不等式证明(近几年高考真题分析)

式 方和
法
2016
全国卷 Ⅱ
证明不等 式
基本不等式，完全平方式
综合法，比较法。
2015
全国卷 Ⅱ
证明不等 式
基本不等式，完全平方式
综合法，比较法。
2014
全国卷 Ⅰ
证明不等 式来自百度文库
基本不等式
综合法
2013
全国卷 Ⅱ
证明不等 基本不等式，柯西不等式，三个数的和平方 式 展开
综合法
回归教材
1.不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有综合法、比较法、分析法、反证法等.
≥(x－1＋y＋1＋z＋1)2＝4，故(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥4， 3
当且仅当 x－1＝y＋1＝z＋1，即 x＝5，y＝z＝－1时，等号成立
3
3
②证明：根据柯西不等式，
1，利用柯西不等式证明，使用拆项， 添项方法构造符合柯西不等式的形式。
2，关键是恰当变形，化为符合的结构 形式，当一个式子与柯西不等式左边或 右边有一致形式时，就可用柯西不等式。
①法一：(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.
法二：比较法（提示4=22）
(a＋b)(a5＋b5)-4＝a6＋ab5＋a5b＋b6-(a3＋b3)2＝ab(a2－b2)2 由 a>0,b>0, 所以 ab(a2－b2)2≥0，即(a＋b)(a5＋b5)≥4
注意渗透多维的基本不等式。
-3-
a, b, c R , 且a b c 1, 求证：
(1)a2 b2 c2 1 ; (2) a b c 3; (3)ab bc ca 1 .
3
3
法一：柯西不等式 1, a2 b2 c2 111 a b c2 1
(2), a b c111
例1 真题讲解
(2019·课标全国Ⅲ·23)设 x，y，z∈R，且 x＋y＋z＝1. ①求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2 的最小值；
②若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥1成立，证明：a≤－3 或 a≥－1. 3
【解析】 ①根据柯西不等式，
[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]×（1+1+1）
不等式的证明
01 考情分析 02 回归教材 03 真题讲解 04 复习建议
考情分析
年份 卷别 题型
涉及知识点
证明方法
2019
全国卷 Ⅰ
证明不等 式
基本不等式，柯西不等式，
综合法，分析法，比较 法
2019
全国卷 Ⅲ
证明不等 基本不等式，柯西不等式，三个数和的平方 式 展开
综合法
2017
全国卷 Ⅱ
证明不等 基本不等式，柯西不等式，完全平方式，立 综合法，反证法，比较
2· 2b＋ 3· 3c)2.
得 6(a2＋2b2＋3c2)≥(a＋2b＋3c)2＝36.
∴a2＋2b2＋3c2≥6.
当且仅当a＝ 1
2b＝ 2
3c，即 a＝b＝c＝1 时，上式等号成立． 3
∴a2＋2b2＋3c2 的最小值为 6.
练 习 ： 已 知 a ， b ， c ∈ R+ ， 且 满 足 a ＋ b ＋ c ＝ 1 ， 则 4a 1 4b 1 4c 1 的最大值为________．
4
4
3（a＋b）3，当且仅当 a＝b＝1 时取等号． 4
所以(a＋b)3≤8，因此 a＋b≤2
已知 a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：②a＋b≤2.
②方法三(反证法)：假设 a b 2 ，则 a 2 b ，两边同时立方得：
2
a b c
法二：基本不等式
1 a b c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 3 a2 b2 c2
1 a b c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 3ab bc ca
[评析] “1”的代换技巧。 基本方法：综合法 柯西不等式的应用。
[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]×（1+1+1）
≥(x－2＋y－1＋z－a)2＝(a＋2)2≥1×3＝1， 3
证得 a≤－3 或 a≥－1.
练习：已知 a，b，c∈R，且满足 a＋2b＋3c＝6，则 a2＋2b2 ＋3c2 的最小值为________．
【解析】 由柯西不等式，得(1＋2＋3)(a2＋2b2＋3c2)≥(1·a＋
【 解 析 】 由 柯 西 不 等 式 ， 得 (4a+1+4b+1+4c+1)(12 ＋ 12 ＋ 12)≥(1· 4a 1 ＋1· 4b 1 ＋1· 4c 1 )2.
例 2 真题讲解
（1）(2017·课标全国Ⅱ)已知 a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明： ①(a＋b)(a5＋b5)≥4； ②a＋b≤2.
(2)(2019·课标全国Ⅰ·23)已知 a，b，c 为正数，且满足 abc＝1. 证明：①1＋1＋1≤a2＋b2＋c2；
abc ②(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
例 2（1）(2017·课标全国Ⅱ)已知 a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明： ①(a＋b)(a5＋b5)≥4； ②a＋b≤2.
可以用柯西不等式吗？
(a＋b)(a5＋b5)≥ a a5 b b5 2 a3 b3 2 4
②方法一(分析法)：
已知 a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：②a＋b≤2.
欲证 a＋b≤2，只需证(a＋b)3≤8.即证 a3＋3a2b＋3ab2＋b3≤8.
即 a2b＋ab2≤2.即 ab(a＋b)≤2.(*)
∵a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2，且 a2－ab＋b2≥ab.
∴(a＋b)ab≤2.即(*)式成立．
∴原不等式成立．当且仅当 a＝b＝1 时取等号．
方法二：因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2
＋ 3（a＋b）2 · (a ＋ b) ＝ 2 ＋ 3（a＋b）3 ， 即 (a ＋ b)3 ≤ 2 ＋
2.柯西不等式
(1)(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当 时取等号;
(2)(
2 1
22+…+
2)(
2 1
22+…+ 2)≥( 1 1 + 2 2 + … +
)2,当且仅当 1 2=…= 时取等号.（强化柯西不等式运用）
1
2
3.基本不等式 (一般形式的算术-几何平均不等式)若 a1,a2,…,an为 n 个正数, 则 1+ 2+…+ ≥ 1 2… ,当且仅当 a1=a2=…=an 时,等号成立.