第十章 电荷和静电场

至电压， 然后将电源断开。现将一块厚度为、相对电容率为的电介
质，平行地插入电容器中，求：
(1)未插入电介质时电容器的电容 ；
(2)电容器极板上
所带的自由电荷；
性相斥，
则由于试探电荷的引入，则该点的电场强度比要大。即， 在没有引入时，小球内的电荷分布是均匀的。
10-9 根据点电荷的电场强度公式当所考查的点到该点电荷的距离r接近 零时，则电场强度趋于无限大，这显然是没有意义的。对此应作何解 释？ 答：这里是将电荷当作点电荷来处理，而实际情况当r接近零时电荷就 不能认为是点电荷了。因此此时公式 不成立。 10-10 离点电荷50 cm处的电场强度的大小为。求此点电荷的电量。 解：
∴ 与x轴夹角为 与y轴夹角为 与z轴夹角为 即：合力的方向为立方体的对角先方向=54.73°=54°44′= 10-7 计算一个直径为1.56 cm的铜球所包含的正电荷电量。 解：
（注：铜的密度 ， 原子序数为29，原子量） 10-8 一个带正电的小球用长丝线悬挂着。如果要测量与该电荷处于同 一水平面内某点的电场强度E，我们就把一个带正电的试探电荷 引入 该点，测定F/q0。问是小于、等于还是大于该点的电场强度E？ 答：若考虑电荷在电场力的作用下会在小球内产生移动（如图所示）同
半径为R的圆面，电荷面密度为的面电荷产生的电势为： 对于均匀极化，极化电荷只出现在电介质的表面上
10-35 厚度为2.00 mm的云母片，用作平行板电容器的绝缘介质，其相 对电容率为2。求当电容器充电至电压为400 V时，云母片表面的极化 电荷密度。 解：
故：
10-36 平行板电容器两极板的面积都是，相距。用电源对电容器充电
解 将电容器AB放入盒中，在A、K间形成电容；B、K间形成电容
而、成串联关系，然后再与并联（如图示） 可见，放入金属盒中后，电容增大到原来的2倍。
10-34 一块长为、半径为R的圆柱形电介质，沿轴线方向均匀极化，极 化强度为P，求轴线上任意一点由极化电荷产生的电势。 解：建立如图示的坐标系，极化电荷密度为：
∴
10-16 一个半径为R的半球面均匀带电，面电荷密度为s。求球心的电 场强度。
解：由题9-14知：圆环的电场强度为： 10-17 回答下列问题: (1)处于高斯面内的任何位置上的电荷对该高斯面的电通量是否都有贡 献？是否只要电量相同，贡献就相等？ (2)处于高斯面外的任何位置上的电荷对该高斯面的电通量是否都无贡 献？ (3)假设一个点电荷正好处于高斯面上，那么这个点电荷对该高斯面的 电通量是否有贡献？ 答：（1）是的。高斯面内的任何位置上电荷对高斯面的电通量都有贡 献。只要电量相同，电性相同，贡献就相同。
已知：
求： （如图示） 解：
10-32 三块相互平行的金属平板a、b和c，面积都是 ，a、b相距4.0 mm，a、c相距2.0 mm，b、c两板都接地，如图所示。若使a板带正 电，电量为，略去边缘效应，求： (1) b、c两板上感应电荷的电量； (2) a板的电势。 已知：
求：、、 解：板上电量分布于它的两个侧面上，设右侧面电量为，左侧面的电 量，则用高斯定理可证，板上感应电量为，板上感应电量为，均匀分布 于与板相对的侧面上，因此、两板间场强及、两板间场强分别为：
证：由库仑定律得 ：
而：
∵ 角很小
∴
故：
即得： 证毕
10-4 在上题中， 如果l = 120 cm，m = 0.010 kg，x = 5.0 cm，问每个小
球所带的电量q为多大？
解：由上题得：
10-5 氢原子由一个质子和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态
下，电子绕核作圆周运动，轨道半径是。质子的质量，电子的质量，
则，由高斯定理： （2） 电子在电场中受电场力作用加速： 10-23 电势为零的地方，电场强度是否一定为零？电场强度为零的地 方，电势是否一定为零？分别举例说明之。 答：电势为零的地方，电场强度不一定为零．电场强度为零的地方，电 势也不一定为零．如平行板电容器，当一个板接地时．这个板的电势为 零．但此时的电场强度不为零． 10-24 一个半径为R的球体均匀带电，电量为q，求空间各点的电势。 解：
（3）导体内部不存在净电荷，所有过剩电荷都必须在导体表面上。 10-30如题图所示，金属球A和金属球壳B同心放置，它们原先都不带
