af x x x'=-≥在()1,+∞上恒成立．即2a x ≤在()1,+∞上恒成立，所以有1a ≤．20．（本题15分）在ABC △中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a b c ，，，且()223a c b ac +=+．（1）求角B 的大小；（2）若2b =，且()sin sin 2sin2B C A A +-=，求ABC △的面积． 【答案】（1）3B π=；(2)3【解析】（1）把()223a c b ac +=+整理得，222a c b ac +-=，由余弦定理有2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，∴3B π=． (2)ABC △中，A B C ++=π，即()B A C =π-+，故()sin sin B A C =+， 由已知()sin sin 2sin2B C A A +-=可得()()sin sin 2sin2A C C A A ++-=， ∴sin cos cos sin sin cos cos sin 4sin cos A C A C C A C A A A ++-=， 整理得cos sin 2sin cos A C A A =． 若cos 0A =，则2A π=， 于是由2b =，可得2tan c B ==此时ABC △的面积为12S bc ==若cos 0A ≠，则sin 2sin C A =， 由正弦定理可知，2c a =，代入222a c b ac +-=整理可得234a =，解得a =c =， 此时ABC △的面积为1sin 2S ac B ==． ∴综上所述，ABC △． 21．（本题15分）已知函数()()22211ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程； （2）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值． 【答案】（1）625320x y +-=（2）见解析【解析】（1）当1a =时，()221x f x x =+，此时()()222221x f x x '-=+，所以()6225k f ==-'，又因为切点为42,5⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以切线方程()462525y x -=--， 曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为625320x y +-=． （2）由于0a ≠，所以()()()()()()222222122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛⎫--+ ⎪+--+⎝⎭+'==+ 令()0f x '=，得121,x x a a=-=，当0a >时，则12x x <，易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数，故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =，当0a <时，则12x x >，易得()f x 在区间(),a -∞，1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内为增函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为减函数，故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭； 函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =．22．（本题15分）已知数列{}n x 满足11x =，13n x +=，求证： （1）09n x <<； （2）1n n x x +<；（3）12983n n x -⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭≥．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）（数学归纳法） 当1n =时，因为11x =，所以109x <<成立． 假设当n k =时，09k x <<成立， 则当1n k =+时，13k x +=．因为1330k x +=>≥，且)196230k x +-==<得19k x +<， 所以09n x <<也成立．（2）因为09n x <<，所以)13310n n n x x x +-=-+=->． 所以1n n x x +<．（3）因为09n x <<3n x >．从而12333n n x x +=>+． 所以()12993n n x x +->-，即()12993n n x x +-<-． 所以()112993n n x x -⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤．又11x =，故12983n n x -⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭≥．。
2018年高三最新 广东省六校2018届高三第三次联考数学试题(文科) 精品
广东省六校2018届高三第三次联考东莞中学 中山纪念中学 珠海一中 广州二中 深圳实验中学 惠州一中数学（文科）试卷本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2,1,0=M ，{}M a a x x N ∈==,2，则集合=N M A ．}0{B ．}1,0{C ．}2,1{D ．}2,0{2．设a 是实数，且211i i a +++是实数，则=a A ．21B ．1C ．23D ．23．已知函数)sin(2)(ϕω+=x x f （其中0>ω，2πϕ<）的最小正周期是π，且3)0(=f ，则 A ．21=ω，6πϕ= B ．21=ω，3πϕ=C ．2=ω，6πϕ=D ．2=ω，3πϕ=4．下列四个命题中，真命题的个数为（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； （2）两条直线可以确定一个平面；（3）若α∈M ，β∈M ，l =⋂βα，则l M ∈； （4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内． A ．1B ．2C ．3D ．45．01lg =-xx 有解的区域是A ．(0,1]B ．(1,10]C ．(10,100]D ．(100,)+∞6．已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则)34()34(-+f f 的值为A ．2-B ．1-C ．1D ．27．如右图，一个空间几何体的主视图、左视图是周长为4，一个内角为060的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面 积为A ．2πB ．πC ．23πD ．π28．设)('x f 是函数)(x f 的导函数，将)(x f y =和)('x f y =的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是A ．B ．C ．D ．9．设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF ，则2212221)(e e e e +的值为 A ．21 B ．1 C ．2 D ．不确定10．已知1)1,1(=f ，*),(N n m f ∈（m 、*)N n ∈，且对任意m 、*N n ∈都有： ①2),()1,(+=+n m f n m f ；②)1,(2)1,1(m f m f =+．给出以下三个结论：（1）9)5,1(=f ；（2）16)1,5(=f ；（3）26)6,5(=f ． 其中正确的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，俯视图左视图主视图B二题全答的，只计算前一题得分．11．圆心为)1,1(且与直线4=+y x 相切的圆的方程是_______________． 12．向量、3=5=7=-，则、的夹角为________． 13．数列}{n a 中，n S 是其前n 项和，若12-=n n a S ，则n a = ． 14．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线2)4cos(=-πθρ 与圆2=ρ的公共点个数_____．15．（几何证明选讲选做题）如图所示，等腰三角形ABC 的底边AC 长为6 , 其外接圆的半径长为5, 则三角形ABC 的面积是________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）设集合{}42<=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<=341x x B ． （1）求集合B A ；（2）若不等式022<++b ax x 的解集为B ，求a ，b 的值．17．（本小题满分12分）已知函数x x x f 2sin 21)12(cos )(2++=π． （1）求)(x f 的最值； （2）求)(x f 的单调增区间．18．（本小题满分14分）EDCBAP如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，AD AB ⊥，CD AC ⊥，︒=∠60ABC ，BC AB PA ==，E 是PC 的中点．（1）求证：AE CD ⊥； （2）求证：⊥PD 面ABE ．19．（本小题满分14分）已知抛物线2:ax y C =（a 为非零常数）的焦点为F ，点P 为抛物线C 上一个动点，过点P 且与抛物线C 相切的直线记为L ． （1）求F 的坐标；（2）当点P 在何处时，点F 到直线L 的距离最小？20．（本小题满分14分）数列{}n a 是以a 为首项，q 为公比的等比数列．令n n a a a b ----= 211，n n b b b c ----= 212，*N n ∈．（1）试用a 、q 表示n b 和n c ；（2）若0<a ，0>q 且1≠q ，试比较n c 与1+n c 的大小．21．（本小题满分14分）设函数x b x x f ln )1()(2+-=，其中b 为常数． （1）当21>b 时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （2）若函数()f x 的有极值点，求b 的取值范围及()f x 的极值点； （3）求证对任意不小于3的正整数n ，不等式21ln )1ln(nn n >-+都成立．