第02-2章 角动量和角动量守恒
角动量和角动量守恒定律
恒矢量
M 0
质点或质点系所受对参考点 O 的合外力矩为零 时，质点或系统对该参考点 O 的角动量为一恒矢量 . (1) 不受外力
(2) 力臂 d 0 (3) F // r
3 – 2 角动量 角动量守恒动量守恒。
质点在有心力作用下的运动：r 与 F 同向或
第三章 刚体力学
dp dL F, ? Lrp dt d t dL d dp dr (r p) r p dt dt d t dt dr dL dp v, v p 0 r r F dt dt dt 作用于质点的合力对参考点 O dL 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角 M dt 动量随时间的变化率 .
L mR
2 32 12
2g 12 ( sin ) R
L mR (2g sin )
Lx 、Ly 、Lz 质点对x、y、z 轴的角动量 M y、 M x、 M z 质点对x、y、z 轴的力矩
3 – 2 角动量 角动量守恒定律
第三章 刚体力学
1）求角动量和力矩某一方向的分量的方法
L ( xi yj zk ) ( pxi py j pz k ) M （xi yj zk） （Fxi Fy j Fz k）
rb
通过一点（力心）—— 力对力心的力矩为零。
当力 F 的作用线始终
vb
ra mva rb mvb ra v b va va rb
ra
r
F
3 – 2 角动量 角动量守恒定律
第三章 刚体力学
举例： 将一个质量为m的小球系在轻绳的一端，放在 光滑的水平桌面上，轻绳的另一端从桌面中间的一 光滑小孔穿出。先使小球以一初速度在水平桌面上 作圆周运动，然后向下拉绳。 动画演示：模拟实验
角动量 角动量守恒定律大学物理
对定轴转动的刚体 Miin 0 ，合外力矩
M
Miex
d dt
(
mi
ri
2
)
d(J
dt
)
d( J )
dL
M
dt dt
第3章 守恒定律
12
大学物
理学
第二版
t2 t1
Mdt
L2
L1
t2 t1
Mdt
L2
L1
当转轴给定时，作用在物体上的冲量 矩等于角动量的增量．——定轴转动的角 动量定理
第3章 守恒定律
然长度处以
垂直于弹簧运动，当
弹簧与初始位置垂直时，弹簧长度
v
求此时滑块的速度.
v0
第3章 守恒定律
图 3.4
大学物 理学
第二版
【解】 由角动量和机械能守恒
结论：对于有心力问题，系统对力心处的 角动量守恒.
第3章 守恒定律
大学物
理学
第二版
三、角动量守恒定律的应用
（1）常平架回转仪（陀螺仪） （2）直升飞机尾翼
质点角动量定理的推导
L r p r mv
dL
d
(r
p)
r
dp
dr
p
dt dt dr v，v p 0
dt dL
dt
r
dp
r
F
dt
dt
dt
第3章 守恒定律
4
大学物
理学
第二版
dL
M
dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力 矩，等于质点对该点 O 的角动量随时间的 变化率.
13
大学物
理学
第二版
对定轴转动的刚体，受合外力矩M，
角动量、角动量守恒
T
（3） ）
m, l
联立(1)、(2)、(3)式求解 式求解 联立
mg
1 T = mg 4
例5：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量 ： 可绕中心转动的细杆， 为 M、长为 2l 、可绕中心转动的细杆，有一质 、 量为 m 的小球以速度 v0 与杆的一端发生完全弹 性碰撞， 性碰撞，求小球的反弹速度 v 及杆的转动角速 度ω。 解：在水平面上，碰撞 在水平面上， 过程中系统角动量守恒， 过程中系统角动量守恒，
∆A/ ∆t = 恒 量
两个共轴飞轮转动惯量分别为J 例1：两个共轴飞轮转动惯量分别为 1、J2， 角速度分别为 ω1 、ω2，求两飞轮啮合后共同 啮合过程机械能损失。 的角速度 ω 。啮合过程机械能损失。 J1 J2 解：两飞轮通过摩 擦达到共同速度,合 擦达到共同速度 合 外力矩为0， 外力矩为 ，系统角 动量守恒。 动量守恒。
定义：力对某点 的力矩等于力的作用点 定义：力对某点O的力矩等于力的作用点 的矢量积。 的矢径 r 与力F的矢量积。 v v
