一类半正定矩阵的迹不等式
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还需加上 Ak ( k = 1, 2, ..., m) 两两乘法可交换条件，同时指出该条件只是充分条 件．本文在给出一类矩阵迹不等式后证明：在 m = 3 时该条件可去掉．同时还推 广了著名的 Kantorovich 不等式
( x T x) 2 ≤ x T Ax ⋅ x T A −1 x 其中 A 为 n 阶实对称正定矩阵， x 为 n 维列向量．得到如下主要结果
= tr ( A3 + B 3 + C 3 ) + 3tr[ A( B 2 + C 2 )] + 3tr[ B( A2 + C 2 )] + 3tr[C ( A2 + B 2 )] + 6tr ( ABC ) ≥ 27tr ( ABC ).
从而定理 1 成立． 定理 2 的证明 （Ⅰ）设 B 半正定且秩 1 的 n 阶实对称矩阵，则由引理 2 知，存
于是，由（Ⅰ）及 tr ( ABi ), tr ( A −1 Bi ) ≥ 0,
(i, j = 1, 2, ..., r ) 得
tr ( B 2 ) = tr ( B1 + B2 + ⋅⋅⋅ + Br ) 2 = ∑ tr ( Bi2 ) +
i =1 r r i ≠ j =1
∑ tr( B B ) = ∑ tr( B
1
（7）
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证 于是， 由于 A, B 为 n 阶实对称正定矩阵，所以存在可逆矩阵 P, Q 使得
i j i =1 r i =1
r
r
2 i
)
r
≤ ∑ tr ( ABi )tr ( A−1Bi ) ≤ ∑ tr ( ABi ) ⋅ ∑ tr ( A−1Bi ) = tr ( AB )tr ( A−1B )
i =1 i =1
这就证明了定理 2 成立． 参考文献
[1] [2] [3] [4] [5] Bellman R. Some Inequalities for Positive Matrices[M]. General Inequalities 2 (Backenhach E F Ed). Birkhauser Verlag, 1980. 陈道琦. 关于半正定 Hermite 矩阵乘积迹的一个不等式[J]. 数学学报, 1988,4： 31, 565-569. 陈公宁. 对 “关于半正定 Hermite 矩阵乘积迹的一个不等式”一文的注记[J]. 数学学报,1992, 5：620-622. 朱敏. 一类矩阵迹不等式的证明[J]. 工科数学, 1996,2（12）, 109-110. 胡永谟. 实对称矩阵的迹的几点性质[J]. 工科数学, 1997,2 , 137-139.
定理 1 设 A, B, C 为 n 阶实对称半正定矩阵，则
（5）
tr ( ABC ) ≤ tr (
A+ B+C 3 ) 3
（6）
定理 2 设 A, B 为 n 阶实对称矩阵，且 A 正定， B 半正定，则
tr ( B 2 ) ≤ tr ( AB )tr ( A −1 B)
1. 命题及引理 命题 1 设 A, B 为 n 阶实对称正定矩阵，则 tr ( AB ) > 0
2. 主要结果的证明 定理 1 的证明：由命题 3、命题 4 及（3）式得
Leabharlann Baidu
tr ( A + B + C ) 3 = tr[ A 3 + B 3 + C 3 + ( B 2 + C 2 ) A + ( A 2 + C 2 ) B + ( A 2 + B 2 )C + A( B 2 + C 2 ) + B( A 2 + C 2 ) + C ( A 2 + B 2 ) + ABA + ACA + BAB + BCB + CAC + CBC + ACB + BAC + BCA + ABC + CAB + CBA]
Some Inequalities for Trace of Semi-positive Define Matrices
Wang shi’an (Science College of South China Agriculture University, Guangzhou, 510642)
Abstract: Semi-positive define real symmetric matrices are studied in this paper. Some inequalities, which generalize the Bellman’s and the Kantorovich’s inequality, for trace of semi-positive define real symmetric matrices are given. Keywords: inequality; trace of matrix; semi-positive define; positive define; real symmetric matrix; orthogonal matrix
