5.4 线性映射与其矩阵

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线性代数应该这样学5：线性映射的矩阵、可逆与同构。

在本系列中，我的个⼈见解将使⽤斜体标注。

每篇⽂章的最后，我将选择摘录⼀些例题。

由于⽂章是我独⾃整理的，缺乏审阅，难免出现错误，如有发现欢迎在评论区中指正。

⽬录Part 1：矩阵本节终于进⼊到熟悉的矩阵，矩阵是线性映射的⼀种特殊表⽰，上⼀章的例题1已经说明了任何F n→F m的线性映射都能够被m×n个实数所确定。

但事实上，⽤矩阵表⽰线性映射的⽅式并不是这么狭隘的。

矩阵(matrix) 设m和n都是正整数，m×n的矩阵A是由F的元素构成的m⾏n列数表。

A=A1,1⋯A1,n ⋮⋮A m,1⋯A m,n.记号A j,k表⽰位于A的第j⾏第k列的元素，第⼀个下标代表⾏，第⼆个下标代表列。

线性映射的矩阵(matrix of a linear map) 设T∈(V,W)，并设v1,⋯,v n是V的基，w1,⋯,w m是W的基。

规定T关于这些基的矩阵为m×n矩阵(T)，其中A j,k满⾜Tv k=A1,k w k+⋯+A m,k w m.如果这些基不是上下⽂⾃明的，则记作(T,(v1,⋯,v n),(w1,⋯,w m))。

矩阵只是⼀个数表，如果不与线性映射关联则矩阵没有任何意义。

线性映射的矩阵是依赖于基的，⽽V,W中有⽆限组基，理论上任何⼀组基都能定义⼀个线性映射的矩阵，它们是互不相同的。

因此，线性映射的矩阵必须要包含关于基的描述，否则将默认为⾃然基。

为了⽅便记忆，最好将矩阵视为⼀堆列向量构成的表：(T)=(Tv1,⋯,Tv n).其中每个Tv k是Tv k在(w1,⋯,w m)下的坐标，当然，这样的表述是不太严谨的。

(T)既可以看成是⼀个矩阵的代号，也可以把拆分出来，这时候应当被视为⼀个将线性映射映射到矩阵空间上的线性映射，即把线性映射T和矩阵(T)都视为各⾃线性空间的向量。

矩阵加法(matrix addition)与矩阵标量乘法(scalar multiplication of a matrix) 两个矩阵相加只适⽤于同型矩阵，将其对应元素相加；矩阵的标量乘法将其每个元素都乘以这个标量倍。

考研数学重要知识点解析线性代数

考研数学重要知识点解析线性代数线性代数是考研数学中的一个重要知识点，也是研究线性空间和其上的线性映射的一门数学分支。

它在数学中具有广泛的应用，例如在物理学、工程学、计算机科学等领域都有着重要的地位。

线性代数的重要知识点主要包括线性空间、线性映射、矩阵和向量等。

首先，线性空间是指满足一定条件的集合，其中的元素称为向量。

线性空间具有加法和数乘两种运算，满足一定的性质。

线性空间的基可以用来表示该空间中的任意向量，并且可以通过坐标来表示向量。

线性映射是线性代数中的一个重要概念，它是指将一个线性空间映射到另一个线性空间的函数。

线性映射保持向量空间的加法和数乘运算。

线性映射的矩阵也是线性代数中的一个重要概念，它可以通过矩阵乘法来表示。

矩阵是一个矩形的数表，由行和列组成。

矩阵是线性代数中的重要工具，可以用来表示线性映射、线性方程组等。

向量是线性代数中的另一个重要概念，它可以用来表示一个点或一个方向。

向量具有大小和方向两个属性，可以通过加法和数乘来进行运算。

向量的点乘和叉乘是线性代数中的两种重要运算，它们分别表示向量的数量积和向量的向量积。

在研究线性代数时，我们需要掌握线性映射和矩阵的基本性质，理解线性方程组、特征值和特征向量的概念，掌握矩阵的行列式和逆矩阵的计算方法，熟练运用向量的点乘和叉乘进行计算等。

同时，在解决线性代数相关问题时，我们还可以运用线性代数的一些方法和技巧，如矩阵的变换、矩阵的秩等。

这些方法和技巧在解决实际问题时往往能够提高解题的效率和准确度。

总之，线性代数是考研数学中的一个重要知识点，掌握线性空间、线性映射、矩阵和向量等的基本概念和性质，熟练运用相关的计算方法和技巧对于考研数学的学习和考试至关重要。

通过对线性代数的深入理解和应用，我们可以更好地理解和应用数学在实际问题中的作用。

高中数学知识点总结线性方程组与矩阵运算

高中数学知识点总结线性方程组与矩阵运算高中数学知识点总结：线性方程组与矩阵运算在高中数学学习中，线性方程组与矩阵运算是一个重要的章节。

本文将对这两个知识点进行详细总结，以帮助同学们更好地理解和掌握相关概念与方法。

一、线性方程组1. 定义与基本形式线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组。

一般形式为：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b其中，a₁、a₂、...、aₙ称为系数，x₁、x₂、...、xₙ称为未知数，b为常数。

2. 解的存在与唯一性对于线性方程组来说，存在三种解的情况：（1）无解：若线性方程组的系数矩阵的秩r小于增广矩阵的秩s，则线性方程组无解。

（2）有唯一解：若线性方程组的系数矩阵的秩r等于增广矩阵的秩s，并且r=未知数的个数n，则线性方程组有唯一解。

（3）有无穷多解：若线性方程组的系数矩阵的秩r等于增广矩阵的秩s，但r<n，则线性方程组有无穷多解。

3. 解的求解方法（1）代入法：将一个方程的解代入到其他方程中，逐步求解出未知数。

（2）消元法：通过行变换等操作，将线性方程组转化为简化行阶梯形矩阵，从而求解出未知数。

二、矩阵运算1. 矩阵的定义与基本性质矩阵是一个按照行和列排列起来的数的矩形阵列。

常用的表示方法为：A=(aij)ₙₓₙ其中，A表示矩阵，aij表示矩阵中第i行、第j列的元素，ₙ表示矩阵的行数，ₙ表示矩阵的列数。

矩阵的基本性质包括加法、数乘、乘法等。

其中，加法满足交换律和结合律，数乘和乘法满足分配律。

2. 矩阵的基本运算（1）矩阵的加法与减法：两个矩阵进行加法或减法时，需要行列相同，将对应位置的元素进行相加或相减。

（2）矩阵的数乘：一个矩阵与一个数相乘时，将矩阵中的每个元素与该数相乘。

（3）矩阵的乘法：两个矩阵Aₙₓₙ和Bₙₓₙ相乘的结果为一个矩阵Cₙₓₙ。

Cₙₓₙ的第i行第j列的元素cij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。

3. 矩阵的转置与逆矩阵（1）矩阵的转置：将矩阵的行与列进行互换得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。

高等代数-线性映射

的一组基, 令
其中
: L(V) Knn , a A
(1, ...,n ) (1, ...,n )A
则是代数同构.
推论设V是n维线性空间, 则 dim L(V) n2 .
线性变换与矩阵_2
命题设1,2 , ...,n ,%1,%2 , ...,%n是V的基, 且
(1, ...,n ) (1, ...,n )A 设 L(V), 且
8
6
3
21
29
19
22
5
27
14
27
(mod
29)
5 4 2 21 22 15 11 14 13 5 9
继续下去，得明文信息：
SEND MONEY IMMEDIATELY!
映射_4
“相等” 集合A到B的两个映射 , 称为相等的当且仅当 A, 都有( ) ( ) ,则称 , ,记做
2 : V2 V, 2 a 0 2
则 i , i是线性映射, 且满足 j i ijidVi ,11 2 2 idV
称 i 为投影映射, i为嵌入映射.
线性映射_2
单线性映射
满线性映射
若线性映射 : V V'作为映射是满的,则称是满线性映射.
线性映射_3
命题设是 V W 的线性映射, 则 1) (0) 0
0, 1, …, 25
K: 密钥
P: 明文字母对应整数
C: 密文字母对应整数
C = P + K (mod 26)
为模26的同余式，该密码称为加法密码。
应用__矩阵密码
例：明文信息为 MEETING IN MY OFFICE 若K=5,则密文为 RJJYN SLNSR DTKKN HJ

高等代数的笔记杂记——关于线性映射的一些理解

⾼等代数的笔记杂记——关于线性映射的⼀些理解对于⼀个线性空间U到线性空间V的映射，可以取定U的⼀个基α1，α2——αn，由于U中每⼀个向量都可以由U的基线性表出，那么V 中每⼀个对应U中⼀个向量α的象β就⼀定可以由U的基的象的线性组合表出，那么⼀个映射就完全由它原空间的⼀个基的象确定，我们在⽤矩阵表⽰线性映射的时候其实是选定了U的⼀组基，然后将U的每个基向量的象⽤V中基向量来线性表出，这⾥线性映射是从⼀个向量到另⼀个向量，这⾥的向量是⼴义的，只要在线性空间⾥的元素就可以是向量，（⽐如可以是⼀个数字，⼀个⽮量，也可以是⼀个矩阵，）⼀定要注意的⼀点是，⼀个线性映射对应的矩阵是由选取的U和V的基所决定的，也就是说映射对应的矩阵其实应该是两个不同空间的基的对应关系，如果有基的变换那么对应的矩阵也要进⾏变换。

