人教A版高中数学同步辅导与检测必修1全集

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人教a版高中数学必修1全册同步测控知能训练题集含答案

人教A高中数学必修1 知能优化训练1．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的一个是()A．{x|x是小于18的正奇数}B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k＜5}C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5}D．{x|x＝4s－3，s∈N*，且s≤5}解析：选D.A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3,7,11,15；B中k取负数，多了若干元素；C中t＝0时多了－3这个元素，只有D是正确的．2．集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，S＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，a∈P，b∈M，设c＝a＋b，则有()A．c∈P B．c∈MC．c∈S D．以上都不对解析：选B.∵a∈P，b∈M，c＝a＋b，设a＝2k1，k1∈Z，b＝2k2＋1，k2∈Z，∴c＝2k1＋2k2＋1＝2(k1＋k2)＋1，又k1＋k2∈Z，∴c∈M.3．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B 的所有元素之和为()A．0 B．2C．3 D．6解析：选D.∵z＝xy，x∈A，y∈B，∴z的取值有：1×0＝0,1×2＝2,2×0＝0,2×2＝4，故A*B＝{0,2,4}，∴集合A*B的所有元素之和为：0＋2＋4＝6.4．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，C＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，则用列举法表示集合C ＝____________.解析：∵C＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，∴满足条件的点为：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)．答案：{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)}1．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示()A．方程y＝2x－1B．点(x，y)C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合答案：D2．设集合M＝{x∈R|x≤33}，a＝26，则()A．a∉M B．a∈MC．{a}∈M D．{a|a＝26}∈M解析：选B.(26)2－(33)2＝24－27<0，故26<3 3.所以a ∈M .3．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x －y ＝9的解集是( )A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y ＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－4，该方程组有一组解(5，－4)，解集为{(5，－4)}．4．下列命题正确的有( ) (1)很小的实数可以构成集合；(2)集合{y |y ＝x 2－1}与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合；(3)1，32，64，|－12|,0.5这些数组成的集合有5个元素；(4)集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：选A.(1)错的原因是元素不确定；(2)前者是数集，而后者是点集，种类不同；(3)32＝64，|－12|＝0.5，有重复的元素，应该是3个元素；(4)本集合还包括坐标轴． 5．下列集合中，不同于另外三个集合的是( ) A ．{0} B ．{y |y 2＝0} C ．{x |x ＝0} D ．{x ＝0}解析：选D.A 是列举法，C 是描述法，对于B 要注意集合的代表元素是y ，故与A ，C 相同，而D 表示该集合含有一个元素，即“x ＝0”．6．设P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{4,5,6,7,8}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q ，a ≠b }，则P *Q 中元素的个数为( )A ．4B ．5C ．19D ．20解析：选C.易得P *Q 中元素的个数为4×5－1＝19.故选C 项．7．由实数x ，－x ，x 2，－3x 3所组成的集合里面元素最多有________个．解析：x 2＝|x |，而－3x 3＝－x ，故集合里面元素最多有2个．答案：28．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |4x －3∈Z ，试用列举法表示集合A ＝________.解析：要使4x －3∈Z ，必须x －3是4的约数．而4的约数有－4，－2，－1,1,2,4六个，则x ＝－1,1,2,4,5,7，要注意到元素x 应为自然数，故A ＝{1,2,4,5,7}答案：{1,2,4,5,7}9．集合{x |x 2－2x ＋m ＝0}含有两个元素，则实数m 满足的条件为________．解析：该集合是关于x 的一元二次方程的解集，则Δ＝4－4m >0，所以m <1. 答案：m <110. 用适当的方法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数；(2)图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合(不含虚线)；(3)满足方程x ＝|x |，x ∈Z 的所有x 的值构成的集合B .解：(1){x |x ＝3n ，n ∈Z }；(2){(x ，y )|－1≤x ≤2，－12≤y ≤1，且xy ≥0}；(3)B ＝{x |x ＝|x |，x ∈Z }．11．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a ∈R .若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A .解：∵1是集合A 中的一个元素，∴1是关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0的一个根， ∴a ·12＋2×1＋1＝0，即a ＝－3. 方程即为－3x 2＋2x ＋1＝0，解这个方程，得x 1＝1，x 2＝－13，∴集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，1.12．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}，若A 中元素至多只有一个，求实数a 的取值范围．解：①a ＝0时，原方程为－3x ＋2＝0，x ＝23，符合题意．②a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0为一元二次方程．由Δ＝9－8a ≤0，得a ≥98.∴当a ≥98时，方程ax 2－3x ＋2＝0无实数根或有两个相等的实数根．综合①②，知a ＝0或a ≥98.1．下列各组对象中不能构成集合的是()A．水浒书业的全体员工B．《优化方案》的所有书刊C．2010年考入清华大学的全体学生D．美国NBA的篮球明星解析：选D.A、B、C中的元素：员工、书刊、学生都有明确的对象，而D中对象不确定，“明星”没有具体明确的标准．2．(2011年上海高一检测)下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A．1B．2C．3 D．4解析：选B.①②正确，③④错误．3．集合A＝{一条边长为1，一个角为40°的等腰三角形}中有元素()A．2个B．3个C．4个D．无数个解析：选C.(1)当腰长为1时，底角为40°或顶角为40°.(2)当底边长为1时，底角为40°或顶角为40°，所以共有4个三角形．4．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有________个元素．解析：由x2－5x＋6＝0，解得x＝2或x＝3.由x2－x－2＝0，解得x＝2或x＝－1.答案：31．若以正实数x，y，z，w四个元素构成集合A，以A中四个元素为边长构成的四边形可能是()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形答案：A2．设集合A只含一个元素a，则下列各式正确的是()A．0∈A B．a∉AC．a∈A D．a＝A答案：C3．给出以下四个对象，其中能构成集合的有()①教2011届高一的年轻教师；②你所在班中身高超过1.70米的同学；③2010年广州亚运会的比赛项目；④1,3,5.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C.因为未规定年轻的标准，所以①不能构成集合；由于②③④中的对象具备确定性、互异性，所以②③④能构成集合．4．若集合M＝{a，b，c}，M中元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选D.根据元素的互异性可知，a ≠b ，a ≠c ，b ≠c . 5．下列各组集合，表示相等集合的是( ) ①M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}； ②M ＝{3,2}，N ＝{2,3}； ③M ＝{(1,2)}，N ＝{1,2}． A ．① B ．②C ．③D ．以上都不对解析：选B.①中M 中表示点(3,2)，N 中表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M 表示一个元素：点(1,2)，N 中表示两个元素分别为1,2.6．若所有形如a ＋2b (a ∈Q 、b ∈Q )的数组成集合M ，对于x ＝13－52，y ＝3＋2π，则有( )A ．x ∈M ，y ∈MB ．x ∈M ，y ∉MC ．x ∉M ，y ∈MD ．x ∉M ，y ∉M解析：选B.∅x ＝13－52＝－341－5412，y ＝3＋2π中π是无理数，而集合M 中，b ∈Q ，得x ∈M ，y ∉M .7．已知①5∈R ；②13∈Q ；③0＝{0}；④0∉N ；⑤π∈Q ；⑥－3∈Z .其中正确的个数为________．解析：③错误，0是元素，{0}是一个集合；④0∈N ；⑤π∉Q ，①②⑥正确．答案：38．对于集合A ＝{2,4,6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的取值是________．解析：当a ＝2时，6－a ＝4∈A ；当a ＝4时，6－a ＝2∈A ；当a ＝6时，6－a ＝0∉A ，所以a ＝2或a ＝4. 答案：2或49．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b 的可能取值组成的集合中元素的个数为________．解析：当a >0，b >0时，|a |a ＋|b |b＝2；当a ·b <0时，|a |a ＋|b |b＝0；当a <0且b <0时，|a |a ＋|b |b ＝－2.所以集合中的元素为2,0，－2.即元素的个数为3. 答案：310．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈A ，试求实数a 的值．解：∵－3∈A ，∴－3＝a －3或－3＝2a －1. 若－3＝a －3，则a ＝0，此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a －1，则a ＝－1，此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.11．集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，试判断12－3是不是集合A 中的元素？解：∵12－3＝2＋3＝2＋3×1，而2,1∈Z ，∴2＋3∈A ，即12－3∈A .12．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，试求a 与b 的值．解：根据集合中元素的互异性，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2b ＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14b ＝12.再根据集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14b ＝12.1．下列六个关系式，其中正确的有()①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}．A．6个B．5个C．4个D．3个及3个以下解析：选C.①②⑤⑥正确．2．已知集合A，B，若A不是B的子集，则下列命题中正确的是()A．对任意的a∈A，都有a∉BB．对任意的b∈B，都有b∈AC．存在a0，满足a0∈A，a0∉BD．存在a0，满足a0∈A，a0∈B解析：选C.A不是B的子集，也就是说A中存在不是B中的元素，显然正是C选项要表达的．对于A和B选项，取A＝{1,2}，B＝{2,3}可否定，对于D选项，取A＝{1}，B＝{2,3}可否定．3．设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则a的取值范围是()A．a≥2 B．a≤1C．a≥1 D．a≤2解析：选A.A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，要使A B，则应有a≥2.4．集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，a∈R}的子集的个数为________．解析：∵Δ＝9－4(2－a2)＝1＋4a2＞0，∴M恒有2个元素，所以子集有4个．答案：41．如果A＝{x|x>－1}，那么()A．0⊆A B．{0}∈AC．∅∈A D．{0}⊆A解析：选D.A、B、C的关系符号是错误的．2．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则()A．A>B B．A BC．B A D．A⊆B解析：选C.利用数轴(图略)可看出x∈B⇒x∈A，但x∈A⇒x∈B不成立．3．定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若A＝{1,3,5,7,9}，B＝{2,3,5}，则A－B等于() A．A B．BC．{2} D．{1,7,9}解析：选D.从定义可看出，元素在A中但是不能在B中，所以只能是D.4．以下共有6组集合．(1)A＝{(－5,3)}，B＝{－5,3}；(2)M＝{1，－3}，N＝{3，－1}；(3)M＝∅，N＝{0}；(4)M＝{π}，N＝{3.1415}；(5)M＝{x|x是小数}，N＝{x|x是实数}；(6)M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0}．其中表示相等的集合有()A ．2组B ．3组C ．4组D ．5组解析：选A.(5)，(6)表示相等的集合，注意小数是实数，而实数也是小数．5．定义集合间的一种运算“*”满足：A *B ＝{ω|ω＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }．若集合A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则A *B 的子集的个数是( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：选B.在集合A 和B 中分别取出元素进行*的运算，有0·2·(0＋2)＝0·3·(0＋3)＝0,1·2·(1＋2)＝6,1·3·(1＋3)＝12，因此可知A *B ＝{0,6,12}，因此其子集个数为23＝8，选B. 6．设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ⊆B }，则A 与B 的关系是( ) A ．A ⊆B B ．B ⊆A C ．A ∈B D ．B ∈A解析：选D.∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，∅， ∴A ＝{x |x ⊆B }＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}，∴B ∈A .7．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|yx ＝1}，则A 、B 间的关系为________．解析：在A 中，(0,0)∈A ，而(0,0)∉B ，故BA .答案：B A8．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ⊇B ，则a 的值为________．解析：A ⊇B ，则a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a ，解得a ＝2或a ＝－1或a ＝1，结合集合元素的互异性，可确定a ＝－1或a ＝2.答案：－1或29．已知A ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，B ＝{x |a ≤x ＜a ＋4}，若A B ，则实数a 的取值范围是________．解析：作出数轴可得，要使AB ，则必须a ＋4≤－1或a ＞5，解之得{a |a ＞5或a ≤－5}．答案：{a |a ＞5或a ≤－5}10．已知集合A ＝{a ，a ＋b ，a ＋2b }，B ＝{a ，ac ，ac 2}，若A ＝B ，求c 的值．解：①若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝aca ＋2b ＝ac 2，消去b 得a ＋ac 2－2ac ＝0，即a (c 2－2c ＋1)＝0.当a ＝0时，集合B 中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性，故a ≠0，c 2－2c ＋1＝0，即c ＝1；当c ＝1时，集合B 中的三个元素也相同， ∴c ＝1舍去，即此时无解．②若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝ac 2a ＋2b ＝ac ，消去b 得2ac 2－ac －a ＝0，即a (2c 2－c －1)＝0.∵a ≠0，∴2c 2－c －1＝0，即(c －1)(2c ＋1)＝0.又∵c ≠1，∴c ＝－12.11．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}．(1)若A B ，求a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求a 的取值范围．解：(1)若AB ，由图可知，a >2.(2)若B ⊆A ，由图可知，1≤a ≤2.12．若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且BA ，求实数m 的值．解：A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}． ∵BA ，∴mx ＋1＝0的解为－3或2或无解．当mx ＋1＝0的解为－3时，由m ·(－3)＋1＝0，得m ＝13；当mx ＋1＝0的解为2时，由m ·2＋1＝0，得m ＝－12；当mx ＋1＝0无解时，m ＝0.综上所述，m ＝13或m ＝－12或m ＝0.1．(2010年高考辽宁卷)已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁U A＝()A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}解析：选D.∁U A＝{3,9}，故选D.2．(2010年高考陕西卷)集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩(∁R B)＝() A．{x|x＞1} B．{x|x≥1}C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2}解析：选D.∵B＝{x|x＜1}，∴∁R B＝{x|x≥1}，∴A∩∁R B＝{x|1≤x≤2}．3. 已知全集U＝Z，集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于()A．{－1,2} B．{－1,0}C．{0,1} D．{1,2}解析：选A.依题意知A＝{0,1}，(∁U A)∩B表示全集U中不在集合A中，但在集合B中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}．选A.4．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∁U A＝{x|2≤x≤5}，则a＝________.解析：∵A∪∁U A＝U，∴A＝{x|1≤x＜2}．∴a＝2.答案：21．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，且A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，则A∩(∁U B)等于()A．{2} B．{5}C．{3,4} D．{2,3,4,5}解析：选C.∁U B＝{3,4,5}，∴A∩(∁U B)＝{3,4}．2．已知全集U＝{0,1,2}，且∁U A＝{2}，则A＝()A．{0} B．{1}C．∅D．{0,1}解析：选D.∵∁U A＝{2}，∴2∉A，又U＝{0,1,2}，∴A＝{0,1}．3．(2009年高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4，7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有()A．3个B．4个C．5个D．6个解析：选A.U＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}，∴∁U(A∩B)＝{3,5,8}．4．已知集合U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则()A．M∩N＝{4,6} B．M∪N＝UC．(∁U N)∪M＝U D．(∁U M)∩N＝N解析：选B.由U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，得M∩N＝{4,5}，(∁U N)∪M＝{3,4,5,7}，(∁U M)∩N＝{2,6}，M∪N＝{2,3,4,5,6,7}＝U，选B.5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B.∵A＝{1,2}，∴B＝{2,4}，∴A∪B＝{1,2,4}，∴∁U(A∪B)＝{3,5}．6．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为()A．mn B．m＋nC．n－m D．m－n解析：选D.U＝A∪B中有m个元素，∵(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素，故选D.7．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(∁U C)＝________.解析：∵A∪B＝{2,3,4,5}，∁U C＝{1,2,5}，∴(A∪B)∩(∁U C)＝{2,3,4,5}∩{1,2,5}＝{2,5}．答案：{2,5}8．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________．解析：∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，∁U A＝{1}，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.答案：－1或29．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2＜x＜4}，全集U＝R，且(∁U A)∩B＝∅，求实数m的取值范围为________．解析：由已知A＝{x|x≥－m}，∴∁U A＝{x|x＜－m}，∵B＝{x|－2＜x＜4}，(∁U A)∩B＝∅，∴－m≤－2，即m≥2，∴m的取值范围是m≥2.答案：{m|m≥2}10．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，P＝{x|x≤0或x≥5 2}，求A∩B，(∁U B)∪P，(A∩B)∩(∁U P)．解：将集合A、B、P表示在数轴上，如图．∵A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}， ∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}． ∵∁U B ＝{x |x ≤－1或x ＞3}，∴(∁U B )∪P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，(A ∩B )∩(∁U P )＝{x |－1＜x ＜2}∩{x |0＜x ＜52}＝{x |0＜x ＜2}． 11．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足B ∩(∁U A )＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a ，b 的值．解：∵B ∩(∁U A )＝{2}，∴2∈B ，但2∉A .∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A ，但4∉B .∴⎩⎪⎨⎪⎧42＋4a ＋12b ＝022－2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝87b ＝127.∴a ，b 的值为87，－127.12．已知集合A ＝{x |2a －2<x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∁R B ，求实数a 的取值范围．解：∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}≠∅， ∵A∁R B ，∴分A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论． ①若A ＝∅，此时有2a －2≥a ， ∴a ≥2.②若A ≠∅，则有⎩⎨⎧2a －2<a a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a2a －2≥2.∴a ≤1.综上所述，a ≤1或a ≥2.1．(2010年高考广东卷)若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则集合A∩B＝() A．{x|－1＜x＜1} B．{x|－2＜x＜1}C．{x|－2＜x＜2} D．{x|0＜x＜1}解析：选D.因为A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，所以A∩B＝{x|0＜x＜1}．2．(2010年高考湖南卷)已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}则()A．M⊆N B．N⊆MC．M∩N＝{2,3} D．M∪N＝{1,4}解析：选C.∵M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}．∴选项A、B显然不对．M∪N＝{1,2,3,4}，∴选项D错误．又M∩N＝{2,3}，故选C.3．已知集合M＝{y|y＝x2}，N＝{y|x＝y2}，则M∩N＝()A．{(0,0)，(1,1)} B．{0,1}C．{y|y≥0} D．{y|0≤y≤1}解析：选C.M＝{y|y≥0}，N＝R，∴M∩N＝M＝{y|y≥0}．4．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．解析：A∪B＝A，即B⊆A，∴m≥2.答案：m≥21．下列关系Q∩R＝R∩Q；Z∪N＝N；Q∪R＝R∪Q；Q∩N＝N中，正确的个数是() A．1B．2C．3 D．4解析：选C.只有Z∪N＝N是错误的，应是Z∪N＝Z.2．(2010年高考四川卷)设集合A＝{3,5,6,8}，集合B＝{4,5,7,8}，则A∩B等于() A．{3,4,5,6,7,8} B．{3,6}C．{4,7} D．{5,8}解析：选D.∵A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，∴A∩B＝{5,8}．3．(2009年高考山东卷)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为()A．0 B．1C．2 D．4解析：选D.根据元素特性，a≠0，a≠2，a≠1.∴a＝4.4．已知集合P＝{x∈N|1≤x≤10}，集合Q＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则P∩Q等于() A．{2} B．{1,2}C．{2,3} D．{1,2,3}解析：选A.Q＝{x∈R|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．∴P∩Q＝{2}．5．(2010年高考福建卷)若集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}，则A∩B等于() A．{x|2＜x≤3} B．{x|x≥1}C．{x|2≤x＜3} D．{x|x＞2}解析：选A.∵A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＞2}，∴A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}． 6．设集合S ＝{x |x ＞5或x ＜－1}，T ＝{x |a ＜x ＜a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是( ) A ．－3＜a ＜－1 B ．－3≤a ≤－1 C ．a ≤－3或a ≥－1 D ．a ＜－3或a ＞－1 解析：选A.S ∪T ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋8＞5，a ＜－1.∴－3＜a ＜－1. 7．(2010年高考湖南卷)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2，m,4}，A ∩B ＝{2,3}，则m ＝________.解析：∵A ∩B ＝{2,3}，∴3∈B ，∴m ＝3. 答案：38．满足条件{1,3}∪M ＝{1,3,5}的集合M 的个数是________．解析：∵{1,3}∪M ＝{1,3,5}，∴M 中必须含有5，∴M 可以是{5}，{5,1}，{5,3}，{1,3,5}，共4个．答案：49．若集合A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |x ≥a }，且满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝________. 解析：当a ＞2时，A ∩B ＝∅；当a ＜2时，A ∩B ＝{x |a ≤x ≤2}；当a ＝2时，A ∩B ＝{2}．综上：a ＝2. 答案：210．已知A ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，B ＝{x |x 2＋cx ＋15＝0}，A ∪B ＝{3,5}，A ∩B ＝{3}，求实数a ，b ，c 的值．解：∵A ∩B ＝{3}，∴由9＋3c ＋15＝0，解得c ＝－8.由x 2－8x ＋15＝0，解得B ＝{3,5}，故A ＝{3}．又a 2－4b ＝0，解得a ＝－6，b ＝9.综上知，a ＝－6，b ＝9，c ＝－8.11．已知集合A ＝{x |x －2＞3}，B ＝{x |2x －3＞3x －a }，求A ∪B . 解：A ＝{x |x －2＞3}＝{x |x ＞5}， B ＝{x |2x －3＞3x －a }＝{x |x ＜a －3}．借助数轴如图：①当a －3≤5，即a ≤8时， A ∪B ＝{x |x ＜a －3或x ＞5}． ②当a －3＞5，即a ＞8时，A ∪B ＝{x |x ＞5}∪{x |x ＜a －3}＝{x |x ∈R }＝R . 综上可知当a ≤8时，A ∪B ＝{x |x ＜a －3或x ＞5}；当a ＞8时，A ∪B ＝R .12．设集合A ＝{(x ，y )|2x ＋y ＝1，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|a 2x ＋2y ＝a ，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∅，求a 的值．解：集合A 、B 的元素都是点，A ∩B 的元素是两直线的公共点．A ∩B ＝∅，则两直线无交点，即方程组无解．列方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝1a 2x ＋2y ＝a ，解得(4－a 2)x ＝2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧4－a 2＝02－a ≠0，即a ＝－2.1．下列说法中正确的为( )A ．y ＝f (x )与y ＝f (t )表示同一个函数B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)不可能是同一函数C ．f (x )＝1与f (x )＝x 0表示同一函数D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数解析：选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关，判断两个函数是否相同，主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同．2．下列函数完全相同的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3解析：选B.A 、C 、D 的定义域均不同． 3．函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( ) A ．{x |x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |x ≥1或x ≤0} D ．{x |0≤x ≤1}解析：选D.由⎩⎨⎧1－x ≥0x ≥0，得0≤x ≤1.4．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有________．解析：由函数定义可知，任意作一条直线x ＝a ，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－1≤a ≤1时，直线x ＝a 与函数的图象仅有一个交点，当a ＞1或a ＜－1时，直线x ＝a 与函数的图象没有交点．从而表示y 是x 的函数关系的有(2)(3)．答案：(2)(3)1．函数y ＝1x的定义域是( )A ．RB ．{0}C ．{x |x ∈R ，且x ≠0}D ．{x |x ≠1}解析：选C.要使1x 有意义，必有x ≠0，即y ＝1x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}．2．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( ) A ．x ＝y 2＋1 B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6 D ．x ＝y解析：选A.一个x 对应的y 值不唯一． 3．下列说法正确的是( )A ．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域可以是空集C ．函数的定义域和值域一定是数集D ．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了解析：选C.根据从集合A 到集合B 函数的定义可知，强调A 中元素的任意性和B 中对应元素的唯一性，所以A 中的多个元素可以对应B 中的同一个元素，从而选项A 错误；同样由函数定义可知，A 、B 集合都是非空数集，故选项B 错误；选项C 正确；对于选项D ，可以举例说明，如定义域、值域均为A ＝{0,1}的函数，对应关系可以是x →x ，x ∈A ，可以是x →x ，x ∈A ，还可以是x →x 2，x ∈A .4．下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( ) A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方 C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值解析：选A.按照函数定义，选项B 中集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C 中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A 中任意元素都对应唯一函数值的要求；选项D 中，集合A 中的元素0在集合B 中没有元素与其对应，也不符合函数定义，只有选项A 符合函数定义． 5．下列各组函数表示相等函数的是( )A ．y ＝x 2－3x －3与y ＝x ＋3(x ≠3)B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z解析：选C.A 、B 与D 对应法则都不同．6．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 一定是( ) A ．∅ B ．∅或{1} C ．{1} D ．∅或{2}解析：选B.由f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果B ＝{1,2}，则A ＝{－1,1，－2，2}或A ＝{－1,1，－2}或A ＝{－1,1，2}或A ＝{－1，2，－2}或A ＝{1，－2，2}或A ＝{－1，－2}或A ＝{－1，2}或A ＝{1，2}或A ＝{1，－2}．所以A ∩B ＝∅或{1}． 7．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．解析：由题意3a －1＞a ，则a ＞12.答案：(12，＋∞)8．函数y ＝(x ＋1)03－2x 的定义域是________．解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠03－2x ＞0，即x ＜32且x ≠－1.答案：(－∞，－1)∪(－1，32)9．函数y ＝x 2－2的定义域是{－1,0,1,2}，则其值域是________．解析：当x 取－1,0,1,2时， y ＝－1，－2，－1,2，故函数值域为{－1，－2,2}．答案：{－1，－2,2}10．求下列函数的定义域： (1)y ＝－x 2x 2－3x －2；(2)y ＝34x ＋83x －2.解：(1)要使y ＝－x2x 2－3x －2有意义，则必须⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得x ≤0且x ≠－12，故所求函数的定义域为{x |x ≤0，且x ≠－12}．(2)要使y ＝34x ＋83x －2有意义，则必须3x －2＞0，即x ＞23，故所求函数的定义域为{x |x＞23}． 11．已知f (x )＝11＋x(x ∈R 且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )． (1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (2))的值．解：(1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13，又∵g (x )＝x 2＋2， ∴g (2)＝22＋2＝6. (2)由(1)知g (2)＝6，∴f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17.12．已知函数y ＝ax ＋1(a ＜0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范围．解：函数y ＝ax ＋1(a ＜0且a 为常数)．∵ax ＋1≥0，a ＜0，∴x ≤－1a ，即函数的定义域为(－∞，－1a ]．∵函数在区间(－∞，1]上有意义，∴(－∞，1]⊆(－∞，－1a]，∴－1a ≥1，而a ＜0，∴－1≤a ＜0.即a 的取值范围是[－1,0)．1．已知集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{0,1}，下列对应不是A 到B 的映射的是( )解析：选C.A 、B 、D 均满足映射的定义，C 不满足A 中任一元素在B 中都有唯一元素与之对应，且A 中元素b 在B 中无元素与之对应．2．(2011年葫芦岛高一检测)设f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3 (x ＞10)f (f (x ＋5)) (x ≤10)，则f (5)的值是( ) A ．24 B ．21 C ．18 D ．16解析：选A.f (5)＝f (f (10))， f (10)＝f (f (15))＝f (18)＝21， f (5)＝f (21)＝24.3．函数y ＝x ＋|x |x的图象为( )解析：选C.y ＝x ＋|x |x＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x >0)x －1 (x <0)，再作函数图象．4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x ＜11x， x ＞1的值域是________．解析：当x ＜1时，x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34；当x ＞1时，0＜1x ＜1，则所求值域为(0，＋∞)，故填(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)1．设f ：A →B 是集合A 到B 的映射，其中A ＝{x |x ＞0}，B ＝R ，且f ：x →x 2－2x －1，则A 中元素1＋2的像和B 中元素－1的原像分别为( )A.2，0或2 B ．0,2 C ．0,0或2 D ．0,0或 2 答案：C2．某城市出租车起步价为10元，最长可租乘3 km(含3 km)，以后每1 km 为1.6元(不足1 km ，按1 km 计费)，若出租车行驶在不需等待的公路上，则出租车的费用y (元)与行驶的里程x (km)之间的函数图象大致为( )解析：选C.由题意，当0＜x ≤3时，y ＝10；当3＜x ≤4时，y ＝11.6；当4＜x ≤5时，y ＝13.2； …当n －1＜x ≤n 时，y ＝10＋(n －3)×1.6，故选C.3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2(0≤x ≤3)x 2＋6x (－2≤x ≤0)的值域是( )A ．RB ．[－9，＋∞)C ．[－8,1]D ．[－9,1]解析：选C.画出图象，也可以分段求出部分值域，再合并，即求并集． 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x ≤－1)，x 2(－1＜x ＜2)2x (x ≥2)，若f (x )＝3，则x 的值是( ) A ．1B ．1或32C ．1，32或±3D. 3解析：选D.该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)， ∴f (x )＝x 2＝3，x ＝±3，而－1＜x ＜2，∴x ＝ 3.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x 为有理数，0， x 为无理数，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0， x 为有理数，1， x 为无理数，当x ∈R 时，f (g (x ))，g (f (x ))的值分别为( )A ．0,1B ．0,0C ．1,1D ．1,0解析：选D.g (x )∈Q ，f (x )∈Q ，f (g (x ))＝1，g (f (x ))＝0.6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2 (x ≤－1)，2(x ＋1) (－1<x <1)，1x －1 (x ≥1)，已知f (a )>1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－12，12 C ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－12，1 D.⎝⎛⎭⎫－12，12∪(1，＋∞) 解析：选C.f (a )>1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－1(a ＋1)2>1或⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <12(a ＋1)>1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥11a －1>1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1a <－2或a >0或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <1a >－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥10<a <12 ⇔a <－2或－12<a <1.即所求a 的取值范围是(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－12，1. 7．设A ＝B ＝{a ，b ，c ，d ，…，x ，y ，z }(元素为26个英文字母)，作映射f ：A →B 为A 中每一个字母与B 中下一个字母对应，即：a →b ，b →c ，c →d ，…，z →a ，并称A 中的字母组成的文字为明文，B 中相应的字母为密文，试破译密文“nbuj ”：________.解析：由题意可知m →n ，a →b ，t →u ，i →j ，所以密文“nbuj ”破译后为“mati ”．答案：mati8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，f (x －2)， x ＞0，则f (4)＝________.解析：f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.答案：09．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0，则不等式x ＋(x ＋2)·f (x ＋2)≤5的解集是________．解析：原不等式可化为下面两个不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0x ＋(x ＋2)·1≤5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＜0x ＋(x ＋2)·(－1)≤5，解得－2≤x ≤32或x ＜－2，即x ≤32.答案：(－∞，32]10．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2(－1≤x ≤1)1 (x ＞1或x ＜－1)，(1)画出f (x )的图象；(2)求f (x )的定义域和值域．解：(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示． (2)由条件知，函数f (x )的定义域为R. 由图象知，当－1≤x ≤1时， f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＝1，所以f (x )的值域为[0,1]．11．某汽车以52千米/小时的速度从A 地到260千米远的B 地，在B 地停留112小时后，再以65千米/小时的速度返回A 地．试将汽车离开A 地后行驶的路程s (千米)表示为时间t (小时)的函数．解：∵260÷52＝5(小时)，260÷65＝4(小时)，∴s ＝⎩⎨⎧52t (0≤t ≤5)，260 ⎝⎛⎭⎫5＜t ≤612，260＋65⎝⎛⎭⎫t －612 ⎝⎛⎭⎫612＜t ≤1012.12. 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 与x 的函数解析式，并画出大致图象．解：过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H . 因为ABCD 是等腰梯形，底角为45°，AB ＝2 2 cm ，所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm. 又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm. ①当点F 在BG 上时，即x ∈[0,2]时，y ＝12x 2；②当点F 在GH 上时，即x ∈(2,5]时，y ＝x ＋(x －2)2×2＝2x －2；③当点F 在HC 上时，即x ∈(5,7]时， y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt △CEF ＝12(7＋3)×2－12(7－x )2 ＝－12(x －7)2＋10.综合①②③，得函数解析式为y ＝⎩⎨⎧12x 2(x ∈[0，2])2x －2 x ∈(2，5].－12(x －7)2＋10 x ∈(5，7]函数图象如图所示．1．下列各图中，不能是函数f (x )图象的是()解析：选C.结合函数的定义知，对A 、B 、D ，定义域中每一个x 都有唯一函数值与之对应；而对C ，对大于0的x 而言，有两个不同值与之对应，不符合函数定义，故选C.2．若f (1x )＝11＋x，则f (x )等于( )A.11＋x(x ≠－1) B.1＋x x (x ≠0)C.x 1＋x(x ≠0且x ≠－1) D ．1＋x (x ≠－1) 解析：选C.f (1x )＝11＋x ＝1x 1＋1x(x ≠0)，∴f (t )＝t1＋t (t ≠0且t ≠－1)，∴f (x )＝x1＋x(x ≠0且x ≠－1)．3．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3 D ．2x －3解析：选B.设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝－2，∴f (x )＝3x －2. 4．已知f (2x )＝x 2－x －1，则f (x )＝________.解析：令2x ＝t ，则x ＝t2，∴f (t )＝⎝⎛⎭⎫t 22－t 2－1，即f (x )＝x 24－x 2－1.答案：x 24－x 2－11．下列表格中的x 与y 能构成函数的是( ) A.B.C.D.解析：选C.A 中，当x ＝0时，y ＝±1；B 中0是偶数，当x ＝0时，y ＝0或y ＝－1；D 中自然数、整数、有理数之间存在包含关系，如x ＝1∈N(Z ，Q)，故y 的值不唯一，故A 、B 、D 均不正确．2．若f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f (12)等于( )A ．1B ．3C ．15D ．30 解析：选C.法一：令1－2x ＝t ，则x ＝1－t 2(t ≠1)，∴f (t )＝4(t －1)2－1，∴f (12)＝16－1＝15.法二：令1－2x ＝12，得x ＝14，∴f (12)＝16－1＝15. 3．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7解析：选B.∵g (x ＋2)＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1，∴g (x )＝2x －1.4．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中较符合此学生走法的是( )解析：选D.由于纵轴表示离学校的距离，所以距离应该越来越小，排除A 、C ，又一开始跑步，速度快，所以D 符合．5．如果二次函数的二次项系数为1且图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝x 2－1B ．f (x )＝－(x －1)2＋1C ．f (x )＝(x －1)2＋1D ．f (x )＝(x －1)2－1解析：选D.设f (x )＝(x －1)2＋c ，由于点(0,0)在函数图象上， ∴f (0)＝(0－1)2＋c ＝0，∴c ＝－1，∴f (x )＝(x －1)2－1.6．已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的函数解析式为( )A ．y ＝12x (x >0)B ．y ＝24x (x >0)C ．y ＝28x (x >0)D ．y ＝216x (x >0)解析：选C.设正方形的边长为a ，则4a ＝x ，a ＝x4，其外接圆的直径刚好为正方形的一条对角线长．故2a ＝2y ，所以y ＝22a ＝22×x 4＝28x .7．已知f (x )＝2x ＋3，且f (m )＝6，则m 等于________．解析：2m ＋3＝6，m ＝32.答案：328. 如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f [1f (3)]的值等于________．解析：由题意，f (3)＝1，∴f [1f (3)]＝f (1)＝2. 答案：29．将函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得函数y ＝x 2的图象，则函数f (x )的解析式为__________________．解析：将函数y ＝x 2的图象向下平移2个单位，得函数y ＝x 2－2的图象，再将函数y ＝x 2－2的图象向右平移1个单位，得函数y ＝(x －1)2－2的图象，即函数y ＝f (x )的图象，故f (x )＝x 2－2x －1.答案：f (x )＝x 2－2x －110．已知f (0)＝1，f (a －b )＝f (a )－b (2a －b ＋1)，求f (x )．解：令a ＝0，则f (－b )＝f (0)－b (－b ＋1) ＝1＋b (b －1)＝b 2－b ＋1.再令－b ＝x ，即得f (x )＝x 2＋x ＋1.11．已知f (x ＋1x )＝x 2＋1x 2＋1x，求f (x )．解：∵x ＋1x ＝1＋1x ，x 2＋1x 2＝1＋1x 2，且x ＋1x≠1，∴f (x ＋1x )＝f (1＋1x )＝1＋1x 2＋1x＝(1＋1x )2－(1＋1x)＋1.∴f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．12．设二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，对于x ∈R 恒成立，且f (x )＝0的两个实根的平方和为10，f (x )的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式．解：∵f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称．于是，设f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)，则由f (0)＝3，可得k ＝3－4a ， ∴f (x )＝a (x －2)2＋3－4a ＝ax 2－4ax ＋3.∵ax 2－4ax ＋3＝0的两实根的平方和为10，∴10＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16－6a ， ∴a ＝1.∴f (x )＝x 2－4x ＋3.1．函数f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上的最大值为( ) A ．9 B ．9(1－a ) C ．9－a D ．9－a 2 解析：选A.x ∈[0,3]时f (x )为减函数，f (x )max ＝f (0)＝9. 2．函数y ＝x ＋1－x －1的值域为( ) A ．(－∞， 2 ] B ．(0， 2 ] C ．[2，＋∞) D ．[0，＋∞)解析：选B.y ＝x ＋1－x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0x －1≥0，∴x ≥1. ∵y ＝2x ＋1＋x －1为[1，＋∞)上的减函数，∴f (x )max ＝f (1)＝2且y ＞0.3．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2在[0，a ]上取得最大值3，最小值2，则实数a 为( ) A ．0或1 B ．1 C ．2 D ．以上都不对解析：选B.因为函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2＝(x －a )2－a 2＋a ＋2, 对称轴为x ＝a ，开口方向向上，所以f (x )在[0，a ]上单调递减，其最大值、最小值分别在两个端点处取得，即f (x )max ＝f (0)＝a ＋2＝3，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋a ＋2＝2.故a ＝1.4．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1.则xy 的最大值为________．解析：y 4＝1－x 3，∴0＜1－x3＜1,0＜x ＜3.而xy ＝x ·4(1－x 3)＝－43(x －32)2＋3.当x ＝32，y ＝2时，xy 最大值为3.答案：31．函数f (x )＝x 2在[0,1]上的最小值是( ) A ．1 B ．0 C.14D ．不存在解析：选B.由函数f (x )＝x 2在[0,1]上的图象(图略)知， f (x )＝x 2在[0,1]上单调递增，故最小值为f (0)＝0.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]x ＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对解析：选A.f (x )在x ∈[－1,2]上为增函数，f (x )max ＝f (2)＝10，f (x )min ＝f (－1)＝6.3．函数y ＝－x 2＋2x 在[1,2]上的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．不存在解析：选A.因为函数y ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1.对称轴为x ＝1，开口向下，故在[1,2]上为单调递减函数，所以y max ＝－1＋2＝1.4．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( )A ．2 B.12C.13 D ．－12解析：选B.函数y ＝1x －1在[2,3]上为减函数，∴y min ＝13－1＝12.5．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，其中销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元解析：选C.设公司在甲地销售x 辆(0≤x ≤15，x 为正整数)，则在乙地销售(15－x )辆，∴公司获得利润L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30.∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元，故选C.6．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：选C.f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a . ∴函数f (x )图象的对称轴为x ＝2， ∴f (x )在[0,1]上单调递增．又∵f (x )min ＝－2， ∴f (0)＝－2，即a ＝－2.f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.7．函数y ＝2x 2＋2，x ∈N *的最小值是________．解析：∵x ∈N *，∴x 2≥1， ∴y ＝2x 2＋2≥4，即y ＝2x 2＋2在x ∈N *上的最小值为4，此时x ＝1. 答案：48．已知函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[1，a ]，并且f (x )的最小值为f (a )，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知f (x )在[1，a ]上是单调递减的，又∵f (x )的单调减区间为(－∞，3]， ∴1<a ≤3. 答案：(1,3]9．函数f (x )＝xx ＋2在区间[2,4]上的最大值为________；最小值为________．解析：∵f (x )＝xx ＋2＝x ＋2－2x ＋2＝1－2x ＋2，∴函数f (x )在[2,4]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝22＋2＝12，f (x )max ＝f (4)＝44＋2＝23. 答案：23 1210．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2 (－12≤x ≤1)1x (1＜x ≤2)，求f (x )的最大、最小值．解：当－12≤x ≤1时，由f (x )＝x 2，得f (x )最大值为f (1)＝1，最小值为f (0)＝0；当1＜x ≤2时，由f (x )＝1x，得f (2)≤f (x )＜f (1)，即12≤f (x )＜1. 综上f (x )max ＝1，f (x )min ＝0.11．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：(1)当每辆车的月租金为3600元时，未租出的车辆数为3600－300050＝12.所以这时租出了88辆车．(2)设每辆车的月租金为x 元．则租赁公司的月收益为f (x )＝(100－x －300050)(x －150)－x －300050×50，整理得f (x )＝－x 250＋162x －21000＝－150(x －4050)2＋307050.所以，当x ＝4050时，f (x )最大，最大值为f (4050)＝307050.即当每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大．最大月收益为307050元．12．求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值．解：f (x )＝(x －a )2－1－a 2，对称轴为x ＝a .①当a＜0时，由图①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.②当0≤a＜1时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.③当1≤a≤2时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.④当a＞2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.综上所述，当a＜0时，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；当0≤a＜1时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝3－4a；当1≤a≤2时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝－1；当a＞2时，f(x)min＝3－4a，f(x)max＝－1.1．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )为增函数，当x ∈(－∞，－2]时，函数f (x )为减函数，则m 等于( )A ．－4B ．－8C ．8D ．无法确定解析：选B.二次函数在对称轴的两侧的单调性相反．由题意得函数的对称轴为x ＝－2，则m4＝－2，所以m ＝－8. 2．函数f (x )在R 上是增函数，若a ＋b ≤0，则有( ) A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )－f (b ) B ．f (a )＋f (b )≥－f (a )－f (b ) C ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )解析：选C.应用增函数的性质判断． ∵a ＋b ≤0，∴a ≤－b ，b ≤－a . 又∵函数f (x )在R 上是增函数， ∴f (a )≤f (－b )，f (b )≤f (－a )．∴f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )．3．下列四个函数：①y ＝x x －1；②y ＝x 2＋x ；③y ＝－(x ＋1)2；④y ＝x1－x＋2.其中在(－∞，0)上为减函数的是( )A ．①B ．④C ．①④D ．①②④解析：选A.①y ＝x x －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1.其减区间为(－∞，1)，(1，＋∞)． ②y ＝x 2＋x ＝(x ＋12)2－14，减区间为(－∞，－12)．③y ＝－(x ＋1)2，其减区间为(－1，＋∞)，④与①相比，可知为增函数．4．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是________．解析：对称轴x ＝k 8，则k 8≤5，或k8≥8，得k ≤40，或k ≥64，即对称轴不能处于区间内．答案：(－∞，40]∪[64，＋∞)1．函数y ＝－x 2的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞)解析：选A.根据y ＝－x 2的图象可得．2．若函数f (x )定义在[－1,3]上，且满足f (0)<f (1)，则函数f (x )在区间[－1,3]上的单调性是( )A ．单调递增B ．单调递减。

