七年级下-变量之间的关系

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七年级数学下册第3章变量之间的关系 3.3 用图像表示的变量间关系课件 (新版)北师大版

例1 新成药业集团研究了一种新药,在试验药效时发现,如果儿童按规定剂量服用,那么2时时血液中的含药量最高,接着逐步衰减,每毫升血液中的含药量y(微克)随时间x(时)的变化情况如图3-3-1所示,当儿童按规定剂量服药后:
图3-3-1
(1)何时血液中的含药量最高?是多少微克? (2)A点表示什么意义? (3)每毫升血液中含药量为2微克以上时治疗疾病有效,那么这个有效时间多长?
解析 (1)2时时血液中的含药量最高,为4微克. (2)A点表示体内的含药量衰减到0微克. (3)服药后达到2微克的时间是1时,衰减到2微克的时间是6时,因此有效时间是5时.
知识点二行程问题 “路程与时间”图象和“速度与时间”图象 (1)在路程与时间关系的图象中,通常用横轴表示时间,用纵轴表示路程, “水平线”表示停止. (2)在速度与时间关系的图象中,通常用横轴表示时间,用纵轴表示速度, “水平线”表示匀速运动. (3)在行程问题中,“速度与时间”图象和“路程与时间”图象是从两个不同的角度描述行程问题中变量之间的关系,它们既有区别又有联系.现将“速度与时间”图象和“路程与时间”图象各部分所表示的意义作如下对比:
易错警示由于不理解函数的意义,特别是不理解函数图象中平行于x 轴的线段表示“一段时间内离家的距离保持不变”,只能根据图象的形状来选择行走的路线.
从图象中获取信息的直观想象素养解读直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.主要包括: 借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路. 直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础. 在直观想象核心素养的形成过程中,学生能提升数形综合的能力,发展几何直观和空间想象能力;增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识;形成数学直观,在具体的情境中感悟事物的本质.

北师大版七年级数学下册第3章变量之间的关系PPT课件

为13.5 cm
知3－练
4 某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据：
鸭的质量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 烤制时间/min 40 60 80 100 120 140 160 180
设烤鸭的质量为 x kg，烤制时间为 t min，估计当 x＝3.2时，t 的值为( C ) A．140 B．138 C．148 D．160
总结
知2－讲
运用定义法来解答．区别自变量和因变量有以下三种方法： (1)看变化的先后顺序，自变量是先发生变化的量，因
变量是后发生变化的量； (2)看变化的方式，自变量是一个主动变化的量，因变
量是一个被动变化的量； (3)看因果关系，自变量是起因，因变量是结果．
知2－练
1 王老师开车去加油站加油，数量 2.45 (升)
知识点 3 用表格表示两个变量间的关系
议一议
我国从1949年到2009年的人口统计数据如下（精确到
0.01亿）:
时间/年 1949 1959 1969 1979 1989 1999 2009
人口 /亿 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59 13.35
(1)如果用x表示时间，y表示我国人口总数，那么随着x的
知3－讲
例2 声音在空气中传播的速度y(米/秒)(简称音速)与气温x(℃)
之间的关系如下表，从表中可知音速y随气温x的升高而 __加__快__．在气温为20℃的一天举行运动会，某人看到发令
枪的烟0.2秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发
令地点__6_8_.6__米．
气温x/℃
0
5 10 15 20
(3)当底边长从 12 cm变化到 3 cm时，三角形的面积从 ______cm2变化到 ______cm2. y＝3x表示了右图中三角形底边

七年级数学下册第三章变量之间的关系知识归纳

第三章变量之间的关系自变量变量的概念因变量变量之间的关系表格法关系式法变量的表达方法速度时间图象图象法路程时间图象一、变量、自变量、因变量1、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。

2、如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量,y叫做因变量。

3、自变量与因变量的确定：（1)自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量.（2)自变量是主动发生变化的量,因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。

（3）利用具体情境来体会两者的依存关系。

二、表格1、表格是表达、反映数据的一种重要形式,从中获取信息、研究不同量之间的关系。

(1）首先要明确表格中所列的是哪两个量；(2）分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量；（3）结合实际情境理解它们之间的关系。

2、绘制表格表示两个变量之间关系(1)列表时首先要确定各行、各列的栏目；（2）一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量; (3）写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位；（4）在第一行列出自变量的各个变化取值；第二行对应列出因变量的各个变化取值.（5）一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量与自变量之间的关系。

三、关系式1、用关系式表示因变量与自变量之间的关系时,通常是用含有自变量(用字母表示）的代数式表示因变量（也用字母表示）,这样的数学式子（等式)叫做关系式。

2、关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。

3、求两个变量之间关系式的途径:（1）将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的方程，并最终写成关系式的形式.(2）根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式;（3）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式；（4）根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。

4、关系式的应用：（1）利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值;(2)同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值;(3)根据关系式求值的实质就是解一元一次方程(求自变量的值）或求代数式的值（求因变量的值）。

北师大版七年级数学下册第三章变量之间的关系(考点讲解)(含解析)

第三章变量之间的关系【学习目标】1．知道现实生活中存在变量和常量,变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）； 2．感受生活中存在的变量之间的依赖关系. 3．能读懂以不同方式呈现的变量之间的关系.4．能用适当的方式表示实际情境中变量之间的关系,并进行简单的预测. 【考点总结】要点一、变量、常量的概念在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量.数值始终不变的量叫做常量.特别说明：一般地,常量是不发生变化的量,变量是发生变化的量,这些都是针对某个变化过程而言的.例如,60s t =,速度60千米/时是常量,时间t 和里程s 为变量. t 是自变量,s 是因变量. 要点二、用表格表示变量间关系借助表格,我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.特别说明：表格可以清楚地列出一些自变量和因变量的对应值,这会对某些特定的数值带来一目了然的效果,例如火车的时刻表,平方表等. 要点三、用关系式表示变量间关系关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.利用关系式（如3y x =）,我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值.特别说明：关系式能揭示出变量之间的内在联系,但较抽象,不是所有的变量之间都能列出关系式. 要点四、用图象表示变量间关系图象是我们表示变量之间关系的又一种方法,它的特点是非常直观.用图象表达两个变量之间的关系时,通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量,用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量.特别说明：图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势,而且对于一些无法用关系式表达的变量,图象可以充当重要角色. 【例题讲解】类型一、常量、自变量与因变量例1、根据心理学家研究发现,学生对一个新概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （分钟）之间有如表所示的关系：（1）上表中反映的两个变量之间的关系,哪个是自变量？哪个是因变量？（2）根据表格中的数据,提出概念所用时间是多少分钟时,学生的接受能力最强？（3）学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？【答案】（1）“提出概念所用时间”是自变量,“对概念的接受能力”为因变量；（2）13分钟；（3）从第13分钟以后开始逐渐减弱【分析】（1）根据表格中提供的数量的变化关系,得出答案；（2）根据表格中两个变量变化数据得出答案；（3）提供变化情况得出结论．【详解】解：（1）表格中反映的是：提出概念所用时间与对概念的接受能力这两个变量,其中“提出概念所用时间”是自变量,“对概念的接受能力”为因变量；（2）根据表格中的数据,提出概念所用时间是13分钟时,学生的接受能力最强达到59.9；（3）学生对一个新概念的接受能力从第13分钟以后开始逐渐减弱．【点睛】本题考查用表格表示变量之间的关系,理解自变量、因变量的意义以及变化关系是解决问题的关键．【训练】某公交车每月的支出费用为4000元,每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）．（1）在这个变化过程中,每月的乘车人数x与每月利润y分别是变量和变量；（2）观察表中数据可知,每月乘客量达到人以上时,该公交车才不会亏损；（3）当每月乘车人数为4000人时,每月利润为多少元？【答案】（1）每月的乘车人数,每月利润；（2）2000人；（3）4000元【分析】（1）根据函数的定义即可求解；（2）根据表格可得：当每月乘客量达到2000人以上时,该公交车才不会亏损,即可求解；（3）有表中的数据推理即可求解．【详解】解：（1）在这个变化过程中,每月的乘车人数是自变量,每月利润是因变量；故答案为：每月的乘车人数,每月利润；（2）根据表格可得：当每月乘客量达到2000人以上时,该公交车才不会亏损,故答案为：2000；（3）有表中的数据可知,每月的乘车人数每增加500人,每月的利润可增加1000元,当每月的乘车人数为2000人时,利润为0元,故每月乘车人数为4000人时,每月的利润是（4000-2000）÷500×1000=4000元．【点睛】本题考查了根据表格与函数知识,正确读懂表格,理解表格体现变化趋势是解题关键．类型二、用表格表示变量间关系例2、一辆小汽车在告诉公路上从静止到起动10秒内的速度经测量如下表：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）如果用时间t表示时间,v表示速度,那么随着t的变化,v的变化趋势是什么？（3）当t每增加1秒,v的变化情况相同吗？在哪个时间段内,v增加的最快？（4）若高速公路上小汽车行驶速度的上限为120千米/小时,试估计大约还需几秒这辆小汽车的速度就将达到这个上限．【答案】（1）时间与速度；时间；速度；（2）0到3和4到10,v随着t的增大而增大,而3到4,v随着t的增大而减小；（3）不相同；第9秒时；（4）1秒．【分析】（1）根据表中的数据,即可得出两个变量以及自变量、因变量；（2）根据时间与速度之间的关系,即可求出v的变化趋势；（3）根据表中的数据可得出V的变化情况以及在哪1秒钟,V的增加最大；（4）根据小汽车行驶速度的上限为120千米/小时,再根据时间与速度的关系式即可得出答案．【详解】解：（1）上表反映了时间与速度之间的关系,时间是自变量,速度是因变量；（2）如果用t 表示时间,v 表示速度,那么随着t 的变化,v 的变化趋势是0到3和4到10,v 随着t 的增大而增大,而3到4,v 随着t 的增大而减小；（3）当t 每增加1秒,v 的变化情况不相同,在第9秒时,v 的增加最大；（4）由题意得：120千米/小时=12010003600⨯（米/秒）,由33.328.9 4.4-=,且28.924.2 4.7 4.4-=>, 所以估计大约还需1秒．【点睛】本题主要考查函数的表示方法,常量与变量；关键是理解题意判断常量与变量,然后结合图表得到问题的答案即可．【训练】某路公交车每月有x 人次乘坐,每月的收入为y 元,每人次乘坐的票价相同,下面的表格是y 与x 的部分数据．x /人次500 1000 1500 2000 2500 3000 … y /元1000200040006000…（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）请将表格补充完整．（3）若该路公交车每月的支出费用为4000元,如果该路公交车每月的利润要达到10000元,则每月乘坐该路公交车要达到多少人次？（利润=收入-支出费用）【答案】（1）反映了收入y 与人次x 两个变量之间的关系,其中x 是自变量,y 是因变量；（2）表格见解析；（3）7000人次．【分析】（1）根据表格即可得出结论；（2）由表格可知：每增加500人次乘坐,每月的收入就增加1000元,即可得出结论；（3）先求出每增加1人次乘坐,每月的收入就增加2元,然后求出总收入即可求出结论；解：（1）反映了收入y 与人次x 两个变量之间的关系,其中x 是自变量,y 是因变量．（2）由表格可知：每增加500人次乘坐,每月的收入就增加1000元, 表格补充如下：÷=（元）（3）10005002()÷（人次）4000+100002=7000答：每月乘坐该路公交车要达到7000人次【点睛】此题考查的是变量与常量的应用,掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．类型三、用关系式表示变量间关系例3.按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数,用y来表示可坐人数．①题中有几个变量？②你能写出两个变量之间的关系吗？【答案】①有2个变量；②能,函数关系式可以为y=4x+2．【解析】试题分析：①根据变量和常量的定义可得结果；②由图形可知,第一张餐桌上可以摆放6把椅子,进一步观察发现：多一张餐桌,多放4把椅子．x张餐桌共有6+4（x﹣1）=4x+2．试题解析：①观察图形：x=1时,y=6,x=2时,y=10；x=3时,y=14；…可见每增加一张桌子,便增加4个座位,因此x张餐桌共有6+4（x﹣1）=4x+2个座位．故可坐人数y=4x+2,故答案为：有2个变量；②能,由①分析可得：函数关系式可以为y=4x+2．【训练】已知,如图,在直角三角形ABC中,∠ABC＝90°,AC＝10,BC＝6,AB＝8．P是线段AC上的一个动点,当点P从点C向点A运动时,运动到点A停止,设PC＝x,△ABP的面积为y．求y与x之间的关系式．【答案】y＝﹣125x+24．【分析】过点B作BD⊥AC于D,则BD为AC边上的高．根据△ABC的面积不变即可求出BD；根据三角形的面积公式得出S△ABP＝12AP•BD,代入数值,即可求出y与x之间的关系式．【详解】如图,过点B作BD⊥AC于D．∵S△ABC＝12AC•BD＝12AB•BC,∴BD＝8624105 AB BCAC⋅⨯==；∵AC＝10,PC＝x,∴AP＝AC﹣PC＝10﹣x,∴S△ABP＝12AP•BD＝12×（10﹣x）×245＝﹣125x+24,∴y与x之间的关系式为：y＝﹣125x+24．【点睛】此题考查直角三角形的面积求法,列关系式的方法,能理解图形中三角形的面积求法得到高线BD的值是解题的关键.类型四、用图象表示变量间关系例4、巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体,到达起点后小明做了一会准备活动,朱老师先跑．当小明出发时,朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒)之间的关系如图所示(不完整)．据图中给出的信息,解答下列问题：(1)在上述变化过程中,自变量是______,因变量是______；(2)朱老师的速度为_____米/秒,小明的速度为______米/秒；(3)当小明第一次追上朱老师时,求小明距起点的距离是多少米？【答案】(1)t,s；(2)2,6；(3)小明距起点的距离为300米．【分析】解析(1)观察函数图象即可找出谁是自变量谁是因变(2)根据速度=路程÷时间,即可分别算出朱老师以及小明的速度;(3)设t秒时,小明第一次追上朱老师,列出关系式即可解答【详解】解：(1)在上述变化过程中,自变量是t,因变量是s；(2)朱老师的速度420200110＝2(米/秒),小明的速度为42070＝6(米/秒)；故答案为t,s；2,6；(3)设t秒时,小明第一次追上朱老师根据题意得6t＝200+2t,解得t＝50(s),则50×6＝300(米),所以当小明第一次追上朱老师时,小明距起点的距离为300米．【点睛】此题考查一次函数的应用,解题关键在于看懂图中数据【训练】如图是甲、乙两人同一地点出发后,路程随时间变化的图象．（1）此变化过程中, 是自变量, 是因变量；（2）甲的速度乙的速度（大于、等于、小于）；（3）6时表示；（4）路程为150km,甲行驶了小时,乙行驶了小时；（5）9时甲在乙的（前面、后面、相同位置）；（6）乙比甲先走了3小时,对吗？.【答案】（1）t；s；（2）小于；（3）乙追赶上了甲；（4）9；4；（5）后面；（6）不对. 【解析】试题分析：（1）根据自变量与因变量的含义得到时间是自变量,路程是因变量；（2）甲走6小时行驶100千米,乙走3小时走100千米,则可得到他们的速度的大小；（3）6时两图象相交,说明他们相遇；（4）观察图形得到路程为150千米,甲行驶9小时,乙行驶了7-3=4小时；（5）观察图象得到t=9时,乙的图象在甲的上方,即乙行驶的路程远些；（6）观察图象得到甲先出发3小时后,乙才开始出发.试题解析：解：（1）函数图象反映路程随时间变化的图象,则t是自变量,s是因变量；（2）甲的速度是100÷6=503千米/小时,乙的速度是100÷3=1003千米/小时,所以甲的速度小于乙的速度；（3）6时表示他们相遇,即乙追赶上了甲；（4）路程为150千米,甲行驶9小时,乙行驶了7-3=4小时；（5）t=9时,乙的图象在甲的上方,即乙行驶的路程远些,所以9时甲在乙的后面；（6）不对,是乙比甲晚走了3小时.故答案为（1）t；s；（2）小于；（3）乙追赶上了甲；（4）9；4；（5）后面；（6）不对. 考点：函数的图象.【训练】根据图回答下列问题.(1)图中表示哪两个变量间的关系?(2)A、B两点代表了什么?(3)你能设计一个实际事例与图中表示的情况一致吗?【答案】（1）时间与价钱；（2）A点表示250元,B点表示150元；（3）这可以表示某户人家在“五一”长假中的消费情况:5月1日花150元5月2日花100元5月3日花250元5月4日花200元5月5日花300元5月6日花150元5月7日花250元【解析】试题分析：认真分析表中数据再结合身边的事例即可得到结果.（1）图中表示时间与价钱的关系；（2）A点表示250元,B点表示150元；（3）这可以表示某户人家在“五一”长假中的消费情况:5月1日花150元5月2日花100元5月3日花250元5月4日花200元5月5日花300元5月6日花150元5月7日花250元考点：本题考查的是函数的图象点评：解答本题的关键是读懂图象,得到图象的特征及规律,再根据这个规律解决问题.。