由于空间⾥的向量可以⽤选定的基向量和在这个基下的坐标确定（我们在这⾥将向量量化了，即赋予坐标以实际意义），那么U中向量α的坐标便代表了在U中表⽰这个向量的线性组合，如此由上⾯矩阵的定义可以清楚，⽤映射对应的矩阵右乘⼀个坐标x1的列向量就可以把这个线性组合对应到V的基向量上，也就是我们如果⽤另⼀个在V中的坐标x2表⽰α的象β，那么Ax1=x2，A是这个线性映射对应的矩阵，即我们都⽤坐标来表⽰向量的话，矩阵告诉我们怎样转换可以将U中α的坐标变成映射之后V中β的坐标。

（这也是两个基⽤⾏向量来表⽰基向量组然后右乘矩阵得到另⼀个基向量组的原因，不可以把左乘右乘搞混）若（α1，α2，·····，αn）S=（γ1，γ2·····，γn）为U中基的变换，（β1，β2，····，βm）Q=（δ1，δ2，·······，δm），则变换两个空间的基之后映射A所对应的矩阵就是Q^-1·A·S，（⾃⼰做⼀下推导就可以得出）。

5.3 线性映射的矩阵与矩阵的乘法

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Hom K (V ,W ) Mm ,n ( K ) kK A ( aij ) V : 1 , 2 , , n B ( bij ) W : 1 , 2 , , m A B ( aij bij ) kA ( kaij ) k 证：
, n
i 1,2,
n, 那么 .
kn n ,
证：为证 , 只需证 ( ) ( ), V . 设 k11 k2 2 则
kn ( n )
( ) k1 (1 ) k2 ( 2 )
k1 (1 ) k2 ( 2 )
(amj bmj ) m .
故…
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Hom K (V ,W ) Mm ,n ( K ) kK A ( aij ) V : 1 , 2 , , n B ( bij ) W : 1 , 2 , , m A B ( aij bij ) kA ( kaij ) k 证：
( x1 , x2 , x3 ) (2 x1 x3 , x2 )
则为 3 到 2 的一个线性映射. 求在基 1 ,2 ,3 ; 1 , 2 之下的矩阵, 其中同一个线性
1 1,0,0 ,2 0,0,1 ,3 (0,0,1), 映射在不同
K 3 [ x ] 的一个基：1, x, x 2 , x 3 .
2 A 0 1 1
1 0 2 0
1 0 1 1
3 3 1 2
1 1 3 0 0 0 0 3
0 1 0 0
1 1 0 0

矩阵分析第一章线性空间和线性映射

例 1
实数域
是一组线性无关的函数，是一组线性无关的函数，其中 λ1 , λ2 , , λn 为一组互不相同的实数。组互不相同的实数。例 2 实数域 R 上的线性空间 R R 中，函数组是一组线性无关的函数，是一组线性无关的函数，其中 α1 , α 2 , , α n 为一组互不相同的实数。组互不相同的实数。例 3 实数域 R 上的线性空间 R R 中，函数组
0,1,1, 2,3,5,8,13, 21,34,55,
级数。为Fibonacci级数。它满足下述第推公式：级数它满足下述第推公式：
以及初始条件：以及初始条件： f 0 = 0, 公式，公式，并且求出极限
f k + 2 = f k +1 + f k , k = 0,1, 2,3,
fk f k +1
我们首先以单输入单输出系统为例。考虑系统下面的单输入单输出系统：考虑系统下面的单输入单输出系统：
& X = AX + bu Y =c X
T
其中及
和
是
维矢量，维矢量，
是
矩阵，矩阵，
是标量。是标量。
定理：定理：上面的单输入单输出系统是可控的充分必要条件是可控性判别矩阵
Q = (b, b, ,
r ，使得
ai < r, i = 1, 2,L
二：线性空间的基本概念及其性质
定义: 线性组合；线性表出；线性相关；线性无关线性组合；线性表出；线性相关；定义向量组的极大线性无关组；；向量组的极大线性无关组；向量组的秩基本性质：基本性质：（1）含有零向量的向量组一定线性相关；）含有零向量的向量组一定线性相关；部分无关；整体相关；（2）整体无关部分无关；部分相关整体相关；）（3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向）量组线性表出，量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；（4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关并不）向量组的秩是唯一的，唯一；唯一；（5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出，）如果向量组（）可以由向量组（）线性表出，那么向量组（）向量组（）的秩；那么向量组（I）的秩 ≤ 向量组（II）的秩；（6）等价的向量组秩相同。）等价的向量组秩相同。

