2018年佛山市高中数学青年教师基本功解题能力展示试题
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A． 2
n
) C． 4 D． 5 )
二、填空题：本大题共 4 小题， 每小题 5 分，满分 20 分． 13．若非零向量 m, n 满足 n = 3 m = 2m + n ，则 m 与 n 夹角的余弦值为
B． 3
7. 已知 (1 + x ) 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( A． 2
6 ，求椭圆 C 的方程； 3
（Ⅱ） 若过点 (0,1) 的直线 l 与椭圆有且只有一个公共点 P ， 且 P 在第二象限， 直线 PF2 交 y 轴于点 Q ﹒试判断以 PQ 为直径的圆与点 F1 的位置关系，并说明理由﹒
第 2 页 共 2 页
5 A．空气质量优良的概率为 ； 7
B．这周的平均空气质量为良好； C．空气质量不是良好的天数为 6； D．前三天 AQI 的方差大于后四天 AQI 方差.
的点 M 有且仅有 4 个 B．使得 MKF = 的点 M 有且仅有 4 个 4 6 C．使得 MFK 为等腰三角形的点 M 有且仅有 4 个 D．使得 MFK 为直角三角形的点 M 有且仅有 4 个
（1）平面 内有一条直线与平面 平行， , 平行吗？ （2）平面 内有两条直线与平面 平行， , 平行吗？ 引导学生合情推理，从感性上解决如何选择两条直线的问题，从而确认、归纳出判定平面与平面平行的定理. （Ⅰ）请你分别用文字和符号两种语言描述“平面与平面平行的判定定理” ； （Ⅱ）简述教材上述处理方法的理论依据； （Ⅲ）缺少了严谨证明，也就少了些许“几何味” ，为了给学生解惑，请你提供该定理的证明.
2018 年佛山市普通高中数学青年教师基本功 解题能力展示试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页． 满分 150 分． 考试用时 120 分钟． 注意：请将选择题部涂在答题卡，主观题在答题卷中作答.请在答卷侧边栏填写考号和相关事项.
9．已知函数 f ( x ) = sin ( 2 x + ) 在 x = A．关于点
A．使得 MKF = 12．如图 1，矩形 ABCD 中， AD = 3 .点 E 在 AB 边上， CE ⊥ DE 且 AE = 1 . 如图 2，△ADE 沿直线 DE
向上折起成 △A1DE ．记二面角 A − DE − A1 的平面角为 ，当 0 ， 1800 时，
) ① 存在某个位置，使 CE ⊥ DA1 ； ② 存在某个位置，使 DE ⊥ AC 1 ； ③ 任意两个位置，直线 DE 和直线 A1C 所成的角都不相等. 以上三个结论中正确的序号是 A. ① B. ①② C. ①③ D. ②③
A
(
)
D
C
4．等差数列 an 的首项为 1 ,公差不为 0 .若 a2 , a3 , a6 成等比数列,则 an 前 6 项的和为( A． −24 B． −3 C． 3 D． 8 )
A
E
B
图1
A1 D C
x + y − 5 0 5．若 x, y 满足约束条件 2 x − y − 1 0 ,则 z = 2 x + y 的最大值为 8 ,则实数 a 等于( ax − 2 y + 1 0
A B Q
D C
20． （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：
x2 y 2 + = 1(a b 0) 的左，右焦点分别是 F1 ， F2 ，右顶点、上顶点分 a 2 b2
别为 A ， B ，原点 O 到直线 AB 的距离等于 ab ﹒ （Ⅰ）若椭圆 C 的离心率等于
6
处取得极大值,则函数 y = f B．关于点
+ x 的图像( 4
)
, 0 对称 6
, 0 对称 3
第一部分 选择题（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分． 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目 要求的．请将答案代号填在答题卷的相应位置上． 1. 设全集 U = {x Z | −1 x 3} , A = {1, 2}, B = { y | y = log0.5 x, x A} ，则集合 CU ( A B) = A． {3} 2． B． {−1,0,3} C． {−1,0,1, 2} D． {−1,0,1, 2,3}
C．关于直线 x =
6
对称
D．关于直线 x =
3
对称
10. 如图， PAD 为等边三角形，四边形 ABCD 为正方形，平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ．若点 M 为平面 ABCD 内 P 的一个动点，且满足 MP = MC ，则点 M 在正方形 ABCD 及其内部的轨迹为 A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分
第 1 页 共 2 页
．
三、解答题：本大题 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． （本小题满分 12 分） 21． （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x ) = e
x
在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ，已知 a sin 2C = c(2 sin B − sin C ) . （1）求 A ； （2）若 ABC 的面积为 60 3 ， b − c = 1 ，求 a 的值.
