导数与三次函数的关系

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应用导数研究三次函数课件

3a 3a
知识点2 切线条数切点的个数
数学思想方法数形结合，特殊与一般，化归转化
思考
一般情形的证明
对于对称问题，在函数中讲到了很多，你能用所学知识证明一般三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0) 的对称中心是 ( b , f ( b ))的这个结论吗？
3a 3a
g(x) x3 3x2 2x 1 (1,1)
x y20
过对称中心的切线只有1条
上下区域 1条
左右区域 3条
切线上（除对称中心） 2条
曲线上（除对称中心） 2条
一般情形
小结
知识点1 对称中心
三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同. ( b , f ( b ))
应用导数研究三次函数
图像的对称性及切线条数
湖北省黄冈中学袁小幼
函数 y x3图像的对称性
函数 y 的x3图像关于（0，0）对称.
三次函数的图像有唯一的对称中心，对称中心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.
一般三次函数图像的对称性
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)图像的对称中心是什么?
f (x) 3ax2 2bx c 3a(x b )2 c b2
3a
3a
( b , f ( b )) 3a 3a
三次函数在对称中心处的切线
函数 g(x) x3 3x2 2x 1 过对称中心 (1,数图像切线条数的探究
同样的，你能证明切线条数的一般性结论吗？
谢谢！

4导数研究三次函数的性质

4导数研究三次函数的性质复习目标：掌握三次函数的图象和性质，尤其是利用导数研究单调性、极值情况，以及三次函数的零点。

复习重点难点：（1）三次函数的图象的四种情况；（2）三次函数的极值情况；【典型例题】题型一：三次函数单调性的讨论例1．已知函数32()2f x ax x x =++在R 上恒为增函数，求实数a 的取值范围.例2．已知函数f (x )=-x 3＋3x 2＋9x ＋a ,（I ）求f (x )的单调递减区间；（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．题型二：三次函数极值，最值的讨论例3. 已知a 是实数，函数2()()f x x x a =-；（1）若'(1)3f =，求a 的值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()f x 在区间[]2,0上的最大值．例4．已知函数()f x 的导数2()33,f x x ax '=-(0).f b =,a b 为实数，12a <<.（1）若()f x 在区间[1, 1]-上的最小值、最大值分别为2-、1，求a 、b 的值；（2）设函数2()(()61)x F x f x x e '=++⋅，试判断函数()F x 的极值点个数．【课后作业】1.过曲线y ＝x 3+x-2上的点P 0的切线平行于直线y ＝4x-1,则切点P 0的坐标为2．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )．若函数f (x )＝a·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．3．函数f (x )=x 3＋x 2－x 在区间［－2，1］上的最大值和最小值分别是4.已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为5．设函数b x a ax x x f +-+-=2233231)( (0<a <1)． (1)求函数)(x f 的单调区间； (2)当x ∈[]2,1++a a 时，不等式|()x f/ |≤a ，求a 的取值范围．6.已知函数3221()21(0)32a f x x x a x a =--+> （1）求函数()f x 的极值；（2）若函数()y f x =的图象与值线0y =恰有三个交点，求实数a 的取值范围；（3）已知不等式2'()1f x x x <-+对任意(1,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围.7.已知函数()()a x x f -=2()x b -,b a ,为常数,(1)若a b ≠,求证:函数()x f 存在极大值和极小值(2)设()x f 取得极大值、极小值时自变量分别为12,x x ,令点A 11(,()x f x ),B 22(,()x f x ),若a >b ，直线AB 的斜率为12-,求函数()x f 和/()f x 的公共递减区间的长度.答案：【典型例题】1． 61≥a . 2．（I ） 0)(,963)(2<'++-='x f x x x f 令，解得x <－1或x >3所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II ）)}2(),2(max{)(,5)1()(,3212m ax m in f f x f a f x f -=+-=-=∴<<-<-)2()2(,22)2(,2)2(->∴+=+=-f f a f a f 于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝－7，即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．3. 解析：（1）2'()32f x x ax =-．因为'(1)323f a =-=，所以0a =．又当0a =时，(1)1,'(1)3f f ==，所以曲线()(1,(1))y f x f =在处的切线方程为3x y --2=0．（2）令'()0f x =，解得1220,3a x x ==．当203a ≤，即a ≤0时，()f x 在[0，2]上单调递增，从而max (2)84f f a ==-．当223a ≥时，即a ≥3时，()f x 在[0，2]上单调递减，从而max (0)0f f ==．当2023a <<，即03a <<，()f x 在20,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，从而max 84,0 2.0,2 3.a a f a -<≤⎧⎪=⎨<<⎪⎩综上所述，max 84, 2.0, 2.a a f a -≤⎧⎪=⎨>⎪⎩4.解（Ⅰ）由已知得，323()2f x x ax b =-+；由()0f x '=，得10x =，2x a =． ∵[1, 1]x ∈-，12a <<，∴ 当[1, 0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 递增；当(0, 1]x ∈时，()0f x '<，()f x 递减．∴ ()f x 在区间[1, 1]-上的最大值为(0)f b =，∴1b =．又33(1)11222f a a =-+=-，33(1)1122f a a -=--+=-，∴ (1)(1)f f -<．由题意得(1)2f -=-，即322a -=-，得43a =．故43a =，1b =为所求．（Ⅱ） 2222()(3361)33(2)1x x F x x ax x e x a x e ⎡⎤=-++⋅=--+⋅⎣⎦． ∴ []222()63(2)233(2)1x x F x x a e x a x e '⎡⎤=--⋅+--+⋅⎣⎦22[66(3)83]x x a x a e =--+-⋅．二次函数266(3)83y x a x a =--+-的判别式为22236(3)24(83)12(31211)123(2)1a a a a a ⎡⎤∆=---=-+=--⎣⎦，令0∆≤，得：21(2),22333a a -≤-≤≤+令0∆>，得2,233a a <->+或 ∵20x e >，12a <<，∴当22a ≤<时，()0F x '≥，函数()F x 为单调递增，极值点个数为0；当12a <<()0F x '=有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数()F x 有两个极值点．【课后作业】1.(1,0)或(-1,-4)2.解：f (x )＝a·b ＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，……4分∴f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t . …………7分∵f (x )在(－1,1)上是增函数，∴－3x 2＋2x ＋t ≥0在x ∈(－1,1)上恒成立．∴t ≥3x 2－2x ， ……………11分令g (x )＝3x 2－2x ，x ∈(－1,1)．∴g (x )∈⎣⎡⎭⎫－13，5，∴t ≥5. ……………15分3． f (x )max =1,f (x )min =－2。