广东省六校2018届高三第三次联考东莞中学 中山纪念中学 珠海一中 广州二中 深圳实验中学 惠州一中数学（文科）试卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．D2．B3．D4．A5．B6．C7．D8．B9．C10．A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，二题全答的，只计算前一题得分． 11．2)1()1(22=-+-y x12．︒120（或π32）13．12-n 14．1 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）解：{}{}2242<<-=<=x x x x A ，……………………………………………… 3分{}13031341<<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<=x x x x x x x B ，……………………… 3分（1）{}12<<-=∴x x B A ；……………………………………………………. 2分 （2）因为022<++b ax x 的解集为{}13<<-=x x B ，所以13和-为022=++b ax x 的两根，……………………………………… 2分故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-132132b a，所以4=a ，6-=b ．……………………………………. 2分17．（本小题满分12分） 解： x x x f 2sin 21)]62cos(1[21)(+++=π………………………………………… 2分 ]2sin )6sin 2sin 6cos 2(cos 1[21x x x +-+=ππ )2sin 212cos 231(21x x ++=………………………………………… 2分21)32sin(21++=πx ……………………………………………………. 2分 （1）)(x f 的最大值为1、最小值为0；……………………………………………… 2分 （2）)(x f 单调增，故]22,22[32πππππ+-∈+k k x ，…………………………… 2分即)](12,125[Z k k k x ∈+-∈ππππ， 从而)(x f 的单调增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ．…………………… 2分18．（本小题满分14分）（1）证明：⊥PA 底面ABCD ，PA CD ⊥∴又AC CD ⊥，A AC PA =⋂，故⊥CD 面PAC⊆AE 面PAC ，故AE CD ⊥………………………………………………… 4分（2）证明：BC AB PA ==，︒=∠60ABC ，故AC PA =E 是PC 的中点，故PC AE ⊥由（1）知AE CD ⊥，从而⊥AE 面PCD ，故PD AE ⊥易知PD BA ⊥，故⊥PD 面ABE ……………………………………………… 5分 （3）过点A 作PD AF ⊥，垂足为F ，连结EF ．由（2）知，⊥AE 面PCD ，故AFE ∠是二面角C PD A --的一个平面角． 设a AC =，则a AE 22=，a AD 32=，a PD 37= 从而a PD AD PA AF 72=⋅=，故414sin ==∠AF AE AFE ．……………… 5分 说明：如学生用向量法解题，则建立坐标系给2分，写出相关点的坐标给2分，第（1）问正确给2分，第（2）问正确给4分，第（3）问正确给4分。
2018年11月29日广东省百校联考文科数学(共41张PPT)
Sn Sn 数列 是首项为1, 公差为1的等差数列, n, n n 即Sn n2 , 得an Sn Sn1 2n 1 ( n ≥ 2)
4
,
D. 2 13
C
4 得b 2,
, a 4, S△ABC
1 1 2 ab sin C 4 b 2, 2 2 2
由余弦定理c2 a2 b2 2ab cos C 10,即c 10,
2a 3c b c 所以 2R 2 5 2sin A 3sin C sin B sin C
作可行域如图所示, 当z 3 x y过点A(4, 2)时, z取得最大值14
15. 已知f ( x ), g ( x )分别是定义在R上的奇函数和偶函数 , 且g (0) 0, 当x ≥ 0时, f ( x ) g( x ) x 2 2 x b(b为
2 x
常数 ), 则f ( 1) g( 1)
3
个单位长度 个单位长度
B . 向右平移 D. 向右平移
3
个单位长度 个单位长度
6
6
y 3 sin 2 x cos 2 x 2cos 2 x 2cos 2 x 3 6
要得到函数y 2cos 2 x , 只需将y 3 sin 2 x cos 2 x的图 象向右平移
二次函数t ( x 2)(6 x )的对称轴为x 4,
)
所以f ( x )在(2, 4)上单调递增, 在(4, 6)上单调递减, A错, C 也错, D显然是错误的.
当x 4时, t有最大值, f ( x)max ln(4 2) ln(6 4) 2ln 2
2018届高三好教育云平台11月份内部特供卷高三文科数学(二)
2018届高三好教育云平台11月份内部特供卷高三文科数学（二）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()()21i 1i z +=-，则z =（ ） A ．2i - B．CD ．1i --【答案】C【解析】()()()()()21i 1i 2i 1i 1i 1i 1i 2z ----===--+-C ．2．已知)1,A =+∞⎡⎣，{}021B x x a =-≤≤，若 A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)1,+∞⎡⎣ B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．)2,3⎡+∞⎢⎣D ．(),1-∞【答案】D【解析】∵)1,A =+∞⎡⎣，{}021B x x a =-≤≤， A B =∅ ，∴211a -<，即1a <， 故选：D ．3．若在()0,π上任取实数x ，则sin x >的概率为（ ） A ．12B C ．14D 【答案】A【解析】∵sin x >，()0,x ∈π，∴,44x π3π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin x >的概率为31442ππ-=π-0，故选：A ．4．已知2sin 16απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23α2π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．12B ．12-CD．【答案】B【解析】∵1sin 62απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴1cos 32απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴21cos 2cos 22cos 13332ααα2πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：B ．5．下列程序框图中，输出的A 的值是（ ）A ．120B ．118C ．121D ．119【答案】D【解析】执行程序：1,1A i ==，11,22113A i ===⨯+，不符合，返回；113,315213A i ===⨯+，不符合，返回； 115,417215A i ===⨯+，不符合，返回； ⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 归纳可得：1,1019A i ==，符合，输出119，故选：D ． 6．已知函数()e e cos x x f x b x -=++，若()13f '=，则()1f '-=（ ） A ．3- B ．1-C ．0D ．3【答案】A【解析】()e e sin x x f x b x -'=--，又()f x '为奇函数，∴()()110f f ''+-=，又()13f '=，∴()13f '-=-，故选：A ．7．若双曲线()22x my m m +=∈R 的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A．y = B．y =C ．13y x =±D．y x = 【答案】D【解析】双曲线方程为：2211y x m+=，0m <，∴21a =，2b m =-，又2c =，∴14m -=，∴3m =-，∴该双曲线的渐近线方程为y x =，故选：D ． 8．已知函数()()4sincos022x x f x ωωω=⋅>在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．30,4⎛⎤⎥⎝⎦C ．[)1,+∞D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】()4sincos2sin 22x xf x x ωωω=⋅=，又函数()f x 在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，∴21234125244ωωωππ⎧⨯⎪⎪⎨ππ⎪⨯π⨯⎪⎩≤≤≤，解得：1324ω≤≤， 故选：D ．9．多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（ ）A ．12B ．72C ．48D ．24【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，该多面体体积为116642432V =⨯⨯⨯⨯=，故选：D ．10．在ABC △中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且22233sin a b c A =+-，则C =（ ）A ．3πB ．6π C ．4π D ．32π 【答案】B【解析】由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，又22233sin a b c A =+-，∴222233sin 2cos b c A b c bc A +-=+-，即22cos 2sin 6b c A A A bc +π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 又222b c b c bc c b +=+≥，2sin 26A π⎛⎫- ⎪⎝⎭≤，∴,62b c A ππ=-=，∴6C π=，故选：B ．11．已知数列{}n a 满足：()112n n n a a a n +-=-≥，n S 为数列{}n a 的前n 项和，，则217S =（ ） A ．