常见不等式通用解法
不等式解法15种典型例题
不等式解法15种典型例题典型例题一解15种典型例题的不等式，需要注意处理好有重根的情况。
例如，如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞（或f(x)＜）可用“穿根法”求解。
对于偶次或奇次重根，可以转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但要注意“奇穿偶不穿”，其法如图。
下面分别解两个例题：例题一：解不等式2x－x²－15x＞0；(x＋4)(x＋5)(2－x)＜231）原不等式可化为x(2x＋5)(x－3)＞0.把方程x(2x＋5)(x －3)=0的三个根5，－1，3顺次标上数轴。
然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分。
∴原不等式解集为{x｜－5＜x＜0}∪{x｜x＞3}。
2）原不等式等价于(x＋4)(x＋5)(x－2)＞23.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－5或－5＜x＜－4或x＞2}。
典型例题二解分式不等式时，要注意它的等价变形。
当分式不等式化为f(x)/g(x)＜(或≤)时，可以按如下方法解题。
1）解：原不等式等价于3(x＋2)－x(x－2)－x²＋5x＋6/3x(x＋2)＜1－2x＋2.化简后得到原不等式等价于(x－6)(x＋1)(x－2)(x＋2)≥0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－2或－1≤x≤2或x≥6}。
2）解法一：原不等式等价于2x²－3x＋1/2x²－9x＋14＞0.化简后得到原不等式等价于(x－1)(2x－1)(3x－7)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或7/3＜x＜1}。
解法二：原不等式等价于(2x－1)(x－1)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或x＞1}。
例7解不等式2ax-a2>1-x(a>0)。
分析：将不等式移项整理得到2ax+x>a2+1，然后按照无理不等式的解法化为两个不等式组，再分类讨论求解。
解：原不等式等价于(1) 2ax-a2>1-x，或(2) 2ax-a2<1-x。
解不等式的方法
解不等式的方法解不等式是代数学中的重要内容，它在数学建模、优化问题、函数图像等方面都有着重要的应用。
在解不等式的过程中，我们需要掌握一些基本的方法和技巧，下面我将为大家介绍几种解不等式的常用方法。
一、一元一次不等式的解法。
对于一元一次不等式ax+b>c，我们可以按照以下步骤来解题：1. 将不等式转化为等价的形式，即ax+b-c>0；2. 根据a的正负情况进行讨论：a. 若a>0，则不等式的解集为x>-b/a+c；b. 若a<0，则不等式的解集为x<-b/a+c。
二、一元二次不等式的解法。
对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0，我们可以按照以下步骤来解题：1. 求出二次函数的判别式Δ=b^2-4ac的值；2. 根据Δ的正负情况进行讨论：a. 若Δ>0，则二次函数有两个不等实根，即x的取值范围为x<x1或x>x2；b. 若Δ=0，则二次函数有两个相等的实根，即x的取值范围为x=x1=x2；c. 若Δ<0，则二次函数无实根，即不等式无解。
三、绝对值不等式的解法。
对于绝对值不等式|ax+b|<c，我们可以按照以下步骤来解题：1. 分情况讨论：a. 若a>0，则不等式的解集为-b<c<ax+b；b. 若a<0，则不等式的解集为-b<c<-ax-b。
四、分式不等式的解法。
对于分式不等式f(x)>0，我们可以按照以下步骤来解题：1. 求出分式的定义域；2. 求出分式的零点；3. 根据零点的正负情况进行讨论：a. 若零点为实数且大于0，则不等式的解集为定义域内使分式大于0的实数；b. 若零点为实数且小于0，则不等式的解集为空集。
五、不等式组的解法。
对于不等式组{f(x)>0, g(x)>0}，我们可以按照以下步骤来解题：1. 求出每个不等式的解集；2. 将每个不等式的解集取交集，得到不等式组的解集。
常见不等式通用解法 (2)
常见不等式通用解法总结一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式①基础一元二次不等式如2260x x --<，2210x x -->，对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式，重点关注解区间的“形状”。
当二次项系数大于0，不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。
2260x x --<的解为3(,2)2- 当二次项系数大于0，不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。
2210x x -->的解为(,1(1)-∞⋃+∞当二次项系数小于0时，化成二次项系数大于0的情况考虑。
②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元）如1392x x +->，令3x t =，原不等式就变为2320t t -+<，再算出t 的范围，进而算出x 的范围又如2432x ax >+，令2t x =，再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集③含参数的一元二次不等式 解法步骤总结：如不等式210x ax ++>，首先发现二次项系数大于0，而且此不等式无法直接看出两根，所以，讨论24a ∆=-的正负性即可。
此不等式的解集为0,0,{|}20,()R a x R x ⎧⎪∆<⎪⎪∆=∈≠-⎨⎪⎪⎪∆>-∞⋃+∞⎩ 又如不等式223()0x a a x a -++>，发现其可以通过因式分解化为2()()0x a x a -->，所以只需要判定2a 和a 的大小即可。
此不等式的解集为2201,{|}01,(,)(,)01,(,)(,)a or a x R x a a a a a or a a a ==∈≠⎧⎪<<-∞⋃+∞⎨⎪<>-∞⋃+∞⎩又如不等式22(1)40ax a x -++>，注意：有些同学发现其可以因式分解，就直接写成(2)(2)0ax x -->，然后开始判断两根2a和2的大小关系，这样做是有问题的。
不等式组解法
不等式组解法不等式是数学中常见的问题之一，解不等式组更是在应用数学和实际问题中经常遇到的情况。
解不等式组的方法有许多种，其中包括图像法、代入法、化简法等等。
在本文中，我们将探讨几种常用的解不等式组的方法，希望能为大家提供一些有关不等式组解法的思路和方法。
一、图像法图像法是一种直观而直接的解不等式组的方法。
它利用数轴上的点来表示不等式的解集。
首先，我们将不等式组中的每个不等式都表示成数轴上的一条线段，并确定它在数轴上的位置。
然后，我们找出不等式组所有不等式的交集区域，这个区域就是不等式组的解集。
通过观察图像，我们可以更清晰地了解不等式组解的情况。
举个例子来说明图像法的应用。
假设有如下不等式组：2x - 3 > 0x + 1 < 5首先，我们把它们表示在数轴上。
第一个不等式可以表示成一个开口向上的抛物线，在数轴上的位置是x>1.5；第二个不等式表示成一条从-1开始向右延伸的线段，位置是x<4。
然后，我们找出这两个不等式的交集区域，即x同时满足x>1.5和x<4。
通过观察可知，这个区域在数轴上是一个从1.5到4的右开区间(1.5, 4)。
所以，这个不等式组的解集可以表示成(1.5, 4)。
二、代入法代入法是解不等式组的一种常用方法。
首先，我们可以选择其中一个不等式，并将其他不等式中的变量用这个不等式中的变量表示，然后进行代入。
通过逐步代入，我们可以得到关于一个变量的单变量不等式，再通过求解这个单变量不等式，即可获得原不等式组的解。
例如，考虑如下不等式组：2x + 3y > 73x - 4y < 1我们可以选择第一个不等式，并将其中的x表示成关于y的函数，得到x > (7 - 3y) / 2。
然后，我们将这个函数代入第二个不等式，即得到 (7 - 3y) / 2 > 1。
通过简单的计算可得，y < 2。
接下来，我们将这个解代回到第一个不等式中，即得到 2x + 3(2) > 7，即 2x + 6 > 7，解得 x > 0.5。
不等式的解法
不等式的解法不等式，即数学中用来表示大小关系的符号，它与等式不同的地方在于，不等式可以有无数个解，而不像等式只有一个解。
解不等式的方法有很多种，接下来将介绍几种常见的解不等式的方法。
一、一元一次不等式一元一次不等式是最基本的不等式，它的形式通常为ax+b>0或ax+b<0，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次不等式的方法有两种：图解法和代数法。
1. 图解法图解法是通过在数轴上画出所给不等式的解集来解不等式。
首先，我们将不等式中的x系数作为直线的斜率，常数项作为直线的截距，画出不等式对应的直线。
然后，根据不等式符号的方向，涂色标记出不等式的解集。