人教A版高中数学必修1同步检测第1章1.1.3第2课时补集及集合运算的综合应用

第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.3 集合的基本运算第2课时补集及集合运算的综合应用A级基础巩固一、选择题1．(2016·全国Ⅲ卷)设集合A＝{0，2，4，6，8，10}，B＝{4，8}，则∁A B＝()A．{4，8}B．{0，2，6}C．{0，2，6，10} D．{0，2，4，6，8，10}解析：因为集合A＝{0，2，4，6，8，10}，B＝{4，8}，所以∁A B＝{0，2，6，10}．答案：C2．设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为()A．{2} B．{4，6}C．{1，3，5} D．{4，6，7，8}解析：由题图可知阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，由题意知∁U A＝{4，6，7，8}，所以(∁U A)∩B＝{4，6}．故选B.答案：B3．(2016·浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，则(∁U P)∪Q＝()A．{1} B．{3，5}C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5}解析：因为∁U P＝{2，4，6}，又Q＝{1，2，4}，所以(∁U P)∪Q＝{1，2，4，6}，故选C.答案：C4．设全集是实数集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则(∁R M)∩N＝()A．{x|x<－2} B．{x|－2<x<1}C．{x|x<1} D．{x|－2≤x<1}解析：由题可知∁R M＝{x|x<－2或x>2}，故(∁R M)∩N＝{x|x<－2}．答案：A5．已知S＝{x|x是平行四边形或梯形}，A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}．下列式子不成立的是() A．B∩C＝{x|x是正方形}B．∁A B＝{x|x是邻边不相等的平行四边形}C．∁S A＝{x|x是梯形}D．A＝B∪C解析：根据平行四边形和梯形的概念知，选项D错误．答案：D二、填空题6．设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则∁U (A ∩B )＝________．解析：因为A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4，5}，所以A ∩B ＝{3}，故∁U (A ∩B )＝{1，2，4，5}．答案：{1，2，4，5}7．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2，3}，那么∁U A 的子集个数有________个．解析：∁U A ＝{4，5}，子集有∅，{4}，{5}，{4，5}，共4个．答案：48．已知全集U ＝{2，4，a 2－a ＋1}，A ＝{a ＋1，2}，∁U A ＝{7}，则a ＝________．解析：由∁U A ＝{7}，得4∈A ，故a ＋1＝4，即a ＝3，此时，U ＝{2，4，7}，满足A ⊆U ，故a ＝3.答案：3三、解答题9．设全集是数集U ＝{2，3，a 2＋2a －3}，已知A ＝{b ，2}，∁U A ＝{5}，求实数a ，b 的值．解：因为∁U A ＝{5}，所以5∈U 且5∉A .又b ∈A ，所以b ∈U ，由此得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －3＝5，b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3.经检验都符合题意． 10．已知集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，C ＝{x |x <a }，全集为实数集R.(1)求A ∪B ，(∁R A )∩B ；(2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．解：(1)因为A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，所以A ∪B ＝{x |2<x <10}．因为A ＝{x |3≤x <7}，所以∁R A ＝{x |x <3或x ≥7}，所以(∁R A )∩B ＝{x |x <3或x ≥7}∩{x |2<x <10}＝{x |2<x <3或7≤x <10}．(2)如图所示，当a >3时，A ∩C ≠∅.B 级能力提升1.设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x <－2，或x >2}，N ＝{x |1≤x ≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <1}B ．{x |－2≤x ≤3}C ．{x |x ≤2，或x >3}D ．{x |－2≤x ≤2}解析：阴影部分所表示的集合为∁U (M ∪N )＝(∁U M )∩(∁U N )＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |x <1或x >3}＝{x |－2≤x <1}．故选A.答案：A2．已知集合A ＝{0，2，4，6}，∁U A ＝{－1，1，－3，3}，∁U B ＝{－1，0，2}，则集合B ＝______________．解析：∵∁U A ＝{－1，1，－3，3}，∴U ＝{－1，1，0，2，4，6，－3，3}，又∁U B ＝{－1，0，2}，∴B ＝{1，4，6，－3，3}．答案：{1，4，6，－3，3}3．设全集U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，5，－3，集合A ＝{x |3x 2＋px －5＝0}，B＝{x |3x 2＋10x ＋q ＝0}，且A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13.求∁U A ，∁U B . 解：因为A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，所以－13∈A 且－13∈B ，所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫－132－13p －5＝0， 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－132－13×10＋q ＝0，解得p ＝－14，q ＝3.故A ＝{x |3x 2－14x －5＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，5， B ＝{x |3x 2＋10x ＋3＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，－3，所以∁U A ＝{－3}，∁U B ＝{5}．。

【人教A版】高中数学同步辅导与检测必修1第一章1.3-1.3.1第2课时函数的最大(小)值

第一章集合号函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大（小）值第2课时函数的最大（小）值A 级基础巩固一、选择题 1．函数y ＝1x －3在区间[4，5]上的最小值为( ) A ．2 B.12C.13D ．－12解析：作出图象可知y ＝1x －3在区间[4，5]上是减函数，(图略)所以其最小值为15－3＝12. 答案：B2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，1≤x ≤2，x ＋5，－1≤x <1，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．8，4B ．8，6C ．6，4D ．以上都不对解析：f (x )在[－1，2]上单调递增，所以最大值为f (2)＝8，最小值为f (－1)＝4.答案：A3．函数f (x )＝11－x （1－x ）的最大值是( )A.54B.45C.43D.34解析：因为1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以11－x （1－x ）≤43，得f (x )的最大值为43.答案：C4．若函数y ＝ax ＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( )A ．2B ．－2C ．2或－2D ．0解析：a >0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)＝2，即a ＝2；a <0时，a ＋1－(2a ＋1)＝2，所以a ＝－2，所以，a ＝±2.答案：C5．已知f (x )＝x 2－2x ＋3在区间[0，t ]上有最大值3，最小值2，则t 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[0，2]C ．(－∞，2]D ．[1，2]解析：因为f (0)＝3，f (1)＝2，函数f (x )图象的对称轴为x ＝1，结合图象可得1≤t ≤2.答案：D 二、填空题6．函数f (x )＝x 2－4x ＋2，x ∈[－4，4]的最小值是________，最大值是________．解析：f (x )＝(x －2)2－2，作出其在[－4，4]上的图象知f (x )min ＝f (2)＝－2；f (x )max ＝f (－4)＝34.答案：－2 347．函数y ＝2|x |＋1的值域是________．解析：观察可知y >0，当|x |取最小值时，y 有最大值，所以当x ＝0时，y 的最大值为2，即0<y ≤2，故函数y 的值域为(0，2]．答案：(0，2]8．函数g (x )＝2x －x ＋1的值域为________．解析：令x ＋1＝t ，则x ＝t 2－1(t ≥0)，所以g (x )＝f (t )＝2(t 2－1)－t ＝2t 2－t －2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－178，因为t ≥0，所以当t ＝14时，f (t )取得最小值－178，所以g (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－178，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－178，＋∞ 三、解答题9．已知函数f (x )＝2x －1.(1)证明：函数在区间(1，＋∞)上为减函数； (2)求函数在区间[2，4]上的最值．(1)证明：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2（x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1）. 由于1<x 1<x 2，则x 2－x 1>0，x 1－1>0，x 2－1>0，则f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在区间(1，＋∞)上为减函数．(2)解：由(1)可知，f (x )在区间[2，4]上递减，则f (2)最大，为2，f (4)最小，为23.10．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，x ∈[－1，1]，求函数f (x )的最小值．解：f (x )＝x 2－2ax ＋2＝(x －a )2＋2－a 2的图象开口向上，且对称轴为直线x ＝a .图① 图② 图③当a ≥1时，函数图象如图①所示，函数f (x )在区间[－1，1]上是减函数，最小值为f (1)＝3－2a ；当－1<a <1时，函数图象如图②所示，函数f (x )在区间[－1，1]上是先减后增，最小值为f (a )＝2－a 2；当a ≤－1时，函数图象如图③所示，函数f (x )在区间[－1，1]上是增函数，最小值为f (－1)＝3＋2a .综上，当a ≥1时，f (x )min ＝3－2a ；当－1<a <1时，f (x )min ＝2－a 2；当a ≤－1时，f (x )min ＝3＋2a .B 级能力提升1．已知函数f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，构造函数F (x )，定义如下：当f (x )≥g (x )时，F (x )＝g (x )；当f (x )<g (x )时，F (x )＝f (x )，那么F (x )( )A ．有最大值3，最小值－1B ．有最大值3，无最小值C ．有最大值7－27，无最小值D ．无最大值，也无最小值解析：画图得到F (x )的图象：射线AC 、抛物线AB 及射线BD三段，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x 2－2x ，得x A ＝2－7，代入得F (x )的最大值为7－27，由图可得F (x )无最小值，从而选C.答案：C2．函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a <b <3)有最大值9，最小值－7，则a ＝________，b ＝__________．解析：y ＝－(x －3)2＋18，因为a <b <3，所以函数y 在区间[a ，b ]上单调递增，即－b 2＋6b ＋9＝9，得b ＝0(b ＝6不合题意，舍去)－a 2＋6a ＋9＝－7，得a ＝－2(a ＝8不合题意，舍去)．答案：－2 03．已知函数f (x )＝ax －1x ，且f (－2)＝－32.(1)求f (x )的解析式；(2)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性并加以证明；(3)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值和最小值．解：(1)因为f (－2)＝－32，所以－2a ＋12＝－32，所以a ＝1，所以f (x )＝x －1x .(2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1－x 2＋1x＝x 1－x 2＋x 1－x 2x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1x 2＝（x 1－x 2）（x 1x 2＋1）x 1x 2，因为0<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>0，x 1x 2＋1>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)由(2)知f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是增函数，所以f (x )max ＝f (2)＝32，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－32.。