导数在三次函数中的应用

导数在三次函数中的应用
欢迎来到三次函数与导数的世界！
首先，让我们来探讨一下什么是三次函数。

三次函数是一种把一个变量x关于另一个变量y的函数，其具体形式为：y=ax^3+bx^2+cx+d，其中a、b、c、d为实数，a不等于0。

大部分三次函数可以给出一个三次曲线，比如抛物线、弓形线等。

其次，让我们来讨论它的导数的概念。

在数学中，导数是表示函数变化率的量，也是函数的增量与x轴距离之比，也就是函数的斜率。

在三次函数中，它的一阶导数为：
y'=3ax^2+2bx+c；2阶导数为：y''=6ax+2b；3阶导数为：y'''=6a。

最后，让我们来讨论三次函数和导数在应用中的作用。

三次函数可以用来表示许多实际应用中的几何和物理运动,比如抛物线在射击中的运动，弓形线在心脏收缩的过程中的运动等。

三次函数的导数可以应用到各种数学和物理问题上，例如求一阶和二阶导数，可以用它来求抛物线的加速度、弓形线的加速度等等。

此外，可以用它来求解一些复杂的数学问题，比如求函数的极值，微分方程的积分等。

总而言之，三次函数和导数有着多功能的应用，它们可以用来解决许多数学和物理问题，并且有助于我们解决复杂的问题。

数学中的三次函数和导数是一个很重要的概念，并且可以应用到几乎任何物理问题之上。

三次函数的极值等价于期导数的△值大于零

为什么求三次函数的极值时，只需要先求导数，导数的△值大于零即可，为什么不能是大于等于零？
答：设f(x)是三次函数，则f(x)是（-∞,+∞)内的可导函数，其极值必在驻点处取到；
因为f'(x)是二次函数，所以f(x)的驻点至多只有两个；
如果f'(x)的判别式（或方程f'(x)=0的判别式）大于零，那么函数f'(x)的图像（抛物线）与x轴有且仅有两个不同的交点(横坐标分
别为x=x1,x=x2，不妨设x1<x2)，且可知f'(x)在（-∞,x1),(x2,+∞)内的符号与在（x1,x2)内的符号是相反的，因此x=x1,x=x2中恰有一个极大值点和一个极小值点。