例如，对于不等式3x+2>0，我们可以画出直线y=3x+2，并根据大于号的方向，将直线上大于0的部分涂色。
2. 代数法代数法是通过代数运算解不等式。
首先，根据不等式符号的方向，确定不等式的类型是大于、小于还是等于。
然后，根据不等式中的系数和常数项，进行加法、减法、乘法和除法运算，将未知数x的系数和常数项移到不等式的一侧，使得不等式变为0的形式。
最后，通过考察几个关键点的取值情况，确定不等式的解集。
二、一元二次不等式一元二次不等式是一元二次方程的不等式形式，它的形式通常为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
解一元二次不等式的方法有两种：图解法和代数法。
1. 图解法图解法是通过在坐标平面上画出所给不等式的解集来解不等式。
首先，我们将不等式转化为对应的一元二次方程，找到方程的判别式，判断方程的根的情况。
根据根的位置，将坐标平面分为几个区域，并确定每个区域对应的不等式的正负。
然后，将不等式对应的曲线画在坐标平面上，并根据不等式符号的方向，将曲线上符合条件的部分涂色。
2. 代数法代数法是通过代数运算解一元二次不等式。
首先，根据不等式符号的方向，确定不等式的类型是大于、小于还是等于。
然后，根据不等式中的系数和常数项，进行移项、配方、因式分解等运算，将不等式变为一元二次方程的零点形式。
不等式的解法(复习课)(1)
1、一元一次不等式的法
ax＞b 或 ax＜b
2、绝对值不等式 ｜x｜＞a （a＞0） x＜-a或x＞a ｜x｜＜a （a＞0） -a＜x＜a
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0） 或 ax2+bx+c＜0 （a＞0）
判别式 一元二次方程 ax2+bx+c=0的 根 二次函数 y=ax2+bx+c的 图象 （a＞0） ax2+bx+c＞0 （a＞0）
二、应用举例：
1、解关于x的不等式： ax+1＜a2+x 2、已知a≠b，解关于的不等式：
a2x+b2(1-x) ≥[ax+b(1-x)]2
3、解关于x的不等式
x2-(a+a2)x+a3 ＞0
4、解关于x的不等式
a x x b 0
ax b
b ( ＞a＞b＞0 ) a
＞0
2
=0
无实根
＜0
两相异实根
b b 4ac x 1 、2 = 2a
两相等实根 b x1=x2= 2a
{x｜x＜x1或 {x｜x∈ R x＞x2 } 且X≠X1}
R
ax2+bx+c＜0 {X｜X1＜X （a＞0） ＜X2}
4、分式不等式的源自法x 0 （1）简单分式不等式的解法 如： 3 x
5、解关于x的不等式：
ax2-2(a+1)x+4＞0 6、解不等式： ｜x+3｜-｜x-5｜＞7 (其中a≠0)
7、已知关于x的不等式 ax+b＞0的解 集为 (1，+∞ ) ，解不等式
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中常见的问题，解不等式可以帮助我们找到满足特定条件的数值范围。
本文将介绍几种常用的不等式的解法。
一、一元一次一元一次不等式是形如ax+b>c或ax+b<c的不等式，其中a、b、c都是已知的实数，x是未知数。
1. 等价变形法通过对不等式进行等价变形，使得未知数x单独在一边，从而得到不等式的解。
例如，对于不等式3x+4>10，我们可以通过减4，并除以3来消去4和3，得到x>2。
所以x的取值范围为大于2的所有实数。
2. 符号法考虑不等式中的符号，根据不等式关系的性质确定解的范围。
例如，对于不等式5x-7≥8，我们观察到不等式中的符号是≥，根据≥的意义，我们知道等号成立时也是一个解。
所以我们可以解得5x-7=8，得到x=3。
因此，x的取值范围为大于等于3的所有实数。
二、一元二次一元二次不等式是形如ax^2+bx+c>d或ax^2+bx+c<d的不等式，其中a、b、c、d都是已知的实数，x是未知数。
1. 图像法将一元二次不等式转化为二次函数的图像，通过观察函数图像来确定不等式的解。
例如，对于不等式x^2-4x<3，我们可以将不等式转化为方程x^2-4x=3，并求得其根为x=1和x=3。
然后绘制出函数图像y=x^2-4x的图像，在图像上观察x轴上落在1和3之间的部分，即得到不等式的解为1<x<3。
2. 化简法将一元二次不等式进行化简，将不等式转化为一个或多个一元一次不等式，然后求解这些一元一次不等式的解。
例如，对于不等式x^2+2x-3>0，我们可以将不等式因式分解为(x-1)(x+3)>0。
然后我们考虑两个因式的正负情况，得到两个一元一次不等式x-1>0和x+3>0。
解这两个一元一次不等式，得到x>1和x>-3。
因此，x的取值范围为大于1和大于-3的所有实数。
三、多元多元不等式是包含两个或多个未知数的不等式，解多元不等式可以使用代入法、图像法或数学方法。
常见不等式通用解法
常见不等式通用解法总结一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式① 基础一元二次不等式 如2x 2 x 60，x 2 2x 1 0 ,对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元次不等式，重点关注 解区间的“形状”。
当二次项系数大于 0，不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。
3又如x 2 ax 4-，令t x 2，再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集2③含参数的一元二次不等式 解法步骤总结：序号步骤1首先判定二次项系数是否为0，为0则化为一元一次不等式，再分类讨论 2二次项系数非0,将其化为正的，讨论 判别式的正负性，从而确定不等式的解 集3若可以直接看出两根，或二次式可以因 式分解，则无需讨论判别式，直接根据 不同的参数值比较两根大小4综上，写出解集如不等式x 2 ax 1 0，首先发现二次项系数大于 0,而且此不等式无法直接看出两根,所以，讨论a 2 4的正负性即可。
0,R以只需要判定a 2和a 的大小即可。
a 0or a 1,{x R| x a} 此不等式的解集为0 a 1,( ,a 2) (a,) 2a 0or a 1,(, a) (a ,)又如不等式ax 2 2(a 1)x 4 0 ,注意：有些同学发现其可以因式分解，就直接写成2x x 60的解为（当二次项系数大于|,2）0，不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。
2x 10的解为（,1 . 2) (1 .2,)当二次项系数小于②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元） 如3x 1 x 的范围 0时，化成二次项系数大于0的情况考虑。
9x 2，令t 3x ，原不等式就变为t 23t 2 0，再算出t 的范围，进而算出此不等式的解集为0,{x 0,(R|x 自又如不等式x 2 （a 2 a ）x a 30，发现其可以通过因式分解化为(x a)(x a 2)0，所)(x 1)2(x 2)(x 3)(x 4) 0 的示意图见下。
常见不等式的解法
常见不等式的解法【知识要点】一、一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为(0)ax b a >≠的形式.当0a >时，不等式的解集为b x x a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；当0a <时，不等式的解集为b x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.二、一元二次不等式20(0)ax bx c a ++≥≠的解法1、二次不等式2()0f x ax bx c =++≥（0a >）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答.2、当二次不等式()f x =20(0)ax bx c a ++≥<时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数a 变成正数，再利用上面的方法解答. 3、温馨提示（1）不要把不等式20ax bx c ++>看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析2x 的系数.（2）对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论.（3）如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件. （4）不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性. 三、指数不等式和对数不等式的解法解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法(1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件.