电。设球A的半径为R0 ，球壳B的内、外半径分别为R1 和R2。求在下列 情况下A、B的电势差：
(1)使B带+q；
(2)使A带+q；
(3)使A带+q，使B带−q；
(4)使A带−q，将B的外表面接地。
求：、 、
故： （电场力做功） 外力做功为。
10-27 一个半径为R的圆盘均匀带电，面电荷密度为。求过盘心并垂直 于盘面的轴线上与盘心相距的一点的电势，再由电势求该点的电场强 度。
10-28 一个半径为R的球面均匀带电，球面所带总电量为Q。求空间任 意一点的电势，并由电势求电场强度。 解：如图，设面密度为 当r>R时：
（2）处于高斯面外的任何位置上的电荷对该高斯面的电通量无贡 献。
（3）点电荷正好处于高斯面上，则这个点电荷对高斯面的电通量是 有贡献的。
10-18 在高斯定理 中，高斯面上的E是否完全由式中的q所产生？
如果q = 0，是否必定有？反之，如果在高斯面上E处处为零，是否必
定有？
答:否，高斯面上的不完全由式中的所产生. 不一定（只需垂直，即
∴ 方向沿轴线方向
故：
∴
（2） ∴
∴
∴ 10-14 一个半径为R的圆环均匀带电，线电荷密度为μ。求过环心并垂 直于环面的轴线上与环心相距a的一点的电场强度。 解：如图：圆环上一线元上产生的电场强度为：
与其对称的一线元产生的电场强度为 ： ，
两个电场强度的合成为： ∴ 故：
10-15 一个半径为R的圆盘均匀带电，面电荷密度为。求过盘心并垂直 于盘面的轴线上与盘心相距的P点电场强度。 解：由上题知，圆环上电场强度
（1） 、两板间及、两板间电势差分别为： 、都接地，电势都为零，所以： 即： 所以： （2） 由（1）（2）式得： 板上感应电荷即为： 板上感应电荷即为： 板的电势为： 10-33 如图所示，空气平板电容器是由两块相距0.5 mm的薄金属片A、 B所构成。若将此电容器放在一个金属盒K内，金属盒上、下两壁分别 与A、B都相距0.25 mm，电容器的电容变为原来的几倍？
第十章 电荷和静电场
10-1当用带电玻璃棒吸引干燥软木屑时，会发现软木屑一接触到玻璃 棒后又很快跳离。试解释之。 答：先极化接触后电荷一部分转移至软木屑，后同性电荷相斥。 10-2当带正电的玻璃棒吸引一个悬挂的干燥软木小球时，我们是否可 以断定软木小球带有负电荷？当带正电的玻璃棒排斥一个悬挂的干燥 软木小球时，我们是否可以断定软木小球带有正电荷？ 答：不能。①软木小球可能带电荷为零，也可能带有负电荷。②可以 10-3两个相同的小球质量都是，并带有等量同号电荷，各用长为的丝 线悬挂于同一点。由于电荷的斥力作用，使小球处于题图所示的位 置。如果角很小，试证明两个小球的间距可近似地表示为：
它们的电量为 。 (1)求电子所受的库仑力； (2)电子所受库仑力是质子对它的万有引力的多少倍？ (3)求电子绕核运动的速率。 解：⑴
⑵
⑶ ∴
10-6 边长为a的立方体，每一个顶角上放一个电荷q。 解： 由对称性可知，任一顶角的电荷所受合力的大小是相等的。
如图示，求其中任一顶点A上电荷所受的力。建立直角坐标系
解：（1）B带+q 则导体B是一个等势体内部的电场强度为零。
（2）A带+q 则导体B产生静电感应静电平衡时：
（3）A带+q B带 B球壳电荷全部部分布在内表面，则
（4）A带 B的外表面接地 即： 10-31 两平行的金属平板和，相距，两板面积都是 ，带有等量异号电 荷，正极板接地，如图所示。忽略边缘效应，问： (1) 板的电势为多大？ (2)在、之间且距板1.0 mm处的电势为多大？
可）。而高斯面上的处处为零，则必有：。
10-19如果把电场中的所有电荷分为两类，一类是处于高斯面S内的电
荷，其量用q表示，它们共同在高斯面上产生的电场强度为，另一类是
处于高斯面S外的电荷，它们共同在高斯面上产生的电场强度为，显然
高斯面上任一点的电场强度试证明：
(1) ；
(2)
解：高斯面的电通量可以表示为：
(2)当一个电子处于负电板面上从静止状态释放，经过的时间撞击在对 面的正电板上，若，求电子撞击正电板的速率。
解:（1） 如图示:据题意, d比平板的线度小得多. 电场强度的方向垂 直于平行平板,取如图示的柱面为高斯面(半径为r)
则，由高斯定理:
方向如图示,由上指向下. 同理 方向由上指向下
方向由上指向下 在平板以外,取高斯面包括两个平板(仍为柱面).