完整)七年级数学下册-变量之间的关系测试题

完整)七年级数学下册-变量之间的关系测试题1.给定一个圆珠笔盒子，其中有12支圆珠笔，售价为18元。

用y表示圆珠笔的售价，x表示圆珠笔的支数，则y与x 之间的关系为y=1.5x。

2.如果物体运动的路程s与时间t的关系式为s=3t+2t+1，则当t=4时，该物体所经过的路程为28米。

3.给定两个变量m和v之间的4组对应数据，求m与v 之间的关系。

根据数据，最接近的关系式为v=2m-2.4.龟兔赛跑的故事中，兔子睡觉后被乌龟追上，最终乌龟先到达终点。

用S1和S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则与故事情节相符的图象为S1-S2随时间t的变化曲线，前半段曲线较平缓，后半段曲线较陡峭。

5.给定XXX一天内的体温变化情况，图象反映了24小时内小红的体温变化。

下列说法错误的是B，即下午5时体温最高。

6.小王设计了一个程序，输入和输出数据如表所示。

根据数据，当输入数据8时，输出的数据为xxxxxxxx。

7.给定某汽车在行驶过程中的速度与时间的关系曲线，描述了汽车在不同时间的速度变化情况。

根据图象，说法错误的是B，即第12分时汽车的速度是千米/时。

8.给定一个，向其中注水，注满为止。

注水量V与水深h 之间的关系的图象大致如图3所示，则这个是图中的D。

18．XXX晨骑车从家到学校，路程如图7所示，先上坡后下坡。

如果他返回时上下坡的速度不变，那么他从学校骑车回家需要多长时间？（答案需要填写在空白处）19．一根弹簧的原长为13厘米，挂物体质量不得超过16千克，每挂1千克就会伸长0.5厘米。

当挂物体质量为10千克时，弹簧长度为多少厘米？挂物体质量X（千克）与弹簧长度y（厘米）的关系式是什么？（不考虑X的取值范围）20．如图6-31，表示一骑自行车者与一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶的图像，两地间的距离是100千米。

请回答以下问题：1）谁出发的时间更早？早了多少时间？谁先到达乙地？提前了多少时间？2）两人在途中行驶的速度分别是多少？3）在什么时间段内，两辆车都在途中行驶？在这段时间内，自行车在摩托车前面，两辆车相遇，自行车在摩托车后面分别是什么时候？21．下表是三家电器厂2007年上半年每个月的产量：x/月 | y/台。

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2、测量小车从不同的高度下滑的时间，并将得到的数据填入下表：
支撑物高度/厘米小车下滑时间/秒
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
（1）支撑物高度为70厘米时，小车下滑时间是多少？（2）如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时间，随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？（3）h每增加10厘米，t的变化情况相同吗？
氮肥施用量/千克/ 公顷土豆产量/ 吨/公顷

15.18
21.36
25.72
32.29
34.03
39.45
43.15
43.46
40.83
30.75
(3)根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？说说你的理由. (4)粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响.

4．某电影院地面的一部分是扇形，座位按下列方式设置：排数 1 座位数 60 2 64 3 68 4 72
１.如果正方形的边长为 a ,则正方形的周长Ｃ＝（ 4a ）２.圆的半径为r,则圆的面积Ｓ＝（
1 ） ah 2
r
2
）
３.三角形的一边为a，这边上的高为h,则三角形的面积Ｓ＝（
4.梯形的上底，下底分别为a, b,高为h，则梯形的面积
1 2 ５.圆锥的底面半径为r, 高为h,则圆锥的体积V=（3 r h ）
高不变底面半径变
底面半径不变高变
变化中的圆锥
h r
h
r
2、如图，圆锥的底面半径是2厘米，当圆锥的高由小到大变化时，圆锥的体积也随之变化。（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ (2)如果圆锥的高为h（厘米），那么 3 圆锥的体积V（厘米）与h之间的关系式为 . （3）当高由1厘米变化到10厘米时，2㎝

新教材【北师大版】七年级下册数学：第三章-变量之间的关系-章末复习(含答案)