①当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩②当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩(2)对指互化法：如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法.对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解.(1)x a b a >>log ()log log x a a a a b x b ⇒>⇒> (01)x a b a ><<log ()log log x a a a a b x b ⇒<⇒<log 00log (1)aa xb x x x b a x b aa >>⎧⎧>⇒⇒>⎨⎨>>⎩⎩其中log 00log (1)aa xb x x x b a x b a a >>⎧⎧>⇒⇒<<⎨⎨<<⎩⎩其中0四、分式不等式的解法把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成()0()f x g x ≥的形式→化成不等式组()0()()0g x f x g x ≠⎧⎨≥⎩→解不等式组得解集.温馨提示：解分式不等式一定要考虑定义域. 五、高次不等式的解法先把高次不等式分解因式化成123()()()()0n x a x a x a x a ---->的形式（x 的系数必须为正）→标记方程的实根（注意空心和实心之分）→穿针引线，从右往左，从上往下穿（奇穿偶不穿）→写出不等式的解集.实际上，序轴标根法适用于所有的整式不等式，根据它可以很快地写出整式不等式的解集. 六、绝对值不等式的解法方法一：公式法 解只含有一个绝对值形如()ax b c +><的不等式，一般直接用公式x a x a x a >⇔><-或 x a a x a <⇔-<<，注意集合的关系和集合的运算，集合的运算主要利用数轴.方法二：零点讨论法 解含有两个绝对值形如()x a x b c +++><的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.方法三：平方法 如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：3x >，可以使用平方法. 七、无理不等式的解法无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答.无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，)()(x g x f ≥可转化为)()(x g x f >或)()(x g x f =，而)()(x g x f >等价于：⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f 或⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥2)]([)(0)(0)(x g x f x g x f ．八、抽象的函数不等式的解法一般利用函数的单调性解答，先研究函数的单调性，再利用函数的单调性把抽象的函数不等式转化成具体的函数不等式解答. 学科#网 【方法讲评】【例1】 解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ．②当0>a 时，①式变为0)1)(1(<--x ax ． ② ∵a a a -=-111，∴当10<<a 时，11>a ，此时②的解为ax 11<<．当1=a 时，11=a ，此时②的解为11<<x a． 【点评】解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>=<<><≠=∈11100000a a a a a a a R a 分类应做到使所给参数a 的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论0<a 时，解一元二次不等式01)1(2<++-x a ax 应首选做到将二次项系数变为正数再求解．【反馈检测1】 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ．【例2】解不等式211126()82x x ---⨯<【点评】解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解.【反馈检测2】解关于x 的不等式：)22(223x x x xa --<-（其中0a >）【例3】已知0>a 且1a ≠，关于x 的不等式1xa >的解集是{}0x x >，解关于x 的不等式1log ()0a x x-<的解集.【点评】本题选同底法解答，把0写成log 1a ，再利用对数函数的图像和性质将不等式变成分式不等式 组解答.【反馈检测3】解不等式21log (2)1x x x +-->.【例4】解关于x 的不等式12>-x【点评】分析：若将原不等式移项、通分整理可得：02)2()1(>----x a x a ⇔0)2)](2()1[(>----x a x a显然，现在有两个问题：（1）1a -的符号怎样？（2）12--a a 与2的大小关系怎样？这也就是本题的分类标准所在.【反馈检测4】 解不等式x xx x x <-+-+222322．)(n x a -数必须为正）→标记方程的实根（注意空心和实心之分）→穿针引线，从右往左，从上【例5】解不等式： 015223>--x x x【点评】如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．学科#网【反馈检测5】0)2()5)(4(32<-++x x x【例6】|5||23|1x x --+<【点评】该题由于有两个不等式，所以一般利用零点讨论法.对于含有两个和两个以上的不等式，一般利用零点讨论法.【反馈检测6】解不等式242+<-x x【例7】 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ．【解析】原不等式⎪⎩⎪⎨⎧->-≥->-⇔;)1(2,01,02)1(222x a ax x a ax 或⎩⎨⎧<-≥-.01,02)2(2x a x由0>a ，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+++-≤>⇔;01)1(2,1,2)1(22a x a x x a x ⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇔.1,2)2(x a x由判别式08)1(4)1(422>=+-+=∆a a a ，故不等式01)1(222<+++-a x a x 的解是a a x a a 2121++<<-+．当20≤<a 时，1212≤-+≤a a a，121>++a a ，不等式组(1)的解是121≤<-+x a a ，不等式组(2)的解是1>x ．当2>a 时，不等式组(1)无解，(2)的解是2a x ≥． 综上可知，当20≤<a时，原不等式的解集是[)+∞-+,21a a ；当2>a 时，原不等式的解集是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a ．【点评】本题分类讨论标准“20≤<a ，2>a ”是依据“已知0>a 及(1)中‘2ax >，1≤x ’，(2)中‘2ax ≥，1>x ’”确定的．解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点．一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定．本题易误把原不等式等价于不等式)1(22x a ax ->-．纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法．【反馈检测7】解不等式x x x ->--81032．【例8】若非零函数对任意实数均有，且当时，. （1）求证：；（2）求证：为减函数；（3）当时，解不等式.（3）由 原不等式转化为，结合（2）得：故不等式的解集为【点评】（1）第（3）问的关键是找到1(?)4f =，再利用函数的单调性把抽象的函数不等式转化成具()f x ,a b ()()()f a b f a f b +=0x <()1f x >()0f x >()f x 1(4)16f =21(3)(5)4f x f x --≤211(4)(2)1(2)164f f f ==⇒=，由（）)2()53(2f x x f ≤-+-10222≤≤⇒≥-+x x x {}10|≤≤x x体函数不等式.【反馈检测8】函数对任意(0)x y ∈+∞，，满足()()()f xy f x f y =+且当1x >时，()0f x <. （l ）判断函数的单调性并证明相关结论；（2） 若(2)1f =-，试求解关于x 的不等式()(3)2f x f x +-≥-.【反馈检测9】【2017江苏，11】已知函数31()2e e x xf x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若 2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是 .