2019年中考数学选择填空压轴题专题8几何变换问题
2019年全国中考数学真题分类汇编：代数几何综合压轴题(包含答案)
2019年全国中考数学真题分类汇编：代数几何综合压轴题一、选择题1. （2019年四川省达州市）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2，2），点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．下列结论：①OA＝BC＝2；②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2＝7；③在运动过程中，∠CDP是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】矩形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质【解答】解：①∵四边形OABC是矩形，B（2，2），∴OA＝BC＝2；故①正确；②∵点D为OA的中点，∴OD＝OA＝，∴PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7，故②正确；③如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形，∴EF＝OC＝2，设PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a，在Rt△BEP中，tan∠CBO＝＝＝，∴BE＝PE＝a，∴CE＝BC﹣BE＝2﹣a＝（2﹣a），∵PD⊥PC，∴∠CPE+∠FPD＝90°，∵∠CPE+∠PCE＝90°，∴∠FPD＝∠ECP，∵∠CEP＝∠PFD＝90°，∴△CEP∽△PFD，∴＝，∴＝，∴FD＝，∴tan∠PDC＝＝＝，∴∠PDC＝60°，故③正确；④∵B（2，2），四边形OABC是矩形，∴OA＝2，AB＝2，∵tan∠AOB＝＝，∴∠AOB＝30°，当△ODP为等腰三角形时，Ⅰ、OD＝PD，∴∠DOP＝∠DPO＝30°，∴∠ODP＝60°，∴∠ODC＝60°，∴OD＝OC＝，Ⅱ、OP＝OD，∴∠ODP＝∠OPD＝75°，∵∠COD＝∠CPD＝90°，∴∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；Ⅲ、OP＝PD，∴∠POD＝∠PDO＝30°，∴∠OCP＝150°＞90°故不合题意舍去，∴当△ODP 为等腰三角形时，点D 的坐标为（，0）．故④正确，故选：D ． 二、解答题1. （2019年四川省攀枝花市）已知抛物线2y x bx c =-++的对称轴为直线x=1，其图像与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点(0,3)C 。
中考数学图形的变换专题试题解析
2019年中考数学图形的变换专题试题解析以下是查字典数学网为您推荐的2019年中考数学图形的变换专题试题解析，希望本篇文章对您学习有所帮助。
2019年中考数学图形的变换专题试题解析一、选择题1. (2019湖北武汉3分)如图，矩形ABCD中，点E在边AB 上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处.若AE=5，BF=3，则CD的长是【】A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C。
【考点】折叠的性质，矩形的性质，勾股定理。
【分析】根据折叠的性质，EF=AE=5;根据矩形的性质，B=900。
在Rt△BEF中，B=900，EF=5，BF=3，根据勾股定理，得。
CD=AB=AE+BE=5+4=9。
故选C。
2.(2019湖北武汉3分)如图，是由4个相同小正方体组合而成的几何体，它的左视图是【】【答案】D。
【考点】简单组合体的三视图。
【分析】找到从左面看所得到的图形即可：从左面看易得只有一排，两层都是1个正方形，。
故选D。
3. (2019湖北黄石3分)如图所示，该几何体的主视图应为【】【答案】C。
【考点】简单组合体的三视图。
【分析】几何体的主视图就是从正面看所得到的图形，从正面看可得到一个大矩形左上边去掉一个小矩形的图形。
故选C。
4. (2019湖北黄石3分)如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8 cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为【】A. B. C. D.【答案】B。
【考点】翻折变换(折叠问题)，折叠对称的性质，矩形的性质，勾股定理。
【分析】设AF=xcm，则DF=(8-x)cm，∵矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，DF=DF，在Rt△ADF中，∵AF2=AD2+DF2，即x2=62+(8-x)2，解得：x= 。
故选B。
5. (2019湖北荆门3分) 已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①;再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②;然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③;如此反复操作下去，则第2019个图形中直角三角形的个数有【】A. 8048个B. 4024个C. 2019个D. 1066个【答案】B。
2019年四川省中考数学真题汇编专题08 投影视图与几何变化
专题08投影、视图与几何变换投影与视图部分一、选择题1．（2019四川巴中）如图是由一些小立方体与圆锥组合成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】解：如图所示，它的主视图是：．故选：C．2．（2019四川遂宁）如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为﹣2的面与其对面上的数字之积是（）A．﹣12B．0C．﹣8D．﹣10【答案】A．【解析】解：数字为﹣2的面的对面上的数字是6，其积为﹣2×6＝﹣12．故选：A．3．（2019四川成都）如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层左边有1个正方形，如图所示：故选：B．4．（2019四川达州）如图是由7个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】解：从左面看可得到从左到右分别是3，1个正方形．故选：B．5．（2019四川眉山）如图是由6个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（）A．B．C．D．【答案】D ．【解析】解：左视图有2层3列，第一层有3个正方形，第二层有一个正方形；每列上正方形的分布从左到右分别是2，1，1个．故选：D ．6.（2019四川绵阳）下列几何体中，主视图是三角形的是（）A. B. C. D.【答案】C.【解析】A 、正方体的主视图是正方形，故此选项错误；B 、圆柱的主视图是长方形，故此选项错误；C 、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确；D 、六棱柱的主视图是长方形，中间还有两条竖线，故此选项错误；故选：C ．7．（2019四川广安）如图所示的几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的，则它的俯视图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．【解析】解：该组合体的俯视图为故选：A ．8．（2019四川南充）如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】解：由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征可知，这个几何体是三棱柱．故选：C．9．（2019四川自贡）如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】根据俯视图是从物体上面看，从而得到出物体的形状．【解析】解：从上面观察可得到：．故选：C．几何变换部分一、选择题1．（2019四川达州）剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，轴对称图形是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．2.（2019四川乐山）下列四个图形中，可以由图通过平移得到的是A B C D图1【答案】D【解析】平移前后的图像的大小、形状、方向是不变的，故选D.3．（2019四川凉山州）如图，在△AOC中，OA＝3cm，OC＝1cm，将△AOC绕点O顺时针旋转90°后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（）cm2．A．B．2πC．πD．π【答案】B．【解析】解：∵△AOC≌△BOD，∴阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积＝＝2π，故选：B．二、填空题4．（2019四川眉山）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，使得点D落在AC上，则tan∠ECD的值为．【答案】．【解析】解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝13．根据旋转性质可得AE＝13，AD＝5，DE＝12，∴CD＝8．在Rt△CED中，tan∠ECD＝．故答案为．5．（2019四川资阳）如图，在△ABC中，已知AC＝3，BC＝4，点D为边AB的中点，连结CD，过点A作AE⊥CD于点E，将△ACE沿直线AC翻折到△ACE′的位置．若CE′∥AB，则CE′＝．【答案】．【解析】解：如图，作CH⊥AB于H．由翻折可知：∠AE′C＝∠AEC＝90°，∠ACE＝∠ACE′，∵CE′∥AB，∴∠ACE′＝∠CAD，∴∠ACD＝∠CAD，∴DC＝DA，∵AD＝DB，∴DC＝DA＝DB，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝5，∵•AB•CH＝•AC•BC，∴CH＝，∴AH＝，∵CE∥AB，∴∠E′CH+∠AHC＝180°，∵∠AHC＝90°，∴∠E′CH＝90°，∴四边形AHCE′是矩形，∴CE′＝AH＝，故答案为．6.（2019四川绵阳）如图，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA=BC，BD=BE，AC=4，DE=2．将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，当点E′恰好落在线段AD′上时，则CE′=．【答案】.【解析】解：如图，连接CE′，∵△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA=BC，BD=BE，AC=4，DE=2，∴AB=BC=2，BD=BE=2，∵将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，∴D′B=BE′=BD=2，∠D′BE′=90°，∠D′BD=∠ABE′，∴∠ABD′=∠CBE′，∴△ABD′≌△CBE′（SAS），∴∠D′=∠CE′B=45°，过B作BH⊥CE′于H，在Rt△BHE′中，BH=E′H=BE′=，在Rt△BCH中，CH=，∴CE′=，故答案为：．三、解答题7．（2019四川巴中）△ABC在边长为l的正方形网格中如图所示．①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1：2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．③在②的条件下求出点B经过的路径长．【答案】①作图见解析，点A1的坐标为（3，﹣3）；②见解析；③π．【解析】解：①如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；②如图，△A2B2C为所作；③OB＝，点B经过的路径长＝＝π．8．（2019四川广安）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）【答案】见解析．【解析】解：如图所示9．（2019四川自贡）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．①线段DB和DG的数量关系是；②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系．（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝2，直接写出线段GM的长度．【答案】（1）①DB＝DG，理由见解析；②BF+BE＝BD，理由见解析；（2）①BF+BE＝BD，理由见解析；②．【解答】解：（1）①DB＝DG，理由是：∵∠DBE绕点B逆时针旋转90°，如图1，由旋转可知，∠BDE＝∠FDG，∠BDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBD＝45°，∴∠G＝45°，∴∠G＝∠CBD＝45°，∴DB＝DG；故答案为：DB＝DG；②BF+BE＝BD，理由如下：由①知：∠FDG＝∠EDB，∠G＝∠DBE＝45°，BD＝DG，∴△FDG≌△EDB（ASA），∴BE＝FG，∴BF+FG＝BF+BE＝BC+CG，Rt△DCG中，∵∠G＝∠CDG＝45°，∴CD＝CG＝CB，∵DG＝BD＝BC，即BF+BE＝2BC＝BD；（2）①如图2，BF+BE＝BD，理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB＝∠ADC＝×60°＝30°，由旋转120°得∠EDF＝∠BDG＝120°，∠EDB＝∠FDG，在△DBG中，∠G＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠DBG＝∠G＝30°，∴DB＝DG，∴△EDB≌△FDG（ASA），∴BE＝FG，∴BF+BE＝BF+FG＝BG，过点D作DM⊥BG于点M，如图2，∵BD＝DG，∴BG＝2BM，在Rt△BMD中，∠DBM＝30°，∴BD＝2DM．设DM＝a，则BD＝2a，DM＝a，∴BG＝2a，∴，∴BG＝BD，∴BF+BE＝BG＝BD；②过点A作AN⊥BD于N，过D作DP⊥BG于P，如图3，Rt△ABN中，∠ABN＝30°，AB＝2，∴AN＝1，BN＝，∴BD＝2BN＝2，∵DC∥BE，∴，∵CM+BM＝2，∴BM＝，Rt△BDP中，∠DBP＝30°，BD＝2，∴BP＝3，由旋转得：BD＝BF，∴BF＝2BP＝6，∴GM＝BG﹣BM＝6+1﹣＝．。
2019年中考数学选择填空压轴题 专题8 几何变换问题
专题08 几何变换问题例1．如图，斜边长12cm，∠A＝30°的直角三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使点B′落在原三角尺ABC的斜边AB上，则三角尺向左平移的距离为______________．（结果保留根号）同类题型1.1 把图中的一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形，那么x＋y（）A．是一个确定的值B．有两个不同的值C．有三个不同的值D．有三个以上不同的值同类题型1.2 已知：如图△ABC的顶点坐标分别为A（－4，－3），B（0，－3），C（－2，1），如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，若设△ABC的面积为S1，△AB1C的面积为S2，则S1，S2的大小关系为（）A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定例2．如图，P是等边△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转60°到BP′，已知∠AP′B＝150°，P′A：P′C＝2：3，则PB：P′A是（）A． 2 ：1 B．2：1 C． 5 ：2 D． 3 ：1同类题型2.1 如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB＋DA，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个同类题型2.2 如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C 重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN 2＋CM2＝MN2；⑤若AB＝2，则S△OMN的最小值是12，其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5同类题型2.3 在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，使点B在直线CD上，连接OD交AB于点M，直线CD的解析式为__________．同类题型2.4 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连结CE，CF，若∠CEF＝α，∠CFE＝β，则tanα﹒tanβ＝___________．同类题型2.5 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC 的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是_____．同类题型2.6 如图1，一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF＝12，点G 为边EF 的中点，边FD 与AB 相交于点H ，如图2，将三角板DEF 绕点G 按顺时针方向旋转到60°的过程中，BH 的最大值是_________，点H 运动的路径长是_________．例3．如图，折叠菱形纸片ABCD ，使得AD 的对应边A 1D 1 过点C ，EF 为折痕，若∠B ＝60°，当A 1 E ⊥AB 时，BE AE的值等于（ ） A ．36B ．3－16C ．3＋18D ．3－12同类题型3.1 如图，正方形ABCD 中，AD ＝4，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥ED ，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ，将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFM ，连接DM ，交EF 于点N ，若点F 是AB 边的中点，则△EMN 的周长是_____________．同类题型3.2 如图，∠MON ＝40°，点P 是∠MON 内的定点，点A 、B 分别在OM ，ON 上移动，当△PAB 周长最小时，则∠APB 的度数为（ ） A ．20° B ．40° C ．100° D ．140°同类题型3.3 如图，矩形纸片ABCD 中，G 、F 分别为AD 、BC 的中点，将纸片折叠，使D 点落在GF 上，得到△HAE ，再过H 点折叠纸片，使B 点落在直线AB 上，折痕为PQ ．连接AF 、EF ，已知HE ＝HF ，下列结论：①△MEH 为等边三角形；②AE ⊥EF ；③△PHE ∽△HAE ；④AD AB ＝ 2 35，其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④同类题型3.4 △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AE D ．连CE ，则线段CE 的长等于_______．专题08 几何变换问题例1．如图，斜边长12cm ，∠A ＝30°的直角三角尺ABC 绕点C 顺时针方向旋转90°至△A ′B ′C 的位置，再沿CB 向左平移使点B ′落在原三角尺ABC 的斜边AB 上，则三角尺向左平移的距离为______________．（结果保留根号）解：如图：连接B ′B ″，∵在Rt △ABC 中，AB ＝12，∠A ＝30°，∴BC ＝12AB ＝6，AC ＝6 3 ，∴B ′C ＝6，∴AB ′＝AC －B ′C ＝6 3 －6， ∵B ′C ∥B ″C ″，B ′C ＝B ″C ″， ∴四边形B ″C ″CB ′是矩形， ∴B ″B ′∥BC ，B ″B ′＝C ″C ， ∴△AB ″B ′∽△ABC ， ∴AB ′AC ＝B ″B ′BC，即：63－663＝B ″B ′6 ，解得：B ″B ′＝6－2 3 ．∴C ″C ＝B ″B ′＝6－2 3 ．同类题型1.1 把图中的一个三角形先横向平移x 格，再纵向平移y 格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形，那么x ＋y （ ） A ．是一个确定的值 B ．有两个不同的值 C ．有三个不同的值 D ．有三个以上不同的值解：（1）当两斜边重合的时候可组成一个矩形，此时x ＝2，y ＝3， x ＋y ＝5；（2）当两直角边重合时有两种情况，①短边重合，此时x ＝2，y ＝3，x ＋y ＝5； ②长边重合，此时x ＝2，y ＝5，x ＋y ＝7． 综上可得：x ＋y ＝5或7．选B ．同类题型1.2 已知：如图△ABC 的顶点坐标分别为A （－4，－3），B （0，－3），C （－2，1），如将B 点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B 1 点，若设△ABC 的面积为S 1 ，△AB 1 C 的面积为S 2 ，则S 1 ，S 2 的大小关系为（ ） A ．S 1＞S 2 B ．S 1＝S 2 C ．S 1＜S 2 D ．不能确定解：△ABC 的面积为S 1＝12×4×4＝8，将B 点平移后得到B 1 点的坐标是（2，1），所以△AB 1 C 的面积为S 2＝12×4×4＝8，所以S 1＝S 2 ． 选B ．同类题型1.3 同类题型1.4例2． 如图，P 是等边△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转60°到BP ′，已知∠AP ′B ＝150°，P ′A ：P ′C ＝2：3，则PB ：P ′A 是（ ） A ． 2 ：1 B ．2：1 C ． 5 ：2 D ． 3 ：1解：如图，连接AP ，∵BP 绕点B 顺时针旋转60°到BP ′，∴BP ＝BP ′，∠ABP ＋∠ABP ′＝60°， 又∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∠CBP ′＋∠ABP ′＝60°， ∴∠ABP ＝∠CBP ′， 在△ABP 和△CBP ′中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧BP ＝BP ′∠ABP ＝∠CBP ′AB ＝BC ， ∴△ABP ≌△CBP ′（SAS ）， ∴AP ＝P ′C ，∵P ′A ：P ′C ＝2：3，∴AP ＝32P ′A ，连接PP ′，则△PBP ′是等边三角形，∴∠BP ′P ＝60°，PP ′＝PB ， ∵∠AP ′B ＝150°，∴∠AP ′P ＝150°－60°＝90°， ∴△APP ′是直角三角形，设P ′A ＝x ，则AP ＝32 x ，根据勾股定理，PP ′＝AP 2－P ′A 2＝94x 2－x 2＝52x ， 则PB ＝52x ， ∴PB ：P ′A ＝52x ：x ＝ 5 ：2． 选C ．同类题型2.1 如图，△ABC 为等边三角形，以AB 为边向形外作△ABD ，使∠ADB ＝120°，再以点C 为旋转中心把△CBD 旋转到△CAE ，则下列结论：①D 、A 、E 三点共线；②DC 平分∠BDA ；③∠E ＝∠BAC ；④DC ＝DB ＋DA ，其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解：①设∠1＝x 度，则∠2＝（60－x ）度，∠DBC ＝（x ＋60）度，故∠4＝（x ＋60）度， ∴∠2＋∠3＋∠4＝60－x ＋60＋x ＋60＝180度， ∴D 、A 、E 三点共线；②∵△BCD 绕着点C 按顺时针方向旋转60°得到△ACE ， ∴CD ＝CE ，∠DCE ＝60°， ∴△CDE 为等边三角形， ∴∠E ＝60°，∴∠BDC ＝∠E ＝60°，∴∠CDA ＝120°－60°＝60°， ∴DC 平分∠BDA ； ③∵∠BAC ＝60°， ∠E ＝60°， ∴∠E ＝∠BA C ．④由旋转可知AE ＝BD ， 又∵∠DAE ＝180°， ∴DE ＝AE ＋A D ．∵△CDE 为等边三角形， ∴DC ＝DB ＋B A ．同类题型2.2 如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是BC 边上的动点（点M 不与B ，C重合），CN ⊥DM ，CN 与AB 交于点N ，连接OM ，ON ，MN ．下列五个结论：①△CNB ≌△DMC ；②△CON ≌△DOM ；③△OMN ∽△OAD ；④AN 2＋CM 2＝MN 2；⑤若AB ＝2，则S △OMN 的最小值是12，其中正确结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5解：∵正方形ABCD 中，CD ＝BC ，∠BCD ＝90°， ∴∠BCN ＋∠DCN ＝90°， 又∵CN ⊥DM ，∴∠CDM ＋∠DCN ＝90°， ∴∠BCN ＝∠CDM ，又∵∠CBN ＝∠DCM ＝90°， ∴△CNB ≌△DMC （ASA ），故①正确；根据△CNB ≌△DMC ，可得CM ＝BN ， 又∵∠OCM ＝∠OBN ＝45°，OC ＝OB ， ∴△OCM ≌△OBN （SAS ）， ∴OM ＝ON ，∠COM ＝∠BON ，∴∠DOC ＋∠COM ＝∠COB ＋∠BPN ，即∠DOM ＝∠CON ， 又∵DO ＝CO ，∴△CON ≌△DOM （SAS ），故②正确； ∵∠BON ＋∠BOM ＝∠COM ＋∠BOM ＝90°，∴∠MON ＝90°，即△MON 是等腰直角三角形， 又∵△AOD 是等腰直角三角形， ∴△OMN ∽△OAD ，故③正确； ∵AB ＝BC ，CM ＝BN ， ∴BM ＝AN ，又∵Rt △BMN 中，BM 2＋BN 2＝MN 2，∴AN 2＋CM 2＝MN 2，故④正确； ∵△OCM ≌△OBN ，∴四边形BMON 的面积＝△BOC 的面积＝1，即四边形BMON 的面积是定值1， ∴当△MNB 的面积最大时，△MNO 的面积最小， 设BN ＝x ＝CM ，则BM ＝2－x ，∴△MNB 的面积＝12x （2－x ）＝－12x 2＋x ，∴当x ＝1时，△MNB 的面积有最大值12，此时S △OMN 的最小值是1-12=12，故⑤正确；综上所述，正确结论的个数是5个， 选D ．