构造平行四边形解题
平行四边形解题方法与技巧
◆解读平行四边形1.正确理解平行四边形的概念有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.用数学语言表示为:在四边形ABCD中,若AB∥DC,AD∥BC,则四边形ABCD是平行四边形.记作□ ABCED.平行四边形的定义也是判定一个四边形是不是平行四边形的一种方法.2.掌握平行四边形的性质平行四边形的性质可以从以下三个方面去理解:(1)从边着眼:平行四边形的两组对边分别平行且相等;(2)从角着眼:平行四边形的两组对角分别相等,邻角互补;(3)从对角线着眼:平行四边形的对角线互相平分.事实上,平行四边形的对角线除了互相平分外,它还是将四边形转化为三角形的”桥梁”,在处理许多与平行四边形有关的问题时,常用”对角线”互相平分这一性质解决.如:□ABCD的周长为26,对角线AC 和BD相交于点O,若△AOB的周长比△AOD的周长多1,这样我们就可以利用平行四边形的对边相等和对角线互相平分得到AB+AD=13,,AB-AD=1,从而求得AB=7,AD=6.3.掌握平行四边形的判定方法判定一个四边形是平行四边形的方法主要有:(1)两组对边分别平行;(2)两组对边分别相等;(3)一组对边平行且相等;(4)两组对角分别相等;(5)两条对角线互相平分.◆平行四边形性质的活用平行四边形除了具有一般四边形的性质外,还具有以下特性:(1)对边平行且相等;(2)对角相等,邻角互补;(3)对角线互相平分;(4)是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心;(5)平行四边形被对角线分成的4个三角形的面积相等.例1: 已知：如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形AECF是平行四边形.例2: 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且∠DAF=∠BCE．（1）求证：△DAF≌△BCE；（2）若∠ABC=60°，∠ECB=20°，∠ABC的平分线BN交AF与M，交AD于N，求∠AMN的度数．◆判定平行四边形的五种基本方法判定平行四边形的五种方法1.两组对边分别平行例: 如图1，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；(2)判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。
平行四边形的知识点整理(一)2024
平行四边形的知识点整理（一）引言概述：平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质和特点。
了解这些知识点有助于我们在几何学中更好地理解和运用。
本文将对平行四边形的知识进行整理和总结，以帮助读者更好地掌握相关内容。
正文：一、平行四边形的定义和特点：1. 平行四边形的定义2. 平行四边形的性质和特点3. 平行四边形的内角和外角性质4. 平行四边形的对角线性质5. 平行四边形的边长和内角关系二、平行四边形的分类：1. 平行四边形的分类方法2. 等边平行四边形的性质和特点3. 矩形和正方形的性质和特点4. 菱形的性质和特点5. 平行四边形的其他特殊分类三、平行四边形的面积和周长计算：1. 平行四边形的面积计算方法2. 平行四边形的周长计算方法3. 面积和周长的相关性质和公式4. 平行四边形的面积和周长实例计算5. 平行四边形的面积和周长在实际问题中的应用四、平行四边形的相关定理和推论：1. 平行四边形的对称性定理2. 平行四边形的角平分线与边平分线定理3. 对角线互相平分的平行四边形定理4. 平行四边形的中位线定理5. 平行四边形的相关推论和应用五、平行四边形的解题方法和技巧：1. 解直角平行四边形的问题的方法和步骤2. 解面积和周长问题的技巧和注意事项3. 解平行四边形的性质问题的思路和方法4. 运用平行四边形求证和构造题的解题技巧5. 平行四边形相关问题的典型例题和解答总结：平行四边形是几何学中的重要内容，了解平行四边形的定义、性质和特点，掌握其分类、面积和周长计算方法，熟悉其相关定理和推论，并具备解题技巧和应用能力，对我们的几何学学习和问题解决能力都有很大的帮助。
通过学习本文所总结的平行四边形的知识点，相信读者会在几何学中取得更好的成绩，对未来的学习和发展起到积极的促进作用。
巧构平行四边形速证几何题
龙源期刊网
巧构平行四边形速证几何题
作者：华腾飞
来源：《数理化学习·初中版》2013年第11期
同学们在证一些几何问题时，若能够根据已知条件和图形的特征，适当地添加辅助线，巧妙地构造出平行四边形，然后利用平行四边形的特殊性质，常常可使问题化难为易，变繁为简，进而达到快速、简捷获证的目的. 这样不仅可以提高我们的解题技能与技巧，而且对于提高我们思维的品质和创造性也是大有裨益的.
一、利用对角线互相平分构造平行四边形
例1 如图1所示，已知平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，E、G分别为OA、OC的中点，过点O任作一直线交AD于H，交BC于F. 求证：EF∥GH .
证明：连结EH、FG，在△BOF和△DOH中，∠OBF =∠ODH，OB = OD，∠BOF =∠DOH.
所以△BOF ≌△DOH（ASA），则OF = OH.
因为OE=12OA=12OC=OG，
所以四边形EFGH为平行四边形，所以EF∥GH.。
构造平行四边行解题
8口江苏庄亿农对于有些几何问题，若能根据题目中的条件和图形特征．添加适当的辅助线．构造出平行四边形，然后利用平行四边形的性质．往往能使问题得到巧妙解决．■黼一、构造平行四边形，求角的大小例1如图l，六边形A B C D E F中，C D,／／A F，LD=￡A，A B上B C，[G=124。
．￡E=800，求[4FE的大小．i分析：i由条件C D l∥A F和‘D=￡A，联想到构造平行四边形．解：延长A F、JI)E交于点p，延长D C、A B交于点P，如图2．因为cD∥A F，所以￡D+￡p=1800．又[D=厶A．所以￡A+￡Q=1800．所以A P／／qo，所以四边形49D尸是平行四边形。
所以￡p=[只又因为[P=￡B C D一[C B P=1240一900=34。
，所以￡Q=34。
．又￡D E F=800，所以。
厶pE F=1800一80o=1000．所以￡A府=、r、-[Q E F+￡Q=100。
+34。
=134。
．_二、构造平行四边形，证明两角相等例2如图3，在四边形A B C D中．A D∥曰C．A B=D C．试证明￡B=[C．1分析：1要说明￡B=乞C，可过点A作D C的平行线．构造平行四边形来解决问题．解：作A层∥D C，交B C于点E，如图4．因为<)图1Q、A F Q图2图3A D／／B C．所以四边形A EC D是平行四边形．所以A E=D C因为A B=D C．所以A B=A E，所以￡B=二AE B．因为A E／／D C．所以￡A EB=[C．所以[B=￡C．■■三、构造平行四边形，证明线段相等例3如图5。
在R t△A B C中，￡C=900，M是A B的中点．A M=A N．M N／／A c．试证明M N=4C1分析：I由肘Ⅳ∥一c，要证明删=A C，可联‘想到四边形A C删是平行四边形．因此连接C M．判断四边形A C M N是平行四边形即可．解：连接C M，如图6．因为在R t△A B C中。
微讲座—利用平行四边形对角线关系解决最值问题
微讲座—利用平行四边形对角线关系解决最值问题引言本文将介绍如何利用平行四边形的对角线关系，解决数学中的最值问题。
通过理解对角线的性质以及最值的定义，在解决问题时可以更加高效和简便。
本文主要包括以下几个方面的内容：对角线的定义、平行四边形的性质、利用对角线关系解决最值问题的步骤以及一些应用示例。
---1. 对角线的定义平行四边形是指具有两对平行的边的四边形。
对角线是连接非相邻顶点的线段，分为两条。
我们用AC和BD分别表示平行四边形ABCD的两条对角线。
---2. 平行四边形的性质平行四边形的对角线具有以下性质：- 对角线相等：即AC = BD。
- 对角线互相平分：即AC和BD互相平分彼此的交点。
这些性质是平行四边形独有的，利用这些性质可以简化解决问题的过程。
---3. 利用对角线关系解决最值问题的步骤对于求解最值问题，我们可以利用平行四边形的对角线关系来简化计算。
步骤如下：1. 首先，根据题目给出的条件，构造一个平行四边形，并标记出对角线AC和BD。
2. 利用对角线的相等性质，得出AC = BD的等式。
3. 根据对角线相互平分的性质，可得到AC和BD互相平分的交点E。
4. 根据最值问题的要求，利用平行四边形中对角线长度相等的关系，将问题转化为AC和BD的长度问题。
5. 利用所学的数学知识，解决出AC和BD的长度，并据此得到最终结果。
通过以上步骤，我们可以利用平行四边形的对角线关系解决最值问题，简化计算过程，提高解题效率。
---4. 应用示例下面举一个应用示例来说明如何利用平行四边形的对角线关系解决最值问题。
示例：求解平行四边形的最大面积问题描述：已知平行四边形ABCD的两边长分别为5cm和8cm，求平行四边形的最大面积。
解题步骤：1. 构造平行四边形ABCD，并标记出对角线AC和BD。
2. 利用对角线的相等性质，得出AC = BD的等式。
3. 根据对角线相互平分的性质，可得到AC和BD互相平分的交点E。
初中数学复习几何模型专题讲解11---构造平行四边形
初中数学复习几何模型专题讲解专题11 构造平行四边形一、单选题1．如图，菱形ABCD的边长为13，对角线24AC=，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG=（）A．13 B．10 C．12 D．5【答案】B【分析】连接对角线BD，交AC于点O，求证四边形BDEG是平行四边形，EG=BD，利用勾股定理求出OD的长，BD=2OD，即可求出EG．【详解】连接BD，交AC于点O，由题意知：菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，∴AB=BC=CD=DA=13，EF//BD，∵AC、BD是菱形的对角线，AC=24，∴AC⊥BD，AO=CO=12，OB=OD，又∵AB//CD，EF//BD∴DE//BG，BD//EG在四边形BDEG中，∵DE//BG，BD//EG∴四边形BDEG是平行四边形∴BD=EG在△COD中，∵OC⊥OD，CD=13，CO=12∴OD=OB=5∴BD=EG=10故选B．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．2．在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG//BC，点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t，当t为( )s时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形？（）A．2 B．3 C．6 D．2或6【答案】D分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．【详解】①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，则CF=BC-BF=6-2t（cm），∵AG∥BC，∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，即t=6-2t，解得：t=2；②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，则CF=BF-BC=2t-6（cm），∵AG∥BC，∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t=2t-6，解得：t=6；综上可得：当t=2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．