v Mo
ϕ
注意： 注意： 1）大小： o = rF sin ϕ ）大小： M v v 的方向 2）方向： × F ）方向： r 3）单位：牛顿米 ）单位： v r 4）当 F ≠ 0 时， ） 有两种情况 Mo = 0 v A） r = 0 ） B）力的方向沿矢径的方向（ sin ϕ = 0） ）力的方向沿矢径的方向（
ω1 L0 = L = C J1ω1 + J2ω2 = (J1 + J2 )ω
ω2
J1ω1 + J2ω2 共同角速度 ω = J1 + J2
啮合过程机械能损失
∆E = E − E0
1 1 1 2 2 2 ∆E = (J1 + J2 )ω − ( J1ω1 + J2ω2 ) 2 2 2 J1ω1 + J2ω2 其中 ω = J1 + J2
角动量 角动量守恒定律
角动量与线动量关系
角动量与线动量的关系
角动量是线动量在物体绕某点或某轴 转动时的表现形式，二者之间存在密 切关系。
动量守恒定律
在不受外力作用的情况下，物体的总 动量（包括线动量和角动量）保持不 变，即动量守恒定律。
02
角动量守恒定律
守恒条件及适用范围
守恒条件
当系统不受外力矩作用时，系统的角动量守恒。即在没有外力矩的情况下，系统内部各部分之间的相 互作用力不会导致系统总角动量的改变。
06
总结与展望
课程内容回顾与总结
角动量的定义与性
质
角动量是物体绕某点或某轴转动 的动量，具有矢量性质，其大小 与物体的质量、速度和转动半径 有关。
角动量守恒定律的
表述
在没有外力矩作用的情况下，系 统内的角动量保持不变，即角动 量守恒。
角动量守恒定律的
应用
角动量守恒定律在天体物理、刚 体转动、分子运动等领域有广泛 应用，如行星运动、陀螺仪工作 原理等。
对未来研究方向的展望
角动量守恒定律在复 杂系统较成熟，但在复 杂系统中的应用还有待深入研究， 如多体问题、非线性问题等。
角动量与其他物理量 的关系研究
角动量与能量、动量等物理量之 间存在一定的联系，未来可以进 一步探讨它们之间的关系，以及 如何利用这些关系解决实际问题。
在机械工程中，飞轮储能系统被应用 于能量回收和节能领域。飞轮储能系 统利用刚体定轴转动的角动量守恒定 律，通过加速和减速飞轮来储存和释 放能量。这种储能方式具有高效率、 环保等优点，在电动汽车、风力发电 等领域具有广阔的应用前景。
04
质点和质点系相对于固定 点角动量守恒
质点相对于固定点角动量定义和性质
双星系统由两颗互相绕转的恒星组成。在双星系统中，两颗恒星的角动量守恒，因此它们的轨道周期、距离和质量之 间存在一定关系。
角动量和角动量守恒
v mv r F r F
O
r
r A
F
dL 质点的角动量定理 M dt
或
Mdt dL Mdt冲量矩
质点对某固定点所受的合外力矩 等于它对该点角动量的时间变化率
t2
t,质点所受的冲量矩等 于质点角动量的增量。
d dt
v
dS
P
r d
dS v dt dv at dt
v v0 at 1 2 S v0t at 2
2 v 2 v0 2aS
O 匀变速定轴转动
d dt
0 t
1 2 0t t 2 2 2 0 2
5.4 刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒 5.4.1 对定轴的力矩和角动量 dLz Mz ? Li dt
A’
刚体的平动和定轴转动
A
A”
B’
B”
刚体所有质元都绕一固定直线做圆周运动, 该固定直 线称为刚体定轴, 这种运动称为刚体的定轴转动 刚体的运动 平动+转动
只研究刚体绕定轴转动
5.3.2 刚体定轴转动的角量描述
1. 角位移 θ : 在 t 时间内刚体转动角度 2.角速度 :
z θ
d lim t 0 t dt
质心相对于 c 的位矢=0
v v v ' ri rc ri ' i c i
0
rc
ri '
ri
mi
L rc Mvc [ri 'mi vi ' ]
i
L rc Mvc [ri 'mi vi ' ]
大学物理 角动量 角动量守恒定律课件
1 2 r gt , p mv mgt 2
r
v
2.4 角动量守恒定律
o
若以O为参考点，质点在任 意时刻的角动量为：
R
A
r
r
v
R
L0 r P ( R r ) p R mgt .