（新教材）北师大版精品数学资料期末复习(三) 变量之间的关系01 知识结构本章知识是学习函数的基础，要求掌握表示变量之间关系的三种方法，学会分析变量之间的关系，并能进行简单的预测．02 典例精讲【例1】下面的表格列出了一个试验的统计数据，表示将皮球从高处落下时，弹跳高度b 与下降高度d 的关系，下面能表示这种关系的式子是(C )A ．b ＝d 2B ．b ＝2C ．b ＝d2D ．b ＝d ＋25【思路点拨】这是一个用图表表示的关系，可以看出d 是b 的2倍，即可得关系式．【方法归纳】利用表格表示两个变量之间关系，其对应值清晰明了，但它们之间的关系不够明朗，要结合数据加以分析才能发现潜在的规律．从表示自变量与因变量的表格中辨识自变量与因变量，一般第一栏为自变量，第二栏为因变量．【例2】下列四幅图象近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应排序(D )①一辆汽车在公路上匀速行驶(汽车行驶的路程与时间的关系)；②向锥形瓶中匀速注水(水面的高度与注水时间的关系)；③将常温下的温度计插入一杯热水中(温度计的读数与时间的关系)；④一杯越来越凉的水(水温与时间的关系)． A ．①②④③ B ．③④②① C ．①④②③ D ．③②④①【思路点拨】观察图象的走势，并与实际情景相联系是解决此题的关键．【方法归纳】解决此类题重在观察图象并对图象上的数量关系和走势进行分析，抓住图象的转折点，这些转折点往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方．【例3】如图所示，圆柱的高为10 cm ，当圆柱的底面半径变化时，圆柱的体积也发生变化．(1)在这个变化过程中，圆柱的底面半径是自变量，圆柱的体积是因变量；(2)请你求出圆柱的体积V(cm 3)与圆柱的底面半径R(cm )之间的关系式； (3)R 的值能为负值吗？为什么？(4)当圆柱的底面半径从2 cm 变化到5 cm 时，圆柱的体积变化了多少？(最后结果保留π)【思路点拨】 (1)题目中有两个变量，主动变化的量是圆柱的底面半径，随之变化的是圆柱的体积；在(2)中，根据圆柱的体积＝底面积×高即可求出V 与R 之间的关系式；由于R 为圆柱的底面半径，所以(3)中R 不能为负值；在(4)中，分别求出R 1＝2 cm 和R 2＝5 cm 时圆柱的体积，其差值即为体积的变化量．【解答】 (2)因为圆柱的体积＝底面积×高，所以V ＝πR 2×10＝10πR 2.(3)因为R 为圆柱的底面半径，所以R>0，因此R 不能为负值．(4)因为10πR 22－10πR 21＝10π·52－10π·22＝10π·(52－22)＝210π，所以圆柱体积增加了210π cm 3. 【方法归纳】当变量之间的关系以图形形式表示时，可根据图形特点寻找有关变量的等量关系．然后根据等量关系列出关系式．值得注意的是，为使实际问题有意义，在求出变量之间的关系式后，要根据具体的题目要求，确定自变量的取值范围． 03 整合集训一、选择题(每小题3分，共30分)1．小亮以每小时8千米的速度匀速行走时，所走路程s(千米)随时间t(小时)的增大而增大，则下列说法正确的是(C ) A ．8和s ，t 都是变量 B ．8和t 都是变量 C ．s 和t 都是变量 D ．8和s 都是变量2．已知三角形ABC 的面积为2 cm 2，则它的底边a(cm )与底边上的高h(cm )之间的关系为(D ) A ．a ＝4h B ．h ＝4a C ．a ＝h 4 D ．a ＝4h3．对关系式的描述，不正确的是(D )A ．x 看作自变量时，y 就是因变量B ．x ，y 之间的关系也可以用表格表示C ．x 在非负数范围内，y 的最大值为2D ．当y ＝0时，x 的值为－24．如图所示y ＝2－x 是某市某天的气温随时间变化的图象，通过观察可知，下列说法中错误的是(C )A ．这天15时气温最高B ．这天3时气温最低C ．这天最高气温与最低气温的差是13℃D ．这天有两个时刻气温是30℃5．2017年1月4日上午，小华同学接到通知，他的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿．接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文稿，录入一段时间后因事暂停，过了一小会，小华继续录入并加快了录入速度，直至录入完成．设从录入文稿开始所经过的时间为x ，录入字数为y ，下面能反映y 与x 的函数关系的大致图象是(C )6则表中a 的值为(B )A ．21.5B ．20.5C ．21D ．19.57．一个大烧杯中装有一个小烧杯，在小烧杯中放入一个浮子(质量非常轻的空心小圆球)后再往小烧杯中注水，水流的速度恒定不变，小烧杯被注满后水溢出到大烧杯中，浮子始终保持在容器的正中间．用x 表示注水时间，用y 表示浮子的高度，则用来表示变量y 与x 之间关系的选项是(B )8．(衡阳中考)小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程中离家的距离s(米)与散步所用时间t(分钟)之间的关系，根据图象，下列信息错误的是(A )A ．小明看报用时8分钟B ．公共阅报栏距小明家200米C ．小明离家最远的距离为400米D ．小明从出发到回家共用时16分钟9．贝贝利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表：那么，当输入数据8 A.861 B.863 C.865 D.86710．如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t ，正方形除去圆部分的面积为S(阴影部分)，则变量S 与t 的大致图象为(A )二、填空题(每小题4分，共20分)11．圆的周长C 与圆的半径r 之间的关系式为C ＝2πr ，其中常量是2，π.12．一蜡烛高20厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h(厘米)与燃烧时间t(时)之间的关系式是h ＝20－4t .13．如图是某个计算y 值的程序，若输入x 的值是32，则输出的y 值是12.14．(义乌中考)小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y(米)与时间t(分)的图象，则小明回家的速度是每分钟步行80米．15．下面由小木棒拼出的系列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成，请写出第n 个图形中小木棒的根数S 与n 的关系式S ＝3n ＋1．三、解答题(共50分)16．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费y(元)与印刷数量x(张)之间关系如表：(1)(2)从上表可知：收费y(元)随印刷数量x(张)的增加而增大； (3)若要印制1 000张宣传单，收费多少元？解：(1)上表反映了印刷数量和收费两个变量之间的关系，印刷数量是自变量，收费是因变量． (3)由上表可知：印刷数量每增加100张，收费增加15元，所以每张的价格是0.15元．所以收费y(元)与印刷数量x(张)之间的关系式为y ＝0.15x. 当x ＝1 000时，y ＝0.15×1 000＝150(元)．故要印制1 000张宣传单，收费150元．17．(10分)青春期男、女生身高变化情况不尽相同，下图是小军和小蕊青春期身高的变化情况．(1)上图反映了哪两个变量之间的关系？自变量是什么？因变量是什么？(2)A，B两点表示什么？(3)小蕊10岁时身高多少？17岁时呢？(4)比较小军和小蕊青春期的身高情况有何相同与不同．解：(1)反映了身高随年龄的变化而变化的关系，自变量是年龄，因变量是身高．(2)A点表示小军和小蕊在11岁时身高都是140厘米，B点表示小军和小蕊在14岁时身高都是155厘米．(3)小蕊10岁时身高130厘米，17岁时身高160厘米．(4)相同点：进入青春期，两人随年龄的增长而快速长高，并且在11岁和14岁时两人的身高相同；不同点：11岁至14岁间小蕊的身高变化比小军的快些，14岁后小军的身高变化比小蕊的快些．18．(10分)如图所示，在△ABC中，底边BC＝8 cm，高AD＝6 cm，E为AD上一动点，当点E从点D沿DA向点A运动时，△BEC的面积发生了变化．(1)在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？(2)若设DE长为x(cm)，△BEC的面积为y(cm2)，求y与x之间的关系式．解：(1)ED长度是自变量，△BEC的面积是因变量．(2)y与x的关系式为y＝4x.19．(10分)新成药业集团研究开发了一种新药，在试验药效时发现，如果儿童按规定剂量服用，那么2小时的时候血液中含药量最高，接着逐步衰减，每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(小时)的变化如图所示．当儿童按规定剂量服药后：(1)何时血液中含药量最高？是多少微克？(2)A点表示什么意义？(3)每毫升血液中含药量为2微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效期是多长？解：(1)服药后2小时血液中含药量最高，最高是4微克．(2)A点表示血液中含药量为0.(3)有效期为5小时．20．(10分)如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的长方形菜园ABCD，设与墙平行的篱笆AB的长为x m，菜园的面积为y m2.(1)试写出y与x之间的关系式；(2)当AB 的长分别为10 m 和20 m 时，菜园的面积各是多少？解：(1)因为与墙平行的篱笆AB 的长为x m ，所以长方形的另一边长为60－x2 m ，则长方形的面积为60－x2·x m 2.所以y 与x 之间的关系式为： y ＝60－x 2·x ＝－12x 2＋30x. (2)当x ＝10时，y ＝－12×102＋30×10＝250(m 2)；当x ＝20时，y ＝－12×202＋30×20＝400(m 2)．21．(12分)一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设慢车行驶的时间为x(h )，两车之间的距离为y(km )，图中的折线表示y 与x 之间的关系．根据图象解答下列问题： (1)甲、乙两地之间的距离为900km ； (2)请解释图中点B 的实际意义； (3)求慢车和快车的速度．解：(2)图中点B 的实际意义是：当慢车行驶4 h 时，慢车和快车相遇． (3)由图象可知，慢车12 h 行驶的路程为900 km ，所以慢车的速度为90012＝75(km /h )．当慢车行驶 4 h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900 km ，所以慢车和快车行驶的速度之和为9004＝225(km /h )，所以快车的速度为225－75＝150(km /h ).。

七年级下册数学知识点-篇三：变量之间的关系

一理论理解1、若Y随X的变化而变化，则X是自变量Y是因变量。

自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量，数值保持不变的量叫做常量。

3、若等腰三角形顶角是y，底角是x，那么y与x的关系式为y=180-2x.2、能确定变量之间的关系式：相关公式①路程=速度×时间②长方形周长=2×(长+宽)③梯形面积=(上底+下底)×高÷2④本息和=本金+利率×本金×时间。

⑤总价=单价×总量。

⑥平均速度=总路程÷总时间二、列表法：采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。

列表时要选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。

列表法的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。

三.关系式法：关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值。

四、图像注意：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象;b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义(坐标)，特别是图像的起点、拐点、交点八、事物变化趋势的描述：对事物变化趋势的描述一般有两种：1.随着自变量x的逐渐增加(大)，因变量y逐渐增加(大)(或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加(大)而增加(大));2.随着自变量x的逐渐增加(大)，因变量y逐渐减小(或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加(大)而减小).注意：如果在整个过程中事物的变化趋势不一样，可以采用分段描述.例如在什么范围内随着自变量x的逐渐增加(大)，因变量y逐渐增加(大)等等.九、估计(或者估算)对事物的估计(或者估算)有三种：1.利用事物的变化规律进行估计(或者估算).例如：自变量x每增加一定量，因变量y的变化情况;平均每次(年)的变化情况(平均每次的变化量=(尾数-首数)/次数或相差年数)等等;2.利用图象：首先根据若干个对应组值，作出相应的图象，再在图象上找到对应的点对应的因变量y的值;3.利用关系式：首先求出关系式，然后直接代入求值即可.。