（3） 类比算术——几何平
其中 Ak ( k = 1, 2, ..., m) 为 n 阶 Hermite 半正定矩阵．朱敏 均值不等式得到
A1 + A2 + ⋅⋅⋅ + Am m 1 m （4） ) ≤ ∑ tr ( Akm ) m m k =1 其中 Ak ( k = 1, 2, ..., m) 为 n 阶 Hermite 半正定矩阵，且前一不等式在 m ≥ 3 成立 tr ( A1 A2 ⋅⋅⋅ Am ) ≤ tr (
y T Ay = y T ( xx T ) y = ( x T y ) T ( x T y ) ≥ 0
所以 A 半正定． 必要性 设 A 半正定且 R ( A) = 1 ，则有正交矩阵 P 使得
⎛λ ⎞ ⎜ ⎟ 0 ⎟ ，其中 λ > 0 为 A 的特征值. P T AP = ⎜ % ⎟ ⎜ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠
4
其中 A, B 为 n 阶正定矩阵．陈道琦 和陈公宁 Bellman 不等式（1）及（2）推广为下述形式
[ 2]
分别在 1988 年、 1992 年将
tr ( A1 A2 ⋅ ⋅ ⋅ Am ) ≤ [∏ tr ( Akm )] m ≤
1
m
k =1
1 m tr ( Akm ) ∑ m k =1
[ 4]
2
___________________________________________________________________________ 中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn ⎛ λ ⎞ ⎛λ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 ⎟ ，则 x ≠ 0 且 A = P ⎜ ⎟ P T = xx T . 令 x = P⎜ % % ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
A = P T P, B = Q T Q AB = P T PQ T Q = Q −1QP T PQ T Q = Q −1 [( PQ T ) T ( PQ T )]Q T T T T 由于 PQ 可逆，所以 ( PQ ) ( PQ ) 正定，从而 tr ( AB) = tr (Q −1 [( PQ T ) T ( PQ T )]Q) = tr[( PQ T ) T ( PQ T )] > 0 .
命题 2 设 A, B 为 n 阶实对称半正定矩阵，则 tr ( AB ) ≥ 0 证 易证 A 半正定 ⇔ ∀ε > 0, εE + A 正定，从而由命题 1 知，
tr[(εE + A)(εE + B )] > 0
或
tr ( AB ) > −ε [tr ( A + B ) + nε ]
再由 ε 的任意性知， tr ( AB ) ≥ 0 . 引理 1
引理 3 设 A 为 n 阶实对称矩阵，则 A 半正定的充分必要条件是存在 n 阶实对 称半正定且秩 1 的矩阵 A1 , A2 ,..., Ar ，使得
A = A1 + A2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Ar 且 Ai A j = 0, i ≠ j : 1,2,..., r ， （11） 其中 r = R ( A) ． 证 充分性易证．下证必要性，设 A 为 n 阶实对称半正定矩阵，则存在正交矩阵 ⎛ λ1 ⎞ ⎜ ⎟ % ⎜ ⎟ λr T ⎜ ⎟ ，其中 λ ,..., λ > 0 为 A 的特征值. 令 P ，使得 P AP = 1 r ⎜ ⎟ 0 ⎜ % ⎟ ⎜ ⎟ 0⎠ ⎝ ⎛0 ⎞ ⎜ % ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ T Ai = P⎜ 则 Ai (i = 1,2,..., r ) 满足条件 （11） ． λi ⎟ P , i = 1,2,..., r. ， 0 ⎜ ⎟ % ⎟ ⎜ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠
矩阵的迹是矩阵的一个重要数字特征，在实际问题（如滤波、随机控制及计量 经济学等）中也有着广泛的应用．Bellman
[1]
在 1980 年给出如下两个不等式 （1） （2）
[ 3]
1 tr ( AB ) ≤ [tr ( A2 ) + tr ( B 2 )] 2
tr ( AB ) ≤ tr ( A2 )tr ( B 2 )