间内产生的电场强度：
(1)轴的延长线上距轴心为r处，并且r >>l； (2)轴的中垂面上距轴心为r处，并且r >>l。
ห้องสมุดไป่ตู้
解：（1）
∵
∴
（2）如图示：
∵
∴
10-13 有一均匀带电的细棒，长度为L，所带总电量为q。求： (1)细棒延长线上到棒中心的距离为a处的电场强度，并且a>>L； (2)细棒中垂线上到棒中心的距离为a处的电场强度，并且a>>L。 解：（1）取细棒的一线元，则中的电荷为。可视为点电荷
∴ 10-11 有两个点电荷，电量分别为5.0×10−7C和2.8×10−8C，相距15 cm。求：
(1)一个电荷在另一个电荷处产生的电场强度； (2)作用在每个电荷上的力 已知：点电荷 求： 解： （方向沿两电荷联线向外）
（同上） （方向沿两电荷联线相互排斥）
10-12 求由相距l的 ±q电荷所组成的电偶极子，在下面的两个特殊空
方向沿往向向外 当r>R时： ； 当r<R时：
。 9-25 点电荷+q和-3q相距d = 1.0 m，求在它们的连线上电势为零和 电场强度为零的位置。
解：据题意，如图示：
； 当Ｖ＝０时， (即：与连线上当距为处，电势为零)；
如图示，电场强度为零的位置：
故：； （即：在＋q左侧 m处电场强度为零）。 10-26 两个点电荷和，相距10 cm。设点A是它们连线的中点，点B的位 置离 为8.0 cm，离 为6.0 cm。求： (1)点A的电势；(2)点B的电势；(3)将电量为的点电荷由点B移到点A 所需要作的功。 如图示。
解:据题意.电场分布具有轴对称,以对称轴为x轴(如图示) ⑴取高斯面半径为r.轴为x轴的柱面 (柱长为) () 则，由高斯定理:
方向垂直于x轴沿径向向外. ⑵当r>R时.取高斯面为(如图)
则，由高斯面定理: 方向垂直x轴沿径向向外.
10-22 两个带有等量异号电荷的平行平板，面电荷密度为 ±s，两板 相距d。当d比平板自身线度小得多时，可以认为两平行板之间的电场 是匀强电场，并且电荷是均匀分布在两板相对的平面上。 (1)求两板之间的电场强度；
显然，上式中的第一项是高斯面内部电荷对高斯面电通量的贡献，第二
项是高斯面外部电荷对高斯面电通量的贡献。
高斯定理表述为“通过任意闭合曲面S的电通量，等于该闭合曲面
所包围的电量除以0，而与S以外的电荷无关。”可见，高斯面S以外的 电荷对高斯面的电通量无贡献。这句话在数学上应表示为：
(1)
所以，关系式的成立是高斯定理的直接结果。
当r<R时： 当r>R时： 当r<R时： 10-29 什么是导体的静电平衡？金属导体处于静电平衡时具有哪些性 质？ 答：在金属导体中，自由电子没有定向运动的状态称为静电平衡。金属导
体处于静电平衡时具有以下性质： （1）整个导体是等势体，导体的表面是等势面。 （2）导体表面附近的电场强度处处与表面垂直。
因为： 于是可以把高斯定理写为：
将式(1)代入上式，即得： (2)
10-20 一个半径为R的球面均匀带电，面电荷密度为s。求球面内、外
任意一点的电场强度。
解: 如图示.
（1） 取高斯面 () (半球为) 由高斯定理: 故
（2） 取高斯面为 () 由高斯定理: 的方向沿半径向外.(垂直于球面)
9-21 一个半径为R的无限长圆柱体均匀带电，体电荷密度为。求圆柱 体内、外任意一点的电场强度。