结构位移计算的一般公式单位荷载法.ppt
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工程力学第九章杆件变形及结构的位移计算
应的（直线图形）的竖标，再除以杆的弯曲刚度。 应用图乘法计算时，应注意以下几点：
（1）竖标要在直线段弯矩图上取得； （2）每一个面积只对应一条直线段的弯矩图。
当与在杆的同一侧时，两者乘积取正号，反之取 负号。
§9–4 图乘法
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
二次抛物线
§9–4 图乘法
例1:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
(
1 2
l 2
1 2
2 3
Pl 4
B l l 1 Pl 1 l 1 1 Pl) 2 22 4 2223 4
l/2
l/2
Pl2 ( ) 16EI
1
Mi
1/ 2
取 yc的图形必
须是直线,不能是曲
B
1 EI
(1 2
l
Pl 4
1) 2
Pl 2 16 EI
(
)
线或折线.
§9–4 图乘法
q
A
B
1
2
1
MP 图
解:
1 ql2
M图
8
B
1 EI
[(2 3
l
1 8
ql2 )
1] 2
1 ql3 （ ）
24 EI
§9–4图乘法
例2. 试求图示结构B点竖向位移.
P
1
Pl
l
EI
B
l EI MP
Mi
l
解:
By
MM P EI
ds
yc
EI
§9–4 图乘法
解:
yc
EI
1 ( 1 Pl l 2 l Pl l l)
ql3 ( 24 EI
)
（1）竖标要在直线段弯矩图上取得； （2）每一个面积只对应一条直线段的弯矩图。
当与在杆的同一侧时，两者乘积取正号，反之取 负号。
§9–4 图乘法
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
二次抛物线
§9–4 图乘法
例1:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
(
1 2
l 2
1 2
2 3
Pl 4
B l l 1 Pl 1 l 1 1 Pl) 2 22 4 2223 4
l/2
l/2
Pl2 ( ) 16EI
1
Mi
1/ 2
取 yc的图形必
须是直线,不能是曲
B
1 EI
(1 2
l
Pl 4
1) 2
Pl 2 16 EI
(
)
线或折线.
§9–4 图乘法
q
A
B
1
2
1
MP 图
解:
1 ql2
M图
8
B
1 EI
[(2 3
l
1 8
ql2 )
1] 2
1 ql3 （ ）
24 EI
§9–4图乘法
例2. 试求图示结构B点竖向位移.
P
1
Pl
l
EI
B
l EI MP
Mi
l
解:
By
MM P EI
ds
yc
EI
§9–4 图乘法
解:
yc
EI
1 ( 1 Pl l 2 l Pl l l)
ql3 ( 24 EI
)
静定结构位移计算.ppt
二次抛物线
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
q
A
B
1
2
1
MP 图
1 ql2 8
M图
解:B源自1 EI[(2 3l
1 8
ql2 )
1] 2
1 ql3 （ ）
24 EI
三、图形分解
求 B
20
40
A
B
MP
EI
20kN m10m40kN m
1
Mi
1/3 2/3
力状态 P2
位移状态
P1
12
W=P1×Δ12
21
P2
P1
11
22
12
注意：
（1）属同一体系； （2）均为可能状态。即位移
应满足变形协调条件，
力状态应满足平衡条件； （3）位移状态与力状态完全无关。
§4.2 变形体虚功原理
二、广义力、广义位移
一个力系作的总虚功 W=P×
P---广义力; ---广义位移
适用于各种杆件体系（线性、非线性，直杆、曲杆）
§ 4.3 荷载作用产生的位移计算
一. 单位荷载法 求k点竖向位移
k
iP
P 1
真实的 位移状态(P)
虚设的力 状态(i)
ip
Ni p Fi p Mi p ds
对于由线弹性直杆组成的结构，有：
P
NP EA
EI EI 2
33
2
8(
)
3EI
已知： E、I、A为常数，求 Cy 。
D
P
A
C
l
l
2
2
a
B
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
q
A
B
1
2
1
MP 图
1 ql2 8
M图
解:B源自1 EI[(2 3l
1 8
ql2 )
1] 2
1 ql3 （ ）
24 EI
三、图形分解
求 B
20
40
A
B
MP
EI
20kN m10m40kN m
1
Mi
1/3 2/3
力状态 P2
位移状态
P1
12
W=P1×Δ12
21
P2
P1
11
22
12
注意：
（1）属同一体系； （2）均为可能状态。即位移
应满足变形协调条件，
力状态应满足平衡条件； （3）位移状态与力状态完全无关。
§4.2 变形体虚功原理
二、广义力、广义位移
一个力系作的总虚功 W=P×
P---广义力; ---广义位移
适用于各种杆件体系（线性、非线性，直杆、曲杆）
§ 4.3 荷载作用产生的位移计算
一. 单位荷载法 求k点竖向位移
k
iP
P 1
真实的 位移状态(P)
虚设的力 状态(i)
ip
Ni p Fi p Mi p ds
对于由线弹性直杆组成的结构，有：
P
NP EA
EI EI 2
33
2
8(
)
3EI
已知： E、I、A为常数，求 Cy 。
D
P
A
C
l
l
2
2
a
B
第6章结构位移计算
ΔC —C点水平线位移（向右） ΔD —D点水平线位移（向左） ΔCD ΔC ΔD —C、D两点旳水平相对线位移
§6-1 概述
计算构造位移旳目旳 （1）为了校核构造旳刚度。 （2）构造旳施工中，也需要构造旳位移。