tr ( AB) = tr ( Axx T ) = tr ( x T Ax) = x T Ax −1 T −1 同理, tr ( A B ) = x A x . 从而由 Kantorovich 不等式（5）即知（7）式成立． （Ⅱ）设 B 是 n 阶实对称半正定矩阵，则由引理 3，存在 n 阶实对称半正定且秩 1 的矩阵 Bi (i = 1,2,..., r ) 使得 B = B1 + B2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Br 且 Bi B j = 0 (i ≠ j : 1, 2, ... , r )
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半正定矩阵的迹不等式
王石安
（华南农业大学理学院，广州，510642） [摘要] 给出了一些半正定矩阵的迹不等式，推广了 Bellman , Kantorovich 不等式． [关键词] 矩阵迹，半正定，实对称矩阵，不等式 [中图分类号] O151. 21
[ 5]
设 Ai (i = 1,2,3) 为 n 阶实对称矩阵，则
tr ( Ai1 Ai2 Ai3 ) = tr ( A1 A2 A3 )
其中 i1i 2 i3 为 123 的任一排列． 命题 3 设 A, B, C 为 n 阶实对称矩阵，且 A 半正定，则
（8）
tr ( A( B 2 + C 2 )) ≥ 2tr ( ABC ) 2 证 由于 B, C 实对称, 易知 ( B − C ) 半正定, 从而由命题 2 知 tr[ A( B 2 + C 2 )] − tr ( ABC ) − tr ( ACB ) = tr[ A( B − C ) 2 ] ≥ 0
3
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在 n 维非零列向量 x ，使得 B = xx , 于是
T
tr ( B 2 ) = tr[( xx T ) 2 ] = ( x T x)tr ( xx T ) = ( x T x)tr ( x T x) = ( x T x) 2
由（8）及（10）知
（9） （10）
tr[ A( B 2 + C 2 )] ≥ tr ( ABC ) + tr ( ACB ) = 2tr ( ABC )
引理 2 则 A 半正定且秩 1 的充分必要条件是存在 n 维 设 A 为 n 阶实对称矩阵，
非零列向量 x ，使得 A = xx T . 则显然 R ( A) = 1 ， 且对任意 n 维列向量 y 有 证 充分性 设 x ≠ 0 且 A = xx T ，
( x T x) 2 ≤ x T Ax ⋅ x T A −1 x 其中 A 为 n 阶实对称正定矩阵， x 为 n 维列向量．得到如下主要结果
= tr ( A3 + B 3 + C 3 ) + 3tr[ A( B 2 + C 2 )] + 3tr[ B( A2 + C 2 )] + 3tr[C ( A2 + B 2 )] + 6tr ( ABC ) ≥ 27tr ( ABC ).
从而定理 1 成立． 定理 2 的证明 （Ⅰ）设 B 半正定且秩 1 的 n 阶实对称矩阵，则由引理 2 知，存
于是，由（Ⅰ）及 tr ( ABi ), tr ( A −1 Bi ) ≥ 0,
(i, j = 1, 2, ..., r ) 得
tr ( B 2 ) = tr ( B1 + B2 + ⋅⋅⋅ + Br ) 2 = ∑ tr ( Bi2 ) +
i =1 r r i ≠ j =1
∑ tr( B B ) = ∑ tr( B
1
（7）
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证 于是， 由于 A, B 为 n 阶实对称正定矩阵，所以存在可逆矩阵 P, Q 使得
i j i =1 r i =1
r
r
2 i
)
r
≤ ∑ tr ( ABi )tr ( A−1Bi ) ≤ ∑ tr ( ABi ) ⋅ ∑ tr ( A−1Bi ) = tr ( AB )tr ( A−1B )
i =1 i =1
这就证明了定理 2 成立． 参考文献
[1] [2] [3] [4] [5] Bellman R. Some Inequalities for Positive Matrices[M]. General Inequalities 2 (Backenhach E F Ed). Birkhauser Verlag, 1980. 陈道琦. 关于半正定 Hermite 矩阵乘积迹的一个不等式[J]. 数学学报, 1988,4： 31, 565-569. 陈公宁. 对 “关于半正定 Hermite 矩阵乘积迹的一个不等式”一文的注记[J]. 数学学报,1992, 5：620-622. 朱敏. 一类矩阵迹不等式的证明[J]. 工科数学, 1996,2（12）, 109-110. 胡永谟. 实对称矩阵的迹的几点性质[J]. 工科数学, 1997,2 , 137-139.