线性映射的矩阵与矩阵的乘法

5.3 线性映射的矩阵与矩阵的乘法教学目的与要求：理解线性映射的运算与矩阵的相应运算之间的对应关系；掌握同阶矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的乘积；深入分析用矩阵刻画线性映射(变换)的方法，思想，意义加强实训，注意理论讲解与实训结合5.3.1 线性映射的矩阵假定V 是数域K 上n 维线性空间,12,,,n αααL 是V 的一个基;W 是数域K 上m 维线性空间,12,,,m βββL 是W 的一个基.我们证明:对于数域K 上n 维线性空间V 到m 维线性空间W 的任意一个线性映射σ,通过某个对应法则,有唯一确定的K 上m n ×矩阵与之对应.事实上,12(),(),,()n σασασαL 可以由W 的基12,,,m βββL 唯一地线性表示,设为11112121212122221122(),(),().m m m m n n n mn m a a a a a a a a a σαβββσαβββσαβββ=+++=+++=+++L L ML （5.1）其中，12(,,,)j j mj a a a L 是()j σα在W 的基12,,,m βββL 下的坐标.设111212122212,n nm m mn a a a a a a A a a a =LLM M O M L 我们称m n ×矩阵()ijA a =为V 到W 的线性映射σ在V 和W 各自的基12,,,n αααL ;12,,,m βββL 下的矩阵. 特别地,如果σ是V 的一个线性变换,那么11112121212122221122(),(),().n n n n n n n nn n a a a a a a a a a σαααασαααασαααα=+++=+++=+++L L ML （5.2）这里，12(,,,)j j nj a a a L 是()j σα在V 的基12,,,n αααL 下的坐标.我们把n 阶矩阵111212122212n nn n nn a a a a a a A a a a =L L M M O M L 称为线性变换σ在基12,,,n αααL 下的矩阵,或者线性变换σ关于基12,,,n αααL 的矩阵. 由此可见，如果我们在数域K 上n 维线性空间V 和m 维线性空间W 中分别取定一个基,那么，对于V 到W 的任意一个线性映射σ,有唯一确定的K 上m n ×矩阵()ij A a =与之对应.例5.3.1 对于3¡的每一向量()123,,x x x ξ=,定义123132(,,)(2,)x x x x x x σ=−.求3¡到2¡的线性映射σ在基12123,,,;ααηηη下的矩阵,其中()11,1,1,η=−()21,0,1,η=−3(1,1,η=−1)是3¡的一个基,而12,(1,0)(1,1)αα==是2¡的一个基.解对于3¡的任意一个向量α,有()1122.x x σααα=+ 由定义()()13,1ση=−,即()()()123,11,01,1x x −=+,这等价于线性方程组1223,1.x x x +=−= 从而124, 1.x x =−= 即()1124.σηαα=−+同理可得()()2131232.,σηασηαα==− 所以,线性映射σ在基123,,ηηη;12,αα下的矩阵为 432.101A −=−例5.3.2 设V 是数域K 上一个n 维线性空间,而:,k V σξξξ∀∈a 是V 的一个线性变换. 这个线性变换称为V 的标量乘积变换，或位似变换. 记为k ι. 显然:位似变换k ι在V 的任意一个基12,,,n αααL 下的矩阵是.k kA k =O特别地,V 的单位变换在V 的任意一个基12,,,n αααL 下的矩阵是单位矩阵,V 的零变换在V 的任意基12,,,n αααL 下的矩阵是零矩阵.现在,给定数域K 上一个m n ×矩阵()ij A a =,我们反过来提出这样的问题:是否存在K 上n 维线性空间V 到m 维线性空间W 的一个线性映射,它在V 和W 各自的某个基下的矩阵恰好是A ？回答是肯定的.引理5.3.1 设V 是数域K 上n 维线性空间, W 是数域K 上m 维线性空间,12,,,n αααL 是V 的一个基. 如果V 到W 的任意两个线性映射σ与τ关于向量组12,,,n αααL 中的各个向量对应的像()i σα与()i τα相同,即()(),i i σατα=1,2,i =,.n L 那么.στ=反之,对于W 中的向量12,,,n βββL ,必存在唯一的线性映射:V W σ→使得(),1,2,,.i i i n σαβ==L证明为证明σ与τ相等,只需证明:()(),.V σαταα=∀∈ 事实上, V α∀∈,设11k αα=+22n n k k αα++L , 则12112212()()()()()()()().n n n n k k k k k k σσστατατατααααα=+++=+++=L L反之,对任意12,,,n W βββ∈L ,存在线性映射:;V W σ→1111n n n n k k k k αααββ=++++L L a使得(),1,2,,.i i i n σαβ==L 可以证明,满足条件()(1,2,,)i i i n σαβ==L 的线性映射σ是唯一确定的.根据引理5.3.1, 数域K 上线性空间V 到W 的线性映射完全被它在V 的一个基上的像所决定. 对于数域K 上m n ×矩阵()ij A a =,由式（5.1）我们可以确定基像()i σα,从而也就唯一确定了线性映射σ. 所以,在V 和W 各自的某个基下,n 维线性空间V 到m 维线性空间W 的线性映射与m n ×矩阵有一一对应关系.5.3.2 矩阵的乘法本小节我们首先讨论线性空间V 到W 的线性映射与矩阵的线性运算的关系,然后讨论矩阵的乘法.定理5.3.2 设V 是数域K 上n 维线性空间,12,,,n αααL 是V 的一个基;W 是数域K 上m 维线性空间,12,,,m βββL 是W 的一个基. σ与τ是V 到W 的两个线性映射,他们在基12,,,n αααL ;12,,,m βββL 下的矩阵分别是A 和B , 那么στ+,k σ在基12,,,n αααL ;12,,,m βββL 下的矩阵分别是A B +和kA . 或者说（1）线性映射的和对应矩阵的和,即A B στ+→+;（2）线性映射的标量乘积对应矩阵的标量乘积,即k kA σ→.证明由题设可知，存在,(,1,2,,)ij ij a b K i j n ∈=L 使得11221122(),()(1,2,,).j j j mj m j j j mj m a a a b b b j n σαβββταβββ=+++=+++=L L L因此，11221122111222()()()()(((()())))(1,2,,).j j j j j mj m j j mj m j j j j mj mj m a a a b b b a b a b a b j n στασαταβββββββββ+=+=++++++=+++++++=L L L L所以，στ+在V 和W 的基12,,,n αααL ;12,,,m βββL 下的矩阵是A B +. 类似地, 对k K ∈,我们有11221122()()()(((()))).(1,2,,)j j j j mj m j j mj m k k k a a a ka ka ka j n σασαββββββ==+++=+++=L L L所以,k σ在V 和W 的基12,,,n αααL ;12,,,m βββL 下的矩阵是kA .受上述定理的启发,我们来分析线性映射的乘积τσ对应的矩阵. 设有线性映射Hom (,),Hom (,),K K V U U W στ∈∈ 12,,,n αααL 是V 的一个基,12,,,m βββL 是U 的一个基,而12,,,p γγγL 是W 的一个基. 又设σ在基12,,,n αααL ;12,,,m βββL 下的矩阵为()ij m n B b ×=,τ在基12,,,m βββL ;12,,,p γγγL 下的矩阵为()ij p m A a ×=. 线性映射的乘积τσ在基12,,,n αααL ;12,,,p γγγL 下的矩阵为()ij p n C c ×=. 我们需要建立矩阵()ij p n C c ×=的元素ij c 与矩阵A 和B 的元素之间的关系式. 根据线性映射与矩阵的对应关系,有111111()((()()))()()(),1,2,,.mj j kjk k pmmkj k kj ik i k k i pmik kj i i k bb b a a b j n τσατσατβτβγγ============∑∑∑∑∑∑L不难看出,矩阵()ij p n C c ×=的元素ij c 正好是矩阵A 的第i 行元素与矩阵B 的第j 列对应元素乘积之和.定理 5.3.2告诉我们,线性映射的加法与标量乘法分别与矩阵的加法与标量乘法相对应,自然地,我们引入矩阵的乘法运算,使得线性映射的乘法也与矩阵的乘法相对应.定义5.3.1 数域K 上m n ×矩阵()ij A a =与n p ×矩阵()ij B b =的乘积AB 定义为:()ij AB c =,其中,元素ij c 由下式给出:11221,1,2,,;1,2,,.ij i j i j in njnik kj k c a b a b a b a b i m j p ==+++===∑L L L显然,AB 是一个m p ×矩阵. 当且仅当A 的列数等于B 的行数时,AB 有意义. 当AB 有意义时, AB 的第i 行第j 列的元素ij c 是A 的第i 行元素与矩阵B 的第j 列的对应元素乘积之和,其图示为:1212()j j iji i in njb bc a a a b =L M .例如,1311011(1)00(5)1(3)(1)1001401.1021110(2)(5)1(3)01(2)011350−−×+−×+×−×−+−×+×−==−×+×+−×−×−+×+−×−−()121111111,,,11261277.623423412=×+×+×+×==由于映射的乘积满足结合律,又映射的乘积与矩阵的乘法相对应,所以矩阵的乘法也满足结合律:()().AB C A BC =我们也可以根据定义5.3.1直接验证矩阵的乘法满足结合律. 事实上,记(),(),().ij m n ij n p ij p q A a B b C c ×××===依定义,(AB )C 与A (BC )均为m q ×矩阵. 以下证明它们的对应元素相等.令(),().ij ij AB U u BC V v ====由矩阵乘法定义可以验证UC AV =（具体验证从略,读者不妨取2,3m p n q ====具体验算）.矩阵的乘法不满足消去律、也不满足交换律: （1） AB = 0时不一定有A = 0或B = 0；（2） AB 不一定等于BA . 例如,设11110,11A −=−≠−0,ab B a b =≠但是,11110.11a b AB a b −=−=−当A 是m n ×矩阵,而B 是()n p m p ×≠矩阵时,AB 有意义,但是BA 无意义,AB 当然不等于BA ；即使是在AB 与BA 都有意义的情况下,AB 与BA 也不一定相等.例如,设1203,,2131A B −==−那么，120365,213137031263.312115AB BA −−==−−  −−−  ==  − 这时,AB 与BA 都有意义,但.AB BA ≠矩阵的乘法和加法满足分配律:(),A B C AB AC +=+ ().B C A BA CA +=+矩阵的乘法和数与矩阵的标量乘法满足以下运算规律:()()().k AB kA B A kB ==单位矩阵有如下性质:,.m m n m n n I A A A I A ××==特别,当A 是n 阶方阵时,IA AI A ==. 下面,我们简单地介绍n 阶矩阵的乘方运算: 设r 为正整数,定义r r A AA A =L 678个,约定0.A I = 设01(),m m f x a a x a x =+++L则10m m a I a A a A +++L有意义,它称为由()f x 定义的关于A 的多项式矩阵,记作().f A 设2()31f x x x =−+,矩阵1101A −=,那么2111110()2301010124331001.02030100f A −−=−−−−=−=++设(),f x ()g x ∈[],K x 而A 是n 阶方阵,则()()()()f A g A g A f A =.