频率 组距
22. （本小题满分 12 分） 在人教 A 版《数学 2》2.2.2 节中，教材结合长方体模型，通过探究以下两个问题：
2017 年 4 月份 CVLZN 数据 日期 CVLZN 日期 CVLZN 日期 CVLZN 1 4 11 8 21 0 2 2 12 5 22 3 3 3 13 0 23 4 4 5 14 5 24 7 5 4 15 3 25 2 6 3 16 4 26 4 7 5 17 7 27 6 8 0 18 3 28 2 9 2 19 7 29 0 10 5 20 2 30 3
百度文库(x
2
+ ax cos x + 1) ， a R .
（Ⅰ）当 a = 0 时，证明： f ( x )
1− x 1； 1 + x2
（Ⅱ）若对 x 0,1 ， f ( x ) 2 x + 1 恒成立，求 a 的最小值.
18． （本小题满分 10 分） 行人任意横穿马路是非常不文明的行为.下面是某市在创文前后同一个路段行人乱穿马路的 CVLZN（不文明）数据 情况.
AQL
11 已知点 F 为抛物线 C ： y = 2 px ( p 0 ) 的焦点，点 K 为点 F 关于原点的对称点，点 M 在抛物线 C 上，则下 列说法错误 的是 ．．
在这一周内，下列结论中正确的是（
）
300 250 200 150 100 50 21 22 23 24 25 26 27 t/时间
A1 B1 C1 D1
AD // BC ,且 AD = 2BC .过 A1 , C , D 三点的平面记为 , BB1 与 的交点为 Q .
(Ⅰ) 证明: Q 为 BB1 的中点； (Ⅱ)求此四棱柱被平面 所分成上下两部分的体积之比； (Ⅲ) 若 A1 A = 4 , CD = 2 ,梯形 ABCD 的面积为 6 ,求平面 与 底面 ABCD 所成二面角大小.
12
B． 2
11
C． 2
10
D． 2 )
9
14．已知函数 f ( x ) = 2 x x ，若对于任意的 x 1, f ( x − a ) af ( x ) 恒成立，则 a 的取值范围是 15．若函数 f ( x) = 3sin x − 4cos x 在 x0 处取得最大值，则 tan x0 的值为
A． −2
2
E
B
B． −1
C． 1
D． 2
图2
6 ． 过 抛 物 线 y = 4 x 焦 点 F 的 直 线 交 抛 物 线 于 A, B 两 点 ， 交 其 准 线 于 点 C ， 且 A, C 位 于 x 轴 同 侧 ， 若
第二部分
非选择题（共 90 分）
． ．
AC = 2 AF ，则 BF 等于(
2
8．正方体的 8 个顶点中任取 3 个构成三角形，则三角形是等腰三角形的概率为( A．
．
1 2
B．
4 7
3 C． 8
5 D． 9
16．函数 f ( x ) = − x + bx + x − a − a − 1 ， a, b R .若 a R ，函数 f ( x ) 至多有两个不同的零点，则 b 的取值 范围是
0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 2 4 6 8 10 12 14 AQI
(Ⅰ) 请给出该市创文前后的 CVLZN 数据的均值； (Ⅱ)如果 CVLZN 数据的均值同比降低了 80%，则可认为创文的效果显著. 根据上述数据，试判断该市创文效果 是否显著. 19． （本小题满分 12 分） 如图,四棱柱 ABCD − A1B1C1D1 中, A1 A ⊥ 底面 ABCD .四边形 ABCD 为梯形,
1 + 2i = 1 − 2i 4 3 B． − + i 5 5 3 4 C． − − i 5 5 3 4 D． − + i 5 5
4 3 A． − − i 5 5
C．一段圆弧 D．一条线段
2
A M B C
D
3．右图为某市 2017 年 3 月 21~27 日空气质量指数（AQI）柱形图，已知空气质量指数 为 0~50 空气质量属于优， 50~100 空气质量属于良好，大于 100 均属不同程度的污染.