rmgt ; 方向垂直纸面向里
2.4 角动量守恒定律
• 若质点作匀速直线运动，以 O点为参考点，质点的角动 量为：
L0 r mv r mv const
L0 r mv sin r mv
• 注意：对不同的参考点有不同的角动量
开普勒第二定律 对于任一行星，由太阳 到行星的矢径在相等的 时间内扫过相等的面积
2.4 角动量守恒定律
3、质点系的角动量定理及守恒定律
质点系角动量对时间的变化率等 于质点系所受合外力矩，而与内 力矩无关。
写成积分式
dL 即： M 外 dt
L0
t
t0
L Mdt dL L L0 L
t0 L0
L Li ri pi ri mi vi
质点系的角动量守恒
当 M 外 0 时，L 恒矢量
2.4 角动量守恒定律 例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质 量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上), 然后从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求 小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度. 解 小球受重力和支持 力作用, 支持力的力矩为零, 重力矩垂直纸面向里
第二章 动量、角动量守恒-2
( )
' 2
= 0.32 m/ s
(
2
)
2 a' = an + at2 = 0.51 m 2 s
a
an
合加速度的方向与轮缘切线方向夹角
an β = arctan = 38.70 at
6
4、转动动能: 、转动动能
1 2 Ek = mv 2 i 刚体是有许多质点组成的,第 刚体是有许多质点组成的 第
2
2、刚体运动的角量描述: 、刚体运动的角量描述
角位置: 角位置 角位移: 角位移
θ1
θ2
p
'
∆θ = θ2 − θ1
0
∆θ
p
角位移是矢量 角速度: 角速度 平均角速度: 平均角速度 瞬时角速度 角加速度: 角加速度
θ1
x
∆θ ω = = t2 − t1 ∆t
θ2 − θ1
dθ ω= dr t r 2 r dω d θ = 2 α= r
( 2 m 1 + m / 2 )m 2 g T2 = m1 + m 2 + m / 2
(m1 − m2 )g a= m1 +m2 +m / 2
15
2.不计滑轮质量 m=0 不计滑轮质量
T1 =
2 m 2 m1 g + m1 M f / R m1 + m 2
a= (m1 − m2 )g − M f / R m1 +m2
J=
∑
i =1
n
∆mi ri2
如果刚体是连续分布的质点系
J = r dm
2
∫
例1、计算质量为 m , 长为 l 的均匀细杆的转动惯量 、 (1) 假定转轴通过杆中心并与杆垂直 假定转轴通过杆中心并与杆垂直; (2) 假定转轴通过杆的端点与杆垂直。 解: dm = m dx
圆周运动：角动量和角动量守恒
角动量守恒在量子力学和粒子物理学中也有着重要的应用，对于理解微观世界的运动规律具有重要意义。
角动量守恒在未来的发展前景和影响将更加广泛，对于推动科学技术的发展和进步具有重要意义。
如何理解和掌握角动量守恒定律
6
学习角动量守恒定律的方法和技巧ຫໍສະໝຸດ 理解角动量守恒定律的难点和重点
角动量的定义：理解角动量的物理意义和数学表达式
角动量守恒可以帮助我们理解各种旋转运动现象，例如地球自转、陀螺旋转等。
角动量守恒还可以帮助我们解决一些实际问题，例如设计旋转机械、分析旋转物体的稳定性等。
角动量守恒在科技领域的应用价值
光学器件：利用角动量守恒原理，制造出高性能的光学器件，如光纤陀螺仪等
粒子加速器：利用角动量守恒原理，提高粒子加速器的性能和效率
角动量守恒定律
3
角动量守恒的条件
系统不受外力矩作用
系统的角动量守恒定律适用于旋转参考系和惯性参考系
系统的角动量变化率为零
系统内力矩之和为零
角动量守恒的证明方法
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
角动量守恒定律：L=mvr
牛顿第二定律：F=ma
角动量守恒的条件：系统不受外力矩作用
角动量守恒的证明：通过牛顿第二定律和角动量守恒定律，推导出角动量守恒的条件，从而证明角动量守恒定律。
角动量守恒定律：在圆周运动中，角动量保持恒定