同类题型2.3 在平面直角坐标系中，已知点A （3，0），B （0，4），将△BOA 绕点A 按顺时针方向旋转得△CDA ，使点B 在直线CD 上，连接OD 交AB 于点M ，直线CD 的解析式为__________．解：∵△BOA 绕点A 按顺时针方向旋转得△CDA ，∴△BOA ≌△CDA ， ∴AB ＝AC ，OA ＝AD ，∵B 、D 、C 共线，AD ⊥BC ， ∴BD ＝CD ＝OB ，∵OA ＝AD ，BO ＝CD ＝BD ， ∴OD ⊥AB ，设直线AB 解析式为y ＝kx ＋b ，把A 与B 坐标代入得：⎩⎨⎧3k ＋b ＝0b ＝4，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43b ＝4，∴直线AB 解析式为y ＝－43 x ＋4，∴直线OD 解析式为y ＝34 x ，联立得：⎩⎨⎧y ＝－43x ＋4y ＝34x ，解得：⎩⎨⎧x ＝4825y ＝3625，即M （4825 ，3625 ），∵M 为线段OD 的中点，∴D （9625 ，7225），设直线CD 解析式为y ＝mx ＋n ，把B 与D 坐标代入得：⎩⎪⎨⎪⎧9625m ＋n ＝7225n ＝4，解得：m ＝－724，n ＝4，则直线CD 解析式为y ＝－724x ＋4．同类题型2.4 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形GBEF ，点A 落在矩形ABCD 的边CD 上，连结CE ，CF ，若∠CEF ＝α，∠CFE ＝β，则tan α﹒tan β＝___________．解：过C 点作MN ⊥BF ，交BG 于M ，交EF 于N ，由旋转变换的性质可知，∠ABG ＝∠CBE ，BA ＝BG ＝5，BC ＝BE ＝3，由勾股定理得，CG ＝BG 2＋DG 2＝4， ∴DG ＝DC －CG ＝1，则AG ＝AD 2＋DG 2＝10 ，∵BA BC ＝BGBE，∠ABG ＝∠CBE ， ∴△ABG ∽△CBE ， ∴CE AG ＝BC AB ＝35， 解得，CE ＝3105，∵∠MBC ＝∠CBG ，∠BMC ＝∠BCG ＝90°， ∴△BCM ∽△BGC ， ∴CM CG ＝BC BG ，即CM 4＝35， ∴CM ＝125，∴MN ＝BE ＝3，∴CN ＝3－125＝35 ，∴EN ＝CE 2－CN 2＝95，∴FN ＝EF －EN ＝5－95＝165，∴tan α﹒tan β＝CN EN ﹒CN FN ＝3595×35165＝116．同类题型2.5 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A ′B ′C ，M 是BC 的中点，P 是A ′B ′的中点，连接PM ，若BC ＝2，∠BAC ＝30°，则线段PM 的最大值是_____．解：如图连接P C ．在Rt △ABC 中，∵∠A ＝30°，BC ＝2， ∴AB ＝4，根据旋转不变性可知，A ′B ′＝AB ＝4， ∴A ′P ＝PB ′，∴PC ＝12A ′B ′＝2，∵CM ＝BM ＝1，又∵PM ≤PC ＋CM ，即PM ≤3，∴PM 的最大值为3（此时P 、C 、M 共线）．同类题型2.6 如图1，一副含30°和45°角的三角板ABC 和DEF 叠合在一起，边BC 与EF 重合，BC ＝EF ＝12，点G 为边EF 的中点，边FD 与AB 相交于点H ，如图2，将三角板DEF 绕点G 按顺时针方向旋转到60°的过程中，BH 的最大值是_________，点H 运动的路径长是_________．解：如图1中，作HM ⊥BC 于M ，设HM ＝a ，则CM ＝HM ＝a ．在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，BC ＝12，在Rt △BHM 中，BH ＝2HM ＝2a ，BM ＝ 3 a ，∵BM ＋FM ＝BC ， ∴ 3 a ＋a ＝12，∴a ＝6 3 －6，∴BH ＝2a ＝12 3 －12．如图2中，当DG ⊥AB 时，易证GH 1 ⊥DF ，此时BH 1 的值最小，易知BH 1＝BK ＋KH 1＝3 3 ＋3，∴HH 1＝BH －BH 1＝9 3 －15，当旋转角为60°时，F 与H 2 重合，此时BH 的值最大，易知最大值BH 2＝6 3 ，观察图象可知，在∠CGF 从0°到60°的变化过程中，点H 相应移动的路径长＝2HH 1＋HH 2＝18 3－30＋[6 3－（12 3－12）]＝12 3 －18．例3．如图，折叠菱形纸片ABCD ，使得AD 的对应边A 1D 1 过点C ，EF 为折痕，若∠B ＝60°，当A 1 E ⊥AB 时，BE AE的值等于（ ）A ．36B ．3－16C ．3＋18D ．3－12解：如图所示，延长AB ，D 1A 1 交于点G ，∵A 1 E ⊥AB ，∠EA 1 C ＝∠A ＝120°，∴∠G ＝120°－90°＝30°，又∵∠ABC ＝60°，∴∠BCG ＝60°－30°＝30°，∴∠G ＝∠BCG ＝30°，∴BC ＝BG ＝BA ，设BE ＝1，AE ＝x ＝A 1 E ，则AB ＝1＋x ＝BC ＝BG ，A 1 G ＝2x ，∴GE ＝1＋x ＋1＝x ＋2，∵Rt △A 1 GE 中，A 1E 2＋GE 2＝A 1G 2 ，∴x 2＋（x ＋2）2＝（2x ）2 ，解得x ＝1＋ 3 ，（负值已舍去）∴AE ＝1＋ 3 ， ∴BE AE ＝11＋3＝3－12， 选D ．同类题型3.1 如图，正方形ABCD 中，AD ＝4，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥ED ，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ，将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFM ，连接DM ，交EF 于点N ，若点F 是AB 边的中点，则△EMN 的周长是_____________．解：解法一：如图1，过E 作PQ ⊥DC ，交DC 于P ，交AB 于Q ，连接BE ，∵DC ∥AB ，∴PQ ⊥AB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ACD ＝45°，∴△PEC 是等腰直角三角形，∴PE ＝PC ，设PC ＝x ，则PE ＝x ，PD ＝4－x ，EQ ＝4－x ，∴PD ＝EQ ，∵∠DPE ＝∠EQF ＝90°，∠PED ＝∠EFQ ，∴△DPE ≌△EQF ，∴DE ＝EF ，∵DE ⊥EF ，∴△DEF 是等腰直角三角形，易证明△DEC ≌△BEC ，∴DE ＝BE ，∴EF ＝BE ，∵EQ ⊥FB ，∴FQ ＝BQ ＝12BF ， ∵AB ＝4，F 是AB 的中点，∴BF ＝2，∴FQ ＝BQ ＝PE ＝1，∴CE ＝ 2 ，PD ＝4－1＝3，Rt △DAF 中，DF ＝42＋22＝2 5 ，DE ＝EF ＝10 ，如图2，∵DC ∥AB ，∴△DGC ∽△FGA ，∴CG AG ＝DC AF ＝DG FG ＝42＝2， ∴CG ＝2AG ，DG ＝2FG ，∴FG ＝13×25＝253， ∵AC ＝42＋42＝4 2 ，∴CG ＝23×42＝823， ∴EG ＝823－2＝523， 连接GM 、GN ，交EF 于H ，∵∠GFE ＝45°，∴△GHF 是等腰直角三角形，∴GH ＝FH ＝2532＝103 ， ∴EH ＝EF －FH ＝10－103＝2103，由折叠得：GM ⊥EF ，MH＝GH ＝103， ∴∠EHM ＝∠DEF ＝90°，∴DE ∥HM ，∴△DEN ∽△MNH ， ∴DE MH ＝EN NH， ∴10103＝EN NH ＝3， ∴EN ＝3NH ，∵EN ＋NH ═EH ＝2103， ∴EN ＝102， ∴NH ＝EH －EN ＝2103－102＝106， Rt △GNH 中，GN ＝GH 2＋NH 2＝(103)2＋(106)2＝526， 由折叠得：MN ＝GN ，EM ＝EG ，∴△EMN 的周长＝EN ＋MN ＋EM ＝102＋526＋523＝52＋102； 解法二：如图3，过G 作GK ⊥AD 于K ，作GR ⊥AB 于R ，∵AC 平分∠DAB ，∴GK ＝GR ，∴S △ADG S △AGF ＝12AD ﹒KG 12AF ﹒GR ＝AD AF ＝42 ＝2， ∵S △ADG S △AGF ＝12DG ﹒h12GF ﹒h ＝2， ∴DG GF＝2， 同理，S △DNF S △MNF ＝DF FM ＝DN MN ＝3， 其它解法同解法一，可得：∴△EMN 的周长＝EN ＋MN ＋EM ＝102＋526＋523＝52＋102； 解法三：如图4，过E 作EP ⊥AP ，EQ ⊥AD ，∵AC 是对角线，∴EP ＝EQ ，易证△DQE 和△FPE 全等，∴DE ＝EF ，DQ ＝FP ，且AP ＝EP ，设EP ＝x ，则DQ ＝4－x ＝FP ＝x －2，解得x ＝3，所以PF ＝1，∴AE ＝32＋32＝3 2 ，∵DC ∥AB ，∴△DGC ∽△FGA ，∴同解法一得：CG ＝23×42＝823， ∴EG ＝823－2＝523， AG ＝13AC ＝423， 过G 作GH ⊥AB ，过M 作MK ⊥AB ，过M 作ML ⊥AD ，则易证△GHF ≌△FKM 全等，∴GH ＝FK ＝43 ，HF ＝MK ＝23， ∵ML ＝AK ＝AF ＋FK ＝2＋43＝103 ，DL ＝AD －MK ＝4－23＝103， 即DL ＝LM ，∴∠LDM ＝45°∴DM 在正方形对角线DB 上，过N 作NI ⊥AB ，则NI ＝IB ，设NI ＝y ，∵NI ∥EP ∴NI EP ＝FI FP ∴y 3＝2－y1， 解得y ＝1.5，所以FI ＝2－y ＝0.5，∴I 为FP 的中点，∴N 是EF 的中点，∴EN ＝0.5EF ＝102， ∵△BIN 是等腰直角三角形，且BI ＝NI ＝1.5，∴BN ＝32 2 ，BK ＝AB －AK ＝4－103＝23 ，BM ＝23 2 ，MN ＝BN －BM ＝322－232＝562 ，∴△EMN 的周长＝EN ＋MN ＋EM ＝102＋526＋523＝52＋102．同类题型3.2 如图，∠MON ＝40°，点P 是∠MON 内的定点，点A 、B 分别在OM ，ON 上移动，当△PAB 周长最小时，则∠APB 的度数为（ ）A ．20°B ．40°C ．100°D ．140°解：如图所示：分别作点P 关于OM 、ON 的对称点P ′、P ″，连接OP ′、OP ″、P ′P ″，P ′P ″交OM 、ON 于点A 、B ， 连接PA 、PB ，此时△PAB 周长的最小值等于P ′P ″．如图所示：由轴对称性质可得，OP ′＝OP ″＝OP ，∠P ′OA ＝∠POA ，∠P ″OB ＝∠POB ，所以∠P ′OP ″＝2∠MON ＝2×40°＝80°，所以∠OP ′P ″＝∠OP ″P ′＝（180°－80°）÷2＝50°，又因为∠BPO ＝∠OP ″B ＝50°，∠APO ＝∠AP ′O ＝50°， 所以∠APB ＝∠APO ＋∠BPO ＝100°．选C ．同类题型3.3 如图，矩形纸片ABCD 中，G 、F 分别为AD 、BC 的中点，将纸片折叠，使D 点落在GF 上，得到△HAE ，再过H 点折叠纸片，使B 点落在直线AB 上，折痕为PQ ．连接AF 、EF ，已知HE ＝HF ，下列结论：①△MEH 为等边三角形；②AE ⊥EF ；③△PHE ∽△HAE ；④AD AB ＝ 2 35，其中正确的结论是（ ） A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．①②③④解：∵矩形纸片ABCD 中，G 、F 分别为AD 、BC 的中点，∴GF ⊥AD ，由折叠可得，AH ＝AD ＝2AG ，∠AHE ＝∠D ＝90°，∴∠AHG ＝30°，∠EHM ＝90°－30°＝60°，∴∠HAG ＝60°＝∠AED ＝∠MEH ，∴△EHM 中，∠EMH ＝60°＝∠EHM ＝∠MEH ，∴△MEH 为等边三角形，故①正确；∵∠EHM ＝60°，HE ＝HF ，∴∠HEF ＝30°，∴∠FEM ＝60°＋30°＝90°，即AE ⊥EF ，故②正确；∵∠PEH ＝∠MHE ＝60°＝∠HEA ，∠EPH ＝∠EHA ＝90°，∴△PHE ∽△HAE ，故③正确；设AD ＝2＝AH ，则AG ＝1，∴Rt △AGH 中，GH=3AG= 3 ，Rt △AEH 中，EH=AH 3=233 ＝HF ， ∴GF=533 ＝AB ， ∴AD AB =2533=235 ，故④正确， 综上所述，正确的结论是①②③④，选D ．同类题型3.4 △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AE D ．连CE ，则线段CE 的长等于_______．解：如图连接BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∵AC ＝4，AB ＝3，∴BC ＝32＋42 ＝5，∵CD ＝DB ，∴AD ＝DC ＝DB ＝52 ， ∵12﹒BC ﹒AH ＝12﹒AB ﹒AC ， ∴AH ＝125， ∵AE ＝AB ，DE ＝DB ＝DC ，∴AD 垂直平分线段BE ，△BCE 是直角三角形，∵12﹒AD ﹒BO ＝12﹒BD ﹒AH ， ∴OB ＝125， ∴BE ＝2OB ＝245， 在Rt △BCE 中，EC ＝BC 2－BE 2＝75．。
2019年中考数学专题复习31——几何变换(含答案解析)
2019年中考数学专题复习31——几何变换（含答案解析）一、选择题1. 观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有A. 个B. 个C. 个D. 个2. 把沿方向平移，得到，随着平移距离的不断增大，的面积大小变化情况是A. 增大B. 减小C. 不变D. 不确定3. 如图，在的网格中，将左上方的正方形平移到右下方（规定只能向右、向下平移），共有种方法．A. B. C. D.4. 如图，将周长为的沿方向向右平移个单位得到，则四边形的周长为A. B. C. D.5. 下列图形中是中心对称图形的有个．A. B. C. D.6. 如图，将三角尺（其中，）绕点按顺时针方向转动一个角度到的位置，使得点，，在同一条直线上，那么这个角度等于A. B. C. D.7. 如图，将边长为的正方形纸片沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分（见图中阴影）的面积为，则它移动的距离等于或或8. 如图，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在处，折痕为，若，，则和的周长之和为A. B. C. D.9. 如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则的大小是A. B. C. D.10. 如图，将绕点按顺时针方向旋转至，使点落在的延长线上．已知，，则的度数是A. B. C. D.11. 如图，把放在直角坐标系内，其中，，点，的坐标分别为，．将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为A. B. C. D.12. 如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则等于A. B. C. D.二、填空题13. 如图，将沿方向平移得到，如果四边形的周长是，则的周长是．14. 如图，中，，将沿方向平移至的位置时，恰好经过的中点，则平移的距离为．15. 如图，平移可得到，如果，，，那么度，．16. 如图，边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为．17. 如图，在中，．将绕着点顺时针旋转一定角度得到，使点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是度．18. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，交于，若图中阴影部分面积为，则的长为．19. 如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，的长为．20. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点，，点是对角线上一个动点，，当最短时，点的坐标为．21. 如图在坐标系中放置一菱形，已知，．先将菱形沿轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转次，点的落点依次为，，，，则的坐标为．22. 如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是．23. 如图所示，直线与，轴分别交于，两点，以为边在轴右侧作等边三角形，将点向左平移，使其对应点恰好落在直线上，则点的坐标为．24. 如图，正方形的边长为，点为边的中点，点在对角线上移动，则的最小值是．三、解答题25. 如图，在边长为个单位长度的小正方形格中，给出了（顶点是格线的交点）．（1）请画出关于直线对称的；（2）将线段向左平移个单位，再向下平移个单位，画出平移得到的线段，并以它为一边作一个格点，使．26. 正方形的边长为，，分别是，边上的点，且．将绕点逆时针旋转，得到．（1）求证：（2）当时，求的长．27. 问题原型：如图①，在等腰直角三角形中，．将绕点顺时针旋转得到线段，连接，过点作的边上的高．易证，从而得到的面积为．（1）初步探究：如图②，在中，，，将边绕到点顺时针旋转得到线段，连接，用含的代数式表示的面积，并说明理由．（2）简单应用：如图③，在等腰三角形中，，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接．直接写出的面积（用含的代数式表示）．28. 在中，为锐角．点为线段上一动点（与点不重合），连接，以为一边在的右侧作正方形．（1）【操作发现】如图①，若，．请直接写出线段和的位置关系和数量关系；（2）【猜想论证】如图②，若，．试探究当时，【操作发现】中线段和之间的位置关系的结论是否成立，并证明你的判断．29. 已知，是等腰三角形，．（1）当，时，①特殊情形：如图①，若点，分别在边，上，则，（填“”、“”或“”）．②发现探究：如图②，将图①中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，①中的结论还成立吗?若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（2）拓展运用：如图③，点在内部，，且，，，则的大小为度．30. 已知，如图，把一个含角的三角板的锐角顶点与正方形的顶点重合，然后将三角板绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，．（1）如图，当三角板绕点旋转到如图位置时，证明：；（2）当三角板绕点旋转到如图的位置时，线段，和之间有怎样的等量关系?请直接写出你的猜想．31. 在正方形中，点是对角线上的动点（与点，不重合），连接．（1）将射线绕点顺时针旋转，交直线于点．①依题意补全图；②小研通过观察、实验，发现线段，，存在以下数量关系：与的平方和等于的平方．小研把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法：想法：将线段绕点逆时针旋转，得到线段，要证，，的关系，只需证，，的关系．想法：将沿翻折，得到，要证，，的关系，只需证，，的关系．请你参考上面的想法，用等式表示线段，，的数量关系并证明；（一种方法即可）（2）如图，若将直线绕点顺时针旋转，交直线于点．小研完成作图后，发现直线上存在三条线段（不添加辅助线）满足：其中两条线段的平方和等于第三条线段的平方，请直接用等式表示这三条线段的数量关系．32. 问题：如图1，点，分别在正方形的边，上，，试判断，，之间的数量关系．（1）【发现证明】小聪把绕点逆时针旋转至，从而发现，请你利用图 1证明上述结论．（2）【类比引申】如图2，四边形中，，，，点，分别在边，上，则当与满足关系时，仍有．（3）【探究应用】如图3，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形．已知米，，，，道路，上分别有景点，，且，米，现要在，之间修一条笔直道路，求这条道路的长．（结果取整数，参考数据：，）33. 两个三角板，，按如图所示的位置摆放，点与点重合，边与边在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，，，．现固定三角板，将三角板沿射线方向平移，当点落在边上时停止运动．设三角板平移的距离为，两个三角板重叠部分的面积为．（1）当点落在边上时，；（2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）设边的中点为点，边的中点为点．直接写出在三角板平移过程中，点与点之间距离的最小值．34. 在锐角中，，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到．（1）如图，当点在线段的延长线上时，求的度数．（2）如图，连接，，若的面积为，求的面积．（3）如图，点为线段中点，点是线段上的动点，在绕点按逆时针方向旋转的过程中，点的对应点是点，求线段长度的最大值与最小值．35. 将两种完全相同的平行四边形纸片按如图1所示放置（其中点在上，点在上，，，），平行四边形固定不动，将平行四边形绕点顺时针旋转，旋转角为（）．（1）如图1，连接，求的长．（2）如图2，当平行四边形绕点B旋转到点与点重合时，与相交于点，与相交于点，求证：四边形是菱形．（3）如图3，在旋转过程中，当旋转角为多少度时，以点，，，为顶点的四边形是正方形?是矩形?请给予证明．36. 如图①，在中，，，，点，分别是线段，的中点，连接．（1）说明线段与的位置关系和数量关系；（2）如图②，当绕点顺时针旋转时，连接，，（1）中的结论是否仍然成立?如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图③，当绕点顺时针旋转时，延长交于点，如果，求旋转角的度数．答案第一部分1. B2. C3. C4. B5. B6. A7. D8. C 【解析】有题意可知：，，，9. D10. A11. C 【解析】如图所示．点，的坐标分别为，，．，，．．点在直线上，，解得，即．．．即线段扫过的面积为．12. A 【解析】，.由折叠的性质知，，．故等于．第二部分13.14.15. ，16.17.19. 或【解析】分类讨论，①当时，可知，则；②当时，如图所示可知、、共线，借助勾股定理可知，，利用．从而求出．20.【解析】根据菱形的性质，点关于的对称点为点，连接，交于点．，，，直线的解析式为，直线的解析式为．联立两直线求得点．21.【解析】连接，可得是等边三角形，画出第次、第次、第次翻转后的图形，由图可知：每翻转次，图形向右平移．因，故点向右平移（即）到点．由图可得，所以．22.【解析】当时，，．是等边三角形，点的坐标为，点的纵坐标为，由，解得，点的坐标为．24.【解析】如图，连接，点关于的对称点为点，，根据两点之间线段最短可得就是的最小值，正方形的边长为，是边的中点，，．第三部分25. （1）如图所示：，即为所求．（2）如图所示：，即为所求．26. （1）逆时针旋转得到，，，．，．，，．（2）设，，则．，在中，由勾股定理得即，解得．27. （1）的面积为．理由：如图②，过点作的垂线，与的反向延长线交于点．．线段绕点顺时针旋转得到线段，，，．．．在和中，，．，．（2）的面积为．【解析】如图③，过作于点，过点作的反向延长线于点，，．．，，．线段是由线段旋转得到的，．在和中，，．，．的面积为．28. （1）垂直；相等（2）成立．如图，过作于，于，四边形是正方形，，．．易证．．，为等腰直角三角形．，．，，．四边形为平行四边形．，四边形为矩形．．．29. （1）①②成立．证明如下：，．，在和中，，．（2）30. （1）如图，在的延长线上截取，连接．四边形为正方形，，．在和中，．，．，，，．．在和中，，．，即．（2）猜想：线段，和之间的等量关系为：．31. （1）①依题意补全图形，如图．②线段，，的数量关系为：．证法一：过点作于点且，连接，，如图．四边形是正方形，，，．，．又，．．，，．又，，．，．．在中，．．【解析】证法二：作，且，连接，，如图．又，．，．四边形是正方形，，，．．．又，．，．．在中，．．（2）用等式表示这三条线段的数量关系：．32. （1），，，．，即，，在和中，（）．．，，．（2）【解析】理由如下：延长至，使，连接．，，．在和中，（），，．，，，在和中，（），，即．（3）如图，把绕点逆时针旋转至，连接．过作于点．，，．，是等边三角形，米．根据旋转的性质得到．，，即点在的延长线上．易得，，，．，，，，，．，．在和中，（）．．，，（米），即这条道路的长约为米．33. （1）【解析】如下图中长即为的值．（2）当时，如图①所示．，，．当时，如图②所示．，，．．当时，如图③所示．，．．综上所述，（3）．【解析】如图，为平移过程中中点的路径，由平移可知停止运动时，恰好，设与交于点，则即为所求．34. （1）由旋转的性质可得：，，所以，所以．（2）因为，所以，，，所以，，所以，所以，所以，因为，所以．（3）①如图，过点作，为垂足，因为为锐角三角形，所以点在线段上，在中，，当在上运动，与垂直的时候，绕点旋转，使点的对应点在线段上时，最小，最小值为：；②当在上运动至点，绕点旋转，使点的对应点在线段的延长线上时，如图，最大，最大值为：．35. （1）如图，连接，过点作于点．四边形和四边形是平行四边形．，．四边形是平行四边形．，四边形是菱形．是等边三角形．，，．在中，．（2）四边形和四边形是平行四边形，，．四边形是平行四边形．，，，．．四边形是菱形．（3）①当旋转角为时，四边形是正方形．连接，，，．，，．．．，．过点作于点．在中，，，．．．．四边形是平行四边形．，，四边形是正方形．②当旋转角为时，四边形是矩形．，点与点重合，．，．四边形和四边形是平行四边形，，，，．，．四边形是平行四边形．，四边形是矩形．36. （1），；理由如下：在中，，，，，点，分别是线段，的中点，，，，，．（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：点，分别是线段，的中点，，，，，，，，延长交于点，交于点，如图2所示：，，，．（3），，，，，，过点作于点，如图 3 所示：，，又，，，，．。
