高考数学小题专项滚动练六
2018单元滚动检测卷高考数学文精练检测：六 数 列 全
单元滚动检测六 数 列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分160分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上) 1．(2016·苏北四市联考)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d ＝________.2．数列{}a n 为等差数列，a 1，a 2，a 3为等比数列，a 5＝1，则a 10＝________. 3．若数列{}a n 满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{}a n 的前n 项和最大时，n 的值为________．4．(2016·江苏扬州中学期中测试)设等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 3＝4，S k ＝63，则k ＝________.5．在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是__________． 6．已知{}a n 为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8.则a 1＋a 10＝________.7．已知{}a n 是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N *)的取值范围是____________．8．若数列{}a n 的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{}a n 的通项公式是a n ＝________. 9．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________． 10．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n 为__________．11．(2016·常州模拟)已知S n 是数列{}a n 的前n 项和，且点(a n ，S n )在直线2x －y －2＝0上，则S 5S 3＝________.12．设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是__________．13．(2016·黑龙江大庆铁人中学一模)设S n 是等比数列{}a n 的前n 项和，若S 504S 1008＝110，则S 1008S 2016＝________.14．(2016·苏州一模)对于正项数列{a n }，定义H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 为{a n }的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为H n ＝2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为______________．第Ⅱ卷二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)答案解析1．－3解析 方法一 由题意可得⎩⎨⎧a 1＋(a 1＋6d )＝－8，a 1＋d ＝2，解得a 1＝5，d ＝－3.方法二 由题意可得a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4， ∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3. 2．1解析 由题意得a 22＝a 1a 3＝(a 2－d )(a 2＋d )＝a 22－d 2，所以d ＝0，a 10＝a 5＝1. 3．7解析 ∵a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{}a n 是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎨⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0，∴⎩⎨⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0. ∴193≤k ≤223.∵k ∈N *，∴k ＝7.故满足条件的n 的值为7. 4．6解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由已知a 1＝1，a 3＝4，得q 2＝a 3a 1＝4.又{a n }的各项均为正数，∴q ＝2.又S k ＝1－2k1－2＝63，∴2k －1＝63，解得k ＝6.5．1或－12解析 当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求；当q ≠1时，a 1q 2＝7，a 1(1－q 3)1－q＝21，解得q ＝－12或q ＝1(舍去)．综上可知，q ＝1或q ＝－12. 6．－7解析 由题意，根据等比数列的性质得a 5a 6＝a 4a 7＝－8， 又a 4＋a 7＝2，设a 4，a 7是方程x 2－2x －8＝0的两根， 解得⎩⎨⎧ a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎨⎧a 4＝4，a 7＝－2.解得a 1＋a 10＝－7. 7．8，323)解析 因为{}a n 是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，所以q 3＝a 5a 2＝18，解得q ＝12，a 1＝4，故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝a 1a 2(1－q 2n )1－q 2＝323(1－q 2n)∈8，323)．8．(－2)n －1解析 ∵S n ＝23a n ＋13，① ∴当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13.② ①－②，得a n ＝23a n －23a n －1，即a na n －1＝－2.∵a 1＝S 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1，∴{}a n 是以1为首项，－2为公比的等比数列，∴a n ＝(－2)n －1. 9．1 830解析 ∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1，∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60) ＝10＋26＋42＋…＋234 ＝15×(10＋234)2＝1 830.10.4n n ＋1 解析 ∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4(1n －1n ＋1)，∴S n ＝4(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝4(1－1n ＋1)＝4nn ＋1.11.317解析 由点(a n ，S n )在直线2x －y －2＝0上，得2a n －S n －2＝0，即S n ＝2(a n －1)，所以当n ≥2时，S n －1＝2(a n －1－1)，两式相减可得a n ＝2a n －1(n ≥2)，又a 1＝2a 1－2，所以a 1＝2，所以数列{}a n 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以a n ＝2n ，S 5S 3＝2(1－25)1－22(1－23)1－2＝25－123－1＝317. 12.n n ＋1解析 f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1.13.182解析 设S 504＝a ≠0，则S 1 008＝10a .S 1 008－S 504＝9a ，所以数列S 504，S 1 008－S 504，S 1 512－S 1 008，S 2 016－S 1 512…是首项为a ，公比为9的等比数列． 所以S 1 512＝91a ，S 2 016＝820a ，所以S 1 008S 2 016＝10a 820a ＝182.14．a n ＝2n ＋12n (n ∈N *)解析 由H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n可得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n H n＝n (n ＋2)2，①a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)(n ＋1)2(n ≥2)，②①－②得na n ＝n (n ＋2)2－(n －1)(n ＋1)2＝2n ＋12(n ≥2)，∴a n ＝2n ＋12n (n ≥2)．又H 1＝1a 1＝23，∴a 1＝32，也满足a n ＝2n ＋12n .综上，a n ＝2n ＋12n (n ∈N *)．15．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，根据已知有S 7＝7＋21d ＝28，解得d ＝1， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n .所以b 1＝lg 1]＝0，b 11＝lg 11]＝1，b 101＝lg 101]＝2.(2)因为b n＝⎩⎨⎧0，1≤n <10，1，10≤n <100，2，100≤n <1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.16．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意知，2,2＋d,2＋4d 成等比数列， 故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n .显然2n ＜60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋(4n －2)]2＝2n 2.令2n 2＞60n ＋800，即n 2－30n －400＞0， 解得n ＞40或n ＜－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，且n 的最小值为41. 17．解 (1)由题意，a n ＋1＝3S n ＋1， 则当n ≥2时，a n ＝3S n －1＋1. 两式相减，得a n ＋1＝4a n (n ≥2)． 又a 1＝1，a 2＝4，a 2a 1＝4，所以数列{a n }是首项为1，公比为4的等比数列， 故通项公式是a n ＝4n －1(n ∈N *)．(2)T n ＝(1＋a 1)＋(2＋a 2)＋(3＋a 3)＋…＋(n ＋a n ) ＝(1＋2＋…＋n )＋(1＋4＋42＋…＋4n －1) ＝n (1＋n )2＋1×(1－4n )1－4＝n ＋n 22＋4n －13.18．(1)证明 ∵b n ＝1a n，且a n ＝a n －12a n －1＋1，∴b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n 2a n ＋1＝2a n ＋1a n，∴b n ＋1－b n ＝2a n ＋1a n－1a n＝2.又b 1＝1a 1＝1，∴数列{}b n 是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)解 由(1)知数列{}b n 的通项公式为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n，∴a n ＝1b n ＝12n －1.∴数列{}a n 的通项公式为a n ＝12n －1. 19．证明 (1)当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n2S n －1，∴S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，∴1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 构成以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)可知，1S n ＝1S 1＋(n －1)·2＝2n －1，∴S n ＝12n －1.∴13S 1＋15S 2＋17S 3＋…＋12n ＋1S n＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1) ＝12(1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＜12.20．解 (1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，由题意得q ＞0.由已知，得⎩⎨⎧2q 2－3d ＝2，q 4－3d ＝10，消去d ，整理得q 4－2q 2－8＝0， 又因为q ＞0，解得q ＝2，所以d ＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *； 数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)得c n ＝(2n －1)·2n －1，设{c n }的前n 项和为S n ，则 S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －3)×2n －2＋(2n －1)×2n －1， 2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，上述两式相减，得－S n＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n＝2n＋1－3－(2n－1)×2n＝－(2n－3)×2n－3，所以S n＝(2n－3)·2n＋3，n∈N*.。
滚动练1~60参考答案
滚动练1 基础知识十语用十默写十诗歌鉴赏（一）1．A[大海捞针：比喻极难找到。
海底捞月：比喻根本做不到，白费力气。
枉费心机：白白地耗费心思（多含贬义）。
①句强调很难找到，故用“大海捞针”；②句强调结果是做不到，白费力气，故用“海底捞月”；③句含贬义，强调阴谋未能得逞，故用“枉费心机”。
]2．D [A．介词“将”运用错误，改为“使”。
B．句式杂糅，“受……等因素的影响”和“是由……造成的”两种句式杂糅。
C．成分残缺，没有宾语与动词“采取”呼应。
在“稳妥”后加上“的方式”，构成“采取……的方式”的动宾结构。
]3．B[这段文字主要写韩寒的与众不同，②总括全文，所以排在最前面；⑤承接②郎朗、姚明突出二人的特殊之处；③内容与⑤相对；①④承前文的“没有门槛”。
]4．①许多学者都这样认为②没有鲜艳的色彩（没有动感的画面）③数学美具有丰富的内涵5．图标由海浪、海鸥、地球组成。
翻腾的海浪代表着海洋，寓意着海洋宣传日对海洋事业的发展将起到推波助澜的积极作用；飞翔的海鸥，寓意不断超越发展，预示着中国的海洋事业将获得新的腾飞；地球，寓意海洋宣传日同步世界海洋日，中国的海洋宣传将得到长足的发展，保护海洋也就是保护她球。
6．解析给新闻拟写标题，要注意涵盖新闻的主要内容并突出重要内容。
这则新闻主要介绍了上海高招综合改革实施方案的具体内容，无论写引题还是主题，都要围绕“方案”概括；至于上海高招改革的具体变化，应注意具体内容的分点概括。
答案(l)高招改革进一步深化，实施方案正式公布2017上海高考“3+3+综合素质评价”(2)①不分文理科，满分660；②外语有两次考试机会；③3+3+综合素质评价。
7．(1)月出于东山之上徘徊于斗牛之间(2)金戈铁马气吞万里如虎(3)何时眼前突兀见此屋吾庐独破受冻死亦足8．(1)①“我”要与那吹得异常猛烈的“东风”约定并规劝它：不要苦苦地去吹那海棠花了，你能用什么把“我”的“愁”吹跑呢？②用拟人手法表达了词人惜花（惜春）的浓重愁绪。
广东省2015届高考理科数学二轮复习必考题型穿插滚动练6份
A．a<b< <
B．a< < <b
C．a< <b<
D. <a< <b
答案B
解析∵0<a<b，∴ > ＝a，
< ＝b，b＝ > ，
又 < ，所以a< < <b，故选B.