角动量的大小：与物体的质量和速度成正比
角动量的变化：在圆周运动中，角动量不会发生变化，除非有外力作用
圆周运动中角动量守恒的证明
角动量守恒定律：在封闭系统中，系统内各物体的角动量之和保持不变
证明过程：假设物体在圆周运动中受到外力作用，根据牛顿第二定律，外力作用在物体上会产生加速度
第2章-2-动量-角动量守恒定律2019
3
4 105
（2）
I
Fdt
00.003
400
4 105 3
t
dt
400t
4105t 2 23
0.003
0.6 N s
0
（3） I mv 0
m I 0.6 0.002kg 2g v 300
2．质点系的动量定理
设有 n 个质点构成一个系统
（2）系统内所有质点的动量都必须对同一个惯性参考 系而言。 （3）若系统所受合外力不为零，但是合外力在某一方 向上的分量为零，则系统在该方向上的总动量守恒。
Fix 0 Px mivix 常量
（4）当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统 的总动量守恒。（如：碰撞，打击，爆炸等过程）
称为“冲量矩”
质点系的角动量定理的推导：
m1
m2
质点系的角动量定理：
质点系对某一参考点的角动量随时间的变化率等于 质点所受的所有外力对同一参考点力矩的矢量和。
质点系角动量定理的积分式：
t2
t1
Mdt
L2
L1
作用于质点系的冲量矩等于质点系在作用时间内
的角动量的增量 。
质点系的z轴的角动量定理：
第 i 个质点： 质量mi
内力 fi
初速度 末速度
外力
vviio
Fi
由质点动量定理：
Fi
i
fi
t
to
Fi
fi
dt mivi
mi vio
t
to Fi fi dt mivi mi vio
角动量 角动量定理
d M (r P) dt
定义： L r P ——角动量
——角动量定理
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–5 角动量 角动量定理
3
作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化率。 此即质点对固定点的角动量定理。
t
t0
Mdt L L0
t
t0
Mdt
叫冲量矩
2–5 角动量 角动量定理
2
2 质点的角动量定理
M r F
dP F dt
dP d dr M r (r P) P dt dt dt
P mv
dr v dt
dL M dt
dr P v mv 0 dt
角动量
1. L r P
L 的方向符合右手法则.
L m vrsin
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
z L mv
r
2–5 角动量 角动量定理
4
2.质点在垂直于 z 轴平面
上以角速度
作半径为 r
的圆运动，相对圆心
z
o r
90
A
L r p r mv
mv0 (m M )v1
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–5 角动量 角动量定理
9
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 1 1 2 2 (m M) v 1 (m M) v 2 k (l l0 ) 2 2 2 2
在由A→B的过程中木块在水平面内只受指向O点的 弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 v2 与OB方向成θ角，则有
角动量定理和角动量守恒定律
角动量定理和角动量守恒定律
角动量定理和角动量守恒定律是描述刚体运动时的两个基本定律。
下面进行简单的介绍：
1. 角动量定理
角动量定理是描述角动量变化的定律。
它表示为：物体所受外力矩等于物体角动量对时间的变化率。
即
I*ω= ΔL/Δt
其中，I 为物体的转动惯量，ω为物体的角速度，L 为物体的角动量。
这个定理表明了一个物体的角动量发生变化时，必定受到了外部的力矩作用，即力矩等于角动量的变化率。
2. 角动量守恒定律
角动量守恒定律是描述角动量不变的定律，即如果没有外部力矩作用，系统的总角动量保持不变。
即：
L = L0
其中，L 为系统的总角动量，L0 为系统在某一时刻的总角动量。
这个定律表明，如果没有外部力矩作用，那么系统的总角动量保持不变。