n
) C． 4 D． 5 )
二、填空题：本大题共 4 小题， 每小题 5 分，满分 20 分． 13．若非零向量 m, n 满足 n = 3 m = 2m + n ，则 m 与 n 夹角的余弦值为
B． 3
7. 已知 (1 + x ) 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( A． 2
6 ，求椭圆 C 的方程； 3
（Ⅱ） 若过点 (0,1) 的直线 l 与椭圆有且只有一个公共点 P ， 且 P 在第二象限， 直线 PF2 交 y 轴于点 Q ﹒试判断以 PQ 为直径的圆与点 F1 的位置关系，并说明理由﹒
第 2 页 共 2 页
5 A．空气质量优良的概率为 ； 7
B．这周的平均空气质量为良好； C．空气质量不是良好的天数为 6； D．前三天 AQI 的方差大于后四天 AQI 方差.
的点 M 有且仅有 4 个 B．使得 MKF = 的点 M 有且仅有 4 个 4 6 C．使得 MFK 为等腰三角形的点 M 有且仅有 4 个 D．使得 MFK 为直角三角形的点 M 有且仅有 4 个
（1）平面 内有一条直线与平面 平行， , 平行吗？ （2）平面 内有两条直线与平面 平行， , 平行吗？ 引导学生合情推理，从感性上解决如何选择两条直线的问题，从而确认、归纳出判定平面与平面平行的定理. （Ⅰ）请你分别用文字和符号两种语言描述“平面与平面平行的判定定理” ； （Ⅱ）简述教材上述处理方法的理论依据； （Ⅲ）缺少了严谨证明，也就少了些许“几何味” ，为了给学生解惑，请你提供该定理的证明.
2018 年佛山市普通高中数学青年教师基本功 解题能力展示试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页． 满分 150 分． 考试用时 120 分钟． 注意：请将选择题部涂在答题卡，主观题在答题卷中作答.请在答卷侧边栏填写考号和相关事项.
9．已知函数 f ( x ) = sin ( 2 x + ) 在 x = A．关于点
A．使得 MKF = 12．如图 1，矩形 ABCD 中， AD = 3 .点 E 在 AB 边上， CE ⊥ DE 且 AE = 1 . 如图 2，△ADE 沿直线 DE
向上折起成 △A1DE ．记二面角 A − DE − A1 的平面角为 ，当 0 ， 1800 时，
) ① 存在某个位置，使 CE ⊥ DA1 ； ② 存在某个位置，使 DE ⊥ AC 1 ； ③ 任意两个位置，直线 DE 和直线 A1C 所成的角都不相等. 以上三个结论中正确的序号是 A. ① B. ①② C. ①③ D. ②③
A
(
)
D
C
4．等差数列 an 的首项为 1 ,公差不为 0 .若 a2 , a3 , a6 成等比数列,则 an 前 6 项的和为( A． −24 B． −3 C． 3 D． 8 )
A
E
B
图1
A1 D C
x + y − 5 0 5．若 x, y 满足约束条件 2 x − y − 1 0 ,则 z = 2 x + y 的最大值为 8 ,则实数 a 等于( ax − 2 y + 1 0
A B Q
D C
20． （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：
x2 y 2 + = 1(a b 0) 的左，右焦点分别是 F1 ， F2 ，右顶点、上顶点分 a 2 b2
别为 A ， B ，原点 O 到直线 AB 的距离等于 ab ﹒ （Ⅰ）若椭圆 C 的离心率等于
6
处取得极大值,则函数 y = f B．关于点
+ x 的图像( 4
)
, 0 对称 6
, 0 对称 3
第一部分 选择题（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分． 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目 要求的．请将答案代号填在答题卷的相应位置上． 1. 设全集 U = {x Z | −1 x 3} , A = {1, 2}, B = { y | y = log0.5 x, x A} ，则集合 CU ( A B) = A． {3} 2． B． {−1,0,3} C． {−1,0,1, 2} D． {−1,0,1, 2,3}
C．关于直线 x =
6
对称
D．关于直线 x =
3
对称
10. 如图， PAD 为等边三角形，四边形 ABCD 为正方形，平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ．若点 M 为平面 ABCD 内 P 的一个动点，且满足 MP = MC ，则点 M 在正方形 ABCD 及其内部的轨迹为 A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分
第 1 页 共 2 页
．
三、解答题：本大题 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． （本小题满分 12 分） 21． （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x ) = e
x
在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ，已知 a sin 2C = c(2 sin B − sin C ) . （1）求 A ； （2）若 ABC 的面积为 60 3 ， b − c = 1 ，求 a 的值.