七年级下册数学第三章变量之间的关系

第三章变量之间的关系1.能发现实际情境中的变量及其相互关系,并确定其中的自变量与因变量.2.从表格、图象中分析出某些变量之间的关系,并能用自己的语言表达,培养有条理的思考和表达的能力.3.根据具体问题,选取用表格或关系式来表示某些变量之间的关系,并结合对变量之间关系的分析,尝试对变化趋势进行初步的预测.4.能从图象中获取变量之间关系的信息,并能用语言进行描述.1.经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程,进一步培养符号感和抽象思维.2.经历从图象中分析变量之间关系的过程,体会变量之间的关系,结合具体情境,理解图象上的点表示的意义.1.能从运动变化的角度解释生活中的数学现象,体验成就感,获得学习的乐趣,发展对数学更高层次的认识.2.感受数学来源于生活又服务于生活,激发学习数学的乐趣.3.体验从运动变化的角度认识数学对象的过程,培养对数学的认识.本章对于学生来说是一章全新的知识,主要是从数学的角度研究变量和变量之间的关系,将有助于人们更好地认识现实世界、预测未来.同时,研究现实世界中的变化规律,也使学生从常量的世界进入了变量的世界,开始接触一种新的思维方式.我们知道,函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型,对它的学习一直是初中阶段数学学习的一个重要内容.本套教材对函数的学习不是一蹴而就的,而是遵照循序渐进、螺旋上升的原则进行设计.在七年级上册中,教材已经在代数式求值、探索规律等地方渗透了变化的思想,而本章则是第三学段第一次集中讨论变量之间的关系.本章通过大量学生感兴趣的日常生活或其他学科中的问题(如骆驼的体温、潮汐的涨落),使他们体会变量和变量之间相互依赖的关系,感受数学的应用价值.本章还通过分析用表格、关系式和图象所表示的变量间关系的活动,使学生初步理解并尝试用数学的方法描述变量之间的关系.学生通过本章中对变量间关系的学习,将为以后顺利过渡到函数学习打下基础.为了发展学生对函数思想的理解,必须使他们对变量间关系的多种表示——表格表示、关系式表示、图象表示有相当丰富的经历.因此教材在第1节中通过探讨小车下滑时间的活动,使学生初步体会变量之间的相依关系,并用表格来表示变量之间的关系.使学生学习如何从表格中获取信息,发展他们通过数据分析进行预测和解决问题的能力.在学生已经学会计算一些图形的面积和体积的基础上,教材在第2节讨论由底边长(或半径、高)的变化引起的面积(或体积)的变化,并由此引出运用关系式表示变量之间的关系.然后运用形象的“机器输入输出图”,渗透自变量和因变量值的对应思想,为以后理解函数的概念做铺垫.“排碳计算公式”内容的设计是为了将生活中变量之间关系的表达转化为数学上的关系式表达.在第3节第1课时中,通过学生所熟悉的气温变化图,引入变量之间关系的第三种表示方法——图象.图象表示因其直观性有着其他表示方式所不能替代的作用,它是将关系式和数据转化为图形形式,是“看见”相应的变化规律的途径之一.因此,本章在第3节第2课时中特别又对图象所表示的变量之间的关系进行了讨论,让学生用语言描述图象所表示的变化过程,加强他们对图象表示的理解,发展从图象中获得信息的能力及有条理地进行语言表达的能力.概括起来说,第1节是本章的起始课,除给出变量、常量的概念,还给出变量之间关系的第一种表示方式——表格表示法.第2节给出变量之间关系的第二种表示方式——关系式表示法.第3节给出变量之间关系的第三种表示方式——图象表示法,并力图与表格表示法、关系式表示法进行联系,但不要求学生画图象.【重点】能根据表格中的数据、关系式中的变量、图象上的点来获取信息,明确自变量、因变量所表示的实际意义.【难点】三种表示变量之间关系的方法之间的联系,能从具体问题中获取变量之间的关系.1.本章主要讨论的是现实世界中大量存在的变量,讨论如何用数学的方法去理解、表示变量之间的关系,并解决一些问题和进行预测.因此在教学中,教师要创设丰富的现实情境使学生体会变量以及变量之间相互依赖的关系,而不是形式地讨论变量的有关概念.教师可以充分利用教科书中提供的问题,也可以创设新的情境,或鼓励学生自己从生活中寻找有关素材供课堂讨论.2.运用数学的语言、方法、知识去理解、刻画现实世界中的变化规律,是本章学习的主要目标之一.而实现这一目标的重要途径是使学生亲身经历探索现实世界变化规律的过程,在探索活动中理解变量之间的相依关系,并尝试用语言和符号去刻画.例如,在探索小车下滑过程中下滑时间与支撑物高度的关系时,教师应鼓励学生充分地从表格中获取信息,运用自己的语言进行描述,并与同伴进行交流.有条件的地方,教师可以让学生亲自实践这个实习或实践其他可操作性的实习,使他们获得变量之间关系的直观体验,并体会收集数据、整理数据、由数据进行推断的思考方式.3.注重使学生从表格、关系式、图象中尽可能多地获取信息,并运用语言进行表达.前面已经提到,为了发展学生对变量之间关系的理解,必须使他们对变量之间关系的多种表示——表格表示、关系式表示、图象表示有相当丰富的经历.因此,教科书安排了大量由表格、关系式、图象所表达的变量之间关系的实例.在学生讨论这些例子时,教师要留给他们充分思考的时间,鼓励他们从表格、关系式、图象中尽可能多地获取信息,并运用自己的语言进行表述.当学生运用语言进行表述时,教师不要苛求语言的统一性以及对关系的精确描述,只要学生能大致描述出变量之间的关系即可.4.在现实情境中评价学生对变量之间关系的理解.在考查学生对变量之间关系的理解时,应关注学生是否能够感受周围世界中的变量,是否能够发现变量之间互相依赖的关系;关注学生是否能从表格和图象中获取信息,并由此进行预测;关注学生能否运用语言、表格、关系式描述一些变量之间的关系等.评价时应提供具体的问题情境,从大量实际问题或学生感兴趣的问题出发.避免形式化地对两个变量之间关系的三种表达形式进行讨论.5.在本章的学习中,好多信息都是由学生花费了较多的时间从具体问题中抽象出变化规律、理解符号所代表的变化规律等活动中获得的,这些活动对于学生发展符号感具有重要的价值.因此,对上述活动过程教师应给予学生大量支持与鼓励,而不是直接将结论告诉学生.教学时教师应从以下几方面对学生加以关注:从事活动的投入程度;从表格、关系式、图象中获取信息的准确性和广泛性;对具体情境中变量之间关系的敏感性;运用语言描述变量之间关系的合理性等.1用表格表示的变量间关系1.经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程,获得探索变量之间关系的体验,进一步发展符号感.2.在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量,并能举出反映变量之间关系的例子.3.能从表格中获得变量之间关系的信息,能用表格表示变量之间的关系,并根据表格中的资料尝试对变化趋势进行初步的预测.经历实习、操作、观察、猜想、交流等获取信息的过程,体会我们生活在一个变化的世界中,进一步理解变量之间的关系,从表格中获取两个变量之间关系的有关信息.激发学生学习数学的兴趣,认识到现实生活中蕴含着大量两个变量之间关系的有关问题,这些问题可以抽象成数学问题,用数学方法予以解决.【重点】通过具体情境理解变量、自变量和因变量的概念,能从表格中发现变量之间的变化关系,并能用自己的语言描述出来.【难点】对表格中的数据作出分析和预测,用变量之间变化的思想描述我们所生活的世界中的变化.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P62~63.导入一:前一段时间大萌子和萌爸的三十年照片被晒在网上,这30张照片是一个北京姑娘1岁到30岁和爸爸的合影,从小到大,她的每一步都有爸爸陪伴,每张照片都有那一年的故事,触动心灵!孩子茁壮成长,父母日渐老去.[处理方式]通过上面的例子,我们感到:我们生活在一个变化的世界中.从数学的角度研究变化的量,讨论它们之间的关系,将有助于我们更好地了解自己、认识世界和预测未来,这也是我们第三章将要学习的变量之间的关系.[设计意图]通过具体生活的实例激发学生的学习兴趣,在学生熟悉的情境中自然地引入本章的内容,学生感到亲切、贴近生活,乐意去学习探究,又通过具体的情境,让学生对本章学习研究的内容有个大致的了解,目的性较强,直接指向本节课所要学习的内容.导入二:猜猜看:他是谁?[处理方式]让学生观察交流,感受身边的日常变化.[设计意图]通过具体情境激发学生的学习兴趣,让学生观察图片作为课堂教学的引入,通过举例,希望学生体会身边的事物无时无刻不在发生变化,培养学生善于观察的能力,让学生感受事物的变化,进而引向本节课所要学习的内容.探究活动1小车下滑实习思路一【活动内容1】直观感知支撑物的高度与小车下滑时间的变化关系.下面我们来观察一个小车下滑实习:(课件出示)王波学习小组利用同一块木板,测量小车从不同高度下滑的时间.【问题】支撑物的高度不同,小车下滑的时间有怎样的变化?(如上图)[处理方式]课件演示小车从不同高度下滑的实习.讨论得出:图(1)小车下滑的时间较长,图(4)小车下滑的时间较短.从图(1)到图(4),随着支撑物的增高,小车下滑的时间逐渐变短.由于木板的长度不变,因此支撑物的高度越高,木板就越陡,小车下滑的时间就越短.【活动内容2】数据感知支撑物的高度与小车下滑时间的变化关系.(1)支撑物高度为70 cm时,小车下滑时间是多少?(2)如果用h表示支撑物高度,t表示小车下滑时间,随着h逐渐变大,t的变化趋势是什么?(3)h每增加10 cm,t的变化情况相同吗?(4)估计当h=110 cm时,t的值是多少?你是怎样估计的?(5)随着支撑物高度h的变化,还有哪些量发生变化?哪些量始终不发生变化?[处理方式]先小组讨论后,汇报交流,师引导学生根据表格中数据进行适当的运算,通过观察分析这些计算结果,得出相应的结论,让学生了解这是利用表格分析变化关系、预测变化趋势的一种常用的方法.得出答案:(1)支撑物高度为70 cm时,小车下滑时间是1.59 s.从表格中直接可以查出.(2)t随着h的增大而减少.支撑物的高度越高,下滑的时间就越短.(3)h每增加10 cm,t的变化情况不相同.通过计算,可得到h每增加10 cm,t的变化量依次减少1.23 s,0.55 s,0.32 s,0.24 s,0.18 s,0.12 s,0.09 s,0.09 s,0.06 s.因此h每增加10 cm,t的变化情况不相同,但是随着h(4)t的变化量的变化趋势可以发现t的减少量要小于0.06 s或等于0.06 s,故可估计t的减少量为0.05 s,因此t的值大约为1.35- 0.05=1.30(s).(5)随着支撑物高度h的变化,下滑的时间t会发生变化,小车下滑的路程没有发生变化.探究小车下滑的时间随高度变化的情况.[处理方式]请两名同学到前面来进行实习.其他每组同学记录实习数据.(拿出实习器材:小车、木板、秒表、调节高度的装置,找两名学生到前面来进行实习,说明实习的目的及步骤)根据实习数据师生共同讨论,得出问题答案.猜想:随着小车的下滑高度的增加,小车下滑的时间逐渐减小.师:那么事实是不是这样呢?我们就来验证一下,让小车从不同的高度滑下,用秒表记录下每次小车下滑的时间,看看有何规律.师生:支撑物高度为70 cm时,小车下滑时间为1.59 s.师:如果用h表示支撑物高度,t表示小车下滑时间,随着h逐渐变大,t的变化趋势是什么?生:随着h逐渐变大,t逐渐变小.师:h每增加10 cm,t的变化情况相同吗?为什么?生:不相同.因为我是通过计算得到的,h每增加10 cm,t的变化量依次减少1.23 s,0.55 s,0.32 s,0.24 s,0.18 s,0.12 s,0.09 s,0.09 s,0.06 s.(如下表:教师此时展示差值表,便于学生分析回答问题)因此h每增加10 cm师生:当h=110 cm时,t的值可能是1.30 s,从表格中可以看出当小车的高度从90 cm上升到100 cm 时,时间减少了0.06 s,而且随着高度的增加,时间减少的越来越少,所以当小车的高度从100 cm上升到110 cm时,时间最多减少0.06 s,所以我认为减少0.05 s比较合适,所以我认为h=110 cm时,t的值可能是1.30 s.师:这位同学回答得很好.我们推测估计时,要根据表中的数据进行分析整理,然后作出合理的回答.(教师可说明答案是1.29 s至1.35 s中的任意一个值)师:随着支撑物高度h的变化,还有哪些量发生变化?哪些量始终不发生变化?生:随着支撑物高度h的变化,小车下滑的时间t会发生变化,小车下滑的路程没有发生变化.[设计意图]通过小车下滑的实习,让学生参与到收集数据的实习过程中,借助于数据感受具体的变化及其中蕴含的规律;亲身感受随着支撑物高度的增加,小车下滑所用的时间越来越少.体会这一过程中变化的量,为变量、自变量、因变量、常量这些概念的引入打下基础.同时鼓励学生充分进行交流,培养他们从表格中获取信息的能力.程中,若有两个变量x和y,其中y随着x的变化而发生变化,我们就把x叫自变量,y叫因变量.始终不变的量叫做常量.②利用在变化过程中,两个变量的因果关系,确定自变量和因变量.③借助表格,可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.④在利用表格表示变量之间的关系时,通常自变量在表格的第一行,而因变量则在第二行.[设计意图]为更好地感受变量之间的关系;通过小车下滑实习进一步积累感性认识,进一步体会在具体的情境中,变量之间的依存关系和变化关系,既能激起学生学习的兴趣,又为知识的直接概括积累了材料,在此基础上通过学生看书自学,明确各自意义,再通过回顾前置实习巩固概念,符合学生的认知规律,最后点题,明确表格是表示变量之间关系的一种常用方法.先独立完成下列问题,然后小组内交流.1.我国从1949年到(1)上表反映了和两个变量之间的关系,是自变量,是因变量.(2)如果用x表示时间,y表示我国人口数量,那么随着x的变化,y的变化趋势是什么?(3)从1949年起,时间每向后推移10年,我国人口是怎样变化的?[处理方式]引导学生观察表格中的数据变化,发现变量的整体变化趋势;利用变量之间的因果关系,区分出自变量和因变量.通过计算人口数量随年份的增加量,根据增加量的变化,得出人口数量随时间的变化关系.解:(1)时间人口数量时间人口数量(2)随着x的增加,y也增加.(3)从1949年起,时间每向后推移10年,我国人口增加1.5亿左右.但最后10年的增加量大约只有0.76亿.(答案合理即可)2.心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:分钟)之间有如下的关系(其中0≤x≤30(1)(2)当提出概念所用时间是10分钟时,学生的接受能力是多少?(3)根据表格中的数据,你认为提出概念所用的时间是多少时,学生的接受能力最强?[处理方式]引导学生观察表格中的数据变化,发现变量间的变化关系和变化趋势.解:(1)提出概念所用的时间和学生的接受能力之间的关系.提出概念所用的时间是自变量,学生的接受能力是因变量.(2)59.(3)13分钟.[设计意图]利用不同的问题情境,使学生感受到变量之间的依赖关系和变化关系,理解变量、自变量、因变量的概念,能根据表格中的数据,对变量进行分析和预测,达到掌握知识的目的;新颖的问题情境,能够吸引学生积极地参与学习;简单口述,既能训练学生的思维能力和语言表达能力,又可以节省时间,起到提高学习效率的作用.[知识拓展]1.在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量.2.一般地,在一个变化过程中,主动变化的量是自变量,受其他量影响而发生变化的量是因变量.3.自变量和因变量是相对的,一个量在某一变化过程中是自变量,而在另一变化过程中可能是因变量.4.常量和变量是相对的,在不同的研究过程中,二者可以相互转化.5.因变量的数值与自变量的数值必须一一对应.1.变量、常量、自变量、因变量的定义.2.借助表格,我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.1.(1)上表反映了与之间的变化关系其中是自变量,是因变量;(2)如果用x表示时间,y表示电话费,那么随着x的增加,y的变化趋势是;(3)丽丽打了5分钟电话,应该付元的电话费;(4)你能帮助丽丽预测一下,如果打10分钟电话,那么需付元电话费;(5)你能知道每打1分钟电话,需要付多少元电话费吗?电话费与打电话的时间有怎样的关系?解:(1)时间电话费时间电话费(2)不断增加(3)3.0(4)6.0(5)每分钟0.6元,电话费=0.6×时间.2.(1)上述哪些量在变化?(2)第5排、第6排各有多少个座位?(3)第n排有多少个座位?请说明你的理由.解:(1)排数和座位数在变化,排数是自变量,座位数是因变量.(2)第5排有76个座位,第6排有80个座位.(3)第n排有60+4(n- 1)=(4n+56)个座位,每一排比前一排多4个座位.1用表格表示的变量间关系探究活动1小车下滑实习探究活动2变量、自变量、因变量、常量等概念一、教材作业【必做题】教材第63页习题3.1知识技能第1,2题.【选做题】教材第64页习题3.1问题解决第4,5题.二、课后作业【基础巩固】1.在利用太阳能热水器来加热水的过程中,热水器里水的温度随所晒时间的长短而变化,这个问题中因变量是()A.太阳光强弱B.水的温度C.所晒时间D.热水器的容积2.据世界人口组织公布,地球上的人口从1600年到1999年一直呈递增趋势,即随时间的变化,地球上的人口数量在逐渐增加,如果用t表示时间,y表示人口数量,那么是自变量,是因变量.3.某条河受暴雨袭击,(1)上表反映了与之间的关系其中是自变量,是因变量;(2)12时的水位是;(3)这个时段水位上升最快.【能力提升】4.某城市自来水收费实行阶梯水价,收费标准如下表所示,用户5月份交水费45元,则所用水为方.5.苹果熟了,:(1)上表反映了和两个变量之间的关系,是自变量,是因变量;(2)根据表格中的数据,售价y是随销售数量x的变化而的;(3)估计当x=15时,y的值是.【拓展探究】6.下表是某冰箱厂2015(1)根据表格中的数据,(2)根据表格你知道哪几个月的月产量相同?哪个月的月产量最高?(3)求2015年前半年的平均月产量是多少.【答案与解析】1.B(解析:由题意可知,水的温度随着所晒时间的变化而变化,所晒时间是自变量,水的温度是因变量.故选B.)2.时间(或t)人口数量(或y)3.(1)时间水位时间水位(2)4米(3)20至24时4.20(解析:由题意得5月份用水量超过18方,设超过的部分为x方,由题意列方程为12×2+6×2.5+3x=45,解得x=2,所以5月份用水量为20方.)5.(1)销售数量售价销售数量售价(2)变化(3)31.56.解:(1)随着月份x的增大,月产量y正在逐渐增加.(2)1月、2月两个月的月产量相同,6月份月产量最高.(3)(10000+10000+12000+13000+14000+18000)÷6≈12833(台).故2015年前半年的平均月产量约为12833台.用学生比较熟悉而又感兴趣的具体问题情境和实例展开知识的学习和探究,学生能积极、主动地参与知识的学习过程;学生充分地交流讨论,较好地训练了学生的语言表达能力和对知识的理解能力;学生主动参与实习,亲身感受变量之间的变化关系,印象深刻,理解到位;通过口答叙述,小组讨论达成共识,再进行交流展示,既节省了时间,又达到了目标.整体来看,学生积极参与,踊跃发言,对变量、自变量、因变量的理解较好,对表格表示的变量间的关系,有一个比较清楚的了解,对数据的分析和预测比较客观、合理.由于本节知识点较少,也较为简单,在设计教学过程的时候,比较松散,学生训练的题目较少,特别对表格中的数据变化有一定规律的题目训练不够,对数据变化的情况学生叙述不够准确、客观,教师的引导不够到位,学生使用数学语言的能力还要进一步加强.加强对数学语言训练的力度,结合具体的问题情境训练学生语言表达的准确性和简洁性;设计灵活多样而新颖的题目,加强对学生理解知识能力的训练,同时结合具体题目做好渗透,为下一节的学习做好铺垫;增大课堂容量,采取更加灵活的方式,加大训练的强度,增加训练的效果.随堂练习(教材第63页)1.解:如气温随时间的变化,脉搏随运动强度的变化,作物的高度随种植时间的变化等.(答案不唯一)2.解:(1)氮肥的施用量和土豆产量之间的关系;氮肥的施用量是自变量,土豆产量是因变量.(2)32.29t,15.18 t.(3)如可以回答氮肥的施用量为336 kg/hm2时比较适宜,因为此时土豆的产量最高;还可以回答氮肥的施用量为259 kg/hm2时比较适宜,因为此时土豆的产量与施用量为336 kg/hm2时差不多,而又可以节约肥料.合理即可.(4)这里主要关注的是对变化过程的大致刻画,答案只要合理即可.习题3.1(教材第63页)知识技能1.解:2.解:(1)(3).问题解决4.解:(1)老花镜的度数越大,镜片与光斑的距离越小.(2)140度~150度(估计的度数接近即可).5.解:(1)反映了海拔高度与空气含氧量之间的关系.海拔高度是自变量,空气含氧量是因变量.(2)299.3g/m3,182.08 g/m3.(3)大约为150.66 g/m3(合理即可).奥运会的年份与届数如下表所示,表中n的值等于()年份1896 1900 1904 (2012)A.28B.29C.30〔解析〕年份是自变量,届数是因变量,根据数据可得二者的变化规律:第1届相应的举办年份=1896+4×(1- 1)=1892+4×1=1896;第2届相应的举办年份=1896+4×(2- 1)=1892+4×2=1900;第3届相应的举办年份=1896+4×(3- 1)=1892+4×3=1904;…;第n届相应的举办年份=1896+4×(n-1)=1892+4n.根据规律代入相应的年份即可算出届数.令1892+4n=2012,解得n=30.故选C.[解题策略]此题主要考查了数字的变化,解题关键是弄清题意,根据题目中给出的规律列出代数式.本题每届举办年份比上一届举办年份多4.2用关系式表示的变量间关系1.经历探索某些图形中变量之间的关系的过程,进一步体会一个变量对另一个变量的影响,发展符号感.2.能根据具体情境,用关系式表示某些变量之间的关系.3.能根据关系式求值,初步体会自变量和因变量的数值对应关系.1.如何将生活中的实际问题转化为数学问题.2.如何用数学方法解决实际生活中的问题.培养学生动手的能力,探索问题、研究问题的能力及应用数学知识的能力.通过教学让学生领悟探索问题和研究问题的方法.【重点】通过用关系式表示变量之间的关系,体会变量之间的数值对应关系.【难点】将具体问题抽象成数学问题并将它用关系式表示出来.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P66~67.导入一:【活动内容】复习用表格表示两个变量之间的关系.【问题】随着手机的普及,现代人们的通信越来越便捷.打电话要交话费,下表是某同学家长调取的。