人教A版高中数学必修1同步检测第1章1.1.2集合间的基本关系

第一章集合与函数概念1.1集合1.1.2集合间的基本关系A级基础巩固一、选择题1．集合P＝{x|x2－4＝0}，T＝{－2，－1，0，1，2}，则P与T 的关系为()A．P＝T B．P TC．P⊇T D．P T解析：由x2－4＝0，得x＝±2，所以P＝{－2，2}．因此P T.答案：D2．已知集合A⊆{0，1，2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为()A．6B．5C．4D．3解析：集合{0，1，2}的非空子集为：{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，其中含有偶数的集合有6个．答案：A3．已知集合A＝{x|x(x－1)＝0}，那么下列结论正确的是() A．0∈AC．－1∈AB．1∉AD．0∉A解析：由x(x－1)＝0得x＝0或x＝1，则集合A中有两个元素0和1，所以0∈A，1∈A.答案：A14．以下说法中正确的个数是()①M ＝{(1，2)}与 N ＝{(2，1)}表示同一个集合；②M ＝{1，2}与 N ＝{2，1}表示同一个集合；③空集是唯一的；④若 M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}与 N ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R}，则集合M ＝N .A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①集合 M 表示由点(1，2)组成的单元素集，集合 N 表示由点(2，1)组成的单元素集，故①错误；②由集合中元素的无序性可知 M ，N 表示同一个集合，故②正确；③假设空集不是唯一的，则不妨设∅1、∅2 为不相等的两个空集，易知∅1⊆∅2，且∅2⊆∅1，故可知∅1＝∅2，矛盾，则空集是唯一的，故③ 正确；④M ，N 都是由大于或等于 1 的实数组成的集合，故④正确．答案：D5．集合 A ＝{x |0≤x <4，且 x ∈N}的真子集的个数是()A ．16B ．8C ．15D ．4解析：A ＝{x |0≤x <4，且 x ∈N}＝{0，1，2，3}，故其真子集有24－1＝15(个)．答案：C二、填空题6．已知集合 A ＝{x | x 2＝a }，当 A 为非空集合时 a 的取值范围是________．解析：A 为非空集合时，方程 x 2＝a 有实数根，所以 a ≥0.2所以Δ＝(－1)2－4a ≥0，得 a ≤ .答案：⎨a a ≤4⎬解析：当 a ＝0 时，B ＝∅⊆A ；当 a ≠0 时，B ＝⎨x ⎪x ＝－a ⎬，若 B ⊆A ，则－＝－1 或－＝1，解得 a ＝1 或 a ＝－1.综上，a ＝0 或 a答案：{a |a ≥0}7．已知∅ {x |x 2－x ＋a ＝0}，则实数 a 的取值范围是________．解析：因为∅ {x |x 2－x ＋a ＝0}．所以{x |x 2－x ＋a ＝0}≠∅，即 x 2－x ＋a ＝0 有实根．14⎧ ⎪ 1⎫⎩ ⎪⎭8．已知集合 A ＝{－1，1}，B ＝{x |ax ＋1＝0}，若 B ⊆A ，则实数a 的所有可能取值的集合为________．⎧ ⎪ 1⎫⎩ ⎪⎭1 1aa＝1 或－1.答案：{－1，0，1}三、解答题9．已知集合 A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |p ＋1≤x ≤2p －1}．若 B⊆A ，求实数 p 的取值范围．解：若 B ＝∅，则 p ＋1>2p －1，解得 p <2；若 B ≠∅，且 B ⊆A ，则借助数轴可知，⎧⎪p ＋1≤2p －1，⎨p ＋1≥－2，解得 2≤p ≤3.⎪⎩2p －1≤5，综上可得 p ≤3.10．已知集合 A{x ∈N|－1<x <3}，且 A 中至少有一个元素为奇数，则这样的集合 A 共有多少个？并用恰当的方法表示这些集合．解：因为{x ∈N|－1<x <3}＝{0，1，2}，A3{0，1，2}且 A 中至少有一个元素为奇数，故这样的集合共有 3 个．当 A 中含有 1 个元素时，A 可以为{1}；当 A 中含有 2 个元素时，A 可以为{0，1}，{1，2}．B 级能力提升1．已知集合 B ＝{－1，1，4}满足条件∅ M ⊆B 的集合的个数为()A ．3B ．6C ．7D ．8解析：满足条件的集合是{－1}，{1}，{4}，{－1，1}，{－1，4}，{1，4}，{－1，1，4}，共 7 个．答案：C2．设 A ＝{4，a }，B ＝{2，ab }，若 A ＝B ，则 a ＋b ＝________．解析：因为 A ＝{4，a }，B ＝{2，ab }，A ＝B ，⎧⎪4＝ab ，所以⎨ 解得 a ＝2，b ＝2，⎪⎩a ＝2，所以 a ＋b ＝4.答案：43．已知 A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，若B ⊆A ，求 a 的取值范围．解：集合 A ＝{0，－4}，由于 B ⊆A ，则：(1)当 B ＝A 时，即 0，－4 是方程 x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0 的两根，代入解得 a ＝1.(2)当 B A 时，①当 B ＝∅时，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得 a <－1.②当 B ＝{0}或 B ＝{－4}时，方程 x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0 应有两个相等的实数根 0 或－4.则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得 a ＝－1，此时 B ＝{0}满足条件．4综上可知a＝0或a≤－1.5。

【人教A版】高中数学同步辅导与检测：必修1全集单元评估验收(三)

单元评估验收(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．二次函数f (x )＝2x 2＋bx －3(b ∈R)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：因为Δ＝b 2＋4×2×3＝b 2＋24>0，所以函数图象与x 轴有两个不同的交点，故函数有2个零点．答案：C2．函数y ＝1＋1x的零点是( ) A ．(－1，0) B ．－1 C ．1 D ．0解析：令1＋1x＝0，得x ＝－1，即为函数的零点．答案：B3．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x 的值为( )A ．3 B.127 C ．27 D.13解析：因为幂函数y ＝x a 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，所以(－2)a＝－18，所以a ＝－3.又因为f (x )＝27，所以x －3＝27，所以x ＝13. 答案：D4．若函数f (x )＝2mx ＋4在区间[－2，1]上存在x 0使得f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，4 B ．[－2，1]C ．[－1，2]D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 解析：因为函数f (x )＝2mx ＋4在区间[－2，1]上存在x 0使得f (x 0)＝0，所以f (－2)·f (1)≤0，解得m ≤－2或m ≥1.答案：D5．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间( ) A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，4)与(1，e)D ．(e ，＋∞)解析：易知函数f (x )在(2，3)上是连续的，且f (2)＝ln 2－1＝ln 2－ln e ＝ln 2e <0，f (3)＝ln 3－23>0，所以函数f (x )的零点所在的大致区间是(2，3)．答案：B6．函数f (x )＝2x －1的零点是( )A ．0B ．－1C ．1D ．2解析：由2x －1＝0，得x ＝0，故函数的零点为0.答案：A7．用二分法求f (x )＝0在区间(1，2)内的唯一实数解x 0时，经计算得f (1)＝3，f (2)＝－5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝9，则下列结论正确的是( )A ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 B ．x 0＝－32 C ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 D ．x 0＝1解析：由于f (2)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<0，所以x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 答案：C8．甲用1 000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票卖给乙，获利10%，而后乙又将这手股票卖给甲，但乙损失了10%，最后甲又按乙卖给甲的价格的九成将这手股票卖给了乙．在上述股票交易中( )A ．甲刚好盈亏平衡B ．甲盈利9元C ．甲盈利1元D ．甲亏本1.1元解析：甲两次付出为1 000元和1 000×1110×910元，两次收入为1 000×1110元和1 000×1110×910×910元，而1 000×1110＋1 000×1110×910×910－1 000－1 000×1110×910＝1，故甲盈利1元．答案：C9．方程log 12x ＝2x －1的实根个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无穷多个解析：画出y ＝log 12x 与y ＝2x －1的图象(图略)可知，两曲线仅有一个交点，故实根个数为1.答案：B10．某城市为保护环境、维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费，每月用水超过8吨，超过部分加倍收费．若某职工某月缴水费20元，则该职工这个月实际用水()A．10吨B．13吨C．11吨D．9吨解析：设该职工该月实际用水为x吨，易知x>8，则水费y＝16＋2×2(x－8)＝4x－16＝20，所以x＝9.答案：D11．设甲、乙两地的距离为a km(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20 min，在乙地休息10 min后，又匀速从乙地返回甲地用了30 min.则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()解析：由题意知，中间休息时，时间与路程之间的函数为常函数，其余时间段随时间的增加，路程也增加．观察图象知D选项正确．答案：D12．函数y＝f(x)是定义在R上的连续不断的一条曲线，满足f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，其中a<b<c，则y＝f(x)在(a，c)上零点个数为()A．2 B．至少2个C．奇数D．偶数解析：因为函数y＝f(x)是定义在R上的连续不断的一条曲线，由f(a)·f(b)<0，知y＝f(x)在(a，b)上至少有1个零点，由f(b)·f(c)<0知y＝f(x)在(b，c)上至少有1个零点，所以y＝f(x)在(a，c)上至少有2个零点．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若f(x)是定义域为R的奇函数，且在区间(0，＋∞)上有一个零点，则f(x)的零点个数为________．解析：由题意知f(0)＝0，f(x)在区间(0，＋∞)上有一个零点，在区间(－∞，0)上也必有一个零点，所以f(x)在定义域R上有三个零点．答案：314．若函数f(x)＝mx2－2x＋3只有一个零点，则实数m的取值是________．解析：若m≠0，则Δ＝4－12m＝0，m＝13，若m＝0，则f(x)＝－2x＋3只有一个零点，符合要求，所以m＝0或13.答案：0或1315．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y ＝0.1x2－11x＋3 000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x 等于________．解析：设产量为x 台，利润为S 万元，则S ＝25x －y ＝25x －(0.1x 2－11x ＋3 000)＝－0.1x 2＋36x －3 000＝－0.1(x －180)2＋240，则当x ＝180时，生产者的利润取得最大值．答案：180台16．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．解析：由题意得⎩⎨⎧192＝e b，48＝e 22k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧e b ＝192，e 11k ＝12，当x ＝33时，y ＝e33k ＋b ＝(e 11k )3e b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24. 答案：24 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某市出租车的计价标准是4 km 以内10元(含4 km)，超过4 km 且不超过18 km 的部分1.2元/千米，超出18 km 的部分1.8元/千米．(1)不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式；(2)如果某人乘车行驶了20 km ，那么他要付多少车费？解：(1)设行车里程为x km ，车费为y 元．由题意得，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0<x ≤4，10＋1.2（x －4），4<x ≤18，10＋1.2×14＋1.8（x －18），x >18，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0<x ≤4，1.2x ＋5.2，4<x ≤18，1.8x －5.6，x >18.(2)将x ＝20代入函数解析式，得y ＝1.8×20－5.6＝30.4(元)．故乘车20 km ，要付车费30.4元．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m 有两个零点，且都大于2，求实数m 的取值范围．解：函数f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m 有两个大于2的零点，即方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0有两个不相等的实数解，且都大于2.结合图象可知⎩⎪⎨⎪⎧（m －2）2－4（5－m ）>0，2－m 2>2，4＋2（m －2）＋5－m >0，解得－5<m <－4.故实数m 的取值范围是(－5，－4)． 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x －1＋12x 2－2，试利用基本初等函数的图象，判断f (x )有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间(各区间长度不超过1)．解：由f (x )＝0，得x －1＝－12x 2＋2.令y 1＝x －1，y 2＝－12x 2＋2，在同一直角坐标系中分别画出它们的图象(如图所示)，其中抛物线的顶点坐标为(0，2)，与x 轴的交点分别为(－2，0)，(2，0)，y 1与y 2的图象有3个交点，由此可知函数f (x )有3个零点．设函数y 1＝x －1与y 2＝－12x 2＋2图象三个交点的横坐标从左往右分别为x 1，x 2，x 3，即函数f (x )的三个零点分别为x 1，x 2，x 3，因为f (－3)＝1－3＋12×9－2>0，f (－2)＝1－2＋12×4－2<0，即x 1∈(－3，－2)，同理x 2∈(0，1)，x 3∈(1，2)．20．(本小题满分12分)某同学在用120分钟做150分的数学试卷(分为卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分)时，卷Ⅰ和卷Ⅱ所得分数分别为P (单位：分)和Q (单位：分)，在每部分做了20分钟的条件下发现它们与投入时间m (单位：分钟)的关系有经验公式，P ＝15m ＋36，Q ＝65＋23m . (1)试建立数学总成绩y (单位：分)与对卷Ⅱ投入时间x (单位：分钟)的函数关系式，并指明函数定义域；(2)如何计划使用时间，才能使得所得分数最高．解：(1)设对卷Ⅱ用x 分钟，则对卷Ⅰ用(120－x )分钟，所以y ＝P＋Q ＝65＋23x ＋15(120－x )＋36＝－15x ＋23x ＋125，其定义域为[20，100]． (2)令t ＝x ∈[25，10]，则函数为关于t 的二次函数：y ＝－15t 2＋23t ＋125＝－15(t －53)2＋140. 所以当t ＝53，即x ＝75时，y max ＝140.即当卷Ⅰ用45分钟，卷Ⅱ用75分钟时，所得分数最高．21．(本小题满分12分)已知关于x 的二次函数f (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t .(1)求证：对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根；(2)若12<t <34，求证：方程f (x )＝0在区间(－1，0)和⎝⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个实数根．证明：(1)由f (x )＝1得x 2＋(2t －1)x ＋1－2t ＝1，即x 2＋(2t －1)x －2t ＝0.因为Δ＝(2t －1)2＋8t ＝4t 2＋4t ＋1＝(2t ＋1)2≥0，所以对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根．(2)当12<t <34时，f (－1)＝3－4t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫34－t >0， f (0)＝1－2t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－t <0， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14＋12(2t －1)＋1－2t ＝34－t >0，故方程f (x )＝0在区间(－1，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个实数根． 22．(本小题满分12分)旅游社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15 000元．旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若旅游团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团人数最多为75人．(1)写出飞机票的价格关于旅游团人数的函数；(2)旅游团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解：(1)设旅游团人数为x 人，飞行票价格为y 元，依题意，当1≤x ≤30，且x ∈N *时，y ＝900，当30<x ≤75，且x ∈N *时，y ＝900－10(x －30)＝－10x ＋1 200.所以所求函数为y ＝⎩⎨⎧900，1≤x ≤30，x ∈N *，－10x ＋1 200，30<x ≤75，x ∈N *.(2)设利润为f (x )元，则f (x )＝y ·x －15 000＝⎩⎨⎧900x －15 000，1≤x ≤30，x ∈N *，－10x 2＋1 200x －15 000，30<x ≤75，x ∈N.当1≤x ≤30，且x ∈N *时，f (x )max ＝f (30)＝12 000(元)，当30<x ≤75，且x ∈N *时，f (x )max ＝f (60)＝21 000元，因为21 000元>12 000元，所以旅游团人数为60时，旅行社可获得最大利润．。

【人教A版】高中数学同步辅导与检测：必修1全集模块综合评价(一)

模块综合评价(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．设集合A ＝{x |1≤x ≤5}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：因为A ∩Z ＝{1，2，3，4，5}，所以A ∩Z 中有5个元素．答案：B2．设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }．若A ⊆B ，则a 的范围是( )A ．a ≥1B ．a ≤1C ．a ≥2D ．a ≤2解析：在数轴上作出两个集合所在的区间，可知满足A ⊆B 的a ≥2.答案：C3．已知幂函数f (x )＝x a 的图象过点(4，2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为( ) A.3 B ．±3 C ．±9 D ．9解析：依题意有2＝4a ，得a ＝12，所以f (x )＝x 12，当f (m )＝m 12＝3时，m ＝9.答案：D4．设a ＝log 123，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2，c ＝213，则( )A．a<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<a<c解析：数形结合，画出三个函数的图象．由图象可知a<0，0<b<1，c>1，因此a<b<c.答案：A5．已知A∩{－1，0，1}＝{0，1}，且A∪{－2，0，2}＝{－2，0，1，2}，则满足上述条件的集合A共有()A．2个B．4个C．6个D．8个解析：因为A∩{－1，0，1}＝{0，1}，所以0，1∈A且－1∉A.又因为A∪{－2，0，2}＝{－2，0，1，2}，所以1∈A且至多－2，0，2∈A.故0，1∈A且至多－2，2∈A，所以满足条件的A只能为{0，1}，{0，1，－2}，{0，1，2}，{0，1，2，－2}，共有4个．答案：B6．已知集合A＝{x|y＝x＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝() A．∅B．[－1，1]C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：A＝{x|y＝x＋1}＝{x|x≥－1}，B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．所以A∩B＝[1，＋∞)．答案：D7．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0，x1＋x2>0，则()A．f(－x1)>f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C ．f (－x 1)<f (－x 2)D ．f (－x 1)与f (－x 2)大小不确定解析：由x 1<0，x 1＋x 2>0得x 2>－x 1>0，又f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，所以f (－x 2)＝f (x 2)<f (－x 1)．答案：A8．已知a >b ，函数f (x )＝(x －a )(x －b )的图象如图所示，则函数g (x )＝log a (x ＋b )的图象可能为( )解析：易知0<b <1<a ，所以g (x )＝log a (x ＋b )为增函数，且g (0)<0，显然B 符合．答案：B9．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：函数y ＝10lg x 的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．。

高中数学必修1人教A同步训练及详解：-第1章1.1.2同步训练及详解

高中数学必修一同步训练及解析1．下列集合中是空集的是()A．{x|x2＋3＝3}B．{(x，y)|y＝－x2，x，y∈R}C．{x|－x2≥0}D．{x|x2－x＋1＝0，x∈R}解析：选D.∵方程x2－x＋1＝0的判别式Δ<0，∴方程无实根，故D选项为空集，A选项中只有一个元素0，B选项中有无数个元素，即抛物线y＝－x2上的点，C选项中只有一个元素0.2．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则()A．A>BB．A BC．B AD．A⊆B解析：选C.利用数轴(图略)可看出x∈B⇒x∈A，但x∈A⇒x∈B不成立．3．下列关系中正确的是________．①∅∈{0}；②∅；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a，b)}＝{(b，a)}．解析：∅，∴①错误；空集是任何非空集合的真子集，②正确；{(0,1)}是含有一个元素的点集，③错误；{(a，b)}与{(b，a)}是两个不等的点集，④错误，故正确的是②.答案：②4．图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，则A、B、C、D、E分别代表的图形的集合为__________________________．解析：由以上概念之间的包含关系可知：集合A＝{四边形}，集合B＝{梯形}，集合C＝{平行四边形}，集合D＝{菱形}，集合E＝{正方形}．答案：A＝{四边形}，B＝{梯形}，C＝{平行四边形}，D＝{菱形}，E＝{正方形}[A级基础达标]1．如果A＝{x|x>－1}，那么()A．0⊆AB．{0}∈AC．∅∈AD．{0}⊆A解析：选D.A、B、C的关系符号是错误的．2．若{1,2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则()A．b＝－3，c＝2B．b＝3，c＝－2C．b＝－2，c＝3D．b＝2，c＝－3解析：选A.由题意知1,2为方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－b ，1×2＝c ，解得b ＝－3，c ＝2. 3．符合条件{a P ⊆{a ，b ，c }的集合P 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B.集合P 中一定含有元素a ，且不能只有a 一个元素，用列举法列出即可．4．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|y x＝1}，则A 、B 间的关系为________．解析：(0,0)∈A ，而(0,0)∉B ，故B A . 答案：B A5．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ⊆A ，则实数m ＝________.解析：由于B ⊆A ，则应有m 2＝2m －1，于是m ＝1.答案：16．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N}，试写出A 的所有子集．解：∵A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N}，∴A ＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．∴A 的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．[B 级能力提升]7．集合M ＝{x |x 2＋2x －a ＝0，x ∈R}，且∅M ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－1B ．a ≤1C ．a ≥－1D ．a ≥1解析：选C.∅M 等价于方程x 2＋2x －a ＝0有实根．即Δ＝4＋4a ≥0.解得a ≥－1.8．设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A B ，则a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．a ≤1C ．a ≥1D ．a ≤2解析：选A.A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，要使A B ，则应有a ≥2.9．设A ＝{x ∈R|x 2－5x ＋m ＝0}，B ＝{x ∈R|x －3＝0}，且B ⊆A ，则实数m ＝________，集合A ＝________.解析：B ＝{3}．∵B ⊆A ，∴3∈A ，即9－15＋m ＝0.∴m ＝6.解方程x 2－5x ＋6＝0，得x 1＝2，x 2＝3，∴A ＝{2,3}．答案：6 {2,3}10．设M ＝{x |x 2－2x －3＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若N ⊆M ，求所有满足条件的a 的集合．解：由N ⊆M ，M ＝{x |x 2－2x －3＝0}＝{－1,3}，得N ＝∅或N ＝{－1}或N ＝{3}．当N ＝∅时，ax －1＝0无解，∴a ＝0.当N ＝{－1}时，由1a＝－1，得a ＝－1. 当N ＝{3}时，由1a ＝3，得a ＝13. ∴满足条件的a 的集合为{－1,0，13}． 11．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}．(1)若A B ，求a 的取值范围；(2)若B⊆A，求a的取值范围．解：(1)若A B，由图可知，a>2.(2)若B⊆A，由图可知，1≤a≤2.。

【人教A版】高中数学同步辅导与检测：必修1全集单元评估验收(二)

单元评估验收(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a 的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为( )A ．1，3B ．－1，1C ．－1，3D ．－1，1，3 解析：易知y ＝x 和y ＝x 3满足题设条件．答案：A 2．函数y ＝1log 0.5（4x －3）的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ C ．(1，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪(1，＋∞) 解析：要使函数有意义，应满足⎩⎨⎧log 0.5（4x －3）>0，4x －3>0，即⎩⎨⎧0<4x －3<1，4x －3>0，解得34<x <1.答案：A3．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(9，3)，则log 4f (2)的值为( ) A.14 B ．－14C ．2D ．－2解析：设幂函数为f (x )＝x α，则有3＝9α，得α＝12，所以f (x )＝x 12，f (2)＝2，所以log 4f (2)＝log 42＝log 4414＝14.答案：A4．函数y ＝2|x |的大致图象是( )解析：易知函数y ＝2|x |是偶函数，其图象关于y 轴对称，在区间(0，＋∞)上是增函数，观察图象知B 选项正确．答案：B5．函数f (x )＝|log 12x |的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(0，1) C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：画f (x )＝|log 12x |的图象如图所示：由图象知单调增区间为[1，＋∞)．答案：D6．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫51160.5＋(－1)－1÷0.75－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23＝( )A ．－49B ．－94C.49D.94解析：原式＝94＋(－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－2＝94－916＋916＝94.答案：D7．已知函数f (x )＝e －x －e xx ，则其图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y ＝x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于y 轴对称解析：函数的定义域为{x |x ≠0}，f (－x )＝e x －e －x －x ＝e －x －e xx ＝f (x )，所以函数f (x )的偶函数，其图象关于y 轴对称．答案：D8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：依据给出的分段函数，分别求出f (－2)与f (log 212)的值，然后相加即可．∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C. 答案：C9．已知方程log 2x ＋log 2(x －1)＝1的解集为M ，方程2·2x ＋1－9·2x＋4＝0的解集为N ，则M 与N 的关系是( )A ．M ＝NB ．M NC ．MND ．M ∩N ＝∅解析：由题意知，M ＝{x |x ＝2}， N ＝{x |x ＝2或x ＝－1}，所以M N . 答案：B10．已知0<a <1，x ＝log a 2＋log a3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则( )A ．x >y >zB ．z >y >xC ．y >x >zD ．z >x >y解析：x ＝log a 2＋log a 3＝log a6＝12log a 6，z ＝log a 21－log a 3＝log a 7＝12log a 7.因为0<a <1，所以12log a 5>12log a 6>12log a 7.即y >x >z .答案：C11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：当a ≤1时，f (a )＝2a －1－2＝－3，即2a －1＝－1，不成立，舍去；当a >1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，即log 2(a ＋1)＝3，得a ＋1＝23＝8，所以a ＝7，此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74.故选A.答案：A12．若偶函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，则不等式f (－1)<f (lg x )的解集是( )A ．(0，10)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫110，10 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫110，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110∪(10，＋∞) 解析：因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)，因为f (x )在(－∞，0)内单调递减，所以f (x )在(0，＋∞)内单调递增，故|lg x |>1，即lg x >1或lg x <－1，解得x >10或0<x <110.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (9)＝________．解析：设幂函数y ＝f (x )＝x a ，因为幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，所以2＝2a ，解得a ＝12，则y ＝f (x )＝x 12，所以f (9)＝3. 答案：314．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3（2x－1），x ≥2，则f (f (2))＝______．解析：因为f (2)＝log 3(22－1)＝1，所以f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2. 答案：215．函数f (x )＝a x －2 017＋2 017的图象一定过点P ，则P 点的坐标是________．解析：当x －2 017＝0，即x ＝2 017时，f (x )＝a 0＋2 017＝2 018，所以定点P 的坐标为(2 017，2 018)．答案：(2 017，2 018)16．若函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)在区间[2，4]上的最大值与最小值之差为2，则a ＝________．解析：当0<a <1时log a 2－log a 4＝2，解得a ＝22；当a >1时，log a 4－log a 2＝2，解得a ＝ 2. 故a 的值为2或22.答案：2或22三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－338－23＋0.002－12－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋3lg 22＋lg 16＋lg 0.06.解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫278－23＋50012－10(5＋2)＋1＝ 49＋105－105－20＋1＝－1679. (2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3lg 22＋lg 1－lg 6＋lg 6－2＝ 3lg 2×lg 5＋3lg 5＋3lg 22－2＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝ 3(lg 2＋lg 5)－2＝3－2＝1.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2－xx －1的定义域为A ，关于x 的不等式22ax <2a ＋x 的解集为B ，求使A ∩B ＝A 的实数a 的取值范围．解：由⎩⎨⎧（2－x ）（x －1）≥0，x ≠1，⇒1<x ≤2，即A ＝(1，2]．由2ax <a ＋x 得(2a －1)x <a .(*) 又A ∩B ＝A 得A ⊆B ，故①当a <12时，(*)式即x >a 2a －1，有a2a －1≤1得a ≥2a －1，所以a ≤1，此时a <12；②当a ＝12时，(*)式x ∈R 满足A ⊆B ；③当a >12时，(*)式即x <a 2a －1，有a2a －1>2得a >4a －2，所以a <23，此时12<a <23.综合①②③可知：a <23.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)， (1)若函数y ＝f (x )的图象经过点P (3，4)，求a 的值；(2)当a 变化时，比较f ⎝⎛⎭⎪⎫lg 1100与f (－2.1)的大小，并写出比较过程．解：(1)函数y ＝f (x )的图象经过点P (3，4)，所以a 3－1＝4，即a 2＝4，又a >0，所以a ＝2.(2)当a >1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 1100>f (－2.1)；当0<a <1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 1100<f (－2.1)，比较过程如下：因为f ⎝⎛⎭⎪⎫lg 1100＝f (－2)＝a －3，f (－2.1)＝a －3.1，当a >1时，y ＝a x －1在(－∞，＋∞)上为增函数，因为－3>－3.1，所以a －3>a －3.1.即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 1100>f (－2.1)；当0<a <1时，y ＝a x －1在(－∞，＋∞)上为减函数，因为－3>－3.1，所以a －3<a －3.1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 1100<f (－2.1)．20．(本小题满分12分)若f (x )＝x 2－x ＋b 且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a ≠1)．(1)求f (log 2x )的最小值及对应的x 值； (2)x 取何值时，f (log 2x )>f (1)且log 2f (x )<f (1)．解：(1)因为f (x )＝x 2－x ＋b ，所以(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ，所以log 2a (log 2a －1)＝0，因为a ≠1，所以log 2a －1＝0，所以a ＝2. 又log 2f (a )＝2，所以f (a )＝4，所以a 2－a ＋b ＝4，所以b ＝4－a 2＋a ＝2，故f (x )＝x 2－x ＋2.从而f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x －122＋74.所以当log 2x ＝12即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.(2)由题意⎩⎨⎧（log 2x ）2－log 2x ＋2>2，log 2（x 2－x ＋2）<2，解得⎩⎨⎧x >2或0<x <1，－1<x <2，所以0<x <1.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.(1)求函数f (x )的解析式；(2)画出函数f (x )的图象，根据图象写出该函数的单调区间．解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0. 当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－2x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <0，0，x ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0.(2)函数图象如图所示，通过函数的图象可以知道，f (x )的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x －12|x |. (1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当x <0时，f (x )＝0；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x . 由条件可知2x －12x ＝2，即22x －2·2x －1＝0，解得2x ＝1±2.因为2x >0，所以x ＝log 2(1＋2)．(2)当t ∈[1，2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)．因为22t －1>0，所以m ≥－(22t ＋1)．因为t ∈[1，2]，所以－(1＋22t )∈[－17，－5]，故m 的取值范围是[－5，＋∞)．。