21217a a - B ．12217a a -C ．1aD ．2a【答案】C【解析】∵()112n n n a a a n +-=-≥，∴321a a a =-，41a a =-，52a a =-，612a a a =-，71a a =，82a a =，∴数列{}n a 的周期为6，()2173661123456111660S S a a a a a a a a a ⨯+==++++++=⨯+=，故选：C ．12．已知拋物线()220y px p =>的焦点F ，点A 和B 分别为拋物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作拋物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为（ ）ABCD【答案】D【解析】设AF a =，BF b =，连接AF BF 、，由抛物线定义，得AF AQ =，BF BP =，在梯形ABPQ 中，2MN AQ BP a b =+=+．由余弦定理得，222222cos120AB a b ab a b ab =+︒=++﹣，配方得，22AB a b ab =+（）﹣，又∵22a b ab +⎛⎫ ⎪⎝⎭≤，∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +++=+﹣≥﹣，得到)2AB a b +≥．所以()1a b MN AB +=MN ABD ． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知,x y 满足不等式010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥，则2z x y =+的最大值为__________．【答案】2【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由2z x y =+得1122y x z =-+，平移直线1122y x z =-+，由图象可知，当直线1122y x z =-+经过点A 时，直线1122y x z =-+的截距最大，此时z 最大，由010x x y =⎧⎨+-=⎩，即01x y =⎧⎨=⎩，即()0,1A ，此时022z =+=，故答案为：2． 14．已知回归直线的斜率的估计值为12．，样本的中心点为()4,5，则回归直线的方程为__________． 【答案】 1.20.2y x =+【解析】回归直线斜率的估计值为12．，样本点的中心为()4,5，则回归直线方程为()ˆ5 1.24yx -=-，即()ˆ5 1.24y x -=-，故答案为：ˆ 1.20.2y x =+． 15．已知O 为ABC △的外心，2AB = ，4AC =，(),AO x AB y AC x y =+∈R 且42x y +=，则OA =__________．【答案】2【解析】如图，分别取AB ，AC 中点D ，E ，连接OD ，OE ，AO ，O 为ABC △的外心；∴OD AB ⊥，OE AC ⊥；∴由AO xAB yAC =+ 得22AO AB xAB yAB AC AO AC xAB AC yAC⎧⋅=+⋅⎪⎨⎪⋅=⋅+⎩；2416x y AB AC y xAB AC ⎧=+⋅⎪⎨=⋅⎪⎩ ① 8＋ ②； ∵42x y +=；∴①+②得：()2x y AB AC +⋅= ③； 4①+②得：()x y AB AC +⋅=8＋8 ④；∴③④联立得，12x y +=； ∴解4212x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩得，10,2x y ==； ∴12AO AC = ；∴2OA =．故答案为：2．16．已知函数()ln f x x a x =+，若()12121,,12x x x x ⎛⎫∀∈≠ ⎪⎝⎭，()()121211f x f x x x ->-，则正数a 的取值范围是__________． 【答案】3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】0a ＞，()ln f x x a x =+，()10af x x'=+>， ∴()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，不妨设12x x <，则()()120f x f x -<，12110x x ->， ()12121,,12x x x x ⎛⎫∀∈≠ ⎪⎝⎭，()()121211f x f x x x ->-， 即()()211211f x f x x x ->-，∴()()212111f x f x x x +>+，即()()1g x f x x =+在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， ∴()2110a g x x x '=+-≥，即1a x x -≥，又132x x -<，故32a ≥． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，22a =，()2*112n n n S a a n ++=-∈N ． （1）证明：数列{}n a 是等差数列； （2）设()*2n n n a b n =∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）见解析；（2）1222n n nn T +--=． 【解析】（1）当2n ≥时，有2112122n n n n n nS a a S a a ++-⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， ∴22112n n n n n a a a a a ++=--+， ∴()()111n n n n n n a a a a a a +++-+=+， 又∵0n a >，∴11n n a a +-=， 当1n =时，有212222S a a =-=， ∴11a =，∴211d a a =-=，∴数列{}n a 是以11a =为首项，1d =为公差的等差数列．（2）由（1）得n a n =，∴2n n nb =， 则()123123*2222n n n T =+++⋅⋅⋅+，()2311121**22222n n n n nT +-=++⋅⋅⋅++，()()12311111111111122***1122222222212n n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪⎝⎭-=+++⋅⋅⋅+-=-=---得， ∴111222222n n n n nn n T +---=--=．18．（本小题满分12分）某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1个该产品获利润5元，未售出的产品，每个亏损3元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图如图所示．该同学为这个开学季购进了160个该产品，以x （x 100≤≤200，单位：个)表示这个开学季内的市场需求量．（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x 的中位数； （2）根据直方图估计利润不少于640元的概率． 【答案】（1）4603a =；（2）07．． 【解析】（1）设需求量的中位数为a ，则根据直方图知()140,160a ∈， ∴()0.005200.010200.0151400.5a ⨯+⨯+⨯-=，解得：4603a =． （2）设利润不少于640元为事件A ，当160200x ≤≤时，利润为：5160800640⨯=>， 当100160x <≤时，利润为：()531608480x x x -⨯-=-， 由80480640x -≥，解得：140160x <≤，∴根据直方图()P A 的估计值为：()0.0150.01250.0075200.7++⨯=， ∴利润不少于640元的概率为0.7． 19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，4CBA π∠=，4AB ==，,D E 分别为线段,AB BC 的中点，PD AC ⊥，PE BC ⊥．（1）求证：CD ⊥平面PAB ；（2）若F 为PA 上的点，且2PF FA =，3C PEF V -=，求点P 平面ABC 的距离．【答案】（1）见解析；（2）98PD =． 【解析】（1）证明：在ABC △中由余弦定理知：2222cos 8AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯∠=，∴222AB AC BC =+，∴AC BC ⊥．连接DE ，∵,D E 分别是,AB BC 的中点，∴DE AC ∥，∴DE BC ⊥， 又∵,PE BC PE DE E ⊥= ，∴BC ⊥面PDE ， ∴BC PD ⊥，又∵PD AC ⊥，BC AC C = ，∴PD ⊥面ABC ， ∵CD ⊂面ABC ，∴PD CD ⊥，在ABC △中D 是AB 的中点，AC BC =，∴CD AB ⊥， ∵PD AB D = ，,PD AB ⊂面PAB ，∴CD ⊥平面PAB ． （2）由（1）知P 到面ABC 的距离为PD ，由等体积知：2233C PEF F PEC A PEC P AEC V V V V ----===，∵3C PEF V -=2P AEC V -=，∴123AEC PD S ⨯⨯⨯=△∵122AEC S AC AE =⨯⨯=△，1223PD ⨯⨯⨯=∴98PD =．（其它解法算出答案也酌情给分） 20．（本小题满分12分） 已知函数()3ln f x x x =-． （1）证明：()f x 有两个零点； （2）已知1αβ>>，若0x ∃∈R ，使得()()()0f f f x αβαβ-'=-，试比较αβ+与02x 的大小．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）据题知()()3ln 0f x x x x =->，求导得：()331x f x x x-'=-=，令()0f x '>，有3x >；令()0f x '<，得03x <<， 所以()f x 在()0,3上单调递减，在()3,+∞上单调递增， ∴()()min 333ln30f x f ==-<， 令1x =，有()110f =>； 令2e x =，有()22e e 60f =->，故()f x 在()1,3和()3,e 各有1个零点．