2019中考数学专题复习 几何变换几何综合题 解析版
几何变换几何综合题1．（1）【问题发现】如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．填空：①线段CF与DG的数量关系为；②直线CF与DC所夹锐角的度数为．（2）【拓展探究】如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．（3【解决问题】如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC 的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为（直接写出结果）．2．在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：已知C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边△ACE和△BCD，连接AD、BE交于点P．（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD与BE的数量关系：．（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面（1）中的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请写出∠APE的度数，不必说明理由．（3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形∠ABF，连接AD、BE和CF交于点P．求证：PA+PB+PC＝BE．若∠ABC＝60°，AB＝6，BC＝4试求PA+PB+PC的值，只需直接写出结果．3．（1）如图1，在△ABC和△ECD是等边△，则BE、AD之间的数量关系为；∠DFE度数为；请用旋转的性质说明上述关系成立的理由．（2）如图2，在△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠CED＝90°，M是CD的中点，连AM、BE交于F点，则BE、AM之间的数量关系为；∠MFE度数是；（3）如图3，在△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠CED＝90°，N是BD的中点，连AN、NB，则AN、NE有何关系并证明你的结论．4．△ABC与△CDE是共顶点的等边三角形．直线BE与直线AD交于点M，点D、E不在△ABC的边上．（1）当点E在△ABC外部时（如图1），写出AD与BE的数量关系．（2）若CD＜BC，将△CDE绕着点C逆时针旋转，使得点E由△ABC的外部运动到△ABC的内部（如图2）．在这个运动过程中，∠AMB的大小是否发生变化？若不变，在图2的情况下求出∠AMB的度数，若变化，说明理由．（3）如图3，当B、C、D三点在同一条直线上，且BC＝CD时，写出BM，ME与BC之间的数量关系．5．阅读材料：如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，可以证明△ACD≌△BCE，则AD＝BE．解决问题：（1）将图1中的△CDE绕点C旋转到图2，猜想此时线段AD与BE的数量关系，并证明你的结论．（2）如图2，连接BD，若AC＝2cm，CE＝1cm，现将△CDE绕点C继续旋转，则在旋转过程中，△BDE的面积是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．（3）如图3，在△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△DCE绕点C按顺时针方向旋转得到三角形CD′E′（使∠ACD′＜180°），连接BE′，AD′，设AD′分别交BC、BE′于O、F，若△ABC满足∠ACB＝60°，BC＝，AC＝，①求的值及∠BFA的度数；②若D为AC的中点，求△AOC面积的最大值．6．（1）问题发现如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B、D、E在同一直线上，连接AE．填空：①∠AEC的度数为；②线段AE、BD之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接AE．试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BM之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，点P在以AC为直径的半圆上，AP＝1，①∠DPC＝°；②请直接写出点D到PC的距离为．7．（1）问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，则线段AE、BD的数量关系为，AE、BD所在直线的位置关系为；（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，已知△ABC中，AB＝7，BC＝3，∠ABC＝45°，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠CAD＝90°，AC＝AD，连接BD，则BD的长为．8．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD．则①∠BEC＝°；②线段AD、BE之间的数量关系是．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度．（3）探究发现：如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC＝150°，且∠APD＝30°，AP＝5，CP＝4，DP＝8，求BD的长．9．（1）问题发现如图1，△ABC和△BDE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接CD．填空；①∠CDB的度数为；②线段AE，CD之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°，点A，D，E在同一直线上，BF为△DBE中DE边上的高，连接CD．①求∠CDB的大小；②请判断线段BF，AD，CD之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，AC＝2，AE＝1，CE⊥AE于E，请补全图形，求点B到CE的距离．10．（1）问题发现如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE．请填空：①∠ACE的度数为；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在边BC上，连接CE．请判断∠ACE的度数及线段AC、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝2，CD＝1，AC与BD交于点E，请直接写出线段AC的长度．11．（1）问题发现：如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD、BE之间的数量关系是．（2）拓展探究：如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，且交BC于点F，连接BE．①请判断∠AEB的度数并说明理由；②若∠CAF＝∠BAF，BE＝2，试求△ABF的面积．12．（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD、BE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．13．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为；（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，平面上一动点P到点B的距离为3，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连DA，DB，PB，则BD是否有最大值和最小值，若有直接写出，若没有说明理由？14．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），点D，点E分别是AC，BC的中点，将△CDE绕点C逆时针旋转得到△CD′E′，及旋转角为α，连接AD′，BE′．（1）如图①，若0°＜α＜90°，当AD′∥CE′时，求α的大小；（2）如图②，若90°＜α＜180°，当点D′落在线段BE′上时，求sin∠CBE′的值；（3）若直线AD′与直线BE′相交于点P，求点P的横坐标m的取值范围（直接写出结果即可）．15．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8．（1）P为边BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）①如图1，当点E落在CD边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形（不写作法，保留作图痕迹，用2B铅笔加粗加黑）．并直接写出此时DE＝；②如图2，若点P为BC边的中点，连接CE，则CE与AP有何位置关系？请说明理由；（2）点Q为射线DC上的一个动点，将△ADQ沿AQ翻折，点D恰好落在直线BQ上的点D′处，则DQ＝；16．已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜边OB＝4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如题图1，连接BC．（1）求线段BC的长；（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M是线段OC的中点，点N是线段OB上的动点（不与点O重合），求△CMN 周长的最小值．17．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）如图1，若△ABC和△ADE是等腰三角形，求证：∠ABD＝∠ACE；（2）如图2，若∠ADE＝∠ABC＝30°，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）在（1）的条件下，AB＝6，AD＝4，若把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，请直接写出PB的长度．18．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是中线，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．（1）如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF（2）在∠EDF绕点D旋转过程中：①如图2，探究三条线段AB、CE、CF之间的数量关系，并说明理由；②如图3，过点D作DG⊥BC于点G．若CE＝4，CF＝2，求DN的长．19．感知：如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝m，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E，连接CD．（1）求证：△ACB≌△BED；（2）△BCD的面积为（用含m的式子表示）．拓展：如图②，在一般的Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝m，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，用含m的式子表示△BCD的面积，并说明理由．应用：如图③，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，则△BCD的面积为；若BC＝m，则△BCD的面积为（用含m的式子表示）．解析一．解答题（共14小题）1．（1）【问题发现】如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．填空：①线段CF与DG的数量关系为CF＝DG；②直线CF与DC所夹锐角的度数为45°．（2）【拓展探究】如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．（3【解决问题】如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC 的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为（直接写出结果）．【解答】解：（1）【问题发现】如图①中，①线段CF与DG的数量关系为CF＝DG；②直线CF与DC所夹锐角的度数为45°．理由：如图①中，连接AF．易证A，F，C三点共线．∵AF＝AG．AC＝AD，∴CF＝AC﹣AF＝（AD﹣AG）＝DG．故答案为CF＝DG，45°．（2）【拓展探究】结论不变．理由：连接AC，AF，延长CF交DG的延长线于点K，AG交FK于点O．∵∠CAD＝∠FAG＝45°，∴∠CAF＝∠DAG，∵AC＝AD，AF＝AG，∴＝＝，∴△CAF∽△DAG，∴＝＝，∠AFC＝∠AGD，∴CF＝DG，∠AFO＝∠OGK，∵∠AOF＝∠GOK，∴∠K＝∠FAO＝45°．（3）【解决问题】如图3中，连接EC．∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝45°，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝90°，∴点E的运动轨迹是在射线OE时，当OE⊥CE时，OE的长最短，易知OE的最小值为，故答案为，2．在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：已知C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边△ACE和△BCD，连接AD、BE交于点P．（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD与BE的数量关系：AD＝BE．（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面（1）中的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请写出∠APE的度数，不必说明理由．（3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形∠ABF，连接AD、BE和CF交于点P．求证：PA+PB+PC＝BE．若∠ABC＝60°，AB＝6，BC＝4试求PA+PB+PC的值，只需直接写出结果．【解答】解：（1）如图1，∵△ACE、△CBD均为等边三角形，∴AC＝EC，CD＝CB，∠ACE＝∠BCD，∴∠ACD＝∠ECB；在△ACD与△ECB中，，∴△ACD≌△ECB（SAS），∴AD＝BE，故答案为：AD＝BE．（2）AD＝BE成立，∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°．证明：∵△ACE和△BCD是等边三角形∴EC＝AC，BC＝DC，∠ACE＝∠BCD＝60°，∴∠ACE+∠ACB＝∠BCD+∠ACB，即∠ECB＝∠ACD；在△ECB和△ACD中，，∴△ECB≌△ACD（SAS），∴∠CEB＝∠CAD；如图2，设BE与AC交于Q，又∵∠AQP＝∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ＝∠EQC+∠CEQ+∠ECQ＝180°∴∠APQ＝∠ECQ＝60°，即∠APE＝60°．（3）由（2）同理可得∠CPE＝∠EAC＝60°；如图3，在PE上截取PH＝PC，连接HC，则△PCH为等边三角形，∴HC＝PC，∠CHP＝60°，∴∠CHE＝120°；又∵∠APE＝∠CPE＝60°，∴∠CPA＝120°，∴∠CPA＝∠CHE；在△CPA和△CHE中，，∴△CPA≌△CHE（AAS），∴AP＝EH，∴PB+PC+PA＝PB+PH+EH＝BE．若∠ABC＝60°，AB＝6，BC＝4，则PA+PB+PC＝2．理由：如图，过D作DG⊥AB，交AB的延长线于G，当∠ABC＝60°＝∠CBD时，将DBG＝60°，∴∠BDG＝30°，∴BG＝BD＝2，AG＝6+2＝8，DG＝2，∴Rt△ADG中，AD＝＝2，∴BE＝2，即PA+PB+PC的值为2．3．（1）如图1，在△ABC和△ECD是等边△，则BE、AD之间的数量关系为BE＝AD；∠DFE 度数为60°；请用旋转的性质说明上述关系成立的理由．（2）如图2，在△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠CED＝90°，M是CD的中点，连AM、BE交于F点，则BE、AM之间的数量关系为；∠MFE度数是45°；（3）如图3，在△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠CED＝90°，N是BD的中点，连AN、NB，则AN、NE有何关系并证明你的结论．【解答】解：（1）∵△ABC和△ECD是等边△，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝60°，∴△ACD是△BCE顺时针旋转60°来的，∴△ACD≌△BCE，∴BE＝AD，∴∠CAD＝∠CBE，∴∠DFE＝∠CAD+∠CEB＝∠CBE+∠CEF＝∠ACB＝60°；故答案为BE＝AD，∠DFE＝60°；（2）连接EM，则△CEM是等腰直角三角形，∴CE＝CM，∵∠ACB＝45°＝∠ECM，∴∠BCE＝∠ACM，∵BC＝AC，∴＝＝，∴△BCE∽△ACM，∴＝＝，∠CBE＝∠CAM，∵∠BFM＝∠BAF+∠ABF＝∠BAC+∠CAM+∠ABF＝90°+∠CBE+∠ABF＝90°+∠ABC＝135°，∴∠MFE＝45°；故答案为，45°；（3）取BC中点F，取CD中点M，连接MN，AF，NF，EM，∴NF，NM是△BCD的中位线，∴NF＝CD＝EM，NM＝BC＝AF，∵NF∥CD，NM∥BC，∴四边形NFCM是平行四边形，∴∠NFC＝∠NMC，∵∠AFC＝90°＝∠EMC，∴∠AFN＝∠EMN，∵在△AFN和△NME中，，∴△AFN≌△NME，（SAS）∴AN＝EN，∠NAF＝∠ENM，∵MN∥BC，AF⊥BC，∴MN⊥AF，∴∠NAF+∠ANM＝90°，∴∠ENM+∠ANM＝90°，即∠ANE＝90°，∴AN⊥EN．4．△ABC与△CDE是共顶点的等边三角形．直线BE与直线AD交于点M，点D、E不在△ABC的边上．（1）当点E在△ABC外部时（如图1），写出AD与BE的数量关系．（2）若CD＜BC，将△CDE绕着点C逆时针旋转，使得点E由△ABC的外部运动到△ABC的内部（如图2）．在这个运动过程中，∠AMB的大小是否发生变化？若不变，在图2的情况下求出∠AMB的度数，若变化，说明理由．（3）如图3，当B、C、D三点在同一条直线上，且BC＝CD时，写出BM，ME与BC之间的数量关系．【解答】解：（1）AD＝BE，理由：∵△ABC与△CDE是共顶点的等边三角形，∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，∴△BCE≌△ACD，∴BE＝AD；（2）不变，∠AMB＝60°，理由：∵△ABC与△CDE是共顶点的等边三角形，∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，∴△BEC≌△ADC，∴∠EBC＝∠DAC，∵∠EBC+∠ABM＝60°∴∠MAC+∠ABM＝60°，∴∠AMB＝180°﹣（∠ABM+∠BAM）＝60°．（3）如图3，∵当B、C、D三点在同一条直线上，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACE＝60°，∴∠BCE＝120°，∵△ABC与△CDE是共顶点的等边三角形，且BC＝CD，∴BC＝CE，∴∠CBE＝∠BEC＝30°，∵∠BCF＝60°，∴∠BFC＝90°，∵BC＝EC，∴BE＝2BF，在Rt△BFC中，∠BCF＝30°，∴BF＝BC，∴BE＝2BF＝BC，∵BE＝BM+ME，∴BM+ME＝BC．5．阅读材料：如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，可以证明△ACD≌△BCE，则AD＝BE．解决问题：（1）将图1中的△CDE绕点C旋转到图2，猜想此时线段AD与BE的数量关系，并证明你的结论．（2）如图2，连接BD，若AC＝2cm，CE＝1cm，现将△CDE绕点C继续旋转，则在旋转过程中，△BDE的面积是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．（3）如图3，在△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△DCE绕点C按顺时针方向旋转得到三角形CD′E′（使∠ACD′＜180°），连接BE′，AD′，设AD′分别交BC、BE′于O、F，若△ABC满足∠ACB＝60°，BC＝，AC＝，①求的值及∠BFA的度数；②若D为AC的中点，求△AOC面积的最大值．【解答】解：（1）猜想：AD＝BE，证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠ECD∠BCD，即∠ACD＝BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）如下图1所示，当△CDE旋转到BC与C到DE到高在同一条直线上时，△BDE面积最大，此时，DE边上的高为∴△BDE面积最大值为．（3）①如图3，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴∵△CD'E'由△CDE绕C点旋转得到∴CE'＝CE，CD'＝CD，∠DCE＝∠D'CE'＝60°∴，则又∵∠DCE+∠BCD'＝∠D'CE'+∠BCD'，即∠ACD'＝∠BCE'∴△ACD'∽△BCE'∴由△ACD'∽△BCE'得∠CBE'＝∠CAF∴∠BFA＝180°﹣（∠BAF+∠ABF）＝180°﹣（∠BAF+∠ABC+∠FAC）＝180°﹣120°＝60°②如图4所示，当D'与点O重合时，△AOC的面积最大过点O作OG⊥AC于G，∴∴△AOC的面积的最大值为．6．（1）问题发现如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B、D、E在同一直线上，连接AE．填空：①∠AEC的度数为120°；②线段AE、BD之间的数量关系为AE＝BD．（2）拓展探究如图2，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接AE．试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BM之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，点P在以AC为直径的半圆上，AP＝1，①∠DPC＝45°；②请直接写出点D到PC的距离为或．【解答】解：（1）①∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴CE＝CD，CA＝CB，∠ECA＝60°﹣∠ACD，∠DCB＝60°﹣∠ACD，在△ECA与△DCB中，，∴△ECA≌△DCB，∴∠AEC＝∠BDC＝∠CED+∠CDE＝60°+60°＝120°，故答案为：120°；②∵△ECA≌△DCB，∴AE＝BD，故答案为：AE＝BD；（2）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∴∠ECA＝90°﹣∠ACD，∠DCB＝90°﹣∠ACD，∴∠ECA＝∠DCB，在△ECA与△DCB中，，∴△ECA≌△DCB，∴∠AEC＝∠BDC＝135°，BD＝AE，∴∠AEB＝∠AEC﹣∠BEC＝135°﹣45°＝90°，∵△DCE都是等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，∴CM＝MD，∵BM＝BD+DM，∴BM＝AE+CM；（3）①四边形ABCD为正方形，点P在以AC为直径的半圆上，∴∠APC+∠ADC＝90°+90°＝180°，∴A，P，C，D四点共圆，∴∠DPC＝∠DAC＝45°，故答案为：45；②过点D作DM⊥PC，垂足为M，∵在正方形ABCD中，CD＝2，点P在以AC为直径的半圆上，AP＝1，∴AC＝2，PC＝＝＝，∵∠DPC＝45°，∴DM＝PM，设DM＝PM＝x，则MC＝﹣x，在Rt△DMC中，DM2+MC2＝DC2，则x2+（﹣x）2＝22，整理得：2x2﹣2x+3＝0，解得；x1＝，x2＝，即点D到PC的距离为：或．故答案为：或．7．（1）问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，则线段AE、BD的数量关系为AE＝BD，AE、BD所在直线的位置关系为AE⊥BD；（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，已知△ABC中，AB＝7，BC＝3，∠ABC＝45°，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠CAD＝90°，AC＝AD，连接BD，则BD的长为或7﹣3．【解答】解：（1）结论：AE＝BD，AE⊥BD．