7．下列关于函数f(x)＝(2x－x2)·ex的判断正确的是( )
①f(x)>0的解集是{x|0<x<2}；
A．2 B．1 C. D．－
答案B
解析由题意，当f(x)＝2－x2≤1，即x≤－1或x≥1时，fM(x)＝2－x2.当－1<x<1时，fM(x)＝1.
∴fM(0)＝1.
11．(2014·课标全国Ⅰ)设函数f(x)＝ 则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
答案(－∞，8]
解析当x<1时，x－1<0，ex－1<e0＝1≤2，
∴a2＋4b2＋9c2≥ (a＋2b＋3c)2＝ ＝12.
∴a2＋4b2＋9c2的最小值为12.
13．(2013·浙江)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足 若z的最大值为12，则实数k＝________.
答案2
解析作出可行域如图阴影部分所示：
由图可知当0≤－k< 时，直线y＝－kx＋z经过点M(4,4)时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2(舍去)；当－k≥ 时，直线y＝－kx＋z经过点(0,2)时z最大，此时z的最大值为2，不合题意；当－k<0时，直线y＝－kx＋z经过点M(4,4)时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2，符合题意．综上可知，k＝2.
数学高三滚动测试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(-1)的值为（）A. -5B. -2C. 1D. 42. 下列不等式中，正确的是（）A. 3x > 2x + 1B. 3x ≤ 2x + 1C. 3x ≥ 2x + 1D. 3x < 2x + 13. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1 = 2，a3 = 8，则d的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 已知等比数列{bn}的公比为q，若b1 = 3，b3 = 27，则q的值为（）A. 3B. 6C. 9D. 125. 若复数z满足|z - 2| = 3，则z的取值范围是（）A. z = 5B. z = 1C. z = 0D. z = -16. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的对称轴为（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 47. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 2，S5 = 50，则公差d为（）A. 4B. 5C. 6D. 78. 已知函数f(x) = |x - 2|，则f(x)在x = 2处的导数为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在9. 若复数z满足|z - 1| = 2，则z的取值范围是（）A. z = 3B. z = 1C. z = 0D. z = -110. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，则f(x)在x = 1处的切线斜率为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1 = 3，a4 = 11，则d的值为______。
12. 已知等比数列{bn}的公比为q，若b1 = 4，b3 = 64，则q的值为______。
13. 已知函数f(x) = 2x - 1，则f(-3)的值为______。
14. 已知复数z满足|z - 1| = 2，则z的取值范围是______。
新高考高三滚动测试卷数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2的图像与x轴的交点个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3 = 9，S6 = 36，则该数列的公差d 为（）A. 2B. 3C. 4D. 63. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则复数z的实部为（）A. 0B. 1C. -1D. 不确定4. 下列函数中，在定义域内是单调递增的是（）A. f(x) = x^2 - 2x + 1B. f(x) = 2x - 3C. f(x) = x^3D. f(x) = -x^2 + 4x5. 已知等比数列{an}的首项a1 = 2，公比q = 3，则该数列的第5项a5为（）A. 18B. 54C. 162D. 4866. 若log2(3x - 1) = log2(4 - x)，则x的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/58. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3在区间[1, 3]上单调递减，则该函数的对称轴为（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 49. 已知函数f(x) = log2(x - 1) + log2(3 - x)，则该函数的定义域为（）A. (1, 3)B. (1, 2)C. (2, 3)D. (2, 4)10. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10 = 100，S20 = 400，则该数列的首项a1为（）A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = (x - 1)^2 + 2，则f(x)的最小值为______。
12. 已知等比数列{an}的首项a1 = 3，公比q = 2，则该数列的第4项a4为______。
高考数学总复习考前三个月解答题滚动练6理(2021学年)
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解答题滚动练６1.在△ABＣ中,三个内角分别为Ａ,B,Ｃ，已知sｉn错误!＝2cosＡ。
(１)若cos C＝错误!,求证:２ａ-3c＝0；（2）若B∈错误!,且cos(A-Ｂ）＝错误!,求ｓin B。
(１)证明因为ｓｉｎ错误!＝２cos A，得错误!sｉｎＡ+错误!ｃosＡ=2cosＡ，即sin A＝错误!cos A,因为A∈（0,π)，且ｃoｓA≠0,所以ｔan A＝3,所以A＝错误!．因为sin2C＋ｃｏs2Ｃ=１，ｃｏsＣ＝错误!,C∈(0，π),所以sｉｎC=错误!,由正弦定理知＼f(a,ｓiｎA)＝＼f(c，sｉn C），即ac＝错误!=错误!＝错误!，即2a-３ｃ=0.(２)解因为B∈错误!,所以Ａ-B=错误!-B∈错误!，因为sin2（A-B)＋cｏs2(A-Ｂ)=1,所以sｉn(A－B)＝错误!,所以sin B＝ｓｉn(A-（Ａ－B))＝sin A cｏs（A-Ｂ)-cos A·sin（Ａ-B)=错误!。
2.已知函数f(x）＝ax3-２x－lｎx,a∈R。
(1）若曲线ｙ=f(x)在ｘ＝1处的切线方程为y＝b,求ａ＋ｂ的值;(2）在(1）的条件下,求函数f(x)零点的个数．解（1)f′(x)=3ax2－2－1ｘ，由题意，f′（1）＝0,f(１)＝b,解得,a=1,b＝－1,所以a+b＝0．(2)由（1)知，f(x）＝x３-2ｘ-ｌｎx,f′(x)＝3x2－２-1x＝＼ｆ(3ｘ3-2x－1,x)＝错误!,令ｆ′(x）＝0，得ｘ＝1,且当0<x<1时,f′(x）＜0;当x>1时,f′（x）>0,所以函数ｆ（x)在（0，1)上单调递减,在（1，+∞）上单调递增.因为f（１)=－1<０,f错误!＝错误!-错误!＋１＞0,f(e)＝ｅ3-２e-１>0,函数f(x)在区间错误!和[1，ｅ]上的图象是一条不间断的曲线,由零点存在性定理，知函数f(ｘ)有两个零点.3.已知圆M：x2＋（y－4）２＝4，点P是直线l:ｘ-2y＝0上的一动点,过点P作圆Ｍ的切线PA，PB，切点为A，Ｂ。
高中数学 滚动训练6必修4 试题
卜人入州八九几市潮王学校滚动训练六一、填空题：1．假设{}{}1,3,5,,1A B x ==，且B A ⊆，那么x 的值是．2．假设2829,log 3x y ==，那么2x y +的值是． 3．1sin()24y x π=+的周期为． 4．221333121(),(),()252a b c ===，那么a 、b 、c 的大小关系为．〔用“>〞连接〕 5．函数[]()3sin 20,3y x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的单调减区间是． 6．函数))(22()(1R x a x x f x x ∈⋅+=-+是偶函数，那么实数a 的值是； 7．函数()2log 2f x x x =+-的零点在区间()(),1n n n Z +∈内，那么n =.8．如图是函数()sin(),(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><在一个周期内的图象，那么其解析式是____________.9．()()3,10,5,10.n n f n f f n n -≥⎧⎪=⎨+<⎡⎤⎪⎣⎦⎩那么()7f =_ 10．f (x )是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-，假设函数f (x )在区间[-1，t ]上的最小值为-1，那么实数t 的取值范围是.请将答案填到下面的横线上：1、 2、3、4、5、6、7、8、9、10、二、解答题11．函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><在它的某一个周期内的单调减区间是511[,]1212ππ. （1） 求()f x 的解析式；（2） 将()y f x =的图象先向右平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍〔纵坐标不变〕，所得到的图象对应的函数记为()g x ，求函数()g x 在3[,]88ππ上的最大值和最小值. 12．21log 25622≥≤x x 且，求函数f(x)=2log 2log 22xx⋅的值域.。
2018《单元滚动检测卷》高考数学(文)(北师大版)精练检测：六数列全国通用含解析
单元滚动检测六数列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟,满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2016·福州质检)设等差数列错误!的前n项和为S n，a2＋a4＝6，则S5等于（)A．10 B．12C．15 D．302．(2016·西安质检)数列错误!为等差数列，a1，a2，a3为等比数列，a5＝1，则a10等于（）A．5 B．－1 C．0 D．13．若数列错误!满足：a1＝19，a n＋1＝a n－3(n∈N＋），则数列错误!的前n项和最大时，n的值为（）A．6 B．7C．8 D．94．设等差数列错误!的前n项和为S n，若S m－1＝－2，S m＝0,S m＋1＝3，则m等于（)A．3 B．4C．5 D．65．在等比数列｛a n｝中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值是( ）A．1 B．－错误!C．1或－错误!D．－1或错误!6．已知错误!为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8.则a1＋a10等于( ) A．7 B．5C．－5 D．－77．已知错误!是等比数列，a2＝2，a5＝错误!，则a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1(n∈N＋)的取值范围是( ）A．12，16］B．8，32 3］C．8，错误!）D．错误!，错误!］8．(2016·山师大附中月考)设函数f（x）＝x m＋ax的导函数为f′（x)＝2x＋1,则数列错误!（n∈N＋)的前n项和是( )A.错误!B。