∴()f x 有两个零点． （2）由()()()()03ln ln 1f f f x αββααβαβ--'==+--，而612f αβαβ+⎛⎫'=- ⎪+⎝⎭， ∴()()()03ln ln 263ln 2f x f βααβαββαβαβαβααβ--⎡⎤+⎛⎫''-=+=+⎢⎥⎪-+-+⎝⎭⎣⎦， 令t βα=，()()()21ln 011t h t t t t-=+<<+， 则()()()()()()2221111011t t t h t t t t t -+--⎡⎤-⎣⎦'=+=>++， ∴函数()h t 在()0,1上单调递增，故()()10h t h <=．∴()()023ln 02f x f αβαββαβααβ-⎡⎤+⎛⎫''-=+<⎢⎥⎪-+⎝⎭⎣⎦，又∵()31f x x '=-在()1,+∞上是增函数，∴02x αβ+<，即02x αβ<+． 21．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点,,P M N 在椭圆C上，直线MN 过坐标原点O ，若114FM F N +=，14PM PN k k =-． （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆在点P 处的切线记为直线l '，点12,,F F O 在l '上的射影分别为,,A B D ，过P 作l '的垂线交x 轴于点Q ，试问12F A F BOD PQ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）121F A F B OD PQ⋅=．【解析】（1）设(),M m n ，则(),N m n --，∴22221m n a b+=，设()00,P x y ，由0000,PMPN y n y n k k x m x m -+==-+，()2200022000*PM PN y n y n y n k k x m x m x m-+-⋅=⨯=-+-， 将2222002b y b x a =-，22222b n b m a =-代入()*，整体消元得：2214PM PN b k k a ⋅=-=-，∴()2241a b = ，由1142FM F N a +==，()22a = ， 综合()()12得：椭圆C 的方程为：2214x y +=．（2）由（1）知())12,F F ，直线l '的方程为：0014x xy y +=， 即：00440x x y y +-=，所以1F A ==，2F B ==，∴2012201631163x F A F B x -⋅===-． ∵PQ l '⊥，∴PQ 的方程为()00004y y y x x x -=-， 令0y =，可得034x x =，∴03,04x Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则PQ === 又点O 到直线l '的距离为OD =，∴1PO OD ⋅==．∴121F A F B OD PQ⋅=． 当直线l '平行于x 轴时，易知121F A PQ OD F B ====，结论显然成立． 综上，121F A F BOD PQ⋅=． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）(坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为()sin ρθθ+= （1）求C 的极坐标方程；（2）射线11:2OM θθθθπ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求OP OQ ⋅的范围．【答案】（1）2cos ρθ=；（2）06OP OQ <⋅<．【解析】（1）圆C 的普通方程是()2211x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==， 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=．（2）设()11,P ρθ，则有112cos ρθ=，设()21,Q ρθ， 且直线l的方程是()sin ρθθ=2ρ=，所以12102OP OQ ρρθπ⎫⋅=⋅==<<⎪⎭，因为1tan 0θ>，所以06OP OQ <⋅<． 23．（本小题满分10分）(不等式选讲）已知函数()2132f x x x =++-，且不等式()5f x ≤的解集为4355m n x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤（其中,m n ∈R ）． （1）求,m n 的值；（2）若()()2f x x m a a =--∈R 的图象恒在函数()232x ng x +=-的图象上方，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1,2m n ==；（2）(),4-∞．【解析】（1）若12x ≤-，原不等式可化为21325x x ---+≤，解得45x -≥，即4152x --≤≤， 若1223x -<<，原不等式可化为21325x x +-+≤，解得2x -≥，即1223x -<<；若23x ≥，原不等式可化为21325x x ++-≤，解得65x ≤，即2635x ≤≤；综上所述，不等式21325x x ++-≤的解集为46,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以1,2m n ==．（2）由（1）知1,2m n ==，因为()y f x =的图象恒在函数()y g x =的上方，故()()0f x g x ->，所以213a x x <-++对任意x ∈R 成立．设()213h x x x =-++，则()31,35,3131,1x x h x x x x x ---⎧⎪=--<⎨⎪+>⎩≤≤．则()h x 在(),1-∞是减函数，在()1,+∞上是增函数， 所以，当时1x =，()h x 取得最小值4，故4a <时，函数()y f x =的图象恒在函数()y g x =的上方， 即实数a 的取值范围是(),4-∞．【广西桂林市第十八中学2018届高三上学期第三次月考数学（文）试题 用稿】。
2018届广东省百校联盟高三第二次联考数学(文)试题WORD版含解析
2018届广东省百校联盟高三第二次联考数学（文）试题一、单选题1．复数23ii -=-（ ） A.711010i - B. 711010i + C. 171010i + D. 171010i - 【答案】A【解析】由题意得()()()()232713331010i i i i i i i -+-==---+。
选A 。
2．已知(){}2|log 31A x y x ==-， {}22|4B y x y =+=，则A B ⋂=（ ）A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 12,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. 1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,23⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】因为(){}2|l o g31A x y x ==- 1,,3⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭{}22|4B y x y =+=[]12,2,,23A B ⎛⎤=-∴⋂= ⎥⎝⎦，故选C.3．下表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温()C的数据一览表.已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（ ）A. 最低温与最高温为正相关B. 每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加C. 月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D. 1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大 【答案】B【解析】将最高温度、最低温度、温差列表如图，由表格前两行可知最低温大致随最高温增大而增大， A 正确；由表格可知每月最高温与最低温的平均值在前8个月不是逐月增加， B 错；由表格可知，月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月， C 正确；由表格可知1 月至4 月的月温差（最高温减最低温）相对于7 月至10 月，波动性更大，D 正确，故选B.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d <， 77S =，且2615a a ⋅=-，则11a =（ ）A. 13-B. 14-C. 15-D. 16- 【答案】A【解析】74477,1S a a ==∴= ，又()()26442215,0a a a d a d d ⋅=-⋅+=-<，2d ∴=-， 114713a a d =+=-，故选A.5．已知点P 在双曲线C ： 22221x y a b-=（0a >， 0b >）上， A ， B 分别为双曲线C 的左、右顶点，离心率为e ，若ABP ∆为等腰三角形，其顶角为150︒，则2e =（ ）A. 4+B. 2C. 3D.【答案】D【解析】不妨设点P 在第一象限，因为ABP ∆为等腰三角形，其顶角为150︒，则P 的坐标为)()1,a a，代入双曲线C的方程得2222241,1a b e b a +=∴=+=D. 6．设x ， y 满足约束条件220,{260, 20,x y x y y --≤+-≥-≤则xz y=的取值范围是（ ） A. []1,4 B. 71,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 2,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】可行域为如图所示的ABC ∆内部（包括边界），yx表示经过原点O 与可行域的点(),x y连线的斜率，易求得()()114,1,2,2,,1,,144OA OB y A B k k x ⎡⎤==∴∈⎢⎥⎣⎦，从而[]1,4x y ∈，故选A.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）A. 8+B. 6+C. 6+D. 8+【答案】C【解析】 由三视图可知，该几何体为放在正方体的四棱锥E ABCD -，如图，正方体的边长为2，该三棱锥底面为正方形，两个侧面为等腰三角形，面积分别为，另两个侧面为，可得这个几何体的表面积为6+ C. 8．