而当f'(x)的判别式（或方程f'(x)=0的判别式）等于零时，函数的驻点（可能的极值点）有且只有一个（记为x=x0)，此时函数f'(x) 的图像（抛物线）与x轴相切(切点的横坐标为x=x0)，可知f'(x)在（-∞,x0)与(x0,+∞)内的符号是相同的，所以x=x0不是极值点；因此当f'(x)的判别式（或方程f'(x)=0的判别式）等于零时，函数f(x)无极值。

所谓最值,数学上的定义为在一个区间内,在某一点的值,都不大于或者不小于其他所有点的值,就成为它为一个最小（大）值点.
所谓极值,数学上的定义为在一个区间内,在它这个点的左右侧分别大于或者小于这个点的值,那么这个点就是一个极点.
不难看出：最值只要是有一个区间,就一定有,但是极值,假如单调递增,单调递减就没有.
PS：有些人喜欢犯错误,觉得极点是导数为0的点,但是这种说法错误,比如y=x^3,x＝0,不是它的极点,可以通过以上的描述性的定义来
确定这个关系。

如何用导数解一元三次方程

如何用导数解一元三次方程导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

导数是函数的局部性质。

一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。

如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

那么，问题来了，如何用导数解一元三次方程 ?你了解吗?如何用导数解一元三次方程一元三次方程求解[导数+牛顿迭代法]题目描述有形如：ax3+bx2+cx+d=0 这样的一个一元三次方程。

给出该方程中各项的系数(a，b，c，d 均为实数)，并约定该方程存在三个不同实根(根的范围在-100至100之间)，且根与根之差的绝对值>=1。

要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后2位。

提示：记方程f(x)=0，若存在2个数x1和x2，且x1输入输出格式输入格式：一行，4个实数A，B，C，D。

输出格式：一行，三个实根，并精确到小数点后2位。

输入输出样例输入样例#1：1 -5 -4 20输出样例#1：-2.00 2.00 5.00怎麼用导数的思想判断一个一元三次方程方程有几个不同解：一元三次方程通过求导得到一个一元二次方程.一般可解得两个值.这两个值就是原方程的极值.根据这极值的符号情况可判定原方程有几个根.如果两极值异号,则原方程将会三次穿过X轴,那就是原方程有三个根.如果两极值同号,则原方程将只有一次穿过X轴,那就是原方程只有一个根.。

导数与三次函数的关系

导数计算方法
通过乘法法则和链式法则，将原函数进行求导，得到导数表达式。
注意事项
在计算过程中，需要注意各项的系数和变量的指数变化。
三次函数导数的性质
单调性
通过导数的符号判断函数的单调性，若导数大于0，函数单调递增；若导数小于0，函数单调递减。
极值点
导数为0的点称为临界点或驻点，是函数值可能发生变化的点，即极值点。
数学教育改革
在数学教育领域，如何更好地教授导数与三次函数的关系，将直接影响学生理解和应用数学的能力。
未来研究方向
对于导数与三次函数关系的深入研究，将推动数学理论和应用的不断发展，为解决复杂问题提供更多有效工具。
THANKS
谢谢
凹凸性
通过求二阶导数判断函数的凹凸性，二阶导数大于0，函数为凹函数；二阶导数小于0，函数为凸函数。
三次函数导数的几何意义
切线斜率
导数在某一点的值表示该点处切线的斜率。
函数变化率
导数表示函数在某一点附近的变化率，即函数值增量与自变量增量的比值。
单调区间
通过导数的符号变化，可以确定函数的单调区间。
优化问题求解
导数在优化问题中扮演关键角色，如最大值和最小值问题，通过求导可以找到使函数取得极值的点。
近似计算
在科学、工程和经济学中，经常需要估算函数的近似值，导数有助于更精确地估计这些值。
导数与三次函数关系在数学中的地位
连接初等与高等数学
导数与三次函数的关系是初等数学与高等数学之间的桥梁，帮助学习者逐
VS
极值判断
在找到极值点后，我们可以进一步判断这些点是极大值还是极小值。如果函数在极值点左侧递增，右侧递减，则该点为极大值；如果函数在极值点左侧递减，右侧递增，则该点为极小值。