不等式的解法参考答案【反馈检测1答案】见解析【反馈检测2答案】见解析【反馈检测2详细解析】解原不等式得：即),12()12(2222-<-x xxa0)14)(4(),14()14(4<--∴-<-x x x x x a a)0,(log ,14,104a a a x 此时不等式的解集为时当<<<<此时不等式无解时当,0)14(,12<-=x a )log ,0(,41,14a a a x 此时不等式的解集为时当<<>【反馈检测3答案】3x >()f x ()fx【反馈检测3详细解析】[法一]原不等式同解于所以原不等式的解为3x >.[法二]原不等式同解于211log (2)log (1)x x x x x ++-->+所以原不等式的解为3x >.【反馈检测4答案】}321{><<-x x x 或【反馈检测5答案】{}2455>-<<--<x x x x 或或【反馈检测5详细解析】原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或【反馈检测6答案】{}31<<x x【反馈检测6详细解析】解法一：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+<-<-⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥-⇔240424042222x x x x x x 或 即⎩⎨⎧>-<<<-⎩⎨⎧<<--≤≥1222222x x x x x x x 或或或 ∴32<≤x 或21<<x 故原不等式的解集为{}31<<x x ．解法二：原不等式等价于 24)2(2+<-<+-x x x即⎪⎩⎪⎨⎧+->-+<-)2(42422x x x x ∴312132<<⎩⎨⎧-<><<-x x x x 故或． 【反馈检测7答案】⎭⎬⎫⎩⎨⎧>1374x x【反馈检测8答案】（1）()f x 在(0,)+∞上单调递减；（2）{34}x x <≤.学科#网【反馈检测8详细解析】（1）()f x 在(0,)+∞上单调递减1212,,(0,)x x x x <∈+∞任取且 2221111()()()()x x f x f x f x f x x =⋅=+则 2211()()()x f x f x f x ∴-= 120x x << 21()0x f x ∴< 2112()()0()()f x f x f x f x ∴-<>即 ()(0,)f x ∴+∞在单调递减 （2）2)2()2()4(-=+=f f f ((3))(4f x x f ∴-≥原不等式可化为 ()0f x +∞又在（，）上单调递增030(3)4x x x x >⎧⎪∴->⎨⎪-≤⎩34x <≤解得 {34}x x ∴<≤原不等式解集为. 【反馈检测9答案】1[1,]2-。
常见不等式通用解法
当前形势解不等式在近五年北京卷（理）考查5～10分高考 要求内容要求层次 具体要求A B C 含参不等式解法√运用不等式的性质熟练解决含参不等式以及恒成立问题解不等式的其它方法√理解二次函数、二次方程与二次函数图象之间的关系，并会从函数的角度解决不等式问题，考虑单调性和图象法．<教师备案> 不等式的解法是高考中的必考内容，由于教学要求的变化，考查要求有所降低，直接考查主要以选择题，填空题为主，题目小巧灵活新颖；主要以导数解答题的形式出现，考查含参数不等式的解法．间接解法考查更多，往往与函数，导数，数列等内容结合，以求取值范围的设问方式呈现，有一定的难度和综合性．<教师备案> 在寒假班的时候解不等式部分我们重点讲了变形后转化为一元二次不等式，已知解的结构进而处理系数问题．我们在这里简单回顾一下． 1、解不等式：①2260x x --<； ②2210x x -->；知识切片寒假知识回顾新课标剖析第6讲常见不等式通用解法③1392x x +->；④()()222log 43log 211x x x +->-+．【解析】 ①不等式的解集为322⎛⎫- ⎪⎝⎭，．②不等式的解集为()()1212-∞-++∞，，③()30,log 2x ∈．④不等式解集为1,22⎛⎫⎪⎝⎭．2、已知关于x 的不等式20x ax b -+<的解集为(14)，，求2a b +的值．【解析】 214a b +=．3、 当不等式2230x px ++≤恰好只有一实数解时，实数p 的值为________． 【解析】 26±4、关于x 的不等式2432x ax >+的解集是非空集合()(),22,m m --，则am 的值等于_____．【解析】 38考点1：解含参不等式对于含有参数的一元二次不等式，解法步骤总结如下： ①首先应判定二次项系数是否为零，分别加以讨论；②在二次项系数不为零的条件下，将二次项系数化为正的，讨论对应的二次方程是否有根，即讨论判别式的正负；③在有根的情况下进行因式分解或利用求根公式求出二次方程对应的根； ④比较两根的大小，分别得到参数的范围，写出解集． ⑤最后将可以合并的合并，并按参数的范围分别写出解集．<教师备案>含参数的一元二次不等式的解答是以后要学习的求导数的单调性的基础，在高考中是必考的，需要对参数进行各种分类讨论，不重不漏，遵循一定的原则，养成良好的分类习惯．知识点睛6.1含参一元二次不等式【例1】 ⑴求关于x 的不等式210x ax ++>的解集．⑵求关于x 的不等式2(2)20x a x a -++>的解集． ⑶求关于x 的不等式22(1)40ax a x -++>的解集．【解析】 ⑴ 不等式的解集为224422a a a a ⎛⎫⎛⎫----+--∞+∞ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． ⑵ 当2a >时，不等式的解集为： ()()2a -∞+∞，，； 当2a =时，不等式的解集为： (2)(2)-∞+∞，，； 当2a <时，不等式的解集为： ()()2a -∞+∞，，．⑶ 综上知：当0a =时，不等式的解集为(2)-∞，；当0a <时，不等式的解集为22a ⎛⎫⎪⎝⎭，；当01a <<时，不等式的解集为2(2)a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，；当1a =时，不等式的解集为(2)(2)-∞+∞，，； 当1a >时，不等式的解集为2(2)a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，．考点2：已知一元二次不等式解集求参数范围此类题型一般有两种处理方法：⑴ 由一元二次不等式的解集的形式考虑对应的二次函数的图象，把解集转换为二次函数的图象与x 轴的交点问题，进而转化为对应的关于参数的不等式，从而解出参数的范围．⑵ 我们把含参数的不等式看成一个含有两个变量的不等式．若通过整理，可以将这个不等式中的两个变量分别调整到不等号的两端，使之每一边仅含有一个变量，这个方法通常叫做分离参数． 对于一个含参不等式，如果我们可以对它分离参数，那么我们不论知道哪一个变量的取值范围，去求另一个的范围都很容易了，因为我们要研究的都只是一个含有一个自变量的函数的值域问题． 此类问题的一部分具体处理方式我们在本讲第三板块讲解，全面的类型在高二导数部分和高三复习的时候会重点讲解．【例2】 ⑴已知1230a a a >>>，则使得2(1)1i a x -<(123)i =，，都成立的x 取值范围是（ ）A ．110a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．120a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．310a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．320a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，⑵关于x 的不等式组()222022550x x x k x k ⎧-->⎪⎨+++<⎪⎩的解集中的整数恰好只有一个，则实数k 的取值范围为________．【解析】 ⑴ B 经典精讲经典精讲⑵ [)(]3,23,4-【铺垫】要使满足关于x 的不等式2290x x a -+<（解集非空）的每一个x 至少满足不等式2430x x -+<和2680x x -+<中的一个，则实数a 的取值范围是 ． 【解析】 8178⎡⎫⎪⎢⎣⎭，；【例3】 设不等式2220x ax a -++≤的解集为M ，如果[14]M ⊆，，求实数a 的取值范围．【追问】若将本题改为：若[14]M ⊆，，求a 的取值范围，【解析】a 的取值范围是1817⎛⎤- ⎥⎝⎦，． 【追问】a 的取值范围为[3,)+∞．考点3：解分式不等式1．对于含有分式的不等式解法思路：先将不等式整理为()()0f x g x >或()()0f x g x ≥，再化为整式不等式求解． ()()()()00f x f x g x g x >⇔>；()()()()()000f x g x f x g x g x ⎧⎪⇔⎨≠⎪⎩≥≥ 2．数轴标根法使用范围：对于能分解成一些一次因式的乘积或一次因式的商的不等式． 注意事项：每个一次因式中x 的系数都为正；对于高次因式先约去其次数．<教师备案>分式不等式以及很多非常规不等式，主要思路一般都是将不等式转化为整式不等式，然后进行因式分解或由求根公式，利用标根法得出解集．需要注意的是，转化时要等价，比如分母不能为0，根号下的式子要非负等等．标根法可以简单的举几个例子，比如求()()()()12340x x x x --++>的解集．