将曲线1C ： sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π个单位长度，得到曲线2C ： ()y g x =，则()g x 在[],0π-上的单调递增区间是（ ） A. 5,66ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B. 2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C. 2,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. ,6ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】将曲线1C ： sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π个单位长度可得()522266g x sin x sin x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令5222262k x k πππππ-≤+≤+，得()236k x k k Z ππππ-≤≤-∈，再令0k =，得236x ππ-≤≤-，则()g x 在[],0π-上的单调递增区间是2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故选B. 9．如图， E 是正方体1111ABCD A BC D -的棱11C D 上的一点（不与端点重合），1//BD 平面1BCE ，则（ ）A. 1//BD CEB. 11AC BD ⊥C. 112D E EC =D. 11D E EC = 【答案】D【解析】设11B C BC O ⋂=，如图， 1//BD 平面1B C E ，平面11BC D ⋂平面11,//,B CE OE BD OE O =∴ 为1BC 的中点， E ∴为11C D 的中点， D ∴正确，由异面直线的定义知1,BD CE 是异面直线，故A 错；在矩形11ABC D 中， 1AC 与1BD 不垂直，故B 错； C 显然是错，故选D.10．执行如图所示的程序框图，若输入的4t =，则输出的i =（ ）A. 7B. 10C. 13D. 16 【答案】D【解析】依次运行程序框图可得：第一次：1不是质数， 0114,4S i =-=-<=； 第二次：4不是质数， 1454,7S i =--=-<=； 第三次：7是质数， 5724,10S i =-+=<=； 第四次：10不是质数， 21084,13S i =-=-<=； 第五次：13不是质数， 81354,16S i =-+=>=。
2018届高三金太阳内部特供卷高三文科数学(一)解析版
2018届高三金太阳内部特供卷高三文科数学（一）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N C M =（ ）A ．{}1,3B ．{}1,5C ．{}3,5D ．{}4,5【答案】C【解析】{}2,3,5U C M =，(){}3,5U N C M =．2．“π3α>”是“sin 2α>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】先看充分性：当π3α>时，比如πα=，此时sin π0=，显然不满足sin α>，充分性不具备；再看必要性：当sin 2α>时，比如3π2α=-，此时3πsin 12⎛⎫-= ⎪⎝⎭，但不满足π3α>，必要性不具备；所以“π3α>”是“sin α>”的既不充分也不必要条件．3．已知点()tan ,cos P αα在第三象限，则角α的终边在第几象限（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由点()tan ,cos P αα在第三象限可知tan 0cos 0αα<⎧⎨<⎩，所以角α的终边位置在第二象限．4．设,m n 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若m α，nα则m nB ．若m α，n α则m n ⊥C ．若m α⊥，n α⊥则m nD ．若m α⊥，n α⊥则m n ⊥【答案】C【解析】对于A ，若,,,m n m n αα还可以相交或异面，故A 是错误的； 对于B ，若,,,m n m n αα可以是平行的，故B 是错误的； 对于C ，若,m n αα⊥⊥则m n ，显然C 是正确的； 对于D ，若,m n αα⊥⊥则mn ，显然D 是错误的．5．已知α是第一象限角，3tan 4α=，则sin α等于（ ） A ．45B ．35C ．45-D ．35-【答案】B 【解析】3tan 4α=222sin 39,sin cos 1sin cos 425ααααα⇒=+=∴=α是第一象限角，3sin 5α∴=，选B ．6．等差数列{}n a 中13a =，12321a a a ++=，则345a a a ++=（ ） A ．45 B ．42C ．21D ．84【答案】A【解析】由题意得：1232321a a a a ++==，27a =，故214d a a =-=，()3451236212445a a a a a a d ++=+++=+=．7．函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则（ ）A ．2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由图得2π2,π,22362T A T T ωπππ⎛⎫==--=⇒=== ⎪⎝⎭，由πs i n 213ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭得()()2πππ2π2π326k k k k ϕϕ+=+∈∴=-+∈Z Z ，因此2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，选A ．8．若不等式组033x y x y x y a ->⎧⎪+<⎨⎪+>⎩表示一个三角形内部的区域，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】x y a +>表示直线的右上方，若构成三角形，点A 在x y a +=的右上方即可．又3344A ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以3344a +>，即32a <．9．函数2sin cos y x x =++的最大值是（ ） A2 B2 C．2D．2-【答案】B【解析】2sin cosy x x =++=24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭2，故选B 10．已知12,F F 为椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1245F PF ∠=︒，则该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（ ）A．4B．2C ．1 D【答案】B【解析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义：1212PF PF a =+，1222PF PF a =-， ∴121PF a a +=，122PF a a -=，设122F F c =，1245F PF ∠=︒，在12PF F △中由余弦定理得，()()()()2221212121242cos 45c a a a a a a a a +-=++︒-﹣，化简得：((22221224a a c ++=，即2212224e e +=，又∵2212121222e e e e e e ⋅+=⋅+≥，∴124e e ⋅≤，即122e e ⋅，．11．已知圆1C ：22(1)(1)1x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ） A ．()()22221x y ++-=B ．()()22221x y -++= C ．()()22221x y +++=D ．()()22221x y -+-=【答案】B【解析】圆1C ：()()22111x y ++-=，圆心1,1-（）为半径为1，因为圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则先找1,1-（）关于直线10x y --=的对称点，为（2，-2），所以圆2C 的圆心为（2，-2），半径为1，所以圆2C 为()()22221x y -++=，故选B ．12．已知()()()21001x x f x x ⎧--⎪=<，≤≤≤，则下列函数的图象错误的是（ ）A ．()1y f x =-的图象B ．()y f x =-的图象C ．()y f x =的图象D ．()y f x =的图象 【答案】D【解析】()()()21001x x f x x ⎧--⎪=<，≤≤≤的图象为，()1f x -的图象是()f x 的图象向右平移1个单位得到的，A 对；()f x -与()f x 关于y 轴对称，B 对；()f x 即为()f x 的图象，C 对；0x ≥，()001x f x x =⎧∴=<，≤图象为，D 错；故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若复数43i z =+，其中i 是虚数单位，则z =______；2z =______． 【答案】5，724i +【解析】∵复数43i z =+，∴5z ==，()2243i 1624i 9724i z =+=+-=+14．函数()()sin f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）的部分图象如图【解析】（k ∈Z ），即（k ∈Z ），15．若正实数,m n 满足26m n mn ++=，则mn 的最小值是_________． 【答案】18【解析】由正实数,m n 满足26m n mn ++=可得626m n mn ++=≤，即6mn ≤t =，2262t t +≤，即24120t t --≥，解得：()26t t -≤舍，或≥， 618mn ，≥，∴mn 的最小值是18．16．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图象分别交于,M N 两点，__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题14分）在ABC △中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，已知()c o s 23c o s 1A B C -+=． （1）求角A 的值；（2）若2a =，求b c +得取值范围． 【答案】（1）π3A =；（2）24b c <+≤．