三次函数的导数与导函数

三次函数的导数与导函数引言三次函数是指次数为3的多项式函数，其一般形式为 f(x) =ax^3 + bx^2 + cx + d。

在本文中，将讨论三次函数的导数与导函数。

导数的定义导数是函数在某一点处的变化率。

对于三次函数 f(x) = ax^3 +bx^2 + cx + d，其导数可以通过求函数的微分得到。

微分就是对函数进行局部线性近似，即求切线的斜率。

三次函数的导数计算根据导数的定义，可以使用微分的方法求出三次函数的导数。

首先，对三次函数 f(x) 进行微分得到 f'(x)。

然后求导数的公式为f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c。

导函数的意义导函数是三次函数的导数，它描述了函数在不同点的变化率。

导函数的图像可以反映出原函数的整体趋势。

导函数的图像特点根据导函数的公式 f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c，可以得到以下结论：- 如果 a>0，那么导函数是向上开口的抛物线；- 如果 a<0，那么导函数是向下开口的抛物线；- b 的值决定了导函数的平移与压缩；- c 的值决定了导函数的上下偏移。

导函数与原函数的关系根据导函数与原函数的关系，可以推导出以下结论：- 如果三次函数 f(x) 在某一点处的导数为0，那么该点是函数的极值点；- 如果三次函数 f(x) 的导函数恒为正，那么原函数是递增的；- 如果三次函数 f(x) 的导函数恒为负，那么原函数是递减的。

结论本文介绍了三次函数的导数与导函数的概念，并讨论了它们的计算方法、图像特点以及与原函数的关系。

对于进一步理解三次函数及其特性具有一定的参考价值。

> 注意：本文所述内容仅为概念介绍，具体应用时请结合实际情况进行分析和计算。

利用导数处理三次多项式函数中的问题

①当a=0时，g(x)=-(x-1)2，此时g(x)与x轴只有一个交点.
②当a<0时， >0 <x<1； <0 或x>1，
∴g(x)极大值为g(1)=- >0，
g(x)极小值为g( )= Байду номын сангаас0.
∴当a<0时，g(x)的图像与x轴有三个不同的交点.
如图3.4—21.
③当0<a 1时， <0 <x<1； >0 或x>1，
(注： =0在x M是否有解，应由的具体的解析式而定)
例3.已知函数f(x)=x3-ax2+(3-2a)x+b在为增函数，求a的最大整数值.
解:∵f(x)为(0，+ )上的增函数，∴ =3x2-2ax+3-2a 0，对x>0恒成立，
只需a min.∵ =
.当且仅当x= 时取等号.∴ min= .
则a 1.242.∴满足条件的a的最大整数值为1.
说明:
(1)当函数f(x)在x=x0处的导数值等于零，则称x=x0f(x)的一个驻点.
(2)当a<0时，可类似研究f(x)=ax3+bx2+cx+d与其导函数 =3ax2+2bx+c的关系.
例1.已知函数f(x)=ax3+2x2+ax+1(a 0)的图像上存在极值点，则a的取值范围.
解:由 =3ax2+4x+a与f(x)的图像的关系知，f(x)的图像上存在极值点对应着的判别式
g(x)的极大值为g(1)=- <0，
g(x)极小值为g( )= >0.
∴当0<a≤1时，g(x)的图像与x轴只有一个交点图3.4—22.