初中数学七年级下册《变量之间的关系》大单元教学设计

初中数学七年级下册《变量之间的关系》大单元教学设计一．教材分析变量之间的关系是继学习代数式求值、探索规律后运用各变量之间的关系解决具体实际问题。

在本章的学习中学生已经分别利用表格、图像、表达式等多种方法表示变量之间的关系上，进一步依据学生实际创新的情景，解决实际问题。

此外从本章开始，学生的数学学习从常量进入了变量的世界，由于是刚刚接触一种新的思维方式，学生对于变量之间的关系的理解停留在表象上，事实上我们期望通过本章对变量和变量之间的关系的丰富经历，为学生以后顺利的过度到函数学习打下基础，而为了发展学生对函数的理解，必须使他们对函数的多种表示有相当丰富的经历，结合本章的学习，学生的抽象思维将不断加强，对数学知识的认识将上升到新的境界。

二．整体结构函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，在六年级上学期中，教科书已经在代数式求值、探索规律等地方渗透了变化的思想，而本章则是第三学段第一次集中讨论变量之间的关系,主要是让学生联系实际背景了解变量以及量与量之间变化的规律，为以后顺利过渡到函数学习打下基础。

从木章开始学生从常量的世界进入了变量的世界，开始接触一种新的思维方式。

本单元主要内容是两个变量之间的关系及表示方法,能确是其中的自变量或因变量，能够正确写出变量之间的关系，并结合对变量之间关系的分析，尝试对变化趋势进行初步的预测，通过表格、图像、表达式获取信息解决实际问题。

本章的重点是用表格、表达式和图像表示变量之间的关系，难点是从表格、表达式和图像中分析变量之间的关系，并进行变化规律的预测。

三．对应课标①探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例。

②能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析(例68)。

③能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值。

④能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系, 理解函数值的意义。

⑤结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。

七年级数学下册第三章变量之间的关系3.2用关系式表示变量间的关系教学设计新版北师大版

七年级数学下册第三章变量之间的关系3.2用关系式表示变量间的关系教学设计新版北师大版一. 教材分析北师大版七年级数学下册第三章“变量之间的关系”是学生在学习了二元一次方程组的基础上，进一步探讨变量之间的关系。

本节内容通过用关系式表示变量间的关系，让学生体会数学与实际生活的紧密联系，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二. 学情分析七年级的学生已经掌握了二元一次方程组的知识，对于用关系式表示变量间的关系并不陌生。

但如何将现实生活中的问题转化为数学问题，用数学语言描述和解决问题，仍是学生需要提高的地方。

此外，部分学生可能对数学与实际生活的联系缺乏认识，需要教师在教学中加以引导。

三. 教学目标1.理解函数的概念，掌握用关系式表示变量间的关系。

2.能够将现实生活中的问题转化为数学问题，并用数学语言描述和解决问题。

3.培养学生的动手操作能力、合作交流能力和数学思维能力。

4.体会数学与实际生活的紧密联系，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：理解函数的概念，掌握用关系式表示变量间的关系。

2.难点：如何将现实生活中的问题转化为数学问题，并用数学语言描述和解决问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过现实生活中的实例，引导学生发现数学问题，体会数学与生活的联系。

2.合作学习法：分组讨论，培养学生的团队协作能力和交流能力。

3.动手操作法：让学生亲自动手操作，提高学生的动手能力和实践能力。

4.引导发现法：教师引导学生发现规律，培养学生独立思考和发现问题的能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示现实生活中的实例和数学问题。

2.练习题：准备适量的练习题，巩固所学知识。

3.教学工具：准备黑板、粉笔、投影仪等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示现实生活中的实例，如购物时发现商品打折，原价和折后价之间的关系。

引导学生发现这是一个数学问题，进而引入本节课的内容。

2.呈现（10分钟）教师讲解函数的概念，并用关系式表示变量间的关系。

七年级数学下册第三章变量之间的关系3.2用关系式表示变量间的关系教案新版北师大版

七年级数学下册第三章变量之间的关系3.2用关系式表示变量间的关系教案新版北师大版一. 教材分析本节课的内容是北师大版七年级数学下册第三章变量之间的关系中的3.2用关系式表示变量间的关系。

这部分内容是在学生已经掌握了变量和常量的概念，以及函数的定义的基础上进行的。

本节课的主要目的是让学生了解和掌握用关系式表示变量间的关系的方法，培养学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在进入七年级之前，已经初步掌握了变量和常量的概念，同时也对函数有一定的了解。

但是，对于如何用关系式表示变量间的关系，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过实际问题来理解和掌握关系式的表示方法。

三. 教学目标1.让学生理解用关系式表示变量间的关系的方法。

2.培养学生解决实际问题的能力。

3.培养学生合作学习的习惯。

四. 教学重难点1.教学重点：用关系式表示变量间的关系。

2.教学难点：如何引导学生从实际问题中发现关系式，并运用关系式解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法，通过实际问题引导学生理解和掌握关系式的表示方法。

同时，采用小组合作学习的方式，培养学生的合作意识。

六. 教学准备教师准备一些实际问题，用于引导学生理解和掌握关系式的表示方法。

同时，准备PPT，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：“小明的年龄比小红大3岁，用关系式表示小明的年龄和小红的年龄之间的关系。