定理 1 设 A, B, C 为 n 阶实对称半正定矩阵，则
（5）
tr ( ABC ) ≤ tr (
A+ B+C 3 ) 3
（6）
定理 2 设 A, B 为 n 阶实对称矩阵，且 A 正定， B 半正定，则
tr ( B 2 ) ≤ tr ( AB )tr ( A −1 B)
1. 命题及引理 命题 1 设 A, B 为 n 阶实对称正定矩阵，则 tr ( AB ) > 0
2. 主要结果的证明 定理 1 的证明：由命题 3、命题 4 及（3）式得
Leabharlann Baidu
tr ( A + B + C ) 3 = tr[ A 3 + B 3 + C 3 + ( B 2 + C 2 ) A + ( A 2 + C 2 ) B + ( A 2 + B 2 )C + A( B 2 + C 2 ) + B( A 2 + C 2 ) + C ( A 2 + B 2 ) + ABA + ACA + BAB + BCB + CAC + CBC + ACB + BAC + BCA + ABC + CAB + CBA]
Some Inequalities for Trace of Semi-positive Define Matrices
Wang shi’an (Science College of South China Agriculture University, Guangzhou, 510642)
Abstract: Semi-positive define real symmetric matrices are studied in this paper. Some inequalities, which generalize the Bellman’s and the Kantorovich’s inequality, for trace of semi-positive define real symmetric matrices are given. Keywords: inequality; trace of matrix; semi-positive define; positive define; real symmetric matrix; orthogonal matrix
（3） 类比算术——几何平
其中 Ak ( k = 1, 2, ..., m) 为 n 阶 Hermite 半正定矩阵．朱敏 均值不等式得到
A1 + A2 + ⋅⋅⋅ + Am m 1 m （4） ) ≤ ∑ tr ( Akm ) m m k =1 其中 Ak ( k = 1, 2, ..., m) 为 n 阶 Hermite 半正定矩阵，且前一不等式在 m ≥ 3 成立 tr ( A1 A2 ⋅⋅⋅ Am ) ≤ tr (
y T Ay = y T ( xx T ) y = ( x T y ) T ( x T y ) ≥ 0
所以 A 半正定． 必要性 设 A 半正定且 R ( A) = 1 ，则有正交矩阵 P 使得
⎛λ ⎞ ⎜ ⎟ 0 ⎟ ，其中 λ > 0 为 A 的特征值. P T AP = ⎜ % ⎟ ⎜ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠
4
其中 A, B 为 n 阶正定矩阵．陈道琦 和陈公宁 Bellman 不等式（1）及（2）推广为下述形式
[ 2]
分别在 1988 年、 1992 年将
tr ( A1 A2 ⋅ ⋅ ⋅ Am ) ≤ [∏ tr ( Akm )] m ≤
1
m
k =1
1 m tr ( Akm ) ∑ m k =1
[ 4]
2
___________________________________________________________________________ 中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn ⎛ λ ⎞ ⎛λ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 ⎟ ，则 x ≠ 0 且 A = P ⎜ ⎟ P T = xx T . 令 x = P⎜ % % ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
A = P T P, B = Q T Q AB = P T PQ T Q = Q −1QP T PQ T Q = Q −1 [( PQ T ) T ( PQ T )]Q T T T T 由于 PQ 可逆，所以 ( PQ ) ( PQ ) 正定，从而 tr ( AB) = tr (Q −1 [( PQ T ) T ( PQ T )]Q) = tr[( PQ T ) T ( PQ T )] > 0 .