【解析】（1）由()cos23cos 1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=，即()()2cos 1cos 20A A -+=，解得1cos 2()2A =-或舍．因为0πA <<，所以π3A =．（2）∵2222cos b c bc A a +-⋅=，π2,3a A ==，∴224b c bc +-=，∴()234b c bc +-=，∵22b c bc +⎛⎫⎪⎝⎭≤，∴()()2234344b c bc b c +=+++≤， ∴()2164b c b c +⇒+≤≤，又∵2b c +>，∴24b c <+≤．18．（12分）已知直线1:230l x y -+=与直线2:2380l x y +-=，Q 为它们的交点，点()04P ，为平面内一点．求： （1）过点P 且与1l 平行的直线方程；（2）过Q 点的直线，且P 到它的距离为2的直线方程． 【答案】（1）280x y -+=（2）2y =或∴280y x -=- ∴280x y -+=（2）2302380x y x y -+=+-=⎧⎨⎩∴12x y =⎧⎨=⎩，()12Q ， 当斜率不存在，则方程为1x =，不合题意，舍去 当斜率存在，设方程()21y k x -=-， 而20kx y k -+-=，∴224444k k k ++=+，234k k =，∴0k =或 ∴方程为2y =或 19．（12分）如图，已知抛物线2x y =，过直线1:4l y =-上任一点M 作抛物线的两条切线,MA MB ，切点分别为,A B ． （1）求证：MA MB ⊥； （2）求MAB △面积的最小值．【答案】（1）见解析；（2）MAB △面积取最小值14．【解析】（1）设01,4M x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,MA MB 的斜率分别为12,k k ，过点M 的切线方程为()014y k x x +=-， 由()0214y k x x x y ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩，得2104x kx kx -++=，20410k kx ∆=--=， 所以121k k =-，所以MA MB ⊥．（2）由（1）得221122,,,2424k k k k A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，121201,4k k k k x =-+=，()()332222121212111,444k kMA y y MBk k++ =-=+==，所以()()()3322222121221211211221632MABk k k kS MA MBk k⎡⎤++++⎣⎦=⋅==△()()()3332222200421244413232324x x⎡⎤⎡⎤-⨯-++⎣⎦⎣⎦===≥，综上，当x=时，MAB△面积取最小值14．20．（12分）在ABC△中，A∠，B∠，C∠的对边分别为a b c，，，若()cos2cosb C ac B=-，（1）求B∠的大小；（2）若b=4a c+=，求,a c的值．【答案】（1）3Bπ=（2）1a=，3c=或3a=，1c=【解析】解：（1）由已知得sin cos2sin cos sin cosB C A B C B=⋅-⋅∴()sin2sin cosB C A B+=⋅∵B C A+=π-∴sin2sin cosA A B=⋅∵(),0,A B∈π∴1cos2B=，3Bπ=（2）∵2222cosb ac ac B=+-即()273a c ac=+-∴31679ac=-=∴3ac=∵4a c +=∴1a =，3c =或3a =，1c =21．（12分）如图，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，E 为CD 的中点，60ABC ∠=︒．（1）求证：直线AE ⊥平面PAB ；（2）求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）7． 【解析】（1）证明：∵60ADE ABC ∠=∠=︒，12ED AD ==，， ∴AE CD ⊥，又∵//AB CD ，∴AE AB ⊥， 又∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA AE ⊥，PA AB A =， ∴直线AE ⊥平面PAB ．（2）（方法一）连接PE ，过点A 作AH PE ⊥于H 点． ∵CD EA ⊥，CD PA ⊥，EA PA A =，∴CD ⊥平面PAE ，∴CD AH ⊥．又∵AH PE ⊥，∴AH ⊥平面PCD ．所以AEP ∠为直线AE 与平面PCD 所成的角．在Rt PAE △中，2PA =，AE =sinPA AEP PE ∠===，∴直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值为7， （方法二）如图建立所示的空间直角坐标系A xyz -． ()()()()0,0,2,,,P E C D -． ()()()0,3,0,1,3,2,2,0,0AE PC DC ==-=， 设平面PCD 的法向量(),,n x y z =，032001020PC n x z n DC n x ⎛⎧⎧⋅=-=⎪⇒⇒= ⎨⎨ ⋅==⎪⎩⎩⎝⎭，，， 27cos ,AE nAE n AE n ⋅<>==⋅．∴直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值为．22．（12 （1）求函数()f x 的最小正周期T 及最大值；（2）求函数()f x 的单调递增区间．【答案】（1）T =π，()max 1f x =（2【解析】（1∴T=π，()max1f x=．。
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高三数学考试（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{|321},{|(23)0}≤A x x B x x x =-<=-，则A B =（ ）A ．(1,2]B ．91,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(1,)+∞1．答案：C解析：因为3{|1},02A x x B x x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭≤≤，所以312AB x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭≤．2．已知复数z 满足31i z -=-（i 为虚数单位），则复数z 的模为（ ）A ．2 BC ．5D2．答案：D解析：因为31i 2i z =-+=+，所以z = 3．已知71sin cos ,sin cos 55αααα+=--=，则cos 2α=（ ） A ．725B ．725-C ．1625D ．1625-3．答案：A解析： 227cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )25ααααααα=-=+-=． 4．如图1为某省2018年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误．．的是（ ）A ．2018年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2018年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看，2018年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长 4．答案：D解析：选项A ，B 显然正确；对于选项C ，2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误．5．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若,4,24ABC C a S π===△，则232sin 3sin sin a c bA C B+-=+- （ ）A B ．C ．D ．5．答案：B解析：11,4,sin 42422ABC C a S ab C b π====⨯⨯=△，得b =2222cos 10c a b ab C =+-=，即c =，所以2322sin 3sin sin sin a c b cR A C B C+-===+-6．已知平面向量,a b 满足2,1a b ==，且()()432a b a b -⋅+=，则向量,a b 的夹角θ为（ ） A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 6．答案：D解析：因为()()224343112,2,1a b a b a b a b a b -⋅+=-+⋅===，所以1a b ⋅=-， 由cos 2cos 1a b a b θθ⋅=⋅==-，得1cos 2θ=-，所以23πθ=．7．为了得到2cos 2y x =-的图象，只需把函数2cos2y x x =-的图象（ ）A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度7．答案：D解析：因为2cos 22cos 22cos 236y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要得到函数2cos 2y x =-，只需将2cos2y x x -的图象向右平移6π个单位长度即可． 8．已知函数()ln(2)ln(6)f x x x =-+-，则（ ） A ．()f x 在(2,6)上单调递增 B ．()f x 在(2,6)上的最大值为2ln 2 C ．()f x 在(2,6)上单调递减 D ．()y f x =的图象关于点(4,0)对称8．答案：B解析：()ln(2)ln(6)ln[(2)(6)]f x x x x x =-+-=--，定义域为(2,6)，令(2)(6)t x x =--，则ln y t = ,二次函数(2)(6)t x x =--的对称轴为直线4x =，所以()f x 在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，A 错，C 也错，D 显然是错误的；当4x =时，t 有最大值，所以max ()ln(42)ln(64)2ln 2f x =-+-=，B 正确．9．如图，B 是AC 上一点，分别以,,AB BC AC 为直径作半圆．从B 作BD AC ⊥，与半圆相交于D ．6,AC BD == ）A ．29B ．13C ．49D ．239．