图示构造进行悬臂拼装时，因为自重及吊车等荷载作用，产生位移
fA。必须先计算fA，以便采用相应措施，确保施工安全和拼装就位。
化产生旳K点旳竖向位移△Kt。α为
材料旳线膨胀系数。
ΔKt FNdut Mdt FS tds
杆轴线处旳温度变化为
t
h2 h
t1
h1 h
t2
dut tds
杆件截面对称于形心轴 t t1 t2 2
dt
t2ds t1ds
h
Δtds
h
对于杆件构造温度变化不引起剪切变形，γt=0。
t t2 t1
§6-6 静定构造温度变化时旳位移计算
将温度变化引起旳微段变形代入位移计算公式可得
ΔKt
FNtds
M
tds
h
t
FNds
t
Mds h
若各杆为等截面杆
ΔKt
tAFN
t
h
AM
AFN FN图的面积，AM M图的面积
符号旳拟定：温度变化以升温为正，轴力以拉力为正； 弯矩M以使t2边受拉为正。
对于桁架
虚拟状态如图b所示。由材料力学
dP
M Pds EI
duP
FNPds EA
Pds
kFSPds GA
k—剪切变形旳 改正系数
§6-4 静定构造在荷载作用下旳位移计算
平面杆件构造在荷载作用下旳位移计算公式为：
ΔKP
MM Pds EI
§6-1 概述
计算构造位移旳目旳 （1）为了校核构造旳刚度。 （2）构造旳施工中，也需要构造旳位移。
图示构造进行悬臂拼装时，因为自重及吊车等荷载作用，产生位移
fA。必须先计算fA，以便采用相应措施，确保施工安全和拼装就位。
化产生旳K点旳竖向位移△Kt。α为
材料旳线膨胀系数。
ΔKt FNdut Mdt FS tds
杆轴线处旳温度变化为
t
h2 h
t1
h1 h
t2
dut tds
杆件截面对称于形心轴 t t1 t2 2
dt
t2ds t1ds
h
Δtds
h
对于杆件构造温度变化不引起剪切变形，γt=0。
t t2 t1
§6-6 静定构造温度变化时旳位移计算
将温度变化引起旳微段变形代入位移计算公式可得
ΔKt
FNtds
M
tds
h
t
FNds
t
Mds h
若各杆为等截面杆
ΔKt
tAFN
t
h
AM
AFN FN图的面积，AM M图的面积
符号旳拟定：温度变化以升温为正，轴力以拉力为正； 弯矩M以使t2边受拉为正。
对于桁架
虚拟状态如图b所示。由材料力学
dP
M Pds EI
duP
FNPds EA
Pds
kFSPds GA
k—剪切变形旳 改正系数
§6-4 静定构造在荷载作用下旳位移计算
平面杆件构造在荷载作用下旳位移计算公式为：
ΔKP
MM Pds EI
第5章结构位移计算
P A B P
1、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。
满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷 载为线形关系，故求位移时可用叠加原理。
第5章
5.2
一、基本概念
虚功原理与位移计算一般公式
1、功：一般来说，力所作的功指力与力方向上位移乘积， 大小与作用点移动路线的形状、路程的长短有关。
i
Pi
i FR K CK
K
( M FQ 0 FN )ds
1）意义：虚功方程的每一项都是广义力与广义位移的 乘积。
2）虚位移原理：研究实际的平衡力系在虚设位移上的 功，以计算结构的未知力（如支座反力等）。 3）虚力原理：研究虚设的平衡力系在实际位移上的功， 以计算结构的未知位移（如挠度、转角等）。
MP EI
0 k
FQ P GA
FN P EA
于是：
FQ FQ P FF MMP cv ds k ds N NP ds EI GA EA
第5章
二、如何施加单位荷载（求线位移、角位移、相对位移） 求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。
B P=1 C P=1 A B C M=1
α
Mk
x
ω dx
x0
Mi
y0
B
A
xMk dx
MK对 y 轴的静矩。
Mi=xtgα
y0=x0tgα x
w y0
EI
说明：
1）条件：AB杆为棱柱形直杆，即EI等于常数； Mi与Mk图形中有一个是直线图形。
2）y0与ω的取值： y0一定取自直线图形， ω则取 自另一个图形，且取ω的图形的形心位置是已知 的，不必另行求解。
1、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。
满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷 载为线形关系，故求位移时可用叠加原理。
第5章
5.2
一、基本概念
虚功原理与位移计算一般公式
1、功：一般来说，力所作的功指力与力方向上位移乘积， 大小与作用点移动路线的形状、路程的长短有关。
i
Pi
i FR K CK
K
( M FQ 0 FN )ds
1）意义：虚功方程的每一项都是广义力与广义位移的 乘积。
2）虚位移原理：研究实际的平衡力系在虚设位移上的 功，以计算结构的未知力（如支座反力等）。 3）虚力原理：研究虚设的平衡力系在实际位移上的功， 以计算结构的未知位移（如挠度、转角等）。
MP EI
0 k
FQ P GA
FN P EA
于是：
FQ FQ P FF MMP cv ds k ds N NP ds EI GA EA
第5章
二、如何施加单位荷载（求线位移、角位移、相对位移） 求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。
B P=1 C P=1 A B C M=1
α
Mk
x
ω dx
x0
Mi
y0
B
A
xMk dx
MK对 y 轴的静矩。
Mi=xtgα
y0=x0tgα x
w y0
EI
说明：
1）条件：AB杆为棱柱形直杆，即EI等于常数； Mi与Mk图形中有一个是直线图形。
