常见不等式通用解法

常见不等式通用解法总结

一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式

①基础一元二次不等式

如2x2_x _6 cO，x2_2x_1 >0，对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式，重点关注解区间的“形状”。

当二次项系数大于0,不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。

2x2—x—6 ：：：0 的解为（-°,2）

2

当二次项系数大于0,不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。

x2-2x-1 0 的解为（-：：,1 - .2）一（1 • • 2,；）

当二次项系数小于0时，化成二次项系数大于0的情况考虑。

②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元）

如3心—9x>2，令t=3x，原不等式就变为t2—3t+2c0，再算出t的范围，进而算出x的范围

又如x2ax4-，令t =x2，再对a进行分类讨论来确定不等式的解集

2

③含参数的一元二次不等式

解法步骤总结：

如不等式x2ax 1・0,首先发现二次项系数大于0,而且此不等式无法直接看出两根, 所以，讨论厶二a2-4的正负性即可。

A<0,R

此不等式的解集为• —0,{x・ R|x—a}

2

A—a_Q a—4 —a + J a —4 ,

也>0,（-°°, ---------------- 2（ ------------------- ,范）

L. 2 2

又如不等式x2-（a2a）x a30，发现其可以通过因式分解化为（x-a）（x - a2）• 0，所以只需要判定a2和a的大小即可。

|a =0or a =1,{x R | x h a}

此不等式的解集为0 ::: a ：：：1,（…，aj （a,；）

a ：：0or a 1,（—：：,a） - （a2,；）

又如不等式ax2-2(a 1)x 4 0 ,注意：有些同学发现其可以因式分解，就直接写成

(ax -2)(x -2) 0 ,然后开始判断两根-和2的大小关系，这样做是有问题的。

a

事实上，这个题目中并没有说此不等式一定是一元二次不等式，所以参数a是有可能为0的。讨论完a=0的情况再讨论a <0和a 0的情况。所以此不等式的解集应该是：注意，a 0和a <0时解区间的状况不同，一种为中间，一种为两边。

二、数轴标根法(又名穿针引线法)解不等式

这种问题的一般形式是(x_aj(x—a2)(x_a3)...(x—a.) ：：：0 (或.，乞,_ ) 步骤：

①将不等式化为标准式，一段为0，另一端为一次因式的乘积(注意！系数为正)或二

次不可约因式(二次项系数为正)。

②画出数轴如下，并从最右端上方起，用曲线自右向左一次由各根穿过数轴。

③记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集。

例如，求不等式(x_1)(x_2)(x_3)(x_4) .0的解集，画出图如下，发现解集为

(-匚1) 一(2,3) 一(4,；)

为什么数轴标根法是正确的呢对于不等式(x _1)(x —2)(x —3)(x 一4) . 0来说，要满足四项相乘为正，说明①四项均正，解集为(4,；)②两正两负，只能是(x_1),(x—2)正，(x_3),(x_4)负,

此时解集为(2,3)③四项均负，解集为(一：：,1)。综上，解集为这三种情况的并集。当不等式左侧有奇数项的时候同理。

由此可知，遇到奇数个一次项系数为负的情况，如果不把系数化为正的，结果一定是错误的。

注意，这种方法要灵活使用，若不等式为(x-1)2(X-2)(x -3)(x-4) .0，使用数轴标根法得

到的解集显然和上述不一样，因为(x-1)2是偶次项，必然非负，所以在“穿针引线”时，可以忽略，或者可以记住口诀“奇穿偶不穿”。

(x -1)2(x-2)(x-3)(x -4) .0的示意图见下。

三、解分式不等式

分式不等式的解题思路，前面讲了一些不等式的求解，都是讲不等式的一边化为0,另一边为含x的多项式。把一个分式不等式经过移项和通分处理，最终总能化为竺<0 (或

g(x)

,< -的形式)，此时解f(x)g(x) <0就可以解出原不等式的解集。

特别地，若要解3丸，则解f(x)g(xH0即可。

g(x) ' 、g(x)式0

例如冷心1，移项化简得x：7x 2 _0，使用穿针引线法得到解集为

x -X—6 x 一x-6

{x|x ：：：_2或1乞x 乞2或x 3}，一定要注意 分母不为零，而分子可以为零

例：一道比较复杂的题'求 咛・心1）的解集'现写出此题的完整解题过程

当a 1时，解集为两根的两边，显然有 口 *2，所以此时解集为（一：：,口）（2,；） a _1

a _1

当a d 时，解集为两根中间，此时必须根据

a 的取值判断两根范围。

① 当0 :：:a <1时，口 2，此时解集为（2,匕

a —1

a —1

② 当a =0时，口 =2，此时解集为..

a -1

③ 当a ：：：0时，口 <2，此时解集为（口 ,2）

a —1

a —1

至此，a 的所有值都讨论完毕，所以这道题讨论到这样就结束了

当然，如果这道题不给a=1的限制条件，只需要再讨论一下a =1时的解集情况即可。 补充内容：一类经典但易错的分式不等式问题 ① 求-1的解集

x

② 求1 <1的解集

x

③ 求1-1的解集

x

④ 求-• -1的解集

x

⑤ 求七：丄<2的解集

x

解答：①（0,1）②（-：：,0）」_：（1, ■：：）③（-1,0）

④（,-1）」—（0, ■：⑤

（-：：,-、）_.（」，■：：），注意①②的 3

2

区别

四、绝对值不等式

对于含有绝对值的不等式，解题思想为 ① 直接脱去绝对值符号

f(x)| ；：g(x)u _g(x) ：： f(x) ：：：g(x)， f(x) g(x)u f(x) g(x)或f(x)：：：-g(x)

② 构造函数，数形结合

③ 在不等式的一端有多个绝对值时，使用零点分段法分类讨论（分类讨论思想随处可见） ④ 平方法（不等式两边都是非负时才能用，慎用）

例：图形法某经典问题，解不等式1-*

解：原不等式通过移项通分可化为 七U.0，由于心，所以可以进一步化为

旦.0,两根为

x -2

a -1