答案：C解析：连接,AD CD ，可知ACD △是直角三角形，又BD AC ⊥，所以2BD AB BC =⋅，设(06)AB x x =<<，则有8(6)x x =-，得2x =，所以2,4AB BC ==，由此可得图中阴影部分的面积等于2223122222ππππ⎛⎫⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，故概率241992P ππ==⨯． 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为（ ） ABCD．10．答案：C解析：如图，可知最长的棱为长方体的体对角线AC =最短的棱为1BD =，异面直线AC 与BD 所成的角为ACE ∠，由三视图中的线段长度可得，1,AB BD CE CD AE ===tan ACE ∠=ABCD E11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -， (0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为12,S S ，则12S S =（ ） A ．4 B ．8C．D．11．答案：A 解析：由2ce a==，得2,c a b ==，故线段MN所在直线的方程为)y x a +，又点P 在线段MN上，可设()P m ，其中[,0]m a ∈-，由于12(,0),(,0)F c F c -，即12(2,0),(2,0)F a F a -，得12(2,33),(2,)PF a m m a PF a m =----=-，所以221246PF PF m ma a ⋅=+-223134()44m a a =+-．由于[,0]m a ∈-，可知当34m a =-时，12PF PF ⋅取得最小值，此时P y a =，当0m =时，12PFPF ⋅取得最大值，此时P y ，则214S S ==．12．已知函数cos ,02()1,0π≤x x x f x e x ⎧⎛⎫+⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪->⎩，若()1≥f x ax -恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0,)+∞ B ．[0,]e C ．[0,1] D ．[,)e +∞12．答案：B解析：由题意可以作出函数()y f x =与1y ax =-的图象，如图所示．若不等式()1≥f x ax -恒成立，必有0≤≤a k ，其中k 是1x y e =-过点(0,1)-的切线斜率．设切点为00(,1)xx e -，因为x y e '=，所以000(1)(1)x x e k e x ---==-，解得01x =，所以k e =，故0≤≤a e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点01(,)2P x 在C 上，且34PF =，则p = ． 13．答案：12解析：由焦半径公式，0132224p p PF y =+=+=，解得12p =． 14．已知实数,x y 满足12,3321,14,2y x y x y x ⎧-+⎪⎪--⎨⎪⎪+⎩≥≤≤ 则目标函数3z x y =-+的最大值为 ．14．答案：14解析：作可行域如图所示，由图可知，当3z x y =-+ 过点(4,2)A -时，z 取得最大值14．15．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，()()f x g x -=222x x x b +++（b 为常数），则(1)(1)f g -+-= ．15．答案：4-解析：由()f x 为定义在R 上的奇函数可知(0)0f =，所以0(0)(0)20f g b -=+=，得1b =-， 所以(1)(1)4f g -=，于是(1)(1)(1)(1)[(1)(1)]4f g f g f g -+-=-+=--=-． 16．已知正六棱柱的高为8，侧面积为14，则它的外接球的表面积为 ． 16．答案： 100π解析：设底面正六边形的边长为a ，外接球的半径为r ，则由86144a ⨯=，得3a =，又22283252r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以24100ππS r ==球．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11S =，且对任意正整数n ，都有111n n n S n S S n +++=-+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 17．解析：（1）由11S =，得11a =．……………………………………………………………………1分又对任意正整数n ， 111n n n S n S S n +++=-+都成立，即11(1)(1)(1)n n n S n n n S n S ++++=+-+， 所以1(1)(1)n n nS n S n n +-+=+，所以111n n S Sn n+-=+，………………………………………………3分即数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为公差，1为首项的等差数列．……………………………………………………4分 所以nS n n=，即2n S n =，得121(2)n n n a S S n n -=-=-≥，………………………………………5分 又由11a =，所以21()n a n n N *=-∈．…………………………………………………………………6分 解法2：由1111n n n n S n S S a n ++++=-=+，可得11(1)(1)n n S n n n a ++++=+， 当2n ≥时，(1)n n S n n na +-=，两式相减，得112(1)n n n a n n a na +++=+-，整理得12n n a a +-=， 在111n n S n a n +++=+中，令2n =，得2212Sa +=，即22122a a ++=，解得23a =，212a a ∴-=， 所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，12(1)21n a n n ∴=+-=-．（2）由（1）可得2122n n n na nb -==，……………………………………………………………………7分 所以231135232122222n n nn n T ---=+++++， ①……………………………………………………8分 则234111352321222222n n n n n T +--=+++++， ②……………………………………………………9分 -①②，得2341112222212222222n n n n T +-=+++++-，……………………………………………10分整理得1113221323222222n n n n n n T ++-+=--=-，…………………………………………………………11分所以2332n nn T +=-．……………………………………………………………………………………12分 18．（12分）2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10, 20)，[20, 30)，[30, 40)，[40, 50)，[50, 60)，[60, 70)，[70, 80]后得到如图所示的频率分布直方图． （1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值； （2）（i ）若从样本中年龄在[50, 70)的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；（ii ）已知该小区年龄在[10, 80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．18．解：（1）平均数150.15250.2350.3450.15550.1(6575)0.0537x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯=…2分 前三组的频率之和为0.150.20.30.65++=，故中位数落在第3组，设为x ，则(30)0.030.150.20.5x -⨯++=，解得35x =，即中位数为35．……………………………………4分 （2）（i ）样本中，年龄在[50,70)的人共有400.156⨯=人，其中年龄在[50,60)的有4人，设为,,,a b c d ，年龄在[60,70)的有2人，设为,x y ．………………………………………………………………………6分 则从中选取2人共有如下15个基本事件：(,),(,)(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,)a b a c a d a x a y b c b d b x b y ，(,),(,),(,),(,),(,),(,)c d c x c y d x d y x y ．………………………………………………………………8分至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a x a y b x b y c x c y d x d y x y ．…………………………………………9分记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A ， 故所求概率为93()155P A ==．………………………………………………………………………………10分 （ii ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1(1810)0.0150.88--⨯=，故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为20000.881760⨯=．……………………12分 19．（12分）如图，在五面体ABCDFE 中，底面ABCD 为矩形，//EF AB ，BC FD ⊥，过BC 的平面交棱FD 于P ，交棱FA 于Q ．（1）证明：//PQ 平面ABCD ；（2）若1,1,23CD BE EF EC CD EF BC ⊥====，求五面体ABCDFE 的体积． ABCDEF PQ19．（1）证明：因为底面ABCD 为矩形，所以//AD BC ，又因为AD ⊂平面ADF ，BC ⊄平面ADF ，所以//BC 平面ADF ，……………………………………………………………………………………2分 又因为BC ⊂平面BCPQ ，平面BCPQ平面ADF PQ =，所以//BC PQ ，…………………………4分又因为PQ ⊄平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以//PQ 平面ABCD ．