函数的单调性奇偶性和周期性和对称性之间的关系

函 数 的 对 称 性

一个函数的自对称

定义1、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f a x +=-或是(2)()f a x f x -=，图像特征函数自身关于x a =对称。就是该函数的对称轴是x a =。

定义2、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f a x +=--或是(2)()f a x f x -=-，图像特征函数自身关于点(,0)a 对称。就是该函数的对称点是(,0)a 。

定义3、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f b x +=-，图像特征函数自身关于2a b x +=

对称。就是该函数的对称轴是2

a b x +=。 定义2、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f b x +=--，图像特征函数自身关于点(

,0)2a b +对称。就是该函数的对称点是(,0)2

a b +。 还可以推广为()()f a x m f b x +=-- 含义：函数()f x 关于(

,)22a b m +这个点对称。 周期性:若()f x 对于定义域中的任意x 均有()()f x T f x +=,则()f x 是周期函数.

它的变形有: (1)f(x-1)=f(x+1) (2)f(x+2)=－f(x)；(3)f(x+2)=1()

f x - (4)f(x+3) ＋f(x)=1 (5)f(x+1)=)

(11)(x f x f -+ 特征是x 的符号相同。 习 题

1、已知()f x 是R 上的偶函数，且f(-x-1)=f(-x+1) 当[0,1]x ∈时，()1f x x =-+，求当[5,7]x ∈时,()f x 的解析式。

2、定义域为R 的()f x 既是奇函数又是周期函数,T 是它的一个周期.问:区间[,]T T -上它有几个根?（财富：奇函数的半周期也是0点）

3、定义在R 上的偶函数()f x 以3为周期,且(2)0f =,则方程()0f x =在区间(0,6) 上有几个根?

4、()f x 是R 上的偶函数,若将()f x 的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数,且(2)1f =-,求(1)(2)(3)(2008)f f f f ++++L 的值.

5、定义在R 上的函数()f x 满足5()()02

f x f x ++=且5

()4

f x +为奇函数,下列结论谁正确? ①函数()f x 的最小正周期是52;②函数()f x 的图象关于点（5,04）对称;③函数()f x 的图象关于52

x =对称;④函数()f x 的最大值为5()2f . 6、函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（ ）(A) ()f x 是偶函数； (B) ()f x 是奇函数

(C) ()(2)f x f x =+ ； (D) (3)f x +是奇函数

例4举例子，构造新函数，用定义，平移，伸缩处理四道抽象函数题。

（1）f(x)是奇函数，则有f(-x+a)= f(x+a)是奇函数，则f(-x+a)=

（2）函数f(x-1)是偶函数，求y=f(x)的对称轴。

（3）函数y=f(2x-1)是偶函数，则有y=f(2x)的对称轴是：（4）函数y=f(x-1)是奇函数，则有y=f(2x)的对称中心是：