2）y0与ω的取值： y0一定取自直线图形， ω则取 自另一个图形，且取ω的图形的形心位置是已知 的，不必另行求解。
第6章 结构位移计算(1)
44
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 44/126页 -
正负号规则：
1） 不规定 和 的正负号，只规定乘积 的正负号。若 和 使杆件同一侧纤维受 拉伸长，则乘积为正，反之为负；
正
MP
MP
负
MP
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 45/126页 -
正
45
2） 和 以拉力为正，压力为负； 3） 和 的正负号见下图。
12
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 12/126页 -
§ 6-2 变形体系的虚功原理
一、 功、实功与虚功
1. 实功
外力（其值由零逐渐增加到最大值）在其自 身引起的位移上所作的功称为实功。
13
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 13/126页 -
2. 虚功
外力在其它原因（其它荷载、温度变化、支 座位移等）引起的位移上所作的功称为虚功。
略去高阶微量后，得杆件的变形虚功为：
16
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 16/126页 -
结构通常有若干根杆件，则对全部杆件求总 和得：
对于由直杆构成的结构：
17
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 17/126页 -
二、 刚体体系虚功原理
刚体体系处于平衡的必要和充分条件是，对于 符合约束条件的任意微小虚位移，刚体体系上所 有外力所做的虚功总和等于零 。
位移计算
§6-8 线弹性结构的互等定理
2
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 2/126页 -
§ 6-1 概 述
一、 结构的位移
在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变， 称为结构变形，结构变形引起结构上任一横截面 位置和方向的改变，称为位移。 1. 截面的位移（绝对位移）
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 44/126页 -
正负号规则：
1） 不规定 和 的正负号，只规定乘积 的正负号。若 和 使杆件同一侧纤维受 拉伸长，则乘积为正，反之为负；
正
MP
MP
负
MP
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 45/126页 -
正
45
2） 和 以拉力为正，压力为负； 3） 和 的正负号见下图。
12
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 12/126页 -
§ 6-2 变形体系的虚功原理
一、 功、实功与虚功
1. 实功
外力（其值由零逐渐增加到最大值）在其自 身引起的位移上所作的功称为实功。
13
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 13/126页 -
2. 虚功
外力在其它原因（其它荷载、温度变化、支 座位移等）引起的位移上所作的功称为虚功。
略去高阶微量后，得杆件的变形虚功为：
16
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 16/126页 -
结构通常有若干根杆件，则对全部杆件求总 和得：
对于由直杆构成的结构：
17
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 17/126页 -
二、 刚体体系虚功原理
刚体体系处于平衡的必要和充分条件是，对于 符合约束条件的任意微小虚位移，刚体体系上所 有外力所做的虚功总和等于零 。
位移计算
§6-8 线弹性结构的互等定理
2
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 2/126页 -
§ 6-1 概 述
一、 结构的位移
在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变， 称为结构变形，结构变形引起结构上任一横截面 位置和方向的改变，称为位移。 1. 截面的位移（绝对位移）
结构力学-第四章-结构位移计算-2
M ( x) x (0 x a )
位移状态 (实际状态)
MP A ql 2
（2）写出各杆单位力作用下的弯矩方程式，画出弯矩图 横梁BC 竖柱CA
M ( x) a (0 x a )
ΔBV
o a
a B C
力状态 (虚设状态)
MMP dx EI 5 qa 4 1 1 4 1 3 x a x () 4 2 2 8 EI o
F N FNP Δ dx EA
桁架各杆均为等截面直杆则
F N FNP l Δ EA
§4-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
（3）组合结构
F N FNP l MMP Δ ds EI EA
(4) 跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响相当，剪力 的影响不计，位移计算公式为
ql / 4
§4-5 图乘法
例9.图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 Pl P yc P ABY 对称结构的对称弯矩图与 EI A B 其反对称弯矩图图乘 ,结果 l 1 1 2 MP ( 为零 l Pl . l 4 l Pl l 2) EI 2 3 反对称弯矩图 l l 10 Pl3 1 1 () l 3 EI yc y c Mi 0 AB 0 ABX EI EI