运用导数解决三次函数问题

运用导数解决三次函数问题作者：陈志国来源：《理科考试研究·高中》2014年第01期三次函数及其相关的问题，近年来在各级各类考查试卷中经常出现，其中大部分题型都可利用导数法来求解.本文介绍几种常见类型的求解方法，供参考.一、三次函数的切线例1 已知函数f（x）=x3-x+2，试求过点P（1，2）的曲线y=f（x）的切线方程.解析设切点P0（x0，y0），由f ′（x）=3x2-1，则f ′（x0）=3x20-1，过点P0的方程为y-y0=f ′（x0）（x-x0），即y-（x30-x0+2）=（3x20-1）（x-x0）. 又切线过点P（1，2），则2-（x30-x0+2）=（3x20-1）（1-x0），分解因式得（x0-1）2（2x0+1）=0，解之得x0=1或x0=-12.则f ′（-12）=-14，f ′（1）=2.故所求的切线方程为y-2=-14（x-1）和y-2=2 （x-1）.二、三次函数的单调性例2 已知函数f（x）=x3-ax+b，①若f（x）在实数集R上单调递增，求a的取值范围；②若f（x）在（-1，1）上单调递减，求a的取值范围.解析f ′（x）=3x2-a.①依题意，有3x2-a>0在R上恒成立，即a三、三次函数的极值例3 已知函数f（x）=13x3+12ax2+2bx+c，若当x ∈（0，1）时，f（x）取得极大值；x ∈（1，2）时，f（x）取得极小值；求b-2a-1的取值范围.解析f ′（x）=x2+ax+2b，令f ′（x）=0，由题意知，上述方程应满足：一根在（0，1）内，另一根在（1，2）内.由y=f ′（x）的图象知f ′（0）>0，f ′（1）f ′（2）>0b>0，a+2b+1a+b+2>0.图1在aOb坐标系中作出上述区域（如图1所示）.而b-2a-1的几何意义是：过两点P （a，b）与D（1，2）的直线斜率.而P（a，b）在区域内，由a+2b+1=0，a+b+2=0得A（-3，1），由b=0，a+b+2=0得B（-2，0），由b=0，a+2b+1=0得C（-1，0）.由图知kDA四、三次方程根的判定例4 设a∈R，试讨论关于x的三次方程x3-3x2-a=0有相异实根的个数.解析将方程变形为x3-3x2=a（*），令y= f（x）=x3-3x2，则y′=3x（x-2），令y′=0得x=0或x=2.当x∈（-∞，0）时，y′>0；图2当x∈（0，2）时，y′当x∈（2，+∞）时，y′>0.故f（x）的极大值是f（0）=0，极小值是f（2）=-4.于是函数y=f（x）=x3-3x2的大致图象如图2.因为方程（*）的相异实根的个数，是y= f（x）的图象和直线y=a的交点的个数，所以相异实根个数为：（1）当a0时，有1个；（2）当a=-4或a=0时，有2个；（3）当-4五、与三次函数有关的应用题例5 某工厂生产某种产品，已知该产品月产量x（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间的关系为P=24200-15x2，且生产x吨的成本为R=50000+200x元，问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？解析每月生产x吨时的利润为f（x）= （24200-15x2）x-（50000+200x）=-15x3+24000 x-50000（x≥0）. 由f ′（x）=-35x2+24000=0解得x1=200， x2=-200（舍去）.因f（x）在[0，+∞）内只有一个极值点x=200，且x∈（0，200）时，f ′（x） >0，x∈（200，+∞）时，f ′（x）六、与三次函数有关的不等式问题例6 已知函数f（x）=x3+ax+b定义在区间[0，1]上，且f（0）=f（1），若x1，x2∈[0，1]，求证：|f（x1）-f（x2）|解析由f（0）=f（1），得1+a+b=ba=-1，所以f（x）=x3-x+b.f ′（x）=3x2-1，令f ′（x）=3x2-1=0，得x=±33.又x∈[0，1]，而x∈（0，33）时，f ′（x） 0.所以当x=33时，f （x）有最小值f（33）=b-239.又当x=0或1时，f（x）取最大值b.故|f（x1）-f（x2）|≤[f （x）]max- [f（x）]min=239。