理由：如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O．∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，∵∠CAE+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，∴∠BOH+∠CBD＝90°∴∠AHB＝90°，∴AE⊥BD．故答案为AE＝BD，AE⊥BD．（2）结论：AD＝2CM+BD，理由：如图2中，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠BDC＝∠AEC＝135°．∴∠ADB＝∠BDC﹣∠CDE＝135°﹣45°＝90°；在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM＝DM＝ME，∴DE＝2CM．∴AD＝DE+AE＝2CM+BD．（3）情形1：如图3﹣1中，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接EA、EB、EC．∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴AC＝AD，∠CAD＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，∴△EAC≌△BAD（SAS），∴BD＝CE．∵AE＝AB＝7，∴BE＝＝7，∠ABE＝∠AEB＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°，∴EC＝＝＝，∴BD＝CE＝．情形2：如图3﹣2中，作AE⊥AB交BC的延长线于E，则△ABE是等腰直角三角形，同法可证：△EAC≌△BAD（SAS），∴BD＝CE，∵AB＝AE＝7，∴BE＝7，∴EC＝BE＝CB＝7﹣3，综上所述，BD的长为或7﹣3．故答案为或7﹣3．8．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD．则①∠BEC＝120°；②线段AD、BE之间的数量关系是AD＝BE．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度．（3）探究发现：如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC＝150°，且∠APD＝30°，AP＝5，CP＝4，DP＝8，求BD的长．【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°．∴∠BEC＝120°．故答案为：120．②由①得：△ACD≌△BCE，∴AD＝BE；故答案为：AD＝BE．（2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE＝AE﹣DE＝15﹣7＝8，∠ADC＝∠BEC，∵△DCE为等腰直角三角形∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．∴AB＝＝＝17；（3）把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，如图所示：则△BEC≌△APC，∴CE＝CP，∠PCE＝60°，BE＝AP＝5，∠BEC＝∠APC＝150°，∴△PCE是等边三角形，∴∠EPC＝∠PEC＝60°，PE＝CP＝4，∴∠BED＝∠BEC﹣∠PEC＝90°，∵∠APD＝30°，∴∠DPC＝150°﹣30°＝120°，又∵∠DPE＝∠DPC+∠EPC＝120°+60°＝180°，即D、P、E在同一条直线上，∴DE＝DP+PE＝8+4＝12，在Rt△BDE中，，即BD的长为13．9．（1）问题发现如图1，△ABC和△BDE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接CD．填空；①∠CDB的度数为60°；②线段AE，CD之间的数量关系为AE＝CD．（2）拓展探究如图2，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°，点A，D，E在同一直线上，BF为△DBE中DE边上的高，连接CD．①求∠CDB的大小；②请判断线段BF，AD，CD之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，AC＝2，AE＝1，CE⊥AE于E，请补全图形，求点B到CE的距离．【解答】解：（1）①∵△ACB和△DBE均为等边三角形，∴BA＝CB，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°．∴∠ABE＝∠CBD．在△BCD和△BAE中，∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBD，BD＝BE，∴△BCD≌△BAE（SAS），∴∠CDB＝∠BEA．∵△DBE为等边三角形，∴∠CDB＝∠BED＝60°．故答案为：60°．②∵△BCD≌△BAE，∴CD＝AE，故答案为：CD＝AE，（2））∠CDB＝45°，CD＝AD+2BF理由：∵△ACB和△DBE均为等腰直角三角形，∴BA＝CB，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°．∴∠ABE＝∠CBD．在△BCD和△BAE中，∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBD，BD＝BE，∴△BCD≌△BAE（SAS），∴∠CDB＝∠AEB，CD＝AE∵BF是△DBE均为等腰直角三角形，∴∠CDB＝∠AEB＝45，DE＝2BF，∴CD＝AE＝AD+DE＝AD+2BF．∴∠CDB＝45°，CD＝AD+2BF；（3）①如图，连接EB，ED，作BH⊥CE，BP⊥BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，AB＝AD＝CD＝BC＝2，∠ABC＝90°，∴CD＝2，∴AC＝2，∵AE＝1，∴CE＝，∵A，E，B，C四点共圆，∴∠BCE＝∠CAB＝45°，∴△PBE是等腰直角三角形，∵△ABC是等腰直角三角形，且C，E，P共线，BH⊥CE，∴由（2）的结论可得，CE＝AE+2BH，∴＝2BH+1，∴BH＝．②同①的方法可得，CE＝2BH﹣AE，∴＝2BH﹣1，∴BH＝，∴点B到CE的距离为或．10．（1）问题发现如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE．请填空：①∠ACE的度数为60°；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为AC＝CD+CE．（2）拓展探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在边BC上，连接CE．请判断∠ACE的度数及线段AC、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝2，CD＝1，AC与BD交于点E，请直接写出线段AC的长度．【解答】解：（1）①∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝60°，故答案为：60°；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为：AC＝CD+CE；理由是：由①得：△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∵AC＝BC＝BD+CD，∴AC＝CD+CE；故答案为：AC＝CD+CE；（2）∠ACE＝45°，AC＝CD+CE，理由是：如图2，∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，∵BC＝CD+BD，∴BC＝CD+CE，∵在等腰直角三角形ABC中，BC＝AC，∴AC＝CD+CE；（3）如图3，过A作AC的垂线，交CB的延长线于点F，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝2，CD＝1，∴BD＝2，BC＝，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠ADB＝∠ACB＝45°，∴△ACF是等腰直角三角形，由（2）得：AC＝BC+CD，∴AC＝＝＝．11．（1）问题发现：如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为60°；②线段AD、BE之间的数量关系是AD＝BE．（2）拓展探究：如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，且交BC于点F，连接BE．①请判断∠AEB的度数并说明理由；②若∠CAF＝∠BAF，BE＝2，试求△ABF的面积．【解答】解：（1）①如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°．∴∠BEC＝120°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．故答案为：60°．②∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE．故答案为：AD＝BE；（2）①∠AEB＝90°证明：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°；②延长BE交AC的延长线于点G，由①可知∠CAD＝∠CBE，∠AEB＝90°，在△ACF和△BCG中，，∴△ACF≌△BCG，∴AF＝BG，∵∠CAF＝∠BAF，∠AEB＝90°，∴E是BG的中点，∵BE＝2，∴BG＝4，∴AF＝4，∴S＝＝4．△ABF12．（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为60°；②线段AD、BE之间的数量关系为AD＝BE．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．【解答】解：（1）①如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°．∴∠BEC＝120°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．故答案为：60°．②∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE．故答案为：AD＝BE．（2）∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM．理由：如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME．∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．（3）点A到BP的距离为或．理由如下：∵PD＝1，∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．∵∠BPD＝90°，∴点P在以BD为直径的圆上．∴点P是这两圆的交点．①当点P在如图3①所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝45°．AB＝AD＝DC＝BC＝2，∠BAD＝90°．∴BD＝2．∵DP＝1，∴BP＝．∵∠BPD＝∠BAD＝90°，∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上，∴∠APB＝∠ADB＝45°．∴△PAE是等腰直角三角形．又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，∴由（2）中的结论可得：BP＝2AH+PD．∴＝2AH+1．∴AH＝．②当点P在如图3②所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②．同理可得：BP＝2AH﹣PD．∴＝2AH﹣1．∴AH＝．综上所述：点A到BP的距离为或．13．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为60°；②线段AD，BE之间的数量关系为AD＝BE；（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，平面上一动点P到点B的距离为3，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连DA，DB，PB，则BD是否有最大值和最小值，若有直接写出，若没有说明理由？【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，CA＝CB，CD＝CE，∴∠ACD＝∠BCE，在△CDA和△CEB中，，∴△CDA≌△CEB，∴∠CEB＝∠CDA＝120°，又∠CED＝60°，∴∠AEB＝120°﹣60°＝60°；②由①知，△CDA≌△CEB，∴AD＝BE；故答案为：60°，AD＝BE（2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∠BEC＝∠ADC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°；结论：AE＝2CM+BE，在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM＝DM＝ME，∴DE＝2CM．∴AE＝DE+AD＝2CM+BE∴AE＝2CM+BE．（3）如图3，∵点P到点B的距离是3，∴点P是以点B为圆心，3为半径的圆，当B、D、A三点在同一条直线上时，BD有最小值，∵∠ACB＝90°，∠DCP＝90°，∴∠ACD＝∠BCP在△ACD与△BCP中，，∴△ACD≌△BCP（SAS），∴∠PBC＝∠A＝45°，AD＝BP＝3，在Rt△ABC中，AC＝BC＝5，∴AB＝5∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3此时∠PBC＝45°时，BD的最小值为5﹣3，同理可得：如图4，当B、D、A三点在同一条直线上时，BD的最大值为：AB+AD＝AB+BP＝5+3，14．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），点D，点E分别是AC，BC的中点，将△CDE绕点C逆时针旋转得到△CD′E′，及旋转角为α，连接AD′，BE′．（1）如图①，若0°＜α＜90°，当AD′∥CE′时，求α的大小；（2）如图②，若90°＜α＜180°，当点D′落在线段BE′上时，求sin∠CBE′的值；（3）若直线AD′与直线BE′相交于点P，求点P的横坐标m的取值范围（直接写出结果即可）．【解答】解：（1）如图1中，∵AD′∥CE′，∴∠AD′C＝∠E′CD′＝90°，∵AC＝2CD′，∴∠CAD′＝30°，∴∠ACD′＝90°﹣∠CAD′＝60°，∴α＝60°．（2）如图2中，作CK⊥BE′于K．∵AC＝BC＝＝2，∴CD′＝CE′＝，∵△CD′E′是等腰直角三角形，CD′＝CE′＝，∴D′E′＝2，∵CK⊥D′E′，∴KD′＝E′K，∴CK＝D′E′＝1，∴sin∠CBE′＝＝＝．（3）如图3中，以C为圆心为半径作⊙C，当BE′与⊙C相切时AP最长，则四边形CD′PE′是正方形，作PH⊥AB于H．∵AP＝AD′+PD′＝+，∵cos∠PAB＝＝，∴AH＝2+，∴点P横坐标的最大值为．如图4中，当BE′与⊙C相切时AP最短，则四边形CD′PE′是正方形，作PH⊥AB于H．根据对称性可知OH＝，∴点P横坐标的最小值为﹣，∴点P横坐标的取值范围为﹣≤m≤．15．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8．（1）P为边BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）①如图1，当点E落在CD边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形（不写作法，保留作图痕迹，用2B铅笔加粗加黑）．并直接写出此时DE＝6；②如图2，若点P为BC边的中点，连接CE，则CE与AP有何位置关系？请说明理由；（2）点Q为射线DC上的一个动点，将△ADQ沿AQ翻折，点D恰好落在直线BQ上的点D′处，则DQ＝4或16；【分析】（1）①如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E，作∠EAB的平分线交BC于点P，点P即为所求．理由勾股定理可得DE．②如图2中，结论：EC∥PA．只要证明PA⊥BE，EC⊥BE即可解决问题．（3）分两种情形分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E，作∠EAB的平分线交BC于点P，点P即为所求．在Rt△ADE中，∵∠D＝90°，AE＝AB＝10，AD＝8，∴DE＝＝＝6，故答案为6．②如图2中，结论：EC∥PA．理由：由翻折不变性可知：AE＝AB，PE＝PB，∴PA垂直平分线段BE，即PA⊥BE，∵PB＝PC＝PE，∴∠BEC＝90°，∴EC⊥BE，∴EC∥PA．（2）①如图3﹣1中，当点Q在线段CD上时，设DQ＝QD′＝x．在Rt△AD′B中，∵AD′＝AD＝8，AB＝10，∠AD′B＝90°，∴BD′＝＝6，在Rt△BQC中，∵CQ2+BC2＝BQ2，∴（10﹣x）2+82＝（x+6）2，∴x＝4，∴DQ＝4．②如图3﹣2中，当点Q在线段DC的延长线上时，∵DQ∥AB，∴∠DQA＝∠QAB，∵∠DQA＝∠AQB，∴∠QAB＝∠AQB，∴AB＝BQ＝10，在Rt△BCQ中，∵CQ＝＝6，∴DQ＝DC+CQ＝16，综上所述，满足条件的DQ的值为4或16．故答案为4和16．16．已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜边OB＝4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如题图1，连接BC．（1）求线段BC的长；（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M是线段OC的中点，点N是线段OB上的动点（不与点O重合），求△CMN周长。
2019中考数学压轴选择填空精讲精练4——几何变换问题之旋转问题(无答案)
专题4旋转问题例题精讲例1.（河池中考）如图，在Rt△ABC中，△ACB =90°，△ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°< α<180°）至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB边上，则α等于（）.A.150°B.90°C.60°D.30°【解答】解：△△ACB =90°，△ABC=30°，△△A=60°.△AC=A′C，△△AA′C是等边三角形，△△A′CA=60°,△α=△A′CA =60°故选C.例2.（宜宾中考）如图，E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，BE=CF，连接CE，DF．△CDF可以看作是将△BCE绕正方形ABCD的中心O按逆时针方向旋转得到．则旋转角度为（）A.45°B.60°C.90°D.120°【解答】如图，△将△CBE绕正方形的对角线交点O按顺时针方向旋转到△CDF时，C和D重合，△△COD是旋转角，△四边形ABCD是正方形，△△OCD=△ODC=45°，△△COD=180°-45°-45°=90°，即旋转角是90°，故答案为：C.例3.（防城港中考）Rt△ ABC 中，AB=AC，点 D 为BC 中点．△ MDN=90°，△ MDN 绕点D 旋转，DM、DN 分别与边AB，AC 交于E，F 两点．下列结论：① BE+CF= √22BC；② S△AEF ≤ 14S△ABC；③ S四边形AEDF=AD•EF；④ AD≥ EF；⑤ AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【解答】解：△Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，△ ∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，△ ∠MDN=90°,△ ∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，△△ADE=△CDF.在△AED与△CFD中，△ {∠EAD=∠C AD=CD∠ADE=∠CDF，△△AED△△CFD(ASA)，△AE=CF，在Rt△ABD中, BE+CF=BE+AE=AB=√AD2+BD2=√2BD=√22BC，故①正确；设AB=AC=a，AE=CF=x，则AF=a−x.△ S△AEF=12AE⋅AF=12x(a−x)=−12(x−12a)2+18a2，△当x=12a时, S△AEF有最大值18a2，又△ 14S△ABC=14×12a2=18a2，△ S△AEF≤14S△ABC.故②正确；EF2=AE2+AF2=x2+(a−x)2=2(x−12a)2+12a2√22△当x=12a时, EF2取得最小值12a2,△ EF≥√22a(等号当且仅当x=12a时成立)，而AD=√22a，△ EF≥AD故④错误；由①的证明知△AED△△CFD，△S四边形AEDF=S△AED+S△A DF=S△CFD+S△ADF=S△ADC= 12AD2，△ EF≥AD△ AD⋅EF≥AD2，△AD△EF>S四边形AEDF ，故③错误；当E.F分别为AB、AC的中点时，四边形AEDF为正方形，此时AD与EF互相平分.故⑤正确。
2019年中考数学知识点：几何变换法
2019年中考数学知识点：几何变换法
新一轮复习备考周期正式开始，为初三考生整理了各学科的复习攻略，主要包括中考必考点、中考常考知识点、各科复习方法、考试答题技巧等内容，帮助各位考生梳理知识脉络，理清做题思路，希望各位考生可以在考试中取得优异成绩!下面是《数学知识点：几何变换法》，仅供参考!
几何变换法
在数学问题的研究中，，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。
所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。
中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。
有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。
另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。
将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。
几何变换包括：(1)平移;(2)旋转;(3)对称。
图形的变换中考数学题分类解析
2019年图形的变换中考数学题分类解析以下是查字典数学网为您推荐的2019年图形的变换中考数学题分类解析，希望本篇文章对您学习有所帮助。
2019年图形的变换中考数学题分类解析一、选择题1. (2019江苏常州2分)如图所示，由三个相同的小正方体组成的立体图形的主视图是【】【答案】B。
【考点】简单组合体的三视图。
【分析】找到从正面看所得到的图形即可：从正面看易得上层右边有1个正方形，下层有2个正方形。
故选B。
2. (2019江苏淮安3分)如图所示几何体的俯视图是【】【答案】B。
【考点】简单组合体的三视图。
【分析】找到从上面看所得到的图形即可：从上面看易得有1个长方形，长方形内左侧有1个圆形。
故选B。
3. (2019江苏连云港3分)用半径为2cm的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为【】A.1cmB.2cmC.cmD.2cm【答案】A。
【考点】圆锥的计算。
【分析】根据半圆的弧长=圆锥的底面周长，则圆锥的底面周长=2，底面半径=22=1cm。
故选A。
4. (2019江苏南京2分)如图，菱形纸片ABCD中，A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A、D处，且AD经过B，EF为折痕，当DF CD时，的值为【】A. B. C. D.【答案】A。
【考点】翻折变换(折叠问题)，菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】延长DC与AD，交于点M，∵在菱形纸片ABCD中，A=60，DCB=A=60，AB∥CD。
D=180A=120。
根据折叠的性质，可得ADF=D=120，FDM=180ADF=60。
∵DFCD，DFM=90，M=90FDM=30。
∵BCM=180BCD=120，CBM=180BCM-M=30。
CBM=M。
BC=CM。
设CF=x，DF=DF=y，则BC=CM=CD=CF+DF=x+y。
FM=CM+CF=2x+y，在Rt△DFM中，tanM=tan30= ，。
图形的变换中考数学题分类解析
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2019年图形的变换中考数学题分类解析一、选择题1. (2019江苏常州2分)如图所示，由三个相同的小正方体组成的立体图形的主视图是【】【答案】B。
【考点】简单组合体的三视图。
【分析】找到从正面看所得到的图形即可：从正面看易得上层右边有1个正方形，下层有2个正方形。
故选B。
2. (2019江苏淮安3分)如图所示几何体的俯视图是【】【答案】B。
【考点】简单组合体的三视图。
【分析】找到从上面看所得到的图形即可：从上面看易得有1个长方形，长方形内左侧有1个圆形。
故选B。
3. (2019江苏连云港3分)用半径为2cm的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为【】A.1cmB.2cmC.cmD.2cm【答案】A。
【考点】圆锥的计算。
【分析】根据半圆的弧长=圆锥的底面周长，则圆锥的底面周长=2，底面半径=22=1cm。
故选A。