3．如图．在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．（1）求证：四边形ADCE是矩形．（2）若连接DE，交AC于点F，试判断四边形ABDE的形状（直接写出结果，不需要证明）．（3）△ABC再添加一个什么条件时，可使四边形ADCE是正方形．并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形ABDE是平行四边形；（3）当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形，证明见解析【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE＝90°，又由CE⊥AN，由矩形的判定可证四边形ADCE 为矩形；（2）利用（1）中矩形的对角线相等推知：AC＝DE；结合已知条件可以推知AB∥DE，又AE＝BD，则易判定四边形ABDE是平行四边形；（3）由等腰直角三角形的性质可得AD＝CD＝BD，即可证四边形ADCE是正方形．【详解】证明：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADC＝90°，∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN＝∠CAN，∴∠DAE＝90°，∵CE⊥AN，∴∠AEC＝90°，∴四边形ADCE为矩形；（2）四边形ABDE是平行四边形，理由如下：由（1）知，四边形ADCE为矩形，则AE＝CD，AC＝DE．又∵AB＝AC，BD＝CD，∴AB＝DE，AE＝BD，∴四边形ABDE是平行四边形；（3）当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形，理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，∴AD＝CD＝BD，又∵四边形ADCE是矩形，∴四边形ADCE是正方形．【点睛】本题考查平行四边形、矩形和正方形的判定方法，掌握特殊四边形的判定定理是解题的关键．4．如图，在△ABC中，已知∠BDC＝∠EFD，∠AED＝∠ACB．（1）试判断∠DEF与∠B的大小关系，并说明理由；（2）若D、E、F分别是AB、AC、CD边上的中点，S△DEF＝4，S△ABC=【答案】（1）∠DEF=∠B，理由见解析；（2）32【分析】（1）延长EF交BC于G，根据平行四边形的判定和性质即可得到结论；（2）根据三角形一边的中线平分三角形的面积，即可得到结论．【详解】（1）∠DEF=∠B，理由如下：延长EF交BC于G，∵∠BDC=∠EFD，∴EF∥BD，∵∠AED=∠ACB，∴DE∥BC，∴四边形DEGB是平行四边形，∴∠DEF=∠B ；（2）∵F 是CD 边上的中点，S △DEF =4，∴S △DEC =2S △DEF =8，∵E 是AC 边上的中点，∴S △ADC =2S △DEC =16，∵D 是AB 边上的中点，∴S △ABC =2S △ACD =32．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定和性质，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键．5．已知，菱形ABCD 中，60B ∠=︒，E 、P 分别是边BC 和CD 上的点，且60EAP ∠=︒．（1）求证：BC EC CP =+（2）如图2，F 在CA 延长线上，且FE FB =，求证：AF EC =（3）如图3，在（2）的条件下，6AF =，10BE =，O 是FB 的中点，求OA 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）7【分析】（1）连接AC ，如图1，根据菱形的性质得AB=BC ，而∠B=60°，则可判定△ABC 为等边三角形，得到∠BAC=60°，AC=AB ，易得∠ACF=60°，∠BAE=∠CAF ，然后利用ASA 可证明△AEB ≌△AFC ，即可解答；（2）过点F 作FH ∥AB ，交CB 的延长线于点H ，利用平行线的性质求得△FHC 是等边三角形，得到CF=CH=FH ，然后利用AAS 定理求得△HBF ≌△CEF ，从而问题得解； （3）过点B 作BK ∥FC ，交HF 于点K ，根据两组对边分别平行求得四边形KBAF 是平行四边形，从而求得12OA AK =，FK=16，过点A 作AM ⊥FH ，然后利用含30°的直角三角形的性质求得MF=132AF =,AM ==从而求得KM=13，然后利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）连接AC ，如图1，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB=BC ，∵∠B=60°，∴△ABC 为等边三角形，∴∠BAC=60°，AC=AB ，∴∠BAE+∠EAC=60°，∵AB ∥CD ，∴∠BAC=∠ACP=60°，∵∠EAP=60°，即∠EAC+∠CAP=60°， ∴∠BAE=∠CAP ，在△AEB 和△APC 中，BAE CAP AB ACB ACD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AEB ≌△APC ，∴BE=CF∴BC EC BE EC CP =+=+；（2）过点F 作FH ∥AB ，交CB 的延长线于点H∵FH∥AB∴∠H=∠CGH=60°∴△FHC是等边三角形∴CF=CH=FH又∵△ABC是等边三角形∴CA=CB∴AF=BH又∵FB=FE∴∠FEB=∠FEB，即∠FBH=∠FEC在△HBF和△CEF中FBH FECFHB FCE FH FC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△HBF≌△CEF∴BH=EC∴AF=EC（3）过点B作BK∥FC，交HF于点K，∵BK ∥FC ，FH ∥AB∴四边形KBAF 是平行四边形∴KB=AF=EC=6，12OA AK = ∴FK=AB=BC=BE+EC=BE+AF=16过点A 作AM ⊥FH由（2）可知，∠CFH=60°∴在Rt △AMF 中，∠MAF=30°∴MF=132AF =,AM == ∴KM=16-3=13在Rt △AKM 中，14AK ===∴AO=7．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，及平行四边形的判定和性质，题目有一定的综合性，正确添加辅助线解题是关键的突破点．6．如图，反比例函数y ＝k x（x ＞0）过点A （3，4），直线AC 与x 轴交于点C （6，0），过点C 作x 轴的垂线交反比例函数图象于点B ，（1）求反比例函数和直线AC 的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合条件的所有D点的坐标．【答案】（1）反比例函数解析式为：y＝12x；直线AC的解析式为：y＝﹣43x+8；（2）3；（3）符合条件的点D的坐标是：（3，2）或（3，6）或（9，﹣2）．【分析】（1）将A点的坐标代入反比例函数y＝kx求得k的值，然后将A，C坐标代入直线解析式解答即可；（2）把x=6代入反比例函数解析式求得相应的y的值，即得点B的坐标，进而利用三角形面积公式解答即可；（3）使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，如图所示，找出满足题意D 的坐标即可．【详解】解：（1）把点A（3，4）代入y＝kx（x＞0），得k＝xy＝3×4＝12，故该反比例函数解析式为：y＝12x，把A（3，4），C（6，0）代入y＝mx+n中，可得：34 60 m nm n+=⎧⎨+=⎩，解得：438mn⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以直线AC的解析式为：y＝﹣43x+8；（2）∵点C（6，0），BC⊥x轴，∴把x＝6代入反比例函数y＝12x，得y＝126＝2，则B（6，2），所以△ABC的面积＝1(63)232⨯-⨯=；（3）①如图，当四边形ABCD为平行四边形时，AD∥BC且AD＝BC．∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），∴点D的横坐标为3，y A﹣y D＝y B﹣y C即4﹣y D＝2﹣0，故y D＝2．所以D（3，2）．②如图，当四边形ACBD′为平行四边形时，AD′∥CB且AD′＝CB．∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），∴点D的横坐标为3，y D′﹣y A＝y B﹣y C即y D﹣4＝2﹣0，故y D′＝6．所以D′（3，6）．③如图，当四边形ACD″B为平行四边形时，AC＝BD″且AC∥BD″．∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），∴x D″﹣x B＝x C﹣x A即x D″﹣6＝6﹣3，故x D″＝9．y D″﹣y B＝y C﹣y A即y D″﹣2＝0﹣4，故y D″＝﹣2．所以D″（9，﹣2）．综上所述，符合条件的点D 的坐标是：（3，2）或（3，6）或（9，﹣2）．【点睛】本题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，平行四边形的判定与性质，解答（3）题时，采用了“数形结合”和“分类讨论”的数学思想． 7．如图所示，90BAC DAE ∠=∠=︒，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．【答案】见解析【分析】延长AM 到F ，使MF ＝AM ，交CD 于点N ，构造平行四边形，利用条件证明△ABF ≌△CAD ，可得出∠BAF ＝∠ACD ，再结合条件可得到∠ANC ＝90°，可证得结论．【详解】证明：延长AM 到F ，使MF ＝AM ，交CD 于点N ，∵BM ＝EM ，∴四边形ABFE 是平行四边形，∴BF＝AE，∠ABF＋∠BAE＝180°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠CAD＋∠BAE＝180°，∴∠ABF＝∠CAD，∵BF＝AE，AD＝AE，∴BF＝AD，在△ABF和△CAD中，BF ADABF CADAB AC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF≌△CAD（SAS），∴∠BAF＝∠ACD，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF＋∠CAF＝90°，∴∠ACD＋∠CAF＝90°，∴∠AHC＝90°，∴AM⊥CD．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，通过辅助线构造平行四边形证明三角形全等得到∠BAF ＝∠ACD 是解题的关键．8．如图所示，CD 是ABC ∆的中线，12∠=∠，求证：AE BC =.【答案】见解析【解析】【分析】要证AE BC =，可设法将AE 、BC 集中到一个图形中，由已知CD 是ABC ∆的中线，故倍长中线可得到平行四边形AFBC .【详解】证明：延长CD 至F ，使DF CD =，连AF ，BF ，又∵DA DB =，∴四边形AFBC 为平行四边形，21AFC ∴∠=∠=∠，AE AF BC ∴==.【点睛】中线倍长，利用平行四边形的判定定理对角线互相平分的四边形是平行四边形，据此达到转移线段或角的目的.9．如图所示，ABCD 中，E 是BC 的中点，9AE =，12BD =，10AD =.求证：AE BD ⊥.