导数在三次函数中的运用

f '(x)
f '(x)
f '(x)
o
x
3k 0 0
k 1
o
不符合题意
k 1
导数在三次函数中的运用
例3 函数 f (x) kx3 3x2 3x 1(k 0) 在R上是增函数,
求实数k的取值范围.
分析 f (x) 3kx2 6x 3
Q k 0, f (x)图象是一条过定点(0,3)的抛物线
极值点个
数
单调性
a>0
Δ>0
Δ≤0
a<0
Δ>0
Δ≤0
2
0
2
0
在(, x1),(x2, )上
在(, x1),(x2, )上
是增函数;
在R上是是减函数;
在R上是
在 (x1, x2)上是减增函数在 (x1, x2)上是增减函数
函数
函数
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)
其导数为f´(x)=3ax2+2bx+c(a≠0)
分析 (1) f (x) 3x2 3，令 f (x) 0,得x=±1. f(x)随x变化：
(2)f(0)=0,f(3)=18, 则f(x)min=-2，f(x)max=18
导数在三次函数中的运用
例1 已知函数 f (x) x3 3x, x R
变式一二若关于xx的的不方等程式f f(x(x) )ak有在3[个0互,3不]上相恒等成的立实，
根，求求实实数数ak的取值范围。
分析 (1) f (x) 3x2 3，令 f (x) 0,得x=±1. f(x)随x变化：
(2)f(0)=0,f(3)=18, 则f(x)min=-2，f(x)max=18

运用导数解决三次函数问题教学设计

课题：运用导数解决三次函数问题（教案）一．教学目标引导学生归纳反思运用导数工具研究三次函数的有关问题，进一步体会导数在研究函数性质中的重要作用。

二、教学重点：运用导数工具认识三次函数图像及与其有关的切线、极值等有关问题三、教学难点：灵活解决三次函数中含参数以及与坐标轴的交点问题。

课前准备：学生阅读教材并完成本节学案四、教学过程：引例1：画一画：如何画出下面函数函数的图像133123+--=x x x y 动画演示：（几何画板）（一）想一想:三次函数与其导函数图象之间的关系a>0 a<0 f′(x )= 3ax 2+ 2bx+c 判判别式△>0 △=0 △<0 △>0 △=0 △<0 图图象f (x )=ax 3+bx 2+cx +d单单调性图图象引例2：练一练：方程x 3－6x 2+9x －10=0的实根个数是（二）探一探：三次函数图像与x 轴交点有哪几种可能性？回顾三次函数的图像情况：结论：1. 三次函数没有极值或极大值小于零或极小值大于零时图像与x 轴交点只有一个；2. 三次函数极大值等于零或极小值等于零时图像与x 轴交点有二个；3. 三次函数极大值大于零且极小值小于零时图像与x 轴交点有三个.（三）与三次函数有关问题：例1：（2009北京文）设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点))2(,2(f 处与直线8y =相切，求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）()'233f x x a =-,∵曲线()y f x =在点))2(,2(f 处与直线8y =相切，∴()()()'203404,24.86828f a a b a b f ⎧=-=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-+==⎪⎩⎪⎩⎩ （Ⅱ）∵()()()'230f x x aa =-≠, 当0a <时，()'0f x >，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，此时函数()f x 没有极值点.当0a >时，由()'0f x x =⇒=当(,x ∈-∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，当(x ∈时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当)x ∈+∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，∴此时x =()f x的极大值点，x =()f x 的极小值点.小结1：（1）切线问题处理（2）单调性、极值问题例2：设函数329()62f x x x x a =-+-,若方程 f (x )=0 有且仅有一个实根，求 a 取值范围．解：'2()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--, 因为当1x <时, '()0f x >;当12x <<时, '()0f x <;当2x >时, '()0f x >; 所以当1x =时,()f x 取极大值 5(1)2f a =-; 当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-;故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或52a >. 变式：(1）若方程 f (x )=0 有三个不同的实根，求 a 的取值范围（2）若函数y=f (x )图象与直线y =4 有三个不同的实根，求 a 的取值范围（3）设函数 g (x )=2x+b-a .若f (x )、g (x )图像只有一个公共点，求b 的取值范围.小结2：方程根的情况与相应函数图像与x 轴交点之间的关系。

用导数法解三次函数问题

导数法解“三次”函数问题新教材中导数内容的介入，为研究函数的性质提供了新的活力，通过求导可以研究函数的单调性和极值，其操作的步骤学生易掌握，判别的方法也不难。

特别地，当f(x)为三次函数时，通过求导得到的f /(x)为二次函数，且原函数的极值点就是二次函数的零点；同时利用导数的几何意义：曲线在某一点P （00,y x ）处的切线的斜率)(0/x f k =，可得到斜率 k 为关于0x 的二次函数。