事实上, 令()()()()()h x f x g x g x f x ==,由矩阵的运算律立得:()()()h A f A g A =()g A =()f A .矩阵的乘法在数学和其它自然科学中有广泛的应用. 许多涉及多个变量的问题都可借助于矩阵的乘法获得清楚、简洁的表达. 例如,我们分别在第二章和第四章讨论过的线性方程组11112211112221122222,,.n n m m mn n m n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=+++= +++=L L L M （5.3）可以表示成矩阵的形式:1112121222121122.n n m m mn n m a a a a a a a a a x b x b x b=LLM M O M L M M记1112121222121122,,.n n m m mn n m a a a a a a a a a x b x b A X x b β===LL M M O M L M M那么线性方程组（5.3）可以表示为AX β=. （5.4）类似地,（5.3）的导出组可以表示为0AX =. （5.5）设数域K 上m n ×矩阵()ij A a =是数域K 上n 维线性空间V 到m 维线性空间W 的线性映射σ在V 和W 的基12,,,n αααL ;12,,,m βββL 下的矩阵,那么式(5.1)可以表示如下:1212((,(,,(,,,))))()n m A σασασαβββ=L L ,在使用上，我们常常把上式简记为1212(,,,,,,)()n m A σαααβββ=L L . （5.6）下面介绍对称矩阵、正交矩阵的概念,并讨论它们的初等性质.n m ×矩阵112111222212m m nn mn Ta a a a a a a a a A=LL M M O M L是把m n ×矩阵111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a =L L M MO M L的行变为相应的列所得到的,在定义4.1.1中我们称它为矩阵A 的转置.关于矩阵的转置,下列等式成立: （1） (),T T A A = （2） ()T T T A B A B +=+, （3） ().T T T AB B A =证明（1）、（2）由转置矩阵的定义以及矩阵的加法定义直接得到. 下证（3）. 设()ij m n A a ×=,()ij n p B b ×=,记()ij m p AB C c ×==,()ij T T p m d B A D ×==,根据矩阵乘法的定义,有1,1,2,,;1,2,,.nji jk ki k c a b m p j i ====∑L L另一方面,T B 的第i 行为12(,,,)i i ni b b b L ,T A 的第j 列为12(,,,)T j j jn a a a L ,从而11,1,2,,;1,2,,.n nij ki jk jk ki k k d b a a b p m i j ======∑∑L L不难发现,ij ji d c =对任意1,2,,;1,2,,p m i j ==L L 成立. 即()T T TB A AB =. 定义5.3.3 设A 是数域K 上n 阶矩阵,如果,TA A = 则称A 为对称矩阵. 若,TA A =−则称A 为反对称矩阵.显然,()n n ij A a ×=为对称矩阵等价于:,,1,2,,.ij ji a a i j n =∀=L定义5.3.4 设A 是n 阶实矩阵（元素全为实数的矩阵）,如果,T T A A AA I ==则称A 为正交矩阵.设A 是n 阶实矩阵. 显然,下列陈述等价:(1) n 阶实矩阵()ij A a =是正交矩阵. (2)11,,0,.nki kjk i j a a i j ===≠ ∑ (3)11,,0,.nik jk k i j a a i j ===≠ ∑ 5.3.3 矩阵乘积的行列式与矩阵的逆与通常的数相类似, 矩阵可以有加、减、乘、乘方等运算. 矩阵是否也和数一样有乘法的逆运算——除法运算呢？本节就来讨论这个问题,并引入与数的除法相类似的一种运算——矩阵的“逆”.在数的运算中,若0a ≠,则存在数a 的逆11a a−=,使111aa a a −−==. 那么对于矩阵A,是否也存在A 的“逆”1A −,使得11AA A A I −−==呢？对于某些矩阵，上述问题的答案是肯定的,设1323,1211A B −−− == −−− .则132310,121101231310.111201AB BA −−− ==  −−− −−−  ==  −−− 即,AB BA I == 记1B A −=,就有11AA A A I −−==. 为了对上述情况进行一般的研究,我们引入定义5.3.5 设A 为数域K 上n 阶方阵,若存在数域K 上n 阶方阵B ,使得,AB BA I == 则B 称为A 的逆矩阵（或A 的逆）,这时也称A 是可逆矩阵.如果这样的方阵B 不存在,则称A是不可逆的.依定义,对于一个给定的n 阶矩阵A ,要判断它是否可逆,关键是要找到一个矩阵B ,满足AB BA I ==.然而,对于一般的矩阵,A B 而言,AB BA =都不一定成立,更不用说AB BA I==了. 这表明:并不是所有的n 阶矩阵都是可逆的.设1100A =,则A 不可逆. 这是因为对任意矩阵11122122b b B b b =,均有111211122122110000b b b b AB I b b ==≠. 然而,当A 是可逆矩阵时,A 的逆矩阵是唯一的. 事实上,如果B,C 都是A 的逆矩阵,由定义5.3.5知,AB BA I ==,AC CA I ==则()()B BI B AC BA C IC C =====.由于A 的逆矩阵的唯一性,我们记A 的逆为1B A −=,即11AA A A I −−==.判断一个给定的矩阵是是否可逆以及对于可逆矩阵A ,如何找出A 的唯一的逆矩阵是我们首先要考虑的问题.为回答这些问题,我们需要做两个准备工作. 首先我们研究矩阵乘积的行列式与它的因子的行列式的关系.通过具体的数值计算,我们得到:AB C =,其中102323,,121003A B C −−−−===−−. 考察它们对应的行列式,得2,3,6A B C ==−=−.在这个例子中,我们观察到,A B C AB ==.这个现象是不是偶然的？通过研究,我们有定理5.3.3 设A,B 是数域K 上的两个n 阶矩阵,则.AB A B =即同阶矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积. 为证明这个定理,我们先建立如下引理. 引理5.3.4111111111111111111110000kk r k kkk r k kk r rr r rk r rr a a a a b b a a c c b b a a b b c c b b =L L MO MM OM L L L LM OMMOM L L L L M O M M OML L . （5.7）在例2.4.5中,我们已看到,引理5.3.4是Laplace 定理的直接结果. 这里我们利用对k 的数学归纳法给出一个不依赖Laplace 定理的初等证明.1k =时,根据行列式的展开定理知（5.7）成立. 假设式（5.7）对1k −情形成立,下面证明对k 的情形也成立. 记111111111111,,.k r k k kk r rr r rk a a b b c c A B C a a b b c c===L L L M O M M O M M O M L L L则式（5.7）转化为.A A B C B= 对（5.7）左边的行列式按第一行展开并利用归纳假设,有1111111111110000k k kkk r r rk r rra a a a c cb bc c b b L L M O MM O M L L L L M O M M OML L 111212,12222,121111,11111211111,112100000000(1)k k k k k k k kk kk rk rr r k r rrr rkr rra a a a a a a a a a c cb bc c b b c c b b c c b b −−+−−=++−L L L L L M O MMOMM O MMOML L L L L L L L M O MM O M M O M M O ML L L L 1111121211().k k a A a A a A B A B =+++=L下面利用引理5.3.4证明定理5.3.3. 定理5.3.3的证明设111212122212n nn n nn a a a a a a A a a a = L L M M O M L ,111212122212,n nn n nn b b b b b b B b b b =LL M M O M L而111212122212,n nn n nn c c c c c c AB C c c c ==LL M M O M L其中11221,1,2,,;1,2,,.nij i j i j in nj ik kj k c a b a b a b a b i n j n ==+++===∑L L L由引理5.3.4,1111111100001001n n nnn n nn a a a a b b b b A B −−=LL M OMM OM L LL L MOM M OM LL .记上式右边行列式为D ,分别将D 的第1n +行的11a 倍,第2n +行的12a 倍,第2n 行的1na 倍都加到第1行,有11121212221211121212221200000000.100010001n nn n nn n n n n nnD c c c a a a a a a b b b b b b b b b =−−−L L L L M M O M M M O M L LL L L L M M O MM M O M LL类似地,对2,3,,k n =L 分别依次将第1n +行的1k a 倍,第2n +行的2k a 倍,第2n 行的kna 倍加到第k 行,就有11121212221211121212221200000000.100010001nn n n nnn nn n nn D c c c c c c c c c b b b b b b b b b =−−−LL LL M M O M M M O M L L L L LL M M O M M M O M L L 依次按第1列展开,得1112121222121212223132312(1)000000000100010001n n n n nnn n n n n nnD c c c c c c c c c b b b b b b b b b +=−−−−L L L L M M O M M M O M L L L L L L M M O M M M O M L L1112121222(1)12(1).n nn n n n nnc c c c c c c c c +==−L L L M M O M L利用数学归纳法,我们很容易得到定理5.3.3的如下推广. 推论5.3.5 设12,,,k A A A L 都是数域K 上的n 阶矩阵,那么1212k k A A A A A A =L L .下面介绍矩阵A 的伴随矩阵的概念. 定义5.3.5 设数域K 上n 阶方阵111212122212n nn n nn a a a a a a A a a a =L L M M O M L . 由A 的行列式A 中元素ij a 的代数余子式ij A 构成的如下n 阶方阵112111222212n n n nnn A A A AA A A A ALLM M O M L称为矩阵A 的伴随矩阵,记为*A 或adj A .现在,我们已经作好了研究矩阵A 可逆的充要条件的知识准备.下面的定理给出了可逆矩阵A 的逆矩阵1A −的一个计算公式.定理5.3.6 数域K 上 n 阶方阵A 可逆的充要条件是0A ≠. 且当A 可逆时,1*1A A A−=,其中*A 是A 的伴随矩阵.证明必要性若A 可逆,依定义,存在n 阶矩阵B 使AB I =,两边取行列式得1A B =. 从而,0A ≠.