C
§4-5 图乘法
ql2 / 2
MP
q ql2 / 8
A
B
A y c C l/2 l/2 c EI l/2 1 1 2 l ql 2 1 l 1 l ql 2 2 l ( M C EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2 q 2 2 2 1 l ql 1 l ql / 2 ql / 8 ) 2 2 8 3 2 4 2 17 ql ql / 32 () 2 ql / 2 384 EI ql2 / 8
位移状态 (实际状态)
MP A ql 2
（2）写出各杆单位力作用下的弯矩方程式，画出弯矩图 横梁BC 竖柱CA
M ( x) a (0 x a )
ΔBV
o a
a B C
力状态 (虚设状态)
MMP dx EI 5 qa 4 1 1 4 1 3 x a x () 4 2 2 8 EI o
F N FNP Δ dx EA
桁架各杆均为等截面直杆则
F N FNP l Δ EA
§4-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
（3）组合结构
F N FNP l MMP Δ ds EI EA
(4) 跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响相当，剪力 的影响不计，位移计算公式为
ql / 4
§4-5 图乘法
例9.图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 Pl P yc P ABY 对称结构的对称弯矩图与 EI A B 其反对称弯矩图图乘 ,结果 l 1 1 2 MP ( 为零 l Pl . l 4 l Pl l 2) EI 2 3 反对称弯矩图 l l 10 Pl3 1 1 () l 3 EI yc y c Mi 0 AB 0 ABX EI EI
C
§4-5 图乘法
ql2 / 2
MP
q ql2 / 8
A
B
A y c C l/2 l/2 c EI l/2 1 1 2 l ql 2 1 l 1 l ql 2 2 l ( M C EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2 q 2 2 2 1 l ql 1 l ql / 2 ql / 8 ) 2 2 8 3 2 4 2 17 ql ql / 32 () 2 ql / 2 384 EI ql2 / 8
结构力学53结构位移计算的一般公式
l 2
0
x 2
1 2
qlx
1 2
qx2
dx
k GA
l 201 2源自1 2qlqx
dx
5ql4 kql2 384EI 8GA
A bh, I bh3 , k 1.2, G 0.4E 12
yC
5ql 4 384EI
1
2.4
h l
2
例5-1 求C点的竖向位移和转角。
⒉ 求C点截面的转角。
k F Q FQP ds GA
例5-3 求图示桁架支座结点B的水平位移。各杆EA相同。
2FP
FP
00
2FP
0
00
00
FP
FP
1
1
FNP 图
解：⑴ 施加单位荷载。 ⑵ 求实际状态的内力。 ⑶ 求虚拟状态的内力。 ⑷ 求结点B的水平位移。
FN 图
xB
F N FNP
EA
l
1 EA
1
FP
2d
2
4
虚拟力状态
yB
FP R3 EI
2
sin2
d
FP
R
0
EA
2
sin2
d
kFP
R
0
GA
2 cos2 d
0
FP R3 FP R kFP R 4EI 4EA 4GA
b h, h 1 , G 0.4E R 10
yB
FP R3
4EI
1
1 4
h R
2
1 12
h R
由于简支梁在全跨均布荷载作用 下变形与内力都是对称的，所以梁中 点应无转角发生。
其虚拟力状态中的内力是反对称 的，按照式(5-5)进行积分同样可求得 转角位移：
用单位荷载法计算静定结构位移
针对误差来源提出改进和优化建议，如完善模型细节、提 高计算精度、优化算法等，以提高数值模拟方法的准确性 和适用性。
06 结论与展望
研究成果总结
01
提出了基于单位荷载法的静定 结构位移计算方法，并通过实 例验证了该方法的正确性和有 效性。
02
探讨了单位荷载法在静定结构 位移计算中的适用性和局限性 ，为该方法在实际工程中的应 用提供了理论支持。
03
通过与其他计算方法的比较， 证明了单位荷载法在计算精度 和计算效率方面的优势。
对未来研究方向的展望
深入研究单位荷载法在复杂 静定结构位移计算中的应用 ，提高该方法的适用性和计
算精度。
拓展单位荷载法在动力分析 和稳定性分析等领域的应用 ，进一步丰富该方法的理论
体系。
结合计算机技术和数值模拟 方法，开发高效、准确的静 定结构位移计算软件，为实 际工程提供便捷的计算工具 。
静定结构位移概述
静定结构的定义和特性 静定结构位移的概念和分类
静定结构位移计算的方法和步骤
02 单位荷载法基本原理
单位荷载法定义
单位荷载法是一种计算结构位移的方法，通过在结构上施加单位荷载，利用虚功原理求解结构位移。
单位荷载法中的“单位荷载”指的是在结构上施加的荷载大小为1的荷载，可以是力、弯矩、扭矩等 。
用单位荷载法计算静定结构位移
目录
• 引言 • 单位荷载法基本原理 • 静定结构位移计算实例 • 单位荷载法优缺点及改进措施 • 数值模拟与实验验证 • 结论与展望
01 引言
目的和背景
阐述单位荷载法的基 本原理和应用范围
探讨单位荷载法在静 定结构位移计算中的 优势
分析静定结构位移计 算的重要性和实际意 义
06 结论与展望
研究成果总结
01
提出了基于单位荷载法的静定 结构位移计算方法，并通过实 例验证了该方法的正确性和有 效性。
02
