概率统计第二章答案

概率论与数理统计作业

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第二章 随机变量及其分布

教学要求：

一、理解随机变量的概念；理解离散型随机变量及其分布律的定义，理解分布律的性质；掌

握(0-1)分布、二项分布、Poisson 分布的概念、性质；会计算随机变量的分布律. 二、理解分布函数的概念及其性质；理解连续型随机变量的定义、概率密度函数的基本性质，

并熟练掌握有关的计算；会由分布律计算分布函数,会由分布函数计算密度函数,由密度函数计算分布函数.

三、掌握均匀分布、正态分布和指数分布的概念、性质. 一、掌握一维随机变量函数的分布．

重点:二项分布、正态分布，随机变量的概率分布． 难点:正态分布，随机变量函数的分布．

练习一 随机变量、离散型随机变量及其分布律

1．填空、选择

(1)抛一枚质地均匀的硬币，设随机变量⎩⎨

⎧=，，出现正面

，，出现反面H T X 10 则随机变量X 在区间

]22

1

，（上取值的概率为21. (2)一射击运动员对同一目标独立地进行4次射击,以X 表示命中的次数,如果

{}81

80

1=

≥X P ,则{}==1X P 8. (3)设离散型随机变量X 的概率分布为{},,2,1, ===i cp i X P i

其中0>c 是常数，

则（ B ） （A ）11-=c p ； （B ）1

1

+=c p ； （C ）1+=c p ； （D ）0>p 为任意常数

2．一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取出3只球,以X 表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律.

解：从1～5中随机取3个共有103

5=C 种取法.

以X 表示3个中的最大值.X 的所有可能取值为;5,4,3

{}3=X 表示取出的3个数以3为最大值,其余两个数是1,2,仅有这一种情况,则

{}10

13=

=X P ; {}4=X 表示取出的3个数以4为最大值,其余两个数可在1,2,3中任取2个,共有

323

=C 种取法,故{}10

3

43523===C C X P ;

{}5=X 表示取出的3个数以5为最大值,其余两个数是1,2,3,4中任取2个,共有62

4=C 种取法,故{}5

3

1065352

4====C C X P .{}5=X P 也可由{}{}431=-=-X P X P 得到.

3．设X 为随机变量，且k k X P 2

1)(==( ,2,1=k ), 则 (1)判断上面的式子是否为X 的概率分布； 解：令 ,2,1,21

)(==

==k k X P p k

k ， 显然 ① 10≤≤k p ，② 11212

121

11=-==∑∑∞

=∞

=k k k k p ；所以 ,2,1,21

)(===k k X P k 为

随机变量X 的概率分布。

(2)若是，试求）为偶数X P (和)5(≥X P .

解：X P (为偶数31121)141

121

2=-===

∑∑∞

=∞

=k k k k

p

；

161

12

1)5(21

21

555=-===≥∑∑∞

=∞=k k k k p X P 。

4. 设一次试验成功的概率为)10(<

(1)若将试验进行到首次成功为止,用随机变量X 表示试验的次数，求X 的概率分布(此时称X 服从以p 为参数的几何分布)；

解：此试验至少做一次,这是X 可能取值的最小值.若需要做k 次,则前1-k 次试验均

失败,最后一次成功,由于各次试验是相互独立的,故分布律为:

,2,1,)1()(1=-==-k p p k X P k 。

(2)若将试验进行到出现r 次成功为止,以Y 表示所需要的试验次数,求Y 的分布律（此

时称随机变量Y 服从以p r ,为参数的巴斯卡分布或负二项分布）

解：此试验至少做r 次,若需要做k 次,则第k 次必为成功,而前1-k 次中有1-r 次成功,由于各次实验是相互独立的,故分布律为:

{} ,1,,)1(11

+=-==---r r k p p C k Y P r

k r r k 。

(3)一篮球运动员投篮命中率为45﹪.以X 表示他首次投中时累计投篮的次数,写出X 的分布律,并计算X 取偶数的概率.

解：这是(1)中45.0=p 的情形,先写出X 的分布律:

{}.,2,1,)55.0(45.01 ===-k k X P k

因{}{},,k j k X j X ≠Φ=== 故X 取偶数的概率为

{}311155.0155.045.0)55.0(45.02)2(2

1121

1=-⨯====⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑∑∞

=-∞=∞=k k k k k X P k X P 。

5．一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的.求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？

解:因为学生靠猜测答对每一道题的概率4

1=p ,所以这是一个41

,5==p n 的独立重

复试验,故

64

1)43()41(43)41()4(0

555445=+⨯=≥C C X P .

6．设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3.当A 发生不少于3次时,指示灯发出信号.

(1)进行了5次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率；

解:设X 表示在5次实验中A 发生的次数,则)3.0,5(~B X ,指示灯发出信号这一事件可表示为{}3≥X ,故所求的概率为

{}163.03.0)3.01(3.0)3.01(3.03544

52335=+-+-=≥C C X P .

(2) 进行了7次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率。

解:设Y 表示在7次试验中A 发生的次数,则)3.0,7(~B Y ,故指示灯发出信号的概率为

{}{}{}{}

353

.03.0)3.01(3.0)3.01()3.01(1210132

5

27

6

1

7

7

=⨯--⨯----==-=-=-=≥C C Y P Y P Y P Y P

7．为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员.根据经验每台设备发生故障的概率为0.01，各台设备工作情况相互独立.

(1)若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；