人教A版高中数学同步辅导与检测必修一第一章章末复习课

第一章章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．正确认识集合与元素的概念(1)解决集合问题的前提条件：认清集合中元素的属性(是点集、数集或是其他类型的集合)．(2)正确区分两种关系：元素与集合之间的从属关系，以及集合与集合之间的包含关系．2．处理集合问题的三个易错点(1)在写集合的子集或进行集合的运算时，易忽视集合是空集的情形，如A⊆B(B≠∅)中，要对A＝∅和A≠∅进行分类讨论．(2)运用数轴表示集合时，易忽视端点是否属于集合的情形，即表示为实心点还是空心点．(3)在解决含参数的集合问题时，易忽视检验而不满足元素的互异性致误．3．关注换元法中“新元”的范围在用换元法求函数解析式或求函数值域时，要注意“新元”的范围，“新元”的范围一般是由被替换的表达式的范围所确定．4．函数单调性定义应用中的两个易错点(1)忽视x1与x2是所给区间I上的任意两个值，而用该区间上的两个特殊值代替．(2)易出现循环论证的错误，即用所要证明的结论作为论证该问题的依据．5．判断函数奇偶性时的注意点一般不化简解析式，若要化简，应注意化简前后的等价性.(对应学生用书P39)专题一集合间的关系与运算集合的运算是指集合间的交、并、补集三种常见的运算，具体数集的运算一般采用数轴法，而抽象集合的运算采用Venn图法．在解含参数的集合问题时，一般要对参数进行讨论，分类时一定要标准统一，做到“不重不漏”．[例1](1)(2016·天津卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x －1，x∈A}，则A∩B＝()A．{1，3}B．{1，2}C．{2，3} D．{1，2，3}(2)已知集合M＝{x|－1<x<2}，N＝{x|x<a}，若M⊆N，则实数a 的取值范围是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，2) D．[－1，＋∞)解析：(1)因为A＝{1，2，3}，所以B＝{y|y＝2x－1，x∈A}＝{1，3，5}，所以A∩B＝{1，3}．(2)因为M⊆N，所以2≤a，即a≥2，所以实数a的取值范围是[2，＋∞)．答案：(1)A(2)B归纳升华1．集合是由元素构成的，从研究集合中元素的构成入手，是求解结合运算问题的前提．2．用不等式表示的集合问题，常用数轴的直观性求解，特别要注意不等式边界值的取舍，含参数时要注意对集合是否为空集进行讨论．[变式训练](1)(2016·浙江卷改编)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x≤－2或x≥2}，则P∪(∁R Q)＝() A．[2，3] B．(－2，3]C．[1，2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)(2)如图所示，U为全集，A，B为U的子集，则图中阴影部分表示的是()A．(∁U B)∪A B．A∩(∁U B)C．(∁U A)∩B D．A∩B解析：(1)因为Q＝{x∈R|x≤－2或x≥2}，所以∁R Q ＝{x ∈R|x 2<4}＝{x |－2<x <2}．因为P ＝{x ∈R|1≤x ≤3}，所以P U(∁R Q )＝{x |－2<x ≤3}＝(－2，3]．(2)阴影中的任意元素x 满足x ∈A 但x ∉B ，故x ∈A ∩(∁U B )．答案：(1)C (2)B专题二函数的概念函数的概念是建立在两个非空数集上的，定义域、值域和对应法则是函数的三要素．其中，定义域是研究函数问题的前提条件，而求函数的解析式、定义域、值域(最值)问题是高考的重点和热点．[例2] (1)函数y ＝21－1－x的定义域为( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，0)∪(0，1]C ．(－∞，0)∪(0，1)D ．[1，＋∞)(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，4x ，x <0，若f (a )＝2，则实数a ＝________．解析：(1)要使函数有意义，则⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，即x ≤1，且x ≠0.(2)因为当a ≥0时，f (a )＝a ＋1＝2，所以a ＝1.所以当a <0时，f (a )＝4a ＝2，所以a ＝12(舍去)．答案：(1)B (2)1归纳升华1．函数的定义域，是使得每一个含自变量的式子有意义的自变量的取值集合，因此，求函数的定义域可转化为求不等式组的解集．2．分段函数f (x )在x 的不同取值范围内对应关系不同，求函数值或值域时要分段求解．[变式训练] (1)若函数f (x )的定义域是[0，1]，则函数f (2x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13 (2)若函数y ＝f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f （x ）的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，103 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，103 解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤1，0≤x ＋13≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤12，－13≤x ≤23，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. (2)令t ＝f (x )，则12≤t ≤3，由函数g (t )＝t ＋1t 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数，在[1，3]上是增函数，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝52，g (1)＝2，g (3)＝103，可得值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.答案：(1)C (2)B专题三函数的单调性与奇偶性函数的单调性是函数最重要的性质，函数的奇偶性是研究图象的有力工具．函数单调性与奇偶性的判定，利用奇偶性做函数的图象，利用单调性求函数的值域(最值)，求解不等式或参数的取值范围是学习的重点．[例3] 已知函数f (x )＝mx 2＋23x ＋n 是奇函数，求f (2)＝53.(1)求实数m 和n 的值；(2)求函数f (x )在区间[－2，－1]上的最值．解：(1)因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以mx 2＋2－3x ＋n ＝－mx 2＋23x ＋n ＝mx 2＋2－3x －n ，比较得n ＝－n ，即n ＝0.又f (2)＝53，所以4m ＋26＝53，解得m ＝2.因此，实数m 和n 的值分别为2和0.(2)由(1)知f (x )＝2x 2＋23x ＝2x 3＋23x ，任取x 1，x 2∈[－2，－1]，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝23(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝23(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2.因为－2≤x 1<x 2≤－1时，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>1，x 1x 2－1>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )在[－2，－1]上为增函数，因此f (x )max ＝f (－1)＝－43， f (x )min ＝f (－2)＝－53. 归纳升华1．单调性是函数的重要性质，某些数学问题通过函数的单调性可将函数值间的关系转化为自变量之间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，特别是在比较大小、证明不等式、求值域、求最值、解方程(组)等方面，应用十分广泛．2．奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇偶函数图象的对称性，可缩小问题研究的范围，常能使求解的问题避免复杂的讨论．[变式训练] (1)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1(2)函数y ＝x 2＋2x －3的单调递减区间是__________________．解析：(1)f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，所以－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，联立解得g (1)＝3.(2)由x 2＋2x －3≥0，得x ≥1或x ≤－3，所以函数减区间为(－∞，－3]．答案：(1)B (2)(－∞，－3]专题四数形结合思想的应用数形结合思想是研究集合、函数的重要思想．本章中涉及数形结合的知识点：借助Venn 图、数轴研究集合的交集、并集、补集；借助函数图象研究函数的单调性、对称性、奇偶性等性质．[例4] 对于函数f (x )＝x 2－2|x |.(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．解：(1)函数的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝(－x )2－2|－x |＝x 2－2|x |，则f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称．(2)f (x )＝x 2－|x |＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x <0，即f (x )＝⎩⎨⎧（x －1）2－1，x ≥0，（x ＋1）2－1，x <0.画出图象如图所示，根据图象知，函数f (x )的最小值是－1.单调增区间是[－1，0]，[1，＋∞)；减区间是(－∞，－1]，[0，1]．归纳升华1．在画函数图象时，将函数解析式进行等价变形变为几种常见函数(一次函数、二次函数、反比例函数等)，再作出图象．2．根据函数的图象，借助几何直观图求函数的单调区间和最小值，体现了数形结合思想．[变式训练] (1)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是递减，且f (－2)＝0，如图所示，则使得f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，2)(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4，x <－1，－2x ＋5，－1，≤x <1，3，x ≥1的值域是____________．解析：(1)由图(图略)可得在(－∞，0]上，f (x )<0的解集为(－2，0]．因为f (x )为偶函数，所以x 的取值范围为(－2，2)．(2)作出函数图象如图所示，由图象知，函数的值域为[3，＋∞)．答案：(1)D (2)[3，＋∞)。