如果一个物体在自由运动时，角动量发生变化，那么它将会改变自身的旋转状态（比如转速、方向等）。
总之，角动量定理和角动量守恒定律是描述刚体运动和角动量变化的基本定理，可以帮助我们更好地理解物体的运动和变化规律。
《角动量守恒》课件
瓶子里的小球
当一个小球在一个旋转的瓶 子中运动时，由于角动量守 恒，小球的运动轨迹将发生 奇妙的变化。
总结
1 角动量守恒定理在现实生活中的应用
角动量守恒定理在旋转机械、天体运动等方面有广泛的应用。
2 与其他物理量的关系
角动量与动量、力矩等物理量之间存在一定的关系。
3 角动量守恒定理的限制
角动量守恒定理只在没有外力作用时成立。
《角动量守恒》PPT课件
角动量守恒是力学中一个重要的概念。本课件将介绍角动量的基本概念、角 动量守恒定理以及其在物理世界中的应用。
基本概念
1 角动量的定义
2 角动量的单位
பைடு நூலகம்
角动量是物体在旋转时具有的物理量， 它由转动惯量和角速度的乘积组成。
角动量的单位是千克·米²/秒，记作 kg·m²/s。
角动量守恒定理
保持不变。
质点做圆周运动时的角动量 守恒
当质点绕着固定轴作圆周运动时， 它的角动量将保持不变。
实例分析
静止的物体受外力时的 角动量守恒
自转的刚体的角动量守 恒
当一个静止的物体受到外力 作用时，由于其角动量守恒， 它将发生旋转而不是直线运 动。
当一个刚体在自转时，由于 其角动量守恒，刚体的自转 速度将保持不变。
1 定义
角动量守恒定理指的是在没有外力作用下，物体的角动量保持不变。
2 守恒定理的意义
角动量守恒定理说明了物体在旋转过程中的稳定性和不变性。
3 质点系之间的角动量守恒
当质点系内部没有相互作用力时，质点系的总角动量将保持不变。
角动量定理的应用
1
刚体的转动
2
刚体的转动可以通过角动量定理来 解释，刚体在转动过程中其角动量
圆周运动中的动量守恒和角动量守恒定律
圆周运动中的动量守恒和角动量守恒定律在物理学中，圆周运动是指物体沿着一个圆形轨道运动。
当物体进行圆周运动时，存在着动量守恒和角动量守恒的定律。
动量守恒和角动量守恒是物理学中的基本原理之一，也是研究运动规律和力学原理的重要工具。
一、动量守恒定律动量守恒定律是指在没有外力作用的情况下，物体的总动量保持不变。
对于圆周运动而言，动量守恒定律可以适用于各个时刻。
动量是物体的质量乘以速度，即p=mv，其中p表示物体的动量，m 表示物体的质量，v表示物体的速度。
在圆周运动中，物体沿着圆形轨道做运动，速度的方向会不断改变，但动量的大小保持不变。
这是因为当物体在圆周运动中改变速度方向时，速度的变化会导致动量方向的改变，从而使得总动量保持不变。
二、角动量守恒定律角动量守恒定律是指在没有外力矩作用的情况下，物体的总角动量保持不变。
对于圆周运动而言，角动量守恒定律同样适用。
角动量是物体的转动惯量乘以角速度，即L=Iω，其中L表示物体的角动量，I表示物体的转动惯量，ω表示物体的角速度。
在圆周运动中，物体围绕圆心旋转，角速度的大小和方向会随着物体位置的变化而改变，但角动量的大小保持不变。
这是因为当物体在圆周运动中改变角速度时，角速度的变化会导致角动量的方向的改变，从而使得总角动量保持不变。
三、动量守恒和角动量守恒的应用动量守恒和角动量守恒定律在物理学中有着广泛的应用。
在圆周运动中，这两个定律具有重要的意义。
首先，动量守恒定律可以用来分析各个时刻物体的速度和动量之间的关系。
当物体进行圆周运动时，可以根据动量守恒定律计算物体在不同位置处的速度，从而探究物体在圆周运动中的动态变化。
其次，角动量守恒定律可以用来解释物体的稳定性和旋转运动的特点。
在圆周运动中，当物体的角动量守恒时，可以得出物体旋转的稳定性条件，进一步推导出绕心轴转动的物体的运动规律。
此外，动量守恒和角动量守恒还可以应用于机械装置和工程设计中。
通过分析物体在圆周运动中的动力学特性，可以优化设计并提高装置的效率和稳定性。
角动量定理角动量守恒定律
在系统整体上应用牛顿第二定律，得到系统受到的合外力矩为零时 的角动量守恒条件。
推导角动量守恒定律
根据系统总角动量和角动量守恒的条件，推导出角动量守恒定律， 即在合外力矩为零时，系统总角动量保持不变。
推导过程中的注意事项与难点解析
注意事项
在推导过程中，需要注意定义和计算过程中的符号约定，以及正确应用牛顿第二 定律。
角动量定理与守恒定律的适用范围