探讨了单位荷载法在静定结构 位移计算中的适用性和局限性 ，为该方法在实际工程中的应 用提供了理论支持。
03
通过与其他计算方法的比较， 证明了单位荷载法在计算精度 和计算效率方面的优势。
对未来研究方向的展望
深入研究单位荷载法在复杂 静定结构位移计算中的应用 ，提高该方法的适用性和计
算精度。
拓展单位荷载法在动力分析 和稳定性分析等领域的应用 ，进一步丰富该方法的理论
体系。
结合计算机技术和数值模拟 方法，开发高效、准确的静 定结构位移计算软件，为实 际工程提供便捷的计算工具 。
静定结构位移概述
静定结构的定义和特性 静定结构位移的概念和分类
静定结构位移计算的方法和步骤
02 单位荷载法基本原理
单位荷载法定义
单位荷载法是一种计算结构位移的方法，通过在结构上施加单位荷载，利用虚功原理求解结构位移。
单位荷载法中的“单位荷载”指的是在结构上施加的荷载大小为1的荷载，可以是力、弯矩、扭矩等 。
用单位荷载法计算静定结构位移
目录
• 引言 • 单位荷载法基本原理 • 静定结构位移计算实例 • 单位荷载法优缺点及改进措施 • 数值模拟与实验验证 • 结论与展望
01 引言
目的和背景
阐述单位荷载法的基 本原理和应用范围
探讨单位荷载法在静 定结构位移计算中的 优势
分析静定结构位移计 算的重要性和实际意 义
结构力学位移法PPT_图文
6．校核。
用位移法分析超静定结构时，把只有角位移没有线位移结构，称无侧移 结构，如连续梁； 又把有线位移的结构，称为有侧移结构。如铰接排架 和有侧移刚架等。
位移法应用举例
例题1 试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。
22.5
5、依M=M1X1+ M2X2+ MP绘弯矩图
例题2 试计算图示刚架，绘弯矩图。各杆EI相同。 Z1 Z2
(a)
(b )
(c)
1）求qA1,qA1见上图(b) (d
(e)
(f)
(g )
2）求qA2,qA2见图(c) 3）叠加得到
由平衡条件得杆端剪力：见图(g)
等截面直杆的转角位移方程，或典型单元刚度 方程。
4）当考虑典型单元上同时也作用荷载时的单元 刚度方程
MfAB
MfBA
式中，MfAB、MfBA——为两端固定梁在荷载单独作 用下的杆端弯矩(固端弯矩或载常数)
四、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B ΔAB
B'
QBA
五、一端固定、另一端定向支承梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B
B' MBA
× ×
表9－1 等截面单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力
28
29
30
31
32
9.3 基本未知量数目的确定
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
§9-5 用位移法分析具有剪力静定杆的刚架
用位移法分析超静定结构时，把只有角位移没有线位移结构，称无侧移 结构，如连续梁； 又把有线位移的结构，称为有侧移结构。如铰接排架 和有侧移刚架等。
位移法应用举例
例题1 试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。
22.5
5、依M=M1X1+ M2X2+ MP绘弯矩图
例题2 试计算图示刚架，绘弯矩图。各杆EI相同。 Z1 Z2
(a)
(b )
(c)
1）求qA1,qA1见上图(b) (d
(e)
(f)
(g )
2）求qA2,qA2见图(c) 3）叠加得到
由平衡条件得杆端剪力：见图(g)
等截面直杆的转角位移方程，或典型单元刚度 方程。
4）当考虑典型单元上同时也作用荷载时的单元 刚度方程
MfAB
MfBA
式中，MfAB、MfBA——为两端固定梁在荷载单独作 用下的杆端弯矩(固端弯矩或载常数)
四、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B ΔAB
B'
QBA
五、一端固定、另一端定向支承梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B
B' MBA
× ×
表9－1 等截面单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力
28
29
30
31
32
9.3 基本未知量数目的确定
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
§9-5 用位移法分析具有剪力静定杆的刚架
一、位移计算的一般公式
+ ∫ M xδ P ds 扭转项 对于由线弹性直杆组成的结构 线弹性直杆组成的结构, 对于由线弹性直杆组成的结构,有: kFQP M xP FNP MP δε P = , δγ P = , δθ P = , δ P = GA EI EI P EA
FN FNP kFQ FQP MM P + + P = ∑ ∫ ds GA EI EA 轴向 M x M xP 剪切 弯曲 +∫ ds GI P
δWe =∑∫[pδu+qδv+mδθ]ds +∑ [FPxδu+FPyδv+Mδθ] i =∑∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ +Mδθ]ds = δWi
设待求的实际广义位移为 设待求的实际广义位移为 ,与对应 位移为 对应 广义力为P. 的广义力为 . 设仅在广义力P作用下 作用下, 设仅在广义力 作用下,与之平衡的轴 剪力,扭矩和弯矩分别为F 力,剪力,扭矩和弯矩分别为 N , FQ, Mx和M. M. 虚设的力状态 FP 实际位移状态 P
P=1 A
(g)
A = ?A B P=1 源自=1(h)AB = ?