(人教A版)高中数学必修一(全册)课时同步练习汇总

（人教A版）高中数学必修一（全册）课时同步练习汇总[课时作业][A组基础巩固]1．已知集合M＝{3，m＋1}，且4∈M，则实数m等于()A．4B．3C．2 D．1解析：由题设可知3≠4，∴m＋1＝4，∴m＝3.答案：B2．若以集合A的四个元素a、b、c、d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形解析：由集合中元素互异性可知，a，b，c，d互不相等，从而四边形中没有边长相等的边．答案：A3．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为()A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}解析：∵x－3<2，∴x<5，又∵x∈N＋，∴x＝1,2,3,4.答案：B4．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．2解析：利用集合中元素的互异性确定集合．当x＝－1，y＝0时，z＝x＋y＝－1；当x＝1，y＝0时，z＝x＋y＝1；当x＝－1，y＝2时，z＝x＋y＝1；当x＝1，y＝2时，z＝x＋y＝3，由集合中元素的互异性可知集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，即元素个数为3.答案：C5．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合中，最多含有的元素个数为()A．2个B．3个C．4个D．5个解析：确定集合中元素的个数，应从集合中元素的互异性入手考虑．若是相同的元素，则在集合中只能出现一次．因为x2＝|x|，－3x3＝－x，所以当x＝0时，这几个数均为0.当x＞0时，它们分别是x，－x，x，x，－x.当x＜0时，它们分别是x，－x，－x，－x，－x.均最多表示两个不同的数，故所组成的集合中的元素最多有2个．故选A. 答案：A6．设a，b∈R，集合{0，ba，b}＝{1，a＋b，a}，则b－a＝________.解析：由题设知a≠0，则a＋b＝0，a＝－b，所以ba＝－1，∴a＝－1，b＝1，故b－a＝2.答案：27．已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________．解析：由－5∈{x|x2－ax－5＝0}得(－5)2－a×(－5)－5＝0，所以a＝－4，所以{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，所以集合中所有元素之和为2.答案：28．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P ＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为________．解析：∵P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，∴当a＝0时，a＋b的值为1,2,6；当a＝2时，a＋b的值为3,4,8；当a＝5时，a＋b的值为6,7,11. ∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，故P＋Q中有8个元素．答案：89．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.解析：(1)当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.此时集合A＝{2}．(2)当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有一个实根．只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意．综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．10．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，(1)若－3∈A，试求实数a的值；(2)若a∈A，试求实数a的值．解析：(1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意，综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.当a＝a－3时，有0＝－3，不成立．当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2,1，符合题意．综上知a＝1.[B组能力提升]1．有以下说法：①0与{0}是同一个集合；②由1,2,3组成的集合可以表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4＜x＜5}是有限集．其中正确说法是()A．①④B．②C．②③D．以上说法都不对解析：0∈{0}；方程(x－1)2(x－2)＝0的解集为{1,2}；集合{x|4＜x＜5}是无限集；只有②正确．答案：B2．已知集合P＝{x|x＝a|a|＋|b|b，a，b为非零常数}，则下列不正确的是()A．－1∈P B．－2∈P C．0∈P D．2∈P解析：(1)a>0，b>0时，x＝a|a|＋b|b|＝1＋1＝2；(2)a<0，b<0时，x＝a|a|＋b|b|＝－1－1＝－2；(3)a，b异号时，x＝0.答案：A3．已知集合M＝{a|a∈N，且65－a∈N}，则M＝________.解析：5－a整除6，故5－a＝1,2,3,6，a∈N所以a＝4,3,2.答案：{4,3,2}4．当x∈A时，若x－1∉A且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为________．解析：由“孤立元素”的定义知，对任意x∈A，要成为A的孤立元素，必须是集合A中既没有x－1，也没有x＋1，因此只需逐一考查A中的元素即可.0有1“相伴”，1,2则是前后的元素都有，3有2“相伴”，只有5是“孤立的”，从而集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为{5}．故填{5}．答案：{5}5．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．(1)若1∈A，求a的值；(2)若集合A中只有一个元素，求实数a组成的集合；(3)若集合A中含有两个元素，求实数a组成的集合．解析：(1)因为1∈A，所以a×12＋2×1＋1＝0，所以a＝－3.(2)当a＝0时，原方程为2x＋1＝0，解得x＝－12，符合题意；当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等实根，即Δ＝22－4a＝0，所以a＝1.故当集合A只有一个元素时，实数a组成的集合是{0,1}．(3)由集合A中含有两个元素知，方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实根，即a≠0且Δ＝22－4a>0，所以a≠0且a<1.故当集合A中含有两个元素时，实数a组成的集合是{a|a≠0且a<1}．6．设S是由满足下列条件的实数所构成的集合：①1∉S；②若a∈S，则11－a∈S.请解答下列问题：(1)若2∈S，则S中必有另外两个数，求出这两个数；(2)求证：若a∈S，且a≠0，则1－1a∈S.解析：(1)∵2∈S,2≠1，∴11－2＝－1∈S.∵－1∈S，－1≠1，∴11－(－1)＝12∈S.又∵12∈S，12≠1，∴11－12＝2∈S.∴集合S中另外两个数为－1和12.(2)由a∈S，则11－a∈S，可得11－11－a∈S，即11－11－a＝1－a1－a－1＝1－1a∈S.∴若a∈S，且a≠0，则1－1a∈S.[课时作业][A组基础巩固]1．已知M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则有()A．M⊆N B．N MC．N∈M D．M＝N解析：由子集的概念可知N M.答案：B2．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝() A．0或 3 B．0或3C．1或 3 D．0或1或 3解析：(1)m＝3，此时A＝{1,3，3}，B＝{1,3}，满足B⊆A.(2)m＝m，即m＝0或m＝1.①m＝0时，A＝{0,1,3}，B＝{0,1}，满足B⊆A；②m＝1时，A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，不满足互异性，舍去．答案：B3．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值是( ) A ．1B ．－1C ．－1或0或1D ．0或1解析：由题设可知集合A 中只有一个元素，(1)a ＝0时，原方程等价转化为2x ＝0，即x ＝0，满足题设； (2)⎩⎨⎧a ≠0Δ＝4－4a 2＝0得a ＝±1. 答案：C4．已知集合A ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z}，集合B ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z}，则A 与B 的关系为( ) A ．A B B ．BAC ．A ＝BD ．以上答案都不对解析：对两集合中的限制条件通分，使分母相同．观察分子的不同点及其关系．集合A 中：x ＝k 2＋14＝2k ＋14；集合B 中：x ＝k 4＋12＝k ＋24；而{2k ＋1}表示奇数集，{k ＋2}表示整数集， ∴A B . 答案：A5．满足{x |x 2＋1＝0}A ⊆{x |x 2－1＝0}的集合A 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：{x |x 2＋1＝0}＝∅，{x |x 2－1＝0}＝{－1,1}，故集合A 是集合{－1,1}的非空子集，所以A 的个数为22－1＝3.故选C. 答案：C6．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＜0，且xy ＞0}，集合P ＝{(x ，y )|x ＜0，且y ＜0}，那么集合M 与P 之间的关系是________．解析：M 中的元素满足{ x ＋y ＜0xy ＞0，即{ x ＜0y ＜0，∴M ＝P .答案：M＝P7．已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≥a}，且A⊆B，则实数a的取值范围是________．解析：因为A＝{x||x|≤2，x∈R}＝{x|－2≤x≤2，x∈R}，B＝{x|x≥a}，A⊆B，所以a≤－2.答案：a≤－28．已知集合A{1,2,3}，且A中至多有一个奇数，则所有满足条件的集合A为________．解析：集合A是集合{1,2,3}的真子集，且A中至多有一个奇数，那么当集合A 中有0个奇数时，集合A＝∅，{2}；当集合A中有1个奇数时，集合A＝{1}，{3}，{1,2}，{2,3}．综上，A＝∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}．答案：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}9．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m 的取值范围．解析：A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A.①若B＝∅，则m＋1>2m－1，解得m<2，此时有B⊆A；②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，即m≥2，由B⊆A，得{m≥2m＋1≥－2，2m－1≤5解得2≤m≤3.由①②得m≤3.∴实数m的取值范围是{m|m≤3}．10．已知集合M＝{a－3,2a－1，a2＋1}，N＝{－2,4a－3,3a－1}，若M＝N，求实数a的值．解析：因为M＝N，所以(a－3)＋(2a－1)＋(a2＋1)＝－2＋(4a－3)＋(3a－1)，即a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.当a＝1时，M＝{－2,1,2}，N＝{－2,1,2}，满足M＝N；当a＝3时，M＝{0,5,10}，N＝{－2,9,8}，不满足M＝N，舍去．故所求实数a的值为1.[B组能力提升]1．集合A＝{x|x＝(2n＋1)π，n∈N}与B＝{x|x＝(4n±1)π，n∈N}之间的关系是() A．A B B．B AC．A＝B D．不确定解析：对于集合A，当n＝2k时，x＝(4k＋1)π，k∈N；当n＝2k＋1时，x＝[4(k ＋1)－1]π＝(4m－1)π，m∈N，其中m＝k＋1.所以A中的元素形如(4k±1)π，k∈N.答案：C2．定义集合A*B＝{x|x∈A，且x∉B}，若A＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,4,5}，则A*B 的子集个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：由题意知A*B＝{1,3}，∴A*B的子集个数为22＝4个．答案：D3．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．解析：∵y＝(x－1)2－2≥－2，∴M＝{y|y≥－2}．∴N M.答案：N M4．定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}．若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，则集合A*B中的最大元素为________，集合A*B的所有子集的个数为________．解析：当x1＝1时，x1＋x2的值为2,3；当x1＝2时，x1＋x2的值为3,4；当x1＝3时，x1＋x2的值为4,5；∴A*B＝{2,3,4,5}．故A*B中的最大元素为5，所有子集的个数为24＝16.答案：5165．已知集合A＝{x∈R|x2－2x－8＝0}，B＝{x∈R|x2＋ax＋a2－12＝0}，B⊆A，求实数a的取值集合．解析：A＝{－2,4}，因为B⊆A，所以B＝∅，{－2}，{4}，{－2,4}．若B ＝∅，则a 2－4(a 2－12)<0，即a 2>16，解得a >4或a <－4.若B ＝{－2}，则(－2)2－2a ＋a 2－12＝0且Δ＝a 2－4(a 2－12)＝0，解得a ＝4. 若B ＝{4}，则42＋4a ＋a 2－12＝0且Δ＝a 2－4(a 2－12)＝0，此时a 无解；若B ＝{－2,4}，则⎩⎨⎧－a ＝4－2，a 2－12＝－2×4.所以a ＝－2.综上知，所求实数a 的集合为{a |a <－4或a ＝－2或a ≥4}． 6．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1，m 为常数}，求实数m 的取值范围； (2)若A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1，m 为常数}，求实数m 的取值范围； (3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1，m 为常数}，求实数m 的取值范围．解析：(1)由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}．∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m －6>2m －1，即m <－5，此时满足B ⊆A ； ②若B ≠∅，则⎩⎨⎧m －6≤2m －1，－2≤m －6，2m －1≤5，解得－5≤m ≤3.由①②可得，m <－5或－5≤m ≤3. (2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎨⎧2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，解得⎩⎨⎧m >－5，m ≤4，m ≥3，故3≤m ≤4.(3)若A ＝B ，则必有⎩⎨⎧m －6＝－2，2m －1＝5，此方程组无解，即不存在m 的值使得A ＝B .[课时作业] [A 组基础巩固]1．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析：B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }＝{x |－1<x <2，x ∈Z }＝{0,1}，又A ＝{1, 2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．答案：C2．设S ＝{x |2x ＋1>0}，T ＝{x |3x －5<0}，则S ∩T ＝( ) A ．∅ B ．{x |x <－12} C ．{x |x >53}D ．{x |－12<x <53}解析：S ＝{x |2x ＋1>0}＝{x |x >－12}，T ＝{x |3x －5<0}＝{x |x <53}，则S ∩T ＝{x |－12＜x ＜53}．答案：D3．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0，x ，y ∈R}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝0，x ，y ∈R}，则集合A ∩B 的元素个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：解方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＝0，⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0.∴A ∩B ＝{(0,0)}．答案：B4．设集合M ＝{x ∈Z|－10≤x ≤－3}，N ＝{x ∈Z||x |≤5}，则M ∪N 中元素的个数为( ) A ．11 B ．10 C ．16D ．15 解析：先用列举法分别把集合M ，N 中的元素列举出来，再根据并集的定义写出M ∪N .∵M ＝{x ∈Z|－10≤x ≤－3}＝{－10，－9，－8，－7，－6，－5，－4，－3}，N ＝{x ∈Z||x |≤5}＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}，∴M ∪N ＝{－10，－9，－8，－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．∴M ∪N 中元素的个数为16. 答案：C5．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则( ) A ．－3≤m ≤4 B ．－3＜m ＜4 C ．2＜m ＜4D ．2＜m ≤4解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又B ≠∅， ∴⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7m ＋1＜2m －1即2＜m ≤4. 答案：D6．已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a ，a ∈M }，则集合M ∩N ＝________. 解析：由M ＝{0,1,2}，知N ＝{0,2,4}， M ∩N ＝{0,2}．答案：{0,2}7．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝ax ＋3}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，A ∩B ＝{(2,5)}，则a ＝________，b ＝________. 解析：∵A ∩B ＝{(2,5)}． ∴5＝2a ＋3.∴a ＝1. ∴5＝6＋b .∴b ＝－1. 答案：1 －18．若集合A ＝{1,3，x }，集合B ＝{x 2,1}，且A ∪B ＝{1,3，x }，则这样的x 值的个数为________．解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴x 2∈A . 令x 2＝3，得x ＝±3，符合要求．令x 2＝x ，得x ＝0或x ＝1.当x ＝1时，不满足集合中元素的互异性． ∴x ＝±3或x ＝0. 答案：39．设A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}，求A ∪B ，A ∩B . 解析：如图所示：A ∪B ＝{x |－1＜x ＜2}∪{x |1<x <3}＝{x |－1<x <3}． A ∩B ＝{x |－1<x <2}∩{x |1<x <3}＝{x |1<x <2}．10．已知集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解析：由x 2＋x －6＝0，得A ＝{－3, 2}，∵B ⊆A ，且B 中元素至多一个， ∴B ＝{－3}，或B ＝{2}，或B ＝∅.(1)当B ＝{－3}时，由(－3)m ＋1＝0，得m ＝13； (2)当B ＝{2}时，由2m ＋1＝0，得m ＝－12； (3)当B ＝∅时，由mx ＋1＝0无解，得m ＝0. ∴m ＝13或m ＝－12或m ＝0.[B 组能力提升]1．定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，若A ＝{1,2,4,6,8,10}，B ＝{1,4,8}，则A －B ＝( ) A ．{4,8} B ．{1,2,6,10} C ．{2,6,10}D ．{1}解析：由题设信息知A －B ＝{2,6,10}．答案：C2．(2016·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 解析：∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3，∴A ＝{x |1<x <3}．∵2x －3>0，∴x >32，∴B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >32.∴A ∩B ＝{x |1<x <3}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >32＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32<x <3. 故选D. 答案：D3．已知集合A ＝{x ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x |m ＜x ＜2}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.解析：A ＝{x ||x ＋2|<3}＝{x |－5＜x ＜1}，由图形直观性可知m ＝－1，n ＝1. 答案：－1 14．已知A ＝{x |－2＜x ＜a ＋1}，B ＝{x |x ≤－a 或x ≥2－a }，A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．解析：本题给出了两个待定的集合，且已知A ∪B ＝R ，结合数轴表示可求出参数a 的取值范围．如图所示，因为A ∪B ＝R ，所以应满足⎩⎨⎧－a ≥－2，2－a ≤a ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ≥12，所以12≤a ≤2.答案：⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12≤a ≤25．设方程x 2＋px －12＝0的解集为A ，方程x 2＋qx ＋r ＝0的解集为B ，且A ≠B ，A ∪B ＝{－3,4}，A ∩B ＝{－3}，求p ，q ，r 的值．解析：∵A ∩B ＝{－3}， ∴－3∈A ，代入x 2＋px －12＝0得p ＝－1， ∴A ＝{－3,4}∵A ≠B ，A ∪B ＝{－3,4}， ∴B ＝{－3} 即方程x 2＋qx ＋r ＝0 有两个相等的根x ＝－3， ∴q ＝6，r ＝9.6．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，C ＝{x |x 2－mx ＋2＝0}，且A ∪B ＝A ，A ∩C ＝C ，求实数a 、m 的值或范围．解析：x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或2，故A ＝{1,2}，∵A ∪B ＝A ， ∴B ⊆A ，B 有四种可能的情况：∅，{1}，{2}，{1,2}． ∵x 2－ax ＋a －1＝(x －1)[x －(a －1)]∴必有1∈B ，因而a －1＝1或a －1＝2，解得a ＝2或a ＝3.又∵A ∩C ＝C ，∴C ⊆A .故C 有四种可能的情况：∅，{1}，{2}，{1,2}． ①若C ＝∅，则方程x 2－mx ＋2＝0(※)的判别式 Δ＝m 2－8<0，得－22<m <22；②若C ＝{1}，则方程(※)有两个等根为1， ∴⎩⎨⎧1＋1＝m 1×1＝2不成立；③若C ＝{2}，同上②也不成立； ④若C ＝{1,2}，则⎩⎨⎧1＋2＝m ，1×2＝2.得m ＝3.综上所述，有a ＝2或a ＝3；m ＝3或－22<m <2 2.[课时作业][A组基础巩固]1．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于() A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)解析：M∪N＝{1,2,3,4}，M∩N＝∅，(∁U M)∪(∁U N)＝{1,2,3,4,5,6}，(∁U M)∩(∁U N)＝{5,6}，故选D.答案：D2．已知集合A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，若A∩B＝{1,3}，(∁U A)∩B ＝{5}，则集合B等于()A．{1,3} B．{3,5}C．{1,5} D．{1, 3,5}解析：如图所以B＝{1,3,5}．答案：D3．已知集合A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|x<a}．若(∁U A)∩B≠∅，则a的取值范围为()A．a>3 B．a≥3C．a≥7 D．a>7解析：因为A＝{x|x<3或x≥7}，所以∁U A＝{x|3≤x<7}，又因(∁U A)∩B≠∅，则a>3.答案：A4．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁I M＝∅，则M∪N＝()A．M B．NC．I D．∅解析：因为N∩∁I M＝∅，所以N⊆M，则M∪N＝M，选A.答案：A5.已知集合I，M，N的关系如图所示，则I，M，N的关系为()A．(∁I M)⊇(∁I N)B．M⊆(∁I N)C．(∁I M)⊆(∁I N)D．M⊇(∁I N)解析：由题图知M⊇N，∴(∁I M)⊆(∁I N)．答案：C6．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x＜5}，则∁A B＝________.解析：∁A B＝{x|0≤x＜2或x＝5}．答案：{x|0≤x＜2或x＝5}7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________. 解析：∵U＝{0,1,2,3}，∁U A＝{1,2}．∴A＝{x|x2＋mx＝0}＝{0,3}．∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根，∴0＋3＝－m，即m＝－3.答案：－38．已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，求∁U A，(∁U B)∩A.解析：∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，结合数轴(如图)．可知∁U A ＝{x |1＜x ≤4}，∁U B ＝{x |3＜x ≤4或－1≤x ≤0}．结合数轴(如图)．可知(∁U B )∩A ＝{x |－1≤x ≤0}．9．设A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，且A ∩B ＝{2}． (1)求a 的值及集合A ，B ；(2)设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )； (3)写出(∁U A )∪(∁U B )的所有子集．解析：(1)由交集的概念易得，2是方程2x 2＋ax ＋2＝0和x 2＋3x ＋2a ＝0的公共解，则a ＝－5，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，B ＝{}－5，2.(2)由并集的概念易得，U ＝A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12，2. 由补集的概念易得，∁U A ＝{－5}，∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12.所以(∁U A )∪(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12.(3)(∁U A )∪(∁U B )的所有子集即集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12的所有子集：∅，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12， {－5}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12. 10．设全集U ＝{a 2－2,2, 1}，A ＝{a,1}，求∁U A . 解析：由补集的定义可知A ⊆U .若a ＝2；则a 2－2＝2，集合U 中的元素不满足互异性，所以a ≠2. 若a 2－2＝a ，则a ＝2或a ＝－1，因为a ≠2，所以a ＝－1.此时，U ＝{－1,2,1}，A ＝{－1,1}，所以∁U A ＝{2}．[B 组能力提升]1．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 是非空集合，则A ∩B 的元素个数为( ) A ．mn B ．m ＋n C ．n －mD ．m －n解析：画出Venn 图，如图．∵U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )中有n 个元素，∴A ∩B 中有m －n 个元素．答案：D2．设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，X*Y＝∁U(X∩Y)．对于任意集合X，Y，Z，则(X*Y)*Z＝()A．(X∪Y)∩∁U Z B．(X∩Y)∪∁U ZC．(∁U X∪∁U Y)∩Z D．(∁U X∩∁U Y)∪Z解析：依题意得(X*Y)＝∁U(X∩Y)＝(∁U X)∪(∁U Y)，(X*Y)*Z＝∁U[ (X*Y)∩Z]＝∁U[∁(X∩Y)∩Z]＝{∁U[∁U(X∩Y)]}∪(∁U Z)＝(X∩Y)∪(∁U Z)．U答案：B3．设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________.解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}．则A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}∴A∪B＝{1,3,5,6,7}∴∁U(A∪B)＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}4．设集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|y＝x－3，－1≤x≤3}，则∁R(A∩B)＝________. 解析：∵A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|－4≤y≤0}，∴A∩B＝{0}，∴∁R(A∩B)＝{x|x∈R，且x≠0}．答案：{x|x∈R，且x≠0}5．某班共有30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，求喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．解析：设全集U＝{全班30名学生}，A＝{喜爱篮球运动的学生}，B＝{喜爱乒乓球运动的学生}，画出Venn图如图所示：设既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为x，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－x，喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为10－x，则有(15－x)＋x＋(10－x)＋8＝30，解得x＝3.所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－x＝15－3＝12.6．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁U A )∩B ＝{2}， A ∩(∁U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a 、b 的值．解析：因为(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，知2∈B ，但2∉A,4∈A ，但4∉B . 将x ＝2和x ＝4分别代入B ，A 两集合的方程中得 ⎩⎨⎧ 22－2a ＋b ＝0，42＋4a ＋12b ＝0，即⎩⎨⎧4－2a ＋b ＝0，4＋a ＋3b ＝0.解得a ＝87，b ＝－127.[课时作业] [A 组基础巩固]1．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．0或1个D ．无数个解析：当x ＝1在函数f (x )的定义域内时，函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1有一个公共点(1，f (1))；当x ＝1不在定义域内时，函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1没有公共点．答案：C2．已知四组函数：①f (x )＝x ，g (x )＝(x )2；②f (x )＝x ，g (x )＝3x 3；③f (n )＝2n －1， g (n )＝2n ＋1(n ∈N)；④f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1. 其中是同一函数的为( ) A ．没有 B ．仅有② C ．②④D ．②③④解析：对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应法则不同；对于第二、四组，定义域与对应法则都相同．故选C. 答案：C3．y ＝x 2(－1≤x ≤2)的值域是( ) A ．[1,4]B ．[0,1]C．[0,4] D．[0,2]解析：由图可知f(x)＝x2(－1≤x≤2)的值域是[0,4]．答案：C4．函数y＝2－xx－1的定义域为()A．(－∞，2] B．(－∞，2) C．(－∞，1)∪(1,2) D．(－∞，1)∪(1,2]解析：要使函数y＝2－xx－1有意义，则{2－x≥0，x－1≠0，解得x≤2且x≠1，所以所求函数的定义域为(－∞，1)∪(1,2]．答案：D5．图中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象的是()解析：根据函数的定义，在定义域[0,1]内任意一个元素都有唯一的函数值与它对应，同样，对于值域[0,1]中的任意一个函数值，在定义域内也一定有自变量和它对应．A中函数值域不是[0,1]，B中函数定义域不是[0,1]，故可排除A，B；再结合函数的定义，可知对于集合M中的任意一个x，N中都有唯一的元素与之对应，故排除D.故选C.答案：C6．下列说法正确的有________．(只填序号)①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应；②函数的定义域和值域一定是无限集合；③若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素；④对于任何一个函数，如果x不同，那么y的值也不同；⑤f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，这是一个常量．解析：函数是一个数集与另一个数集间的特殊对应关系，所给出的对应是否可以确定为y是x的函数，主要是看其是否满足函数的三个特征．①是正确的．函数值域中的每一个数一定有定义域中的一个数与之对应，但不一定只有一个数与之对应．②是错误的．函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，如函数f(x)＝1，x＝1的定义域为{1}，值域为{1}．③是正确的．根据函数的定义，定义域中的每一个元素都能在值域中找到唯一元素与之对应．④是错误的．当x不同时，函数值y的值可能相同，如函数y＝x2，当x＝1和－1时，y都为1.⑤是正确的．f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值是一个常量．故填①③⑤.答案：①③⑤7．已知函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，若f (x )的定义域为R ，则m 的取值范围是________．解析：由已知得2x 2－mx ＋3≥0对x ∈R 恒成立，即Δ＝m 2－24≤0，∴－26≤m ≤2 6.答案：[－26，26]8．若函数f (x )的定义域为[2a －1，a ＋1]，值域为[a ＋3,4a ]，则a 的取值范围为________．解析：由区间的定义知 ⎩⎨⎧2a －1<a ＋1a ＋3<4a ⇒1<a <2.答案：(1,2)9．若f (x )的定义域为[－3,5]，求φ(x )＝f (－x )＋f (x )的定义域．解析：由f (x )的定义域为[－3,5]，得φ(x )的定义域需满足⎩⎨⎧－3≤－x ≤5，－3≤x ≤5即⎩⎨⎧－5≤x ≤3，－3≤x ≤5解得－3≤x ≤3.所以函数φ(x )的定义域为[－3,3]． 10．试求下列函数的定义域与值域： (1)f (x )＝(x －1)2＋1，x ∈{－1,0,1,2,3}； (2)f (x )＝(x －1)2＋1； (3)f (x )＝5x ＋4x －1； (4)f (x )＝x －x ＋1.解析：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f (－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f (0)＝2，f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}． (2)函数的定义域为R ，因为(x －1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y |y ≥1}． (3)函数的定义域是{x |x ≠1}，y ＝5x ＋4x －1＝5＋9x －1，所以函数的值域为{y |y ≠5}． (4)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x ≥－1，故函数的定义域是{x |x ≥－1}．设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，于是f (t )＝t 2－1－t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－54.又t ≥0，故f (t )≥－54.所以函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥－54. [B 组能力提升]1．函数y ＝5＋4x －x 2的值域为( ) A ．(－∞，3) B ．[3，＋∞) C ．[0,9]D ．[0,3]解析：由函数性质可得5＋4x －x 2≥0的值域开方即是．结合函数图象(图略)可得y ∈[0,3]，故选D. 答案：D2．已知f (x )的定义域是[0，＋∞)，则函数(x －2)0＋f (x －1)的定义域是( ) A ．[0,2)∪(2，＋∞) B ．[1,2)∪(2，＋∞) C ．[－1,2)∪(2，＋∞) D ．[1，＋∞)解析：{ x －2≠0x －1≥0得1≤x 且x ≠2.答案：B3．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：x 123 f (x )1 31x 1 2 3 g (x )321则f (g (1))的值为________；满足f (g (x ))>g (f (x ))的x 的值是________．解析：g (1)＝3，f (g (1))＝f (3)＝1； f (g (1))＝1，f (g (2))＝3， f (g (3))＝1，g (f (1))＝3， g (f (2))＝1，g (f (3))＝3，∴满足f (g (x ))>g (f (x ))的x 值为x ＝2. 答案：1 24．在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )－(2⊕x )，x ∈[－2,2]，则函数f (x )的值域为________．解析：由题意知，f (x )＝⎩⎨⎧－1，x ∈[－2，1]x 2－2，x ∈(1，2].当x ∈[－2,1]时，f (x )＝－1；当x ∈(1,2]时，f (x )∈(－1,2]． ∴当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－1,2]．答案：[－1,2]5．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m ，渠深为1.8 m ，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A (m 2)表示成水深h (m)的函数； (2)确定函数的定义域和值域； (3)画出函数的图象．解析：(1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ，∴水的面积A ＝[2＋(2＋2h )]h 2＝h 2＋2h (m 2)．(2)定义域为{h |0＜h <1.8}．值域由二次函数A ＝h 2＋2h (0＜h ＜1. 8)求得．由函数A ＝h 2＋2h ＝(h ＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0＜A＜6.84.故值域为{A|0＜A＜6.84}．(3)由于A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0＜h＜1.8，∴A＝h2＋2h的图象仅是抛物线的一部分，如图所示．6．对于函数f(x)，若f(x)＝x，则称x为f(x)的“不动点”，若f(f(x))＝x，则称x 为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f(f(x))＝x}．(1)求证：A⊆B；(2)设f(x)＝x2＋ax＋b，若A＝{－1,3}，求集合B.解析：(1)若A＝∅，则A⊆B显然成立．若A ≠∅，设t ∈A ，则f (t )＝t ，f (f (t ))＝t ，t ∈B ，从而A ⊆B ，故A ⊆B 成立． (2)∵A ＝{－1,3}， ∴f (－1)＝－1，且f (3)＝3. 即⎩⎨⎧(－1)2－a ＋b ＝－132＋3a ＋b ＝3，∴⎩⎨⎧a －b ＝23a ＋b ＝－6，∴⎩⎨⎧a ＝－1b ＝－3，∴f (x )＝x 2－x －3.∵B ＝{x |f (f (x ))＝x }，∴(x 2－x －3)2－(x 2－x －3)－3＝x ， ∴(x 2－x －3)2－x 2＝0，即(x 2－3)(x 2－2x －3)＝0， ∴(x 2－3)(x ＋1)(x －3)＝0， ∴x ＝±3或x ＝－1或x ＝3. ∴B ＝{－3，－1，3，3}．[课时作业]单 [A 组基础巩固]1．函数y ＝ax 2＋a 与y ＝ax (a ≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )解析：当a>0时，二次函数的图象开口向上，且与y轴交于(0，a)点，在y轴上方，反比例函数的图象在第一、三象限，没有满足此条件的图象；当a<0时，二次函数的图象开口向下，且与y轴交于(0，a)点，在y轴下方，反比例函数的图象在第二、四象限；综合来看，只有选项D满足条件．答案：D2．已知f(x－1)＝x2－2，则f(2)＝()A．6 B．2C．7 D．9解析：f(2)＝f(3－1)＝32－2＝9－2＝7.答案：C3．已知f(x)是反比例函数，且f(－3)＝－1，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝－3x B．f(x)＝3xC．f(x)＝3x D．f(x)＝－3x解析：设f(x)＝kx(k≠0)，∵f(－3)＝k－3＝－1，∴k＝3，∴f(x)＝3 x.答案：B4．已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，则f(2)＝()A ．－163B ．－203 C.163D.203解析：因为2f (x )＋f (－x )＝3x ＋2，① 所以2f (－x )＋f (x )＝－3x ＋2，② ①×2－②得f (x )＝3x ＋23. 所以f (2)＝3×2＋23＝203. 答案：D5．已知x ≠0时，函数f (x )满足f (x －1x )＝x 2＋1x 2，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝x ＋1x (x ≠0) B ．f (x )＝x 2＋2(x ≠0) C ．f (x )＝x 2(x ≠0) D ．f (x )＝(x －1x )2(x ≠0)解析： f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1x )2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2(x ≠0)．答案：B6．已知函数f (x )对任意实数a ，b 都满足：f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝3，则f (3)＝________.解析：∵f (2)＝f (1)＋f (1)＝2f (1)＝3， ∴f (1)＝32，∴f (3)＝3f (1)＝3×32＝92或f (3)＝f (2)＋f (1)＝92. 答案：927．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________.解析：因为f (2x ＋1)＝32(2x ＋1)＋12，所以f (a )＝32a ＋12.又f (a )＝4，所以32a ＋12＝4，则a ＝73. 答案：738．已知f (x )＝x ＋2，则f (x )＝________. 解析：令x ＝t ，则x ＝t 2且t ≥0. ∴f (t )＝t 2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2 (x ≥0) 答案：f (x )＝x 2＋2 (x ≥0)9．已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝4x ＋3，求f (x )的解析式．解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . ∴a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋3. ∴⎩⎨⎧ a 2＝4，ab ＋b ＝3.∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－3.∴f (x )＝2x ＋1或f (x )＝－2x －3.10．已知函数f (x )是二次函数，且它的图象过点(0,2)，f (3)＝14，f (－2)＝8＋52，求f (x )的解析式．解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则由题意，得⎩⎨⎧c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝14，2a －2b ＋c ＝8＋52，解得⎩⎨⎧c ＝2，a ＝3，b ＝－5.所以f (x )＝3x 2－5x ＋2.[B 组能力提升]1．对于任意的两个实数对(a ，b )和(c ，d )，规定(a ，b )＝(c ，d )，当且仅当a ＝c ，b ＝d ；运算“⊗”为(a ，b )⊗(c ，d )＝ (ac －bd ，bc ＋ad )；运算“⊕”为：(a ，b )⊕(c ，d )＝(a ＋c ，b ＋d )．设p ，q ∈R ，若(1,2)⊗(p ，q )＝(5,0)，则(1,2)⊕(p ，q )＝( ) A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2)D ．(0，－4)解析：由题设可知：⎩⎨⎧ p －2q ＝5.2p ＋q ＝0，解得⎩⎨⎧p ＝1，q ＝－2， ∴(1,2)⊕(p ，q )＝(1＋p,2＋q )＝(2,0)．答案：B2．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6 C ．f (x )＝6x ＋9 D ．f (x )＝2x ＋3解析：用3－x 代替原方程中的x 得f (3－x )＋2f [3－(3－x )]＝f (3－x )＋2f (x )＝ (3－x )2＝x 2－6x ＋9，∴⎩⎨⎧f (x )＋2f (3－x )＝x 2 ①f (3－x )＋2f (x )＝x 2－6x ＋9 ②①－②×2得－3f (x )＝－x 2＋12x －18， ∴f (x )＝13x 2－4x ＋6. 答案：B 3．设f (3x )＝9x ＋52，则f (1)＝________.解析：令3x ＝1，则x ＝13.∴f (1)＝9×13＋52＝4＝2.答案：24．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ，f (bx )＝9x 2－6x ＋2，其中x ∈R ，a ，b 为常数，则方程f (ax ＋b )＝0的解集为________．解析：f (bx )＝(bx )2＋2bx ＋a ＝b 2x 2＋2bx ＋a ＝9x 2－6x ＋2，∴⎩⎨⎧b 2＝9，2b ＝－6，a ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－3，∴f(ax＋b)＝f(2x－3)＝4x2－8x＋5.∵Δ＝64－4×4×5＝－16<0，∴方程f(ax＋b)＝0的解集为∅.答案：∅5．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)求函数f(x)的值域．解析：因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，列表：(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，所以f(3)<f(0)<f(1)．(2)根据图象，容易发现当x1<x2<1时，有f(x1)<f(x2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．6．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)＝f(3－x)且方程f(x)＝2x有等根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m ，n (m <n )，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[4m,4n ]．如果存在，求出m ，n 的值；如果不存在，请说明理由．解析：(1)∵二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ，b 为常数，且a ≠0)与方程f (x )＝2x 有等根，即方程ax 2＋bx －2x ＝0有等根， ∴Δ＝(b －2)2＝0，得b ＝2.由f (x －1)＝f (3－x )，知此函数图象的对称轴方程为x ＝－b2a ＝1，得a ＝－1，故f (x )＝－x 2＋2x .(2)∵f (x )＝－(x －1)2＋1≤1， ∴4n ≤1，即n ≤14.而抛物线y ＝－x 2＋2x 的对称轴为x ＝1， ∴若满足题设条件的m ，n 存在，则{ f (m )＝4m ，f (n )＝4n ，即⎩⎨⎧－m 2＋2m ＝4m ，－n 2＋2n ＝4n⇒⎩⎨⎧m ＝0或m ＝－2，n ＝0或n ＝－2，又m <n ≤14，∴m ＝－2，n ＝0，这时，定义域为[－2,0]，值域为[－8,0]．由以上知满足条件的m ，n 存在，m ＝－2，n ＝0.[课时作业] [A 组基础巩固]1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：因为f (1)＝2，所以由f (a )＋f (1)＝0，得f (a )＝－2，所以a 肯定小于0，则f (a )＝a ＋1＝－2，解得a ＝－3，故选A. 答案：A2．给出如图所示的对应：其中构成从A 到B 的映射的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：①是映射，是一对一；②③是映射，满足对于集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一的元素和它对应；④⑤不是映射，是一对多；⑥不是映射，a 3、a 4在集合B 中没有元素与之对应．答案：A3．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A ．RB ．[0,2]∪{3}C ．[0，＋∞)D ．[0,3]解析：f (x )图象大致如下：由图可知值域为[0,2]∪{3}．答案：B4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≥0，x 2，x <0，则f (f (－2))的值是( )A ． 4B ．－4C ．8D ．－8解析：∵－2<0，∴f (－2)＝(－2)2＝4，∴f (f (－2))＝f (4)；又∵4≥0，∴f (4)＝2×4＝8. 答案：C5．下列对应是从集合M 到集合N 的映射的是( )①M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1x ，x ∈M ，y ∈N ；②M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2， x ∈M ，y ∈N ；③M ＝N ＝R ，f ：x →y 1|x |＋x ，x ∈M ，y ∈N ；④M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，x ∈M ，y ∈N . A ．①② B ．②③ C ．①④D ．②④解析：根据映射的定义进行判断．对于①，集合M 中的元素0在N 中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M 中的元素0及负实数在N 中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M 中的元素在N 中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D. 答案：D6．若函数f (x )＝⎩⎨⎧3x 2－4，x ＞0，π，x ＝0，0，x ＜0，则f (f (0))＝________.解析：∵f (0)＝π，∴f (f (0))＝f (π)＝3π2－4.答案：3π2－47．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，f (x ＋1)，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值等于________．解析：∵43>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83；－43≤0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13；－13≤0，∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23； 23>0，∴f⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2×23＝43， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝83＋43＝4.答案：48．设f ：A →B 是从A 到B 的一个映射，f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )，那么A 中的元素(－1,2)的象是________，B 中的元素(－1,2)的原象是________．解析：(－1,2)→(－1－2，－1＋2)＝(－3,1)．设(－1,2)的原象为(x ，y )，则⎩⎨⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32.答案：(－3,1) (12，32)9．作函数y ＝|x ＋3|＋|x －5|图象，并求出相应的函数值域．解析：因为函数y ＝|x ＋3|＋|x －5|，y ＝⎩⎨⎧－2x ＋2 (x ≤－3)，8 (－3<x <5)，2x －2 (x ≥5).所以y ＝|x ＋3|＋|x －5|的图象如图所示：由此可知，y ＝|x ＋3|＋|x －5|的值域为[8，＋∞)． 10．已知(x ，y )在映射f 的作用下的象是(x ＋y ，xy )，求：(1)(3,4)的象；(2)(1，－6)的原象．解析：(1)∵x ＝3，y ＝4，∴x ＋y ＝7，xy ＝12. ∴(3,4)的象为(7,12)．(2)设(1，－6)的原象为(x ，y )，则有⎩⎨⎧x ＋y ＝1，xy ＝－6，解得⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－2.故(1，－6)的原象为(－2,3)或(3，－2)．[B 组能力提升]1．若已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1＜x ＜2，2x ，x ≥2，且f (x )＝3，则x 的值是( )A ．1B ．1或32 C ．±3D. 3解析：由x ＋2＝3，得x ＝1>－1，舍去．由x 2＝3，得x ＝±3，－1＜3＜2，－3＜－1，－3舍去．由2x ＝3，得x ＝32<2，舍去．所以x 的值为 3. 答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤0－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥2x 的解集是( )A ．(－∞，23] B ．(－∞，0] C ．(0，23]D ．(－∞，2)解析：(1)当x >0时，f (x )＝－x ＋2≥2x ，得3x ≤2，即0<x ≤23； (2)当x ≤0时，f (x )＝x ＋2≥2x ，得x ≤2，又x ≤0，∴x ≤0；综上所述，x ≤23. 答案：A3．已知集合A ＝Z ，B ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z}，C ＝R ，且从A 到B 的映射是 f ：x →y ＝2x －1，从B 到C 的映射是f ：x →y ＝13x ＋1，则从A 到C 的映射是________．解析：根据题意，f ：A →B ，x →y ＝2x －1 f ：B →C ，y →z ＝13y ＋1. 所以，从A 到C 的映射是f ：x →z ＝13(2x －1)＋1＝16x －2，即从A 到C 的映射是f ：x →y ＝16x －2. 答案：f ：x →y ＝16x －24．已知f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2(x ≤－2)，x 2(－2＜x ＜2)，2x (x ≥2)，若f (a )＝8，则a ＝________.解析：当a ≤－2时，由a ＋2＝8，得a ＝6.不合题意．当a ≥2时，由2a ＝8，得a ＝4，符合题意．当－2＜a ＜2时，a 2＝8，a ＝±22，不合题意．答案：45．已知直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，求a 的取值范围．解析：y ＝x 2－|x |＋a ＝⎩⎨⎧x 2－x ＋a ，x ≥0x 2＋x ＋a ，x <0如图，在同一直角坐标系内画出直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a ，观图可知，a 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧a >14a －14<1，解得1<a <54.6．等腰梯形ABCD 的两底分别为AD ＝2a ，BC ＝a ，∠BAD ＝4 5°，作直线 MN ⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N .设AM ＝x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数．解析：作BH ⊥AD ，H 为垂足，CG ⊥AD ，G 为垂足，依题意，则有AH ＝a 2，AG ＝32a ，∠A ＝∠D ＝45°. (1)当M 位于点H 的左侧时，N ∈AB ，由于AM ＝x ，∠A ＝45°，∴MN ＝x . ∴y ＝S △AMN ＝12x 2(0≤x ≤a 2)．(2)当M 位于H 、G 之间时，由于AM ＝x ，AH ＝a 2，BN ＝x －a2， ∴y ＝S 直角梯形AMNB ＝12·a 2[x ＋(x －a 2)]＝12ax －a 28(a 2＜x ≤32a )． (3)当M 位于点G 的右侧时，由于AM ＝x ，DM ＝MN ＝2a －x ，∴y ＝S 梯形ABCD －S △MDN ＝12·a 2(2a ＋a )－12(2a －x )2＝3a 24－12(4a 2－4ax ＋x 2)＝－12x 2＋2ax －5a 24(32a ＜x ≤2a )．综上有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2(0≤x ≤a 2)，12ax －a 28(a 2＜x ≤32a )，－12x 2＋2ax －5a 24(32a ＜x ≤2a ).[课时作业] [A 组基础巩固]1．若函数f (x )在区间(a ，b ]上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数f (x )在区间(a ，c )上( ) A ．必是增函数 B ．必是减函数C ．是增函数或是减函数D ．无法确定单调性答案：D2．如果函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，＋∞) B ．(－∞，－3] C ．(－∞，5]D ．[3，＋∞)解析：二次函数开口向上，对称轴为x ＝－2(a －1)2＝1－a ，要使f (x )在(－∞，4]上是减函数，需满足1－a ≥4，即a ≤－3. 答案：B3．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3,0]上是( ) A ．递减 B ．递增 C ．先减后增D ．先增后减解析：y ＝|x ＋2|的图象是由y ＝|x |图象向左平移2个单位得来，由图可知y ＝|x ＋2|在[－3，－2]上递减，在[－2,0]上递增．答案：C4．函数f (x )＝x －1x 在(0，＋∞)上( ) A ．递增 B ．递减 C ．先增再减D ．先减再增解析：∵y ＝x 在(0，＋∞)上递增，y ＝－1x 在(0，＋∞)上也递增， ∴f (x )＝x －1x 在(0，＋∞)上递增．答案：A5．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0”的是( )A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝－3x ＋1 C ．f (x )＝x 2＋4x ＋3D ．f (x )＝x 2－4x ＋3解析：∵x 1，x 2∈(0，＋∞)时， f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)是增函数．答案：C6．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________.解析：f (x )＝2(x －m 4)2＋3－m 28，由题意m4＝2，∴m ＝8. ∴f (1)＝2×12－8×1＋3＝－3. 答案：－37．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．解析：y ＝－(x －3)|x | ＝⎩⎨⎧－x 2＋3x (x >0)，x 2－3x (x ≤0).作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，328．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：由f (x )在[1,2]上单调递减可得a ≤1；由g (x )在[1,2]上单调递减可得a ＞0 ∴a ∈(0,1]．答案：(0,1]9．函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x ，y ∈(0，＋∞)，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且f (4)＝5. (1)求f (2)的值； (2)解不等式f (m －2)≤3.解析：(1)∵f (4)＝f (2＋2)＝2f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3.(2)由f (m －2)≤3，得f (m －2)≤f (2)． ∵f (x )是(0，＋∞)上的减函数． ∴⎩⎨⎧m －2≥2，m －2>0解得m ≥4. ∴不等式的解集为{m |m ≥4}．10．求函数f (x )＝|x 2－6x ＋8|的单调区间．解析：先作出y ＝x 2－6x ＋8的图象，然后x 轴上方的不变，x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折，得到如图f (x )＝|x 2－6x ＋8|的图象，由图象可知f (x )的增区间为[2,3]，[4，＋∞]；减区间为(－∞，2]，[3,4]．[B 组能力提升]1．已知f (x )＝x 2＋bx ＋4，且f (1＋x )＝f (1－x )，则f (－2)，f (2)，f (3)的大小关系为( )A ．f (－2)<f (2)<f (3)B ．f (－2)>f (2)>f (3)C ．f (2)<f (－2)<f (3)D ．f (2)<f (3)<f (－2)解析：∵f (x )＝x 2＋bx ＋4，且f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )图象开口向上且关于x ＝1对称，∴f (x )在[1，＋∞)上递增，而f (－2)＝f (1－3)＝f (1＋3)＝f (4)，∴f (2)<f (3)<f (4)＝f (－2)．。