充分性首先,由行列式按一行（列）展开的公式可直接验证**0000.00A A A A AA A I A=== L L M M O M L 又0A ≠,所以**11A A A A I A A ==. 依定义, A 可逆,且*1A A是A 的一个逆矩阵. 利用矩阵A 的逆矩阵的唯一性,有1*1A A A−=.设A 是数域K 上n 阶矩阵,如果A 的行列式不等于零，则称A 为非退化矩阵，简称A 非退化. 如果A 的行列式等于零，则称A 为退化矩阵，简称A 是退化的.利用上述概念,可以得到定理5.3.6的一个等价说法: n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是A 非退化.利用矩阵秩的概念,我们还可得到定理5.3.6的又一个等价说法: n 阶矩阵A 可逆充分必要条件是秩()A n =.从定理5.3.6的证明中我们还可得到如下两个常用结论:(1) 若n 阶矩阵A 可逆,则11A A−=,(2) 若A 是n 阶矩阵（不一定可逆）,那么**AA A A A I ==.这样,给定一个n 阶矩阵A ,总可以找到一个矩阵A *,无论是把A *从左边还是从右边乘A ,其结果都相等,都等于A I .推论5.3.7 设A 为数域K 上n 阶方阵,则1*n A A−=.证明如果0A =,显然*0A =. 如果0A ≠,我们分两种情形进行讨论.情形 1 若A 是可逆矩阵,则0A ≠. 由于**AA A A A I ==.对上式两边取行列式,得*n A A A =,从而1*n A A−=.情形2 若A 不可逆,则由定理5.3.6知0A =. 此时,若0A ∗≠,则秩*()A n =,*A 可逆. 从而由*0A A =得0A =,矛盾. 故0A ∗=. 即0.A A ∗==例5.3.3 设121630421A −−=−−, 试求矩阵A 的逆矩阵.解首先计算A 和A 的各元素的代数余子式:11121112132113211216309,4213060(1)3,(1)6.21416321(1)0,(1)0.4221A A A A A ++++−−=−=−−=−==−=−−−=−==−=−−222322233132313233331112(1)3,(1) 6.41422111(1)3,(1) 6.30612(1)9.63A A A A A +++++−−−=−==−=−−−−=−==−=−−=−=−故1*113101212023A A A −==.我们指出,通过公式11A A A−∗=计算逆矩阵,其计算量一般是非常大的,对于4阶及4阶以上的矩阵,我们一般不用这个公式求逆矩阵,而往往采用将在5.5节介绍的另一种方法.虽然如此,这个公式在理论上有时很有用.例如利用可逆矩阵的逆矩阵公式,可以获得Cramer 法则的另一种推导方法.考虑数域K 上线性方程组 11112211211222221122,,.n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= +++=+++= L L M L 这个线性方程组的矩阵形式是AX β=, (5.8)这里, 数域K 上n 阶方阵A 是其系数矩阵,当这线性方程组的系数行列式0A ≠时,系数矩阵A 非退化,用A 的逆矩阵1A −左乘式(5.8)两端,有1112111212121||n i i i ni n n nn nn x A A A b b x A A A A b x A A A =L M M M O M L M M MM O M L . 所以,对1,2,,i n =L , 有11221().||i i i n ni x b A b A b A A =+++L这正是Cramer 法则所给出的关于n 个未知量n 个方程的线性方程组的解. 此外,可逆矩阵及其相关理论在现代自然科学和工程技术中都有广泛应用. 下面的例子可略见一班.例 5.3.4 代数密码学的一个重要内容是关于信息编码的技巧. 矩阵方法是常用的技巧之一. 先在不同字母与不同数字之间建立起一一对应,例如可以是:262524321a b c x y zL b b b L b b b L 如果要发出action 这一信息,使用上述代码,则此信息的编码是:26,24,7,18,12,13,这可写成向量形式:261824,12.713现任选一个三阶可逆矩阵,比如取例5.3.3中的矩阵121630421A −−=−−.定义线性空间3¡的一个线性变换3:,,A σξξξ∀∈a ¡ 由此得到:26151872484,12727631361.σσ−=−=−并发出信息（密码）:15,84,63,7,72,61.−−−对方收到此信息后,通过逆矩阵可予以解码:11515261848424,363637*********A −−=−=177181727212.3616113101212023A −−−−=−=从而恢复出原来所传的信息:26,24,7,18,12,13. 即action. 容易验证, 数域K 上n 阶可逆矩阵有如下性质:（1）可逆矩阵A 的逆矩阵1A −也可逆,并且11()A A −−=;（2）数域K 上两个n 阶可逆矩阵A 和B 的乘积AB 也可逆,并且111()AB B A −−−=;特别,若k 是数域K 中一个非零数,则111()kA A k−−=.一般地,设12,,,m A A A L 都是数域K 上n 阶可逆矩阵,则11111221()m m A A A A A A −−−−=L L .(3) 可逆矩阵A 的转置矩阵A T 也可逆,并且11()()T T A A −−=. 下面的定理揭示了线性映射的可逆性与矩阵的可逆性的内在联系.定理5.3.8 设V 是数域K 上n 维线性空间,12,,,n αααL 是V 的一个基. V 的线性变换σ在基12,,,n αααL 下的矩阵是A ,那么σ可逆的充分必要条件是A 可逆. 并且当σ可逆时,1σ−在基12,,,n αααL 下的矩阵是1A −. 或者说:可逆线性变换与可逆矩阵对应,且逆变换对应于逆矩阵.证明设σ是可逆线性变换,记1σ−在基12,,,n αααL 下的矩阵是B .由线性变换的乘积对应矩阵的乘积得1ισσ−=对应的矩阵是AB . 又V 的单位变换在V 的任意基12,,,n αααL 下的矩阵是单位矩阵,所以AB I =. 同理可证BA I =. 所以1.B A −=反之,设线性变换σ在基12,,,n αααL 下的矩阵A 是可逆矩阵,由于矩阵与线性变换之间的对应关系,设与1A −对应的线性变换为τ,则στ与1AA I −=对应. 从而.στι= 同理可证.τσι= 即σ可逆,且1σ−=τ.下面的定理表明,借助线性变换的矩阵,可以很容易地计算V 的一个向量α在线性变换σ下的像()σα的坐标.定理5.3.9 设V 是数域K 上n 维线性空间,σ是V 的一个线性变换,σ关于V 的一个基12,,,n αααL 的矩阵是()ij A a =. 如果向量ξ在基12,,,n αααL 下的坐标是()12,,,n x x x L ,而()σξ在基12,,,n αααL 下的坐标是()12,,,,n y y y L 那么1122n n y x y x A y x =M M . 证明记()()1212,,,,,,,n TTn y y y x x x X Y ==L L .由题设得：1122n n x x x ξααα=+++L 12(,,,)n X ααα=L ,由于σ是V 的一个线性变换，所以1122()()()()n n x x x σασασασξ+++=L()12(),(),,()n X σασασα=L 12(,,,)n A X ααα=L .又由题设得：()1122n n y y y σξααα=+++L 12(,,,)n Y ααα=L ,因为12,,,n αααL 线性无关,所以A Y X =.我们指出,线性变换与矩阵的对应关系是基于V 的一个确定的基12,,,n αααL 而言的. 同一个线性变换在不同基下的矩阵一般是不同的. 例如,在例5.3.1中,对于3¡的每一向量()123,,x x x ξ=,我们已经定义了如下3¡到2¡的线性映射：123132(,,)(2,)x x x x x x σ=−.这个线性映射在3¡和2¡的基12123,,,;ααηηη下的矩阵是432.101A −=−其中()11,1,1,η=−()21,0,1,η=−3(1,1,η=−1)是3¡的一个基,而12,(1,0)(1,1)αα==是2¡的一个基.又σ在3¡和2¡的标准基()()()1231,0,0,1,1,0,1,1,1;εεε===12(1,0),(0,1)ξξ==下的矩阵是201.010B −=我们有1S AT B −=, （5.9）其中121220101111,012S T ==−. 一般地，容易证明: 如果数域K 上m n ×矩阵()ij A a =是数域K 上n 维线性空间V 到m维线性空间W 的线性映射σ在V 和W 的基12,,,n ηηηL ;12,,,m αααL 下的矩阵,,S T 分别为数域K 上的,m n 阶可逆矩阵,且12121212(,,,,,,,,,,,,)(),()().n n m m T S ηηηηηηαααααα′′′′′′==L L L L 则σ在V 和W 的新基1212,,,,,,;n m ηηηααα′′′′′′L L 下的矩阵为1.S AT −习题 5.31. 在几何空间3V 中建立直角坐标系[;,,].,,O i j k στψrr r 分别表示空间按右手系绕,,x y z轴旋转45o 的变换.以坐标的形式表示出,,στψ,求,,στψ在基,,i j k rr r 下的矩阵,求στψ和44στ在基,,i j k r r r 下的矩阵, 证明888στψι===.2．设123,,εεε是3¤的标准基,线性3Hom ()σ∈¤¤在标准基下的作用为:112123123((()3,)2,)2.σεεσεεεσεεεε==−+=−+（1）写出σ在标准基下的矩阵A ,（2）设103011210T −=−,计算1T AT −,（3）求出3¤的一个基123,,βββ,使σ在这个基下的矩阵恰好是1B T AT −=. 3．设有两组矩阵: （I ）131111122,210;313201A B −==−（II ）,.a b c c b a A b c a B a c b c a b b a c==完成以下计算或证明: （1）计算2,();AB BA A B −+（2）验证AB BA −的主对角线元素之和为零,并推广这个结论; （3）证明:不存在矩阵,A B 使.n AB BA I −= 4．计算:()()112212121323102013;,,,;,,,;2014305214200231100010110010.012121301n nn n b b b b a a a a a a b b −−−−−−    −−    − L L M M 5．设01000010*******0A=,证明:当且仅当000000abc d a b c B a b a=时,AB BA =. 6．令ij E 是第i 行第j 列的元素是1而其余元素都是零的n 阶矩阵,求ij kl E E .7．(1) 如果AB BA =,称矩阵A 与B 可交换. 试求所有与111011001可交换的矩阵.(2) 如果AB BA ω=,称矩阵A 与B 是ω可交换的. 如果210,ωω++= 证明333().A B A B +=+8．设12(,,,)n A diag a a a =L ,其中,i j i a a j ≠∀≠. 证明:与A 可交换的矩阵只能是对角矩阵.*9．证明:与所有矩阵可交换的矩阵只能是标量矩阵. 10．如果AB A B =+,证明A 与B 可交换且A I −可逆. 11．判断下列式子或命题是否正确,并说明理由. （1）A,B,C 为n 阶方阵,0AB AC A =≠且,那么B=C ; （2）如果22A A =,那么0A =或2A I =;（3）n 阶方阵A,B 中有一个不可逆,那么AB 不可逆; （4）如果AB B I +=,那么BA B I +=;（5）A 为n 阶可逆矩阵,B 为n 阶矩阵,如果A 与B 可交换,那么1A −与B 也可交换. 12．设,(),,n A B M K A B ∈可交换. 证明: （1）22()();A B A B A B +−=− （2）222()2;A B A AB B +=++（3）0()nnk k n kn k A B C A B −=+=∑.13．计算:（1）100100nλλλ;（2）cos sin sin cos nθθθθ−; （3）(),n n I A A λ+是元素全为1的n 阶矩阵;14．