”让学生思考并回答。

2.呈现（10分钟）教师呈现一些实际问题，让学生尝试用关系式表示变量间的关系。

例如：“某商品的原价是100元，打8折后的价格是多少？用关系式表示原价和打折后价格之间的关系。

”学生独立思考并回答。

3.操练（10分钟）教师学生进行小组合作学习，让学生通过实际问题来练习用关系式表示变量间的关系。

例如：“小组成员互相编写一些实际问题，然后用关系式表示变量间的关系。

”4.巩固（10分钟）教师选取一些学生编写的实际问题，让学生上台展示并解释用关系式表示变量间的关系。

数学七年级下册第三章变量之间的关系

时间 (分)
0
2 4 6 8 10 12 14
…
温度 (℃)
30 44 58 72 86 100 100 100
…
(1)上表反映了哪两个量之间的关系?哪个是自变量? 哪个是因变量? (2)水的温度是如何随着时间的变化而变化的? (3)时间推移2分钟,水的温度如何变化? (4)时间为8分钟,水的温度为多少?你能得出时间为9 分钟时,水的温度吗?
(4)由表中数据可知,每月的乘车人数每增加500人,每月的利润可增加1 000元, 当每月的乘车人数为2 000人时,每月利润为0元,则当每月利润为5 000元时,每月乘车人数为4 500人. 答案:4 500
★★3.研究发现,地表以下岩层的温度与它所处的深度有表中的关系:
岩层的深度h/km
(5)根据表格,你认为时间为16分钟和18分钟时水的温度分别为多少? (6)为了节约能源,你认为应在什么时间停止烧水?
【自主解答】(1)上表反映了水的温度与时间的关系, 时间是自变量,水的温度是因变量; (2)水的温度随着时间的增加而增加,到100 ℃时恒定; (3)时间推移2分钟,水的温度增加14 ℃,到10分钟时恒定;
后,得到的新正方形的周长为y cm,y与x间的函数关系
式是 ( )
A.y=12-4x
B.y=4x-12
C.y=12-x
D.以上都不对
A
★2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D点在AC 上运动,设AD长为x,△BCD的面积y,则y与x之间的函数表达式为____________.
年龄 x/周 0 3 6 9 12 15 18 21 24 岁
身高 h/cm
48
100
130

七年级数学下册第3章变量之间的关系 3.2 用关系式表示的变量的关系课件

时y的值:
பைடு நூலகம்
x(人次)
500
1 000
1 500
2 000
2 500
3 000
3 500
…
y(元)
…
(2)根据(1)中表格的数据,请写出y与x之间的关系式,并直接回答:当每月的乘客量达到多少人次以上时,该公交车才不会亏损?
(3)如果公交车每月的收入与支出的差额(chā é)要达到8 000元,则乘坐该公交
2
2
∴y=- 1 -1=- 3 .
2
2
2.(2017广东河源正德(zhènɡ dé)中学段考,16,★☆☆)某电器进价为250元,按标价的9
折出售,则此电器的利润y(元)与标价x(元)之间的关系式是
.
答案 y=0.9x-250
解析根据“利润=售价-进价”得y=0.9x-250.
2021/12/11
值,也可以根据已知的因变量的值通过解方程求自变量的值.
3.两个变量之间关系式的特征. (1)关系式是等量,其中等式左边是因变量,右边是含自变量的代数式.
(2)关系式中只含有(hán yǒu)自变量和因变量这两个变量,其他的量都是常量.
(3)自变量可以在允许的范围内任意取值.
2021/12/11
第二页，共三十七页。
岁.
答案(dáàn) 72
解析设所求的年龄为x岁,因为“老人系数”为0.6,所以60<x<80,则有
x =600.6,解得x=72,所以“老人系数”为0.6的人的年龄是72岁. 20
2021/12/11
第十四页，共三十七页。
3.某移动通信公司开设了两种通信业务,“全球通”:使用时首先缴50元
月租费,然后每通话1分钟,付话费0.4元;“动感地带”:不缴月租费,每通话1分钟,付话费0.6元,若一个月通话x分钟,两种方式的费用分别为y1元