错误!C.nn－1D。
错误!9．已知{a n}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，S n为{a n｝的前n项和，n∈N＋，则S10的值为( )A．－110 B．－90C．90 D．11010．（2016·大庆铁人中学一模）设S n是等比数列错误!的前n项和,若错误!＝错误!，则错误!等于（)A.错误!B.错误!C。
高三数学滚动练习六
yxO(,)P x y (,0)Q x 高三数学滚动练习六一、填空题1．若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 ．2．函数234x x y x--+=的定义域为 ．3．已知向量(3,1)a =，(1,3)b =， (,2)c k =，若()a c b -⊥ 则k = ． 4．函数()(13tan )cos f x x x =+的最小正周期为 ． 5．已知全集U =AB 中有m 个元素，()()U UC A C B 中有n 个元素．若⋂A B 非空，则⋂A B 的元素个数为 ．6．设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 ．7.设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 ．8．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S 等于 ．.9．过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为 ．10．已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+的值为 ．11．如图所示，一质点(,)P x y 在xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x 轴上的投影点(,0)Q x 的运动速度()V V t =的图象大致为 ．O ()V t t O()V t t()V t O ()V t tABCD12．若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于 ．13(1)k x ≤+的解集为区间[],a b ，且1b a -=,则 k =． 14．设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤,对于下列四个命题：（1）存在一个圆与所有直线相交;（2）存在一个圆与所有直线不相交;（3）存在一个圆与所有直线相切;（4）M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）． 二、解答题：15．在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，6A π=，(12c b =．（1）求C ； （2）若1CB CA ⋅=a ,b ,c ．16．设函数329()62f x x x x a =-+-． （1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值；（2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围．17．△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+,sin()cos B A C -=.（1）求,A C ； （2）若3ABC S ∆=求,a c .18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，=PA AD ，以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ． （1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求证：OM ∥平面PAB 。
高中数学滚动测试6导数及其应用(原卷版)
滚动测试6导数及其应用（原卷版） 一、选择题 1．如果质点A 按规律32t S =运动，则在3=t 秒的瞬时速度为（ ）A ．81B ．54C ．18D ．62. 曲线221x y =在点)21,1(处切线的倾斜角为（ ）A ．1B ．4π- C ．4πD ．45π3. 由两条直线2=x 、0=y 和曲线3x y =所围成的封闭图形的面积为( )A ．4 B. 34C. 518D ．64. 式子⎰+-11)1(sin dx x 的值为( )A ．0B ．2C ．1cos 22+D ．1cos 22-5. 函数x x y 142+=的单调递增区间是（ ）A ．),0(∞+B ．)1,(∞-C ．),21(∞+ D ．),1(∞+6. ⎰=20xdx a ，⎰=20dx e b x ，⎰=20sin xdx c ，则c b a ,,的大小关系是( )A ．b c a <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<7. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤-+=)20(cos 2)02(2)(πx x x x x f 的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( )A ．23B ．1C ．4D ．218. 已知函数213x xy +=，则（ ）A ．有极小值3-，且有极大值3B ．仅有极大值3C ．有极小值23-，且有极大值23D ．无极值9. 若)1(2ln 3)12(1>+=⎰+a dx x x a，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．610. 如右图所示23)(x x x f --=，则阴影部分的面积是( )A ．121B ．61C ．818D ．81411．已知等差数列}{n a 的前n 项和n n S n +=22，函数⎰=x dt t x f 11)(，若3)(a x f <，则x的取值范围是( )A ．),63(∞+ B ．),0(21e C ．),(11e e - D ．),0(11e12. 函数⎰-=xdt t t x f 0)4()(在)5,1(-上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值332-C ．有最小值332-，无最大值 D ．既无最大值也无最小值二、填空题 13. =⎰-2024dx x .14. 曲线x x f 1)(-=在点)2,21(-处的切线方程为 ．15. 由曲线2x y =，3x y =围成的封闭图形面积为 .16. 曲线233+-=x x y 上的任意一点P 处切线的斜率的取值范围是 .17. 一质点作直线运动，由始点起经过ts 后的距离为23416441t t t S +-=，则速度最小的时刻是 .18. 已知c bx ax x f ++=24)( 的图象经过点)1,0(，且在1=x 处的切线方程是2-=x y ,则)(x f y =的解析式是 .19. 抛物线)0(2>=a ax y 与直线1=x 围成的封闭图形的面积为34，若直线L 与抛物线相切且平行于直线062=+-y x ，则L 的方程为 .20.把一根长为8的铁丝切成两段，一段围成圆形，一段围成正方形，要使圆形与正方形的面积之和最小，则这两段铁丝的长度之比为 .答案卡班别 座位 姓名 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12二、填空题13． 14． 15． 。
高三数学期末复习滚动小题训练
高三数学期末复习滚动小题训练（一）一、选择题 1、cos(－390°)=： A 、－21B 、－23 C 、21D 、23 2、若f(10x )=x ：则f(3)的值是： A 、log 310B 、lg3C 、103D 、3103、集合P={1：41：91：161 (21)：…}(n ∈N +)：若a ∈P ：b ∈P ：则a*b ∈P ：则运算*可能是： A 、加法B 、减法C 、除法D 、乘法 4、如果命题A ：“1＜x ＜2”是命题B ：“x 2＜m ”的充分不必要条件：则实数m 的取值范围是： A 、[4：+∞)B 、(－∞：4]C 、[1：4]D 、(4：+∞) 5、数列{a n }中：a 3=2：a 7=1：且数列{na +11}是等差数列：则a 11=A 、0B 、21C 、32D 、－16、一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π：则球的表面积为： A 、82πB 、8πC 、42πD 、4π二、填空题7、如图：矩形ABCD 与ABEF 所在平面 互相垂直：AF=1：AD=2：P 为AB 上一点： 则点P 到平面CDFE 的距离为___________ 8、在等比数列{a n }中：S n =a 1+a 2+…+a n ：已知a 3=2S 2+1：a 4=2S 3+1：则公比q=_________9、ax+a(a －1)＞0：在x ∈(－1：1)上恒成立：则a 的取值范围是________ 10、已知x ＞0：y ＞0：x+y=2：xy+xy4的最小值是___________三、解答题11、已知tan 2α=2：求： （1）tan(4πα+)的值：（2）ααααcos 2sin 3cos sin 6-+的值。
12、已知{a n }的前n 项和为S n ：且满足a n +2S n ·S n －1=0(n ≥2)：a 1=21。
（1）求证：{nS 1}是等差数列：（2）求数列{a n }的通项公式。
高考数学(理科,广东专用)必考题型过关练：穿插滚动练(