人教A版高中数学必修一全册同步课时作业含解析

人教A版高中数学必修一全册同步课时作业含解析[课时作业][A组基础巩固]1．已知集合M＝{3，m＋1}，且4∈M，则实数m等于( )A．4 B．3C．2 D．1解析：由题设可知3≠4，∴m＋1＝4，∴m＝3.答案：B2．若以集合A的四个元素a、b、c、d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( ) A．梯形 B．平行四边形C．菱形 D．矩形解析：由集合中元素互异性可知，a，b，c，d互不相等，从而四边形中没有边长相等的边．答案：A3．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为( )A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}解析：∵x－3<2，∴x<5，又∵x∈N＋，∴x＝1,2,3,4.答案：B4．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( ) A．5 B．4C．3 D．2解析：利用集合中元素的互异性确定集合．当x＝－1，y＝0时，z＝x＋y＝－1；当x＝1，y＝0时，z＝x＋y＝1；当x＝－1，y＝2时，z＝x＋y＝1；当x＝1，y＝2时，z＝x＋y＝3，由集合中元素的互异性可知集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，即元素个数为3.答案：C5．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合中，最多含有的元素个数为( )A．2个 B．3个C．4个 D．5个解析：确定集合中元素的个数，应从集合中元素的互异性入手考虑．若是相同的元素，则在集合中只能出现一次．因为x2＝|x|，－3x3＝－x，所以当x＝0时，这几个数均为0.当x ＞0时，它们分别是x，－x，x，x，－x.当x＜0时，它们分别是x，－x，－x，－x，－x.均最多表示两个不同的数，故所组成的集合中的元素最多有2个．故选A.答案：A6．设a，b∈R，集合{0，ba，b}＝{1，a＋b，a}，则b－a＝________.解析：由题设知a≠0，则a＋b＝0，a＝－b，所以ba＝－1，∴a＝－1，b＝1，故b－a＝2.答案：27．已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________．解析：由－5∈{x|x2－ax－5＝0}得(－5)2－a×(－5)－5＝0，所以a＝－4，所以{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，所以集合中所有元素之和为2.答案：28．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为________．解析：∵P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，P＝{0,2,5}， Q＝{1,2,6}，∴当a＝0时，a＋b的值为1,2,6；当a＝2时，a＋b的值为3,4,8；当a＝5时，a＋b的值为6,7,11.∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，故P＋Q中有8个元素．答案：89．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.解析：(1)当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.此时集合A＝{2}．(2)当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有一个实根．只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意．综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．10．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，(1)若－3∈A，试求实数a的值；(2)若a∈A，试求实数a的值．解析：(1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意，综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.当a＝a－3时，有0＝－3，不成立．当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2,1，符合题意．综上知a＝1.[B组能力提升]1．有以下说法：①0与{0}是同一个集合；②由1,2,3组成的集合可以表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4＜x＜5}是有限集．其中正确说法是( )A．①④ B．②C．②③ D．以上说法都不对解析：0∈{0}；方程(x－1)2(x－2)＝0的解集为{1,2}；集合{x|4＜x＜5}是无限集；只有②正确．答案：B2．已知集合P＝{x|x＝a|a|＋|b|b，a，b为非零常数}，则下列不正确的是( )A．－1∈P B．－2∈PC．0∈P D．2∈P解析：(1)a>0，b>0时，x＝a|a|＋b|b|＝1＋1＝2；(2)a<0，b<0时，x＝a|a|＋b|b|＝－1－1＝－2；(3)a，b异号时，x＝0.答案：A3．已知集合M＝{a|a∈N，且65－a∈N}，则M＝________.解析：5－a整除6，故5－a＝1,2,3,6，a∈N所以a＝4,3,2.答案：{4,3,2}4．当x∈A时，若x－1∉A且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为________．解析：由“孤立元素”的定义知，对任意x∈A，要成为A的孤立元素，必须是集合A中既没有x－1，也没有x＋1，因此只需逐一考查A中的元素即可.0有1“相伴”，1,2则是前后的元素都有，3有2“相伴”，只有5是“孤立的”，从而集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为{5}．故填{5}．答案：{5}5．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．(1)若1∈A，求a的值；(2)若集合A中只有一个元素，求实数a组成的集合；(3)若集合A中含有两个元素，求实数a组成的集合．解析：(1)因为1∈A，所以a×12＋2×1＋1＝0，所以a＝－3.(2)当a＝0时，原方程为2x＋1＝0，解得x＝－12，符合题意；当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等实根，即Δ＝22－4a＝0，所以a＝1.故当集合A只有一个元素时，实数a组成的集合是{0,1}．(3)由集合A中含有两个元素知，方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实根，即a≠0且Δ＝22－4a>0，所以a≠0且a<1.故当集合A中含有两个元素时，实数a组成的集合是{a|a≠0且a<1}．6．设S是由满足下列条件的实数所构成的集合：①1∉S；②若a∈S，则11－a∈S.请解答下列问题：(1)若2∈S，则S中必有另外两个数，求出这两个数；(2)求证：若a∈S，且a≠0，则1－1a∈S.解析：(1)∵2∈S,2≠1，∴11－2＝－1∈S.∵－1∈S，－1≠1，∴11－－＝12∈S. 又∵12∈S，12≠1，∴11－12＝2∈S.∴集合S中另外两个数为－1和12.(2)由a∈S，则11－a∈S，可得11－11－a∈S，即11－11－a＝1－a1－a－1＝1－1a∈S.∴若a∈S，且a≠0，则1－1a∈S.[课时作业][A组基础巩固]1．(2016•高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B ＝( )A．{1} B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}解析：B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，又A＝{1, 2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．答案：C2．设S＝{x|2x＋1>0}，T＝{x|3x－5<0}，则S∩T＝( )A．∅ B．{x|x<－12}C．{x|x>53} D．{x|－12<x<53}解析：S＝{x|2x＋1>0}＝{x|x>－12}，T＝{x|3x－5<0}＝{x|x<53}，则S∩T＝{x|－12＜x ＜53}．答案：D3．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝0，x，y∈R}，B＝{(x，y)|x－y＝0，x，y∈R}，则集合A ∩B的元素个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：解方程组x＋y＝0x－y＝0，x＝0y＝0.∴A∩B＝{(0,0)}．答案：B4．设集合M＝{x∈Z|－10≤x≤－3}，N＝{x∈Z||x|≤5}，则M∪N中元素的个数为( ) A．11 B．10C．16 D．15解析：先用列举法分别把集合M，N中的元素列举出来，再根据并集的定义写出M∪N.∵M＝{x∈Z|－10≤x≤－3}＝{－10，－9，－8，－7，－6，－5，－4，－3}，N＝{x∈Z||x|≤5}＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}，∴M∪N＝{－10，－9，－8，－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．∴M∪N中元素的个数为16.答案：C5．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，且B≠∅，若A∪B＝A，则( ) A．－3≤m≤4 B．－3＜m＜4C．2＜m＜4 D．2＜m≤4解析：∵A∪B＝A，∴B⊆A.又B≠∅，∴m＋1≥－22m－1≤7m＋1＜2m－1即2＜m≤4.答案：D6．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________.解析：由M＝{0,1,2}，知N＝{0,2,4}，M∩N＝{0,2}．答案：{0,2}7．已知集合A＝{(x，y)|y＝ax＋3}，B＝{(x，y)|y＝3x＋b}，A∩B＝{(2,5)}，则a＝________，b＝________.解析：∵A∩B＝{(2,5)}．∴5＝2a＋3.∴a＝1.∴5＝6＋b.∴b＝－1.答案：1 －18．若集合A＝{1,3，x}，集合B＝{x2,1}，且A∪B＝{1,3，x}，则这样的x值的个数为________．解析：∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴x2∈A.令x2＝3，得x＝±3，符合要求．令x2＝x，得x＝0或x＝1.当x＝1时，不满足集合中元素的互异性．∴x＝±3或x＝0.答案：39．设A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∪B，A∩B.解析：如图所示：A∪B＝{x|－1＜x＜2}∪{x|1<x<3}＝{x|－1<x<3}．A∩B＝{x|－1<x<2}∩{x|1<x<3}＝{x|1<x<2}．10．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，若B⊆A，求实数m的取值范围．解析：由x2＋x－6＝0，得A＝{－3, 2}，∵B⊆A，且B中元素至多一个，∴B＝{－3}，或B＝{2}，或B＝∅.(1)当B＝{－3}时，由(－3)m＋1＝0，得m＝13；(2)当B＝{2}时，由2m＋1＝0，得m＝－12；(3)当B＝∅时，由mx＋1＝0无解，得m＝0.∴m＝13或m＝－12或m＝0.[B组能力提升]1．定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若A＝{1,2,4,6,8,10}，B＝{1,4,8}，则A－B＝( ) A．{4,8} B．{1,2,6,10}C．{2,6,10} D．{1}解析：由题设信息知A－B＝{2,6,10}．答案：C2．(2016•高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝( ) A.－3，－32 B.－3，32C.1，32D.32，3解析：∵x2－4x＋3<0，∴1<x<3，∴A＝{x|1<x<3}．∵2x－3>0，∴x>32，∴B＝xx>32.∴A∩B＝{x|1<x<3}∩xx>32＝x32<x<3.故选D.答案：D3．已知集合A＝{x||x＋2|<3}，集合B＝{x|m＜x＜2}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.解析：A＝{x||x＋2|<3}＝{x|－5＜x＜1}，由图形直观性可知m＝－1，n＝1.答案：－1 14．已知A＝{x|－2＜x＜a＋1}，B＝{x|x≤－a或x≥2－a}，A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．解析：本题给出了两个待定的集合，且已知A∪B＝R，结合数轴表示可求出参数a的取值范围．如图所示，因为A∪B＝R，所以应满足－a≥－22－a≤a＋1，解得a≤2a≥12，所以12≤a≤2.答案：a12≤a≤25．设方程x2＋px－12＝0的解集为A，方程x2＋qx＋r＝0的解集为B，且A≠B，A∪B＝{－3,4}，A∩B＝{－3}，求p，q，r的值．解析：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈A，代入x2＋px－12＝0得p＝－1，∴A＝{－3,4}∵A≠B，A∪B＝{－3,4}，∴B＝{－3}即方程x2＋qx＋r＝0有两个相等的根x＝－3，∴q＝6，r＝9.6．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－mx＋2＝0}，且A∪B＝A，A∩C＝C，求实数a、m的值或范围．解析：x2－3x＋2＝0得x＝1或2，故A＝{1,2}，∵A∪B＝A，∴B⊆A，B有四种可能的情况：∅，{1}，{2}，{1,2}．∵x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]∴必有1∈B，因而a－1＝1或a－1＝2，解得a＝2或a＝3.又∵A∩C＝C，∴C⊆A.故C有四种可能的情况：∅，{1}，{2}，{1,2}．①若C＝∅，则方程x2－mx＋2＝0(※)的判别式Δ＝m2－8<0，得－22<m<22；②若C＝{1}，则方程(※)有两个等根为1，∴1＋1＝m1×1＝2不成立；③若C＝{2}，同上②也不成立；④若C＝{1,2}，则1＋2＝m1×2＝2.得m＝3.综上所述，有a＝2或a＝3；m＝3或－22<m<22.[课时作业][A组基础巩固]1．已知M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则有( )A．M⊆N B．N MC．N∈M D．M＝N解析：由子集的概念可知N M.答案：B2．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝( )A．0或3 B．0或3C．1或3 D．0或1或3解析：(1)m＝3，此时A＝{1,3，3}，B＝{1,3}，满足B⊆A.(2)m＝m，即m＝0或m＝1.①m＝0时，A＝{0,1,3}，B＝{0,1}，满足B⊆A；②m＝1时，A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，不满足互异性，舍去．答案：B3．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是( ) A．1 B．－1C．－1或0或1 D．0或1解析：由题设可知集合A中只有一个元素，(1)a＝0时，原方程等价转化为2x＝0，即x＝0，满足题设；(2)a≠04－4a2＝0得a＝±1.答案：C4．已知集合A＝{x|x＝k2＋14，k∈Z}，集合B＝{x|x＝k4＋12，k∈Z}，则A与B的关系为( )A．A B B．B AC．A＝B D．以上答案都不对解析：对两集合中的限制条件通分，使分母相同．观察分子的不同点及其关系．集合A中：x＝k2＋14＝2k＋14；集合B中：x＝k4＋12＝k＋24；而{2k＋1}表示奇数集，{k＋2}表示整数集，∴A B.答案：A5．满足{x|x2＋1＝0}A⊆{x|x2－1＝0}的集合A的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：{x|x2＋1＝0}＝∅，{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，故集合A是集合{－1,1}的非空子集，所以A的个数为22－1＝3.故选C.答案：C6．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＜0，且xy＞0}，集合P＝{(x，y)|x＜0，且y＜0}，那么集合M与P之间的关系是________．解析：M中的元素满足x＋y＜0xy＞0，即x＜0y＜0，∴M＝P.答案：M＝P7．已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≥a}，且A⊆B，则实数a的取值范围是________．解析：因为A＝{x||x|≤2，x∈R}＝{x|－2≤x≤2，x∈R}，B＝{x|x≥a}，A⊆B，所以a≤－2.答案：a≤－28．已知集合A{1,2,3}，且A中至多有一个奇数，则所有满足条件的集合A为________．解析：集合A是集合{1,2,3}的真子集，且A中至多有一个奇数，那么当集合A中有0个奇数时，集合A＝∅，{2}；当集合A中有1个奇数时，集合A＝{1}，{3}，{1,2}，{2,3}．综上，A＝∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}．答案：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}9．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．解析：A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A.①若B＝∅，则m＋1>2m－1，解得m<2，此时有B⊆A；②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，即m≥2，由B⊆A，得m≥2m＋1≥－22m－1≤5解得2≤m≤3.由①②得m≤3.∴实数m的取值范围是{m|m≤3}．10．已知集合M＝{a－3,2a－1，a2＋1}，N＝{－2,4a－3,3a－1}，若M＝N，求实数a的值．解析：因为M＝N，所以(a－3)＋(2a－1)＋(a2＋1)＝－2＋(4a－3)＋(3a－1)，即a2－4a ＋3＝0，解得a＝1或a＝3.当a＝1时，M＝{－2,1,2}，N＝{－2,1,2}，满足M＝N；当a＝3时，M＝{0,5,10}，N＝{－2,9,8}，不满足M＝N，舍去．故所求实数a的值为1.[B组能力提升]1．集合A＝{x|x＝(2n＋1)π，n∈N}与B＝{x|x＝(4n±1)π，n∈N}之间的关系是( ) A．A B B．B AC．A＝B D．不确定解析：对于集合A，当n＝2k时，x＝(4k＋1)π，k∈N；当n＝2k＋1时，x＝[4(k＋1)－1]π＝(4m－1)π，m∈N，其中m＝k＋1.所以A中的元素形如(4k±1)π，k∈N.答案：C2．定义集合A*B＝{x|x∈A，且x∉B}，若A＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,4,5}，则A*B的子集个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：由题意知A*B＝{1,3}，∴A*B的子集个数为22＝4个．答案：D3．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．解析：∵y＝(x－1)2－2≥－2，∴M＝{y|y≥－2}．∴N M.答案：N M4．定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}．若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，则集合A*B中的最大元素为________，集合A*B的所有子集的个数为________．解析：当x1＝1时，x1＋x2的值为2,3；当x1＝2时，x1＋x2的值为3,4；当x1＝3时，x1＋x2的值为4,5；∴A*B＝{2,3,4,5}．故A*B中的最大元素为5，所有子集的个数为24＝16.答案：5 165．已知集合A＝{x∈R|x2－2x－8＝0}，B＝{x∈R|x2＋ax＋a2－12＝0}，B⊆A，求实数a 的取值集合．解析：A＝{－2,4}，因为B⊆A，所以B＝∅，{－2}，{4}，{－2,4}．若B＝∅，则a2－4(a2－12)<0，即a2>16，解得a>4或a<－4.若B＝{－2}，则(－2)2－2a＋a2－12＝0且Δ＝a2－4(a2－12)＝0，解得a＝4.若B＝{4}，则42＋4a＋a2－12＝0且Δ＝a2－4(a2－12)＝0，此时a无解；若B＝{－2,4}，则－a＝4－2a2－12＝－2×4.所以a＝－2.综上知，所求实数a的集合为{a|a<－4或a＝－2或a≥4}．6．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，(1)若B⊆A，B＝{x|m－6≤x≤2m－1，m为常数}，求实数m的取值范围；(2)若A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1，m为常数}，求实数m的取值范围；(3)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1，m为常数}，求实数m的取值范围．解析：(1)由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}．∵B⊆A，∴①若B＝∅，则m－6>2m－1，即m<－5，此时满足B⊆A；②若B≠∅，则m－6≤2m－12≤m－62m－1≤5，解得－5≤m≤3.由①②可得，m<－5或－5≤m≤3.(2)若A⊆B，则依题意应有2m－1>m－6m－6≤－22m－1≥5，解得m>－5m≤4m≥3，故3≤m≤4. (3)若A＝B，则必有m－6＝－22m－1＝5，此方程组无解，即不存在m的值使得A＝B.。

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第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.3 集合的基本运算第1课时并集与交集--------------- 高效演练知能提升 -------------（对应学生用书P12）A级基础巩一、选择题1.设集合A={1, 3},集合B={1, 2, 4, 5},则集合AUB=( )A・{1, 3, 1, 2, 4, 5} B・{1}C・{1, 2, 3, 4, 5} D・{2, 3, 4, 5} 解析：因为集合A = {1, 3},集合B={1, 2, 4, 5}, 所以集合AUB={1, 2, 3, 4, 5}・故选C・答案:C2・已知集合A = {(x, j)|x, y 为实数,且x2+y2=l}9 B={(x9 y)\x9丿为实数，且x+j=l},则A QB的元素个数为()A. 4 B・ 3 C. 2 D・ 1x2+j2=l,解析：联立两集合中的方程得：,[x+y=l fx=0, [x = 1,解得T或n有两解.b=i b=o,答案：c3・若集合A = {兀2W兀W3}, B={兀|x<—1或x>4},则集合AHB等于（）A・{x|xW3,或兀>4} B・{兀|—l<rW3}C・{x|3^x<4} D・{x|-2^x<-l}解析：直接在数轴上标出A、〃的区间（图略），取其公共部分即得A A J B={X|—2^x<—1}・答案：D4・已知集合A = {1, 3, 畅,B={19 m}9 KAUB=A9则加=()A・0或馆B・0或3C・1或馆D・1或3解析：由AUB=A,得〃UA,因为A = {1, 3,丽}, B={19m}9所以m=3或m=\[m9解得m=3或m=0或m=l9验证知,加=1时不满足集合中元素的互异性，故加=o或m=39故选B・答案：B5.设全集t7=R, A = {xEN|lW兀W10}, B={xeR|x2+x-6=0},则下图中阴影部分表示的集合为（）解析：A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, 〃={一3, 2},阴影部分表示的集合是ACIB={2},故选A・答案:A 二、填空题6・已知集合A = {兀*>0},B={x|—lW兀W2},则AUB= _______ 解析：借助数轴知，A U B={x\x>0} U {x|-l^x^2} = {x|x^-l}.答案：{x|x^ —1}7.已知集合A = {x|0<x^6, x^N}, B={0, 3, 5},贝!) AAB=解析：A = {1, 2, 3, 4, 5, 6},于是AAB={3, 5}.答案：{3, 5}8・已知集合A={X\X^1}9 B={x\x^a}9且AUB=R,则实数a的取值范围是_______________ ■解析：由AUB=R，得A与〃的所有元素应覆盖整个数轴.如下图所示：所以a必须在1的左侧，或与1重合，故aWl・答案：{a|aWl}三、解答题9・已知集合A = {xeZ|-3^x-l^l}, B={19 2, 3}, C={3,4, 5, 6}.(1)求A的非空真子集的个数；(2)求〃UC, AU(BnC)・解：(l)A = {-2, -1, 0, 1, 2},共5 个元素，所以A的非空真子集的个数为25-2=30・(2)因为B={19 2, 3}, C={3, 4, 5, 6},所以BUC={19 2, 3, 4, 5, 6}, AU(BC0 = {-2, — 1, 0, 1, 2, 3}・10.已知集合A = {|a+l|, 3, 5}, B={2a+1, a2+2a f a2+2a 一1}・当AQB={29 3}时，求AUB・解：因为AAB={2, 3},所以2eA,所以|a+l|=2,解得a=l 或a=—3.①当a=l 时，2a+l=3, a2+2a=3f所以B={3, 3, 2},不满足集合元素的互异性，舍去；②当a=-3时，2°+1 = —5, /+2°=3, a2+2a~l=29所以B={-59 2, 3}・故AUB={-5, 2, 3, 5}.B级能力提升1.已知集合A = {x\-2^x^7}9B={x\m+l<x<2m-l}9且〃工0,若AUB=A,贝！J( )A・—3W%W4 B・—3V/W V4C・2<m<4D・ 2V〃iW4解析：因为AUB=A9所以BVA•又〃工0,pn+1^—2,所以{ 2加一1W7, 即2vmW4・l/n+l<2/w —1,答案：D2.设集合M={x|-3^x<7}, N=[x\2x+k^0}9若MCINH0,则实数R的取值范围为解析: 因为N={兀|2兀+RWO}=伐|xW —且MONH0,所以一£$一3得kW6・答案：倾W6}3.已知集合A = {x|x2—4x—5^0},集合B={x|2aW兀Wa+2}・⑴若4=一1,求ACB和(2)若求实数a的取值范围.解：(l)A = {x|x^ — 1 或兀M5}, B={x|—2WxWl}, 所以 AnB={x|-2^x^-l},AUB={«r|xWl 或 x^5}・(2)因为AQB=B f 所以BQA ・①若 B=0,则 2a>a+2,得 a>2;综上知a>2或aW —3・ aW2, 或 a+2W —1" aW2, 〔2心5, 所以aW —3・。

