时间序列分析课件-09-长记忆时间序列

长记忆序列的定义
对于d 0, d (0.5,0.5)（, 1 z）d有Taylor展开公式：
（1 z）d j z j ,| z | 1, j0
其中
j
( j d) (d )( j 1)
j k 1
k
d k
1,
j
0,1,
容易验证：( j d ) ~ jd1, j , ( j 1)
所以 j ~ jd 1 / (d ), j . 所以 j是平方可和的。
长记忆时间序列的应用
• monthly unemployment rate of US males. • US money supply and monetary aggregates. • monthly IBM revenue data. • Monthly UK inflation rates. • exchange rates. • spot prices. • consumer goods…..
k
(B)( I B)d0 (I 2 i B B2 )di X t (B)t i 1
t ~ WN (0, 2 )
fi cos1( i ) is Gegenbauer frequency
R语言中，目前没有现成的simulation,estimation code
Reference
• Granger, C.W.J. and Joyeux, R. (1980). An introduction to long memory time series models and fractional differencing. J. Time Series Analysis,1,15-29.
t ~ WN (0, 2 )
f cos1( ) is Gegenbauer frequency
Giraitis, L. and Leipus, R. (1995) R语言中，目前没有现成的simulation,estimation code
• If 1 , what happens?
About Gegenbauer coefficients
ACF
spectrum
ARFIMA model=FI(d)+ARMA
•> frac.simulation=fracdiff.sim(1000,ar=0.2,ma=0. 3, d = .3)$series
• > acf(frac.simulation) • > spectrum(frac.simulation)
2) |2d
,
[ , ].
当d (0,0.5)时，f (0) .
另外，f
()
~
2 2
| (1) |2 | (1) |2
|
|2d ,
0.
FI(d) process
• Library(fracdiff) • frac.simulation=fracdiff.sim(1000, d
= .3)$series • ts.plot(frac.simulation)
设t ~ WN (0, 2 ),
定义线性平稳序列
X t (1 B)d t j t j , t , j0
则X t是模型(1 B)d X t t，t 的唯一平稳解。
ARFIMA (FARIMA)模型
——Granger and Joyeux（1980），Hosking（1981）
(B)(I B)d X t (B)t
• Hosking, J.R.M. (1981). Fractional differencing. Biometrika, 68(1), 165-176. • Giraitis, L. and Leipus, R. (1995). A generalized fractionally differencing
为长记
t
忆时间序列
。
当d (0.5,0)时，| k | .有时称为中记忆序列(antipersistent)。 k 0
当d (0,0.5)时，| k | . k 0
关于长记忆参数 “d”
• 当d>0.5时, 该过程是可逆的，并有一个线性表示。 • 当d<0.5时, 该过程是（二阶）平稳的。 • 当d=0时, 该过程退化为短记忆过程，谱密度在0处
通常可以按照ACVF收敛到0的速度把平稳时间序列分为 短记忆和长记忆时间序列。
只有长记忆时间序列才具有做中长期预测的基础。
引入记号：
对于收敛到0的实数列an和bn ,
如果
lim
n
an
/ bn
c0
0,
就称an和bn是同阶无穷小，记作an ~ bn。
如果自协方差函数 k ~ k 2d 1, k ,
就称{X t}是长记忆序列。
approach in long memory modeling. Lithuanian Mathematical Journal, 35, 6581. • Woodward, W.A., Cheng, Q.C. and Gray, H.L.(1998). A k-factor GARMA longmemory model. J. Time Series Analysis, 19(5), 485-504. • Robinson, P.M., 1994. Efficient tests of nonstationary hypotheses. J. American Statistical Association, 89 (428), 1420-1437.
(I 2B B2 )d C j (d , )Bi j0
C0(d, ) 1 C1(d, ) 2d
C
j
(d
,
)
2
(
d
j
1
1)C
j
1
(d
,
)
2(
d
j
1
1)C
j
2
(d
,
),
j
1
定理： 一个平稳的 Gegenbauer 过程是长记忆的，如果满足
0<d<0.5 and| | 1 or if| | 1 and 0 | d | 1
第九章 长记忆时间序列模型
Long memory Long range dependence
短记忆与长记忆
ARMA的ACVFห้องสมุดไป่ตู้负指数收敛到0。
所以对较大的n,
X
1和X
基本是不相关的。
n1
特别当白噪声序列是正态序列时，X1和X n1基本是独立的。
因此，我们称ARMA为短记忆的。
所以对短记忆序列不适合做长期预测。
有界，ACF以指数速率递减 • 当d>0时, 该过程是长记忆的，ACF以双曲速率递减
ARFIMA(p,d,q)的性质
若X t
~
AR
F
I
M
A(
p,
d
,
q)，则X
有谱密度
t
f
()
|
jeij
j0
|2
2 2
|
1
2sin( / 2) |2d
2 2
| (ei ) |2 | (ei ) |2
|
1
2sin( /
ACF
spectrum
Parameter Estimation
• Use package “fracdiff” • Write the code
Estimation method
• 用GPH方法、周期图方法、叠加方差法、差分叠加 方差法、R/S法、小波方法等估计方法对长记忆参 数d进行估计
4
K-factor Gegenbauer process
k
(B) (I 2 i B B2 )di X t (B)t i 1
t ~ WN (0, 2 )
fi cos1( i ) is Gegenbauer frequency
Woodward,Cheng ,Gray (1998) R语言中，目前没有现成的simulation,estimation code
(k d 1)(d )(1 d
)
,
k
N
ACF :
k
k
/0
k
j 1
j
d 1,k jd
N
特别地，k 1,得到d 1 /(1 1).
PACF :
k ,k
k
d d
,k
1,2,
这为d的估计提供了依据。
由Stirling公式，得到
k
~
k 2d 1
2(1 2d )
,k (d )(1 d )
.
于是，X
• 这些估计结果基本上比较接近 • Finite Sample Behavior Comparison
• Parameteric estimators: ✓ MLE in the time domain ✓ MLE in the frequency domain • Semiparametric estimators: ✓ Log-periodogram regression ✓ Local Whittle approach • Wavelet estimtors: ✓ Wavelet OLS estimator ✓ Wavelet MLE
R functions
• fdGPH() • fdSperio() • aggvarFit() • diffvarFit() • rsFit() • perFit() • whittleFit() • waveletFit() • pengFit() • fracdiff()
例子
ts.test <- fracdiff.sim( 5000, ar = .2, ma = -.4, d = .3) fracdiff( ts.test$series, nar = length(ts.test$ar), nma =