频率 组距
22. （本小题满分 12 分） 在人教 A 版《数学 2》2.2.2 节中，教材结合长方体模型，通过探究以下两个问题：
2017 年 4 月份 CVLZN 数据 日期 CVLZN 日期 CVLZN 日期 CVLZN 1 4 11 8 21 0 2 2 12 5 22 3 3 3 13 0 23 4 4 5 14 5 24 7 5 4 15 3 25 2 6 3 16 4 26 4 7 5 17 7 27 6 8 0 18 3 28 2 9 2 19 7 29 0 10 5 20 2 30 3
百度文库(x
2
+ ax cos x + 1) ， a R .
（Ⅰ）当 a = 0 时，证明： f ( x )
1− x 1； 1 + x2
（Ⅱ）若对 x 0,1 ， f ( x ) 2 x + 1 恒成立，求 a 的最小值.
18． （本小题满分 10 分） 行人任意横穿马路是非常不文明的行为.下面是某市在创文前后同一个路段行人乱穿马路的 CVLZN（不文明）数据 情况.
AQL
11 已知点 F 为抛物线 C ： y = 2 px ( p 0 ) 的焦点，点 K 为点 F 关于原点的对称点，点 M 在抛物线 C 上，则下 列说法错误 的是 ．．
在这一周内，下列结论中正确的是（
）
300 250 200 150 100 50 21 22 23 24 25 26 27 t/时间
A1 B1 C1 D1
AD // BC ,且 AD = 2BC .过 A1 , C , D 三点的平面记为 , BB1 与 的交点为 Q .
(Ⅰ) 证明: Q 为 BB1 的中点； (Ⅱ)求此四棱柱被平面 所分成上下两部分的体积之比； (Ⅲ) 若 A1 A = 4 , CD = 2 ,梯形 ABCD 的面积为 6 ,求平面 与 底面 ABCD 所成二面角大小.
12
B． 2
11
C． 2
10
D． 2 )
9
14．已知函数 f ( x ) = 2 x x ，若对于任意的 x 1, f ( x − a ) af ( x ) 恒成立，则 a 的取值范围是 15．若函数 f ( x) = 3sin x − 4cos x 在 x0 处取得最大值，则 tan x0 的值为
A． −2
2
E
B
B． −1
C． 1
D． 2
图2
6 ． 过 抛 物 线 y = 4 x 焦 点 F 的 直 线 交 抛 物 线 于 A, B 两 点 ， 交 其 准 线 于 点 C ， 且 A, C 位 于 x 轴 同 侧 ， 若
第二部分
非选择题（共 90 分）
． ．
AC = 2 AF ，则 BF 等于(
2
8．正方体的 8 个顶点中任取 3 个构成三角形，则三角形是等腰三角形的概率为( A．
．
1 2
B．
4 7
3 C． 8
5 D． 9
16．函数 f ( x ) = − x + bx + x − a − a − 1 ， a, b R .若 a R ，函数 f ( x ) 至多有两个不同的零点，则 b 的取值 范围是
0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 2 4 6 8 10 12 14 AQI
(Ⅰ) 请给出该市创文前后的 CVLZN 数据的均值； (Ⅱ)如果 CVLZN 数据的均值同比降低了 80%，则可认为创文的效果显著. 根据上述数据，试判断该市创文效果 是否显著. 19． （本小题满分 12 分） 如图,四棱柱 ABCD − A1B1C1D1 中, A1 A ⊥ 底面 ABCD .四边形 ABCD 为梯形,
1 + 2i = 1 − 2i 4 3 B． − + i 5 5 3 4 C． − − i 5 5 3 4 D． − + i 5 5
4 3 A． − − i 5 5
C．一段圆弧 D．一条线段
2
A M B C
D
3．右图为某市 2017 年 3 月 21~27 日空气质量指数（AQI）柱形图，已知空气质量指数 为 0~50 空气质量属于优， 50~100 空气质量属于良好，大于 100 均属不同程度的污染.