知识点睛经典精讲6.2分式不等式、绝对值不等式与无理不等式【例4】 ⑴关于x 的不等式724x x x -+≥的解集为___________． ⑵若10a +>，则不等式221x x ax x ---≥的解集为________．⑶已知不等式20ax bx c ++>的解集是{}|x x αβ<<，其中1βα>>，则不等式 ()220a ax bx c cx bx a++<++的解集是 ．【解析】 ⑴ 不等式的解集为()[],41,2-∞-．⑵ (](1)a -∞-+∞，， ⑶ 不等式的解集为11|x x x x βααβ⎧⎫><<<⎨⎬⎩⎭或或．【备选】求关于x 的不等式(1)1(1)2a x a x ->≠-的解集．【解析】 综上所述可知：当0a <时，原不等式的解集为221a a -⎛⎫⎪-⎝⎭，； 当0a =时，原不等式的解集为∅；当01a <<时，原不等式的解集为221a a -⎛⎫ ⎪-⎝⎭，；当1a >时，原不等式的解集为2(2)1a a -⎛⎫-∞+∞ ⎪-⎝⎭，，．考点4：解绝对值不等式对于含有绝对值的不等式，解题的思想如下：1．化去绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式： ①()()()0f x a a a f x a <>⇔-<<； ②()()()0f x a a f x a >>⇔<-或()f x a >； ③()()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<； ④()()()()f x g x f x g x >⇔<-或()()f x g x >．2．构造绝对值函数，通过函数图象的位置关系转化，利用数形结合找到解集的形式，进而转化为方程去解出解集区间的端点．3．用零点分段去绝对值符号来求解．此时需要注意： ①区间端点处的值不能遗漏；②在各个区间上解出的结果应与本区间求交集； ③各区间上的解集并起来，才得原不等式的解集． <教师备案>解含绝对值符号的不等式，关键是去绝对值，可以分段讨论，可以平方，也可以用图象来处理，或者用绝对值的几何意义，总之就是将含绝对值不等式等价转化，但尽量不要让问题复杂化．知识点睛【例5】 ⑴解下列不等式：①()()110x x +->；②2341x x x --<+；⑵若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，，则b 的取值范围为 ． ⑶解关于x 的不等式：21x ax -<．【解析】⑴ ①不等式的解集为{}11x x x <≠-且． ②原不等式解集为()3,5． ⑵ (57)，⑶ 综上所述：当0a <时，原不等式解集为224422a a a a ⎛⎫-+++- ⎪ ⎪⎝⎭，；当0a =时，原不等式解集为∅；当0a >时，原不等式解集为2244,22a a a a ⎛⎫-+++-⎪ ⎪⎝⎭．【备选】若不等式43x x a -+-<的解集是空集，求实数a 的取值范围．【解析】1a ≤． <教师备案>对于形如x a x b m -+->或x a x b m -+-<（0m >为常数）的不等式，利用实数绝对值的几何意义，数形结合求解较简便．考点5：解无理不等式无理不等式往往需要转化为有理不等式组进行求解．常见类型及解法如下： ⑴()()()()00g x f x g x f x ⎧<⎪>⇔⎨⎪⎩≥或()()()20g x f x g x ⎧⎪⎨>⎡⎤⎪⎣⎦⎩≥；⑵()()()()()()200f x f xg x g x f x g x ⎧⎪⎪<⇔>⎨⎪<⎡⎤⎪⎣⎦⎩≥． <教师备案>重点是将无理不等式等价转化，需要注意的是根号下的式子要非负．【例6】 ⑴解不等式2232x x x +-<+； ⑵解不等式212x x ->-；知识点睛经典精讲经典精讲⑶解不等式()22a x x a a ->-∈R ．【解析】 ⑴ 不等式的解集为[)1,+∞．⑵ 不等式解集为1,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭．⑶ 综上所述，当0a <时，原不等式解集为(),0a ； 当0a =时，原不等式解集为∅； 当0a >时，原不等式解集为[),a a -．<教师备案>解决含有参数的不等式恒成立问题，一般都可以转化为一元二次不等式相关的问题，其处理方法大致有两种： ①整体分析法：将不等式问题转化为含参的一元二次函数的零点分布问题，再利用根的判别式或数形结合的思想，得到相关不等式，使问题得到解决； ②参数分离法：将参数分离出来，将恒成立问题转化为求函数最大值或最小值的问题．一般参数容易分离时，第②个方法比较容易；当参数不容易分离或分离后得到的函数太复杂时，再考虑用整体分析法，通过数形结合与分类讨论得到结果．还有一种不是很常用的方法，不等式含有两个变量时，可以灵活的将代数式看成其中任一个变量的函数，复杂程度往往有很大的区别．【例7】 ⑴已知210ax ax ++≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是 ．⑵若不等式210x ax ++≥对于一切102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，恒成立，则a 的最小值是（ ）A ．0B ．2-C ．52- D ．3-【追问】若当[]3,2x ∈--时恒成立，则a 的取值范围为___________．⑶若[]13a ∈，，使得不等式2(2)20ax a x +-->恒成立，则实数x 的取值范围是_________．【解析】 ⑴ 04a ≤≤⑵ C【追问】52a ≤．⑶ 2x >或1x <-【挑战8分钟】① 已知220x ax a --<在()21--，上恒成立，求实数a 的取值范围． ② 若(]1x ∈-∞-，，()21390x x a a ++->恒成立，求实数a 的取值范围．经典精讲6.3恒成立问题【解析】 ① 解得43a -≤． ② 34a -<<．【备选】已知二次函数2()f x ax x =+，如果[0,1]x ∈时|()|1f x ≤，求实数a 的取值范围． 【解析】 20a -<≤．【点评】 [0,1]x ∈时，()1f x ≤⇔max ()1f x ≤且min ()1f x ≤．max ()max (0)(1)f x f f =，，于是有(0)1f ≤且(1)1f ≤，解得20a -≤≤；min ()f x 需要讨论对称轴12x a=-是否在区间[01]，上，得到一些不等式，解得结果． 这是一种整体考虑的思想，解析中是参数分离的思想．设函数2()1f x x =-，对任意32x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭≤恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 【解析】 3322⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭，，．【演练1】已知集合{}12M x x x =-∈R ≤，，511P xx x ⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭Z ≥，，则M P ∩等于（ ） A ．{}03x x x <∈Z ≤， B ．{}3x x x ∈Z 0≤≤，C ．{}1x x x -∈Z ≤≤0，D ．{}10x x x -<∈Z ≤，【解析】 B【演练2】在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-．若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则（ ）A ．11a -<<B ．02a <<C ．1322a -<<D ．3122a -<<【解析】 C【演练3】当()12x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ． 【解析】 5m -≤【演练4】设m ∈R ，求关于x 的不等式22230m x mx +-<的解集． 【解析】 ∴当0m =时，原不等式的解集为R ；当0m >时，原不等式的解集为31m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，；实战演练当0m <时，原不等式的解集为13mm ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．【演练5】（2010山东省聊城一中高三模拟）已知关于x 的不等式22221463x kx kx x ++<++的解集为R ，而关于x 的不等式2(2)0kx k x k --+≤的解集为∅，求实数k 的取值范围．【解析】 k 的取值范围为13k <<．（全国高中数学联赛江苏赛区初赛13）若不等式2x y k x y ++≤对于任意正实数x ，y 成立，求k 的取值范围．【解析】 显然0k >．∴()2222(2)(21)2(1)0x yk x y k x xy k y ++⇒--+-≤≥对于x ，0y >恒成立．令0xt y=>，则得222()(21)2(1)0f t k t t k =--+-≥对一切0t >恒成立． 当2210k -≤时，不等式不可能恒成立，故2210k ->．此时当2121t k =-时，()f t 取得最小值4222222221223(23)121212121k k k k k k k k k ---+-==----． 当2210k ->且2230k -≥，即62k ≥时，最小值大于等于零，不等式恒成立，且当232k =时，即12t =，40x y =>时，等号成立．∴62k ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎪⎣⎭，．大千世界。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中常见的一种关系式，描述了数值之间的大小关系。