新教材人教A版高中数学选择性必修第一册全册课后练习及章末检测含解析

选择性必修第一册全册课后练习及章末测验第一章空间向量与立体几何................................................................................................ - 2 -1.1.1空间向量及其线性运算......................................................................................... - 2 -1.1.2空间向量的数量积运算......................................................................................... - 8 -1.2空间向量基本定理.................................................................................................. - 15 -1.3.1空间直角坐标系 .................................................................................................. - 22 -1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................... - 28 -1.4.1第1课时空间向量与平行关系........................................................................... - 34 -1.4.1第2课时空间向量与垂直关系........................................................................... - 42 -1.4.2用空量研究距离夹角问题................................................................................... - 50 -第一章章末测验............................................................................................................ - 63 - 第二章直线和圆的方程...................................................................................................... - 78 -2.1.1倾斜角与斜率 ...................................................................................................... - 78 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定............................................................................... - 82 -2.2.1直线的点斜式方程............................................................................................... - 86 -2.2.2直线的两点式方程............................................................................................... - 91 -2.2.3直线的一般式方程............................................................................................... - 96 -2.3.1 2.3.2两条直线的交点坐标两点间的距离公式............................................. - 101 -2.3.3 2.3.4点到直线的距离公式两条平行直线间的距离..................................... - 106 -2.4.1圆的标准方程 .................................................................................................... - 112 -2.4.2圆的一般方程 .................................................................................................... - 116 -2.5.1直线与圆的位置关系......................................................................................... - 121 -2.5.2圆与圆的位置关系............................................................................................. - 127 - 第三章圆锥曲线的方程.................................................................................................... - 143 -3.1.1椭圆及其标准方程............................................................................................. - 143 -3.1.2第1课时椭圆的简单几何性质......................................................................... - 148 -3.1.2第2课时椭圆的标准方程及性质的应用......................................................... - 154 -3.2.1双曲线及其标准方程......................................................................................... - 162 -3.2.2双曲线的简单几何性质..................................................................................... - 168 -3.3.1抛物线及其标准方程......................................................................................... - 176 -3.3.2抛物线的简单几何性质..................................................................................... - 182 -第三章章末测验.......................................................................................................... - 189 -第一章空间向量与立体几何 1.1.1空间向量及其线性运算一、选择题1．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A ．DB → B ．AC → C ．AB → D ．BA → D [DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.]2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形A [∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →. ∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．]3．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →＝OA →＋OB →＋OC → B ．OM →＝2OA →－OB →－OC → C ．OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →D ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → D [由OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，可得3OM →＝OA →＋OB →＋OC →⇒OM →－OA →＋OM →－OB →＋OM →－OC →＝0，即AM →＝－BM →－CM →.所以AM →与BM →，CM →在一个平面上，即点M 与点A ，B ，C 一定共面．] 4．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( )A ．P ∈AB B ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对A [因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP →＝(1－n )OA →＋nOB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线．又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈AB .]5．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →＝( )A ．AA 1→＋12AB →＋12AD → B ．12AA 1→＋12AB →＋12AD →C ．12AA 1→＋16AB →＋16AD → D ．13AA 1→＋16AB →＋16AD →D [如图所示，AF →＝13AE →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→＋12A 1C 1→＝13AA 1→＋16AB →＋16AD →，故选D.]二、填空题6．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →确定的点M 与A ，B ，C 共面，则λ＝________.2 [由M 、A 、B 、C 四点共面知：－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.]7．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，用a ，b ，c 表示D 1M →，则D 1M →＝________.12a －12b ＋c [D 1M →＝D 1D →＋DM → ＝A 1A →＋12(DA →＋DC →) ＝c ＋12(－A 1D 1→＋A 1B 1→) ＝12a －12b ＋c .]8．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF →和AD →＋BC →的关系是________．(填“平行”，“相等”或“相反”)平行 [设G 是AC 的中点，则EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →) 所以2EF →＝AD →＋BC →，从而EF →∥(AD →＋BC →)．] 三、解答题9.如图，在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量．[解] ∵G 是△BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，∴GE →＝13BE →.又12AC →＝12(DC →－DA →)＝12DC →－12DA →＝DE →－DF →＝FE →， ∴AG →＋13BE →－12AC →＝AG →＋GE →－FE →＝AF →(如图所示)．10．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．[证明] ∵A 1B →＝AB →－AA 1→， A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→， AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)， ∴A 1N →＝AN →－AA 1→ ＝23(AB →＋AD →)－AA 1→＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →， ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．11．(多选题)若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( ) A ．AB →＋2BC →＋2CD →＋DC → B ．2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →C.AB →＋CA →＋BD →D.AB →－CB →＋CD →－AD →BD [A 中，AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →；B 中，2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AC →＋3CA →＋AC →＝0；C 中，AB →＋CA →＋BD →＝AD →＋CA →；D 中，AB →－CB →＋CD →－AD →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →表示A →B →C →D →A 恰好形成一个回路，结果必为0.]12．(多选题)有下列命题，其中真命题的有( ) A ．若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线 B ．若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线C ．若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b D ．若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0BCD [根据共线向量的定义，若AB →∥CD →，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故A 错；因为AB →∥AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以B 正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ∥b ，故C 正确；易知D 也正确．]13．(一题两空)已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，若OA →＝2OB →＋μOC →，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．－1 0 [由A 、B 、C 三点共线，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，又由λOA →＋mOB →＋nOC →＝0得OA →＝－m λOB →－n λOC →由A ，B ，C 三点共线知－m λ－nλ＝1，则λ＋m ＋n ＝0.]14．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 为________．－8 [因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2，又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4k ，所以k ＝－8.]15.如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是ABCD 所在平面外的一点，连接P A ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心．(1)试用向量方法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系，并用向量方法证明你的判断． [证明] (1)分别连接PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ，连接MN ，NQ ，QR ，RM ，∵E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，∴M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →.由题意知四边形MNQR 是平行四边形，∴MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →)＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →)＝32(EF →＋EH →)．又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →.∴EG →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)平行．证明如下：由(1)得MQ →＝32EG →，∴MQ →∥EG →， ∴EG →∥平面ABCD .又MN →＝PN →－PM →＝32PF →－32PE → ＝32EF →，∴MN →∥EF →. 即EF ∥平面ABCD . 又∵EG ∩EF ＝E ，∴平面EFGH 与平面ABCD 平行1.1.2空间向量的数量积运算一、选择题1．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )⊥(λa －b )，则λ等于( ) A ．32 B ．－32 C ．±32 D ．1A [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∵3a ＋2b ⊥λa －b ，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，即3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝0，∴12λ－18＝0，解得λ＝32.]2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B ．12a 2C ．14a 2D ．34a 2C [AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ×a ×12＋a ×a ×12＝14a 2.]3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则下列向量的数量积一定不为0的是( ) A ．AD 1→·B 1C →B ．BD 1→·AC →C ．AB →·AD 1→ D ．BD 1→·BC →D [对于选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，可得AD 1⊥B 1C ，此时有AD 1→·B 1C →＝0；对于选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，AC ⊥BD ，易得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时有BD 1→·AC →＝0；对于选项C ，由长方体的性质，可得AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AD 1，此时必有AB →·AD 1→＝0；对于选项D ，由长方体的性质，可得BC ⊥平面CDD 1C 1，可得BC ⊥CD 1，△BCD 1为直角三角形，∠BCD 1为直角，故BC 与BD 1不可能垂直，即BD 1→·BC →≠0.故选D.]4．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1→与向量AC →所成的角为( )A ．60°B ．150°C ．90°D ．120°D [BA 1→＝BA →＋AA 1→，|BA 1→|＝2a ，AC →＝A B →＋AD →，|AC →|＝2a .∴BA 1→·AC →＝BA →·AB →＋BA →·AD →＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →＝－a 2. ∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝－a 22a ·2a ＝－12.∴〈BA 1→，AC →〉＝120°.]5.如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为( )A ．13B ．23C ．33D ．43B [∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→，∴AC ′→2＝(AB →＋BC →＋CC ′→)2＝AB →2＋BC →2＋CC ′→2＋2(AB →·BC →＋AB →·CC ′→＋BC →·CC ′→) ＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°) ＝14＋2×92＝23，∴|AC ′→|＝23，即AC ′的长为23.] 二、填空题6．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________.18[将|a －b |＝7两边平方，得(a －b )2＝7. 因为|a |＝2，|b |＝2，所以a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，故cos 〈a ，b 〉＝18.]7．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a ，b 所成的角是________．60° [AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴CD →·AB →＝CD →·(AC →＋CD →＋DB →)＝|CD →|2＝1， ∴cos 〈CD →，AB →〉＝CD →·AB →|CD →||AB →|＝12，∴异面直线a ，b 所成角是60°.]8．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．(－1－3，－1＋3) [由题意知 ⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1. 即⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，(a ＋λb )·(λa －2b )≠－|a ＋λb ||λa －2b |，得λ2＋2λ－2<0.∴－1－3<λ<－1＋ 3.] 三、解答题9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)试用a ，b ，c 表示出向量BM →； (2)求BM 的长．[解] (1)∵M 是PC 的中点，∴BM →＝12(BC →＋BP →)＝12[AD →＋(AP →－AB →)] ＝12[b ＋(c －a )]＝－12a ＋12b ＋12c .(2)由于AB ＝AD ＝1，P A ＝2，∴|a |＝|b |＝1，|c |＝2，由于AB ⊥AD ，∠P AB ＝∠P AD ＝60°，∴a·b ＝0，a·c ＝b·c ＝2·1·cos 60°＝1，由于BM →＝12(－a ＋b ＋c )，|BM →|2＝14(－a ＋b ＋c )2＝14[a 2＋b 2＋c 2＋2(－a·b －a·c ＋b·c )]＝14[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝32.∴|BM →|＝62，∴BM 的长为62.10.如图，已知直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． [解] (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0. ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ＋12b －12a ＝－12c 2＋12b 2＝0， ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)∵AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |， ∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22×52|a |2＝1010.∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.11．(多选题)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题正确的有( ) A ．(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2 B ．A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0 C ．AD 1→与A 1B →的夹角为60° D ．正方体的体积为|AB →·AA 1→·AD →|AB [如图，(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝(AA 1→＋A 1D 1→＋D 1C 1→)2＝AC 1→2＝3AB →2；A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝A 1C →·AB 1→＝0；AD 1→与A 1B →的夹角是D 1C →与D 1A →夹角的补角，而D 1C →与D 1A →的夹角为60°，故AD 1→与A 1B →的夹角为120°；正方体的体积为|AB →||AA 1→||AD →|.故选AB.]12．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E 是底面正方形A 1B 1C 1D 1的中心，则AC 1→与CE →( )A ．重合B ．平行但不重合C ．垂直D ．无法确定C [AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝AA 1→－12(AB →＋AD →)，于是AC 1→·CE →＝(AB →＋AD →＋AA 1→)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AA 1－12(AB →＋AD →)＝AB →·AA 1→－12AB →2－12AB →·AD →＋AD →·AA 1→－12AD →·AB →－12AD →2＋AA 1→2－12AA 1→·AB →－12AA 1→·AD →＝0－12－0＋0－0－12＋1－0－0＝0，故AC 1→⊥CE →.]13．(一题两空)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C →·A 1P →＝________，B 1C →与A 1P →所成角的大小为________．1 60° [法一：连接A 1D ，则∠P A 1D 就是B 1C →与A 1P →所成角．连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C →与A 1P →所成角的大小为60°.因此B 1C →·A 1P →＝2×2×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B 1C →·A 1P →＝(A 1A →＋AD →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝AD →2＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C →，A 1P →〉＝1，从而〈B 1C →，A 1P →〉＝60°.]14．已知在正四面体D -ABC 中，所有棱长都为1，△ABC 的重心为G ，则DG 的长为________．63 [如图，连接AG 并延长交BC 于点M ，连接DM ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23AM ，∴AG →＝23AM →，DG →＝DA →＋AG →＝DA →＋23AM →＝DA →＋23(DM →－DA →)＝DA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(DB →＋DC →)－DA →＝13(DA →＋DB →＋DC →)，而(DA →＋DB →＋DC →)2＝DA →2＋DB →2＋DC →2＋2DA →·DB →＋2DB →·DC →＋2DC →·DA →＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|DG →|＝63.]15.如图，正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M .(1)求证：AO ，BO ，CO 两两垂直；(2)求〈DM →，AO →〉．[解] (1)证明：设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，正四面体的棱长为1，则VD →＝13(a ＋b ＋c )，AO →＝16(b ＋c －5a )， BO →＝16(a ＋c －5b )，CO →＝16(a ＋b －5c )，所以AO →·BO →＝136(b ＋c －5a )·(a ＋c －5b )＝136(18a ·b －9|a |2)＝136(18×1×1×cos 60°－9)＝0，所以AO →⊥BO →，即AO ⊥BO .同理，AO ⊥CO ，BO ⊥CO . 所以AO ，BO ，CO 两两垂直．(2)DM →＝DV →＋VM →＝－13(a ＋b ＋c )＋12c ＝16(－2a －2b ＋c )，所以|DM →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(－2a －2b ＋c )2＝12. 又|AO →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(b ＋c －5a )2＝22，DM →·AO →＝16(－2a －2b ＋c )·16(b ＋c －5a )＝14，所以cos 〈DM →，AO →〉＝1412×22＝22. 又〈DM →，AO →〉∈[0，π]，所以〈DM →，AO →〉＝π4.1.2空间向量基本定理一、选择题1．若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a－b 构成空间的另一个基底的向量是( )A ．aB ．bC ．cD ．a ＋bC [由p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 得a ＝14p ＋14q ，所以a 、p 、q 共面，故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ；因为b ＝12p －12q ，所以b 、p 、q 共面，故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ；因为a ＋b ＝34p －14q ，所以a ＋b 、p 、q 共面，故a ＋b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D.]2．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是上底面对角线AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →可表示为( )A ．12a ＋12b ＋cB ．12a －12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．－12a ＋12b ＋cD [由于B 1M →＝B 1B →＋BM →＝B 1B →＋12(BA →＋BC →) ＝－12a ＋12b ＋c ，故选D.]3．若向量MA →，MB →，MC →的起点M 与终点A ，B ，C 互不重合，且点M ，A ，B ，C 中无三点共线，满足下列关系(O 是空间任一点)，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一个基底的关系是( )A ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → B ．MA →≠MB →＋MC → C ．OM →＝OA →＋OB →＋OC →D ．MA →＝2MB →－MC →C [若MA →，MB →，MC →为空间一组基向量，则M ，A ，B ，C 四点不共面．选项A 中，因为13＋13＋13＝1，所以点M ，A ，B ，C 共面；选项B 中，MA →≠MB →＋MC →，但可能存在实数λ，μ使得MA →＝λMB →＋μMC →，所以点M ，A ，B ，C 可能共面；选项D 中，四点M ，A ，B ，C 显然共面．故选C.]4．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →为( )A ．12a －23b ＋12cB ．－23a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －23cD ．23a ＋23b －12cB [MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13OA →＋OB →－OA →＋12(OC →－OB →)＝－23OA →＋12OB →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .]5．平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8A [在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中有，AC 1→＝AB →＋AD →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→所以有|AC 1→|＝|AB →＋AD →＋AA 1→|，于是有|AC 1→|2＝|AB →＋AD →＋AA 1→|2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1→|2＋2|AB →|·|AD →|·cos 60°＋2|AB →|·|AA 1→|·cos 60°＋2|AD →||AA 1→|·cos 60°＝25，所以|AC 1→|＝5.]二、填空题6．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)12a ＋14b ＋14c [因为在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，所以OE →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12OD →＝12a ＋12×12(OB →＋OC →)＝12a ＋14(b ＋c )＝12a ＋14b ＋14c .]7．已知{a ，b ，c }是空间的一个单位正交基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，若向量m 在基底{a ，b ，c }下表示为m ＝3a ＋5b ＋9c ，则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }下可表示为________．4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c ) [由题意知，m ＝3a ＋5b ＋9c ，设m ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z (3c )则有⎩⎨⎧ x ＋y ＝3x －y ＝53z ＝9，解得⎩⎨⎧x ＝4y ＝－1z ＝3.则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }可表示为m ＝4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c )．] 8．在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________.23a －13b ＋23c [因为BG ＝2GD ，所以BG →＝23BD →. 又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ，所以PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b ) ＝23a －13b ＋23c .] 三、解答题9.如图所示，正方体OABC -O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →.[解] (1)OB ′→＝OB →＋BB ′→＝OA →＋OC →＋OO ′→＝a ＋b ＋c . AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AO →＋AA ′→＝OC →＋OO ′→－OA →＝b ＋c －a . (2)法一：连接OG ，OH (图略)，则GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→) ＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c ) ＝12(c －b )．法二：连接O ′C (图略)，则GH →＝12CO ′→＝12(OO ′→－OC →) ＝12(c －b )．10.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，MA →＝－13AC →，ND →＝13A 1D →，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.[解] 连接AN ，则MN →＝MA →＋AN →.由已知可得四边形ABCD 是平行四边形，从而可得 AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )，又A 1D →＝AD →－AA 1→＝b －c ，故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →＝b －13(b －c )，所以MN →＝MA →＋AN → ＝－13(a ＋b )＋b －13(b －c ) ＝13(－a ＋b ＋c )．11．(多选题)已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是( )A ．2a ，a －b ，a ＋2bB ．2b ，b －a ，b ＋2aC ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －cABD [对于A ，因为2a ＝43(a －b )＋23(a ＋2b )，得2a 、a －b 、a ＋2b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于B ，因为2b ＝43(b －a )＋23(b ＋2a )，得2b 、b －a 、b ＋2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a ＝λ·2b ＋μ(b －c )成立，故a 、2b 、b －c 三个向量不共面，它们能构成一个基底；对于D ，因为c ＝12(a ＋c )－12(a －c )，得c 、a ＋c 、a －c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，故选ABD.]12．(多选题)给出下列命题，正确命题的有( )A ．若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可以作为空间的一个基底B ．已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，则A ，B ，M ，N 四点共面D ．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底ABCD [根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然B 正确．C 中由BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，知BA →，BM →，BN →共面．又BA →，BM →，BN →过相同点B ，知A ，B ，M ，N 四点共面．所以C 正确．下面证明AD 正确：A 假设d 与a ，b 共面，则存在实数λ，μ，使得d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0，∴存在实数k ，使得d ＝k c .∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a ，b 共面，与条件矛盾，∴d 与a ，b 不共面．同理可证D 也是正确的．于是ABCD 四个命题都正确，故选ABCD.]13．(一题两空)已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.1 －1 [因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，于是有⎩⎨⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.]14．(一题多空)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.1 2 22 [由题意可令b ＝x 0e 1＋y 0e 2＋e 3，其中|e 3|＝1，e 3⊥e i ，i ＝1,2.由b ·e 1＝2得x 0＋y 02＝2，由b ·e 2＝52得x 02＋y 0＝52，解得x 0＝1，y 0＝2，∴|b |＝(e 1＋2e 2＋e 3)2＝2 2.]15．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B →，EF →；(2)若D 1F →＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． [解] (1)如图，D 1B →＝D 1D →＋DB →＝－AA 1→＋AB →－AD →＝a －b －c ，EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A →＋12AC →＝－12(AA 1→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )． (2)D 1F →＝12(D 1D →＋D 1B →)＝12(－AA 1→＋AB →－AD 1→) ＝12(－AA 1→＋AB →－AD →－DD 1→) ＝12(a －c －b －c )＝12a －12b －c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.1.3.1空间直角坐标系一、选择题1．空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于z 轴对称D ．关于原点对称B [纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故两点关于y 轴对称．] 2．已知A (1,2，－1)，B (5,6,7)，则直线AB 与平面xOz 交点的坐标是( ) A ．(0,1,1) B ．(0,1，－3)C ．(－1,0,3)D ．(－1,0，－5)D [设直线AB 与平面xoz 交点坐标是M (x ，y ，z )，则AM →＝(x －1，－2，z ＋1)，AB →＝(4,4,8)，又AM →与AB →共线，∴AM →＝λAB →，即⎩⎨⎧x －1＝4λ，－2＝4λ，z ＋1＝8λ，解得x ＝－1，z ＝－5，∴点M (－1,0，－5)．故选D.]3．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |＝( ) A ．534 B ．532 C ．532D ．132 C [M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3 ，|CM |＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋9＝532.] 4.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E ＝14A 1B 1，则BE →等于( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，－1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，－1C [{DA →，DC →，DD 1→}为单位正交向量，BE →＝BB 1→＋B 1E →＝－14DC →＋DD 1→，∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1.] 5．设{i ，j ，k }是单位正交基底，已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)A [依题意，知p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k ，故向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是(12,14,10)．]二、填空题6．在空间直角坐标系中，已知点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为________．(0，2，3) [过P 的垂线PQ ⊥面yOz ，则Q 点横坐标为0，其余不变，故Q (0，2，3)．]7．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________．(4，－8,3)，(－2，－3,7) [由题意可知a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)．] 8.如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为(4,3,2)，则AC 1→的坐标为________．(－4,3,2) [由DB 1→＝DA →＋DC →＋DD 1→，且DB 1→＝(4,3,2)，∴|DA →|＝4，|DC →|＝3，|DD 1→|＝2，又AC 1→＝－DA →＋DC →＋DD 1→，∴AC 1→＝(－4,3,2)．]三、解答题9．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．[解] 如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，OO 1⊥AC ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32.∵A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1与C 1在yOz 平面内， ∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.∵点B 1在xOy 平面内的射影为B ，且BB 1＝1，∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，即各点的坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. 10．棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱DD 1，D 1C 1，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA 1→}为正交基底，求下列向量的坐标：(1)AE →，AF →，AG →； (2)EF →，EG →，DG →.[解] 在正交基底{AB →，AD →，AA 1→}下，(1)AF →＝12AB →＋AD →＋AA 1→， AE →＝AD →＋12AA 1→， AG →＝AB →＋12AD →，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0. (2)EF →＝AF →－AE →＝12AB →＋12AA 1→，∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12；EG →＝AG →－AE →＝AB →－12AD →－12AA 1→，∴EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，－12；DG →＝AG →－AD →＝AB→－12AD →，∴DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0.11．(多选题)下列各命题正确的是( ) A ．点(1，－2,3)关于平面xOz 的对称点为(1,2,3) B ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－3关于y 轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，3C ．点(2，－1,3)到平面yOz 的距离为1D ．设{i ，j ，k }是空间向量的单位正交基底，若m ＝3i －2j ＋4k ，则m ＝(3，－2,4)．ABD [“关于谁对称谁不变”，∴A 正确，B 正确，C 中(2，－1,3)到面yOz 的距离为2，∴C 错误．根据空间向量的坐标定义，D 正确．]12．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为正方体内一动点(包括表面)，若AP →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，且0≤x ≤y ≤z ≤1.则点P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( )A ．1B ．12C ．13D ．16D [根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x ≤y ≤1的点P 在三棱柱ACD -A 1C 1D 1内；满足0≤y ≤z ≤1的点P 在三棱柱AA 1D 1-BB 1C 1内，故同时满足0≤x ≤y ≤1,0≤y ≤z ≤1的点P 在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A -A 1C 1D 1，其体积是13×12×1×1×1＝16.]13．三棱锥P -ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M 为PC 的中点，N 为AC 的中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12 [MN →＝BN →－BM → ＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →) ＝12BA →－12BP →，故MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12.]14．已知O 是坐标原点，点A (2,0，－2)，B (3,1,2)，C (2，－1，7)． (1)若点P 满足OP →＝OA →＋OB →＋OC →，则点P 的坐标为________； (2)若点P 满足AP →＝2AB →－AC →，则点P 的坐标为________．(1)(7,0,7) (2)(4,3，－3) [(1)中OP →＝OA →＋OB →＋OC →＝(2i －2k )＋(3i ＋j ＋2k )＋(2i －j ＋7k )＝7i ＋0j ＋7k ，∴P (7,0,7)．(2)中，AP →＝2AB →－AC →得OP →－OA →＝2OB →－2OA →－OC →＋OA →，∴OP →＝2OB →－OC →＝2(3i ＋j ＋2k )－(2i －j ＋7k ) ＝4i ＋3j －3k ，∴P (4,3，－3)．]15.如图，在正四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，O 是AC 与BD 的交点，PO ＝1，M 是PC 的中点．设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)用向量a ，b ，c 表示BM →.(2)在如图的空间直角坐标系中，求BM →的坐标．[解] (1)∵BM →＝BC →＋CM →，BC →＝AD →，CM →＝12CP →，CP →＝AP →－AC →，AC →＝AB →＋AD →， ∴BM →＝AD →＋12(AP →－AC →)＝AD →＋12AP →－12(AB →＋AD →)＝－12AB →＋12AD →＋12AP →＝－12a ＋12b ＋12c .(2)a ＝AB →＝(1,0,0)，b ＝AD →＝(0,1,0)．∵A (0,0,0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴c ＝AP →＝OP →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴BM →＝－12a ＋12b ＋12c ＝－12(1,0,0)＋12(0,1,0)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，12.1.3.2空间运算的坐标表示一、选择题1．已知三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)在同一条直线上，那么( ) A ．a ＝3，b ＝－3 B ．a ＝6，b ＝－1 C ．a ＝3，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝1C [根据题意AB →＝(1，－1,3)，AC →＝(a －1，－2，b ＋4)， ∵AB →与AC →共线，∴AC →＝λAB →， ∴(a －1，－2，b ＋4)＝(λ，－λ，3λ)，∴⎩⎨⎧a －1＝λ，－2＝－λ，b ＋4＝3λ，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，λ＝2.故选C.]2．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( ) A ．(0,3，－6) B ．(0,6，－20) C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)B [由题a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，设x ＝(w ，y ，z )则由b ＝12x －2a ，可得(－4，－3，－2)＝12(w ，y ，z )－2(2,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w ，12y ，12z －(4,6，－8)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w －4，12y －6，12z ＋8，解得w ＝0，y ＝6，z ＝－20，即x ＝(0,6，－20)．]3．已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)B [不妨设向量为b ＝(x ，y ，z )，A ．若b ＝(－1,1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． B ．若b ＝(1，－1,0)，则cos θ＝a ·b|a |·|b |＝12×2＝12，满足条件． C ．若b ＝(0，－1,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． D ．若b ＝(－1,0,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－22×2＝－1≠12，不满足条件．故选B.]4．已知向量a ＝(－2，x,2)，b ＝(2,1,2)，c ＝(4，－2,1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3A [∵b －c ＝(－2,3,1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2.]5．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C (3，7，λ)，若AB →⊥AC →，则λ等于( )A ．28B ．－28C ．14D ．－14D [AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1，6，λ－3)，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝－2×(－1)－6×6－2(λ－3)＝0，解得λ＝－14.] 二、填空题6．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝________.－1 [∵p ＝a －b ＝(1,0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0,3,1)， ∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.]7．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．120° [AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)，cos 〈AB →，CA →〉＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)14·14＝－12，∴θ＝〈AB →，CA →〉＝120°.]8.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．1 [以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，若B 1E ⊥平面ABF ，只需FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1.] 三、解答题9．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．[解] (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，∴a·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝(－1)2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. (2)法一：∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52， ∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52.法二：由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－1，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52. 10.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面边长AB ＝2，AB 1⊥BC 1，点O ，O 1分别是边AC ，A 1C 1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求正三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值． [解] (1)设正三棱柱的侧棱长为h ，由题意得A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，B 1(3，0，h )，C 1(0,1，h )，则AB 1→＝(3，1，h )，BC 1→＝(－3，1，h )，因为AB 1⊥BC 1，所以AB 1→·BC 1→＝－3＋1＋h 2＝0，所以h ＝ 2.(2)由(1)可知AB 1→＝(3，1，2)，BC →＝(－3，1,0)，所以AB 1→·BC →＝－3＋1＝－2.因为|AB 1→|＝6，|BC →|＝2，所以cos 〈AB 1→，BC →〉＝－226＝－66.所以异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为66.11．(多选题)若向量a ＝(1,2,0)，b ＝(－2,0,1)，则下列结论正确的是( ) A ．cos 〈a ，b 〉＝－25 B ．a ⊥b C ．a ∥bD ．|a |＝|b |AD [∵向量a ＝(1,2,0)，b ＝(－2,0,1)， ∴|a |＝5，|b |＝5，a ·b ＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－25＝－25.由上知A 正确，B 不正确，D 正确．C 显然也不正确．]12．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A ．110B ．25C ．D ．22C [建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ，设BC ＝2，则B (0,2,0)，A (2,0,0)，M (1,1,2)，N (1,0,2)，所以BM →＝(1，－1,2)，AN →＝(－1,0,2)，故BM 与AN 所成角θ的余弦值cos θ＝BM →·AN →|BM →|·|AN →|＝36×5＝3010.] 13．已知a ＝(x,2，－4)，b ＝(－1，y,3)，c ＝(1，－2，z )，且a ，b ，c 两两垂直，则(x ，y ，z )＝________.(－64，－26，－17) [∵a ，b ，c 两两垂直． ∴a ·b ＝0，a ·c ＝0，b ·c ＝0，∴⎩⎨⎧－x ＋2y －12＝0x －4－4z ＝0－1－2y ＋3z ＝0，解得：x ＝－64，y ＝－26，z ＝－17. 故(x ，y ，z )＝(－64，－26，－17)．]14．(一题两空)已知A (1,2,0)，B (0,1，－1)，P 是x 轴上的动点，当|P A →|＝|PB →|时，点P 的坐标为________；当AP →·BP →＝0取最小值时，点P 的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0 [因为P 在x 轴上，设P (x,0,0)，由|P A →|＝|PB →|，则( x －1)2＋4＋0＝x 2＋1＋1解得x ＝32.∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，又AP →＝(x －1，－2,0)，BP →＝(x ，－1,1)．。