设A 是任意n 阶矩阵,0m A =而I 是n 阶单位矩阵,证明I A −可逆,且121()m I A I A A A −−−=++++L .15．证明任意n 阶方阵都能写为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和. 16．证明:（1）设A 为n 阶矩阵,若对任何1n ×矩阵X 有0AX =,则0A =; （2）设A 为n 阶实对称矩阵且20A =,证明0A =. *17．设A 为n 阶方阵,而k n >时0k A =,证明0n A =. 18．求下列矩阵的逆矩阵:121cos sin (1);(2)342;sin cos 531αααα−−−−1123411101123(3)210;(4).001123350001100001−− −−− −−−−19．设,A B 都是n 阶矩阵,证明:若AB I =,则,A B 互为逆矩阵. 20．设,1(),T n M K A I ααα∈=−证明: （1）2A A =的充分必要条件是1T αα=; （2）若1T αα=,则A 不可逆.*21．n 阶行列式的各行元素之和为零且各列元素之和为零,证明此行列式的所有元素的代数余子式均相等.22．设实矩阵()ij n n a A ×=满足,(,1,2,,)ij ij a A i j n ==L ,且1nn a =−. （1）试证明A 可逆且1A =;（2）解线性方程组n AX ε=其中120,01n n x x X x ε==M M .23．设矩阵,A B 满足2AB A B =+且301110014A=,求矩阵B .24．设23,(),A B M K AB I A B ∈+=+且,这里101020101A= − ,求矩阵B.25．已知211102*********A −= −,求矩阵A .26．设A 为3阶方阵,A 的行列式是0.5,求1*(3)2A A −−的值. 27. 设a b A c d = ,且1ad bc −=,求多项式()f x ,使得()f A A ∗=.28. 设2A A =,证明A I +可逆,并求1()A I −+. 29. 设32,A I =,证明22A A I +−可逆,并求其逆.*30. 设32,A I = 试确定所有使得22A A I λ++可逆的有理数λ,并用A 的多项式表示22A A I λ++的逆矩阵.31. 如果i j >时0ij a =,则称()ij n n A a ×=为上三角形矩阵,证明（1）上三角形矩阵的伴随矩阵还是上三角形矩阵; （2）可逆的上三角形矩阵的逆矩阵还是上三角形矩阵;（3）类似地,可以定义下三角形矩阵并且证明他们也有类似的性质. 32. 设()n A M K ∈,证明*,(),()1,()1,0,() 1.n A n A A n A n ===− <−秩秩秩秩33. 设,()m n A M K ∈,证明:存在非零矩阵,()n s B M K ∈使得0AB =的充分必要条件是().A n <秩34. 设有,,(),()m n n s A M K B M K ∈∈使得0AB =,证明（1）()();A B n +≤秩秩（2）如果()B n =秩,那么0A =.35. 设,,(),()m n n s A M K B M K ∈∈,且()B n =秩,那么对任意矩阵,()m n C M K ∈,有如下的消去律成立:.AB CB A C =⇒=36．设n 阶方阵0100001000011000A =L L L L MM M O M M L L L L. （1）计算231,,,;n A A A −L（2）求行列式()f A 的值,这里1011()n n f x a a x a x −−=+++L .（提示:考虑()f A 与行列式1211112111nn n n n ωωωωωω−−−L L M M O M L 的乘积,其中(1,2,,)i i n ω=L 是全部n 次单位根.）*37．已知123(1,0,0,0,1),(0,1,0,1,0),(0,0,1,1,0),(1,1,1).T T T T αααβ=−=−=−= 求所有35×矩阵A 使Ax β=以123,,ααα为解向量.*38．设数列{}n a 满足如下的递推关系:32102346;1,2, 1.n n n n a a a a a a a +++=−−+=−==试按以下步骤操作,求出n a 的表达式.（1）令2()1n n n n a y a a ++ = ,证明()(0)n n y A y =,这里(0)4161100,2;0101A y −−== −（2）求关于λ的方程0I A λ−=的三个根123,,λλλ;（3）对上述123,,λλλ分别解齐次线性方程组()0(1,2,3)i I A x i λ−==,各得一个非零解(1,2,3)i i α=;（4）以(1,2,3)i i α=为列向量作矩阵123(,,)P ααα=,验证:1123;P AP λλλ−=（5）由1()1(0)23n n n n y P P y λλλ−=证明:585(2)(3).1234n n n a =−−+− *39. 设155366lim lim lim 515,lim lim lim lim ,636lim lim lim 554663nnn n n n nn n n nn n n nn n n n n n nnn n nn n n n a b c a b c A x y z A x y z B u v w u v w →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞===−−−. 如果1112033101515,230,,636001551663n n A BA C A C − − −=+==−证明lim n n A →∞存在且唯一.*40. 设lim(32)5,lim(23)1,lim(23)11.n n n n n n n n nn n n x y z x y z x y z →∞→∞→∞ ++=++=++= 试证明lim ,lim ,lim n n n n n n x y z →∞→∞→∞均存在,并求它们的值.*41. 设11112211()()()211222221122()()()()()(),lim(),lim()lim().m m n n n m m n m m mm m m n n n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b →∞→∞→∞+++=+++=+++=L L M L如果11110,mm mma a a a A ≠=L MOM L 试证明()()()12lim ,lim ,,lim n n n m n n n x x x →∞→∞→∞L 均存在,且()1112111()2112()12lim 1lim .||lim n n m n i i i mi n m n m m mm m n x A A A b b x A A A A A b A A A x β→∞−→∞→∞==L M M M O M L M M M O M M L *42．阅读下面关于共面点的费尔巴哈定理及其代数证明,然后讨论对空间的5个点是否也有类似的结论.设有点1234,,,A A A A 是平面上的4个点,点,(,1,2,3,4)i j A A i j =的距离记为ij d ,证明这四个点共线或共圆的必要条件是:22212131422221232422231323422241424300000d d d d d d d d d d d d =. 证明设点i A 的平面直角坐标为(,),i i x y 记222,(,1,2,3,4)i i i ij i j i j r x y r x x y y i j =+=+=. 四点共线0ax by c ++=的必要条件是:110(,,1,2,3)1i ij j kk x y x y i j k x y == 从而四点共线或共圆的必要条件是:2111222223332444110(5.10)11r x y r x y r x y r x y =由（5.10）得21112222233324441221220122122r x y r x y r x y r x y −−−−=−−−− 由于行列式与它的转置行列式相等,有22221234123412341111022222222r r r r x x x x y y y y =−−−−−−−−. （5.11）将（5.10）、（5.11）左边两行列式相乘,并注意到222222()()i j ij i j i j ij r r r x x y y d +−=−+−=.我们有2122212131422221232422231323422241424300000d d d d d d d d d d d d =. 把它展开并整理得:1234132423140d d d d d d ±±=.这实质上就是托勒密定理或直线上四点的欧拉定理. （参见单尊主编:数学名题辞典南京:江苏教育出版社,2002,6）.5.4 矩阵的分块在科学技术中,我们常常会遇到某些较高阶的矩阵,这时我们往往可以把它看成是由若干阶数较低的矩阵构成的. 比如矩阵3100120000120054A −=−可以看作是由二阶矩阵123112,1254A A −−==及两个二阶零矩阵构成的. 当我们以这种方法看待矩阵时,往往可使矩阵的特性更加明显.对一个给定的矩阵A ,在它的行间作水平线或（及）在列间作铅垂线,把矩阵划分成若干小块,称为对矩阵A 的分块. 例如,对矩阵3200021000001000007100053A −−=适当分块后,可视为“对角阵”形式1122330000,00A A A A =其中1122333271,(1),.2153A A A −===−这种被分成若干小块的矩阵称为分块矩阵. 形如12s A A AO 的分块矩阵称为分块对角矩阵或准对角矩阵.设A, B 是两个m n ×矩阵,对A, B 作同样的分块:111211112121222212221212,,q q qqp p pq p p pq A A A B B B A A A BB B A B A A A B B B ==LL LLM M O M M M O M L L22 那么,由矩阵的加法和数与矩阵的乘法定义,111212121121212222221122.q q q qp p p p pq pq A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B +++++++=+++L LM M O ML 当k 是一个数时,有111212122212.q qp p pq kA kA kA kAkA kA kA kA kA kA =LL M M O M L这就是说,两个行数、列数分别对应相等的矩阵相加时,如果对它们按同一种分法作了分块,那么只要将它们对应位置的小块相加. 而用一个数乘一个分块矩阵时,只要将这个数遍乘各个小块即可.如果我们把m n ×矩阵分解为行向量或列向量,也得到矩阵的分块:1212(,,,).n m A ββαααβ ==L M 利用矩阵的分块,我们可以得到有关矩阵秩的一些重要不等式. 为此,我们需要定理5.4.1 一个m n ×矩阵A 都可以经过初等变换化为一个形如000r I的矩阵,其中主对角线上1的个数等于A 的秩r . 这种形式的矩阵称为矩阵的标准形.证明由于任意一个m n ×矩阵A 都可以通过初等行变换和交换两列这类初等列变换,化为以下形式的一个矩阵:1,112,12,11000100010000000000r n r nr r rn c c c c c c +++L L L L M M O M M O M L L L L M M O MM O M L L , 对这个矩阵继续施行第三种初等列变换,显然可以把ij c 都化为零.又由于初等变换不改变矩阵的秩,所以矩阵A 的秩等于A 的标准形的秩,即标准形的主对角线上1的个数.由于矩阵的初等行变换及交换两列的变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性,根据定理5.4.1,秩为r 的m n ×矩阵A 的列向量组的秩等于它的标准形的列向量组的秩r , 即矩阵的秩等于它的列向量组的秩.定理5.4.2 设,,()m n A B M K ∈,有()()().A B A B +≤+秩秩秩。