4. (2019江苏南京2分)如图，菱形纸片ABCD中，A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A、D处，且AD经过B，EF为折痕，当DF CD时，的值为【】A. B. C. D.【答案】A。
【考点】翻折变换(折叠问题)，菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】延长DC与AD，交于点M，∵在菱形纸片ABCD中，A=60，DCB=A=60，AB∥CD。
D=180A=120。
根据折叠的性质，可得ADF=D=120，FDM=180ADF=60。
∵DFCD，DFM=90，M=90FDM=30。
∵BCM=180BCD=120，CBM=180BCM-M=30。
CBM=M。
BC=CM。
设CF=x，DF=DF=y，则BC=CM=CD=CF+DF=x+y。
FM=CM+CF=2x+y，在Rt△DFM中，tanM=tan30= ，。
江苏省无锡地区精编数学中考选择填空压轴题专题8几何变换问题
专题08 几何变换问题例1．如图，斜边长12cm，∠A＝30°的直角三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使点B′落在原三角尺ABC的斜边AB上，则三角尺向左平移的距离为______________．（结果保留根号）同类题型1.1 把图中的一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形，那么x＋y（）A．是一个确定的值B．有两个不同的值C．有三个不同的值D．有三个以上不同的值同类题型1.2 已知：如图△ABC的顶点坐标分别为A（－4，－3），B（0，－3），C（－2，1），如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，若设△ABC的面积为S1，△AB1C的面积为S2，则S1，S2的大小关系为（）A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定例2．如图，P是等边△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转60°到BP′，已知∠AP′B＝150°，P′A：P′C＝2：3，则PB：P′A是（）A． 2 ：1 B．2：1 C． 5 ：2 D． 3 ：1同类题型2.1 如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB＋DA，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个同类题型2.2 如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C 重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN 2＋CM2＝MN2；⑤若AB＝2，则S△OMN的最小值是12，其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5同类题型2.3 在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，使点B在直线CD上，连接OD交AB于点M，直线CD的解析式为__________．同类题型2.4 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连结CE，CF，若∠CEF＝α，∠CFE＝β，则tanα﹒tanβ＝___________．同类题型2.5 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A ′B ′C ，M 是BC 的中点，P 是A ′B ′的中点，连接PM ，若BC ＝2，∠BAC ＝30°，则线段PM 的最大值是_____．同类题型2.6 如图1，一副含30°和45°角的三角板ABC 和DEF 叠合在一起，边BC 与EF 重合，BC ＝EF ＝12，点G 为边EF 的中点，边FD 与AB 相交于点H ，如图2，将三角板DEF 绕点G 按顺时针方向旋转到60°的过程中，BH 的最大值是_________，点H 运动的路径长是_________．例3．如图，折叠菱形纸片ABCD ，使得AD 的对应边A 1D 1 过点C ，EF 为折痕，若∠B ＝60°，当A 1 E ⊥AB 时，BE AE的值等于（ ）A ．36B ．3－16C ．3＋18D ．3－12同类题型3.1 如图，正方形ABCD 中，AD ＝4，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥ED ，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ，将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFM ，连接DM ，交EF 于点N ，若点F 是AB 边的中点，则△EMN 的周长是_____________．同类题型3.2 如图，∠MON ＝40°，点P 是∠MON 内的定点，点A 、B 分别在OM ，ON 上移动，当△PAB 周长最小时，则∠APB 的度数为（ ）A ．20°B ．40°C ．100°D ．140°同类题型3.3 如图，矩形纸片ABCD 中，G 、F 分别为AD 、BC 的中点，将纸片折叠，使D 点落在GF 上，得到△HAE ，再过H 点折叠纸片，使B 点落在直线AB 上，折痕为PQ ．连接AF 、EF ，已知HE ＝HF ，下列结论：①△MEH 为等边三角形；②AE ⊥EF ；③△PHE ∽△HAE ；④AD AB ＝ 2 35，其中正确的结论是（ ） A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④同类题型3.4 △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AE D ．连CE ，则线段CE 的长等于_______．专题08 几何变换问题例1．如图，斜边长12cm ，∠A ＝30°的直角三角尺ABC 绕点C 顺时针方向旋转90°至△A ′B ′C 的位置，再沿CB 向左平移使点B ′落在原三角尺ABC 的斜边AB 上，则三角尺向左平移的距离为______________．（结果保留根号）解：如图：连接B ′B ″，∵在Rt △ABC 中，AB ＝12，∠A ＝30°，∴BC ＝12AB ＝6，AC ＝6 3 ， ∴B ′C ＝6，∴AB ′＝AC －B ′C ＝6 3 －6，∵B ′C ∥B ″C ″，B ′C ＝B ″C ″，∴四边形B ″C ″CB ′是矩形，∴B ″B ′∥BC ，B ″B ′＝C ″C ，∴△AB ″B ′∽△ABC ，∴AB ′AC ＝B ″B ′BC， 即：63－663＝B ″B ′6 ， 解得：B ″B ′＝6－2 3 ．∴C ″C ＝B ″B ′＝6－2 3 ．同类题型1.1 把图中的一个三角形先横向平移x 格，再纵向平移y 格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形，那么x ＋y （ ）A ．是一个确定的值B ．有两个不同的值C ．有三个不同的值D ．有三个以上不同的值解：（1）当两斜边重合的时候可组成一个矩形，此时x ＝2，y ＝3，x ＋y ＝5；（2）当两直角边重合时有两种情况，①短边重合，此时x ＝2，y ＝3，x ＋y ＝5；②长边重合，此时x ＝2，y ＝5，x ＋y ＝7．综上可得：x ＋y ＝5或7．选B ．同类题型1.2 已知：如图△ABC 的顶点坐标分别为A （－4，－3），B （0，－3），C （－2，1），如将B 点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B 1 点，若设△ABC 的面积为S 1 ，△AB 1 C 的面积为S 2 ，则S 1 ，S 2 的大小关系为（ ）A ．S 1＞S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1＜S 2D ．不能确定解：△ABC 的面积为S 1＝12×4×4＝8， 将B 点平移后得到B 1 点的坐标是（2，1），所以△AB 1 C 的面积为S 2＝12×4×4＝8， 所以S 1＝S 2 ．选B ．同类题型1.3同类题型1.4例2． 如图，P 是等边△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转60°到BP ′，已知∠AP ′B ＝150°，P ′A ：P ′C ＝2：3，则PB ：P ′A 是（ ）A ． 2 ：1B ．2：1C ． 5 ：2D ． 3 ：1解：如图，连接AP ，∵BP 绕点B 顺时针旋转60°到BP ′，∴BP ＝BP ′，∠ABP ＋∠ABP ′＝60°，又∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∠CBP ′＋∠ABP ′＝60°，∴∠ABP ＝∠CBP ′，在△ABP 和△CBP ′中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BP ＝BP ′∠ABP ＝∠CBP ′AB ＝BC ， ∴△ABP ≌△CBP ′（SAS ），∴AP ＝P ′C ，∵P ′A ：P ′C ＝2：3，∴AP ＝32P ′A ， 连接PP ′，则△PBP ′是等边三角形，∴∠BP ′P ＝60°，PP ′＝PB ，∵∠AP ′B ＝150°，∴∠AP ′P ＝150°－60°＝90°，∴△APP ′是直角三角形，设P ′A ＝x ，则AP ＝32x ， 根据勾股定理，PP ′＝AP 2－P ′A 2＝94x 2－x 2＝52 x ， 则PB ＝52x ， ∴PB ：P ′A ＝52 x ：x ＝ 5 ：2． 选C ．同类题型2.1 如图，△ABC 为等边三角形，以AB 为边向形外作△ABD ，使∠ADB ＝120°，再以点C 为旋转中心把△CBD 旋转到△CAE ，则下列结论：①D 、A 、E 三点共线；②DC 平分∠BDA ；③∠E ＝∠BAC ；④DC ＝DB ＋DA ，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解：①设∠1＝x 度，则∠2＝（60－x ）度，∠DBC ＝（x ＋60）度，故∠4＝（x ＋60）度，∴∠2＋∠3＋∠4＝60－x ＋60＋x ＋60＝180度，∴D 、A 、E 三点共线；②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，∴△CDE为等边三角形，∴∠E＝60°，∴∠BDC＝∠E＝60°，∴∠CDA＝120°－60°＝60°，∴DC平分∠BDA；③∵∠BAC＝60°，∠E＝60°，∴∠E＝∠BA C．④由旋转可知AE＝BD，又∵∠DAE＝180°，∴DE＝AE＋A D．∵△CDE为等边三角形，∴DC＝DB＋B A．同类题型2.2 如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C 重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN 2＋CM2＝MN2；⑤若AB＝2，则S△OMN的最小值是12，其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5解：∵正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90°，∴∠BCN＋∠DCN＝90°，又∵CN⊥DM，∴∠CDM＋∠DCN＝90°，∴∠BCN ＝∠CDM ，又∵∠CBN ＝∠DCM ＝90°，∴△CNB ≌△DMC （ASA ），故①正确；根据△CNB ≌△DMC ，可得CM ＝BN ，又∵∠OCM ＝∠OBN ＝45°，OC ＝OB ，∴△OCM ≌△OBN （SAS ），∴OM ＝ON ，∠COM ＝∠BON ，∴∠DOC ＋∠COM ＝∠COB ＋∠BPN ，即∠DOM ＝∠CON ，又∵DO ＝CO ，∴△CON ≌△DOM （SAS ），故②正确；∵∠BON ＋∠BOM ＝∠COM ＋∠BOM ＝90°，∴∠MON ＝90°，即△MON 是等腰直角三角形，又∵△AOD 是等腰直角三角形，∴△OMN ∽△OAD ，故③正确；∵AB ＝BC ，CM ＝BN ，∴BM ＝AN ，又∵Rt △BMN 中，BM 2＋BN 2＝MN 2 ，∴AN 2＋CM 2＝MN 2 ，故④正确；∵△OCM ≌△OBN ，∴四边形BMON 的面积＝△BOC 的面积＝1，即四边形BMON 的面积是定值1，∴当△MNB 的面积最大时，△MNO 的面积最小，设BN ＝x ＝CM ，则BM ＝2－x ，∴△MNB 的面积＝12x （2－x ）＝－12x 2 ＋x ， ∴当x ＝1时，△MNB 的面积有最大值12， 此时S △OMN 的最小值是1-12=12，故⑤正确； 综上所述，正确结论的个数是5个，选D ．同类题型2.3 在平面直角坐标系中，已知点A （3，0），B （0，4），将△BOA 绕点A 按顺时针方向旋转得△CDA ，使点B 在直线CD 上，连接OD 交AB 于点M ，直线CD 的解析式为__________．解：∵△BOA 绕点A 按顺时针方向旋转得△CDA ，∴△BOA ≌△CDA ，∴AB ＝AC ，OA ＝AD ，∵B 、D 、C 共线，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝OB ，∵OA ＝AD ，BO ＝CD ＝BD ，∴OD ⊥AB ，设直线AB 解析式为y ＝kx ＋b ，把A 与B 坐标代入得：⎩⎨⎧3k ＋b ＝0b ＝4 ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43b ＝4， ∴直线AB 解析式为y ＝－43 x ＋4，∴直线OD 解析式为y ＝34 x ，联立得：⎩⎨⎧y ＝－43x ＋4y ＝34x，解得：⎩⎨⎧x ＝4825y ＝3625，即M （4825 ，3625 ），∵M 为线段OD 的中点，∴D （9625 ，7225）， 设直线CD 解析式为y ＝mx ＋n ，把B 与D 坐标代入得：⎩⎪⎨⎪⎧9625m ＋n ＝7225n ＝4， 解得：m ＝－724，n ＝4， 则直线CD 解析式为y ＝－724x ＋4． 同类题型2.4 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形GBEF ，点A 落在矩形ABCD 的边CD 上，连结CE ，CF ，若∠CEF ＝α，∠CFE ＝β，则tan α﹒tan β＝___________．解：过C 点作MN ⊥BF ，交BG 于M ，交EF 于N ，由旋转变换的性质可知，∠ABG ＝∠CBE ，BA ＝BG ＝5，BC ＝BE ＝3，由勾股定理得，CG ＝BG 2＋DG 2 ＝4， ∴DG ＝DC －CG ＝1，则AG ＝AD 2＋DG 2＝10 ， ∵BA BC ＝BG BE，∠ABG ＝∠CBE ， ∴△ABG ∽△CBE ，∴CE AG ＝BC AB ＝35， 解得，CE ＝3105， ∵∠MBC ＝∠CBG ，∠BMC ＝∠BCG ＝90°，∴△BCM ∽△BGC ，∴CM CG ＝BC BG ，即CM 4＝35， ∴CM ＝125， ∴MN ＝BE ＝3，∴CN ＝3－125＝35， ∴EN ＝CE 2－CN 2＝95， ∴FN ＝EF －EN ＝5－95＝165， ∴tan α﹒tan β＝CN EN ﹒CN FN ＝3595×35165＝116． 同类题型2.5 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A ′B ′C ，M 是BC 的中点，P 是A ′B ′的中点，连接PM ，若BC ＝2，∠BAC ＝30°，则线段PM 的最大值是_____．解：如图连接P C ．在Rt △ABC 中，∵∠A ＝30°，BC ＝2，∴AB ＝4，根据旋转不变性可知，A ′B ′＝AB ＝4，∴A ′P ＝PB ′，∴PC ＝12A ′B ′＝2， ∵CM ＝BM ＝1，又∵PM ≤PC ＋CM ，即PM ≤3，∴PM 的最大值为3（此时P 、C 、M 共线）．同类题型2.6 如图1，一副含30°和45°角的三角板ABC 和DEF 叠合在一起，边BC 与EF 重合，BC ＝EF ＝12，点G 为边EF 的中点，边FD 与AB 相交于点H ，如图2，将三角板DEF 绕点G 按顺时针方向旋转到60°的过程中，BH 的最大值是_________，点H 运动的路径长是_________．解：如图1中，作HM ⊥BC 于M ，设HM ＝a ，则CM ＝HM ＝a ．在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，BC ＝12，在Rt △BHM 中，BH ＝2HM ＝2a ，BM ＝ 3 a ，∵BM ＋FM ＝BC ， ∴ 3 a ＋a ＝12，∴a ＝6 3 －6，∴BH ＝2a ＝12 3 －12．如图2中，当DG ⊥AB 时，易证GH 1 ⊥DF ，此时BH 1 的值最小，易知BH 1＝BK ＋KH 1＝3 3 ＋3，∴HH 1＝BH －BH 1＝9 3 －15，当旋转角为60°时，F 与H 2 重合，此时BH 的值最大，易知最大值BH 2＝6 3 ，观察图象可知，在∠CGF 从0°到60°的变化过程中，点H 相应移动的路径长＝2HH 1＋HH 2＝18 3－30＋[6 3－（12 3－12）]＝12 3 －18．例3．如图，折叠菱形纸片ABCD ，使得AD 的对应边A 1D 1 过点C ，EF 为折痕，若∠B ＝60°，当A 1 E ⊥AB 时，BE AE的值等于（ ）A ．36B ．3－16C ．3＋18D ．3－12解：如图所示，延长AB ，D 1A 1 交于点G ，∵A 1 E ⊥AB ，∠EA 1 C ＝∠A ＝120°，∴∠G ＝120°－90°＝30°，又∵∠ABC ＝60°，∴∠BCG ＝60°－30°＝30°，∴∠G ＝∠BCG ＝30°，∴BC ＝BG ＝BA ，设BE ＝1，AE ＝x ＝A 1 E ，则AB ＝1＋x ＝BC ＝BG ，A 1 G ＝2x ，∴GE ＝1＋x ＋1＝x ＋2，∵Rt △A 1 GE 中，A 1E 2＋GE 2＝A 1G 2 ，∴x 2＋（x ＋2）2＝（2x ）2 ，解得x ＝1＋ 3 ，（负值已舍去）∴AE ＝1＋ 3 ，∴BE AE ＝11＋3＝3－12， 选D ．同类题型3.1 如图，正方形ABCD 中，AD ＝4，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥ED ，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ，将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFM ，连接DM ，交EF 于点N ，若点F 是AB 边的中点，则△EMN 的周长是_____________．解：解法一：如图1，过E 作PQ ⊥DC ，交DC 于P ，交AB 于Q ，连接BE ，∵DC ∥AB ，∴PQ ⊥AB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ACD ＝45°，∴△PEC 是等腰直角三角形，∴PE ＝PC ，设PC ＝x ，则PE ＝x ，PD ＝4－x ，EQ ＝4－x ，∴PD ＝EQ ，∵∠DPE ＝∠EQF ＝90°，∠PED ＝∠EFQ ，∴△DPE ≌△EQF ，∴DE ＝EF ，∵DE ⊥EF ，∴△DEF 是等腰直角三角形，易证明△DEC ≌△BEC ，∴DE ＝BE ，∴EF ＝BE ，∵EQ ⊥FB ，∴FQ ＝BQ ＝12 BF ，∵AB ＝4，F 是AB 的中点，∴BF ＝2，∴FQ ＝BQ ＝PE ＝1，∴CE ＝ 2 ，PD ＝4－1＝3，Rt △DAF 中，DF ＝42＋22＝2 5 ，DE ＝EF ＝10 ，如图2，∵DC ∥AB ，∴△DGC ∽△FGA ，∴CG AG ＝DC AF ＝DG FG ＝42 ＝2，∴CG ＝2AG ，DG ＝2FG ，∴FG ＝13×25＝253 ，∵AC ＝42＋42＝4 2 ，∴CG ＝23×42＝823 ，∴EG ＝823－2＝523， 连接GM 、GN ，交EF 于H ，∵∠GFE ＝45°，∴△GHF 是等腰直角三角形，∴GH ＝FH ＝2532＝103 ， ∴EH ＝EF －FH ＝10－103＝2103， 由折叠得：GM ⊥EF ，MH ＝GH ＝103 ， ∴∠EHM ＝∠DEF ＝90°，∴DE ∥HM ，∴△DEN ∽△MNH ，∴DE MH ＝EN NH ， ∴10103＝EN NH ＝3，∴EN ＝3NH ，∵EN ＋NH ═EH ＝2103 ， ∴EN ＝102， ∴NH ＝EH －EN ＝2103－102＝106 ， Rt △GNH 中，GN ＝GH 2＋NH 2＝(103)2＋(106)2＝526， 由折叠得：MN ＝GN ，EM ＝EG ，∴△EMN 的周长＝EN ＋MN ＋EM ＝102＋526＋523＝52＋102； 解法二：如图3，过G 作GK ⊥AD 于K ，作GR ⊥AB 于R ，∵AC 平分∠DAB ，∴GK ＝GR ，∴S △ADG S △AGF ＝12AD ﹒KG 12AF ﹒GR ＝AD AF ＝42 ＝2， ∵S △ADG S △AGF ＝12DG ﹒h12GF ﹒h ＝2， ∴DG GF＝2， 同理，S △DNF S △MNF ＝DF FM ＝DN MN ＝3， 其它解法同解法一，可得：∴△EMN 的周长＝EN ＋MN ＋EM ＝102＋526＋523＝52＋102； 解法三：如图4，过E 作EP ⊥AP ，EQ ⊥AD ，∵AC 是对角线，∴EP ＝EQ ，易证△DQE 和△FPE 全等，∴DE ＝EF ，DQ ＝FP ，且AP ＝EP ，设EP ＝x ，则DQ ＝4－x ＝FP ＝x －2，解得x ＝3，所以PF ＝1，∴AE ＝32＋32＝3 2 ，∵DC ∥AB ，∴△DGC ∽△FGA ，∴同解法一得：CG ＝23×42＝823， ∴EG ＝823－2＝523， AG ＝13AC ＝423， 过G 作GH ⊥AB ，过M 作MK ⊥AB ，过M 作ML ⊥AD ，则易证△GHF ≌△FKM 全等，∴GH ＝FK ＝43 ，HF ＝MK ＝23， ∵ML ＝AK ＝AF ＋FK ＝2＋43＝103 ，DL ＝AD －MK ＝4－23＝103， 即DL ＝LM ，∴∠LDM ＝45°∴DM 在正方形对角线DB 上，过N 作NI ⊥AB ，则NI ＝IB ，设NI ＝y ，∵NI ∥EP∴NI EP ＝FI FP∴y 3＝2－y 1， 解得y ＝1.5，所以FI ＝2－y ＝0.5，∴I 为FP 的中点，∴N 是EF 的中点，∴EN ＝0.5EF ＝102， ∵△BIN 是等腰直角三角形，且BI ＝NI ＝1.5，∴BN ＝32 2 ，BK ＝AB －AK ＝4－103＝23 ，BM ＝23 2 ，MN ＝BN －BM ＝322－232＝562 ， ∴△EMN 的周长＝EN ＋MN ＋EM ＝102＋526＋523＝52＋102．同类题型3.2 如图，∠MON ＝40°，点P 是∠MON 内的定点，点A 、B 分别在OM ，ON 上移动，当△PAB 周长最小时，则∠APB 的度数为（ ）A ．20°B ．40°C ．100°D ．140°解：如图所示：分别作点P 关于OM 、ON 的对称点P ′、P ″，连接OP ′、OP ″、P ′P ″，P ′P ″交OM 、ON 于点A 、B ， 连接PA 、PB ，此时△PAB 周长的最小值等于P ′P ″．如图所示：由轴对称性质可得，OP ′＝OP ″＝OP ，∠P ′OA ＝∠POA ，∠P ″OB ＝∠POB ，所以∠P ′OP ″＝2∠MON ＝2×40°＝80°，所以∠OP ′P ″＝∠OP ″P ′＝（180°－80°）÷2＝50°，又因为∠BPO ＝∠OP ″B ＝50°，∠APO ＝∠AP ′O ＝50°，所以∠APB ＝∠APO ＋∠BPO ＝100°．选C ．同类题型3.3 如图，矩形纸片ABCD 中，G 、F 分别为AD 、BC 的中点，将纸片折叠，使D 点落在GF 上，得到△HAE ，再过H 点折叠纸片，使B 点落在直线AB 上，折痕为PQ ．连接AF 、EF ，已知HE ＝HF ，下列结论：①△MEH 为等边三角形；②AE ⊥EF ；③△PHE ∽△HAE ；④AD AB ＝ 2 35，其中正确的结论是（ ） A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．①②③④解：∵矩形纸片ABCD 中，G 、F 分别为AD 、BC 的中点，∴GF ⊥AD ，由折叠可得，AH ＝AD ＝2AG ，∠AHE ＝∠D ＝90°，∴∠AHG ＝30°，∠EHM ＝90°－30°＝60°，∴∠HAG ＝60°＝∠AED ＝∠MEH ，∴△EHM 中，∠EMH ＝60°＝∠EHM ＝∠MEH ，∴△MEH 为等边三角形，故①正确；∵∠EHM ＝60°，HE ＝HF ，∴∠HEF ＝30°，∴∠FEM ＝60°＋30°＝90°，即AE ⊥EF ，故②正确；∵∠PEH ＝∠MHE ＝60°＝∠HEA ，∠EPH ＝∠EHA ＝90°，∴△PHE ∽△HAE ，故③正确；设AD ＝2＝AH ，则AG ＝1，∴Rt △AGH 中，GH=3AG= 3 ，Rt △AEH 中，EH=AH 3=233 ＝HF ， ∴GF=533 ＝AB ， ∴AD AB =2533=235 ，故④正确， 综上所述，正确的结论是①②③④，选D ．同类题型3.4 △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AE D ．连CE ，则线段CE 的长等于_______．解：如图连接BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∵AC ＝4，AB ＝3，∴BC ＝32＋42 ＝5，∵CD ＝DB ，∴AD ＝DC ＝DB ＝52 ，∵12﹒BC ﹒AH ＝12 ﹒AB ﹒AC ，∴AH ＝125 ，∵AE ＝AB ，DE ＝DB ＝DC ，∴AD 垂直平分线段BE ，△BCE 是直角三角形， ∵12﹒AD ﹒BO ＝12 ﹒BD ﹒AH ，∴OB ＝125 ，∴BE ＝2OB ＝245 ，在Rt △BCE 中，EC ＝BC 2－BE 2＝75 ．。
江苏省无锡地区中考数学选择填空压轴题专题8几何变换问题