【人教A版】高中数学同步辅导与检测：必修1全集第一章1.3-1.3.2奇偶性

第一章集合与函数概念1.3 函数的基本性质1.3.2 奇偶性A级基础巩固一、选择题1．函数f(x)＝x2＋x()A．是奇函数B．是偶函数C．是非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数解析：函数的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数f(x)是非奇非偶函数．答案：C2．下列函数中既是偶函数又在(0，＋∞)上是增函数的是() A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝2x＋1解析：四个选项中的函数的定义域都是R.对于选项A，y＝x3是奇函数；对于选项B，y＝|x|＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数；对于选项C，y＝－x2＋1是偶函数，但是它在(0，＋∞)上是减函数；对于选项D，y＝2x＋1是非奇非偶函数．故选B.答案：B3．已知y ＝f (x )，x ∈(－a ，a )，F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：F (－x )＝f (－x )＋f (x )＝F (x )．又因为x ∈(－a ，a )关于原点对称，所以F (x )是偶函数．答案：B4．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数解析：由f (x )是偶函数，可得f (－x )＝f (x )，由g (x )是奇函数，可得g (－x )＝－g (x )，故|g (x )|为偶函数，所以f (x )＋|g (x )|为偶函数．答案：A5．若函数f (x )＝x （2x ＋1）（x －a ）为奇函数，则a 等于( ) A.12B.23C.34 D ．1解析：函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠12，且x ≠a . 又f (x )为奇函数，定义域应关于原点对称，所以a ＝12. 答案：A二、填空题6.偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f (x )的增区间为______________．解析：偶函数的图象关于y轴对称，可知函数f(x)的增区间为[－1，0]∪[1，＋∞)．答案：[－1，0]∪[1，＋∞)7．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x－x2，则f(－2)＝________．解析：因为当x>0时，f(x)＝x－x2，所以f(2)＝2－22＝－2，又f(x)是奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝2.答案：28．已知奇函数f(x)在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为________．解析：由已知得，f(6)＝8，f(3)＝－1，因为f(x)是奇函数，所以f(6)＋f(－3)＝f(6)－f(3)＝8－(－1)＝9.答案：9三、解答题9．已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x －1，求x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式．解：设x<0，则－x >0.所以f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1.所以f (－x )＝x 2－x －1.因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以f (x )＝x 2－x －1.所以当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x 2－x －1.10．已知函数f (x )＝1－2x. (1)若g (x )＝f (x )－a 为奇函数，求a 的值；(2)试判断f (x )在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．解：(1)由已知g (x )＝f (x )－a 得：g (x )＝1－a －2x，因为g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即1－a －2（－x ）＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a －2x ，解得a ＝1. (2)函数f (x )在(0，＋∞)内是单调增函数，下面证明：设0<x 1<x 2，且x 1，x 2∈(0，＋∞)，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 2＝2（x 1－x 2）x 1x 2. 因为0<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>0，从而2（x 1－x 2）x 1x 2<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )在(0，＋∞)内是单调增函数．B 级能力提升1．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是减函数，若f(a)≥f(－2)，则a的取值范围是()A．a≤－2 B．a≥2C．a≤－2或a≥2 D．－2≤a≤2解析：由已知，函数y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，若a<0，由f(a)≥f(－2)得a≥－2；若a≥0，由已知可得f(a)≥f(－2)＝f(2)，a ≤2.综上知－2≤a≤2.答案：D2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f(－3)＝0，则f（x）x<0的解集为______________________．解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，所以f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，所以f(3)＝f(－3)＝0.当x>0时，f(x)<0，解得x>3；当x<0时，f(x)>0，解得－3<x<0.故－3<x<0或x>3.答案：{x|－3<x<0或x>3}3．已知函数y＝f(x)(x≠0)对于任意的x，y∈R且x，y≠0都满足f(xy)＝f(x)＋f(y)．(1)求f(1)，f(－1)的值；(2)判断函数y＝f(x)(x≠0)的奇偶性．解：(1)因为对于任意的x，y∈R且x，y≠0都满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，所以令x＝y＝1，得到f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，令x＝y＝－1，得到f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0.(2)由题意可知，函数y＝f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，令y＝－1，得f(xy)＝f(－x)＝f(x)＋f(－1)，因为f(－1)＝0，所以f(－x)＝f(x)，所以y＝f(x)(x≠0)为偶函数．。

[人教A版]高中数学同步辅导与检测：选修1 1全集第一章1.4全称量

[人教A版]高中数学同步辅导与检测：选修1 1全集第一章1.4全称量----e32a4328-6ea4-11ec-89ea-7cb59b590d7d[人教a版]高中数学同步辅导与检测：选修1-1全集第一章1.4全称量第一章常见逻辑术语1.4全面衡量词和存在量词a级基础巩固一、多项选择题1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()a．锐角三角形的内角是锐角或钝角b．至少有一个实数x，使x2≤0c．两个无理数的和必是无理数1d、有一个负数x，等于大于2x分析：a中锐角三角形的内角是锐角或钝角的命题是全称；当B中x=0时，X2=0，所以B既是一个特殊命题，也是一个真命题；C因为3+（-1）3)＝0，所以c是假命题；d中对于任一个负数x，都有＜0，所以XD是一个错误的命题答案：b2.对命题“”X的否定∈ R、X2≠ X“是（）A？X？r，x2≠xc。

？十、r、x2≠十、 b．?x∈r，x2＝xd．?x∈r，x2＝x分析：全名命题的否定是一个特殊的名称命题，因此“？”X命题的否定∈ R、X2≠ X“是”？十、∈ R、X2=x“答案：d3.下列特殊命题中的假命题数为（）① 有一条垂直于两个平行平面的直线；② 一条直线平行于两个相交的平面；③ 有两条相交的直线垂直于同一平面。

A.0b。

1C。

2D。

3.分析：① ② 都是正确的命题，③ 这些都是错误的命题。

回答：B4．设函数f(x)＝x2＋mx(m∈r)，则下列命题中的真命题是()a．任意m∈r，使y＝f(x)都是奇函数b．存在m∈r，使y＝f(x)是奇函数c．任意m∈r，使x＝f(x)都是偶函数d．存在m∈r，使y＝f(x)是偶函数分析：当m=0时，f（x）=X2是一个偶数函数，所以选择D?1?x－2ax5．若?3?＜33x＋a2恒成立，则实数a的取值范围是()??2a、 0＜a＜13c．0＜a＜四3b、 a＞43d．a＜4分析：从问题的意义上得出-x2+2aX<3x+A2，即x2+（3-2a）x+A2>03恒成立，所以δ＝(3－2a)2－4a2＜0，解得a＞.四答案：b二、填空题6.否定命题“？X0，Y0”∈ Z、 3x0-2y0=10英寸_____解析：特称命题的否定是全称命题，则否定为?x，y∈z，3x－2y≠10.回答：？x、y∈z、 3x－2y≠107．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．① 正方形的四边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．分析：① 它可以表示为“每个正方形的四边相等”，这是全名命题；② 是全名命题，即“所有等角三角形都是等腰三角形”；③ 可以说，“所有正数的平方根不等于0”是一个全名命题；④ 这是一个特殊的命题答案：①②③④8．下面四个命题：①? 十、∈ R、 x2-3x+2>0为常数；②? x0∈q、 x20＝2③? x022∈r、 x20＋1＝0④? 十、∈r、 4x＞2x－1＋3x。

【人教A版】高中数学同步辅导与检测必修1第一章1.1-1.1.3第1课时并集与交集

第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.3 集合的基本运算第1课时并集与交集(对应学生用书P12)A 级基础巩固一、选择题1．设集合A ＝{1，3}，集合B ＝{1，2，4，5}，则集合A ∪B ＝( )A ．{1，3，1，2，4，5}B ．{1}C ．{1，2，3，4，5}D ．{2，3，4，5}解析：因为集合A ＝{1，3}，集合B ＝{1，2，4，5}，所以集合A ∪B ＝{1，2，3，4，5}．故选C.答案：C2．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：联立两集合中的方程得：⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x ＋y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，有两解．答案：C3．若集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x <－1或x >4}，则集合A ∩B等于()A．{x|x≤3，或x>4} B．{x|－1<x≤3}C．{x|3≤x<4} D．{x|－2≤x<－1}解析：直接在数轴上标出A、B的区间(图略)，取其公共部分即得A∩B＝{x|－2≤x<－1}．答案：D4．已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，且A∪B＝A，则m ＝()A．0或 3 B．0或3C．1或 3 D．1或3解析：由A∪B＝A，得B⊆A，因为A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，所以m＝3或m＝m，解得m＝3或m＝0或m＝1，验证知，m＝1时不满足集合中元素的互异性，故m＝0或m＝3，故选B.答案：B5．设全集U＝R，A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则下图中阴影部分表示的集合为()A．{2} B．{3} C．{－3，2} D．{－2，3}解析：A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，B＝{－3，2}，阴影部分表示的集合是A∩B＝{2}，故选A.答案：A二、填空题6．已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝________．解析：借助数轴知，A∪B＝{x|x>0}∪{x|－1≤x≤2}＝{x|x≥－1}．答案：{x|x≥－1}7．已知集合A＝{x|0<x≤6，x∈N}，B＝{0，3，5}，则A∩B＝________.解析：A＝{1，2，3，4，5，6}，于是A∩B＝{3，5}．答案：{3，5}8．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．解析：由A∪B＝R，得A与B的所有元素应覆盖整个数轴．如下图所示：所以a必须在1的左侧，或与1重合，故a≤1.答案：{a|a≤1}三、解答题9．已知集合A＝{x∈Z|－3≤x－1≤1}，B＝{1，2，3}，C＝{3，4，5，6}．(1)求A的非空真子集的个数；(2)求B∪C，A∪(B∩C)．解：(1)A＝{－2，－1，0，1，2}，共5个元素，所以A的非空真子集的个数为25－2＝30.(2)因为B＝{1，2，3}，C＝{3，4，5，6}，所以B∪C＝{1，2，3，4，5，6}，A∪(B∩C)＝{－2，－1，0，1，2，3}．10．已知集合A＝{|a＋1|，3，5}，B＝{2a＋1，a2＋2a，a2＋2a －1}．当A∩B＝{2，3}时，求A∪B.解：因为A ∩B ＝{2，3}，所以2∈A ，所以|a ＋1|＝2，解得a ＝1或a ＝－3.①当a ＝1时，2a ＋1＝3，a 2＋2a ＝3，所以B ＝{3，3，2}，不满足集合元素的互异性，舍去；②当a ＝－3时，2a ＋1＝－5，a 2＋2a ＝3，a 2＋2a －1＝2，所以B ＝{－5，2，3}．故A ∪B ＝{－5，2，3，5}．B 级能力提升1．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则( )A ．－3≤m ≤4B ．－3＜m ＜4C ．2＜m ＜4D ．2＜m ≤4解析：因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .又B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，即2<m ≤4. 答案：D2．设集合M ＝{x |－3≤x ＜7}，N ＝{x |2x ＋k ≤0}，若M ∩N ≠∅，则实数k 的取值范围为________．解析：因为N ＝{x |2x ＋k ≤0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－k 2，且M ∩N ≠∅，所以－k 2≥－3得k ≤6. 答案：{k |k ≤6}3．已知集合A ＝{x |x 2－4x －5≥0}，集合B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋2}．(1)若a ＝－1，求A ∩B 和A ∪B ；(2)若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)A ＝{x |x ≤－1或x ≥5}，B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}，A ∪B ＝{x |x ≤1或x ≥5}．(2)因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①若B ＝∅，则2a >a ＋2，得a >2；②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ＋2≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，2a ≥5，所以a ≤－3. 综上知a >2或a ≤－3.。

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第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示第1课时集合的含义A级基础巩固一、选择题1．已知集合A中的元素x满足－5≤x≤5，且x∈N*，则必有( ) A．－1∈A B．0∈AC.3∈A D．1∈A解析：－5≤x≤5，且x∈N*，所以x＝1，2，所以1∈A.答案：D2．下列各对象可以组成集合的是( )A．中国著名的科学家B．2017感动中国十大人物C．高速公路上接近限速速度行驶的车辆D．中国最美的乡村解析：看一组对象是否构成集合，关键是看这组对象是不是确定的，A，C，D选项没有一个明确的判定标准，只有B选项判断标准明确，可以构成集合．答案：B3．由x2，2|x|组成一个集合A中含有两个元素，则实数x的取值可以是( )A．0 B．－2 C．8 D．2解析：根据集合中元素的互异性，验证可知a的取值可以是8.答案：C4．已知集合M具有性质：若a∈M，则2a∈M，现已知－1∈M，则下列元素一定是M中的元素的是( )A．1 B．0 C．－2 D．2解析：因为a∈M，且2a∈M，又－1∈M，所以－1×2＝－2∈M.答案：C5．由a2，2－a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )A．1 B．－2 C．6 D．2解析：因A中含有3个元素，即a2，2－a，4互不相等，将选项中的数值代入验证可知答案选C.答案：C二、填空题6．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．①不超过10的所有正整数；②高一(6)班中成绩优秀的同学；③中央一套播出的好看的电视剧；④平方后不等于自身的数．解析：①④中的对象是确定的，可以组成集合，②③中的对象是不确定的，不能组成集合．答案：①④7. 以方程x 2－2x －3＝0和方程x 2－x －2＝0的解为元素的集合中共有________个元素．解析：因为方程x 2－2x －3＝0的解是x 1＝－1，x 2＝3，方程x 2－x －2＝0的解是x 3＝－1，x 4＝2，所以以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为－1，2，3，共有3个元素．答案：38．已知集合M 含有两个元素a －3和2a ＋1，若－2∈M ，则实数a 的值是____________．解析：因为－2∈M ，所以a －3＝－2或2a ＋1＝－2.若a －3＝－2，则a ＝1，此时集合M 中含有两个元素－2，3，符合题意；若2a ＋1＝－2，则a ＝－32，此时集合M 中含有两个元素－2、－92，符合题意；所以实数a 的值是1、－32. 答案：1、－32三、解答题9．若集合A 是由元素－1，3组成的集合，集合B 是由方程x 2＋ax ＋b ＝0的解组成的集合，且A ＝B ，求实数a ，b .解：因为A ＝B ，所以－1，3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的解．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－a ，－1×3＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3.10．已知集合A 中含有三个元素a －2，2a 2＋5a ，12，且－3∈A ，求a 的值．解：因为－3∈A ，所以a －2＝－3或2a 2＋5a ＝－3，所以a ＝－1或a ＝－32. 当a ＝－1时，a －2＝－3，2a 2＋5a ＝－3，集合A 不满足元素的互异性，所以a ＝－1舍去．当a ＝－32时，经检验，符合题意．所以a ＝－32. B 级能力提升1．集合A 中含有三个元素2，4，6，若a ∈A ，且6－a ∈A ，那么a 为( )A ．2B ．2或4C ．4D ．0解析：若a ＝2，则6－2＝4∈A ；若a ＝4，则6－4＝2∈A ；若a ＝6，则6－6＝0∉A .故选B.答案：B 2．设x ，y ，z 是非零实数，若a ＝x |x |＋y |y |＋z |z |＋xyz|xyz |，则以a 的值为元素的集合中元素的个数是______．解析：当x，y，z都是正数时，a＝4，当x，y，z都是负数时a＝－4，当x，y，z中有1个是正数另2个是负数或有2个是正数另1个是负数时，a＝0.所以以a的值为元素的集合中有3个元素．答案：33．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A(a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．证明：(1)若a∈A，则11－a∈A.又因为2∈A，所以11－2＝－1∈A.因为－1∈A，所以11－（－1）＝12∈A.因为12∈A，所以11－12＝2∈A.所以A中另外两个元素为－1，1 2 .(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．所以a≠11－a，所以A不可能为单元素集．第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示第2课时集合的表示A级基础巩固一、选择题1．集合{x∈N＋|x－2<4}用列举法可表示为( )A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}解析：{x∈N＋|x－2<4}＝{x∈N＋|x<6}＝{1，2，3，4，5}．答案：D2．集合{(x，y)|y＝2x＋3}表示( )A．方程y＝2x＋3B．点(x，y)C．函数y＝2x＋3图象上的所有点组成的集合D．平面直角坐标系中的所有点组成的集合解析：集合{(x，y)|y＝2x＋3}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x＋3，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合．答案：C3．已知集合A＝{x∈N|－3≤x≤3}，则有( )A．－1∈A B．0∈AC.3∈A D ．2∈A解析：因为0是整数且满足－3≤x ≤3，所以0∈A . 答案：B4．由大于－3且小于11的偶数组成的集合是( )A ．{x |－3<x <11，x ∈Q}B ．{x |－3<x <11，x ∈R}C ．{x |－3<x <11，x ＝2k ，k ∈N}D ．{x |－3<x <11，x ＝2k ，k ∈Z}解析：{x |x ＝2k ，k ∈Z}表示所有偶数组成的集合．由－3<x <11及x ＝2k ，k ∈Z ，可限定集合中元素．答案：D5．用列举法表示集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎪y ＝x 2y ＝－x ，正确的是( ) A ．(－1，1)，(0，0) B ．{(－1，1)，(0，0)}C ．{x ＝－1或0，y ＝1或0}D ．{－1，0，1}解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝－x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，所以答案为{(－1，1)，(0，0)}．答案：B二、填空题6．下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是_______(填序号)． ①M ＝{π}，N ＝{3.141 59}；②M ＝{2，3}，N ＝{(2，3)}；③M ＝{x |－1<x ≤1，x ∈N}，N ＝{1}；④M ＝{1，3，π}，N ＝{π，1，|－3|}．解析：④中的两个集合的元素对应相等，其余3组都不表示同一个集合．所以答案为④.答案：④7．若集合A ＝{x ∈Z|－2≤x ≤2}，B ＝{x 2－1|x ∈A }．集合B 用列举法可表示为________．解析：因为A ＝{－2，－1，0，1，2}，所以B ＝{3，0，－1}．答案：B ＝{3，0，－1}8．用列举法表示集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ∈Z ，106－x ∈N ＝______________. 解析：因为x ∈Z ，106－x ∈N ，所以6－x ＝1，2，5，10，得x ＝5，4，1，－4.故A ＝{5，4，1，－4}．答案：{5，4，1，－4}三、解答题9．设集合A ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z}，B ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z}，若a ∈A ，b ∈B ，试判断a ＋b 与集合A ，B 的关系．解：因为a ∈A ，则a ＝2k 1(k 1∈Z)；b ∈B ，则b ＝2k 2＋1(k 2∈Z)，所以a ＋b ＝2(k 1＋k 2)＋1.又k 1＋k 2为整数，2(k 1＋k 2)为偶数，故2(k1＋k2)＋1必为奇数，所以a＋b∈B且a＋b∉A.10．用适当方法表示下列集合，并指出它们是有限集还是无限集．(1)不超过10的非负偶数的集合；(2)大于10的所有自然数的集合．解：(1)不超过10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，共6个元素，故集合用列举法表示为{0，2，4，6，8，10}，集合是有限集．(2)大于10的自然数有无限个，故集合用描述法表示为{x|x>10，x∈N}，集合是无限集．B级能力提升1．已知集合A＝{一条边长为2，一个角为30°的等腰三角形}，则A中元素的个数为( )A．2 B．3 C．4 D．无数个解析：两腰为2，底角为30°；或两腰为2，顶角为30°；或底边为2，底角为30°；或底边为2，顶角为30°.共4个元素．答案：C2．有下面四个结论：①0与{0}表示同一个集合；②集合M＝{3，4}与N＝{(3，4)}表示同一个集合；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{x|4＜x＜5}不能用列举法表示．其中正确的结论是________(填序号)．解析：①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②集合M 是实数3，4的集合，而集合N 是实数对(3，4)的集合，不正确；③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．答案：④3．含有三个实数的集合可表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ，b a ，1，也可表示为{a 2，a ＋b ，0}，求a 2 016＋b 2 017的值．解：由⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ，b a ，1可得a ≠0，a ≠1(否则不满足集合中元素的互异性)．所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝a ＋b ，1＝a 2，b a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝a 2，1＝a ＋b ，b a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. 经检验a ＝－1，b ＝0满足题意．所有a 2 016＋b 2 017＝(－1)2 016＝1.。