它是由不等号（例如>, <, ≥, ≤, ≠）连接的两个数或表达式组成的。
解不等式就是找出满足该不等式的所有数值。
在解不等式的过程中，需要考虑不等式中的未知数、常数以及可能存在的绝对值、平方根等特殊情况。
以下是几种常见的不等式解法方法：一、加减法解不等式若不等式中的未知数带有符号，并且仅涉及到加减法运算，则可以通过移项的方式解不等式。
具体步骤如下：1. 将所有含有未知数的项放在一边，将常数放在另一边，确保未知数的系数为正数；2. 合并同类项；3. 如果未知数系数为负数，将不等号反转；4. 如果不等式两侧都含有未知数，则根据大小关系进行筛选；5. 最后化简，得到不等式的解。
举例说明：解不等式2x + 5 < 7 - x。
1. 将所有含有未知数的项放在一边，将常数放在另一边，得到2x + x < 7 - 5；2. 合并同类项，得到3x < 2；3. 未知数系数为正数，不需要改变不等号；4. 进行筛选，得到x < 2/3；5. 最后化简，得到解集{x | x < 2/3}。
二、乘除法解不等式若不等式中的未知数带有符号，并且仅涉及到乘除法运算，则可以通过乘除法的逆运算解不等式。
具体步骤如下：1. 将不等式中的未知数项移动一侧，将常数项移动到另一侧；2. 如果是乘法，则将未知数系数为正数；3. 如果是除法，则需考虑被除数符号与除数符号的关系；4. 根据大小关系进行筛选；5. 最后化简，得到不等式的解。
举例说明：解不等式3x - 4 > 2x + 1。
1. 将未知数项移动到一侧，将常数项移动到另一侧，得到3x - 2x > 1 + 4；2. 未知数系数为正数，不需要改变不等号；3. 进行筛选，得到x > 5；4. 最后化简，得到解集{x | x > 5}。
三、绝对值不等式的解法对于含有绝对值的不等式，需要分情况进行讨论。
不等式的解法(复习课)(1)
1、一元一次不等式的法 ax＞b 或 ax＜b
2、绝对值不等式 ｜x｜＞a （a＞0） x＜-a或x＞a ｜x｜＜a （a＞0） -a＜x＜a
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0） 或 ax2+bx+c＜0 （a＞0）
判别式
＞0
=0 ＜0
一元二次方程 ax2+bx+c=0的 根
6、解不等式： ｜x+3｜-｜x-5｜＞7
7、已知关于x的不等式 ax+b＞0的解 集为 (1，+∞ ) ，解不等式
ax b x2 5x 6 ＞0
1、含参数不等式要注意参数的范围、参数引起 的讨论
2、含两个绝对值不等式的解法 ——零值点法
二、应用举例：
1、解关于x的不等式： ax+1＜a2+x
2、已知a≠b，解关于的不等式： a2x+b2(1-x) ≥[ax+b(1-x)]2
3、解关于x的不等式 x2-(a+a2)x+a3 ＞0
4、解关于x的不等式
a xxb 0
b
( ＞a＞b＞0 )
ax b
a
5、解关于x的不等式： ax2-2(a+1)x+4＞0 (其中a≠0)
注意：
1、以后解不等式最后的结果都要写成集合或区间。
2、解不等式时一定要注意“是否有=”。
3、对绝对值不等式一定要分清是 “或”还是“且”， 是求并集还是要求交集。
4、对一元二次不等式，要注意二次项系数a是否大于0
5、数轴标根法—分式不等式—高次整式不等式
6、有关计算的要求------移项、去括号、通分、两边同 乘一个数是正还是负。
基本不等式的所有公式及常用解法
基本不等式的所有公式及常用解法
基本不等式是数学中一种重要的概念，它可以帮助我们解决许多复杂的问题。
基本不等式的公式有许多，其中最常用的是加法不等式、乘法不等式、减法不等式和比较不等式。
加法不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有a+b≥0。
加法不等式的解法是：若a、b是
任意实数，则可以将a+b≥0转化为a≥-b，从而得出a的取值范围。
乘法不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有ab≥0。
乘法不等式的解法是：若a、b是任
意实数，则可以将ab≥0转化为a≥0或b≥0，从而得出a、b的取值范围。
减法不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有a-b≥0。
减法不等式的解法是：若a、b是
任意实数，则可以将a-b≥0转化为a≥b，从而得出a的取值范围。
比较不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有a>b或a<b。
比较不等式的解法是：若a、b
是任意实数，则可以将a>b或a<b转化为a-b>0或a-b<0，从而得出a的取值范围。
基本不等式的公式和解法可以帮助我们解决许多复杂的问题，它们在生活中也有着重要的作用。
比如，当我们在购物时，可以利用基本不等式的公式和解法来比较价格，从而节省购物费用。
此外，基本不等式的公式和解法还可以帮助我们解决许多其他的问题，比如计算投资回报率、计算贷款利息等。
总之，基本不等式的公式和解法对我们的生活娱乐有着重要的意义，它们可以帮助我们解决许多复杂的问题，节省购物费用，计算投资回报率和贷款利息等。
不等式的解法
不等式的解法一、简单的一元高次不等式的解法： 1.一元二次不等式的一般解法：1）形如：（x －a ） · (x －b ）＞0 等价于⎩⎨⎧〉-〉-00b x a x 或⎩⎨⎧〈-〈-00b x a x 。
2）形如：（x －a ） · (x －b ）＜0 等价于⎩⎨⎧〈-〉-0b x a x 或 ⎩⎨⎧〉-〈-0b x a x 。
2.简单的一元高次不等式的穿针引线法：一元高次不等式f(x)＞0(或＜0)用穿针引线法（或数轴标根法、根轴法、区间法）求解。
用此法解一元高次不等式，先将不等式化为一端为零，一端为一次因式（或二次因式不可分解因式）之积，然后求出零点，并在数轴上依次标出，再用光滑曲线从右至左，自上而下依次通过这些零点。
则大于零（小于零）的不等式的解集对应着曲线在数轴上方（下方）部分的实数x 的取值集合。
【注意事项】分解因式后，各因式中x 的系数一定要化为正数；画线时，遇奇数次重根一次穿过，遇偶数次重根穿而不过；考查各重根是否在解集内，再决定其去留。
【典型例题】解不等式：1) x 2-2x-3＞0; 2) (x+2)·(x+1)2·(x-1)3·(x-2)≤0. 【解析】1）不等式x 2-2x-3＞0 可化为（x-3）（x+1）＞0 它等价于⎩⎨⎧〉+〉-0103x x 或 ⎩⎨⎧〈+〈-0103x x 即 x ＞3 或x ＜-1。
还可以用穿针引线法解答：令x 2-2x-3=0 ，即 （x-3）（x+1）=0. 则零点分别为 -1,3.将零点依次标在数轴上，并画出光滑的曲线，如图所示： + + -1 3因为不等式大于零，所以取X 轴上方的阴影部分。
则不等式的解集为： x ＞3 或x ＜-1。
2）用穿针引线法解答：令 (x+2)·(x+1)2·(x-1)3·(x-2)=0 ，则零点分别为：-2，-1,1,2，将零点依次标在数轴上，并画出光滑的曲线，如图所示：X-2 -1 1 2故原不等式的解集为{x|x ≤-2或1≤x ≤2或x=-1} 。
三类常见不等式问题的解法
解题宝典不等式知识贯穿于高中数学的各个章节，其题型多变，且综合性较强.常见的不等式问题主要有求不等式的解集、比较两式的大小、证明不等式恒成立等.本文重点探讨这三类常见的不等式问题及其解法.一、求不等式的解集求不等式的解集是一类基础题，主要考查不等式的解法.对于一次不等式，可直接根据系数的正负来确定不等式的解集；求二次不等式的解集，需借助方程的判别式和求根公式来；对于三次或三次以上的不等式，需先将不等式中的因式分解为几个式子的乘积的形式，然后运用“穿针引线法”来求得不等式的解集.例1.解关于x 的不等式2ax -a 2>1-x ()a >0.解：由题意可得，原不等式等价于ìíîïï2ax -a 2>0,1-x ≥0,2ax -a 2>()1-x 2,①，或{2x -a 2≥0,1-x <0,②由①可得ìíîïïïïx >a 2,x ≤1,x 2-2()a +1x +a 2+1<0,由②可得ìíîïïx ≥a 2，x >1，∵Δ=4()a +12-4()a 2+1=8a >0，∴x 2-2()a +1x +a 2+1<0解集为a +1-2a ＜x＜a +1+2a ；（1）当0＜a ≤2时，a2≤a +1-2a ≤1,a +1+2a >1，不等式组①的解集为a +1-2a <x ≤1，不等式组②的解集为x >1，（2）当a >2，不等式组①无解，不等式组②的解集为x ≥a 2.在求二次不等式的解集时，我们首先要将不等式进行变形，使不等式的右边为0，然后根据方程的判别式判断不等式左边式子所对应的方程是否有根.