第9讲变量之间的关系七年级数学下册同步精品讲义

第9讲变量之间的关系1.一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t ，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量. t 是自变量，s 是因变量.2.表格可以清楚地列出一些自变量和因变量的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等.3.关系式能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的变量之间都能列出关系式.4.图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势，而且对于一些无法用关系式表达的变量，图象可以充当重要角色.知识点01．常量与变量（1）变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．（2）方法：①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量．【知识拓展1】（2021春•成华区期末）汽车以每小时100千米的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化，在这个变化过程中，自变量是（） A ．汽车B ．路程C ．速度D ．时间【即学即练1】（2021秋•天长市月考）一本笔记本5元，买x 本共付y 元，则5和x 分别是（） A ．常量，变量B ．变量，变量C ．常量，常量D ．变量，常量【即学即练2】（2021春•莱阳市期末）已知声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，在一定范围内其关系如表所示：温度℃ ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 传播速度318324330336342348知识精讲目标导航（m/s）则下列说法错误的是（）A．自变量是传播速度，因变量是温度B．温度越高，传播速度越快C．当温度为10℃时，声音10s可以传播3360mD．温度每升高10℃，传播速度增加6m/s知识点02．函数关系式用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．注意：①函数解析式是等式．②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．【知识拓展2】（2021秋•成都期末）现有一小树苗高100cm，以后平均每年长高50cm．x年后树苗的总高度y（cm）与年份x（年）的关系式是．【即学即练1】（2021秋•龙口市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点A，交y轴于点B，再分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点C，若点C的坐标为（x﹣2，2y），则y与x的函数关系式为．【即学即练2】（2021秋•三水区期末）一辆车的油箱有80升汽油，该车行驶时每1小时耗油4升，则油箱的剩余油量y（升）与该车行驶时间x（小时）（0≤x≤20）之间的函数关系式为．【即学即练3】（2021秋•香洲区期末）某种产品今年的年产量是20t，计划今后两年增加产量．如果每年的产量都比上一年增加x倍，两年后这种产品的产量y与x之间的函数表达式是．【即学即练4】（2021秋•杜尔伯特县期末）如图所示，梯形的上底长是5cm，下底长是13cm．当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化．（1）在这个变化过程中，自变量是，因变量是．（2）梯形的面积y（cm2）与高x（cm）之间的关系式为．（3）当梯形的高由10cm变化到1cm时，梯形的面积由cm2变化到cm2．【即学即练5】（2021秋•密云区期末）如图，一个矩形的长比宽多3cm，矩形的面积是Scm2．设矩形的宽为xcm，当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（）A．S＝4x+6B．S＝4x﹣6C．S＝x2+3x D．S＝x2﹣3x【即学即练6】（2021秋•临漳县期末）某油箱容量为60升的汽车，加满汽油后行驶了100千米时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x千米，油箱中剩余油量为y升，则y与x之间的函数关系式是（）A．y＝0.12x B．y＝60+0.12xC．y＝﹣60+0.12x D．y＝60﹣0.12x【即学即练7】（2021秋•滨海县期末）某商场为了增加销售额，推出“元月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡元月份在该商场一次性购物超过100元以上者，超过100元的部分按9折优惠．”在大酬宾活动中，小王到该商场为单位购买单价为60元的办公用品x件（x＞2），则应付货款y（元）与商品件数x 的函数关系式是．知识点03．函数的图象函数的图象定义对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．【知识拓展3】（2021秋•綦江区期末）小强和爷爷去爬山，爷爷先出发一段时间后小强再出发，途中小强追上了爷爷并最终先爬到山顶，两人所爬的高度h（米）与小强出发后的时间t（分钟）的函数关系如图所示，下列结论正确的是（）A．爷爷比小强先出发20分钟B．小强爬山的速度是爷爷的2倍C．l1表示的是爷爷爬山的情况，l2表示的是小强爬山的情况D．山的高度是480米【即学即练1】（2021秋•长丰县期末）小明上午8：00从家里出发，跑步去他家附近的抗日纪念馆参加抗美援朝70周年纪念活动，然后从纪念馆原路返回家中，小明离家的路程y（米）和经过的时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列说法不正确的是（）A．从小明家到纪念馆的路程是1800米B．小明从家到纪念馆的平均速度为180米/分C．小明在纪念馆停留45分钟D．小明从纪念馆返回家中的平均速度为100米/分【即学即练2】（2021秋•大东区期末）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种．甲地经过a天后接种人数达到30万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示，当乙地完成接种任务时，甲地未接种疫苗的人数为万人．【即学即练3】（2021秋•南岸区期末）一司机驾驶汽车从甲地到乙地，他以60km/h的平均速度行驶4h到达目的地，并按照原路返回甲地．（1）返回过程中，汽车行驶的平均速度v与行驶的时间t有怎样的函数关系？（2）如果要在3h返回甲地，求该司机返程的平均速度；（3）如图，是返程行驶的路程s（km）与时间t（h）之间的函数图象，中途休息了30分钟，休息后以平均速度为85km/h的速度回到甲地．求该司机返程所用的总时间．【即学即练4】（2021秋•徐汇区校级期末）某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油箱余油量为Q2吨，加油时间为t（分），Q1、Q2与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：（1）加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了吨油；运输飞机的油箱有余油量吨油；（2）这些油全部加给运输飞机需分钟；（3）运输飞机的飞行油耗为每分钟吨油；（4）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行小时．【即学即练5】（2021秋•沛县期末）小明爸爸开车从单位回家，沿途部分路段正在进行施工改造，小明爸爸回家途中距离家的路程ykm与行驶时间xmin之间的函数关系如图所示．结合图象，解决下列问题：（1）小明爸爸回家路上所花时间为min；（2）小明爸爸说：“回家路上，有一段路连续4分钟恰好行驶了2.4千米．”你认为该说法有无可能？若有，请求出这4分钟的起止时间；若没有，请说明理由．【即学即练6】（2021秋•龙凤区校级期末）如图是一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的图象，两地间的距离是80km，请你根据图象解决下面的问题．（1）谁出发较早？早多长时间？谁到达乙地较早？早到多长时间？（2）两人在途中行驶的速度分别是多少？（3）若用y表示自行车行驶过的路程，用x表示自行车行驶过的时间，写出y与x的关系．知识点04．动点问题的函数图象函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．【知识拓展4】（（2021秋•东阳市期末）已知两个等腰直角三角形的斜边放置在同一直线l上，且点C与点B重合，如图①所示．△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．直到点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图②所示，则△ABC的直角边长是（）A．4B．4C．3D．3【即学即练1】（2021秋•龙岩期末）如图，正方形ABCD的边长为2，点E和点F分别在BC和CD上运动，且保持∠EAF＝45°．若设BE的长为x，EF的长为y，则y与x的函数图象是（）A．B．C．D．【即学即练2】（2021秋•沛县期末）如图1，在矩形ABCD中，点P从点C出发，沿C→D→A→B方向运动至点B处停止．设点P运动的路程为x，△PBC的面积为y，已知y关于x的函数关系如图2所示，则长方形ABCD的面积为（）A．15B．20C．25D．30【即学即练3】（2021秋•金湖县期末）如图（1），△ABC和△A'B'C'是两个腰长不相等的等腰直角三角形，其中，∠A＝∠A'＝90°．点B'、C'、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A'B'C'在直线l上自左向右平移，开始时，点C'与点B重合，当点B'移动到与点C重合时停止．设△A'B'C'移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则BC的长是．【即学即练4】（2021秋•龙华区期末）如图1，动点P从长方形ABCD的顶点A出发，沿A→C→D以1cm/s 的速度运动到点D停止．设点P的运动时间为x（s），△P AB的面积为y（cm2）．表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则长方形ABCD的面积为cm2．知识点05．函数的表示方法函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．【知识拓展5】（2021秋•紫金县期末）在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度（h）与下滑的时间（t）的关系如下表：支撑物高h（cm）1020304050…下滑时间t（s） 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56…以下结论错误的是（）A．当h＝40时，t约2.66秒B．随高度增加，下滑时间越来越短C．估计当h＝80cm时，t一定小于2.56秒D．高度每增加了10cm，时间就会减少0.24秒【即学即练1】（2021秋•肇源县期末）河北给武汉运送抗疫物资，某汽车油箱内剩余油量Q（升）与汽车行驶路程s（千米）有如下关系：行驶路程s（千米）050100150200…剩余油量Q（升）4035302520…则该汽车每行驶100千米的耗油量为升．【即学即练2】（2021春•富平县期末）在《科学》课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的王红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度（100℃），王红家只有刻度不超过100℃的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，用煤气灶均匀加热，并每隔10s测量一次锅中油温，测量得到的数据如下表：时间t/s010203040油温y/℃1030507090王红发现，烧了110s时，油沸腾了，则下列说法不正确的是（）A．加热10s，油的温度是30℃B．在一定范围内，每加热10s，油的温度升高20℃C．估计这种食用油的沸点温度约是230℃D．加热50s，油的温度是100℃知识点06．分段函数（1）一次函数与常函数组合的分段函数．分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数．（注意：在解决分段函数问题时，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．）（2）由文字图象信息确定分段函数．根据图象读取信息时，要把握住以下三个方面：①横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量．②关于某个具体点，要求向横、纵轴作垂线来求得该点的坐标．③在实际问题中，要注意图象与x轴、y轴交点坐标代表的具体意义．【规律方法】用图象描述分段函数的实际问题需要注意的四点1．自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示．2．当两个阶段的图象都是一次函数（或正比例函数）时，自变量变化量相同，而函数值变化越大的图象与x轴的夹角就越大．3．各个分段中，准确确定函数关系．4．确定函数图象的最低点和最高点．【知识拓展6】（2021春•滦南县期末）在国内投寄到外地质量为80g以内的普通信函应付邮资如下表：信件质量m/g0＜m≤2020＜m≤4040＜m≤6060＜m≤80邮资y/元 1.20 2.40 3.60 4.80某同学想寄一封质量为15g的信函给居住在外地的朋友，他应该付的邮资是（）A．4.80B．3.60C．2.40D．1.20【即学即练1】（（2021•永州）已知函数y ＝，若y＝2，则x＝．【即学即练2】（（2021•锡山区校级模拟）某市地铁票价计费标准如表所示：乘车距离x，单位：公里．乘车距离x x≤66＜x≤1212＜x≤2222＜x≤32x＞32票价（元）3456每增加1元可乘20公里另外，使用市政交通一卡通，每个自然月每张卡片支出累计满100元后，超出部分打8折；满150元后，超出部分打5折；支出累计达400元后，不再打折．小红妈妈上班时，需要乘坐地铁15公里到达公司，每天上下班共乘坐两次，如果每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么每月第22次乘坐地铁上下班时，她刷卡支出的费用是元．能力拓展【考点1】：用表格表示变量间关系例题1．（2020·山东济南市·七年级期末）为了解某种品牌小汽车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：汽车行驶时间t（h）0 1 2 3 …油箱剩余油量Q（L）100 94 88 82 …①根据上表的数据，请你写出Q与t的关系式；②汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是多少；③该品牌汽车的油箱加满50L，若以100km/h的速度匀速行驶，该车最多能行驶多远．【变式1】（2019·广东深圳市·七年级期末）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x(人)与每月利润(利润=收入费用-支出费用)y(元)的变化关系如下表所示(每位乘客的公交票价是固定不变的)；(1)在这个变化过程中，是自变量，是因变量；(填中文)(2)观察表中数据可知，每月乘客量达到人以上时，该公交车才不会亏损；(3)请你估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为元？(4)若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达人.【变式2】（2020·辽宁丹东市·七年级期末）某路公交车每月有x人次乘坐，每月的收入为y元，每人次乘坐的票价相同，下面的表格是y与x的部分数据．x/人次500 1000 1500 2000 2500 3000 …y/元1000 2000 4000 6000 …（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）请将表格补充完整．（3）若该路公交车每月的支出费用为4000元，如果该路公交车每月的利润要达到10000元，则每月乘坐该路公交车要达到多少人次？（利润=收入-支出费用）【考点2】：用关系式表示变量间关系例题2．（2020·甘肃酒泉市·七年级期末）如图，自行车每节链条的长度为2.5cm ，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm ．（1）观察图形，填写下表：链条的节数/节 2 3 4链条的长度/cm（2）如果x 节链条的长度是y ，那么y 与x 之间的关系式是什么？（3）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由60节这样的链条组成，那么这辆自行车上的链条（安装后）总长度是多少？【变式1】（2020·江西九江市·七年级期末）在一次实验中，小明把一根弹簧的端固定，在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度()y cm 与所挂物体的质量()x kg 的一组对应值：所挂物体的质量()x kg 012 3 4 5弹簧长度()y cm18 20 222426 28（1）在这个变化的过程中，自变量是；因变量是；（2）写出y 与x 之间的关系式，并求出当所挂重物为6kg 时，弹簧的长度为多少？【变式2】（2020·甘肃酒泉市·七年级期末）如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．（1）观察图形，填写下表：链条的节数/节234链条的长度/cm（2）如果x节链条的长度是y，那么y与x之间的关系式是什么？（3）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由60节这样的链条组成，那么这辆自行车上的链条（安装后）总长度是多少？【考点3】：用图象表示变量间关系例题3、（2020·四川达州市·七年级期末）巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒)之间的关系如图所示(不完整)．据图中给出的信息，解答下列问题：(1)在上述变化过程中，自变量是______，因变量是______；(2)朱老师的速度为_____米/秒，小明的速度为______米/秒；(3)当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离是多少米？【变式1】（2020·四川达州市·七年级期末）巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒)之间的关系如图所示(不完整)．据图中给出的信息，解答下列问题：(1)在上述变化过程中，自变量是______，因变量是______；(2)朱老师的速度为_____米/秒，小明的速度为______米/秒；(3)当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离是多少米？【变式2】（2020·贵州毕节市·七年级期末）如图所示，是反映了爷爷每天晚饭后从家中出发去散步的时间与距离之间的关系的一幅图．（1）下图反映了哪两个变量之间的关系？（2）爷爷从家里出发后20分钟到30分钟可能在做什么？（3）爷爷每天散步多长时间？（4）爷爷散步时最远离家多少米？（5）分别计算爷爷离开家后的20分钟内、30分钟内、45分钟内的平均速度．【变式3】（2021·山东聊城市·七年级期末）如图是2020年1月15日至2月2日全国（除湖北省）新冠肺炎新增确诊人数的变化曲线，则下列说法：①自变量为时间，确诊总人数是时间的函数；②1月23号，新增确诊人数约为150人；③1月25号和1月26号，新增确诊人数基本相同；④1月30号之后，预测新增确诊人数呈下降趋势，其中正确的是____________．（填上你认为正确的说法的序号）分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共5小题）1．（2021秋•龙泉驿区期末）小亮放学回家走了一段，发现一家新开的店在搞活动，就好奇地围观了一会，然后意识到回家晚了妈妈会着急，急忙跑步回到家．若设小亮与家的距离为s（米），他离校的时间为t （分钟），则反映该情景的图象为（）A ．B ．C．D．2．（2021秋•丰台区期末）如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止．若用h（单位：cm）表示容器底面到水面的高度，用V（单位：cm3）表示注入容器内的水量，则表示V与h的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．3．（2021秋•毕节市期中）油箱中存油60升，油从油箱中均匀流出，流速为0.3升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（）A．Q＝0.3t B．t＝60﹣0.3Q C．t＝0.3Q D．Q＝60﹣0.3t4．（2021秋•济阳区期中）一水池的容积是90m3，现有蓄水10m3，用水管以5m3/h的速度向水池注水，直到注满为止．则水池蓄水量V（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式为（）A．V＝5t B．V＝10t C．V＝5t+10D．V＝80﹣5t5．（2021秋•无棣县期中）已知关于x与y之间的关系如表所示：x1234…y5+0.610+1.215+1.820+2.4…下面用的式子中，正确的是（）A．y＝5x+0.6B．y＝（5+0.6）x C．y＝5+0.6x D．y＝5+0.6+x二．填空题（共3小题）6．（2021秋•成都期末）现有一小树苗高100cm，以后平均每年长高50cm．x年后树苗的总高度y（cm）与年份x（年）的关系式是．7．（2021秋•福田区期末）元旦期间，大兴商场搞优惠活动，其活动内容是：凡在本商场一次性购买商品超过100元者，超过100元的部分按8折优惠．在此活动中，小明到该商场一次性购买单价为60元的礼盒x（x＞2）件，则应付款y（元）与商品数x（件）之间的关系式，化简后的结果是．8．（2021秋•李沧区期中）如图，甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向丙地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离，写出x，y之间的关系式．三．解答题（共4小题）9．（2021春•庄河市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（0，3），点C坐标为（6，0），AB∥x 轴，且OA＝AB，动点P从点O出发以2个单位/秒的速度沿O→A→B→C的路线匀速运动，运动到点C 时终止．过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，设点P的运动时间为x（s），线段PQ的长为y．（1）求∠C的度数；（2）求y与x的函数关系式．10．（2021•罗庄区一模）经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如表．x123456y632 1.5 1.21（1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式．（2）点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上．若x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由．11．（2021•寻乌县模拟）数学活动课上，老师提出问题：如图1，有一张长4dm，宽3dm的长方形纸板，在纸板的四个角裁去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大（已知长方体的体积＝长×宽×高）．下面是探究过程，请补充完整：（1）设小正方形的边长为xdm，体积为ydm3，y和x的关系式是；自变量x的取值范围是；（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格：x/dm…1…y/dm3… 1.3 2.2 2.73 2.8 2.5 1.50.9…②描点：根据表中的数值，继续描出2中剩余两个点（x，y）；③在平面直角坐标系中用平滑的曲线画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：当图1中小正方形的边长约为dm时，盒子的体积最大，最大值约为dm3（结果精确到0.01）．12．（2020•南山区校级开学）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）：x（人）50010001500200025003000…y（元）﹣3000﹣2000﹣1000010002000…（1）在这个变化过程中，是自变量，是因变量；（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到人以上时，该公交车才不会亏损；（3）由表格猜想y与x关系式，并估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为多少元？（4）若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达人．题组B 能力提升练易错点一：常量、变量（自变量、因变量）基本概念认识1．（2020·山东济南市·七年级期末）骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温是随时间的变化而变化的，在这一问题中，因变量是( )A．沙漠B．体温C．时间D．骆驼2．（2020·贵州毕节市·七年级期末）甲以每小时20km的速度行驶时，他所走的路程S(km)与时间t（h）之间可用公式s＝20t来表示，则下列说法正确的是（）A．数20和s，t都是变量B．s是常量，数20和t是变量C．数20是常量，s和t是变量D．t是常量，数20和s是变量易错点二：列表法表示变量之间的关系1．（2020·山东青岛市·七年级期末）某品牌热水壶的成本为50元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：现销售了105把水壶，则定价约为（）A．115元B．105元C．95元D．85元2．（2020·山东济南市·七年级期末）为了解某种品牌小汽车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：①根据上表的数据，请你写出Q与t的关系式；②汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是多少；③该品牌汽车的油箱加满50L，若以100km/h的速度匀速行驶，该车最多能行驶多远．。

北师大版初中七年级下册数学《用关系式表示的变量关系》变量之间的关系PPT教学课件

__2kg
3kg
x/kg 1
2
3
4
5 ……
y/cm 3.5 4 4.5 5 5.5 ……
完成上表，并依据上表数据，写出y与x之间的关系式. y = 3+0.5x
新知探究
……
y x2 1
x
1
2
3
4
5
……
y
2
5
10
17
26 ……
12+1
22+1 32+1
解：（1）当x≤3时，y=8；当x＞3时，y=8+1.6(x-3) =1.6x+3.2 .
（2）当y=14.40时，1.6x+3.2=14.40，解得x=7，故他这次乘车坐了7千米的路程.
底和高
A
h
B
a
C
新知探究
例1.如图，三角形ABC底边BC上的高是6厘米. 当三角形的顶点C沿底边所在的直线向B运动时，三角形的面积发生了怎样的变化？
S三角形ABC=
―1 BC·h=3BC 2
逐渐缩小
B
C
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
自变量是三角形的底，因变量是三角形的面积 .
燃烧时间x/min 10 20 30 40 50 …
剩余长度 y/cm 19 18 17 16 15 …
则剩余长度 y(cm)与燃烧时间x(min)的关系式为
y 20 x 10
，估计这支
蜡烛最多可燃烧 200 min.
课堂小测
4.某市出租车计费标准如下：行驶路程不超过3千米时，收费8元；行驶路程超过3千米的部分，按每千米1.60元计费. （1）求出租车收费y（元）与行驶路程x（千米）之间的关系式；（2）若某人一次乘出租车时，付了车费14.40元，求他这次乘车坐了多少千米的路程？