专题08 几何变换问题例1．如图，斜边长12cm，∠A＝30°的直角三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使点B′落在原三角尺ABC的斜边AB上，则三角尺向左平移的距离为______________．（结果保留根号）同类题型1.1 把图中的一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形，那么x＋y（）A．是一个确定的值B．有两个不同的值C．有三个不同的值D．有三个以上不同的值同类题型1.2 已知：如图△ABC的顶点坐标分别为A（－4，－3），B（0，－3），C（－2，1），如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，若设△ABC的面积为S1，△AB1C的面积为S2，则S1，S2的大小关系为（）A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定例2．如图，P是等边△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转60°到BP′，已知∠AP′B＝150°，P′A：P′C＝2：3，则PB：P′A是（）A． 2 ：1 B．2：1 C． 5 ：2 D． 3 ：1同类题型2.1 如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB＋DA，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个同类题型2.2 如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C 重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN 2＋CM2＝MN2；⑤若AB＝2，则S△OMN的最小值是12，其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5同类题型2.3 在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，使点B在直线CD上，连接OD交AB于点M，直线CD的解析式为__________．同类题型2.4 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连结CE，CF，若∠CEF＝α，∠CFE＝β，则tanα﹒tanβ＝___________．同类题型2.5 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC 的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是_____．同类题型2.6 如图1，一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF＝12，点G 为边EF 的中点，边FD 与AB 相交于点H ，如图2，将三角板DEF 绕点G 按顺时针方向旋转到60°的过程中，BH 的最大值是_________，点H 运动的路径长是_________．例3．如图，折叠菱形纸片ABCD ，使得AD 的对应边A 1D 1 过点C ，EF 为折痕，若∠B ＝60°，当A 1 E ⊥AB 时，BE AE的值等于（ ） A ．36B ．3－16C ．3＋18D ．3－12同类题型3.1 如图，正方形ABCD 中，AD ＝4，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥ED ，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ，将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFM ，连接DM ，交EF 于点N ，若点F 是AB 边的中点，则△EMN 的周长是_____________．同类题型3.2 如图，∠MON ＝40°，点P 是∠MON 内的定点，点A 、B 分别在OM ，ON 上移动，当△PAB 周长最小时，则∠APB 的度数为（ ） A ．20° B ．40° C ．100° D ．140°同类题型3.3 如图，矩形纸片ABCD 中，G 、F 分别为AD 、BC 的中点，将纸片折叠，使D 点落在GF 上，得到△HAE ，再过H 点折叠纸片，使B 点落在直线AB 上，折痕为PQ ．连接AF 、EF ，已知HE ＝HF ，下列结论：①△MEH 为等边三角形；②AE ⊥EF ；③△PHE ∽△HAE ；④AD AB ＝ 2 35，其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④同类题型3.4 △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AE D ．连CE ，则线段CE 的长等于_______．专题08 几何变换问题例1．如图，斜边长12cm ，∠A ＝30°的直角三角尺ABC 绕点C 顺时针方向旋转90°至△A ′B ′C 的位置，再沿CB 向左平移使点B ′落在原三角尺ABC 的斜边AB 上，则三角尺向左平移的距离为______________．（结果保留根号）解：如图：连接B ′B ″，∵在Rt △ABC 中，AB ＝12，∠A ＝30°，∴BC ＝12AB ＝6，AC ＝6 3 ，∴B ′C ＝6，∴AB ′＝AC －B ′C ＝6 3 －6， ∵B ′C ∥B ″C ″，B ′C ＝B ″C ″， ∴四边形B ″C ″CB ′是矩形， ∴B ″B ′∥BC ，B ″B ′＝C ″C ， ∴△AB ″B ′∽△ABC ， ∴AB ′AC ＝B ″B ′BC，即：63－663＝B ″B ′6 ，解得：B ″B ′＝6－2 3 ．∴C ″C ＝B ″B ′＝6－2 3 ．同类题型1.1 把图中的一个三角形先横向平移x 格，再纵向平移y 格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形，那么x ＋y （ ） A ．是一个确定的值 B ．有两个不同的值 C ．有三个不同的值 D ．有三个以上不同的值解：（1）当两斜边重合的时候可组成一个矩形，此时x ＝2，y ＝3， x ＋y ＝5；（2）当两直角边重合时有两种情况，①短边重合，此时x ＝2，y ＝3，x ＋y ＝5； ②长边重合，此时x ＝2，y ＝5，x ＋y ＝7． 综上可得：x ＋y ＝5或7．选B ．同类题型1.2 已知：如图△ABC 的顶点坐标分别为A （－4，－3），B （0，－3），C （－2，1），如将B 点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B 1 点，若设△ABC 的面积为S 1 ，△AB 1 C 的面积为S 2 ，则S 1 ，S 2 的大小关系为（ ） A ．S 1＞S 2 B ．S 1＝S 2 C ．S 1＜S 2 D ．不能确定解：△ABC 的面积为S 1＝12×4×4＝8，将B 点平移后得到B 1 点的坐标是（2，1），所以△AB 1 C 的面积为S 2＝12×4×4＝8，所以S 1＝S 2 ． 选B ．同类题型1.3 同类题型1.4例2． 如图，P 是等边△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转60°到BP ′，已知∠AP ′B ＝150°，P ′A ：P ′C ＝2：3，则PB ：P ′A 是（ ） A ． 2 ：1 B ．2：1 C ． 5 ：2 D ． 3 ：1解：如图，连接AP ，∵BP 绕点B 顺时针旋转60°到BP ′，∴BP ＝BP ′，∠ABP ＋∠ABP ′＝60°， 又∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∠CBP ′＋∠ABP ′＝60°， ∴∠ABP ＝∠CBP ′， 在△ABP 和△CBP ′中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧BP ＝BP ′∠ABP ＝∠CBP ′AB ＝BC ， ∴△ABP ≌△CBP ′（SAS ）， ∴AP ＝P ′C ，∵P ′A ：P ′C ＝2：3，∴AP ＝32P ′A ，连接PP ′，则△PBP ′是等边三角形，∴∠BP ′P ＝60°，PP ′＝PB ， ∵∠AP ′B ＝150°，∴∠AP ′P ＝150°－60°＝90°， ∴△APP ′是直角三角形，设P ′A ＝x ，则AP ＝32 x ，根据勾股定理，PP ′＝AP 2－P ′A 2＝94x 2－x 2＝52x ， 则PB ＝52x ， ∴PB ：P ′A ＝52x ：x ＝ 5 ：2． 选C ．同类题型2.1 如图，△ABC 为等边三角形，以AB 为边向形外作△ABD ，使∠ADB ＝120°，再以点C 为旋转中心把△CBD 旋转到△CAE ，则下列结论：①D 、A 、E 三点共线；②DC 平分∠BDA ；③∠E ＝∠BAC ；④DC ＝DB ＋DA ，其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解：①设∠1＝x 度，则∠2＝（60－x ）度，∠DBC ＝（x ＋60）度，故∠4＝（x ＋60）度， ∴∠2＋∠3＋∠4＝60－x ＋60＋x ＋60＝180度， ∴D 、A 、E 三点共线；②∵△BCD 绕着点C 按顺时针方向旋转60°得到△ACE ， ∴CD ＝CE ，∠DCE ＝60°， ∴△CDE 为等边三角形， ∴∠E ＝60°，∴∠BDC ＝∠E ＝60°，∴∠CDA ＝120°－60°＝60°， ∴DC 平分∠BDA ； ③∵∠BAC ＝60°， ∠E ＝60°， ∴∠E ＝∠BA C ．④由旋转可知AE ＝BD ， 又∵∠DAE ＝180°， ∴DE ＝AE ＋A D ．∵△CDE 为等边三角形， ∴DC ＝DB ＋B A ．同类题型2.2 如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是BC 边上的动点（点M 不与B ，C重合），CN ⊥DM ，CN 与AB 交于点N ，连接OM ，ON ，MN ．下列五个结论：①△CNB ≌△DMC ；②△CON ≌△DOM ；③△OMN ∽△OAD ；④AN 2＋CM 2＝MN 2；⑤若AB ＝2，则S △OMN 的最小值是12，其中正确结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5解：∵正方形ABCD 中，CD ＝BC ，∠BCD ＝90°， ∴∠BCN ＋∠DCN ＝90°， 又∵CN ⊥DM ，∴∠CDM ＋∠DCN ＝90°， ∴∠BCN ＝∠CDM ，又∵∠CBN ＝∠DCM ＝90°， ∴△CNB ≌△DMC （ASA ），故①正确；根据△CNB ≌△DMC ，可得CM ＝BN ， 又∵∠OCM ＝∠OBN ＝45°，OC ＝OB ， ∴△OCM ≌△OBN （SAS ）， ∴OM ＝ON ，∠COM ＝∠BON ，∴∠DOC ＋∠COM ＝∠COB ＋∠BPN ，即∠DOM ＝∠CON ， 又∵DO ＝CO ，∴△CON ≌△DOM （SAS ），故②正确； ∵∠BON ＋∠BOM ＝∠COM ＋∠BOM ＝90°，∴∠MON ＝90°，即△MON 是等腰直角三角形， 又∵△AOD 是等腰直角三角形， ∴△OMN ∽△OAD ，故③正确； ∵AB ＝BC ，CM ＝BN ， ∴BM ＝AN ，又∵Rt △BMN 中，BM 2＋BN 2＝MN 2，∴AN 2＋CM 2＝MN 2，故④正确； ∵△OCM ≌△OBN ，∴四边形BMON 的面积＝△BOC 的面积＝1，即四边形BMON 的面积是定值1， ∴当△MNB 的面积最大时，△MNO 的面积最小， 设BN ＝x ＝CM ，则BM ＝2－x ，∴△MNB 的面积＝12x （2－x ）＝－12x 2＋x ，∴当x ＝1时，△MNB 的面积有最大值12，此时S △OMN 的最小值是1-12=12，故⑤正确；综上所述，正确结论的个数是5个， 选D ．同类题型2.3 在平面直角坐标系中，已知点A （3，0），B （0，4），将△BOA 绕点A 按顺时针方向旋转得△CDA ，使点B 在直线CD 上，连接OD 交AB 于点M ，直线CD 的解析式为__________．解：∵△BOA 绕点A 按顺时针方向旋转得△CDA ，∴△BOA ≌△CDA ， ∴AB ＝AC ，OA ＝AD ，∵B 、D 、C 共线，AD ⊥BC ， ∴BD ＝CD ＝OB ，∵OA ＝AD ，BO ＝CD ＝BD ， ∴OD ⊥AB ，设直线AB 解析式为y ＝kx ＋b ，把A 与B 坐标代入得：⎩⎨⎧3k ＋b ＝0b ＝4，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43b ＝4，∴直线AB 解析式为y ＝－43 x ＋4，∴直线OD 解析式为y ＝34 x ，联立得：⎩⎨⎧y ＝－43x ＋4y ＝34x ，解得：⎩⎨⎧x ＝4825y ＝3625，即M （4825 ，3625 ），∵M 为线段OD 的中点，∴D （9625 ，7225），设直线CD 解析式为y ＝mx ＋n ，把B 与D 坐标代入得：⎩⎪⎨⎪⎧9625m ＋n ＝7225n ＝4，解得：m ＝－724，n ＝4，则直线CD 解析式为y ＝－724x ＋4．同类题型2.4 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形GBEF ，点A 落在矩形ABCD 的边CD 上，连结CE ，CF ，若∠CEF ＝α，∠CFE ＝β，则tan α﹒tan β＝___________．解：过C 点作MN ⊥BF ，交BG 于M ，交EF 于N ，由旋转变换的性质可知，∠ABG ＝∠CBE ，BA ＝BG ＝5，BC ＝BE ＝3，由勾股定理得，CG ＝BG 2＋DG 2＝4， ∴DG ＝DC －CG ＝1，则AG ＝AD 2＋DG 2＝10 ，∵BA BC ＝BGBE，∠ABG ＝∠CBE ， ∴△ABG ∽△CBE ， ∴CE AG ＝BC AB ＝35， 解得，CE ＝3105，∵∠MBC ＝∠CBG ，∠BMC ＝∠BCG ＝90°， ∴△BCM ∽△BGC ， ∴CM CG ＝BC BG ，即CM 4＝35， ∴CM ＝125，∴MN ＝BE ＝3，∴CN ＝3－125＝35 ，∴EN ＝CE 2－CN 2＝95，∴FN＝EF－EN＝5－95＝165，∴tanα﹒tanβ＝CNEN﹒CNFN＝3595×35165＝116．同类题型2.5 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC 的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是_____．解：如图连接P C．在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，∴A′P＝PB′，∴PC＝12A′B′＝2，∵CM＝BM＝1，又∵PM≤PC＋CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．同类题型2.6 如图1，一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF ＝12，点G为边EF的中点，边FD与AB相交于点H，如图2，将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转到60°的过程中，BH的最大值是_________，点H运动的路径长是_________．解：如图1中，作HM⊥BC于M，设HM＝a，则CM＝HM＝a．在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，BC ＝12， 在Rt △BHM 中，BH ＝2HM ＝2a ，BM ＝ 3 a ，∵BM ＋FM ＝BC ，∴ 3 a ＋a ＝12，∴a ＝6 3 －6，∴BH ＝2a ＝12 3 －12．如图2中，当DG ⊥AB 时，易证GH 1 ⊥DF ，此时BH 1 的值最小，易知BH 1＝BK ＋KH 1＝3 3 ＋3，∴HH 1＝BH －BH 1＝9 3 －15，当旋转角为60°时，F 与H 2 重合，此时BH 的值最大，易知最大值BH 2＝6 3 ，观察图象可知，在∠CGF 从0°到60°的变化过程中，点H 相应移动的路径长＝2HH 1＋HH 2＝18 3－30＋[6 3－（12 3－12）]＝12 3 －18．例3．如图，折叠菱形纸片ABCD ，使得AD 的对应边A 1D 1 过点C ，EF 为折痕，若∠B ＝60°，当A 1 E ⊥AB 时，BE AE的值等于（ ）A ．36B ．3－16C ．3＋18D ．3－12解：如图所示，延长AB ，D 1A 1 交于点G ，∵A 1 E ⊥AB ，∠EA 1 C ＝∠A ＝120°，∴∠G ＝120°－90°＝30°，又∵∠ABC ＝60°，∴∠BCG ＝60°－30°＝30°，∴∠G ＝∠BCG ＝30°，∴BC ＝BG ＝BA ，设BE ＝1，AE ＝x ＝A 1 E ，则AB ＝1＋x ＝BC ＝BG ，A 1 G ＝2x ，∴GE ＝1＋x ＋1＝x ＋2，∵Rt △A 1 GE 中，A 1E 2＋GE 2＝A 1G 2 ，∴x 2＋（x ＋2）2＝（2x ）2 ，解得x ＝1＋ 3 ，（负值已舍去）∴AE ＝1＋ 3 ，∴BE AE ＝11＋3＝3－12， 选D ．同类题型3.1 如图，正方形ABCD 中，AD ＝4，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥ED ，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ，将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFM ，连接DM ，交EF 于点N ，若点F 是AB 边的中点，则△EMN 的周长是_____________．解：解法一：如图1，过E 作PQ ⊥DC ，交DC 于P ，交AB 于Q ，连接BE ，∵DC ∥AB ，∴PQ ⊥AB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ACD ＝45°，∴△PEC是等腰直角三角形，∴PE＝PC，设PC＝x，则PE＝x，PD＝4－x，EQ＝4－x，∴PD＝EQ，∵∠DPE＝∠EQF＝90°，∠PED＝∠EFQ，∴△DPE≌△EQF，∴DE＝EF，∵DE⊥EF，∴△DEF是等腰直角三角形，易证明△DEC≌△BEC，∴DE＝BE，∴EF＝BE，∵EQ⊥FB，∴FQ＝BQ＝12BF，∵AB＝4，F是AB的中点，∴BF＝2，∴FQ＝BQ＝PE＝1，∴CE＝ 2 ，PD＝4－1＝3，Rt△DAF中，DF＝42＋22＝2 5 ，DE＝EF＝10 ，如图2，∵DC∥AB，∴△DGC∽△FGA，∴CGAG＝DCAF＝DGFG＝42＝2，∴CG＝2AG，DG＝2FG，∴FG＝13×25＝253，∵AC＝42＋42＝4 2 ，∴CG＝23×42＝823，∴EG＝823－2＝523，连接GM、GN，交EF于H，∵∠GFE＝45°，∴△GHF是等腰直角三角形，∴GH＝FH＝2532＝103，∴EH＝EF－FH＝10－103＝2103，由折叠得：GM⊥EF，MH＝GH＝103，∴∠EHM＝∠DEF＝90°，∴DE∥HM，∴△DEN∽△MNH，∴DEMH＝ENNH，∴10103＝ENNH＝3，∴EN＝3NH，∵EN＋NH═EH＝2103，∴EN＝102，∴NH＝EH－EN＝2103－102＝106，Rt△GNH中，GN＝GH2＋NH2＝(103)2＋(106)2＝526，由折叠得：MN＝GN，EM＝EG，∴△EMN的周长＝EN＋MN＋EM＝102＋526＋523＝52＋102；解法二：如图3，过G作GK⊥AD于K，作GR⊥AB于R，∵AC平分∠DAB，∴GK＝GR，∴S△ADGS△AGF＝12AD﹒KG12AF﹒GR＝ADAF＝42＝2，∵S△ADGS△AGF＝12DG﹒h12GF﹒h＝2，∴DGGF＝2，同理，S△DNFS△MNF＝DFFM＝DNMN＝3，其它解法同解法一，可得：∴△EMN的周长＝EN＋MN＋EM＝102＋526＋523＝52＋102；解法三：如图4，过E作EP⊥AP，EQ⊥AD，∵AC 是对角线，∴EP ＝EQ ，易证△DQE 和△FPE 全等，∴DE ＝EF ，DQ ＝FP ，且AP ＝EP ，设EP ＝x ，则DQ ＝4－x ＝FP ＝x －2，解得x ＝3，所以PF ＝1，∴AE ＝32＋32＝3 2 ，∵DC ∥AB ，∴△DGC ∽△FGA ，∴同解法一得：CG ＝23×42＝823， ∴EG ＝823－2＝523， AG ＝13AC ＝423， 过G 作GH ⊥AB ，过M 作MK ⊥AB ，过M 作ML ⊥AD ，则易证△GHF ≌△FKM 全等，∴GH ＝FK ＝43 ，HF ＝MK ＝23， ∵ML ＝AK ＝AF ＋FK ＝2＋43＝103 ，DL ＝AD －MK ＝4－23＝103， 即DL ＝LM ，∴∠LDM ＝45°∴DM 在正方形对角线DB 上，过N 作NI ⊥AB ，则NI ＝IB ，设NI ＝y ，∵NI ∥EP ∴NI EP ＝FI FP ∴y 3＝2－y1， 解得y ＝1.5，所以FI ＝2－y ＝0.5，∴I 为FP 的中点，∴N 是EF 的中点，∴EN ＝0.5EF ＝102， ∵△BIN 是等腰直角三角形，且BI ＝NI ＝1.5，∴BN ＝32 2 ，BK ＝AB －AK ＝4－103＝23 ，BM ＝23 2 ，MN ＝BN －BM ＝322－232＝56 2 ，∴△EMN 的周长＝EN ＋MN ＋EM ＝102＋526＋523＝52＋102．同类题型3.2 如图，∠MON ＝40°，点P 是∠MON 内的定点，点A 、B 分别在OM ，ON 上移动，当△PAB 周长最小时，则∠APB 的度数为（ ）A ．20°B ．40°C ．100°D ．140°解：如图所示：分别作点P 关于OM 、ON 的对称点P ′、P ″，连接OP ′、OP ″、P ′P ″，P ′P ″交OM 、ON 于点A 、B ， 连接PA 、PB ，此时△PAB 周长的最小值等于P ′P ″．如图所示：由轴对称性质可得，OP ′＝OP ″＝OP ，∠P ′OA ＝∠POA ，∠P ″OB ＝∠POB ，所以∠P ′OP ″＝2∠MON ＝2×40°＝80°，所以∠OP ′P ″＝∠OP ″P ′＝（180°－80°）÷2＝50°，又因为∠BPO ＝∠OP ″B ＝50°，∠APO ＝∠AP ′O ＝50°，所以∠APB ＝∠APO ＋∠BPO ＝100°．选C ．同类题型3.3 如图，矩形纸片ABCD 中，G 、F 分别为AD 、BC 的中点，将纸片折叠，使D 点落在GF 上，得到△HAE ，再过H 点折叠纸片，使B 点落在直线AB 上，折痕为PQ ．连接AF 、EF ，已知HE ＝HF ，下列结论：①△MEH 为等边三角形；②AE ⊥EF ；③△PHE ∽△HAE ；④AD AB ＝ 2 35，其中正确的结论是（ ） A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．①②③④解：∵矩形纸片ABCD 中，G 、F 分别为AD 、BC 的中点，∴GF ⊥AD ，由折叠可得，AH ＝AD ＝2AG ，∠AHE ＝∠D ＝90°，∴∠AHG ＝30°，∠EHM ＝90°－30°＝60°， ∴∠HAG ＝60°＝∠AED ＝∠MEH ，∴△EHM 中，∠EMH ＝60°＝∠EHM ＝∠MEH ，∴△MEH 为等边三角形，故①正确；∵∠EHM ＝60°，HE ＝HF ，∴∠HEF ＝30°，∴∠FEM ＝60°＋30°＝90°，即AE ⊥EF ，故②正确；∵∠PEH ＝∠MHE ＝60°＝∠HEA ，∠EPH ＝∠EHA ＝90°，∴△PHE ∽△HAE ，故③正确；设AD ＝2＝AH ，则AG ＝1，∴Rt △AGH 中，GH=3AG= 3 ，Rt △AEH 中，EH=AH 3=233 ＝HF ， ∴GF=533 ＝AB ， ∴AD AB =2533=235 ，故④正确， 综上所述，正确的结论是①②③④，选D ．同类题型3.4 △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AE D ．连CE ，则线段CE 的长等于_______．解：如图连接BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∵AC ＝4，AB ＝3，∴BC ＝32＋42 ＝5，∵CD ＝DB ，∴AD ＝DC ＝DB ＝52， ∵12﹒BC ﹒AH ＝12﹒AB ﹒AC ， ∴AH ＝125， ∵AE ＝AB ，DE ＝DB ＝DC ，∴AD 垂直平分线段BE ，△BCE 是直角三角形，∵12﹒AD ﹒BO ＝12﹒BD ﹒AH ， ∴OB ＝125， ∴BE ＝2OB ＝245， 在Rt △BCE 中，EC ＝BC 2－BE 2＝75 ．。
江苏省无锡地区中考数学选择填空压轴题专题几何变换问题