角动量定理适用于描述物体在受到外 力矩作用下的旋转运动，特别是需要 分析力矩对旋转运动的影响时。
角动量守恒定律适用于描述某些特定 条件下物体的旋转运动，如系统不受 外力矩作用或系统内力的力矩相互抵 消等。
04
角动量定理与守恒定律的 推导过程
角动量定理的推导过程
定义角动量
03
角动量守恒定律则是在一定条件下，物体的角动量保持不变 。
角动量定理与守恒定律的区别
角动量定理是一个运动方程，用于描 述旋转运动的物体在外力矩作用下的 运动规律，而角动量守恒定律则是一 个守恒条件，用于描述某些特定情况 下旋转运动的物体角动量的保持。
VS
角动量定理是一个瞬时规律，关注的 是物体在某一时刻的运动状态，而角 动量守恒定律则是一个时间平均规律， 关注的是物体在一段时间内的平均运 动状态。
矩作用会导致旋转物体角动量的增加或减少。
02
揭示旋转运动的本质
角动量定理阐明了旋转运动的本质特征，即旋转物体的角动量是守恒的，
但可以通过力矩作用进行改变。
03
指导设计旋转机械
角动量定理在旋转机械设计和运行中具有指导意义，例如在电动机、发
电机、陀螺仪等设备的设计中，需要考虑力矩作用和角动量的变化。
角动量守恒定律的物理意义
第02-2章 动量定理简洁版
T 2 0
冲力、 (4) 冲力作用的时间 很短，作用力变化很快，而且往往很大，这种力称 为冲力。 冲力。 将冲量对碰撞作用时间取 平均，则这个平均作用力 称为平均冲力。 称为平均冲力。
用平均冲力表示的动量定理为：
（ ）
例2 ：质量为1吨的蒸汽锤自1.5m高的地方落下，它与 质量为1吨的蒸汽锤自1.5m高的地方落下 高的地方落下， =0.01秒。求 打击的平均冲力。 工件的碰撞时间为t=0.01秒。求：打击的平均冲力。 解：对碰撞过程应用动量定理 m
t0 t0 t0 t0
分量式
t F dt = p − p x 0x ∫t0 x t ∫t Fydt = py − p0 y 0 t F dt = p − p z 0z ∫t0 z
（只取一个方向时，下标可省略） 只取一个方向时，下标可省略）
注意： 注意：
r 是力的积累，是一种过程量； （1）冲量 I 是力的积累，是一种过程量；而动量 r 是一种状态量（瞬时量）。 mv 是一种状态量（瞬时量）。
− ∑ miν iz 0
i
这说明，在任意一时间间隔内， 这说明，在任意一时间间隔内，质点系的总动量在任 一方向上的增量， 一方向上的增量，等于同一时间间隔内所有外力在该方向 上作用于质点系的冲量，而与其他垂直方向上的冲量无关。 上作用于质点系的冲量，而与其他垂直方向上的冲量无关。
质点系动量定理微分形式 质点系动量定理微分形式 积分式
t
∑
n
i =1
v mi vi −
∑
i
n
i =1
v mi vi0
∫ ∑ F dt = ∑ m ν
t0 t ix i iy i t0 t i iz i
i ix
定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律【教学设计思想】通过一个花样滑冰的视频引入新课，提出问题，引发同学思考，并将该问题做为悬念引导学生在接下来的听课中寻找答案。
再详细推导刚体对定轴转动角动量的计算公式，角动量定理，角动量守恒定律，强调角动量守恒定律不仅可适用于刚体，也可以适用于非刚体。
分别介绍了角动量守恒定律在日常生活中的应用，如常平架回转仪，在此处又与课堂开始时的视频相呼应，解释视频中看到的现象。
接下来以两个关于角动量守恒定律的例题加深同学们对该定律的理解，解题过程注意受力分析，强调角动量守恒的适用条件。
最后以一个有趣的例子——猫背对地面从空中下落哪个部分先落地的问题作为结束，激发学生对物理知识的兴趣。
【教学目标】（1）掌握刚体绕定轴转动角动量的计算、角动量定理、角动量守恒定律。
（2）理解角动量守恒定律的适用条件，并学会应用。
【教学重点】(1) 概念：刚体定轴转动的角动量。
(2) 规律：刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律。
【教学难点】角动量守恒定律的应用【教学对象】电子信息科学与技术专业一年级本科生【教材】程守珠《普通物理学》第六版 【教学过程】 知识点复习刚体的定轴转动定律 z M J α=解释每个符号所代表的物理量。
并强调转动惯量J 与质元质量i m ∆以及质元到定轴的距离i r 有关。