若Δ>0，则方程有两个不相等的实数根，再根据求根公式求出方程的两根，得到不等式的解集；若Δ=0，便可根据函数的图象得到不等式的解集.二、比较两式的大小比较两式的大小一般采用作商比较法或者作差比较法.在解题时，要先将两式作差或者作商，再将差值与0进行比较，即ìíîïïa -b >0⇔a >b ,a -b =0⇔a =b ,a -b <0⇔a <b ,将商值与1进行比较，即ìíîïïïïïïïïa b >1⇔a >b ,ab =1⇔a =b ,a b<1⇔a <b ,.例2.已知a >2，b >2，比较a +b 与ab 的大小关系.解：a +b ab =1b +1a，∵a >2，b >2，∴1a <12，1b <12，∴a +b ab =1b +1a<1，∴a +b <ab .在用作商比较法比较两式的大小时，要注意两式的符号，一般只有在两式同号时才能进行比较.三、不等式恒成立问题解答不等式恒成立问题的关键是，将不等式转化为函数最值问题来求解.首先，要将不等式进行变形，以便构造出合适的函数模型，然后求出函数的最值，建立使不等式恒成立的新关系式，从而使问题得解.例3.当x ∈()1,2时，不等式x 2+mx +2>0恒成立，求m 的取值范围.解：当x ∈()1,2时，不等式x 2+mx +2>0恒成立等价于m >-æèöøx +2x 在x ∈()1,2时恒成立，即m >éëêùûú-æèöøx +2x max ，∵x ∈()1,2，∴-æèöøx +2x ≤-22，当且仅当x =2x,即x =2时等号成立，∴m ＞éëêùûú-æèöøx +2x max =-22，即m 的取值范围为()-22,+∞.在变形不等式时，我们有时候需把参数、变量分离，有时需把不等式分离为两个常规的简单函数.求不等式的解集、比较两式的大小、求解不等式恒成立问题都是不等式中常见的题型.当然，不等式题目还有很多种类型，同学们在日常学习中要学会总结各类题型及其解法，这样在面对不同类型的不等式问题时，能快速找到清晰的思路以及正确的解题方法.（作者单位：新疆阿克苏地区第二中学）洋42。
解不等式的方法
解不等式的方法解不等式是数学中的重要内容，它在我们的日常生活和工作中都有着广泛的应用。
解不等式的方法有很多种，接下来我们将逐一介绍常见的解不等式方法，希望能帮助大家更好地理解和掌握这一部分知识。
一、一元一次不等式的解法。
对于一元一次不等式ax+b>0（或<0），我们可以通过以下步骤来解决：1. 将不等式化为等式ax+b=0；2. 求出等式的解x0；3. 根据a的正负分情况讨论：a）若a>0，则不等式的解集为{x|x>x0}（或{x|x<x0}）；b）若a<0，则不等式的解集为{x|x<x0}（或{x|x>x0}）。
二、一元二次不等式的解法。
对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0（或<0），我们可以通过以下步骤来解决：1. 利用一元二次不等式的解法，将不等式化为二元一次不等式；2. 求出二元一次不等式的解集{x1, x2}；3. 根据a的正负和二次项系数b的正负分情况讨论：a）若a>0，且Δ=b^2-4ac>0，则不等式的解集为{x|x<x1}∪{x2<x<x2}（或{x|x>x1}∪{x2>x>x2}）；b）若a>0，且Δ=0，则不等式的解集为{x|x=x1}；c）若a>0，且Δ<0，则不等式的解集为空集；d）若a<0，则不等式的解集为{x1<x<x2}。
三、绝对值不等式的解法。
对于绝对值不等式|ax+b|>c（或< c），我们可以通过以下步骤来解决：1. 根据不等式的正负情况分情况讨论：a）若c≥0，且a>0，则不等式的解集为{x|x<-b-a}∪{x>-b+a}（或{x|x>-b-a}∪{x<-b+a}）；b）若c≥0，且a<0，则不等式的解集为{x|x<-b+a}∪{x>-b-a}（或{x|x>-b+a}∪{x<-b-a}）；c）若c<0，则不等式的解集为全体实数集。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中常见的一种符号表示方式，用来比较数的大小关系。
求解不等式的解集是解决数学问题、推导关系式的重要步骤之一。
本文将介绍不等式的解法，并通过具体的例子来说明。
一、一元一次不等式的解法一元一次不等式是形如ax + b > 0 或 ax + b < 0的不等式，其中a和b是已知常数，x是未知数。
通过以下步骤可以求解一元一次不等式的解集：1. 将不等式转化为相等式：a) 若不等式中有“>”或“<”符号，则去掉不等号改为等号；b) 若不等式中有“≥”或“≤”符号，则保留不等号不变。
2. 化简相等式，将未知数移到一边，常数移到另一边。
3. 根据未知数系数的正负情况判断解集：a) 当未知数系数大于0（正系数）时，比较常数的正负情况确定解集；- 若常数大于0，则解集为实数集；- 若常数等于0，则解集为{x | x ≥ 0}或{x | x > 0}；- 若常数小于0，则解集为空集。
b) 当未知数系数小于0（负系数）时，比较常数的正负情况确定解集；- 若常数大于0，则解集为空集；- 若常数等于0，则解集为{x | x ≤ 0}或{x | x < 0}；- 若常数小于0，则解集为实数集。
例如：求解不等式3x - 2 < 4：1. 将不等式转化为相等式得到3x - 2 = 4。
2. 化简得到3x = 6，将未知数移到一边，常数移到另一边。
3. 未知数系数为正，常数为正，解集为实数集。
二、一元二次不等式的解法一元二次不等式是形如ax² + bx + c > 0或ax² + bx + c < 0的不等式，其中a、b和c是已知常数，x是未知数。
求解一元二次不等式的解集可以通过以下步骤实现：1. 将不等式转化为相等式：a) 若不等式中有“>”或“<”符号，则去掉不等号改为等号；b) 若不等式中有“≥”或“≤”符号，则保留不等号不变。
不等式的解法及其应用
不等式的解法及其应用不等式是数学中常见的一种关系表示方法，它描述了数值之间的相对大小关系。
在实际问题中，我们经常需要求解不等式的解集，并将其应用于解决各种问题。
本文将介绍不等式的解法及其应用。
一、不等式的解法1. 图像法图像法是一种直观的解不等式的方法，它通过将不等式表示为数轴上的区间，来确定不等式的解集。
具体步骤如下：（1）将不等式中的变量系数化为正数。
（2）根据不等式的类型（大于、小于、大于等于、小于等于），在数轴上标出相应的开闭区间。
（3）确定解集，将标出的区间合并。
例如，对于不等式3x - 2 > 7，我们可以将其转化为3x > 9，然后在数轴上标出大于等于3的区间，最终确定解集为x > 3。
2. 线性不等式的解法线性不等式是指不等式中只含有一次线性项的不等式。
常用的线性不等式解法有两种方法：代入法和区间判断法。
（1）代入法：将待求解的不等式代入到一个确定的数值中，判断该数值是否满足不等式，从而得到解集。
（2）区间判断法：将不等式转化为一个关于未知数的方程，通过求解该方程，得到解集。
然后根据不等式的类型，对解集进行调整，最终确定合适的解集。
二、应用：不等式在实际中的应用不等式在各个领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 经济学应用在经济学中，不等式常用于描述供需关系、收入分配、资源利用等问题。
通过求解不等式，可以确定经济模型中各个变量的取值范围，帮助分析和解决相关经济问题。
2. 几何学应用在几何学中，不等式可以用于描述图形的属性和关系。
例如，在证明三角形的性质时，通过不等式可以判断三边的关系，从而推导出不等式。
3. 工程学应用在工程学中，不等式被广泛应用于优化问题、约束条件的建立等方面。
通过建立和求解不等式，可以帮助解决各类工程问题，并得出最佳解决方案。
4. 自然科学应用在自然科学中，不等式常被用于描述物理规律、化学反应等现象。
通过求解不等式，可以得到相应的物理量范围，帮助科学家更好地理解和预测自然界的现象。
求解初中数学常见的不等式
求解初中数学常见的不等式初中数学中，不等式是一个常见的考察和应用的知识点。
不等式是用来表示两个数量大小关系的一种数学工具，常出现在各种数学题型中，例如算术平均值与几何平均值的关系、等分原理、加减、积等不等式等。
在解题时，我们需要掌握各类不等式的性质和解法，下面将详细介绍几类常见的不等式及其解法。
一、一次不等式一次不等式的形式为ax + b > 0或ax + b < 0。
通过将不等式移项可以得到ax > -b或ax < -b，进而得到x的取值范围。
例如：解不等式2x + 3 > 5解法如下：2x + 3 > 52x > 5 - 32x > 2x > 1所以，不等式2x + 3 > 5的解为x > 1。
二、二次不等式二次不等式的形式为ax² + bx + c > 0或ax² + bx + c < 0。
通过求解二次函数的根，可以将不等式转化为一次不等式的形式。
如果二次函数的两个根分别为α和β，则有：当a > 0时，ax² + bx + c > 0的解集为x < α或x > β；当a < 0时，ax² + bx + c > 0的解集为α < x < β。
例如：解不等式x² - 3x + 2 < 0解法如下：x² - 3x + 2 < 0(x - 1)(x - 2) < 0化简后，得到不等式的零点为x = 1和x = 2。
因为a = 1 > 0，所以解集为1 < x < 2。
所以，不等式x² - 3x + 2 < 0的解为1 < x < 2。