专题08 几何变换问题例1．如图，斜边长12cm，∠A＝30°的直角三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使点B′落在原三角尺ABC的斜边AB上，则三角尺向左平移的距离为______________．（结果保留根号）同类题型1.1 把图中的一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形，那么x＋y（）A．是一个确定的值B．有两个不同的值C．有三个不同的值D．有三个以上不同的值同类题型1.2 已知：如图△ABC的顶点坐标分别为A（－4，－3），B（0，－3），C（－2，1），如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，若设△ABC的面积为S1，△AB1C的面积为S2，则S1，S2的大小关系为（）A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定例2．如图，P是等边△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转60°到BP′，已知∠AP′B＝150°，P′A：P′C＝2：3，则PB：P′A是（）A． 2 ：1 B．2：1 C． 5 ：2 D． 3 ：1同类题型2.1 如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB＋DA，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个同类题型2.2 如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C 重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN 2＋CM2＝MN2；⑤若AB＝2，则S△OMN的最小值是12，其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5同类题型2.3 在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，使点B在直线CD上，连接OD交AB于点M，直线CD的解析式为__________．同类题型2.4 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连结CE，CF，若∠CEF＝α，∠CFE＝β，则tanα﹒tanβ＝___________．同类题型2.5 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC 的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是_____．同类题型2.6 如图1，一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF＝12，点G 为边EF 的中点，边FD 与AB 相交于点H ，如图2，将三角板DEF 绕点G 按顺时针方向旋转到60°的过程中，BH 的最大值是_________，点H 运动的路径长是_________．例3．如图，折叠菱形纸片ABCD ，使得AD 的对应边A 1D 1 过点C ，EF 为折痕，若∠B ＝60°，当A 1 E ⊥AB 时，BE AE的值等于（ ） A ．36B ．3－16C ．3＋18D ．3－12同类题型3.1 如图，正方形ABCD 中，AD ＝4，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥ED ，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ，将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFM ，连接DM ，交EF 于点N ，若点F 是AB 边的中点，则△EMN 的周长是_____________．同类题型3.2 如图，∠MON ＝40°，点P 是∠MON 内的定点，点A 、B 分别在OM ，ON 上移动，当△PAB 周长最小时，则∠APB 的度数为（ ） A ．20° B ．40° C ．100° D ．140°同类题型3.3 如图，矩形纸片ABCD 中，G 、F 分别为AD 、BC 的中点，将纸片折叠，使D 点落在GF 上，得到△HAE ，再过H 点折叠纸片，使B 点落在直线AB 上，折痕为PQ ．连接AF 、EF ，已知HE ＝HF ，下列结论：①△MEH 为等边三角形；②AE ⊥EF ；③△PHE ∽△HAE ；④AD AB ＝ 2 35，其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④同类题型3.4 △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AE D ．连CE ，则线段CE 的长等于_______．专题08 几何变换问题例1．如图，斜边长12cm ，∠A ＝30°的直角三角尺ABC 绕点C 顺时针方向旋转90°至△A ′B ′C 的位置，再沿CB 向左平移使点B ′落在原三角尺ABC 的斜边AB 上，则三角尺向左平移的距离为______________．（结果保留根号）解：如图：连接B ′B ″，∵在Rt △ABC 中，AB ＝12，∠A ＝30°，∴BC ＝12AB ＝6，AC ＝6 3 ，∴B ′C ＝6，∴AB ′＝AC －B ′C ＝6 3 －6， ∵B ′C ∥B ″C ″，B ′C ＝B ″C ″， ∴四边形B ″C ″CB ′是矩形， ∴B ″B ′∥BC ，B ″B ′＝C ″C ， ∴△AB ″B ′∽△ABC ， ∴AB ′AC ＝B ″B ′BC，即：63－663＝B ″B ′6 ，解得：B ″B ′＝6－2 3 ．∴C ″C ＝B ″B ′＝6－2 3 ．同类题型1.1 把图中的一个三角形先横向平移x 格，再纵向平移y 格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形，那么x ＋y （ ） A ．是一个确定的值 B ．有两个不同的值 C ．有三个不同的值 D ．有三个以上不同的值解：（1）当两斜边重合的时候可组成一个矩形，此时x ＝2，y ＝3， x ＋y ＝5；（2）当两直角边重合时有两种情况，①短边重合，此时x ＝2，y ＝3，x ＋y ＝5； ②长边重合，此时x ＝2，y ＝5，x ＋y ＝7． 综上可得：x ＋y ＝5或7．选B ．同类题型1.2 已知：如图△ABC 的顶点坐标分别为A （－4，－3），B （0，－3），C （－2，1），如将B 点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B 1 点，若设△ABC 的面积为S 1 ，△AB 1 C 的面积为S 2 ，则S 1 ，S 2 的大小关系为（ ） A ．S 1＞S 2 B ．S 1＝S 2 C ．S 1＜S 2 D ．不能确定解：△ABC 的面积为S 1＝12×4×4＝8，将B 点平移后得到B 1 点的坐标是（2，1），所以△AB 1 C 的面积为S 2＝12×4×4＝8，所以S 1＝S 2 ． 选B ．同类题型1.3 同类题型1.4例2． 如图，P 是等边△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转60°到BP ′，已知∠AP ′B ＝150°，P ′A ：P ′C ＝2：3，则PB ：P ′A 是（ ） A ． 2 ：1 B ．2：1 C ． 5 ：2 D ． 3 ：1解：如图，连接AP ，∵BP 绕点B 顺时针旋转60°到BP ′，∴BP ＝BP ′，∠ABP ＋∠ABP ′＝60°， 又∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∠CBP ′＋∠ABP ′＝60°， ∴∠ABP ＝∠CBP ′， 在△ABP 和△CBP ′中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧BP ＝BP ′∠ABP ＝∠CBP ′AB ＝BC ， ∴△ABP ≌△CBP ′（SAS ）， ∴AP ＝P ′C ，∵P ′A ：P ′C ＝2：3，∴AP ＝32P ′A ，连接PP ′，则△PBP ′是等边三角形，∴∠BP ′P ＝60°，PP ′＝PB ， ∵∠AP ′B ＝150°，∴∠AP ′P ＝150°－60°＝90°， ∴△APP ′是直角三角形，设P ′A ＝x ，则AP ＝32 x ，根据勾股定理，PP ′＝AP 2－P ′A 2＝94x 2－x 2＝52x ， 则PB ＝52x ， ∴PB ：P ′A ＝52x ：x ＝ 5 ：2． 选C ．同类题型2.1 如图，△ABC 为等边三角形，以AB 为边向形外作△ABD ，使∠ADB ＝120°，再以点C 为旋转中心把△CBD 旋转到△CAE ，则下列结论：①D 、A 、E 三点共线；②DC 平分∠BDA ；③∠E ＝∠BAC ；④DC ＝DB ＋DA ，其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解：①设∠1＝x 度，则∠2＝（60－x ）度，∠DBC ＝（x ＋60）度，故∠4＝（x ＋60）度， ∴∠2＋∠3＋∠4＝60－x ＋60＋x ＋60＝180度， ∴D 、A 、E 三点共线；②∵△BCD 绕着点C 按顺时针方向旋转60°得到△ACE ， ∴CD ＝CE ，∠DCE ＝60°， ∴△CDE 为等边三角形， ∴∠E ＝60°，∴∠BDC ＝∠E ＝60°，∴∠CDA ＝120°－60°＝60°， ∴DC 平分∠BDA ； ③∵∠BAC ＝60°， ∠E ＝60°， ∴∠E ＝∠BA C ．④由旋转可知AE ＝BD ， 又∵∠DAE ＝180°， ∴DE ＝AE ＋A D ．∵△CDE 为等边三角形， ∴DC ＝DB ＋B A ．同类题型2.2 如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是BC 边上的动点（点M 不与B ，C重合），CN ⊥DM ，CN 与AB 交于点N ，连接OM ，ON ，MN ．下列五个结论：①△CNB ≌△DMC ；②△CON ≌△DOM ；③△OMN ∽△OAD ；④AN 2＋CM 2＝MN 2；⑤若AB ＝2，则S △OMN 的最小值是12，其中正确结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5解：∵正方形ABCD 中，CD ＝BC ，∠BCD ＝90°， ∴∠BCN ＋∠DCN ＝90°， 又∵CN ⊥DM ，∴∠CDM ＋∠DCN ＝90°， ∴∠BCN ＝∠CDM ，又∵∠CBN ＝∠DCM ＝90°， ∴△CNB ≌△DMC （ASA ），故①正确；根据△CNB ≌△DMC ，可得CM ＝BN ， 又∵∠OCM ＝∠OBN ＝45°，OC ＝OB ， ∴△OCM ≌△OBN （SAS ）， ∴OM ＝ON ，∠COM ＝∠BON ，∴∠DOC ＋∠COM ＝∠COB ＋∠BPN ，即∠DOM ＝∠CON ， 又∵DO ＝CO ，∴△CON ≌△DOM （SAS ），故②正确； ∵∠BON ＋∠BOM ＝∠COM ＋∠BOM ＝90°，∴∠MON ＝90°，即△MON 是等腰直角三角形， 又∵△AOD 是等腰直角三角形， ∴△OMN ∽△OAD ，故③正确； ∵AB ＝BC ，CM ＝BN ， ∴BM ＝AN ，又∵Rt △BMN 中，BM 2＋BN 2＝MN 2，∴AN 2＋CM 2＝MN 2，故④正确； ∵△OCM ≌△OBN ，∴四边形BMON 的面积＝△BOC 的面积＝1，即四边形BMON 的面积是定值1， ∴当△MNB 的面积最大时，△MNO 的面积最小， 设BN ＝x ＝CM ，则BM ＝2－x ，∴△MNB 的面积＝12x （2－x ）＝－12x 2＋x ，∴当x ＝1时，△MNB 的面积有最大值12，此时S △OMN 的最小值是1-12=12，故⑤正确；综上所述，正确结论的个数是5个， 选D ．同类题型2.3 在平面直角坐标系中，已知点A （3，0），B （0，4），将△BOA 绕点A 按顺时针方向旋转得△CDA ，使点B 在直线CD 上，连接OD 交AB 于点M ，直线CD 的解析式为__________．解：∵△BOA 绕点A 按顺时针方向旋转得△CDA ，∴△BOA ≌△CDA ， ∴AB ＝AC ，OA ＝AD ，∵B 、D 、C 共线，AD ⊥BC ， ∴BD ＝CD ＝OB ，∵OA ＝AD ，BO ＝CD ＝BD ， ∴OD ⊥AB ，设直线AB 解析式为y ＝kx ＋b ，把A 与B 坐标代入得：⎩⎨⎧3k ＋b ＝0b ＝4，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43b ＝4，∴直线AB 解析式为y ＝－43 x ＋4，∴直线OD 解析式为y ＝34 x ，联立得：⎩⎨⎧y ＝－43x ＋4y ＝34x ，解得：⎩⎨⎧x ＝4825y ＝3625，即M （4825 ，3625 ），∵M 为线段OD 的中点，∴D （9625 ，7225），设直线CD 解析式为y ＝mx ＋n ，把B 与D 坐标代入得：⎩⎪⎨⎪⎧9625m ＋n ＝7225n ＝4，解得：m ＝－724，n ＝4，则直线CD 解析式为y ＝－724x ＋4．同类题型2.4 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形GBEF ，点A 落在矩形ABCD 的边CD 上，连结CE ，CF ，若∠CEF ＝α，∠CFE ＝β，则tan α﹒tan β＝___________．解：过C 点作MN ⊥BF ，交BG 于M ，交EF 于N ，由旋转变换的性质可知，∠ABG ＝∠CBE ，BA ＝BG ＝5，BC ＝BE ＝3，由勾股定理得，CG ＝BG 2＋DG 2＝4， ∴DG ＝DC －CG ＝1，则AG ＝AD 2＋DG 2＝10 ，∵BA BC ＝BGBE，∠ABG ＝∠CBE ， ∴△ABG ∽△CBE ， ∴CE AG ＝BC AB ＝35， 解得，CE ＝3105，∵∠MBC ＝∠CBG ，∠BMC ＝∠BCG ＝90°， ∴△BCM ∽△BGC ， ∴CM CG ＝BC BG ，即CM 4＝35， ∴CM ＝125，∴MN ＝BE ＝3，∴CN ＝3－125＝35 ，∴EN ＝CE 2－CN 2＝95，∴FN ＝EF －EN ＝5－95＝165，∴tan α﹒tan β＝CN EN ﹒CN FN ＝3595×35165＝116．同类题型2.5 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A ′B ′C ，M 是BC 的中点，P 是A ′B ′的中点，连接PM ，若BC ＝2，∠BAC ＝30°，则线段PM 的最大值是_____．解：如图连接P C ．在Rt △ABC 中，∵∠A ＝30°，BC ＝2， ∴AB ＝4，根据旋转不变性可知，A ′B ′＝AB ＝4， ∴A ′P ＝PB ′，∴PC ＝12A ′B ′＝2，∵CM ＝BM ＝1，又∵PM ≤PC ＋CM ，即PM ≤3，∴PM 的最大值为3（此时P 、C 、M 共线）．同类题型2.6 如图1，一副含30°和45°角的三角板ABC 和DEF 叠合在一起，边BC 与EF 重合，BC ＝EF ＝12，点G 为边EF 的中点，边FD 与AB 相交于点H ，如图2，将三角板DEF 绕点G 按顺时针方向旋转到60°的过程中，BH 的最大值是_________，点H 运动的路径长是_________．解：如图1中，作HM ⊥BC 于M ，设HM ＝a ，则CM ＝HM ＝a ．在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，BC ＝12，在Rt △BHM 中，BH ＝2HM ＝2a ，BM ＝ 3 a ，∵BM ＋FM ＝BC ， ∴ 3 a ＋a ＝12，∴a ＝6 3 －6，∴BH ＝2a ＝12 3 －12．如图2中，当DG ⊥AB 时，易证GH 1 ⊥DF ，此时BH 1 的值最小，易知BH 1＝BK ＋KH 1＝3 3 ＋3，∴HH 1＝BH －BH 1＝9 3 －15，当旋转角为60°时，F 与H 2 重合，此时BH 的值最大，易知最大值BH 2＝6 3 ，观察图象可知，在∠CGF 从0°到60°的变化过程中，点H 相应移动的路径长＝2HH 1＋HH 2＝18 3－30＋[6 3－（12 3－12）]＝12 3 －18．例3．如图，折叠菱形纸片ABCD ，使得AD 的对应边A 1D 1 过点C ，EF 为折痕，若∠B ＝60°，当A 1 E ⊥AB 时，BE AE的值等于（ ）A ．36B ．3－16C ．3＋18D ．3－12解：如图所示，延长AB ，D 1A 1 交于点G ，∵A 1 E ⊥AB ，∠EA 1 C ＝∠A ＝120°，∴∠G ＝120°－90°＝30°，又∵∠ABC ＝60°，∴∠BCG ＝60°－30°＝30°，∴∠G ＝∠BCG ＝30°，∴BC ＝BG ＝BA ，设BE ＝1，AE ＝x ＝A 1 E ，则AB ＝1＋x ＝BC ＝BG ，A 1 G ＝2x ，∴GE ＝1＋x ＋1＝x ＋2，∵Rt △A 1 GE 中，A 1E 2＋GE 2＝A 1G 2 ，∴x 2＋（x ＋2）2＝（2x ）2 ，解得x ＝1＋ 3 ，（负值已舍去）∴AE ＝1＋ 3 ， ∴BE AE ＝11＋3＝3－12， 选D ．同类题型3.1 如图，正方形ABCD 中，AD ＝4，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥ED ，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ，将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFM ，连接DM ，交EF 于点N ，若点F 是AB 边的中点，则△EMN 的周长是_____________．解：解法一：如图1，过E 作PQ ⊥DC ，交DC 于P ，交AB 于Q ，连接BE ，∵DC ∥AB ，∴PQ ⊥AB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ACD ＝45°，∴△PEC 是等腰直角三角形，∴PE ＝PC ，设PC ＝x ，则PE ＝x ，PD ＝4－x ，EQ ＝4－x ，∴PD ＝EQ ，∵∠DPE ＝∠EQF ＝90°，∠PED ＝∠EFQ ，∴△DPE ≌△EQF ，∴DE ＝EF ，∵DE ⊥EF ，∴△DEF 是等腰直角三角形，易证明△DEC ≌△BEC ，∴DE ＝BE ，∴EF ＝BE ，∵EQ ⊥FB ，∴FQ ＝BQ ＝12BF ， ∵AB ＝4，F 是AB 的中点，∴BF ＝2，∴FQ ＝BQ ＝PE ＝1，∴CE ＝ 2 ，PD ＝4－1＝3，Rt △DAF 中，DF ＝42＋22＝2 5 ，DE ＝EF ＝10 ，如图2，∵DC ∥AB ，∴△DGC ∽△FGA ，∴CG AG ＝DC AF ＝DG FG ＝42＝2， ∴CG ＝2AG ，DG ＝2FG ，∴FG ＝13×25＝253， ∵AC ＝42＋42＝4 2 ，∴CG ＝23×42＝823， ∴EG ＝823－2＝523， 连接GM 、GN ，交EF 于H ，∵∠GFE ＝45°，∴△GHF 是等腰直角三角形，∴GH ＝FH ＝2532＝103 ， ∴EH ＝EF －FH ＝10－103＝2103 ，由折叠得：GM⊥EF，MH＝GH＝103，∴∠EHM＝∠DEF＝90°，∴DE∥HM，∴△DEN∽△MNH，∴DEMH＝ENNH，∴10103＝ENNH＝3，∴EN＝3NH，∵EN＋NH═EH＝2103，∴EN＝102，∴NH＝EH－EN＝2103－102＝106，Rt△GNH中，GN＝GH2＋NH2＝(103)2＋(106)2＝526，由折叠得：MN＝GN，EM＝EG，∴△EMN的周长＝EN＋MN＋EM＝102＋526＋523＝52＋102；解法二：如图3，过G作GK⊥AD于K，作GR⊥AB于R，∵AC平分∠DAB，∴GK＝GR，∴S△ADGS△AGF＝12AD﹒KG12AF﹒GR＝ADAF＝42＝2，∵S△ADGS△AGF＝12DG﹒h12GF﹒h＝2，∴DGGF＝2，同理，S△DNFS△MNF＝DFFM＝DNMN＝3，其它解法同解法一，可得：∴△EMN的周长＝EN＋MN＋EM＝102＋526＋523＝52＋102；解法三：如图4，过E作EP⊥AP，EQ⊥AD，∵AC 是对角线，∴EP ＝EQ ，易证△DQE 和△FPE 全等，∴DE ＝EF ，DQ ＝FP ，且AP ＝EP ，设EP ＝x ，则DQ ＝4－x ＝FP ＝x －2，解得x ＝3，所以PF ＝1，∴AE ＝32＋32＝3 2 ，∵DC ∥AB ，∴△DGC ∽△FGA ，∴同解法一得：CG ＝23×42＝823， ∴EG ＝823－2＝523， AG ＝13AC ＝423， 过G 作GH ⊥AB ，过M 作MK ⊥AB ，过M 作ML ⊥AD ，则易证△GHF ≌△FKM 全等，∴GH ＝FK ＝43 ，HF ＝MK ＝23， ∵ML ＝AK ＝AF ＋FK ＝2＋43＝103 ，DL ＝AD －MK ＝4－23＝103， 即DL ＝LM ，∴∠LDM ＝45°∴DM 在正方形对角线DB 上，过N 作NI ⊥AB ，则NI ＝IB ，设NI ＝y ，∵NI ∥EP ∴NI EP ＝FI FP ∴y 3＝2－y1， 解得y ＝1.5，所以FI ＝2－y ＝0.5，∴I 为FP 的中点，∴N 是EF 的中点，∴EN ＝0.5EF ＝102， ∵△BIN 是等腰直角三角形，且BI ＝NI ＝1.5，∴BN ＝32 2 ，BK ＝AB －AK ＝4－103＝23 ，BM ＝23 2 ，MN ＝BN －BM ＝322－232＝56 2 ，∴△EMN 的周长＝EN ＋MN ＋EM ＝102＋526＋523＝52＋102．同类题型3.2 如图，∠MON ＝40°，点P 是∠MON 内的定点，点A 、B 分别在OM ，ON 上移动，当△PAB 周长最小时，则∠APB 的度数为（ ）A ．20°B ．40°C ．100°D ．140°解：如图所示：分别作点P 关于OM 、ON 的对称点P ′、P ″，连接OP ′、OP ″、P ′P ″，P ′P ″交OM 、ON 于点A 、B ， 连接PA 、PB ，此时△PAB 周长的最小值等于P ′P ″．如图所示：由轴对称性质可得，OP ′＝OP ″＝OP ，∠P ′OA ＝∠POA ，∠P ″OB ＝∠POB ，所以∠P ′OP ″＝2∠MON ＝2×40°＝80°，所以∠OP ′P ″＝∠OP ″P ′＝（180°－80°）÷2＝50°，又因为∠BPO ＝∠OP ″B ＝50°，∠APO ＝∠AP ′O ＝50°，所以∠APB ＝∠APO ＋∠BPO ＝100°．选C ．同类题型3.3 如图，矩形纸片ABCD 中，G 、F 分别为AD 、BC 的中点，将纸片折叠，使D 点落在GF 上，得到△HAE ，再过H 点折叠纸片，使B 点落在直线AB 上，折痕为PQ ．连接AF 、EF ，已知HE ＝HF ，下列结论：①△MEH 为等边三角形；②AE ⊥EF ；③△PHE ∽△HAE ；④AD AB ＝ 2 35，其中正确的结论是（ ） A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．①②③④解：∵矩形纸片ABCD 中，G 、F 分别为AD 、BC 的中点，∴GF ⊥AD ，由折叠可得，AH ＝AD ＝2AG ，∠AHE ＝∠D ＝90°，∴∠AHG ＝30°，∠EHM ＝90°－30°＝60°，∴∠HAG ＝60°＝∠AED ＝∠MEH ，∴△EHM 中，∠EMH ＝60°＝∠EHM ＝∠MEH ，∴△MEH 为等边三角形，故①正确；∵∠EHM ＝60°，HE ＝HF ，∴∠HEF ＝30°，∴∠FEM ＝60°＋30°＝90°，即AE ⊥EF ，故②正确；∵∠PEH ＝∠MHE ＝60°＝∠HEA ，∠EPH ＝∠EHA ＝90°，∴△PHE ∽△HAE ，故③正确；设AD ＝2＝AH ，则AG ＝1，∴Rt △AGH 中，GH=3AG= 3 ，Rt △AEH 中，EH=AH 3=233 ＝HF ， ∴GF=533 ＝AB ， ∴AD AB =2533=235 ，故④正确， 综上所述，正确的结论是①②③④，选D ．同类题型3.4 △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AE D ．连CE ，则线段CE 的长等于_______．解：如图连接BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∵AC ＝4，AB ＝3，∴BC ＝32＋42 ＝5，∵CD ＝DB ，∴AD ＝DC ＝DB ＝52 ， ∵12﹒BC ﹒AH ＝12﹒AB ﹒AC ， ∴AH ＝125， ∵AE ＝AB ，DE ＝DB ＝DC ，∴AD 垂直平分线段BE ，△BCE 是直角三角形，∵12﹒AD ﹒BO ＝12﹒BD ﹒AH ， ∴OB ＝125， ∴BE ＝2OB ＝245， 在Rt △BCE 中，EC ＝BC 2－BE 2＝75 ．。
2019届中考数学综合题型专题复习卷：几何变换综合题