…………………………6分 （2）解：,,CD BE CD CB BE CB B ⊥⊥=，CD ∴⊥平面BCE ，又因为CE ⊂平面BCE ，所以CD CE ⊥；………………………………………………………………………………………………7分因为,,BC CD BC FD CDFD D ⊥⊥=，所以BC ⊥平面CDFE ，所以BC CE ⊥，即,,CD CE CB 两两垂直．………………………………………………………………………………9分 连接,FB FC ，则12,3,(23)123F ABCD CD BC V -===⨯⨯⨯=，……………………………………10分 111311322F BCE V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，…………………………………………………………………………11分15222ABCDFE F ABCD F BCE V V V --=+=+=．…………………………………………………………………12分 ABCDEF P Q20．（12分）已知F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 交C 于,A B 两点，交直线8x =于点M ．判定直线,,PA PM PB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．20．解：（1）因为点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴，所以2c =………………………………………1分由22224914a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，得221612a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，…………………………………………………………………………4分 故椭圆C 的方程为2211612x y +=．…………………………………………………………………………5分 （2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的的方程为(2)y k x =-，令8x =，得M 的坐标为(8,6)k ．……………………………………………………………………6分由2211612(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)1616(3)0k x k x k +-+-=．…………………………………………7分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有221212221616(3),4343k k x x x x k k -+==++．①…………………………8分 设直线,,PA PM PB 的斜率分别为123,,k k k ，从而121231233631,,22822y y k k k k k x x ---====----．……………………………………………………9分 因为直线AB 的方程为(2)y k x =-，所以1122(2),(2)y k x y k x =-=-， 所以12121212121233113222122y y y y k k x x x x x x ⎛⎫--+=+=+-+ ⎪------⎝⎭1212124232()4x x k x x x x +-=-⨯-++． ②……………………………………………………………………10分把①代入②，得2212222216443232116(3)3244343k k k k k k k k k k -++=-⨯=---+++．………………………………11分 又312k k =-，所以1232k k k +=，故直线,,PA PM PB 的斜率成等差数列．…………………………12分21．（12分）设函数22()xx f x e x m=+-．（1）求()f x 的单调区间；（2）若对于任意12,[,](0)x x m m m ∈->，都有12()()1f x f x e --≤，求m 的取值范围．21．解：（1）因为22()xx f x e x m=+-，所以2222()1(1)x xx x f x e e m m '=+-=-+，………………2分所以当(,0)x ∈-∞时，2210,0,()0xxe f x m'-<<<；………………………………………………3分 当(0,)x ∈+∞时，2210,0,()0xxe f x m'->>>．………………………………………………………4分 所以()f x 的单调递减区间是(,0)-∞，单调递增区间是(0,)+∞．……………………………………5分 （2）由（1）知，()f x 在[,0]m -上单调递减，在[0,]m 上单调递增，故()f x 在0x =处取得最小值，且(0)1f =．…………………………………………………………6分 所以对于任意的12,[,]x x m m ∈-，12()()1f x f x e --≤的充要条件为()(0)1()(0)1f m f e f m f e ⎧--⎪⎨---⎪⎩≤≤ ，即11mm e m e e m e -⎧--⎪⎨+-⎪⎩≤≤ ①…………………………………………7分 设函数()t g t e t =-，则()1tg t e '=-．………………………………………………………………8分当0t <时，()0g t '<；当0t >时，()0g t '>，故()g t 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增．………………………………………………9分 又(1)1g e =-，()m g m e m =-，()m g m e m --=+，………………………………………………10分 所以当(0,1]m ∈时，1()(1)1,()(1)11g m g e g m g e e -=---=+<-≤≤，即①式成立，…………11分 综上所述，m 的取值范围是(0,1]．…………………………………………………………………………12分（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos 55sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．M 是曲线1C 上的动点，将线段OM 绕O 点顺时针旋转90︒得到线段ON ，设点N 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线12,C C 的极坐标方程；（2）在（1）的条件下，若射线(0)3πθρ=≥与曲线12,C C 分别交于,A B 两点（除极点外），且有定点(4,0)T ，求TAB △的面积．22．解：（1）由题设，得1C 的直角坐标方程为22(5)25x y +-=，即22100x y y +-=，…………2分故1C 的极坐标方程为210sin 0ρρθ-=，即10sin ρθ=．………………………………………………3分 设点(,)(0)N ρθρ≠，则由已知得,2M πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入1C 的极坐标方程得10sin()2πρθ=+，即10cos (0)ρθρ=≠．……………………………………………………………………………………5分（2）将3πθ=代入12,C C 的极坐标方程得,5,33A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………7分 又因为(4,0)T ，所以1sin 1523TOA S OA OT π=⋅=△，………………………………………………8分 1sin 23TOB S OB OT π=⋅=△，……………………………………………………………………9分所以15TAB TOA TOB S S S =-=-△△△10分23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数()22(0)f x x m x m m =+-->．（1）当12m =时，求不等式1()2f x ≥的解集； （2）对于任意的实数x ，存在实数t ，使得不等式()34f x t t +-<+成立，求实数m 的取值范围．23．解：因为0m >，所以3,()223,3,x m x m f x x m x m x m m x m x m x m --⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-+⎩≤≥．……………………1分（1）当12m =时，31,22111()3,,22231,22x x f x x x x x ⎧--⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-+⎪⎩≤≥ …………………………………………………………2分 所以由1()2f x ≥，可得31,2212x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≥≤或113,221122x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩≥ 或312212x x ⎧-+⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≥ ，…………………………3分 解得1132x <≤或112x ≤≤，………………………………………………………………………………4分 故原不等式的解集为113x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤．………………………………………………………………………5分（2）因为()34()43f x t t f x t t +-<+⇔+--≤， 令()43g t t t =+--，则由题设可得max max ()()≤f x g t ．…………………………………………6分由3,()3,3,x m x m f x x m m x m x m x m --⎧⎪=--<<⎨⎪-+⎩≤≥，得max ()()2f x f m m ==．……………………………………7分 因为43(4)(3)7t t t t +--+--=≤，所以7()7g t -≤≤．……………………………………8分 故max ()7g t =，从而27m <，即72m <，………………………………………………………………9分 又已知0m >，故实数m 的取值范围是70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．…………………………………………………………10分。