【答案】见解析【解析】【分析】过D 作DF AE ∥交BC 的延长线于F ，得四边形AEFD 为平行四边形，由已知可得△BDF 三边长，再由勾股定理可知∠BDF =90°，即可证明结论.【详解】证明：过D 作DF AE ∥交BC 的延长线于F ，AE DF ∴∥，又AD EF ，∴四边形AEFD 为平行四边形，10EF AD ∴==，9DF AE ==，15BF ∴=.22222129225BD DF BF +=+==，90BDF ∴∠=︒，∴AE BD ⊥.【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，平行四边形的性质，关键是平移AE 构造△DBF ，证出△BDF 是直角三角形．10．如图所示，ABC ∆中，90C ∠=︒，D ，E 分别为BC ，AC 上一点，BD CE =，AE BC =，求证：AD .【答案】见解析【解析】【分析】过A 作AG BD ，且AG BD =，连BG ，EG ，则ADBG 为平行四边形．再证明AEG CBE ∆∆≌，则GE =BE ，得△ADF 为等腰直角三角形即可证明结论【详解】证明：过A 作AG BD ，且AG BD =，连BG ，EG ，则四边形ADBG 为平行四边形，∵∠C =90°，∴∠GAE =∠C =90°，在△AEG 和△CBE 中，AG=CE AE=CB GAE C ⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，AEG CBE ∆∆≌，∴GE =BE ，∠GEA =∠EBC ，∴∠GEB =90°. BEG ∴为等腰直角三角形，∴AD BG ==【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，平角的性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 11．如图所示，四边形ACED 中，CE AD ∥，以DC ，DE 为边作平行四边形DCFE ，EC 的延长线交AF 于B ，求证：AB FB =.【答案】见解析【解析】【分析】延长FC 交AD 于点G ，可证明四边形CEDG 为平行四边形，可得FC =DE =CG ，可知BC 为△F AG 的中位线，可证明AB =FB ．【详解】证明：如图，延长FC 交AD 于点G ，∵四边形CDEF 为平行四边形，∴CF ∥DE ，CF =DE ，又∵CE ∥AD ，∴四边形CEDG 为平行四边形，∴CG =DE ，∴CF =CG ，且BC ∥AG ，∴BC 是△F AG 的中位线，∴B 为AF 的中点，即AB =FB ．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形⇔平行四边形，②两组对边分别相等的四边形⇔平行四边形，③一组对边分别平行且相等的四边形⇔平行四边形，④两组对角分别相等的四边形⇔平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形⇔平行四边形．12．如图所示，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，AE 平分CAB ∠交BC 于E ，交CD 于F ，FG AB ∥交BC 于G .求证：CE BG =.【答案】见解析【解析】【分析】要证CE BG∥，故过F作=，可设法将CE、BG集中到一个图形中，由已知FG ABFM BC，从而得到平行四边形FMBG.【详解】证明：过F作FM BC交AB于M，又FG AB∥，∴四边形FMBG是平行四边形，B BAC ACD BAC∠+∠=︒=∠+∠，∴=，由90BG FM∴∠=∠=∠，又AE平分CABB ACD AMF∠，∴=，又CEF B BAE ACD CAE CFE∠=∠+∠=∠+∠=∠，∴∆≅∆，CF MFACF AMF∴=，CE CF∴=.CE BG【点睛】此题主要考查平行四边形性质和判断理解及运用．利用平行四边形的判定定理作平行线，可构造平行四边形来达到转移线段或角的目的. 正确作出辅助线是解答本题的关键．13．如图所示，四边形ACED中，CE AD∥，以DC，DE为边作平行四边形DCFE，EC的延长线交AF于B，求证：2.AF BF【答案】见解析【解析】【分析】∥交CB的延长线于M，连结FM，先证明四边形AMED是平行四边形，过A作AM DE再证明四边形AMFC为平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可得证.【详解】∥交CB的延长线于M，连结FM，证明：过A作AM DE∥，∵CE AD∴四边形AMED是平行四边形，∴AM=ED，∵四边形DCFE是平行四边形，∴DE∥CF,DE=CF,∴AM平行且等于CF，∴四边形AMFC为平行四边形，∴AB FB=，∴2=.AF BF【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形.=.14．如图所示，在三角形ABC中，AD是中线及角平分线，求证：AB AC【答案】见解析【解析】【分析】=，连结BE，CE，证四边形ABEC是平行四边形，得到BE=AC，延长AD至E，使DE ADBE∥AC，再证明△ABE是等腰三角形即可.【详解】证明：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，CE，∵ BC、AE，相互平分，∴ ABEC是平行四边形，∴BE=AC，BE∥AC，∴∠BAD=∠DAC=∠BED，∴ AB=BE ，∴ AB=AC.【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，及等腰三角形的判定，正确作出辅助线是解答本题的关键.15．如图所示，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，AE 平分CAB ∠交BC 于E ，交CD 于F ，FG AB ∥交BC 于G .求证：CG BE =.【答案】见解析【解析】【分析】过F 作FM BC 交AB 于M ，可证四边形BMFG 为平行四边形，从而FM BG =，再证明AFM AFC ∆≅∆，可证CF FM =，再证明CE=CF ，即可得出结论.【详解】证明：过F 作FM BC 交AB 于M ，∵FG AB∥，∴四边形BMFG为平行四边形，∴FM BG=，∵∠ACD+∠BAC=90°，∠B+∠BAC=90°，∴∠B=∠ACD，∵FM BC，∴AMF B∠=∠.∠=∠=∠.∴AMF B ACD∵AE平分CAB∠，∴∠CAF=∠BAF，∆≅∆.∴AFM AFC=.∴CF FM∠=∠+∠+∠=∠，又CEF B ACF CAE CFE∴CE=CF，∴CE CF BG==，∴CG BE=.【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质及等腰三角形的的判定，正确作出辅助线是解答本题的关键.16．如图，已知AD 为△ABC 的中线，点E 为AC 上一点，连接BE 交AD 于点F ，且AE ＝FE.求证：BF ＝AC ．【答案】证明见解析【分析】方法一：当题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四边形，利用平行四边形和等腰三角形的性质证得结论．方法二：向中线作垂线，证明BDG CDH ∆≅∆，得到BG CH =，再根据AE ＝FE ，得到角的关系，从而证明BGF CHA ∆≅∆，最终得到结论.【详解】方法一：延长AD 到G ，使DG ＝AD ，连接BG ，CG ，∵DG ＝AD ，BD ＝DC ，∴四边形ABGC 是平行四边形，∴AC//BG ，∠CAD ＝∠BGD ，又∵AE ＝FE ，∴∠CAD ＝∠AFE ，∴∠BGD ＝∠AFE ＝∠BFG ，∴BG ＝BF ，∵BG ＝A C ，∴BF ＝AC方法二：如图，分别过点B 、C 作BG AD ⊥，CH AD ⊥，垂足为G 、H ，则90BGD CHD ∠=∠=︒.BD CD =，BDG CDH ∠=∠，BDG CDH ∴∆≅∆，BG CH ∴=.AE FE =，EAF EFA ∴∠=∠，BFG EFA ∠=∠，BFG CAH ∴∠=∠，又90BGF CHA ∠=∠=︒，BGF CHA ∴∆≅∆，BF AC ∴=.【点睛】本题是较为典型的题型，至少可以用到两种方法来解题，此题的特点就是必须有中线这个条件才能构造平行四边形或双垂线.17．如图，D 为ABC 的AB 边上一点，E 为AC 延长线上的一点，且CE=BD ． （1）当AB=AC 时，求证：DE>BC（2）当AB≠AC 时，DE 与BC 有何大小关系？给出结论，画出图形，并证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）如图1，过点D作DF∥BC，过点C作CF∥AB，连接EF，从而可得DF=BC，这样就把分散的线段集中到了△DEF中，只需证DE>DF即可；易证∠1=∠2，∠3=∠4，∠3>∠5，从而可得∠DFE>∠DEF，∴DE>DF，从而得到：DE>BC；（2）当AB AC时，我们要分AB>AC和AB<AC两种情况来讨论，其中：①当AB>AC，且AB=AE时，如图2，结合已知条件此时我们易证△ABC≌△AED，从而得到BC=DE；②当AB>AC，且AB>AE时，如图3，延长AE到F，使AF=AB，在AB上截取AN=AC，易证△ABC≌△AFN，得到∠F=∠B；再过D作DM∥BC，过C作CM∥BD，得到四边形DBCM是平行四边形，由此可得∠DMC=∠B=∠F，DM=BC；连接ME，则法通过在△DME中证∠DEM>∠DME得到DM>DE，从而得到BC>DE；③当AB>AC，且AB<AE时，如图4，延长AB到F，使AF=AE，在AE上截取AN=AD，连接NF，易证△AFN≌△AED，可得∠F=∠AED，由∠ABC>∠F得到∠ABC>∠AED；再作DM∥BC，CM∥AB，可得四边形DBCM是平行四边形，得到DM=BC，∠DMC=∠ABC，就可得∠DMC>∠AED；连接ME，在△DME中通过证∠DME>∠DEM，得到DE>DM，就可得到DE>BC；④当AB<AC<AE时，如图5，延长AB至F，使AF=AE，在AC上截取AN=AD；过点D作DM∥BC，过点C作CM∥AB，连接ME；同上可证：DE>BC.试题解析：（１）作DF∥BC，CF∥BD（如图1），得□BCFD，从而∠DFC＝∠B，DF＝BC，CF＝BD．又BD＝CE，∴CF＝CE，∴∠1＝∠2．∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B．而∠DFE＝∠DFC＋∠1＝∠B＋∠1＝∠ACB＋∠2＞∠AED＋∠2＝∠DEF，即在△DEF中，∵∠DFE＞∠DEF，∴DE＞DF，即DE＞BC．（２）当AB≠AC时，DE与BC的大小关系如下：当AB＞AC但AB＝AE时，DE＝BC；当AB＞AC且AB＞AE时，DE＜BC；当AB＞AC但AB＜AE时，DE＞BC；当AB＜AC时，DE＞BC．证明如下：①当AB＞AC但AB＝AE时（如图2），∵BD＝CE，∴AB－BD＝AE－CE，即AD＝AC．在△ABC和△AED中，∵AB＝AE，∠A＝∠A，AC＝AD，∴△ABC≌△AED（SAS），∴BC＝ED；②当AB＞AC且AB＞AE时，延长AE到F，使AF＝AB，在AB上截取AN＝AC（如图3），连结NF．在△ABC和△AFN中，∵AB＝AF，∠A＝∠A，AC＝AN，∴△ABC≌△AFN（SAS），∴∠B＝∠F．∵∠AED＞∠F，∴∠AED＞∠B．