几何变换综合题一、单项选择题1．如图，在矩形 ABCD中，点 E 是边 BC的中点，AE⊥ BD，垂足为 F，则 tan ∠ BDE的值是（）A．B．C．D．【答案】 A2．如图，四边形ABCD中， AD∥ BC，∠ ABC=90°，AB=5， BC=10，连结 AC、 BD，以 BD为直径的圆交 AC于点 E．若 DE=3，则 AD的长为（）A．5B．4C．3D．2【答案】 D3．如图，大小不一样的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点 O 是小三角形的心里，现将小三角形沿着大三角形的边沿顺时针转动，当由① 地点滚动到④地点时，线段 OA绕点 O顺时针转过的角度是（）A ． 240°B．360°C．480°D．540°【答案】 C4．如图，矩形 ABCD的边长 AD=3，AB=2，E 为 AB的中点， F 在边 BC上，且 BF=2FC，AF分别与 DE、 DB订交于点 M， N，则 MN的长为（）A．B．C．D．【答案】 B5．如图，在正方形 ABCD 中，连结 AC ，以点 A 为圆心，适合长为半径画弧，交 AB 、AC 于点M ，N，分别以 M ，N 为圆心，大于 MN 长的一半为半径画弧，两弧交于点 H，连结 AH 并延伸交BC 于点 E，再分别以 A 、 E 为圆心，以大于 AE 长的一半为半径画弧，两弧交于点 P，Q，作直线PQ，分别交 CD，AC ，AB 于点 F， G，L ，交 CB 的延伸线于点 K ，连结 GE，下列结论：①∠ LKB=22.5°，② GE∥AB ，③ tan∠CGF=，④ S△CGE：S△CAB=1：4．此中正确的是（）A ．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【答案】 A6．如图， Rt△ABC 中，∠ ACB=90°，CD 均分∠ ACB 交 AB 于点 D，按以下步骤作图：步骤 1：分别以点 C 和点 D 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧订交于M ，N 两点；步骤 2：作直线 MN ，分别交 AC ，BC 于点 E，F；步骤 3：连结 DE，DF．若 AC=4， BC=2，则线段 DE 的长为A．B．C．D．【答案】 D7．如图，将一个三角形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则以下结论必定正确的选项是（）A．B．C．D．【答案】 D8．如图，正△ABC 的边长为 2，过点 B 的直线 l⊥ AB ，且△ABC 与△A′ BC关′于直线 l 对称， D 为线段 BC′上一动点，则 AD ＋CD 的最小值是（）A．4B．3C．2D．2＋【答案】 A9．如图，将矩形 ABCD 绕其右下角的极点按顺时针方向旋转 90°至图①地点，持续绕右下角的极点按顺时针方向旋转 90°至图②地点，以此类推，这样连续旋转 2017 次．若 AB=4 ，AD=3 ，则极点 A 在整个旋转过程中所经过的路径总长为（）A ． 2017πB． 2034πC． 3024π D ．3026π【答案】 D10．如图，在 Rt △ ABC中，∠ ACB=90°， CD⊥ AB，垂足为D，AF 均分∠ CAB，交 CD于点 E，交CB于点 F．若 AC=3，AB=5，则 CE的长为（）A．B．C．D．【答案】 A11．如图，等边三角形的边长为4,点是△的中心，.绕点旋转,分别交线段于两点，连结,给出以下四个结论 :①;②;③四边形的面积一直等于;④△周长的最小值为6,上述结论中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】 C12．如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点，连分别交，于点，，过点作交于点，则以下结论：①；②；③；④；⑤. ．此中正确结论的个数为（）A．5B．4C． 3D．2【答案】 B13．如图，∠ AOB=60°，点 P 是∠ AOB 内的定点且 OP=，若点M、N分别是射线OA、OB 上异于点 O 的动点，则△PMN 周长的最小值是（）A．B．C．6D．3【答案】 D14．如图，在矩形 ABCD 中，AB＜ BC，E 为 CD 边的中点，将△ ADE 绕点 E 顺时针旋转 180°，点 D 的对应点为 C，点 A 的对应点为 F，过点 E 作 ME⊥AF 交 BC 于点 M，连结 AM、BD 交于点N，现有以下结论：① AM=AD+MC；② AM=DE+BM；③ DE2=AD?CM；④点 N 为△ ABM 的外心．此中正确的个数为（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】 B15．如图， P 为等边三角形 ABC 内的一点，且 P 到三个极点 A，B，C 的距离分别为 3，4，5，则△ABC 的面积为（）A．B．C．D．【答案】 A16．如图，正方形 ABCD的边长为 2，P 为 CD的中点，连结 AP，过点 B 作 BE⊥ AP于点 E，延伸CE交 AD于点 F，过点 C 作 CH⊥BE于点 G，交 AB于点 H，连结 HF．以下结论正确的选项是（）A ． CE=B． EF=C． cos ∠ CEP=2D．HF=EF?CF【答案】 D17．如图，矩形 ABCD 与菱形 EFGH 的对角线均交于点 O，且 EG∥BC，将矩形折叠，使点 C 与点 O 重合，折痕 MN 恰巧过点 G 若 AB= ， EF=2，∠ H=120°，则 DN 的长为（）A．B．C．D．【答案】 C18．如图，已知 Rt△ABC 中，∠ B=90°，∠ A=60°，AC=2+4，点 M 、N 分别在线段 AC 、AB上，将△ANM 沿直线 MN 折叠，使点 A 的对应点 D 恰巧落在线段 BC 上，当△DCM 为直角三角形时，折痕 MN 的长为 __．【答案】或19．如图，在 Rt△ACB中，∠ ACB=90°，AC=BC，D 是 AB上的一个动点（不与点 A，B 重合），连结 CD，将 CD绕点 C 顺时针旋转 90°获得 CE，连结 DE，DE与 AC订交于点 F，连结 AE．下列结论：①△ ACE ≌△ BCD ；②若∠ BCD=25°，则∠ AED=65°；③ DE2=2CF?CA；④若 AB=3，AD=2BD，则 AF= ．此中正确的结论是 ______．（填写全部正确结论的序号）【答案】①②③20．在△ ABC中，已知 BD和 CE分别是边 AC、AB上的中线，且 BD⊥ CE，垂足为 O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段 AO的长度为 ___________cm．【答案】 421．如图，若△ABC 内一点 P 知足∠ PAC=∠ PCB=∠PBA ，则称点 P 为△ABC 的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔初次发现，以后被数学喜好者法国军官布罗卡尔从头发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引起了研究“三角形几何”的高潮．已知△ABC 中， CA=CB ，∠ ACB=120°，P 为△ABC 的布罗卡尔点，若PA=，则PB+PC=_____．7【答案】 1+．22．如图，菱形 ABCD 的对角线订交于点O，AC＝ 2，BD＝ 2，将菱形按如图方式折叠，使点 B 与点 O 重合，折痕为 EF，则五边形 AEFCD 的周长为 _____________【答案】 723．如图，正方形 ABCD 的边长为 12，点 E 在边 AB 上， BE=8，过点 E 作 EF∥ BC，分别交BD 、CD 于 G、F 两点．若点 P、Q 分别为 DG、CE 的中点，则 PQ 的长为 _____．【答案】 224．如图，△ABC 是等边三角形， AB=，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接 BH 、CH．当∠ BHD=60°，∠ AHC=90°时， DH=_____．【答案】25．如图，在△ABC 中， BC=6，BC 边上的高为 4，在△ABC 的内部作一个矩形 EFGH，使 EF 在 BC 边上，此外两个极点分别在 AB 、AC 边上，则对角线 EG 长的最小值为 _____．【答案】26．如图，将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连结AP交 BC 于点 E．若 BE= ，则 AP 的长为 _____．【答案】27．如图，平面直角坐标系中 O 是原点，OABC 的极点A,C的坐标分别是8,0 , 3,4 ，点D , E 把线段 OB 三均分，延伸CD, CE分别交OA, AB于点F ,G，连结 FG ，则以下结论：① F 是OA的中点；②OFD 与 BEG 相像；③四边形 DEGF 的面积是20；④OD 4 5；其3 3中正确的结论是__________．（填写全部正确结论的序号）【答案】①③28．如图， O 为坐标原点，△OAB 是等腰直角三角形，∠OAB ＝90°，点 B 的坐标为，将该三角形沿轴向右平移获得，此时点的坐标为，则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为______.【答案】 429．如图，△AOB 中，∠ O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点 C 从 A 点出发，在边 AO 上以 2cm/s 的速度向 O 点运动，与此同时，点 D 从点 B 出发，在边 BO 上以 1.5cm/s的速度向 O 点运动，过 OC 的中点 E 作 CD 的垂线 EF，则当点 C 运动了 __s时，以 C 点为圆心， 1.5cm为半径的圆与直线 EF 相切．【答案】．30．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 OABC的边长为 2，点 A 在第一象限，点 C 在 x 轴正半轴上，∠ AOC=60°，若将菱形 OABC绕点 O顺时针旋转 75°，获得四边形 OA′B′C′，则点 B 的对应点 B′的坐标为 _____．【答案】31．如下图，已知：点A(0 ， 0)，B（，0），C（0，1）在△ ABC内挨次作等边三角形，使一边在 x 轴上，另一个极点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第 1 个△ AA 1B1，第 2 个△ B1A 2B2，第 3 个△ B2 A3 B3，，则第个等边三角形的边长等于__________．【答案】32．如图，已知正方形 ABCD 的边长是 4，点 E 是 AB 边上一动点，连结 CE，过点 B 作 BG⊥CE 于点 G，点 P 是 AB 边上另一动点，则 PD+PG的最小值为 _____．【答案】 2-233．如图，在菱形 ABCD 中，，是锐角，于点E，M是AB的中点，连结MD，若，则的值为______．【答案】34．如图，∠MAN=90°，点 C 在边 AM 上，AC=4，点 B 为边 AN 上一动点，连结 BC，△A′BC 与△ABC 对于 BC 所在直线对称，点 D， E 分别为 AC ，BC 的中点，连结 DE 并延伸交 A′B 所在直线于点 F，连结 A′E．当△A′EF为直角三角形时， AB 的长为 _____．【答案】或 4．如图，点1（1，1）在直线y=x上，过点A1 分别作y轴、x轴的平行线交直线于点35 A1，B2，过点B2 作y轴的平行线交直线y=x于点A2，过点A2 作x轴的平行线交直线于B点 B3，，依据此规律进行下去，则点A n的横坐标为 ______．【答案】．36．如图，点 C 为 Rt△ACB 与 Rt△DCE 的公共点，∠ ACB= ∠DCE=90°，连接 AD 、 BE，过点 C 作 CF⊥ AD 于点 F，延伸 FC 交 BE 于点 G．若 AC=BC=25 ，CE=15， DC=20，则的值为 ___________．【答案】三、解答题37．将一副三角尺按图 1 摆放，等腰直角三角尺的直角边 DF 恰巧垂直均分 AB ，与 AC 订交于点G ，．（ 1）求 GC 的长；（ 2）如图 2，将△ DEF 绕点 D 顺时针旋转，使直角边 DF 经过点 C ，另向来角边 DE 与 AC 订交于点 H ，分别过 H 、C 作 AB 的垂线，垂足分别为 M 、 N ，经过察看，猜想 MD 与 ND 的数目关系，并考证你的猜想．（ 3）在（ 2）的条件下，将△ DEF 沿 DB 方向平移获得△ D ′E ′F ′，当 D ′E ′恰巧经过（ 1）中的点 G 时，请直接写出 DD ′的长度．【答案】（1）2；（ 2） DM=DN ；（3）38．如图，矩形 ABCD 中， AB=m ， BC=n ，将此矩形绕点 B 顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）获得矩形 A 1BC 1D 1，点 A 1 在边 CD 上．（ 1）若 m=2，n=1，求在旋转过程中，点 D 到点 D 1 所经过路径的长度； （ 2）将矩形 A 11 D 1 持续绕点 B 顺时针方向旋转获得矩形A 2 2 2，点 D 2 在 BC 的延伸线上，BCBC D设边 A 2 B 与 CD 交于点 ，若= ﹣ ，求 的值．E 1【答案】（1）D 到点 D 1 所经过路径的长度为π；（ 2） （负根已经舍弃）．39．我们定义 :假如一个三角形一条边上的高等于这条边 ,那么这个三角形叫做 “等高底 ”三角形 ,这条边叫做这个三角形的“等底 ”.（ 1）观点理解 :如图 1,在中 , ,. ,试判断是不是“等高底”三角形，请说明原因 . （ 2）问题研究 :如图 2, 是“等高底”三角形 , 是“等底”，作对于所在直线的对称图形获得,连结交直线于点 .若点是的重心 ,求的值 .（ 3）应用拓展 :如图 3,已知, 与之间的距离为 2. “等高底”的“等底”在直线上,点在直线上, 有一边的长是的倍.将绕点按顺时针方向旋转获得, 所在直线交于点 . 求的值.【答案】（1）证明看法析；（ 2）（ 3）的值为, ,240．再读教材 :宽与长的比是(约为 0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调,均匀的美感 .世界各国很多有名的建筑.为获得最正确的视觉成效,都采纳了黄金矩形的设计，下边我们用宽为 2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示 ; MN=2)第一步 ,在矩形纸片一端 .利用图①的方法折出一个正方形,而后把纸片展平 .第二步，如图② .把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平 .第三步 ,折出内侧矩形的对角线AB, 并把 AB 折到图③中所示的AD 处，第四步 ,展平纸片 ,依据所得的点 D 折出 DE,使 DE⊥ ND, 则图④中就会出现黄金矩形，问题解决 :（1）图③中 AB=________(保存根号 );（2）如图③ ,判断四边形 BADQ 的形状 ,并说明原因 ;（3）请写出图④中全部的黄金矩形 ,并选择此中一个说明原因 .（4）联合图④ .请在矩形 BCDE 中增添一条线段 ,设计一个新的黄金矩形 ,用字母表示出来 ,并写出它的长和宽 .【答案】（1）；(2)看法析;(3)看法析; (4)看法析.41．如图，△ABC 和△ADE 是有公共极点的等腰直角三角形，∠ BAC=∠ DAE=90°，点 P 为射线BD，CE 的交点．（1）求证： BD=CE；（2）若 AB=2， AD=1，把△ADE 绕点 A 旋转，当∠ EAC=90°时，求 PB 的长；【答案】（1）证明看法析；（ 2） PB 的长为或．42．如图 1，一副直角三角板知足AB=BC ， AC=DE ，∠ ABC= ∠DEF=90°，∠ EDF=30°操作：将三角板 DEF 的直角极点 E 搁置于三角板 ABC 的斜边 AC 上，再将三角板 DEF 绕点 E 旋转，并使边 DE 与边 AB 交于点 P，边 EF 与边 BC 于点 Q．研究一：在旋转过程中，（ 2）如图 3，当时，EP与EQ知足如何的数目关系？并说明原因；（ 3）依据你对（1）、（ 2）的研究结果，试写出当时，EP与EQ知足的数目关系式为，此中 m 的取值范围是．（直接写出结论，不用证明）研究二：若且 AC=30cm，连结 PQ，设△EPQ 的面积为 S（cm2），在旋转过程中：（1） S 能否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明原因．（2）跟着 S 取不一样的值，对应△EPQ 的个数有哪些变化，求出相应 S 的值或取值范围．【答案】研究一：（1）EP=EQ；证明看法析；（2）1:2，证明看法析；（ 3） EP： EQ=1：m，∴0＜m≤ 2+；研究二：（1）当x=10时，面积最小，是50cm2；当 x=10时，面积最大，是75cm2．（ 2） 50＜S≤62.5时，这样的三角形有 2 个；当 S=50 或 62.5＜S≤75时，这样的三角形有一个．43．如图 1．在△ ABC 中，矩形 EFGH 的一边 EF 在 AB 上，极点 G、 H 分别在 BC、AC 上，CD 是边 AB 上的高， CD 交 GH 于点 I ．若 CI＝4，HI ＝3，AD．矩形DFGI恰巧为正方形．（1）求正方形 DFGI 的边长；（2）如图 2，延伸 AB 至 P．使得 AC＝CP，将矩形 EFGH 沿 BP 的方向向右平移，当点 G 恰巧落在 CP 上时，试判断挪动后的矩形与△ CBP 重叠部分的形状是三角形仍是四边形，为何？（ 3）如图 3，连结 DG，将正方形 DFGI 绕点 D 顺时针旋转必定的角度获得正方形DF ′G′I′，正方形 DF′G′I′分别与线段 DG、 DB 订交于点 M、 N，求△ MNG′的周长．【答案】（1）2；（ 2）三角形；（ 3） 4．44．如图，在矩形ABCD中， AB=3， BC=5， E 是 AD上的一个动点．（1）如图 1，连结 BD，O是对角线 BD的中点，连结 OE．当 OE=DE时，求 AE的长；（2）如图 2，连结 BE，EC，过点 E 作 EF⊥EC交 AB于点 F，连结 CF，与 BE交于点 G．当 BE 均分∠ ABC时，求 BG的长；（3）如图 3，连结 EC，点 H 在 CD上，将矩形 ABCD沿直线 EH折叠，折叠后点 D 落在 EC上的点 D' 处，过点 D′作 D′N⊥ AD于点 N，与 EH交于点 M，且 AE=1．①求的值；②连结 BE，△ D'MH与△ CBE能否相像？请说明原因．【答案】（1）AE=；（2）BG=；（3）① ；②相像，原因看法析.45．如图 1，以□ABCD 的较短边 CD 为一边作菱形 CDEF,使点 F 落在边 AD 上，连结 BE，交AF 于点 G.（1）猜想 BG 与 EG 的数目关系 .并说明原因；（2）延伸 DE,BA 交于点 H，其余条件不变，①如图 2，若∠ ADC=60°，求的值；②如图 3，若∠ ADC=α（ 0°<α<90）°,直接写出的值.（用含α的三角函数表示）【答案】（1），原因看法析；（2）；（3）.。
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2
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根据勾股定理， PP′＝ AP2－ P′ A2＝
5 则 PB＝ 2 x，
5 ∴ PB： P′ A＝ 2 x： x＝ 5 ： 2． 选 C．
9 x
2－
x2＝
5 x，
4
2
精 品试卷
同类题型 2.1 如图，△ ABC为等边三角形，以 AB为边向形外作△ ABD，使∠ ADB＝ 120°，再以点 C为旋转中心把△
∴当△ MNB的面积最大时，△ MNO的面积最小，
60°到 BP′， 已知∠ AP′B＝ 150°，P′A：P′ C＝ 2：
A． 2 ：1
B ．2：1
C． 5 ：2
D． 3 ：1
解：如图，连接 AP，∵ BP绕点 B 顺时针旋转 60°到 BP′，
∴ BP＝ BP′，∠ ABP＋∠ ABP′＝ 60°， 又∵△ ABC是等边三角形， ∴ AB＝ BC，∠ CBP′＋∠ ABP′＝ 60°， ∴∠ ABP＝∠ CBP′， 在△ ABP和△ CBP′中，
个单位后再向上平移 4 个单位到达 B1 点，若设△ ABC的面积为 S1 ，△ AB1 C的面积为 S2 ，则 S1 ，S2 的大小关系
为（ ）
A． S1＞ S2
B ． S1＝S2
C ． S1＜ S2
D ．不能确定
例 2． 如图， P 是等边△ ABC外一点， 把 BP绕点 B顺时针旋转 60°到 BP′， 已知∠ AP′B＝ 150°，P′A：P′ C＝ 2：
根据△ CNB≌△ DMC，可得 CM＝ BN，
又∵∠ OCM＝∠ OBN＝45°， OC＝OB，
∴△ OCM≌△ OBN（ SAS），
∴ OM＝ ON，∠ COM＝∠ BON，
∴∠ DOC＋∠ COM＝∠ COB＋∠ BPN，即∠ DOM＝∠ CON，
又∵ DO＝ CO，
∴△ CON≌△ DOM（ SAS），故②正确； ∵∠ BON＋∠ BOM＝∠ COM＋∠ BOM＝ 90°，
选 B．
同类题型 1.2 已知：如图△ ABC的顶点坐标分别为 A（－ 4，－ 3）， B（ 0，－ 3），C（－ 2， 1），如将 B 点向右平移 2
个单位后再向上平移 4 个单位到达 B1 点，若设△ ABC的面积为 S1 ，△ AB1 C的面积为 S2 ，则 S1 ，S2 的大小关系
为（ ）
A． S1＞ S2
②∵△ BCD绕着点 C按顺时针方向旋转 ∴ CD＝ CE，∠ DCE＝ 60°， ∴△ CDE为等边三角形， ∴∠ E＝ 60°， ∴∠ BDC＝∠ E＝ 60°， ∴∠ CDA＝ 120°－ 60°＝ 60°， ∴ DC平分∠ BDA； ③∵∠ BAC＝ 60°， ∠ E＝ 60°， ∴∠ E＝∠ BAC．
BP＝ BP′ ∵ ∠ ABP＝∠ CBP′ ，
AB＝ BC ∴△ ABP≌△ CBP′（ SAS）， ∴ AP＝ P′ C， ∵ P′ A： P′ C＝ 2： 3，
3 ∴ AP＝ 2 P′A， 连接 PP′，则△ PBP′是等边三角形， ∴∠ BP′ P＝ 60°， PP′＝ PB， ∵∠ AP′ B＝ 150°， ∴∠ AP′ P＝ 150°－ 60°＝ 90°， ∴△ APP′是直角三角形，
的有（
）
A． 1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
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精 品试卷
同类题型 2.2 如图，在正方形 ABCD中， O是对角线 AC与 BD的交点， M是 BC边上的动点（点 M不与 B， C重合），
CN⊥ DM，CN与 AB交于点 N，连接 OM，ON，MN．下列五个结论： ①△ CNB≌△ DMC；②△ CON≌△ DOM；③△ OMN∽△ OAD；
同类题型 2.4 如图，在矩形 ABCD中， AB＝5， BC＝3，将矩形 ABCD绕点 B 按顺时针方向旋转得到矩形 GBEF，点 A 落在矩形 ABCD的边 CD上，连结 CE， CF，若∠ CEF＝ α ，∠ CFE＝ β ，则 tan α ﹒ tan β＝ ___________．
同类题型 2.5 如图，在 Rt △ ABC中，∠ ACB＝ 90°，将△ ABC绕顶点 C逆时针旋转得到△ A′ B′ C，M是 BC的中点， P是 A′ B′的中点，连接 PM，若 BC＝2，∠ BAC＝ 30°，则线段 PM的最大值是 _____．
B ．有两个不同的值
C ．有三个不同的值
D ．有三个以上不同的值
解：（ 1）当两斜边重合的时候可组成一个矩形，此时
x＝ 2，y＝ 3，
x＋ y＝ 5；
（ 2）当两直角边重合时有两种情况，①短边重合，此时
x＝ 2， y＝3， x＋ y＝ 5；
②长边重合，此时 x＝ 2， y＝5， x＋ y＝7．
综上可得： x＋ y＝ 5 或 7．
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精 品试卷
BE 例 3．如图，折叠菱形纸片 ABCD，使得 AD的对应边 A1D1 过点 C，EF 为折痕，若∠ B＝ 60°，当 A1 E⊥ AB时， AE 的
值等于（
）
3 A． 6
3－ 1 B． 6
3＋ 1 C． 8
3－ 1 D． 2
同类题型 3.1 如图，正方形 ABCD中， AD＝ 4，点 E 是对角线 AC上一 点，连接 DE，过点 E 作 EF⊥ED，交 AB于点 F， 连接 DF，交 AC于点 G，将△ EFG沿 EF 翻折，得到△ EFM，连接 DM，交 EF于点 N，若点 F 是 AB边的中点，则△ EMN 的周长是 _____________．
④
AN2＋
CM2＝
2 MN
；⑤若
AB＝ 2，则 S△ OMN的最小值是
1 2
，其中正确结论的个数是（
）
A． 2
B．3
C．4
D．5
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精 品试卷
解：∵正方形 ABCD中， CD＝BC，∠ BCD＝ 90°， ∴∠ BCN＋∠ DCN＝ 90°， 又∵ CN⊥ DM， ∴∠ CDM＋∠ DCN＝ 90°， ∴∠ BCN＝∠ CDM， 又∵∠ CBN＝∠ DCM＝90°， ∴△ CNB≌△ DMC（ ASA），故①正确；
同类题型 1.1 把图中的一个三角形先横向平移 x 格，再纵向平移 y 格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形， 那
么 x＋ y（ ）
A．是一个确定的值
B．有两个不同的值
C．有三个不同的值
D．有三个以上不同的值
同类题型 1.2 已知：如图△ ABC的顶点坐标分别为 A（－ 4，－ 3）， B（ 0，－ 3），C（－ 2， 1），如将 B 点向右平移 2
∴∠ MO＝N 90°，即△ MON是等腰直角三角形，
又∵△ AOD是等腰直角三角形，
∴△ OM∽N △ OAD，故③正确； ∵ AB＝ BC，CM＝ BN，
∴ BM＝ AN，
又∵ Rt△ BMN中， BM2＋ BN2＝MN2 ，
∴
AN2＋
CM2＝
2 MN
，故④正确；
∵△ OCM≌△ OBN，
∴四边形 BMON的面积＝△ BOC的面积＝ 1，即四边形 BMON的面积是定值 1，
60°得到△ ACE，
④由旋转可知 AE＝ BD，
又∵∠ DAE＝ 180°，
∴ DE＝ AE＋AD．
∵△ CDE为等边三角形，
∴ DC＝ DB＋BA．
同类题型 2.2 如图，在正方形 ABCD中， O是对角线 AC与 BD的交点， M是 BC边上的动点（点 M不与 B， C重合），
CN⊥ DM，CN与 AB交于点 N，连接 OM，ON，MN．下列五个结论： ①△ CNB≌△ DMC；②△ CON≌△ DOM；③△ OMN∽△ OAD；
精 品试卷
专题 08 几何变换问题
例 1．如图，斜边长 12cm，∠ A＝ 30°的直角三角尺 ABC绕点 C顺时针方向旋转 90°至△ A′ B′ C的位置，再沿 CB 向左平移使点 B′落在原三角尺 ABC的斜边 AB上，则三角尺向左平移的距离为 ______________ ．（结果保留根号）
3，则 PB：P′ A是（ ）
A． 2 ：1
B ．2：1
C． 5 ：2
D． 3 ：1
同类题型 2.1 如图，△ ABC为等边三角形，以 AB为边向形外作△ ABD，使∠ ADB＝ 120°，再以点 C为旋转中心把△
CBD旋转到△ CAE，则下列结论：① D、 A、 E 三点共线；② DC平分∠ BDA；③∠ E＝∠ BAC；④ DC＝ DB＋ DA，其中正确
B ． S1＝S2
C ． S1＜ S2
D ．不能确定
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精 品试卷
1 解：△ ABC的面积为 S1＝ 2 × 4× 4＝ 8， 将 B 点平移后得到 B1 点的坐标是（ 2， 1），
1 所以△ AB1 C的面积为 S2＝ 2 ×4× 4＝ 8， 所以 S1＝ S2 ． 选 B．
同类题型 1.3 同类题型 1.4 例 2． 如图， P 是等边△ ABC外一点， 把 BP绕点 B顺时针旋转 3，则 PB：P′ A是（ ）
CBD旋转到△ CAE，则下列结论：① D、 A、 E 三点共线；② DC平分∠ BDA；③∠ E＝∠ BAC；④ DC＝ DB＋ DA，其中正确
的有（
）
A． 1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解：①设∠ 1＝ x 度，则∠ 2＝（ 60－ x）度，∠ DBC＝（ x＋60）度，故∠ 4＝（ x＋ 60）度， ∴∠ 2＋∠ 3＋∠ 4＝ 60－ x＋ 60＋x＋ 60＝ 180 度， ∴ D、 A、 E三点共线；
AD 2 3
角形；② AE⊥ EF；③△ PHE∽△ HAE；④ AB＝ 5 ，其中正确的结论是（