三、三角不等式三角不等式是由三角形的三条边两两不等关系得出的不等式，即对于任意三角形，其任意两边之和都大于第三边，即a + b > c、b + c > a和c + a > b。
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常见不等式通用解法总结
一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式
①基础一元二次不等式
如2x2_x _6 cO，x2_2x_1 >0，对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式，重点关注解区间的“形状”。
当二次项系数大于0,不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。
2x2—x—6 ：：：0 的解为（-°,2）
2
当二次项系数大于0,不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。
x2-2x-1 0 的解为（-：：,1 - .2）一（1 • • 2,；）
当二次项系数小于0时，化成二次项系数大于0的情况考虑。
②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元）
如3心—9x>2，令t=3x，原不等式就变为t2—3t+2c0，再算出t的范围，进而算出x的范围
又如x2ax4-，令t =x2，再对a进行分类讨论来确定不等式的解集
2
③含参数的一元二次不等式
解法步骤总结：
如不等式x2ax 1・0,首先发现二次项系数大于0,而且此不等式无法直接看出两根, 所以，讨论厶二a2-4的正负性即可。
A<0,R
此不等式的解集为• —0,{x・ R|x—a}
2
A—a_Q a—4 —a + J a —4 ,
也>0,（-°°, ---------------- 2（ ------------------- ,范）
L. 2 2
又如不等式x2-（a2a）x a30，发现其可以通过因式分解化为（x-a）（x - a2）• 0，所以只需要判定a2和a的大小即可。
|a =0or a =1,{x R | x h a}
此不等式的解集为0 ::: a ：：：1,（…，aj （a,；）
a ：：0or a 1,（—：：,a） - （a2,；）
又如不等式ax2-2(a 1)x 4 0 ,注意：有些同学发现其可以因式分解，就直接写成
(ax -2)(x -2) 0 ,然后开始判断两根-和2的大小关系，这样做是有问题的。
a
事实上，这个题目中并没有说此不等式一定是一元二次不等式，所以参数a是有可能为0的。
讨论完a=0的情况再讨论a <0和a 0的情况。
所以此不等式的解集应该是：注意，a 0和a <0时解区间的状况不同，一种为中间，一种为两边。
二、数轴标根法(又名穿针引线法)解不等式
这种问题的一般形式是(x_aj(x—a2)(x_a3)...(x—a.) ：：：0 (或.，乞,_ ) 步骤：
①将不等式化为标准式，一段为0，另一端为一次因式的乘积(注意！系数为正)或二
次不可约因式(二次项系数为正)。
②画出数轴如下，并从最右端上方起，用曲线自右向左一次由各根穿过数轴。
③记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集。
例如，求不等式(x_1)(x_2)(x_3)(x_4) .0的解集，画出图如下，发现解集为
(-匚1) 一(2,3) 一(4,；)
为什么数轴标根法是正确的呢对于不等式(x _1)(x —2)(x —3)(x 一4) . 0来说，要满足四项相乘为正，说明①四项均正，解集为(4,；)②两正两负，只能是(x_1),(x—2)正，(x_3),(x_4)负,
此时解集为(2,3)③四项均负，解集为(一：：,1)。
综上，解集为这三种情况的并集。
当不等式左侧有奇数项的时候同理。
由此可知，遇到奇数个一次项系数为负的情况，如果不把系数化为正的，结果一定是错误的。
注意，这种方法要灵活使用，若不等式为(x-1)2(X-2)(x -3)(x-4) .0，使用数轴标根法得
到的解集显然和上述不一样，因为(x-1)2是偶次项，必然非负，所以在“穿针引线”时，可以忽略，或者可以记住口诀“奇穿偶不穿”。
(x -1)2(x-2)(x-3)(x -4) .0的示意图见下。
三、解分式不等式
分式不等式的解题思路，前面讲了一些不等式的求解，都是讲不等式的一边化为0,另一边为含x的多项式。
把一个分式不等式经过移项和通分处理，最终总能化为竺<0 (或
g(x)
,< -的形式)，此时解f(x)g(x) <0就可以解出原不等式的解集。
特别地，若要解3丸，则解f(x)g(xH0即可。
g(x) ' 、g(x)式0
例如冷心1，移项化简得x：7x 2 _0，使用穿针引线法得到解集为
x -X—6 x 一x-6
{x|x ：：：_2或1乞x 乞2或x 3}，一定要注意 分母不为零，而分子可以为零
例：一道比较复杂的题'求 咛・心1）的解集'现写出此题的完整解题过程
当a 1时，解集为两根的两边，显然有 口 *2，所以此时解集为（一：：,口）（2,；） a _1
a _1
当a d 时，解集为两根中间，此时必须根据
a 的取值判断两根范围。
① 当0 :：:a <1时，口 2，此时解集为（2,匕
a —1
a —1
② 当a =0时，口 =2，此时解集为..
a -1
③ 当a ：：：0时，口 <2，此时解集为（口 ,2）
a —1
a —1
至此，a 的所有值都讨论完毕，所以这道题讨论到这样就结束了
当然，如果这道题不给a=1的限制条件，只需要再讨论一下a =1时的解集情况即可。
补充内容：一类经典但易错的分式不等式问题 ① 求-1的解集
x
② 求1 <1的解集
x
③ 求1-1的解集
x
④ 求-• -1的解集
x
⑤ 求七：丄<2的解集
x
解答：①（0,1）②（-：：,0）」_：（1, ■：：）③（-1,0）
④（,-1）」—（0, ■：⑤
（-：：,-、）_.（」，■：：），注意①②的 3
2
区别
四、绝对值不等式
对于含有绝对值的不等式，解题思想为 ① 直接脱去绝对值符号
f(x)| ；：g(x)u _g(x) ：： f(x) ：：：g(x)， f(x) g(x)u f(x) g(x)或f(x)：：：-g(x)
② 构造函数，数形结合
③ 在不等式的一端有多个绝对值时，使用零点分段法分类讨论（分类讨论思想随处可见） ④ 平方法（不等式两边都是非负时才能用，慎用）
例：图形法某经典问题，解不等式1-* <a ，先画出f （x ）=|1-三的图像如下，然后分类 讨论a 的取值，通过观察y = f （x ）和y =a 的图像，来确定不等式的解集情况
解：原不等式通过移项通分可化为 七U.0，由于心，所以可以进一步化为
旦.0,两根为
x -2
a -1
①当aW时，y=f(x)的图像在y=a的图像上方，除了点(1,1)，此时显然不等式无解
②当a =1时，y = f(x)的图像与y=a的图像交点为(1,1)，此时的解集为(丄，；)
2 2
③当0 <a c l时，y=f(x)的图像与y=a的图像交点横坐标为^—，^丄，此时解集为(_^,^L)
1 —a' 1 +a 1 +a‘ 1 — a
④当a 1时，y = f(x)的图像与y =a的图像交点横坐标为^L,^L，此时解集为
1 -a 1 +a
1 1
(-：：,—),(-,：：)
1 -a 1 +a
当然此题使用f (x)| .；g(x)= —g(x) ：：：f(x) ：：：g(x)也可以做，化成_a ：：：1 —1::: a，只是在讨论的
x
时候需要细心，考虑到a的所有取值。
绝对值不等式的零点分段法，以及特别的做题技巧
例如x -1 x 2 _5，发现不等号左边有两个绝对值，所以应该根据两个不同的零点分段
讨论
①当x _1时，原不等式化为2x・1_5，解得x_2
②当，乞X"时，原不等式化为3_5，显然无解
③当x ：：：-2时，原不等式化为-1 -2x _5，解得x乞_3
综上，原不等式的解集为三种情况下的并集(注意，为什么是并集而不是交集) ，(」：,-3］一.［2,：：)
技巧：可以将绝对值看成距离，也就是将X—1看成数轴上点x到点1的距离，将x 2看成x 到-2的距离，若画出数轴，发现位于区间［—2,1］的点(绿色点)到区间端点的距离之和为3，位于区间［-2,1］之外的点到区间端点的距离之和大于3，特别地，在2处和-3处距离之
和为5，所以令x继续远离区间［21］，发现距离之和大于5。
也就是说x -1 x 2的取值范围是［3,；］
同理，遇到减号的情况，例如x V - x—1，发现其取值范围是［44］
此技巧常用于填空题，既可以求不等式解集，又可以求参数的范围。
例1：若存在实数x使得不等式x 1 • x-a乞1成立，则a的取值范围是 _______ (答案［-
2,0］)
例2:不等式x・2 - x-1空2的解集是_ (答案(_：J］)
2
五、无理不等式
无理不等式能出的考题较少，主要是要注意偶次根号下式子要非负。
(终于可以用平方
法了，但是也要讨论不等式两端的正负性才能使用)。
对于奇次根号，由于不需考虑根号下式子的正负性，直接打开根号即可。
J f (x) >g(x)u严x)或g(x)-0 2 (注意这里为什么没有写f(x)兰0) l f(x)^0 lf(x)〉［g(x)］2。