过D点作DM∥BC，过点C作CM∥AB，连结EM，则四边形DBCM为平行四边形，∴∠DMC＝∠B，CM＝BD，DM=BC，∵BD=CE，∴CM＝CE，∴∠CME＝∠CEM，∵∠DMC＝∠B＜∠AED，∴∠CME＋∠DMC＜∠AED＋∠CEM，即∠DME＜∠DEM，∴DE＜DM，∴DE＜BC；③当AB＞AC但AB＜AE时，延长AB到F，使AF＝AE，在AE上截取AN＝AD（如图4），连结NF,在△AFN和△AED中，∵AF＝AE，∠A＝∠A，AN＝AD，∴△AFN≌△AED（SAS），∴∠F＝∠AED，∵∠ABC＞∠F，∴∠ABC＞∠AED，过D点作DM∥BC，过点C作CM∥AB，连接EM，则四边形DBCM为平行四边形，∴∠DMC＝∠ABC，CM＝BD，∵BD＝CE，∴CM＝CE，∴∠CME＝∠CEM，∵∠DMC＝∠ABC＞∠AED，∴∠DMC＋∠CME＞∠AED＋∠CEM，即∠DME＞∠DEM，∴ DE＞DM，∴ DE＞BC；④当AB＜AC时，此时，AB必小于AE，即AB＜AE延长AB到Ｆ，使AF＝AE，在AE上截取AN＝AD（如图5）．连结NF．在△AFN和△AED中，∵AF＝AE，∠A＝∠，AN＝AD，∴△AFN≌△AED（SAS），∴∠F＝∠AED，即∠F＝∠4．∵∠ABC＞∠F，∴∠ABC＞∠AED，过D作DM∥BC，过点C作CM∥AB，连结CM，则四边形DBCM平行四边形，∴∠DMC＝∠ABC，CM＝BD，DM=BC，∵BD＝CE，∴CM＝CE，∴∠CME＝∠CEM．∵∠DMC＝∠ABC＞∠AED，∴∠DMC＋∠CDE＞∠AED＋∠CEM，即∠DME＞∠DEM，∴DE＞DM，∴DE＞BC.点睛：本题这种由一个“基本情形”（特殊情形）推广到“一般情形”的探究型问题，首要的是要弄清基本问题的解题思路（本题就是把线段BC通过平移到DM的位置，从而使两条分散的线段集中到一个△DME中，再利用“在同一个三角形中，较大的角所对的边也较大”来解决问题的）；而在推广到“一般情形”时，就是通过作辅助线把“一般情形”转化为“基本情形”来解（本题中第二问就是按这样的思路来寻找到解题方法的）.三、填空题18．如图，在梯形ABCD 中，AB CD AD BC =，∥ ，对角线AC BD ⊥，且AC =则梯形ABCD 的中位线的长为_________.【答案】5【解析】【详解】解：过C 作CE ∥BD 交AB 的延长线于E ，∵AB ∥CD ，CE ∥BD ，∴四边形DBEC 是平行四边形，∴CE=BD ，BE=CD∵等腰梯形ABCD 中，AC=BD ∴CE=AC∵AC ⊥BD ，CE ∥BD ，∴CE ⊥AC∴△ACE是等腰直角三角形，∵AC=∴AC=10，∴AB+CD =AB+BE=10，∴梯形的中位线=12AE=5，故答案为：5．【点睛】本题考查了梯形的中位线定理，牢记定理是解答本题的重点，难点是题目中的辅助线的做法．。
平行四边形判定经典题型
平行四边形判定经典题型（实用版）目录1.平行四边形的定义和性质2.平行四边形的判定方法3.经典题型及解题方法正文一、平行四边形的定义和性质平行四边形是指四边形中的两组对边分别平行的四边形。
根据平行四边形的定义，我们可以知道平行四边形具有以下性质：1.对边平行且相等。
2.对角线互相平分且相等。
3.对角线上的点到对角线两端点的距离相等。
4.相邻角互补，即两相邻角的和为 180 度。
二、平行四边形的判定方法在解决平行四边形的相关问题时，我们需要掌握一些判定方法。
以下是几种常见的平行四边形判定方法：1.同旁内角互补。
当两条直线被一条横穿线分成四个内角，如果同旁内角互补，则这两条直线平行。
2.内错角相等。
当两条直线被一条横穿线分成四个内角，如果内错角相等，则这两条直线平行。
3.对角线互相平分。
在四边形中，如果对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形。
4.一组对边平行且相等。
如果一个四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形。
三、经典题型及解题方法在解决平行四边形的相关问题时，我们需要注意以下几点：1.熟练掌握平行四边形的判定方法，能够快速判断出题目中的四边形是否为平行四边形。
2.注意题目中的条件，充分利用已知条件进行推导。
3.在解题过程中，注意挖掘题目中的隐含条件，这有助于快速解决问题。
以下是一个经典题型及解题方法：例题：已知四边形 ABCD 中，AB 平行于 CD，AB=CD，AD 平行于 BC，AD=BC，求证四边形 ABCD 是平行四边形。
解题过程：根据题目已知条件，我们可以知道 AB 平行于 CD，AB=CD，AD 平行于 BC，AD=BC。
平行四边形存在性问题的解题策略
平行四边形存在性问题的解题策略
平行四边形存在性问题是一个常见的几何问题，即给定4条线段，判断它们是否可以构成一个平行四边形。
虽然这个问题看起来很简单，但是解决起来却并不容易。
解决平行四边形存在性问题的第一步是要判断这四条线段是否为平行线段。
根据对称性，可以把这四条线段分成两组，分别是AB和CD，那么AB两条线段是否平行，与CD两条线段是否平行，就可以用一般平行线段的性质来判断，即两条平行线段之间的角度是180°。
若AB和CD两组线段都是平行线段，则说明这四条线段可能构成平行四边形，接下来就要判断对角线的关系。
可以用向量的性质来判断，即对角线的夹角是90°，判断时要将AB和CD两组线段的终点向量相加，若其夹角为90°，则说明这四条线段可以构成平行四边形。
另外，若AB两条线段不是平行线段，则这四条线段一定不能构成平行四边形。
因为平行四边形的4条边都是平行线段，而AB两条线段不是平行线段，则说明这四条线段不可能构成平行四边形。
总之，解决平行四边形存在性问题的关键是要判断四条线段之间的关系，即AB两条线段是否平行，以及AB两条线段的终点向量之和的夹角是否为90°。
只有当这两个条件都满足时，这四条线段才能构成平行四边形。
利用平行四边形的性质解(证)题
利用平行四边形的性质解（证）题平行四边形具有：对边平行、对角相等、对边相等、对角线互相平分等性质，因此这些性质为我们提供了证线段平行、相等，角相等，两线段互相平分的新方法，在证明这些问题时，可证他们所在的四边形是平行四边形．下面举例说明平行四边形的性质在解（证）题中的应用。
一、求角度例1．平行四边形ABCD 中， ∠A-∠B=025，则∠A=_____;∠B=______; ∠C=_____;∠D=_____.分析：设∠B 为x ，则∠A 为025+x.∵ABCD 是平行四边形，∴∠A+∠B=0180即x+025+x=0180.∴x=05.77∴∠A=05.102，∠B=05.77.由于平行四边形对角相等，所以∠C=05.102， ∠D=05.77.评注：（1）在解决求平行四边形的内角的度数问题时，应注意抓住两个等量关系:①平行四边形对角相等②平行四边形邻角互补（2）当题目未明确等价角的度数，而是给了两个角的关系时，应注意运用方程来求解.二、求线段长例2．如图1，在□ABCD 中，如果AB ＝5，AD ＝9，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF ＝_______.分析：观察图形，容易看出DF ＝CF －CD.又，CD ＝AB ＝5，那么要求DF 的长，应先确定CF 的长.解：在□ABCD 中，F因为AB ∥CF ，所以∠ABE ＝∠F.因为BE 平分∠B ＝∠ABC ，所以∠CBF ＝∠ABE ＝∠F.所以CF ＝BC ＝AD ＝9.所以DF ＝CF －CD ＝4.评注：本题的解答过程中，运用了平行四边形的对边平行和对边相等的性质.三、求周长例3．已知：如图2，在□ABCD 中，BE ⊥CD ，BF ⊥AD ， ∠EDF=030， BE=8，BF=14，求□ABCD 的周长.分析：平行四边形的周长是相邻两边长度之和的2倍，因而只要利用平行四边形的性质求出相邻两边的长，问题即可解决.解:∵ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB.∵∠CDF=030， ∴∠A=∠CDF=030.∵BF ⊥AD ，BF=14，∴AB=2BF=28.∵∠A=∠C(平行四边形的对角相等)∴∠C =030.∵BE ⊥CD ，BE=8，∴BC=2BE=16.∴平行四边形ABCD 的周长为:2(AB+BC)=2(28+16)=88.评注：在平行四边形的解题过程中，要善于联系以往学习的有关知识，如此题用到了在直角三角形中，030角所对的直角边是斜边的一半的知识.四、求线段的取值范围例4．如图3，□ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果AC ＝12， BD ＝10， AB ＝m ，那么m 的取值范围是（ ）（A ）10＜m ＜12 （B ）2＜m ＜22 （C ）1＜m ＜11 （D ）5＜m ＜6.图2分析：要求m 的取值范围，应考虑与AB 有关的三角形的三边之间的不等关系.结合题中条件，应考虑△OAB 三边之间的不等关系.解：在平行四边形ABCD 中，因为对角线AC 和BD 相交于点O ，所以OA ＝12AC ＝6，OB ＝12BD ＝5. 因为OA －OB ＜AB ＜OA ＋OB ，所以1＜m ＜11.评注：本题的解答过程中，运用了平行四边形的对角线互相平分的性质.五、证明线段相等例5．如图4，已知AD 为△ABC 的中线，E 为AC 上一点，连结BE 交AD 于F ，且AE ＝FE ．则BF ＝AC ．说明理由分析：延长AD 到N ，使DN ＝AD ，构造出平行四边形ABNC ．证明：延长AD 到N ，使DN ＝AD ，连结BN 、CN ，则四边形ABNC 为平行四边形．∴BN ＝AC ，BN ∥AC ，∴∠1＝∠4．∵AE ＝FE ，∴∠1＝∠2．∵∠2＝∠3，∠1＝∠4，∴∠3＝∠4．∴BN ＝BF ，∴BF ＝AC ．评注：当题目中有三角形中线时，常利用加倍中线构造平行四边形，然后再应用平行四边形的知识证题，用这种方法比利用加倍中线构造全等三角形要方便、简捷．图4O A CB图3六、证明线段的不等关系例6．如图5，已知△ABC 中，AB=AC ，D 是AB 上的一点，E 是AC 延长线上的一点，且DB=CE ，试说明DE>BC ．解析：因为DE 、BC 不在同一三角形中，其大小不好比较，把DE 沿着AB 平移到BF ，连结CF 、EF ，则可得四边形BDEF 为平行四边形，从而得出∠BFE=∠BDE ，EF=BD=CE ，∠CFE=∠FCE ，又因为∠BCF=∠BCE-∠FCE ，∠BFC=∠BFE-∠CFE ，而由∠ABC=∠ACB ，因∠ABC+∠CBF+∠BDE=∠BCE+∠ACB ，由此可得∠BCE>∠BDE ，所以∠BCF>∠BFC ，依据三角形的边角之间的不等关系可得：BF>BC ，即DE>BC ．评注：本题借助构造平行四边形并利用平行四边形的性质将欲比较的线段放在同一三角形中，再通过三角形三边之间的不等关系简洁的使问题得证．七、求面积例7．如图6，□ABCD 中，点E 在AC 上，AE=2EC ，点F 在AB 上，BF=2AF.如果△BEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积.分析：根据等高的两个三角形面积的比等于它们的底的比，求出△AEF 的面积和△BEF 的面积，再根据平行四边形的对角线把平行四边形分成两个面积相等的两个三角形，从而求出平行四边形的面积.解:∵四边形ABCD 是平行四边形，AC 是对角线∴ABC S S ∆=2平行四边形∵点F 在AB 上，BF=2AF ，∴△BEA 和△BEF 是过E 点的高相等的两个三角形，BEF BEA S S ∆∆=23 图6 D FE C B A图5同理BEF BEA ABC S S S ∆∆∆==4923因此）（平行四边形2924922cm S S ABC =⨯⨯==∆. 评注：本题考查面积问题中的面积变换，面积变换具有下列的特征:等底或同底且高相等的两个三角形的面积相等；等底或等高的两个三角形的面积比等于它们的高或底的比；此题将平行四边形的面积与三角形的面积进行了整合.。
平行四边形习题含答案
平行四边形习题含答案平行四边形习题含答案平行四边形是初中数学中的一个重要概念，它在几何学中有着广泛的应用。
掌握平行四边形的性质和解题方法，对于解决与平行四边形相关的问题非常有帮助。
本文将介绍一些平行四边形的习题，并提供相应的答案。
1. 问题一：已知平行四边形ABCD，AB = 8cm，BC = 6cm，求平行四边形的面积。