线性代数中的线性空间和线性映射

线性代数中的线性空间和线性映射线性代数是数学中重要的一门学科，它的研究范围包括向量空间、线性变换、矩阵论等多个方面。

其中，线性空间和线性映射是线性代数的重要概念，本文将从这两个方面入手，探讨它们的定义、性质及应用。

一、线性空间线性空间又称向量空间，是线性代数中的基本概念之一。

它是一个具有加法和数乘运算的集合，满足以下条件：1.对于任意两个向量，其和仍为向量；2.对于任意一个向量和任意一个标量，它们的积仍为向量；3.加法和数乘运算遵从结合律和分配律；4.存在一个零向量，满足加法运算返回自身。

线性空间的定义具有很强的普遍性，它可以适用于实数、复数、函数以及其他更广泛的对象集合。

下面举一个实数向量空间的例子。

考虑一个三维实数向量空间，它包含所有形如 $(x,y,z)$ 的三元组，其中 $x,y,z$ 均为实数。

我们可以定义向量的加法和数乘运算如下：$$(x_1, y_1, z_1) + (x_2, y_2, z_2) = (x_1+x_2, y_1+y_2,z_1+z_2)$$$$k(x, y, z) = (kx, ky, kz)$$显然，这样定义的加法和数乘运算符合上述线性空间的定义，因此该三维实数向量空间是一个线性空间。

除了上述基本性质外，线性空间还有许多衍生的性质，如基和维数的概念等。

具体来说，一个线性空间的基是指它的极大线性无关组，而线性空间的维数是其基的元素个数。

这些概念在矩阵论等应用中有广泛的应用。

二、线性映射线性映射是一种特殊的函数，它将一个向量空间映射到另一个向量空间，并保持加法和数乘运算的线性性。

考虑两个向量空间 $V$ 和 $W$，一个从 $V$ 到 $W$ 的线性映射 $T$ 应该满足以下条件：1.对于任意向量 $u,v\in V$，有 $T(u+v) = T(u) + T(v)$；2.对于任意向量 $u\in V$ 和标量 $k$，有 $T(ku) = kT(u)$；3.存在一个零向量 $0$，满足 $T(0)=0$。

线性映射-矩阵论

Th 1.
V , W •‚5˜m, A ∈ L(V , W ), edimV = n, K dimNA + dimRA = dimV
y²µ ξ1 , ξ2 , . . . , ξr •NA Ä, r§*¿•V Äξ1 , ξ2 , . . . , ξr , ξr +1 , . . . , ξn . ØJy²A(ξr +1 ), A(ξr +2 ), . . . , A(ξn )´RA Ä. dimNA + dimRA = r + (n − r ) = dimV
A(ξj ) = (η1 , η2 , . . . , ηm )αj (j = 1, 2, . . . , n) Ù¥, αj = (a1j , a2j , . . . , amj )T ∈ F m , K¡m × nÝ 5N A3ù Äe Ý . A = (α1 , α2 , . . . , αn ) •‚
Jian-Biao Chen Mathematic and Computer Sciences SMU
Null spaces and ranges
Def 2.
V , W •‚5˜m, A ∈ L(V , W ), NA = {α | A(α) = 0, α ∈ V } RA = {A(α) | α ∈ V }
K¡NA •A "˜m(Null space), RA •A ”˜m(Range). w,, NA ´V
5 A ∈ L(V , W )Œ_⇐⇒ NA = {0}, …RA = W .
f˜m, RA ´W
f˜m.
Jian-Biao Chen
Mathematic and Computer Sciences SMU

矩阵论线性空间和线性映射

(1, 0, 0), (1,1, 0), (1,1,1)
与向量组
(0,1,1), (1, 0,1), (1,1, 0)
都是线性空间 R3 旳基底，R3是3维线性空间。
基底旳例子（续）
例2 实数域 R上旳线性空间 R22中旳向量组
0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 , 1 1 , 0 1 , 1 0
yn
于是有：
x1 y1
x2
P
y2
xn
yn
该式被称为坐标变换公式。
例1 在4维线性空间 R22 中，向量组
1
0 1
3
1 0
1 1
,
2
1 1
1 1
,
4
1 1
0 1 , 与向量组
1
1 0
1 0
,
3
1 1
0 0
,
2
1 0
1 0 ,
1 0
,
4
1 1
1 1
,
为其两组基，求从基 1,2 ,3,4 到基 1, 2, 3, 4 旳过渡矩
第一章
线性空间和线性映射
本章知识要点
❖ 线性空间：维数、基、坐标、基变换、坐标变换； ❖ 线性空间旳分解：子空间、值域(像空间)与核空间
(零空间)、秩与零度、子空间旳交、和与直和； ❖ 线性变换及其矩阵表达：定义、运算、值域与核空
间、秩与零度、相同类、特征值与特征向量、不变子空间、Jordan原则形; ❖ 欧氏空间和酉空间：内积、度量矩阵、正交、原则正交基、正交分解与正交补、正交变换与正交矩阵、对称变换与对称矩阵、Hermite变换与Hermite矩阵、正规矩阵与可对角化、谱分解。 ❖ Hibert空间：平方可积空间和平方可和空间。

线性映射(线性变换)的矩阵表示

证前面已证是到 Hom(V，W)到 F mn 的双射．现在来证明保
持加法与纯量乘法运算．任取,∈Hom(V，W)，设 ()=A, ()=B，
即 (1,,n ) (1,, m )A ， (1,, n ) (1,, m )B ，则
( )(1,,n ) (( )(1),,( )(n ))
在 V、W 中分别取定一个基{ j }、{i}以后，对于 V 到 W 的每一个线性映射σ，有唯一确定的 m×n 矩阵 A 与它对应．因此，这个对应给出了 Hom(V，W)到 F mn 的一个映射．设∈Hom(V，W)，
则 ()=B 是在基 { j } 和基 {i} 下的矩阵．若 B=A ，则
命题 7.3.1 设 1,,n 是 V 的一个基，1,, m 是 W 的一个基， ∈Hom(V，W)，且在基{ j }和基{i }下的矩阵为 A．又 α
∈V，设α在基{
j
}下的坐标为
x1
xn
，则
()
在基{i
}下的坐
标为
A
x1
xn
．
证我们有
() x1 (1) xn (n )
将此写成矩阵形式，并令σ( 1,2,,n )=( (1), (2 ),, (n ) )，则得
(1
,
,
n
)
(
1
,
,
m
)
a11 a 21
a1n a2n
，
(2)
am1 amn
其中矩阵 A= (aij )mn F mn ，叫做线性映射σ在 V 的基{ j }和 W 的基 {i }下的矩阵．
j
}下的坐标为
X=
x1
xn
，W

线性映射与其矩阵

§4 线性映射及定义域的一组基，则线性映射由基向量的象确定
线性映射的矩阵
分别取定定义域和值域的基，则线性映射与矩阵有着一一对应的关系
05:52
1
线性映射的定义
05:52
2
例子 4.1: 线性函数
定义
05:52
3
例子 4.2: 射影变换
05:52
15
例题 4.10
05:52
16
纯量变换的矩阵
05:52
17
命题 4.2 的证明
证明: 由命题4.1可以得到
05:52
back
18
命题 4.3的证明
证明: 定义如下映射另一方面, 由命题4.2可得唯一性.
05:52
back
19
proof
05:52
proof
10
线性映射的矩阵：分析把从向量空间V 到 V' 的所有线性映射的集合记为
当V'=V 时，线性变换的集合L(V,V')简记为L(V).
05:52
11
线性映射的矩阵
05:52
12
线性映射的矩阵：例题
05:52
13
线性映射的矩阵：例题
05:52
14
线性映射的矩阵：例题
05:52
4
例子 4.3: 平面上的旋转变换
写成映射的形式:
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5
例子 4.4 平面上的镜像变换等
(点 P 与它的像关于直线 y=x 对称)
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6
线性映射的基本性质
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7
线性映射的确定: 例子
05:52
8
线性映射的确定: 例子(2)