二, 荷载作用下位移计算的一般公式 在仅荷载作用时的位移计算一般公式
= ∑ ∫ (FNδε + FQδγ + Mδθ )ds
+ ∫ M xδds ∑ FRi ci
P = ∑ ∫ (FNδε P + FQδγ P + Mδθ P )ds
变形; 变形;
5. 位移种类:线位移,角位移;相对线位移 位移种类:线位移,角位移;
和相对角位移. 和相对角位移.
试确定指定广义位移对应的单位广义力. 试确定指定广义位移对应的单位广义力. A P=1
FN FNP kFQ FQP MM P + + P = ∑ ∫ ds GA EI EA 轴向 M x M xP 剪切 弯曲 +∫ ds GI P
δWe =∑∫[pδu+qδv+mδθ]ds +∑ [FPxδu+FPyδv+Mδθ] i =∑∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ +Mδθ]ds = δWi
设待求的实际广义位移为 设待求的实际广义位移为 ,与对应 位移为 对应 广义力为P. 的广义力为 . 设仅在广义力P作用下 作用下, 设仅在广义力 作用下,与之平衡的轴 剪力,扭矩和弯矩分别为F 力,剪力,扭矩和弯矩分别为 N , FQ, Mx和M. M. 虚设的力状态 FP 实际位移状态 P
P=1 A
(g)
A = ?A B P=1 源自=1(h)AB = ?
二, 荷载作用下位移计算的一般公式 在仅荷载作用时的位移计算一般公式
= ∑ ∫ (FNδε + FQδγ + Mδθ )ds
+ ∫ M xδds ∑ FRi ci
P = ∑ ∫ (FNδε P + FQδγ P + Mδθ P )ds
变形; 变形;
5. 位移种类:线位移,角位移;相对线位移 位移种类:线位移,角位移;
和相对角位移. 和相对角位移.
试确定指定广义位移对应的单位广义力. 试确定指定广义位移对应的单位广义力. A P=1
结构力学——第6章结构位移计算讲解
对整个结构有：
WV dWV FNdu Md FSds
虚功方程为： W WV
W FNdu Md FSds
§6-2 变形体系的虚功原理
虚功原理的应用
虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。
虚力原理： 对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用 虚功方程求解位移状态中的位移。
例6-7 图a为一组合结构，试求D点的竖向位移△Dy。
解：实际状态FNP、MP如图b所示。 ΔDy
FN FNPl E1 A1
A yC E2 I2
虚拟状态FN、M如图c所示。
(1 2 2)Fa 4Fa3
()
E1 A1
3E2 I 2
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
试求图a所示结构由于温度变
对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此 时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为
ΔKc FRc
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
例6-9 图a所示三角刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m, 水 平位移为△Bx=0.06m, 已知l=12m，h=8m。试求由此引
第六章 结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理 §6-9 空间刚架的位移计算公式
变形曲线。 解：实际状态弯矩图如图b所示。
虚拟状态弯矩图如图c所示。
ΔAy
A yC 1 (l l ) Fl 1 (l 2l ) Fl EI EI 2 2 2EI 3 4
WV dWV FNdu Md FSds
虚功方程为： W WV
W FNdu Md FSds
§6-2 变形体系的虚功原理
虚功原理的应用
虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。
虚力原理： 对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用 虚功方程求解位移状态中的位移。
例6-7 图a为一组合结构，试求D点的竖向位移△Dy。
解：实际状态FNP、MP如图b所示。 ΔDy
FN FNPl E1 A1
A yC E2 I2
虚拟状态FN、M如图c所示。
(1 2 2)Fa 4Fa3
()
E1 A1
3E2 I 2
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
试求图a所示结构由于温度变
对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此 时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为
ΔKc FRc
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
例6-9 图a所示三角刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m, 水 平位移为△Bx=0.06m, 已知l=12m，h=8m。试求由此引
第六章 结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理 §6-9 空间刚架的位移计算公式
变形曲线。 解：实际状态弯矩图如图b所示。
虚拟状态弯矩图如图c所示。
ΔAy
A yC 1 (l l ) Fl 1 (l 2l ) Fl EI EI 2 2 2EI 3 4
位移计算一般公式.