新课的引入播放一段关于花样滑冰的视频。
引导学生变观看运动员转速变化与他双臂动作的关系。
设计问题：当运动员双臂展开时，他的转速是怎样的？当运动员收拢双臂时，他的转速又是怎样的?与学生互动，请一个同学回答上述问题。
得到结论：当手臂收拢，运动员转速变快。
当手臂伸展，运动员转速变慢。
反问学生如何解释该现象，留下悬念。
引导学生带着问题学习这堂课的知识。
一、刚体的角动量结合图形复习质点绕定点转动的角动量L r mv =⨯ 提出问题：如果把研究对象换成刚体，它的角动量该如何计算呢？ 以一细棒为模型推导刚体角动量计算公式。
动量和角动量守恒原理
动量和角动量守恒原理一、动量守恒原理动量是描述物体运动状态的物理量，它等于物体的质量乘以速度，用数学公式表示为：动量= 质量× 速度。
动量守恒原理指的是，在一个孤立系统中，系统的总动量在相互作用过程中保持不变。
动量守恒原理可由牛顿第二定律推导得到。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与施加在物体上的合外力成正比，与物体的质量成反比。
当物体的质量不变时，可以得到物体的加速度与物体受到的合力成正比。
根据牛顿第三定律，物体受到的合力等于其他物体对它施加的力的矢量和。
因此，在相互作用过程中，物体受到的合力等于其他物体对它施加的力的矢量和，根据物体的加速度与物体受到的合力成正比的关系，可以得到物体的加速度等于其他物体对它施加的力的矢量和除以物体的质量。
将物体的加速度代入动量的定义式中，可以得到物体的动量在相互作用过程中保持不变。
动量守恒原理在物理学中有广泛的应用。
例如，在碰撞过程中，根据动量守恒原理可以计算物体碰撞前后的速度和质量。
在火箭发射过程中，根据动量守恒原理可以计算火箭推进剂的质量和速度，以及火箭的推力。
在运动中的摩擦力、阻力等问题中，也可以利用动量守恒原理进行分析和计算。
二、角动量守恒原理角动量是描述物体旋转状态的物理量，它等于物体的惯性力矩乘以角速度，用数学公式表示为：角动量= 惯性力矩× 角速度。
角动量守恒原理指的是，在一个孤立系统中，系统的总角动量在相互作用过程中保持不变。
角动量守恒原理可由角动量定理推导得到。
根据角动量定理，物体的角动量的变化率等于物体所受的力矩。
当物体受到的合力矩为零时，物体的角动量保持不变。
在一个孤立系统中，由于没有外力矩的作用，因此系统的总角动量保持不变。
角动量守恒原理同样在物理学中有广泛的应用。
例如，在刚体的旋转运动中，根据角动量守恒原理可以计算刚体旋转的角速度和惯性力矩。
在天体运动中，根据角动量守恒原理可以计算行星的轨道半径和角速度。
在自行车、滑板等运动装置的稳定性问题中，也可以利用角动量守恒原理进行分析和计算。
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系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。 可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。
例：质量为m的质点由A点自由落下，求其运动时 的角动量。 解：
p mv mgt
(1)以A为参考点
o
d
r0
rA
P
A
0 LA rA p rA p sin 0 0
(2)以O为参考点
【小结】几个守恒定律的条件
1. 动量守恒定律： F合 0
（合外力为零或外力远小于内力；质点系）
＝０ 2. 机械能守恒定律： A外＋Ａ 非保内
（合外力作功为零、没有摩擦力；质点系） 3. 角动量守恒定律： ＭO合 0 （对定点的合外力矩为零；质点或质点系）
两人质量相等
既忽略 滑轮质量 终点线
惯性系中某给定参考点
将
对时间求导
某给定 参考点
内 内 外 外
得
质点系的角动量 的时间变化率 称为
外
内 内 外 外
外
质点受外力 矩的矢量和 微分形式
内力矩在求矢 量和时成对相消
质点系的角动量的时间变化率只取决于质点系所受 外力矩的矢量和，而与内力矩无关。
的微分形式
质点系的角动量 的时间变化率
外
质点受外力 矩的矢量和 的积分形式
angular momentum and law of conservation of angular momentum
大量天文观测表明
r m v sin
定义：
运动质点
L v
位矢
v
常量