线性映射

一．线性映射上一节课研究了数域P 上线性空间的结构。

在许多数学问题和实际问题中起着重要作用的是线性空间到线性空间的映射，并且这些映射有一个共同点，即保持加法和数量乘法两种运算，我们称这样的映射为线性映射。

1.1线性映射的定义及其性质1.1.1 【定义】设1V 、2V 是数域P 的两个线性空间，σ是1V 到2V 的一个映射，如果对1V 中任意两个向量α，β和任意数k P ∈，都有()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=即能向量线性关系的不变性，则称σ是1V 到2V 的线性映射或线性算子。

上面两式所涉及到的加法和数量乘法是线性空间里边定义的加法和数量乘法。

与上一节说到的线性空间1V 到2V 的同构映射相比，线性映射比同构映射少了单映射和满映射这两条要求。

因此线性映射比同构映射更广泛。

线性空间1V 到2V 的线性映射也称为同态映射。

例1 将线性空间1V 中每一个向量映射成线性空间2V 中零向量的映射是一个线性映射，称为零映射，记为O ，即1(),V ααO =O ∀∈例2 线性空间V 到自身的恒等映射是一个线性映射，记为V ϕ，即(),V V ϕααα=∀∈例3 任意给定数k P ∈，数域P 上线性空间V 到自身的一个映射K (),k V ααα=∀∈是一个线性映射，称为V 上的由数决定的数乘映射。

例4 设σ是线性空间1V 到2V 的一个线性映射，定义1V 到2V 的映射1()()(),V σασαα-=-∀∈则σ-是线性空间1V 到2V 的线性映射，称为σ的负映射。

1.1.2【性质】设σ是线性空间1V 到2V 的线性映射，则（1）()σO =O ；（2）1()()(),V σασαα-=-∀∈；（3）线性映射保持线性组合与线性关系式不变，即若β是12,,,m αααL 的线性组合，且存在12,,,m k k k P ∈L ，有1122m m k k k βααα=+++L则经过线性映射σ之后，()σβ是12(),(),()m σασασαL 同样的线性组合：11221122()()()()m m m m k k k k k k σααασασασα+++=++L L（4）如果12,,,m αααL 是1V 的一组线性相关向量，则12(),(),()m σασασαL 是2V 中的一组线性相关的向量；并且当且仅当σ是一一映射时，1V 中线性无关向量组的像是2V 中的线性无关向量组。

§5.4 线性映射及其矩阵

y = r sin θ , 于是 x x cos ϕ − y sin ϕ T = y x sin ϕ + y cos ϕ
r cosθ cos ϕ − r sin θ sin ϕ r cos(θ + ϕ ) = = , r cosθ sin ϕ + r sin θ cos ϕ r sin(θ + ϕ )
a 11 a 12 a1n a 2n a 21 a 22 即 :向量组 β 1 , L , β n可表示为如下列向量 : L , L , L , L a a a mn m1 m2
一个基 α 1 , L , α n 如果这个基在线性变换
T (α 1 ) = a11α 1 + a 21α 2 + L + a n 1α n , T (α ) = a α + a α + L + a α , 2 12 1 22 2 n2 n LLLLLLLLLLL T (α n ) = a1 nα 1 + a 2 nα 2 + L + a nnα n ,
T ( k r1 ) = (0, ky1 , kz1 )= k (0, y1 , z1 ) = kT (r1 ).
∴ T为一个线性映射 .
中的恒等变换（或称单位变换）例3 线性空间 V 中的恒等变换（或称单位变换） E ： E (α ) = α , α ∈ V . 是线性变换．是线性变换．证明设 α , β ∈ V
证明: 证明: 1.由于 T ( r )被向量 r在基 ε 1 , ε 2 , ε 3下的坐标唯一确定 ,因此 T是一个映射 .

5.4 线性映射与其矩阵

proof proof
10
线性映射的矩阵：分析
把从向量空间V 到 V' 的所有线性映射的集合记为
当V'=V 时，线性变换的集合L(V,V')简记为L(V).
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11
线性映射的矩阵
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12
线性映射的矩阵：例题
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13
线性映射的矩阵：例题
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线性映射的矩阵：例题
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例子 4.3: 平面上的旋转变换
写成映射的形式:
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例子 4.4 平面上的镜像变换等
(点 P 与它的像关于直线 y=x 对称)
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6
线性映射的基本性质
16:577ຫໍສະໝຸດ 线性映射的确定: 例子16:57
8
线性映射的确定: 例子(2)
所以
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9
线性映射的确定: 理论结果
16:57
§4 线性映射及其矩阵
线性映射的定义
若干例子
线性映射的确定
取定定义域的一组基，则线性映射由基向量的象确定
线性映射的矩阵
分别取定定义域和值域的基，则线性映射与矩阵有着一一对应的关系
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1
线性映射的定义
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2
例子 4.1: 线性函数
定义
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3
例子 4.2: 射影变换
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4
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例题 4.10
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16
纯量变换的矩阵
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命题 4.2 的证明
证明: 由命题4.1可以得到
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back

线性映射与矩阵的相似变换

线性映射与矩阵的相似变换线性映射与矩阵的相似变换是线性代数中的重要概念，它们在数学、物理、计算机科学等领域中具有广泛的应用。

本文将介绍线性映射的基本概念以及与矩阵的相似变换的关系。

一、线性映射的定义与性质线性映射是指保持向量加法和标量乘法的映射。

设V和W是两个向量空间，若对于V中任意的向量x和y，以及任意的标量a和b，满足映射f(ax+by)=af(x)+bf(y)，则称f为从V到W的线性映射。

线性映射具有以下几个基本性质：1. 线性映射将零向量映射为零向量：f(0)=0。

2. 线性映射将向量的负向量映射为相反数：f(-x)=-f(x)。

3. 线性映射保持向量的线性组合：f(ax+by)=af(x)+bf(y)。

二、线性映射与矩阵的相似变换矩阵是线性映射的一种常用表示方式。

给定线性映射f: V -> W，可以选择适当的基底，将其表示为矩阵A。

具体而言，假设V的维度为n，W的维度为m，选择V和W的基底，分别为{v1, v2, ..., vn}和{w1,w2, ..., wm}，则线性映射f可以表示为一个m×n的矩阵A，其中A的第i列表示f(vi)在{w1, w2, ..., wm}基底下的坐标。

与线性映射相对应，矩阵的相似变换是指给定矩阵A，在不同基底下的表示可以通过相似变换转换得到。

设P是一个可逆矩阵，若存在可逆矩阵Q，使得Q^{-1}AQ=P^{-1}AP=B，我们称矩阵B与A相似。

相似矩阵具有相同的特征值和特征向量，因此相似变换在矩阵的特征值、对角化以及求解线性方程组等问题中有重要应用。

三、线性映射与矩阵的相似变换的关系线性映射与矩阵的相似变换之间存在着紧密的联系。

具体而言，给定线性映射f和对应的矩阵表示A，假设存在可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=D，其中D是对角矩阵。

我们将D的非零元素按照从上到下的顺序排列，得到一个列向量λ=(λ1, λ2, ..., λn)，其中λi是D的对角元素。

5.5 线性映射及矩阵的运算

则有根据矩阵与线性映射的对应关系, 可以导出矩阵的乘法也满足结合律.
命题5.2 矩阵的乘法满足结合律. 具体地说, 设
则
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18
关于交换律与消去律
1）因为映射的乘法不满足交换律, 矩阵的乘法也不满足交换律.
2）两个非零的矩阵的乘积可能是零矩阵. 因此, 矩阵的乘法不满足消去律. 例如，设
§5 线性映射及其矩阵的运算
线性映射与矩阵的加法运算线性映射与矩阵的数乘运算线性映射与矩阵的乘法运算
乘法满足分配律、结合律，但不满足交换律
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1
线性映射与矩阵的加法运算
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2
矩阵的加法运算
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3
线性映射与矩阵加法的基本性质
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4
线性映射的数乘运算
基本性质:
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线性映射矩阵的乘法分配律
1) 左分配律: 2) 右分配律: 证明：只证明线性映射的右分配律.
则有
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矩阵转置的运算
有
证明：只验证第三条性质.
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其它
方阵的乘幂：
方阵的乘幂满足指数运算法则：
标量矩阵的基本性质
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引进记号
则线性方程组可以表示成
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几点说明(2)
2) 线性映射的坐标表示.
事实上，
则有由坐标的唯一性
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几点说明（3）
形式表示：为了叙述方便，通常把线性组合写成 “矩阵乘积”的形式，比如
比较（1）与（2）得到
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17
乘法结合律

5.4 线性映射与其矩阵

线性代数应该这样学5：线性映射的矩阵、可逆与同构。

考研数学重要知识点解析线性代数

高中数学知识点总结线性方程组与矩阵运算

高等代数-线性映射

高等代数的笔记杂记——关于线性映射的一些理解

5.3 线性映射的矩阵与矩阵的乘法

矩阵分析 第一章 线性空间和线性映射

线性映射的矩阵与矩阵的乘法

线性代数中的线性空间和线性映射

线性映射-矩阵论

矩阵论线性空间和线性映射

线性映射(线性变换)的矩阵表示

线性映射与其矩阵

线性映射

§5.4 线性映射及其矩阵

5.4 线性映射与其矩阵

线性映射与矩阵的相似变换

5.5 线性映射及矩阵的运算

矩阵分析第一章线性空间和线性映射