命题 2 设 A, B 为 n 阶实对称半正定矩阵，则 tr ( AB ) ≥ 0 证 易证 A 半正定 ⇔ ∀ε > 0, εE + A 正定，从而由命题 1 知，
tr[(εE + A)(εE + B )] > 0
或
tr ( AB ) > −ε [tr ( A + B ) + nε ]
再由 ε 的任意性知， tr ( AB ) ≥ 0 . 引理 1
引理 3 设 A 为 n 阶实对称矩阵，则 A 半正定的充分必要条件是存在 n 阶实对 称半正定且秩 1 的矩阵 A1 , A2 ,..., Ar ，使得
A = A1 + A2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Ar 且 Ai A j = 0, i ≠ j : 1,2,..., r ， （11） 其中 r = R ( A) ． 证 充分性易证．下证必要性，设 A 为 n 阶实对称半正定矩阵，则存在正交矩阵 ⎛ λ1 ⎞ ⎜ ⎟ % ⎜ ⎟ λr T ⎜ ⎟ ，其中 λ ,..., λ > 0 为 A 的特征值. 令 P ，使得 P AP = 1 r ⎜ ⎟ 0 ⎜ % ⎟ ⎜ ⎟ 0⎠ ⎝ ⎛0 ⎞ ⎜ % ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ T Ai = P⎜ 则 Ai (i = 1,2,..., r ) 满足条件 （11） ． λi ⎟ P , i = 1,2,..., r. ， 0 ⎜ ⎟ % ⎟ ⎜ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠
矩阵的迹是矩阵的一个重要数字特征，在实际问题（如滤波、随机控制及计量 经济学等）中也有着广泛的应用．Bellman
[1]
在 1980 年给出如下两个不等式 （1） （2）
[ 3]
1 tr ( AB ) ≤ [tr ( A2 ) + tr ( B 2 )] 2
tr ( AB ) ≤ tr ( A2 )tr ( B 2 )
tr ( AB) = tr ( Axx T ) = tr ( x T Ax) = x T Ax −1 T −1 同理, tr ( A B ) = x A x . 从而由 Kantorovich 不等式（5）即知（7）式成立． （Ⅱ）设 B 是 n 阶实对称半正定矩阵，则由引理 3，存在 n 阶实对称半正定且秩 1 的矩阵 Bi (i = 1,2,..., r ) 使得 B = B1 + B2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Br 且 Bi B j = 0 (i ≠ j : 1, 2, ... , r )
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半正定矩阵的迹不等式
王石安
（华南农业大学理学院，广州，510642） [摘要] 给出了一些半正定矩阵的迹不等式，推广了 Bellman , Kantorovich 不等式． [关键词] 矩阵迹，半正定，实对称矩阵，不等式 [中图分类号] O151. 21
[ 5]
设 Ai (i = 1,2,3) 为 n 阶实对称矩阵，则
tr ( Ai1 Ai2 Ai3 ) = tr ( A1 A2 A3 )
其中 i1i 2 i3 为 123 的任一排列． 命题 3 设 A, B, C 为 n 阶实对称矩阵，且 A 半正定，则
（8）
tr ( A( B 2 + C 2 )) ≥ 2tr ( ABC ) 2 证 由于 B, C 实对称, 易知 ( B − C ) 半正定, 从而由命题 2 知 tr[ A( B 2 + C 2 )] − tr ( ABC ) − tr ( ACB ) = tr[ A( B − C ) 2 ] ≥ 0
3
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在 n 维非零列向量 x ，使得 B = xx , 于是
T
tr ( B 2 ) = tr[( xx T ) 2 ] = ( x T x)tr ( xx T ) = ( x T x)tr ( x T x) = ( x T x) 2
由（8）及（10）知
（9） （10）
tr[ A( B 2 + C 2 )] ≥ tr ( ABC ) + tr ( ACB ) = 2tr ( ABC )
引理 2 则 A 半正定且秩 1 的充分必要条件是存在 n 维 设 A 为 n 阶实对称矩阵，
非零列向量 x ，使得 A = xx T . 则显然 R ( A) = 1 ， 且对任意 n 维列向量 y 有 证 充分性 设 x ≠ 0 且 A = xx T ，