穿插滚动练(三)1．已知集合A ＝{x |log 2x <1}，B ＝{x |0<x <c ，其中c >0}．若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,2]D ．[2，＋∞)答案 D解析 A ＝{x |0<x <2}，由A ∪B ＝B ，得A ⊆B .所以c ≥2，故选D. 2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧ 12x －1(x ≥0)，1x (x <0)，若f (a )＝a ，则实数a 的值为( ) A ．±1B ．－1C ．－2或－1D ．±1或－2答案 B 解析 当a ≥0时，f (a )＝12×a －1＝a ，a ＝－2，不合题意，舍去；当a <0时，f (a )＝1a＝a ，a ＝－1(a ＝1舍去)，故选B.3．某电视新产品投放市场后第一个月销售100 台，第二个月销售200 台，第三个月销售400 台，第四个月销售790 台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100 答案 C解析 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型．4．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a <b 时，a b ＝b .则函数f (x )＝(1x )·x －(2x )(x ∈[－2,2])的最大值等于(“·”和“－”仍为通常的乘法和减法)( )A ．－1B ．1C ．2D ．12答案 C解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2(x ∈[－2，1])，x 2－2(x ∈(1，2])，x ＝2时有最大值， 所以函数最大值是2.5．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为( ) A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－43 3 D. 3 答案 C解析 依题意可知角α的终边在第三象限，点P (－4，a )在其终边上且sin α·cos α＝34， 得－4a a 2＋16＝34，即3a 2＋16a ＋163＝0， 解得a ＝－43或－433，故选C. 6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( ) A.100101 B.99101 C.99100 D.101100答案 A解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1)2d ＝15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.7.设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是y ＝x ·f ′(x )的图象的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是( )A ．f (1)与f (－1)B ．f (－1)与f (1)C ．f (－2)与f (2)D ．f (2)与f (－2)答案 C解析 由图象知f ′(2)＝f ′(－2)＝0.∵x >2时，y ＝x ·f ′(x )>0，∴f ′(x )>0，∴y ＝f (x )在(2，＋∞)上单调递增；同理，f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，∴y ＝f (x )的极大值为f (－2)，极小值为f (2)，故选C.8．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图象可能是()答案 B解析 由于f (－x )＝f (x )，所以函数y ＝f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，所以A 、C 错误；由于f (x ＋2)＝f (x )，所以T ＝2是函数y ＝f (x )的一个周期，D 错误．所以选B.9．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9答案 D解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，∵f (x )在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，∴a ＋b ＝6.又a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ，∴2ab ≤6，∴ab ≤9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立，∴ab 的最大值为9.10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a ，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥43B ．0<a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0<a ≤1或a ≥43答案 D解析 先把前三个不等式表示的平面区域画出来，如图．此时可行域为△AOB 及其内部，交点B 为(23，23)， 故当x ＋y ＝a 过点B 时，a ＝43， 所以a ≥43时可行域仍为△AOB ，当x ＋y ＝a 恰过A 点时，a ＝1＋0＝1，且当0<a ≤1时可行域也为三角形．故0<a ≤1或a ≥43. 11．已知集合A ＝{x |12<2x <8，x ∈R }，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 A ＝{x |12<2x <8，x ∈R }＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.12．数列1，12，12，13，13，13，14，14，14，14，…的前100项的和等于________． 答案 19114解析 S 100＝1×1＋2×12＋3×13＋4×14＋…＋13×113＋9×114＝19114. 13．命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－22，2 2 ]解析 “∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2.14．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋ʃa 03t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________. 答案 1解析 由题意知f (1)＝lg 1＝0，∴f (0)＝0＋a 3－03＝1，∴a ＝1.15．设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 2n S n(n ∈N *)是非零常数，则称数列{a n }为“和等比数列”．若数列{}是首项为2，公比为4的等比数列，则数列{b n }________(填“是”或“不是”)“和等比数列”．答案 是解析 由题意＝22n －1，即b n ＝2n －1， 从而S 2n ＝4n 2，S n ＝n 2，S 2n S n＝4(常数)．16．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos 2A ，sin A )，n ＝(1，－sin A )，且m ⊥n .(1)求A 的大小；(2)当AB →＝p m ，AC →＝q n (p >0，q >0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值．解 (1)∵m ⊥n ，∴3cos 2A －sin 2A ＝0.∴3cos 2A －1＋cos 2A ＝0，∴cos 2A ＝14. 又∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴A ＝π3. (2)由(1)可得m ＝(34，32)，n ＝(1，－32)． ∴|AB →|＝214p ，|AC →|＝72q . ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝2132pq . 又∵p ＋q ＝6，且p >0，q >0，∴p ·q ≤p ＋q 2. ∴p ·q ≤3，∴0<p ·q ≤9.∴△ABC 面积的最大值为2132×9＝18932. 17．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a >0.(1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．注：e 为自然对数的底数．解 (1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0，所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－(x －a )(2x ＋a )x. 由于a >0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)．(2)由题意得f (1)＝a －1≥e －1，即a ≥e.由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增，要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．只要⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a －1≥e －1，f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2，解得a ＝e. 18．已知数列{a n }，其前n 项和为S n ，点(n ，S n )在以F (0，14)为焦点，坐标原点为顶点的抛物线上，数列{b n }满足b n ＝2a n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)因为以F (0，14)为焦点，坐标原点为顶点的抛物线方程为x 2＝y ， 又点(n ，S n )在抛物线上，所以S n ＝n 2.当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2，两式相减，得S n －S n －1＝a n ＝n 2－(n －1)2＝2n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，满足上式．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．故b n ＝2a n ＝22n －1(n ∈N *)． (2)由(1)，知c n ＝(2n －1)·22n －1， 所以T n ＝1·21＋3·23＋5·25＋…＋(2n －1)·22n －1，① 则4T n ＝1·23＋3·25＋5·27＋…＋(2n －1)·22n ＋1，② ①－②，得－3T n ＝21＋2·23＋2·25＋…＋2·22n －1－(2n －1)·22n ＋1 ＝4n ＋1－103－(2n －1)·22n ＋1 ＝4·4n －103－(4n －2)·4n ＝(10－12n )4n －103， 所以T n ＝10＋(12n －10)4n 9(n ∈N *)． 19．(2013·广东)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *. (1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74. (1)解 2S 1＝a 2－13－1－23， 又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2)解 当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ， 2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)， 两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23， 整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 22－a 11＝1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列， 所以a n n＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *.(3)证明 1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝1＋14＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋12×3＋13×4＋…＋1n (n －1)＝1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝54＋12－1n ＝74－1n <74， 所以对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74. 20．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，且a n ＋1＝a n ＋2a n －1(n ≥2)．(1)设b n ＝a n ＋1＋λa n ，是否存在实数λ，使数列{b n }为等比数列？且公比小于0.若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；(2)在(1)的条件下，求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)假设存在实数λ，使数列{b n }为等比数列，设b n b n －1＝q (n ≥2)， 即a n ＋1＋λa n ＝q (a n ＋λa n －1)，得a n ＋1＝(q －λ)a n ＋qλa n －1.与已知a n ＋1＝a n ＋2a n －1比较，令⎩⎪⎨⎪⎧ q －λ＝1，qλ＝2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1q ＝2(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，q ＝－1. 所以存在实数λ，使数列{b n }为等比数列．(2)由(1)知当λ＝－2时，q ＝－1，b 1＝1，则数列{b n }是首项为1，公比为－1的等比数列．∴b n ＝(－1)n ＋1. ∴a n ＋1－2a n ＝(－1)n ＋1(n ≥1)， 所以a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝(－1)n ＋12n ＋1＝(－12)n ＋1(n ≥1)， 当n ≥2时，a n 2n ＝a 121＋(a 222－a 121)＋(a 323－a 222)＋…＋(a n 2n －a n －12n －1) ＝12＋(－12)2＋(－12)3＋…＋(－12)n＝12＋(－12)2[1－(－12)n －1]1－(－12) ＝12＋16[1－(－12)n －1]． 因为a 121＝12也适合上式， 所以a n 2n ＝12＋16[1－(－12)n －1](n ≥1)． 所以a n ＝13[2n ＋1＋(－1)n ]． 则S n ＝13[(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)＋(－1)1＋(－1)2＋(－1)3＋…＋(－1)n ] ＝13[4(1－2n )1－2＋(－1)(1－(－1)n )1－(－1)] ＝13[(2n ＋2－4)＋(－1)n －12]． 21．(2014·四川)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值；(2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围．解 (1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b .所以g ′(x )＝e x －2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0， 所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e 2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减， 因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a <e 2时，令g ′(x )＝0得x ＝ln(2a )∈(0,1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．于是，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e 2时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ；当a ≥e 2时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (1)＝e －2a －b .(2)设x 0为f (x )在区间(0,1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知，f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减，则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负．故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1.同理，g (x )在区间(x 0,1)内存在零点x 2.所以g (x )在区间(0,1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上单调递增，故g (x )在(0,1)内至多有一个零点； 当a ≥e 2时，g (x )在[0,1]上单调递减，故g (x )在(0,1)内至多有一个零点； 当12<a <e 2， 此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0.由f (1)＝0有a ＋b ＝e －1<2，则g (0)＝1－b ＝a －e ＋2>0，g (1)＝e －2a －b ＝1－a >0，解得e －2<a <1.当e －2<a <1时，g (x )在区间[0,1]内有最小值g (ln(2a ))．若g (ln(2a ))≥0，则g (x )≥0(x ∈[0,1])，从而f (x )在区间[0,1]上单调递增，这与f (0)＝f (1)＝0矛盾，所以g (ln(2a ))<0. 又g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0，故此时g (x )在(0，ln(2a ))和(ln(2a )，1)内各只有一个零点x 1和x 2.由此可知f (x )在[0，x 1]上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在[x 2,1]上单调递增， 所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)<f (1)＝0，故f (x )在(x 1，x 2)内有零点．综上可知，a 的取值范围是(e －2,1)．。
高考数学小题专项滚动练六
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作小题专项滚动练六解析几何小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(滚动考查)在复平面内与复数z=所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A 对应的复数为( )A.1+2iB.1-2iC.-2+iD.2+i【解析】选C.复数z====2+i，所对应的点(2，1)关于虚轴对称的点为A(-2，1)，所以A对应的复数为-2+i.2.已知点P(a，b)是抛物线x2=20y上一点，焦点为F，|PF|=25，则|ab|=( )A.100B.200C.360D.400【解析】选D.抛物线准线方程为y=-5，|PF|=b+5=25，所以b=20，又点P(a，b)是抛物线x2=20y上一点，所以a2=20×20，所以a=±20，所以|ab|=400.3.(滚动考查)已知点P(x ，y)的坐标满足条件那么点P 到直线3x-4y-13=0的最小值为( )A.B.2C.D.1【解析】选B.由约束条件作出可行域如图，由图可知，当P 与A(1，0)重合时，P 到直线3x-4y-13=0的距离最小，为d==2.4.(滚动考查)如图，函数f(x)=Asin(ωx+ϕ) 其中与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足P(1，0)，∠PQR=π，M(2，-2)为线段QR 的中点，则A 的值为( )A.2B.C.D.4【解析】选C.因为函数f(x)=Asin(ωx+ϕ) 其中与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P(1，0)，∠PQR=π，M(2，-2)为线段QR的中点，所以可得Q(4，0)，R(0，-4)，|PQ|=3，T=6=，解得ω=π，所以函数经过Q，R，有因为|ϕ|≤π，所以ϕ=-π，所以解得A=.5.已知抛物线C1：y2=2x的焦点F是双曲线C2：-=1(a>0，b>0)的一个顶点，两条曲线的一个交点为M，若|MF|=，则双曲线C2的离心率是( )A. B. C. D.【解析】选D.由题意可知F，由抛物线的定义可知：x M=-=1，所以y M=±，不妨记M(1，)，因为F是双曲线的一个顶点，所以=1，即a2=，又点M在双曲线上，所以-=1，即b2=，所以e===.6.(滚动考查)函数y=(0<a<1)图象的大致形状是( )【解析】选D.由函数式可知当x>0时，y=a x(0<a<1)，当x<0时，y=-a x(0<a<1)，由函数的图象可知，函数的大致形状是D选项.7.已知双曲线-=1的焦点到其渐近线的距离等于2，抛物线y2=2px的焦点为双曲线的右焦点，双曲线截抛物线的准线所得的线段长为4，则抛物线方程为( ) A.y2=4x B.y2=4xC.y2=8xD.y2=8x【解析】选C.双曲线-=1的焦点到其渐近线的距离等于2，b=2，=，把x=-，代入得4=2，联立求得p=4.故y2=8x.8.在平面直角坐标系xOy中，设直线l：kx-y+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A，B 两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k等于( ) A.1 B.2 C.0 D.-1【解析】选C.因为四边形OAMB为平行四边形，所以四边形OAMB为菱形，所以△OAM为等边三角形，且边长为2，解得弦AB的长为2，又直线过定点N(0，1)，且过N的弦的弦长最小值为2，此时此弦平行x轴，即k=0.9.设双曲线-=1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ(λ，μ∈R)，λ·μ=，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选A.双曲线的渐近线为：y=±x，设焦点F(c，0)，则A，B，P，因为=λ+μ，所以=，所以λ+μ=1，λ-μ=，解得λ=，μ=，又由λ·μ=，得×=，解得=，所以e==.10.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是( ) A. B.C. D.