解答：平行四边形的面积可以通过底边与高的乘积来计算。
由于平行四边形的边平行且相等，所以可以将底边取为AB或CD，高取为BC或AD。
我们选择底边为AB，高为BC。
则平行四边形的面积为8cm × 6cm = 48cm²。
2. 问题二：已知平行四边形ABCD，AB = 10cm，BC = 6cm，角BAD的度数为60°，求平行四边形的周长。
解答：平行四边形的周长可以通过将相邻边的长度相加再乘以2来计算。
由于平行四边形的边平行且相等，所以可以将相邻边的长度相加后再乘以2。
在这个问题中，AB = CD = 10cm，BC = AD = 6cm。
所以平行四边形的周长为(10cm + 6cm) × 2 = 32cm。
3. 问题三：已知平行四边形ABCD，AB = 12cm，BC = 8cm，对角线AC的长度为10cm，求平行四边形的面积。
解答：对角线AC将平行四边形分成两个全等的三角形。
我们可以利用三角形的面积公式计算每个三角形的面积，然后将两个三角形的面积相加得到平行四边形的面积。
设高为h，根据勾股定理，可以得到h² = AC² - (AB/2)² = 10² - (12/2)² = 100 - 36 = 64。
所以h = √64 = 8cm。
每个三角形的面积为(12cm ×8cm) / 2 = 48cm²。
因此，平行四边形的面积为48cm² + 48cm² = 96cm²。
第6章平行四边形 题型解读7 直角坐标系中的平行四边形-2020-2021学年北师大版八年级数学下册
《平行四边形》题型解读7 直角坐标系中的平行四边形【知识梳理】： 1.总体解题分析思路线：2.常见添辅助线方法：①过平行四边形顶点作坐标轴的垂线段，把点的坐标转化成线段长； ②连接对角线，利用中点坐标公式求解点的坐标；【典型例题】例1.已知如图，平行四边形ABCD 的边AB 在轴上，顶点D 在轴上，AD=4，AB=5，点A 的坐标为（-2，0），则 点B 的坐标为____________, 点C 的坐标为____________, 点D 的坐标为____________ 【解题过程】作CE ⊥x 轴，∵点A 的坐标为（-2，0），∴OA=2，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC=4,AB=CD=5,∴OB=3,∴BE=2,在Rt △OAD 中，由勾股定理可得OD=2√3,∵∠DAO=∠CBE,OA=BE=2,∠AOD=∠CEB=90º,∴△AOD ≌△BEC,∴CE=OB=2√3,∴B(3,0)、D(0,2√3)、C(5,2√3).例2.如图，在平面直角坐标系中，AB//OC ，A （0，12），B （a,12），C （b,0），且满足b =√a −21+√21−a +16. 动点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；动点Q 从点O 出发在线段OC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，点P 、Q 同时出发，当点P 运动到点B 时，点Q 随之停止运动.设运动时间为t （秒）. （1）求B ，C 两点的坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCB 是平行四边形？请求出此时P ，Q 两点的坐标； （3）当t 为何值时，△PQC 是以PQ 为腰的等腰三角形？并求出P 、Q 两点的坐标.【解题过程】（1）∵b =√a −21+√21−a +16，∴√a −21≥0，√21−a ≥0，∴a=21,∴b=16,∴B(21,12)、C(16,0)； （2）如图1，由题可知：AP=2t,PB=21-2t ，OQ=t,QC=16-t ，∵当四边形PQCB 是平行四边形时，∴PB=QC ，即21-2t=16-t ，解得t=5，此时AP=10,OQ=5，∵AB//OC ，∴点B 、P 的纵坐标相同，∴P(10,12)、Q(5,0)。
平行四边形解题规律技巧
综合利用平行四边形的性质和全等三角形判定与性质证明线段或角相等的方法首先利用平行四边形的性质得到直线平行线段相等或角的相等关系再把所得结论作为判定三角形全等的条件再根据全等三角形的性质得线段或角相等
1．利用平行四边形的定义判断平行四边形的方法 利用定义识别平行四边形首先要看所给图形是否是四边形，其次是四边形的两 组对边是否分别平行．
7． 综合 利用 平行 四边 形的 判定 和性 质证 明线 段或 角的 相等 关系
在证明时首先选择适当的方法证明平行四边形，再根 据性质得线段或角相等．
例7 如图7，△ABF中，AB＝BF，∠EAD＝∠BAF，
AD＝BC，求证：∠BAD＝∠C．
分析：∠BAD和∠C是四边形ABCD的对角，因此只需证明四边形ABCD是 平行四边形就可以证明∠BAD＝∠C，由已知条件知AD＝BC，因此可再证明 AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形可证．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO． ∵AB＋CD＋AD＋CB＝60，AO＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC)＝8， ∴AB＋BC＝30，AB－BC＝8．∴AB＝CD＝19 cm，BC＝AD＝11 cm． 答：这个平行四边形各边长分别为19 cm、11 cm、19 cm、11 cm． 点评：(1)平行四边形的邻边之和等于平行四边形周长的一半． (2)平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于 邻边之差．
专题01 平行四边形(5种模型与解题方法)原卷版
专题01 平行四边形（5种模型与解题方法）目录题型一：中点四边形题型二：正方形中的十字架模型题型三：四边形中的对角互补模型题型四：与正方形有关三垂线题型五：正方形与45°角的基本图题型一：中点四边形“中点四边形”，也叫瓦里尼翁平行四边形，是顺次连接四边形各边中点而组成的四边形，是四边形的内接四边形的一种特殊情况，一般有以下三种形态：（原四边形ABCD依次是：凸四边形，凹四边形，折四边形）（一）中点四边形一定是平行四边形1.当原四边形对角线相等时，其中点四边形为菱形2.当原四边形对角线垂直时，其中点四边形为矩形3.当原四边形对角线垂直且相等时，其中点四边形为正方形（二）中点四边形的周长等于原四边形对角线之和（三）中点四边形的面积等于原四边形面积的二分之一一．选择题（共5小题）1．（2023春•栖霞区校级期中）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA 的中点，要使四边形EFGH是菱形，那么至少应满足的条件是( )A ．AC BD ^B ．AC BD =C ．AB CD =D ．AD BC=2．（2023春•高港区期中）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 、的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH 为菱形，应添加的条件是( )A ．AB CD =B ．AC BD ^C ．CD BC =D ．AC BD=3．（2023春•海州区期中）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是矩形，则四边形ABCD 只需要满足一个条件是( )A ．//AB CD B ．四边形是菱形C ．AC DB =D ．AD BC^4．（2023春•盱眙县期中）如图，E ，F ，G ，H 分别是BD ，BC ，AC ，AD 的中点，且AB CD =，下列结论：①四边形EFGH 是菱形；②EG FH ^；③若245BAD ADC Ð+Ð=°，则27.5EFH Ð=°；④1()2EG BC AD =-；其中正确的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．（2023春•南京期中）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是线段AD 、BD 、BC 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，需添加的条件是( )A ．AC BD =B ．AC BD ^C ．AB CD =D ．AB CD^二．填空题（共3小题）6．（2023春•大丰区期中）如图，已知矩形ABCD 的对角线AC 的长为10cm ，顺次连结各边中点E 、F 、G 、H 得四边形EFGH ，则四边形EFGH 的周长为 cm ．7．（2023春•梁溪区校级期末）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC BD ^，若12AC =，9BD =，则四边形ABCD 各边中点连线构成的四边形EFGH 的面积是= ．8．（2023春•苏州期中）如图，四边形ABCD 是边长为3的菱形，对角线8AC BD +=，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，AD 中点，顺次连接E ，F ，G ，H ．则四边形EFGH 的面积为 ．三．解答题（共4小题）9．（2023春•徐州期中）如图，E 、F 、G 、H 为菱形ABCD 各边中点．（1）求证：四边形EFGH 为矩形；（2）若6EFGH S =四边形，则ABCD S =菱形 ．10．（2023春•靖江市期中）如图1，1A ，1B ，1C ，1D 分别是四边形ABCD 各边的中点，且AC BD ^，6AC =，10BD =．（1）试判断四边形1111A B C D 的形状，并证明你的结论；（2）如图2，依次取11A B ，11B C ，11C D ，11D A 的中点2A ，2B ，2C ，2D ，再依次取22A B ，22B C ，22C D ，22D A 的中点3A ，3B ，3C ，3D ¼¼以此类推，取11n n A B --，11n n B C --，11n n C D --，11n n D A --的中点n A ，n B ，n C ，n D ，根据信息填空：①四边形1111A B C D 的面积是 ；②若四边形n n n n A B C D 的面积为1516，则n = ；③试用n 表示四边形n n n n A B C D 的面积 ．11．（2023春•姜堰区期中）如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点，连接AC 、BD ．（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）当对角线AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是菱形，并说明理由．12．（2023春•盐城期中）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．（1）这个中点四边形EFGH的形状是 ；D和MCB（2）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且AMDD为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明．题型二：正方形中的十字架模型一．选择题（共2小题）1．（2022春•海门市校级期中）如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE DF =，AE 、BF 相交于点O ，下列结论：（1）AE BF =；（2）AE BF ^；（3）AO OE =；（4）AOB DEOF S S D =四边形中正确的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（2022春·江苏无锡·八年级校考期末）如图，将边长为3的正方形ABCD 纸片沿EF 折叠，点C 落在AB 边上的点G 处，点D 与点H 重合，CG 与EF 交于点P ，取GH 的中点Q ，连接PQ ，则V GPQ 的周长最小值是（ ）A ．