北师大数学七年级下册第四章-变量之间的关系

第01讲_变量之间的关系知识图谱变量之间的关系（北师版）知识精讲变量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量常量在一个变化过程中，有些量的数值是始终不变的，我们称它们为常量关系一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且y随着x的变化而变化，x是自变量，y是因变量二．变量关系的三种表示方法表格法；关系式法；图像法．步骤列表表中给出一些自变量的值及其对应的因变量的值描点在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，因变量为纵坐标，描出表格中数值对应的各点连线按照横坐标由小道大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来注意事项1．表示两个变量的对应关系的点有无数个．但是实际上我们只能描出其中有限个点，同时想象出其他点的位置2．用实心点表示在曲线的点，用空心圈表示不在曲线的点四．易错点1．确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义．2．解决图象有关的问题，一定要注意理解横、纵坐标所表示的实际含义，然后根据图象求出函数解析式来解题．3．不能认为式子中出现的字母都是变量，如π不是变量而是常量．三点剖析一．考点：1．用表格表示的变量间关系； 2．用关系式表示的变量间关系； 3．用图象表示的变量间关系．二．重难点：用图象表示的变量之间的关系三．易错点：1．确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义．2．解决图象有关的问题，一定要注意理解横、纵坐标所表示的实际含义，然后根据图象求出函数解析式来解题．用表格表示的变量间关系例题1、弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y （cm ）与所挂的物体的质量x （kg ）间有下面的关系：下列说法不正确的是（）A.x 与y 都是变量，且x 是自变量，y 是因变量B.所挂物体质量为4kg 时，弹簧长度为12cmC.弹簧不挂重物时的长度为0cmD.物体质量每增加1kg ，弹簧长度y 增加0.5cm 【答案】 C【解析】根据给出的表格中数据分析，可以确定自变量和因变量以及弹簧伸长的长度，得到答案．例题2、已知某易拉罐厂设计一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求的易拉罐的底面半径与铝用量有如下关系：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）当易拉罐底面半径为2.4cm 时，易拉罐需要的用铝量是多少？（3）根据表格中的数据，你认为易拉罐的底面半径为多少时比较适宜？说说你的理由．（4）粗略说一说易拉罐底面半径对所需铝质量的影响．【答案】（1）易拉罐底面半径和用铝量的关系，易拉罐底面半径为自变量，用铝量为因变量；（2）当底面半径为2.4cm 时，易拉罐的用铝量为356.cm ．（3）易拉罐底面半径为2.8cm 时比较合适，因为此时用铝较少，成本低．（4）当易拉罐底面半径在1.6～2.8cm 变化时，用铝量随半径的增大而减小，当易拉罐底面半径在2.8～4.0cm 间变化时，用铝量随半径的增大而增大．【解析】本题考查函数的自变量与函数变量，根据表格理解：随底面半径的增大，用铝量的变化情况是关键．例题3、某校组织学生到距学校6km 的光明科技馆参观，准备乘出租车去科技馆，出租车的收费标准如表：则收费y （元）与出租车行驶里程数x （km ）（x ≥3）之间的关系式为（）x 0 1 2 3 4 5y 10 10.5 11 11.5 12 12.5底面半径 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0 用铝量 6.96.05.65.55.76.06.5里程数收费/元 3km 以下（含3km ） 8.00 3km 以上每增加1km1.80A.y=8xB.y=1.8xC.y=8+1.8xD.y=2.6+1.8x【答案】 D【解析】由题意得，所付车费为：y=1.8（x ﹣3）+8=1.8x+2.6（x ≥3）．故选：D ．随练1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间有如下关系：（其中030x ≤≤）（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？（2）当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？（3）根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟后，学生的接受能力最强；（4）从表中可知，当时间x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？【答案】见解析【解析】（1）提出概念所用的时间x 和对概念接受能力y 两个变量；（2）当10x =时，59y =，所以时间是10分钟时，学生的接受能力是59；（3）当13x =时，y 的值最大是59.9，所以提出概念13分钟时，学生的接受能力最强；（4）由表中数据可知：当213x <<时，y 值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当1320x <<时，y 值逐渐减下，学生的接受能力逐步降低．用关系式表示的变量间关系例题1、写出下列各问题中的关系式，指出其中的常量、自变量、因变量及自变量取值范围．（1）直角三角形中一锐角的度数y 与另一锐角的度数x 之间的函数关系．（2）如果水的流速量是a m/min (一个定量)，那么每分钟的进水量3Q()m 与所选择的水管直径D (m )之间的函数关系．【答案】（1）90y x =-，90是常量，x 是自变量，y 是因变量，自变量x 的取值范围是090x <<；（2）24aD Q π=，常量为4aπ，自变量为D ，Q 为因变量，自变量0D >【解析】（1）直角三角形两锐角互余，所以90y x =-，其中90是常量，x 是自变量，y 是因变量，自变量x 的取值范围是090x <<；（2）由水管直径为D 可知，水管的截面积为24D π，所以24aD Q π=，其中常量为4aπ，自变量为D ，Q 为因变量，自变量0D >；例题2、等腰三角形的周长为16cm ，底边长为x cm ，腰长为y cm ，则x 与y 之间的关系式为_________．【答案】 y=8﹣12x （0＜x ＜8）【解析】 ∵等腰三角形的周长为16cm ，底边长为x cm ，腰长为y cm ． ∴x+2y=16， ∴y=8﹣12x （0＜x ＜8）．例题3、等腰三角形的周长为16cm ，底边长为x cm ，腰长为y cm ，则x 与y 之间的关系式为．【答案】 y=8﹣12x （0＜x ＜8）．【解析】 ∵等腰三角形的周长为16cm ，底边长为x cm ，腰长为y cm ．提出概念所用时间（x ） 257101213141720对概念的接受能力（y ）47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55∴x+2y=16，∴y=8﹣12x（0＜x＜8）．故答案为：y=8﹣12x（0＜x＜8）．随练1、等腰三角形的周长为30，则腰长y关于底边长x的函数关系式为__________，其中自变量x的取值范围是__________．【答案】1152y x=-+；015x<<【解析】230y x+=，整理得，1152y x=-+，根据三角形三边关系定理，02x y<<，∴102152x x⎛⎫<<-+⎪⎝⎭，∴015x<<．随练2、以直角三角形中的一个锐角的度数为自变量x，另一个锐角的度数y为因变量，则它们的关系式是．【答案】y=90°﹣x．【解析】根据题意得y=90°﹣x．故答案为y=90°﹣x．用图象表示的变量间关系例题1、小华同学利用假期时间乘坐一大巴去看望在外打工的妈妈，出发时，大巴的油箱装满了油，匀速行驶一段时间后，油箱内的汽油恰剩一半时又加满了油，接着按原速度行驶，到目的地时油箱中还剩有13箱汽油，设油箱中所剩汽油量为V升，时间为t（分钟），则V与t的大致图象是（）A.AB.BC.CD.D【答案】D【解析】A、从图象可知最后纵坐标为0，即油箱是空的，与题意不符，故本选项错误；B、图象没有显示油箱内的汽油恰剩一半时又加满了油的过程，与题意不符，故本选项错误；C、图象显示油箱的油用完以后又加满，与题意不符，故本选项错误；D、当t为0时，大巴油箱是满的，然后匀速减少至一半，又加满，到目的地是油箱中还剩有13箱汽油，故本选项正确．故选D．例题2、如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（）A.乙前4秒行驶的路程为48米B.在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒C.两车到第3秒时行驶的路程相同D.在4到8秒内甲的速度都大于乙的速度【答案】C【解析】A、根据图象可得，乙前4秒的速度不变，为12米/秒，则行驶的路程为12×4=48米，故A正确；B、根据图象得：在0到8秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从0均匀增加到32米/秒，则每秒增加32 8=4米秒/，故B正确；C 、由于甲的图象是过原点的直线，斜率为4，所以可得v=4t （v 、t 分别表示速度、时间），将v=12m/s 代入v=4t 得t=3s ，则t=3s 前，甲的速度小于乙的速度，所以两车到第3秒时行驶的路程不相等，故C 错误；D 、在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，故D 正确．随练1、一个装有进水管和出水管的容器，从某一时刻起只打开进水管进水，经过一段时间，再打开出水管放水，至12分钟时，关停进水管．在打开进水管到关停进水管这段时间内，容器内的水量y （单位：升）与时间x （单位：分钟）之间的函数关系如图所示，关停进水管后，经过_____分钟，容器中的水恰好放完．【答案】 8【解析】由04-分钟的函数图象可知进水管的速度，根据412-分钟的函数图象求出水管的速度，再求关停进水管后，出水经过的时间．进水管的速度为：2045÷=（升/分），出水管的速度为：()()53020124 3.75--÷-=（升/分），∴关停进水管后，出水经过的时间为：30 3.758÷=分钟．随练2、上周周末放学，小华的妈妈来学校门口接他回家，小华离开教室后不远便发现把文具盒遗忘在了教室里，于是以相同的速度折返回去拿，到了教室后碰到班主任，并与班主任交流了一下周末计划才离开，为了不让妈妈久等，小华快步跑到学校门口，则小华离学校门口的距离y 与时间t 之间的函数关系的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】 B【解析】根据题意得，函数图象是距离先变短，再变长，在教室内没变化，最后迅速变短，B 符合题意随练3、在20km 越野赛中，甲乙两选手的行程y （单位：km ）随时间x （单位：h ）变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度； ②出发后1小时，两人行程均为10km ； ③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km ； ④甲比乙先到达终点．其中正确的有_______个．【答案】 1【解析】在两人出发后0.5小时之前，甲的速度小于乙的速度，0.5小时到1小时之间，甲的速度大于乙的速度，故①错误由图可得，两人在1小时时相遇，行程均为10km ，故②正确；甲的图象的解析式为y=10x ，乙AB 段图象的解析式为y=4x+6，因此出发1.5小时后，乙的路程为15千米，甲的路程为12千米，甲的行程比乙少3千米，故③错误；乙到达终点所用的时间较少，因此乙比甲先到达终点，故④错误．拓展1、如图所示，某计算装置有一个数据输入口A 和一个运算结果输入口B ，下表给出的是小红输入的数字及所得的运算结果（1）若小红输入的数为x ，输出的结果为y ，你能用x 表示y 么？请写出来．（不需要写出x 的取值范围）（2）若输出结果为8，求小红输入的数字【答案】（1）1y x =-（2）81【解析】（1）由表中数据可观察到，每个B 中数据都是在A 中数据开方后减一所得，101-=-，011=-，141=-，∴可得到函数1y x =-．（2）当8y =时，()211y x x y =-⇒=+，∴2981x ==．2、弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度()y cm 与所挂的物体的质量()x kg 间有下面的关系：下列说法不正确的是（）A.x 与y 都是变量，且x 是自变量，y 是因变量B.所挂物体质量为4kg 时，弹簧长度为12cmC.弹簧不挂重物时的长度为0cmD.物体质量每增加1kg ，弹簧长度y 增加0.5cm 【答案】 C【解析】弹簧不挂重物时的长度为10cm3、在某次实验中，测得两个变量m 和v 之间的4组对应数据如下表：则m 与v 之间的关系最接近于下列各关系式中的（）A.22v m =-B.21v m =-C.33v m =-D.1v m =+【答案】 B【解析】分别代入当4m =时，算出v 即可．4、购买单价为每支1.2元的铅笔，总金额y （元）与铅笔数n （支）的关系式可表示为y =__________，其中，__________是常量，__________是变量．【答案】 1.2n ，单价，铅笔数【解析】总金额等于每支铅笔的价格乘以铅笔的支数，故 1.2y n =，铅笔的单价是常量，铅笔数是变量． 5、乘坐某种出租汽车，当行驶路程小于或等于3千米时，乘车费用都是10元（即起步价10元），当行驶路程大于3千米时，超过3千米的部分每千米收费2元，若一次乘坐这种出租车行驶4千米，则应付车费__________元；若一次乘坐这种出租车付费20元，则乘车路程是__________千米．【答案】 12,8【解析】本题考查函数的应用。