分析，见图 图 a) 求结构上任一点C沿指定方向K-K’上 的分位移 KP
1 KP
Md Nd Q ds Rc
求结构变形，须有平衡力系 虚功原理中，作功力系与位移可以彼此无关， 二者之一可以虚设。
见图b) 状态II 表示虚拟状态，沿K-K’方向作用 PK 1
1) 如图，若求结构上C点的竖 向位移，可在该点沿所求位 移方向加一单位力
2) 若求结构上截面A的角位移， 可在截面处加一单位力偶。
若求桁架中AB杆的角位移，
应加一单位力偶，构成这一力 偶的两个集中力的值取 1/d。 作用于杆端且垂直于杆(d等 于杆长)。
3) 若要求结构上两点(A、B)沿 其连线的相对位移，可在该
KP
M PM K EI ds
NP NK EA ds
kQPQK GA ds Rc
上式为：由虚功原理得到的计算结构位移的一般公 式 (称单位载荷法) 它可以计算结构的：线位移、角位移、结构绝对、相 对位移。 只要虚拟状态中的单位力是与所计算的位移相当应的 广义力即可。
§6-2
位移计算一般公式
1.单位荷载法 根据虚力原理的基本表达式：
为了能够计算某一结构位移Δ，我们选择的力系中只包含 一个对拟求位移Δ做虚功的相应荷载 P 。这样上式就变成：
进一步令P=1，便有：
式中， 是结构在集中单位荷载P=1作用下的支反力 和内力，它们都可以有由静力平衡条件求出。而位移则是实 际结构中的位移。 由于在假设中的力系是利用最简单的虚设力系-----单位 荷载力系，通过上式计算位移，这就是单位荷载法计算位移 的基本思路。
两点沿其连线加上两个方向
相反的单位力。
4) 若求梁或刚架上两个截面的 相对角位移，可在两个截面
《结构力学》静定结构的位移计算
03
在实际应用中，可以根据结构特点、计算精度和计算资源等因素综合考虑选择 合适的数值方法。
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桥梁横向位移限制
对于大跨度桥梁，需要限制其在风荷载、地震等横向力作用下的横 向位移，以保证桥梁的稳定性和行车安全。
支座位移控制
桥梁支座的位移也需要进行控制，以避免支座过度磨损或脱空等现 象，确保桥梁的正常使用。
建筑工程中变形缝设置要求
伸缩缝设置
为避免建筑物因温度变化、地基沉降等因素而产生裂缝或 破坏，需要在建筑物的适当位置设置伸缩缝，使建筑物能 够自由伸缩。
计算方法
采用分段叠加法，将组合结构分成若 干段，分别计算各段的位移再求和； 或采用有限元法直接求解整体位移。
需考虑不同材料或截面的变形协调问 题。
03 图乘法计算静定结构位移
图乘法基本原理及适用条件
基本原理
图乘法是基于结构力学的虚功原理，通过图形面积与形心位置的乘积来简化计 算结构位移的一种方法。
均布荷载作用
荷载沿梁长均匀分布，引 起梁产生均匀弯曲变形。
位移计算
采用图乘法或积分法求解， 考虑荷载、跨度、截面惯 性矩等因素。
悬臂梁在集中力作用下位移
悬臂梁基本概念
一端固定，另一端自由的 梁，承受集中力、均布荷 载等。
集中力作用
在悬臂梁自由端施加集中 力，引起梁产生弯曲和剪 切变形。
位移计算
采用叠加原理，分别计算 弯曲和剪切变形引起的位 移，再求和。
制造误差对结构位移的影响不同。
影响系数
02
利用影响系数可以计算制造误差引起的结构位移，影响系数与
结构形式和荷载情况有关。
敏感性分析
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FP=1
1）图示为求刚架K点沿i-i方向的 线位移时的虚拟力状态。
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K
i
6.3.2 虚拟单位荷载的施加方法
M=1
2）图示为求刚架K截面角位移时 的虚拟力状态。
K
FP=1
3）图示为求刚架A、B两点沿其 连线方向相对线位移时的虚拟力 状态。 4）图示为求刚架A、B两截面相 对角位移时的虚拟力状态。
（6-9 )
此式适用于任何材料的静定或超静定结构。这种通过 虚设单位荷载作用下的平衡状态，利用虚力原理求结构 位移的方法，称为单位荷载法。该方法适用于结构小变 形情况。
广义单位荷载FP=1为外加单位荷载（FP上面不加横线表示），属 单位物理量，是量纲1的量（以往称为无量纲量）。
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6.3.2 虚拟单位荷载的施加方法