32+B C ．32+D ．92二．填空题（共2小题）3．（2023春•宿豫区期中）如图所示，将正方形ABOC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点B的坐-，则点A的坐标为 ．标为(2,3)Ð=°，4．（2023春•建邺区校级期末）如图，四边形ABCD，四边形AECF分别是菱形与正方形．若22BAE Ð= °．则D三．解答题（共2小题）5．（2022春•吴中区校级期中）如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为CD，AD边上的点，且=，连接BQ，AP．求证：BQ AP^．DQ CP6．（2023春•淮安期末）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题：^，垂足为M．那么AE与BF相如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE BF等吗？（1）直接判断：AE BF（填“=”或“¹”)；在“问题情境”的基础上，继续探索：问题探究：（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE BF^，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论；问题拓展：（3）如图3，点E在边CD上，且MN AE^，垂足为H，当H在正方形ABCD的对角线BD上时，连接D沿着AN翻折，点H落在点H¢处．AN，将AHN①四边形AHNH¢是正方形吗？请说明理由；¢的最小值为 ．②若6=，直接写出PH ANBD BPAB=，点P在BD上，3题型三：四边形中的对角互补模型模型1:全等形一-90°对角互补模型模型2:全等形--120°对角互补模型模型 3:全等形一一任意角对角互补模型模型4:相似形一-90°对角互补模型（后面会学到）一．选择题（共1小题）1．（2023春•金湖县期中）如图，AC 是ABCD Y 的对角线，点E 在AC 上，AD AE BE ==，105D Ð=°，则BAC Ð是( )A ．25°B ．30°C ．45°D ．50°二．解答题（共3小题）2．（2020春•通山县期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．理解：（1）在你所学过四边形中，满足等补四边形定义的四边形是 ；画图：（2）如图1，在正方形网格中，线段AB 的端点在格点上（小正方形的顶点），请你画出1个以格点为顶点，AB 为边的等补四边形ABCD ；探究：（3）如图2，在等补四边形ABCD中，AB AD=，连接AC，AC是否平分BCDÐ？请说明理由．3．（2023春•分宜县期末）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”．（1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 （请填序号）；=，180（2）在“完美”四边形ABCD中，AB ADÐ+Ð=°，连接AC．B D①如图1，求证：AC平分BCDÐ；小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明AC平分:ÐBCD想法一：通过180=，通过证明AEB ACDD@D，从而可证AC平Ð+Ð=°，可延长CB到E，使BE CDB D分BCDÐ；D，可证C，B，E想法二：通过AB AD=，可将ACDD绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到AEB三点在一条直线上，从而可证AC平分BCDÐ．请你参考上面的想法，帮助小明证明AC平分BCDÐ；②如图2，当90Ð=°，用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证明．BAD4．（2021秋•丹阳市期末）四边形ABCD若满足180Ð+Ð=°，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．A C（1）四边形ABCD为对角互补四边形，且::2:3:4Ð的度数为 ；ÐÐÐ=，则AB C D（2）如图1，四边形ABCD为对角互补四边形，90=．BAD BCDÐ=Ð=°，AB AD求证：AC平分BCDÐ．小云同学是这么做的：延长CD至M，使得DM BCD@D，得到ACMD是等=，连AM，可证明ABC ADM腰直角三角形，由此证明出AC平分BCDÐ，还可以知道CB、CD、CA三者关系为： ；=，试证明：（3）如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足60BADÐ=°，AB AD①AC平分BCDÐ；②CA CB CD=+；（4）如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足60=，则BA、BC、BD三者Ð=°，AD CDABC关系为： ．题型四：与正方形有关三垂线一、单选题1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，四边形AFDC 是正方形，CEA Ð和ABF Ð都是直角，且E ，A ，B 三点共线，4AB =，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6二、填空题2．（2023春·八年级课时练习）如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过正方形的顶点B 、D 作BF ⊥a 于点F ，DE ⊥a 于点E ，若DE ＝8，BF ＝5，则EF 的长为__．三、解答题3．（2022春·广东东莞·八年级塘厦初中校考期中）四边形ABCD 为正方形，点E 为线段AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥DE ，交射线BC 于点F ，以DE 、EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．（1）如图，求证：矩形DEFG 是正方形；（2）若AB＝4，CE＝CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．4．（2021春·安徽安庆·八年级统考期末）如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°（即∠EBE'＝90°），得到△CBE′（点A的对应点为点C）延长AE交CE于点F，连接DE．（1）试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由．（2）如图2，若DA＝DE，请猜想线段CF于FE'的数量关系并加以证明．（3）如图1，若AB，CF＝3，请直接写出DE的长．5．（2021春·山西·八年级统考期末）综合与实践：如图1，在正方形ABCD中，连接对角线AC，点O是AC的中点，点E是线段OA上任意一点（不与点A，O重合），连接DE，BE．过点E作EF DE^交直线BC 于点F ．（1）试猜想线段DE 与EF 的数量关系，并说明理由；（2）试猜想线段,,CE CD CF 之间的数量关系，并说明理由；（3）如图2，当E 在线段CO 上时（不与点C ，O 重合），EF 交BC 延长线于点F ，保持其余条件不变，直接写出线段,,CE CD CF 之间的数量关系．6．（2022春·新疆省直辖县级单位·八年级校联考期末）如图1，点E 是正方形ABCD 的边BC 上的任意一点（不与B 、C 重合），EF AE ^与正方形的外角DCG Ð的角平分线交于点F ．(1)求证：AE EF =．(2)将图1放在平面直角坐标系中，如图2，连DF 、BF ，BF 与AE 交于点H ，若正方形ABCD 的边长为4，则四边形ABFD 的面积是否随E 点位置的变化而变化？若不变，请求出四边形ABFD 的面积．(3)在的（2）条件下，若4BCF S =△，求四边形AHFD 的面积．题型五：正方形与45°角的基本图一、填空题1．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在正方形ABCD 中，点M 、N 为边BC 和CD 上的动点（不含端点），MAN 45Ð=°，下列三个结论：①当MN 时，则22.5BAM Ð=°；②290AMN MNC Ð-Ð=°；③△MNC 的周长不变；④∠AMN －∠AMB ＝60°．其中正确结论的序号是________．二、解答题2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图所示，正方形ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，CD 上一点，点M 为EF 上一点，D ，M 关于直线AF 对称．（1）求证：B ，M 关于AE 对称；（2）若EFC Ð的平分线交AE 的延长线于G ，求证：AG =．3．（2023春·江苏·八年级专题练习）（1）如图①，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 上的点，且45EAF Ð=°，连接EF ，探究BE 、DF 、EF 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图②，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D Ð+Ð=°，E 、F 分别是BC 、DC 上的点，且12EAF BAD Ð=Ð，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．4．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图所示，正方形ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，CD 上一点，点M 为EF 上一点，D ，M 关于直线AF 对称．连结DM 并延长交AE 的延长线于N ，求证：45AND Ð=°．5．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE =．（1）求证：CE CF =；（2）在图1中，若G 在AD 上，且45GCE Ð=°，则GE BE GD =+成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：①如图2，在直角梯形ABCD 中，()//AD BC BC AD >，90B Ð=°，12AB BC ==，E 是AB 上一点，且45DCE Ð=°，4BE =，求DE 的长．②如图3，在ABC V 中，45BAC Ð=°，AD BC ^，2BD =，3CD =，则ABC V 的面积为____（直接写出结果，不需要写出计算过程）6．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图正方形ABCD 的边OA 、OC 在坐标轴上，已知点()3,3B ．将正方形ABCO 绕点A 顺时针旋转一定的角度（小于90°），得到正方形ADEF ，ED 交线段OC 于点G ，ED 的延长线交线段BC 于点P ，连接AP 、AG ．（1）求PAG Ð的度数．（2）当OAG CPG Ð=Ð时，求点P 的坐标．（3）在（2）的条件下，直线PE 上是否存在点M ，使以M 、A 、G 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M 点的坐标，若不存在，请说明理由．