r
m
m O
对 O 点的 角动量 为
r mv 大小： L r m v sin L 方向： r (mv )
L
r
p
v r
M
F
r
有两种情况：
由于有心力对力心的力矩为零，质点对该力心的角动
量就一定守恒。如行星在太阳引力下绕太阳的运动就 是在有心力作用下的运动，对太阳的角动量守恒。
小球被绳子拴着，绳子穿过光滑水平桌面上的小孔， 向下拉绳子，小球的速度怎样变化？动量、角动量 改变吗？
小球被绳子拴着，绳子穿过光滑水平桌面上的小孔， 向下拉绳子，小球的速度怎样变化？动量、角动量 改变吗？
变
质点 对 的角动量
大小
太 阳 系 中 的 行 星
大小会变
变变
变
大小未必会变。靠什么判断？
导致角动量
随时间变化的根本原因是什么？ 与什么有关？
思路： 分析 由 则
两平行矢量的叉乘积为零
得
质点 对参考点 的
角动量的时间变化率
位置 等于 矢量
所受的 叉乘 合外力
而
是力矩的矢量表达： 即 力矩 大小
方向
注意：Ｌ与参考点O的选取有关。 例：
L
m o r
v
o
d
A
r0
(1) 质点作圆周运动(对圆心)：
P
L0 R mv sin Rmv mR 2 2
(2) 质点作直线运动： 对0点
L0 r mvsin mv d
问题的提出
地 球 上 的 单 摆
垂直于 所决定 的平面，由右螺旋法 则定指向。
的 所受的合外力矩
得
质点
对给定参考点
角动量的时间变化率
称为质点的
角动量定理
的微分形式
质点的角动量定理也可用积分形式表达 由
称为 冲量矩
这就是质点的
角动量的增量
角动量定理
的积分形式
角动量的时间变化率
所受的合外力矩
冲量矩 当 即
角动量的增量
0
时，有
0
当质点
所受的合外力对某参考点 的力矩 为 守恒。
为零时，质点对该点的角动量的时间变化率 零，即质点对该点的角动量
称为
关于外力矩为零，即 M r F r F sin 0
（1）不受外力作用，即 F 0 .如质点做匀速直线
运动。 （2）外力并不为零，但在任意时刻外力始终指向或 背向固定点。这种力叫有心力，该固定点称为力心。
(2)所有的外力都通过某固定参考点，但质点系所受 的外力的矢量和未必为零，但是每个外力对该点的力 矩皆为零，同样质点系对该点的角动量守恒。 (3)每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零。 例如，对重力场中的质点系，作用于各质点的重力对 质心的力矩不为零，但所有重力对质心的力矩的矢量 和却为零，那么质点系对质心的角动量守恒。
质点系所受的 冲量矩 若 则 或
质点系的 角动量增量
恒矢量
当质点系所受外力对某固定参考点的力矩矢量和 为零，则质点系对该点的总角动量守恒。这称为质点 系的角动量守恒定律。
关于外力矩为零即
(1)质点系不受外力，即 Fi 0 （孤立系统），显
i
M i 0，有三种情况：
然质点系对某固定参考点的外力矩为零，质点系对 该点的角动量守恒。
一 人 握 绳 不 动
用力上爬者先到； （2） 握绳不动者先到； （3）
可能出现的情况是
（请点击你要选择的项目）
以上结果都不对。 （4）
质点系 若
系统的末 态角动量
忽略轮、绳质量及轴摩擦 系统受合外力矩为零，角动量守恒。 系统的初 态角动量 不论体力强弱，两人等 p
Lo ro psin mgtd ， 方向垂直黑板向里
注意：对不同的参考点有不同的角动量
力矩的定义
(1) 中学：M Fd F r sin
单位： N (2) 大学：
m
M r F
r
d
Ｆ
大小： F r sin M
方向：右手螺旋定则。
小球被绳子拴着，绳子穿过光滑水平桌面上的小孔， 向下拉绳子，小球的速度怎样变化？动量、角动量 改变吗？
合外力等于绳的拉力，合外力对圆心的力矩为零。
由角动量守恒知rmv不变（角动量方向也恒定），
当r减小时v增大。故拉绳时动量变大，角动量不变。
行星绕太阳运转（椭圆轨道），行星与太阳的连线 在单位时间内扫过的面和相等 －－开普勒行星运动第二定律
又忽略 轮绳摩擦
终点线
两人同时到达； （１）
一 人 用 力 上 爬
一 人 握 绳 不 动
用力上爬者先到； （2） 握绳不动者先到； （3）
可能出现的情况是
（请点击你要选择的项目）
以上结果都不对。 （4）
两人质量相等
既忽略 滑轮质量 终点线
又忽略 轮绳摩擦
终点线
两人同时到达； （１）
一 人 用 力 上 爬