∪【解析】选D.6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称、左右对称.不妨设P在第一象限，|PF1|>|PF2|，当|PF1|=|F1F2|=2c时，|PF2|=2a-|PF1|=2a-2c，即2c>2a-2c，解得e=>，又因为e<1，所以<e<1；当|PF2|=|F1F2|=2c时，|PF1|=2a-|PF2|=2a-2c，即2a-2c>2c 且2c>a-c，解得<e<，综上可得<e<或<e<1.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(滚动考查)已知x>-1，y>0且满足x+2y=1，则+的最小值为. 【解析】因为x>-1，y>0且满足x+2y=1，所以x+1>0，且(x+1)+2y=2，所以+=[(x+1)+2y]=+≥+×2×=，当且仅当=时取等号，故+的最小值为.答案：12.设两圆x2+y2-4x-3=0和x2+y2-4y-3=0的交点为A，B，则线段AB的长度为.【解析】x2+y2-4x-3=0，x2+y2-4y-3=0的公共弦为x-y=0，x2+y2-4x-3=0的圆心为(2，0)，半径为，圆心到直线的距离为=，所以线段AB的长度为2=2.答案：213.已知离心率为的双曲线C：-=1(a>0)的左焦点与抛物线y2=mx的焦点重合，则实数m= .【解析】由题意可得==，所以a=，所以c=3，所以双曲线的左焦点为(-3，0)，再根据抛物线的概念可知=-3，所以m=-12.答案：-1214.抛物线y2=4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，若A(-1，0)，则的最小值为.【解析】由题意可知，抛物线的准线方程为x=-1，A(-1，0)，过P作PN垂直直线x=-1于点N，由抛物线的定义可知PF=PN，连接PA，当PA是抛物线的切线时，有最小值，则∠APN最大，即∠PAF最大，就是直线PA的斜率最大，设PA的方程为：y=k(x+1)，所以解得k2x2+(2k2-4)x+k2=0，所以Δ=(2k2-4)2-4k4=0，解得k=±1，所以∠NPA=45°，=cos∠NPA=.答案：15.已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线-=1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|=|AF|，则△AFK的面积为. 【解析】因为抛物线y2=2px的焦点F与双曲线-=1的右焦点重合，所以p=8.设A(m，n)，又|AK|=，所以m+4=|n|，又n2=16m，解得m=4，|n|=8，所以△AFK的面积为S=×8×8=32.答案：32。
高考数学(理科,广东专用)必考题型过关练：穿插滚动练(6份)穿插滚动练(六)
穿插滚动练(六)1．已知集合A ＝{x |x 2－2 015x ＋2 014<0}，B ＝{x |log 2x <m }，若A ⊆B ，则整数m 的最小值是( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12答案 C解析 由x 2－2 015x ＋2 014<0，解得1<x <2 014， 故A ＝{x |1<x <2 014}．由log 2x <m ，解得0<x <2m ，故B ＝{x |0<x <2m }． 由A ⊆B ，可得2m ≥2 014， 因为210＝1 024,211＝2 048， 所以整数m 的最小值为11，故选C.2．在复平面内，复数z ＝2＋i 2 0151＋i 对应的点位于( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限 答案 A解析 z ＝2＋i 2 0151＋i ＝2－i 1＋i ＝(2－i )(1－i )2＝1－3i 2＝12－32i ， 因此复数z 对应的点在第四象限．故选A.3．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A ．24B ．18C ．12D ．6 答案 B解析 若从0,2中选了0，则0只能作为十位数，个位数和百位数从1,3,5中选出两个数，共有A 23＝6种选法；若0,2中选了2，则2可以作为十位数或百位数，其余两个数从1,3,5中选出，共有A 12A 23＝12种选法．综上所述，共有奇数18个．4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设{a n }的前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数 n ( ) A ．有最大值63 B ．有最小值63 C ．有最大值31D ．有最小值31答案 B解析 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝log 223＋log 234＋…＋log 2n ＋1n ＋2＝log 2(23×34×…×n ＋1n ＋2)＝log 22n ＋2<－5，∴2n ＋2<2－5，∴n ＋2>26，∴n >62. 又n ∈N *，∴n 有最小值63.5．若平面向量a ＝(2,3)和b ＝(x ＋2，－2)垂直，则|a －b |等于( ) A.26 B ．5 C ．26 D ．2 6答案 A解析 由a ⊥b ，可得a ·b ＝2×(x ＋2)＋3×(－2)＝0，解得x ＝1. 故b ＝(3，－2)，所以a －b ＝(－1,5)． 所以|a －b |＝(－1)2＋52＝26.故选A.6．(2014·大纲全国)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4 答案 A解析 如图，设球心为O ，半径为r ， 则Rt △AOF 中， (4－r )2＋(2)2＝r 2， 解得r ＝94，∴该球的表面积为4πr 2＝4π×(94)2＝814π.7．(2014·江西)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π C ．(6－25)π D.54π 答案 A解析 ∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上． 设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离， ∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， ∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45， ∴圆C 的最小半径为25， ∴圆C 面积的最小值为π(25)2＝45π.8．函数f (x )＝(x －1)ln|x |的图象可能为( )答案 A解析 函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，可排除B. 当x ∈(0,1)时，x －1<0，ln x <0，所以(x －1)ln x >0，可排除D ； 当x ∈(1，＋∞)时，x －1>0，ln x >0，所以(x －1)ln x >0，可排除C.故只有A 项满足，选A.9．已知动点P (x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1，则z ＝|2x －3y －6|的最小值是( )A ．11B ．3 C.253 D.31313答案 B解析 z ＝|2x －3y －6|的几何意义为可行域内的点到直线2x －3y －6＝0的距离的13倍，其可行域如图中阴影部分所示，由图知点C 到直线2x －3y －6＝0的距离最短．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，2x －y －1＝0，得点C (0，－1)，则z min ＝13×|2×0－3×(－1)－6|13＝3，故选B.10．(2014·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 答案 A解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，因为一条渐近线与直线y ＝2x ＋10平行，所以ba ＝2.又因为双曲线的一个焦点在直线y ＝2x ＋10上， 所以－2c ＋10＝0，所以c ＝5. 由⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，c ＝a 2＋b 2＝5得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝20.故双曲线的方程为x 25－y 220＝1.11．(2013·大纲全国)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答) 答案 480解析 方法一 先把除甲、乙外的4个人全排列， 共有A 44种方法．再把甲、乙两人插入这4人形成的五个空位中的两个， 共有A 25种不同的方法．故所有不同的排法共有A 44·A 25＝24×20＝480(种)． 方法二 6人排成一排， 所有不同的排法有A 66＝720(种)，其中甲、乙相邻的所有不同的排法有A 55A 22＝240(种)，所以甲、乙不相邻的不同排法共有720－240＝480(种)．12．某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如下图所示，则时速超过60 km/h 的汽车数量为________．答案 38解析 由直方图可得时速超过60 km/h 的汽车所占频率为10×(0.028＋0.010)＝0.38，又样本容量为100，故时速超过60 km/h 的汽车共有100×0.38＝38(辆)．13.如图，在一个塔底的水平面上的点A 处测得该塔顶P 的仰角为θ，由点A 向塔底D 沿直线行走了30 m 到达点B ，测得塔顶P 的仰角为2θ，再向塔底D 前进10 3 m 到达点C ，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔PD 的高度为________． 答案 15 m解析 依题意有PD ⊥AD ，BA ＝30 m ，BC ＝10 3 m ， ∠P AD ＝θ，∠PBD ＝2θ，∠PCD ＝4θ， 所以∠APB ＝∠PBD －∠P AD ＝θ＝∠P AD . 所以PB ＝BA ＝30 m. 同理可得PC ＝BC ＝103m. 在△BPC 中，由余弦定理，得 cos 2θ＝(103)2＋302－(103)22×103×30＝32，所以2θ＝30°，4θ＝60°.在△PCD 中，PD ＝PC ×sin 4θ＝103×32＝15(m)． 14．已知集合M ＝{x |y ＝lg (x ＋2)3－x，x ∈R }，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，在集合M 中任取一个元素x ，则“x ∈M ∩N ”的概率是________． 答案 15解析 因为M ＝{x |y ＝lg (x ＋2)3－x，x ∈R }＝(－2,3)， N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝[1,2]， 所以M ∩N ＝[1,2]．所以“x ∈M ∩N ”的概率P ＝2－13－(－2)＝15.15．(2014·辽宁)对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c 的最小值为________． 