7．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知正方形ABCD ，45MAN Ð=°，MAN Ð绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC 于点M 、N ，AH MN ^于点H ．（1）如图①，当BM DN =时，可以通过证明V V ≌ADN ABM ，得到AH 与AB 的数量关系，这个数量关系是___________；（2）如图②，当BM DN ¹时，（1）中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？说明理由；（3）如图③，已知AMN V 中，45MAN Ð=°，AH MN ^于点H ，3MH =，7=NH ，求AH 的长．8．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知四边形ABCD 是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A 点重合，将此三角板绕A 点旋转时，两边分别交直线BC ，CD 于M ，N ．(1)如图1，当M ，N 分别在边BC ，CD 上时，求证：BM +DN =MN(2)如图2，当M ，N 分别在边BC ，CD 的延长线上时，请直接写出线段BM ，DN ，MN 之间的数量关系(3)如图3，直线AN 与BC 交于P 点，MN =10，CN =6，MC =8，求CP 的长．9．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知：四边形ABCD 为正方形，AMN D 是等腰Rt D ，90AM N Ð=°．（1）如图：当Rt AMN D 绕点A 旋转时，若边AM 、AN 分别与BC 、CD 相交于点E 、F ，连接EF ，试证明：EF DF BE =+．（2）如图，当Rt AMN D 绕点A 旋转时，若边AM 、AN 分别与BC 、CD 的延长线相交于点E 、F ，连接EF ．①试写出此时三线段EF 、DF 、BE 的数量关系并加以证明．②若6CE =，2DF =，求：正方形ABCD 的边长以及AEF D 中AE 边上的高．10．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知正方形ABCD ，∠EAF ＝45°，将∠EAF 绕顶点A 旋转，角的两边始终与直线CD 交于点E ，与直线BC 交于点F ，连接EF ．。
动点平行四边形题的解题思路
动点平行四边形题的解题思路大家好，今天我们要聊的是一种数学题——动点平行四边形题。
听名字可能觉得有点复杂，但别担心，我们一步步来，保准你能搞懂。
1. 基础知识回顾1.1 平行四边形基础首先，平行四边形就是两组对边分别平行的四边形。
它的对角线互相平分，每个角的对边都是相等的。
简单来说，平行四边形的形状很稳定，动动边儿不会改变它的基本特性。
1.2 动点概念动点指的是在某个几何图形内可以自由移动的点。
它的移动会引发图形的变化，但总体结构还是不变的。
在平行四边形的题目里，动点常常用来探索图形的性质或求解某些量。
2. 解题思路2.1 确定动点的位置首先，我们得确定动点在平行四边形内的具体位置。
动点的运动往往会影响到整个平行四边形的某些性质，所以，我们要明确动点的轨迹。
一般来说，动点可能会在平行四边形的边上或者内部移动。
2.2 利用平行四边形的性质接下来，咱们得运用平行四边形的性质来解题。
比如说，如果动点在一个平行四边形的边上，我们可以利用平行四边形的对边平行的特点，来推导动点位置对其他边、角的影响。
举个例子，动点在平行四边形的一条边上时，往往会发现它与平行四边形的对角线长度有某种关系。
2.3 画图辅助理解有时候，光靠脑子转弯可能不够用，这时候画图就能帮助我们更好地理解问题。
动点在平行四边形内部的运动，最好能画出平行四边形的示意图，把动点的轨迹也标上去。
通过图形，我们能更直观地看到动点的变化如何影响整个平行四边形。
3. 常见问题及解答3.1 动点在平行四边形的一边上，如何找出特定位置的性质？这时，我们可以先找出动点与平行四边形其他点的关系。
比如动点在一条边上的某个位置，可能会使得动点到对角线的距离有特殊的规律。
利用平行四边形对边平行、对角线互相平分等性质，可以很容易找出这种规律。
3.2 如何通过动点求解平行四边形的面积？动点在平行四边形内部移动时，我们可以借助动点与平行四边形顶点的距离，结合平行四边形的面积公式来解决问题。
构造平行四边形证题例析
- 1 -构造平行四边形证题例析平行四边形具有对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质 . 证明某些几何题时，若能巧妙地构造出平行四边形，就会化难为易、化繁为简，证明过程简捷 . 现举例说明 .一、证两线段相等例1已知：如图1，在四边形ABCD 中， AB =DC ，AD = BC ，E 、F 在对角线AC 上，且AE = CF .求证：BE = DF .证明：连结BD 交AC 于O ，连结DE 、BF .∵AB = DC ，AD = BC ， ∴四边形ABCD 是平行四边形 .∴OB = OD ，OA = OC . 又∵AE = CF ，∴OE = OF .∴四边形FBED 是平行四边形 . ∴BE = DF .二、证两线段互相平分例2 如图2，平行四边形ABCD 中， E 、G 、F 、H 分别是四条边上的点，且AE = CF ，BG = DH .求证：EF 与GH 相互平分 . 证明：连结HE 、EG 、GF 、FH .∵四边形ABCD 是平行四边形 ， ∴∠A =∠C ，AD = CB . 又∵BG = HD ，∴AH = CG . 又∵AE = CF ，∴△HAE ≌△GCF . ∴HE = FG . 同理可证 HF = EG .∴四边形EGFH 是平行四边形 .∴EF 与GH 相互平分 . 三、证两线段平行例3 如图3，平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于O ，E 、F 分别为OB 、OD 的中点，过O 任作一直线分别交AB 、CD 于G 、H . 求证：GF ∥EH . 证明：连结GE 、FH .∵四边形ABCD 是平行四边形 ，∴OA = OC ，∠BAO =∠DCO ， 又∵∠AOG =∠COH ， ∴△AOG ≌△COH . ∴OG = OH . 又∵OE = OF ，∴四边形EHFG 是平行四边形 .∴GF ∥EH . 四、证线段的和差关系例4 如图5，在梯形BCED 中，DE ∥BC ，延长BD 、CE 交于A ，在BD 上截取BF = AD ，过F 作FG ∥BC 交EC 于G.求证：DE + FG = BC .证明：过F 点作FM ∥AC 交BC 于点M ， 则四边形FMCG 是平行四边形，∠BFM =∠A .∵DE ∥BC ，∴∠EDA =∠B ， 又∵BF = AD ，∴△BFM ≌△DAE . ∴BM = DE .∵四边形FMCG 是平行四边形，FG = MC ，∴DE + FG = BM + MC = BC . 五、证线段的倍分关系例5 如图5，已知AB = AC ， B 是AD 的中点，E 是AB 的中点 .求证：CD = 2CE .证明：延长CE 至 F ，使EF = CE ，连结AF 、∵E 是AB 的中点 ，∴四边形AFBC 是平行四边形. ∴AC ∥BF ，AC = BF .又∵AB = AC = BD ，∴BD = BF . ∴∠DBC =∠FBC. 又∵BC = BC ， ∴△DBC ≌△FBC ， ∴CD = CF = 2CE .六、证特殊图形例6 如图6，在梯形ABCD 中， AB ∥CD ，AC = BD .求证：梯形ABCD 是等腰梯形 .证明：过C 点作CE ∥BD 交于AB 的延长线于点E ，则四边形CDBE 是平行四边形.∴BD = CE ，∠1 =∠E .- 3 -又∵AC = BD ，∴ AC = CE ，∴∠2 =∠E .又∵AB = BA ，∴△DAB ≌△CBA .∴AD = BC .∴梯形ABCD 是等腰梯形 . 七、证面积问题例7 如图7，E 是梯形ABCD 腰DC 的中点. 求证：S △ABE =21S 梯形ABCD . 证明：过点E 作MN ∥AB ，交BC 于N ，交AD 的延长线于M ，则四边形ABNM 是平行四边形 .∴S △ABE =21S 平行四边形ABNM .又∵AD ∥BC ，DE = CE , ∴∠1 =∠C ，∠M =∠2 ，∴△EMD ≌△ENC .∴S 梯形ABCD = S 平行四边形ABNM ， ∴S △ABE =21S 梯形ABCD .构造平行四边形解题求解某些几何问题时，如能根据图形的特点构造平行四边形，再利用平行四边形的性质就可使这些问题化难为易．现选取几例予以说明．例1、如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，那么BC上的中线AD的取值范围是．解析：延长AD至E，使ED=AD，连结BE、CE，则四边形ABEC为平行四边形，所以BE=AC，在△ABE中，因为AB－BE<AE<AB+BE，即10－6<2AD<10+6,故知2<AD<8．点评：本题借助构造平行四边形并利用平行四边形的性质得出等于AD的2倍的线段AE，同时更重要的是将AB、AC的代换线段BE及AE放在同一三角形中，再利用三角形三边之间的不等关系巧妙的得出AD的取值范围．例2、如图，六边形ABCDEF中，若∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，且AB+BC=11，AF－CD=3，则BC+DE等于多少？解析：由已知∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F可知这些角均为120°，于是延长FA、CB交于点P，延长FE、CD交于点Q，则得△ABP和△EDQ均为等边三角形，由∠F=∠C和∠P=∠Q得四边形FPCQ为平行四边形，则PA+AF=CD+DQ，即AF－CD=DQ－PA=DE－AB．又已知AF－CD=3，则得DE－AB=3……①，又AB+BC=11……②，将①、②两式相加可得BC+DE=14．点评：本题通过构造平行四边形并利用平行四边形的性质得出AF－CD=DE－AB=3，再将其和已知条件AB+BC=11相加巧妙的得出欲求式子的值．例3、如图，已知△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，E是AC延长线上的一点，且DB=CE，试说明DE>BC．解析：因为DE、BC不在同一三角形中，其大小不好比较，把DE沿着AB平移到BF，连结CF、EF，则可得四边形BDEF为平行四边形，从而得出∠BFE=∠BDE，EF=BD=CE，∠CFE=∠FCE，又因为∠BCF=∠BCE－∠FCE，∠BFC=∠BFE－∠CFE，而由∠ABC=∠ACB，因∠ABC+∠CBF+∠BDE=∠BCE+∠ACB,由此可得∠BCE>∠BDE，所以∠BCF>∠BFC，依据三角形的边角之间的不等关系可得：BF>BC，即DE>BC．点评：本题借助构造平行四边形并利用平行四边形的性质将欲比较的线段放在同一三角形中，再通过三角形三边之间的不等关系简洁的使问题得证．- 5 -。
构造平行四边形解一类特殊的竞赛题
延 长边 Ａ Ｂ到点 Ｄ， ｃ 边 Ａ到点 Ｅ， 结 Ｄ 恰 有 Ａ ＝Ｂ 连 Ｅ， Ｄ Ｃ＝
Ｃ
Ｄ
过 Ｑ作 Ｑ 平行 且等 于 Ｂ ， 结 Ｄ Ｃ连
９＝Ｃ Ｄ＝Ａ Ａ＝ ＤＣ Ｐ， Ｐ，
Ａ
Ｃ 、 Ｄ 则 四边形 ｑ ｃ ＤＰ ， ｓ Ｄ是平行 四边形 ，
． ． Βιβλιοθήκη 又 。ａ Ｐ 则 ＡＡ Ｐ △Ｃ Ｄ， ． ｑ＝ Ｃ， ’ ｑ ￣ Ｐ 得 Ｐ Ｐ 在 ＡＰ Ｄ，Ｑ ＝ Ｃ＝Ｑ Ｑ＝ Ｄ， Ｑ Ｐ Ｂ Ｄ＝
Ｐ 所 以 ＡＰ Ｄ 为正 三 角 形 ， Ｄ， ｑ 则 Ｑ Ｄ＝ Ｐ
一
妙 薜 题
李 梅
草坪 ， 要使草坪 的面积为 ５０ ２求道 路的宽 ． ４ｍ ，