应用单位荷载法每次只能求得一个位移。这个位移可 以是线位移，也可以是角位移或相对线位移、相对角 位移，即属广义位移。因此，需特别强调，当求任意 广义位移时，所需施加的虚单位荷载，应是一个在所 求位移截面、沿所求位移方向并且与所求广义位移相 应的广义力。这里，“相应”是指力与位移在做功关 系上的对应，如集中力与线位移对应，力偶与角位移 i 对应，等等。
FP=1 1/li 1/li
i
A
li
1/lj 1/lj
li B
FP=1 1/li
lj
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B
FP=1 A
B
M=1 A M=1
6.3.2 虚拟单位荷载的施加方法
5）求桁架A、B两点沿其连线方向相对线位移时的虚拟 力状态。 6）桁架第i杆角位移时的虚拟力状态。施加于该杆两端 结点的一对力正好构成一个单位力偶M=1，其中每一 个力均为1/li且与该杆垂直，这里的li为第i杆的长度。 7）桁架第i与第j杆两根杆间相对角位移的虚拟力状态。 施加于该两杆两端结点的各一对力，正好构成方向相 反的一对单位力偶。 1/l
6.3 结构位移计算的一般公式 单位荷载法
6.3.1 利用虚功原理计算结构位移
FP2 FP1 q i i FP=1
ds
K
c2 K1 i c1
ds
FR1
i
D
dq, du, dv
FR2
M , FQ , FN
+t1 +t2
根据平面杆件结构的虚功方程（6-7），其等号左侧为
F Δ 1 Δ F
P
R1 1
c FR2c2 1 Δ FR c
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6.3.1 利用Biblioteka 功原理计算结构位移于是有 1 Δ FR c Mdq FN du FQ dv 即得
Δ Mdq FN du FQ dv FR c
1）图示为求刚架K点沿i-i方向的 线位移时的虚拟力状态。
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K
i
6.3.2 虚拟单位荷载的施加方法
M=1
2）图示为求刚架K截面角位移时 的虚拟力状态。
K
FP=1
3）图示为求刚架A、B两点沿其 连线方向相对线位移时的虚拟力 状态。 4）图示为求刚架A、B两截面相 对角位移时的虚拟力状态。
（6-9 )
此式适用于任何材料的静定或超静定结构。这种通过 虚设单位荷载作用下的平衡状态，利用虚力原理求结构 位移的方法，称为单位荷载法。该方法适用于结构小变 形情况。
广义单位荷载FP=1为外加单位荷载（FP上面不加横线表示），属 单位物理量，是量纲1的量（以往称为无量纲量）。
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6.3.2 虚拟单位荷载的施加方法
应用单位荷载法每次只能求得一个位移。这个位移可 以是线位移，也可以是角位移或相对线位移、相对角 位移，即属广义位移。因此，需特别强调，当求任意 广义位移时，所需施加的虚单位荷载，应是一个在所 求位移截面、沿所求位移方向并且与所求广义位移相 应的广义力。这里，“相应”是指力与位移在做功关 系上的对应，如集中力与线位移对应，力偶与角位移 i 对应，等等。
FP=1 1/li 1/li
i
A
li
1/lj 1/lj
li B
FP=1 1/li
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B
FP=1 A
B
M=1 A M=1
6.3.2 虚拟单位荷载的施加方法
5）求桁架A、B两点沿其连线方向相对线位移时的虚拟 力状态。 6）桁架第i杆角位移时的虚拟力状态。施加于该杆两端 结点的一对力正好构成一个单位力偶M=1，其中每一 个力均为1/li且与该杆垂直，这里的li为第i杆的长度。 7）桁架第i与第j杆两根杆间相对角位移的虚拟力状态。 施加于该两杆两端结点的各一对力，正好构成方向相 反的一对单位力偶。 1/l
6.3 结构位移计算的一般公式 单位荷载法
6.3.1 利用虚功原理计算结构位移
FP2 FP1 q i i FP=1
ds
K
c2 K1 i c1
ds
FR1
i
D
dq, du, dv
FR2
M , FQ , FN
+t1 +t2
根据平面杆件结构的虚功方程（6-7），其等号左侧为
F Δ 1 Δ F
P
R1 1
c FR2c2 1 Δ FR c
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6.3.1 利用Biblioteka 功原理计算结构位移于是有 1 Δ FR c Mdq FN du FQ dv 即得
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