答案 －2解析 设2a ＋b ＝x ，则2a ＝x －b ， ∴(x －b )2－b (x －b )＋4b 2－c ＝0，x 2－3bx ＋6b 2－c ＝0，即6b 2－3xb ＋x 2－c ＝0， ∴Δ＝9x 2－4×6×(x 2－c )≥0， ∴3x 2－8x 2＋8c ≥0，∴x 2≤85c .当|2a ＋b |＝|x |取最大值时，有(2a ＋b )2＝85c ，∴4a 2＋4ab ＋b 2＝85c ，又∵4a 2－2ab ＋4b 2＝c ，① ∴b a ＝23，∴b ＝23a ， 代入①得4a 2－2a ·23a ＋49a 2·4＝c ，∴a ＝32c10，b ＝c 10，或a ＝－32c10，b ＝－c 10. 当a ＝32c10，b ＝c 10时，有3a －4b ＋5c ＝332c 10－4c 10＋5c ＝210c －410c ＋5c ＝5(1c－105)2－2≥－2，当1c＝105，即c ＝52时等号成立．此时a ＝34，b ＝12.当a ＝－32c10，b ＝－c10时， 3a －4b ＋5c ＝－210c ＋410c ＋5c ＝210c＋5c >0， 综上可知c ＝52，a ＝34，b ＝12时，(3a －4b ＋5c)min ＝－2. 16．(2014·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．解 (1)由题意得1＋cos 2A 2－1＋cos 2B 2＝32sin 2A －32sin 2B ，即32sin 2A －12cos 2A ＝32sin 2B －12cos 2B ， sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6. 由a ≠b ，得A ≠B .又A ＋B ∈(0，π)，得 2A －π6＋2B －π6＝π，即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3.(2)由c ＝3，sin A ＝45，a sin A ＝c sin C ，得a ＝85.由a <c ，得A <C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝4＋3310， 所以，△ABC 的面积为 S ＝12ac sin B ＝83＋1825. 17．(2014·福建)在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图所示． (1)求证：AB ⊥CD ；(2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．(1)证明 ∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AB ⊂平面ABD ，AB ⊥BD ， ∴AB ⊥平面BCD .又CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD .(2)解 过点B 在平面BCD 内作BE ⊥BD ，如图．由(1)知AB ⊥平面BCD ，BE ⊂平面BCD ，BD ⊂平面BCD ， ∴AB ⊥BE ，AB ⊥BD .以B 为坐标原点，分别以BE →，BD →，BA →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，得B (0,0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)， A (0,0,1)，M (0，12，12)，则BC →＝(1,1,0)，BM →＝(0，12，12)，AD →＝(0,1，－1)．设平面MBC 的法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BC →＝0，n ·BM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＝0，12y 0＋12z 0＝0， 取z 0＝1，得平面MBC 的一个法向量n ＝(1，－1,1)． 设直线AD 与平面MBC 所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，AD →〉|＝|n ·AD →||n |·|AD →|＝63，即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63. 18．已知等差数列{a n }，公差d >0，前n 项和为S n ，S 3＝6，且满足a 3－a 1,2a 2，a 8成等比数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ·a n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n 的值．解 (1)由S 3＝6，得a 2＝2. ∵a 3－a 1,2a 2，a 8成等比数列， ∴(2d )·(2＋6d )＝42， 解得d ＝1或d ＝－43，∵d >0，∴d ＝1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)T n ＝11·3＋12·4＋13·5＋…＋1n (n ＋2)＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋(14－16)＋…＋(1n －1n ＋2)] ＝12(32－1n ＋1－1n ＋2)＝3n 2＋5n 4(n ＋1)(n ＋2). 19．(2014·安徽)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和数学期望．解 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”．则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)·P (A 3)P (A 4) ＝(23)2＋13×(23)2＋23×13×(23)2＝5681. (2)X 的可能取值为2,3,4,5. P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)·P (B 4)＝1081，P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.故X 的分布列为E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.20．(2014·福建)已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图象与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0时，x 2<e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x . 方法一 (1)解 由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a . 又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.当x <ln 2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >ln 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以当x ＝ln 2时，f (x )有极小值， 且极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4， f (x )无极大值．(2)证明 令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x . 由(1)得，g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)＝2－ln 4>0，即g ′(x )>0.所以g (x )在R 上单调递增． 又g (0)＝1>0，所以当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2<e x . (3)证明 对任意给定的正数c ，取x 0＝1c ，由(2)知，当x >0时，x 2<e x . 所以当x >x 0时，e x >x 2>1cx ，即x <c e x .因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x . 方法二 (1)同方法一 (2)同方法一(3)证明 令k ＝1c (k >0)，要使不等式x <c e x 成立，只要e x >kx 成立．而要使e x >kx 成立，则只需要x >ln(kx )，即x >ln x ＋ln k 成立． ①若0<k ≤1，则ln k ≤0，易知当x >0时，x >ln x ≥ln x ＋ln k 成立． 即对任意c ∈[1，＋∞)，取x 0＝0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x . ②若k >1，令h (x )＝x －ln x －ln k ，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，所以当x >1时，h ′(x )>0，h (x )在(1，＋∞)内单调递增． 取x 0＝4k ，h (x 0)＝4k －ln(4k )－ln k ＝2(k －ln k )＋2(k －ln 2)， 易知k >ln k ，k >ln 2，所以h (x 0)>0.因此对任意c ∈(0,1)，取x 0＝4c ，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x . 方法三 (1)同方法一． (2)同方法一．(3)证明 ①若c ≥1，取x 0＝0， 由(2)的证明过程知，e x >2x ，所以当x ∈(x 0，＋∞)时，有c e x ≥e x >2x >x ， 即x <c e x . ②若0<c <1，令h (x )＝c e x －x ，则h ′(x )＝c e x －1. 令h ′(x )＝0得x ＝ln 1c.当x >ln 1c时，h ′(x )>0，h (x )单调递增． 取x 0＝2ln 2c ，h (x 0)＝c e2ln 2c －2ln 2c ＝2(2c －ln 2c)， 易知2c －ln 2c>0，又h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增， 所以当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有h (x )>h (x 0)>0，即x <c e x .综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .21．(2014·山东)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线y ＝x 被椭圆C 截得的线段长为4105. (1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．①设直线BD ，AM 的斜率分别为k 1，k 2，证明：存在常数λ使得k 1＝λk 2，并求出λ的值； ②求△OMN 面积的最大值．解 (1)由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2. 椭圆C 的方程可简化为x 2＋4y 2＝a 2.将y ＝x 代入可得x ＝±5a 5， 因此2×25a 5＝4105，可得a ＝2. 