图 １
Ｅ
赛题 ） 图 ５ 在 △Ａ Ｃ中 ， ｃ 如 ， Ｂ
＝
９ 。点 Ｍ 在 Ｂ ０， Ｃ上 ， Ｂ ＝ 且 Ｍ
Ａ ， Ｃ Ｎ在 Ａ Ｃ上 ， Ａ 且 Ｎ＝ＭＣ Ａ ，Ｍ 与Ｂ Ｎ相交于点 Ｐ， 求证 ： 曰
Ｃ
＝
４ ５。
图５
Ｅ 其底角 ＬＥ Ｄ必为锐角 ， Ｄ， Ａ
上
’ ．
‘
１＋ Ｌ３＝９ 。 ． ０ ＇．Ｌ２＋ Ｌ４＝９ 。 Ｂ ＝Ｎ ． ０且 Ｅ Ｅ，
・
＋（ 一１０ ） ６ 。 ２ ８。 ： ０ ，
．
．
ＡＢ Ｎ为等腰直角三角形 ， Ｎ ４ 。 Ｅ ＬＢ Ｅ＝ ５ ，
・
‘
．
得 ｄ＝１０ ， ０ 。故 Ｂ Ｃ＝１０． Ａ ０。 例 ２ （０ ４年上 海 市竞赛题 ） 图 ３ ２０ 如 ，
平行四边形解题技巧
构造平行四边形证题的技巧一.构造平行四边形证两线段平行例1.已知如图，平行四边形 ABCD的对角线AC和BD交于O, E、F分别为OB、OD的中点，过0任作一直线分别交 AB、CD于G、H。
求证：GF//EH 。
R "二•构造平行四边形证两线段相等例2.如图，19」中，D在AB 上, E在AC的延长线上，BD=CE 连结DE，交BC于F，/ BAC外角的平分线交BC的延长线于 G,且AG//DE。
求证：BF=CF.构造平行四边形证线段的不等关系例3.如图，AD是的边BC上的中线，求证:四•构造平行四边形证线段的倍分关系例4.如图，分别以 -中的AB、AC为边向外作正方形 ABEF和正方形ACGH , M是BC的中点，求证:FH=2AM五.构造平行四边形证两线段互相平分例5.平面上三个等边三角形二「心匸-二匚F两两共有一个顶点，如图所示，求证:CD与EF互相平分D六•构造平行四边形证角的不等关系例6.如图，在梯形 ABCD中，AD//BC，对角线 AC>BD，求证/ DBC> / ACB七.构造平行四边形证线段的和差关系例 7.如图，19 -中，点 E、F 在边 AB 上，AE=BF , ED//AC//FG ，求证：ED+FG=AC同步练习:2.如图2 , 中，AB=AC , E是AB上一点，F是AC延长线上一点， BE=CF , EF交BC于D。
求证：DE=DF加2EF 与 GH 3.如图3，平行四边形 ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点，且 AE=CF , BG=DH，求证:互相平分，B是AD的中点，E是AB的中点，求证 CD=2CE5.已知：如图5在四边形 ABCD中，AB=DC ，AD=BC，点E在BC上，点F在AD上，AF=CE线BD相交于点0,求证：0是BD的中点。
7.（2015 •衢州）如图1，将矩形ABCD沿 DE折叠，使顶点 A落在DC上的点A'处，然后将矩形展平，沿使顶点A落在折痕DE上的点G处.再将矩形 ABCC沿CE折叠，此时顶点 B恰好落在DE上的点H处.如图2.,EF与对角EF折叠,(1)求证：EG=CH(2)已知 AF=_ £,求AD和AB的长.8.(2015 •嘉兴)如图，正方形 ABCD中，点E, F分别在边 AB BC上，AF=DE AF和DE相交于点G.(1)观察图形，写出图中所有与/ AED相等的角.(2)选择图中与/ AED相等的任意一个角，并加以证明.C9.(2015 •辽宁阜新)如图，点P是正方形ABC呐的一点，连接CP将线段CP绕点C顺时针旋转90°,得到线段CQ连接BP, DQ(1)如图a,求证：△ BCP^A DCQ(2)如图，延长BP交直线DQ于点E.①如图b,求证：BEL DQ ②如图6若厶BCP为等边三角形，判断△ DEPF形状，并说明理由.DQ例2: (2015 •安顺)如图，已知点D在厶ABC的BC边上，DE// AC交AB于点E, DF // AB交AC于点F⑴ 证明：AE= DF ⑵若AD平分/ BAC试判断四边形AEDF的形状，并说明理由5. (2015 •金华外国语学校模拟)如图，正方形ABCD的边长为8 cm, E, F, G,H分别是AB, BC，CD, DA上的动点，且AE= BF= Cd DH(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过某一定点，并说明理由;(3)求四边形EFGH面积的最小值.如图1,在Rt△ ABC中, Z C= 90°, AC^6, BC^ 8,动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点 Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点 P作 PD/ BC,交AB于点D,联结PQ点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t 秒(t >0).(1) ________________________________________ 直接用含t的代数式分别表示：Q圧, P— ;(2)是否存在t的值，使四边形PDB助菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形 PDBQS某一时刻为菱形，求点Q的速度；(3)如图2,在整个运动过程中，求出线段 PQ的中点M所经过的路径长.图1 图2如图1,在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD勺三个顶点B(1,0)、C(3, 0)、D(3, 4) •以A 为顶点的抛物线y 二ax2 + bx+ c过点C.动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点 C出发，沿线段CD向点D 运动•点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒•过点P作 PE丄AB交AC于点E.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)过点E作EF丄AD于 F,交抛物线于点G,当t为何值时，△ ACG勺面积最大？最大值为多少？(3)在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD^ (包括边界)存在点H,使以C Q E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出 t的值.。
平行四边形面积公式解题技巧
平行四边形面积公式解题技巧
解决平行四边形面积问题的技巧包括了解面积公式和应用基本
几何原理。
平行四边形的面积公式是，面积 = 底边长× 高，其中
底边长是平行四边形的一条底边的长度，高是从这条底边到与之平
行的另一条边的垂直距离。
下面我将详细解释如何使用这个公式以
及一些解题技巧。
首先，要确定平行四边形的底边长和高。
底边长通常是已知的，而高可能需要通过一些几何推理来确定。
如果高不是直接给出的，
你可以使用垂直平行边的性质来找到它。
另外，如果平行四边形是
由两个相等的三角形组成的话，可以利用三角形的性质来找到高。
其次，将已知的底边长和高代入面积公式中进行计算。
确保单
位是一致的，如果底边长是以厘米表示，那么面积就是平方厘米。
进行计算时要小心不要弄错单位。
此外，还有一些特殊情况需要特别注意。
如果平行四边形是菱形，那么它的面积公式可以简化为对角线之积的一半。
另外，如果
平行四边形是由两个相等的直角三角形组成的话，可以利用直角三
角形的性质来求解。
最后，要注意检查计算结果是否合理。
面积不可能是负数，如果计算结果为负数，那么可能是计算过程中出现了错误。
另外，面积也不可能超过平行四边形的周长，所以要确保计算结果在合理范围内。
总的来说，解决平行四边形面积问题的关键是熟练掌握面积公式，并且灵活运用基本的几何原理来确定底边长和高。
同时要注意特殊情况的处理，并且在计算过程中保持小心谨慎，确保结果的准确性和合理性。
希望这些技巧对你有所帮助。
二次函数中构造平行四边形的解决策略
二次函数中构造平行四边形的解决策略作者：杨少辉来源：《新课程·中旬》2019年第02期摘要：二次函数中构造平行四边形问题是中考的热点，也是教学的难点。
所以，在初中数学教学中，教师要引导学生掌握解决这类问题的科学的、高效的策略，从而形成学生良好的解题习惯，并提高学生的解题正确率，以实现有效的数学教学。
关键词：初中数学；二次函数；平行四边形；解决策略平行四边形的知识内容比较简单，二次函数只要掌握其基本性质和图像的画法也不算复杂，但是一旦二者相结合，就难免给学生解题造成困扰。
只要学生对平行四边形的性质、判定定理掌握稍有偏差，或者学习二次函数时没有理解透彻，那么在解决“二次函数中平行四边形存在性问题”时可以说是阻碍重重。
所以，在解决这类问题时，教师首先要保证学生将平行四边形、二次函数的基础知识熟稔于心。
然后在此基础上再从解题步骤、解题方法等方面出发给予学生科学的指导，这样才能提高学生的解题能力。
故而，本文将从以下几点出发阐述二次函数中构造平行四边形的解决策略。
一、扎实基础，做好解题准备在数学学习中，基础知识是解决问题的必要工具，也是解题思路的切入点。
比如在面对二次函数中平行四边形存在性问题时，学生首先要掌握二次函数的基本性质，可以根据函数画出图像，或者根据图像将函数补充完整。
另外，学生还要清楚平行四边形的基础知识，要明确在二次函数图像中怎样才能构造平行四边形。
所以，在解决二次函数中平行四边形存在性问题时，教师首先要引领学生理清关于平行四边形和二次函数的基础知识，然后再对此类问题进行深入的探究。
正所谓“工欲善其事，必先利其器”，只有先掌握基础知识，掌握解题的基本工具，才有望成功地解决问题。
例如：为了帮助学生在解决二次函数中构造平行四边形的问题时能快速找到切入点，并能准确地分析题目，我以设疑的形式引领学生复习关于平行四边形和二次函数的基础知识。
比如：（1）平行四边形有什么性质？（2）平行四边形的判定定理有哪些？（3）写出二次函数的一般式和顶点式，并表示出顶点坐标、对称轴以及增减性……然后我让学生将以上问题的答案整理到一张白纸上，以备解题之用。
习题范例如何解决平行四边形面积和周长的问题
习题范例如何解决平行四边形面积和周长的问题解决平行四边形面积和周长问题的习题范例在数学学科中，平行四边形是一个常见的几何图形，它具有许多特殊性质和定理。
计算平行四边形的面积和周长是学习平行四边形的基础，本文将通过一些习题范例来演示如何解决这些问题。
习题一：已知平行四边形的底边长为8 cm，高为5 cm，请计算该平行四边形的面积和周长。
解答：首先，我们知道平行四边形的面积可以通过底边长和高相乘来计算。
根据给定数据，我们可以使用公式：面积 = 底边长 ×高代入数值，得到：面积 = 8 cm × 5 cm = 40 cm²接下来，我们需要计算平行四边形的周长。
由于平行四边形的对边相等，我们可以将其分解为两个相等的矩形，然后将其边长相加。
根据给定数据，我们可以计算出矩形的边长为8 cm和5 cm，因此：周长 = 2 × (8 cm + 5 cm) = 26 cm因此，该平行四边形的面积为40 cm²，周长为26 cm。
习题二：已知平行四边形的对边长分别为12 cm和8 cm，夹角为60°，请计算该平行四边形的面积和周长。
解答：在这个习题中，我们需要利用夹角和对边长来计算平行四边形的面积和周长。
首先，我们可以通过已知信息绘制一个示意图，如下图所示：A-------------B| || || |D ----60°---- C根据夹角和对边，我们可以得到如下的结论：三角形ABC是等边三角形。
由于三角形ABC是等边三角形，我们可以计算出高H的长度。
根据勾股定理：H² = AB² - AC² = 12² - 8² = 144 - 64 = 80H = √80 ≈ 8.94 cm因此，平行四边形的高为8.94 cm。
接下来，我们可以使用同样的方法计算平行四边形的底边长。
根据勾股定理：BD² = (√80)² + 8² = 80 + 64 = 144BD = √144 = 12 cm根据已知的底边长和高，我们可以计算平行四边形的面积和周长。