因此b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)①设A (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，D (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)．因为直线AB 的斜率k AB ＝y 1x 1， 又AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜率k ＝－x 1y 1. 设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m ，由题意知k ≠0，m ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1可得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0. 由求根公式，解得x 1＝－4mk ＋16m 2k 2－(1＋4k 2)(4m 2－4)1＋4k 2， x 2＝－4mk －16m 2k 2－(1＋4k 2)(4m 2－4)1＋4k 2， 所以x 1＋x 2＝－8mk 1＋4k 2， 因此y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m 1＋4k 2. 由题意知x 1≠－x 2，所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14k ＝y 14x 1. 所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)． 令y ＝0，得x ＝3x 1，即M (3x 1,0)，可得k 2＝－y 12x 1. 所以k 1＝－12k 2，即λ＝－12. 因此存在常数λ＝－12使得结论成立． ②直线BD 的方程y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)， 令x ＝0，得y ＝－34y 1，即N ⎝⎛⎭⎫0，－34y 1. 由①知M (3x 1,0)，可得△OMN 的面积 S ＝12×3|x 1|×34|y 1|＝98|x 1||y 1|. 因为|x 1||y 1|≤x 214＋y 21＝1， 当且仅当|x 1|2＝|y 1|＝22时等号成立，此时S 取得最大值98. 所以△OMN 面积的最大值为98.。
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小题专项滚动练六解析几何小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(滚动考查)在复平面内与复数z=5i 1+2i所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A对应的复数为( )A.1+2iB.1-2iC.-2+iD.2+i 【解析】选C.复数z=5i1+2i =5i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=5(i+2)5=2+i ，所对应的点(2，1)关于虚轴对称的点为A(-2，1)，所以A 对应的复数为-2+i.2.已知点P(a ，b)是抛物线x 2=20y 上一点，焦点为F ，|PF|=25，则|ab|=( ) A.100 B.200 C.360 D.400 【解析】选D.抛物线准线方程为y=-5， |PF|=b+5=25，所以b=20，又点P(a ，b)是抛物线x 2=20y 上一点，所以a2=20×20，所以a=±20，所以|ab|=400.3.(滚动考查)已知点P(x，y)的坐标满足条件{x≥1,y≥x−1,x+3y−5≤0,那么点P到直线3x-4y-13=0的最小值为( )A.115B.2C.95D.1【解析】选B.由约束条件{x≥1,y≥x−1,x+3y−5≤0作出可行域如图，由图可知，当P与A(1，0)重合时，P到直线3x-4y-13=0的距离最小，为d=√32+(−4)2=2.4.(滚动考查)如图，函数f(x)=Asin(ωx+ )(其中A>0,ω>0,|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P(1，0)，∠PQR=π4，M(2，-2)为线段QR的中点，则A的值为( )A.2√3B.7√33C.8√33D.4√3【解析】选C.因为函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(其中A >0,ω>0,|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足P(1，0)，∠PQR=π4，M(2，-2)为线段QR 的中点，所以可得Q(4，0)，R(0，-4)，|PQ|=3，T=6=2πω，解得ω=π3，所以函数经过Q ，R ，有{Asin (π3×4+φ)=0,−4=Asin (π3×0+φ),因为|ϕ|≤π2，所以ϕ=-π3，所以解得A=8√33.5.已知抛物线C 1：y 2=2x 的焦点F 是双曲线C 2：x 2a2-y 2b2=1(a>0，b>0)的一个顶点，两条曲线的一个交点为M ，若|MF|=32，则双曲线C 2的离心率是( )A.√2B.√173C.2√63D.√333【解析】选D.由题意可知F (12,0)，由抛物线的定义可知：x M =32-12=1，所以y M =±√2，不妨记M(1，√2)， 因为F (12,0)是双曲线的一个顶点，所以14a2=1，即a 2=14，又点M 在双曲线上，所以114-2b2=1，即b 2=23，所以e=c a =√a 2+b 2a =√333.6.(滚动考查)函数y=xa x |x|(0<a<1)图象的大致形状是( )【解析】选D.由函数式可知当x>0时，y=a x (0<a<1)，当x<0时，y=-a x (0<a<1)，由函数的图象可知，函数的大致形状是D 选项.7.已知双曲线x 2a-y 2b =1的焦点到其渐近线的距离等于2，抛物线y 2=2px 的焦点为双曲线的右焦点，双曲线截抛物线的准线所得的线段长为4，则抛物线方程为( )A.y 2=4xB.y 2=4√2xC.y 2=8√2xD.y 2=8x【解析】选C.双曲线x 2a -y 2b =1的焦点到其渐近线的距离等于2，b=2，p2=2+4，把x=-p2，代入得4=2√p 2−4a 2a，联立求得p=4√2.故y 2=8√2x.8.在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：kx-y+1=0与圆C ：x 2+y 2=4相交于A ，B 两点，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OAMB ，若点M 在圆C 上，则实数k 等于( ) A.1 B.2 C.0 D.-1【解析】选C.因为四边形OAMB 为平行四边形，所以四边形OAMB 为菱形，所以△OAM 为等边三角形，且边长为2，解得弦AB 的长为2√3，又直线过定点N(0，1)，且过N 的弦的弦长最小值为2√3x 轴，即k=0.9.设双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a>0，b>0)的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP →=λOA →+μOB →(λ，μ∈R)，λ·μ=316，则双曲线的离心率为( )A.2√33B.3√55C.3√22 D.98【解析】选A.双曲线的渐近线为：y=±b ax ，设焦点F(c ，0)，则A (c,bc a)，B (c,−bca)，P (c,b 2a)，因为OP →=λOA →+μOB →，所以(c,b 2a)=((λ+μ)c,(λ−μ)bc a)，所以λ+μ=1，λ-μ=b c，解得λ=c+b 2c，μ=c−b 2c，又由λ·μ=316，得c+b 2c×c−b 2c=316，解得a 2c2=34，所以e=c a =2√33. 10.已知椭圆C ：x 2a+y 2b=1(a>b>0)的左右焦点为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是( ) A.(13,23) B.(12,1) C.(23,1) D.(13,12)∪(12,1)【解析】选D.6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称、左右对称.不妨设P 在第一象限，|PF 1|>|PF 2|，当|PF 1|=|F 1F 2|=2c 时，|PF 2|=2a-|PF 1|=2a-2c ，即2c>2a-2c ，解得e=c a >12，又因为e<1，所以12<e<1；当|PF 2|=|F 1F 2|=2c 时，|PF 1|=2a-|PF 2|=2a-2c ，即2a-2c>2c且2c>a-c ，解得13<e<12，综上可得13<e<12或12<e<1.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(滚动考查)已知x>-1，y>0且满足x+2y=1，则1x+1+2y的最小值为 .【解析】因为x>-1，y>0且满足x+2y=1，所以x+1>0，且(x+1)+2y=2，所以1x+1+2y =12(1x+1+2y )[(x+1)+2y]=52+12[2yx+1+2(x+1)y]≥52+12×2×√2y x+1·2(x+1)y =92，当且仅当2yx+1=2(x+1)y时取等号，故1x+1+2y的最小值为92.答案：9212.设两圆x 2+y 2-4x-3=0和x 2+y 2-4y-3=0的交点为A ，B ，则线段AB 的长度为 .【解析】x 2+y 2-4x-3=0，x 2+y 2-4y-3=0的公共弦为x-y=0，x 2+y 2-4x-3=0的圆心为(2，0)，半径为√7，圆心到直线的距离为√2=√2，所以线段AB 的长度为2√7−2=2√. 答案：2√5 13.已知离心率为3√55的双曲线C ：x 2a-y 24=1(a>0)的左焦点与抛物线y 2=mx 的焦点重合，则实数m= .【解析】由题意可得c a =√a 2+4a =3√55，所以a=√5，所以c=3，所以双曲线的左焦点为(-3，0)，再根据抛物线的概念可知m4=-3，所以m=-12. 答案：-1214.抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，若A(-1，0)，则|PF||PA|的最小值为 .【解析】由题意可知，抛物线的准线方程为x=-1，A(-1，0)，过P 作PN 垂直直线x=-1于点N ，由抛物线的定义可知PF=PN ，连接PA ，当PA 是抛物线的切线时，|PF||PA|有最小值，则∠APN 最大，即∠PAF 最大，就是直线PA 的斜率最大，设PA 的方程为：y=k(x+1)，所以{y =k(x +1),y 2=4x,解得k 2x 2+(2k 2-4)x+k 2=0，所以Δ=(2k 2-4)2-4k 4=0，解得k=±1，所以∠NPA=45°，|PF||PA|=cos ∠NPA=√22.答案：√2215.已知抛物线y 2=2px 的焦点F 与双曲线x 27-y 29=1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK|=√2|AF|，则△AFK 的面积为 . 【解析】因为抛物线y 2=2px 的焦点F 与双曲线x 27-y 29=1的右焦点重合，所以p=8.设A(m ，n)，又|AK|=√2|AF|，所以m+4=|n|，又n 2=16m ，解得m=4，|n|=8，所以△AFK 的面积为S=12×8×8=32.答案：32。