根据这些特点，一般三次函数问题，往往可通过求导，转化为二次函数或二次方程问题，然后结合导数的基本知识及二次函数的性质来解决。

下面笔者从课堂或试卷上出现的这一类型题目中选择几例，同时结合学生产生的问题，略作说明。

例1：已知f(x)=d cx bx x +++23在（—∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f(x)=0有三个根，它们分别为α、2、β.（1）求c 的值；（2）求证：f(1)≥2（3）求｜α-β｜的取值范围。

解：（1）,23)(2/c bx x x f ++=由题意可得：x=0为f(x)的极值点，∴0,0)0(/=∴=c f（2）令023)(2/=+=bx x x f ，得32,021b x x -== ∵f(x)在（—∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数， ∴232≥-b ，即3-≤b 又∵b d d b f 48,048,0)2(--=∴=++∴=∴.2371)1(≥--=++=b d b f（3）∵方程f(x)=0有三个根α、2、β.∴设),)(2()(223n mx x x d cx bx x x f ++-=+++= 由待定系数法得2,2d n b m -=+= ∴α、β为方程02)2(2=-++d x b x 的两根， ∴ α+β=-（b+2），αβ=-d/2；∴｜α-β｜2=16)2(1242)2(222--=--=++b b b d b∵3-≤b ，∴｜α-β｜2≥9，∴｜α-β｜ ≥3一般地，若已知三次函数f(x)=)0(23>+++a d cx bx ax 在（—∞，m ）上是增函数，在[m ，n]上是减函数，在（n,+∞）上是增函数,则二次方程f /(x)=0即0232=++c bx ax 的两个根为m ，n ；且当),(),(+∞⋃-∞∈n m x 时f /(x)>0，当),(n m x ∈时f /(x)<0，反之亦然。

三次函数的导数问题

三次函数的导数问题在微积分学中，导数被用于研究函数的变化率。

在下面的文章中，我们将研究三次函数的导数问题。

三次函数的定义三次函数是指具有一次、二次和三次项的函数，可以表示为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d其中a、b、c和d是常数。

三次函数的图像通常是一个“S”形的曲线，其形状取决于函数的系数。

具体来说，当a>0时，曲线呈现“下凸”，当a<0时，曲线则呈现“上凸”。

三次函数的导数三次函数的导数通常表示为f'(x)，它是指在某个点x处的切线斜率，也是函数在该点处的变化率。

为了求出三次函数的导数，我们可以使用微积分理论中的求导法则。

具体来说，我们需要求出三次函数的每一项的导数，然后将它们相加。

因此，三次函数的导数可以表示为：f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c其中3a、2b和c是三次函数的一次导数项的系数。

三次函数的导数图像三次函数的导数图像通常是一个二次函数，并且其形状与三次函数本身的形状有很大的关系。

当三次函数的a>0时，它的导数图像呈现“上凸”的U形；当a<0时，导数图像则呈现“下凸”的n形。

如果三次函数有其导数为0的点，则该点是函数的临界点，也是函数的最值点之一。

应用三次函数的导数在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，三次函数可以用来描述物体的加速度变化；在经济学中，三次函数可以用来描述收入和消费之间的关系；在工程学中，三次函数可以用来描述材料的强度和韧性之间的关系等等。

结论通过本文，我们学习了三次函数的导数问题。

我们发现，三次函数的导数是函数变化率的表示，它可以帮助我们更好地理解和使用这些函数。

同时，我们也了解到了三次函数和导数图像的形状及其应用。

tan三次方x的导数

tan三次方x的导数要求求解tan(x)的三次方导数，就是求出[tan(x)]^3关于x的导数。

为了求解这个问题，我们需要使用一些基本的导数公式和三次方函数的求导规则。

首先，我们可以回忆一下tan(x)的导数公式，即d/dx tan(x) = sec^2(x) （其中sec(x)表示secant(x)）然后，我们可以使用链式法则来求解[tan(x)]^3的导数。

根据链式法则，如果我们有一个外部函数f(g(x))，那么它的导数可以通过以下公式计算：d/dx f(g(x)) = f'(g(x)) * g'(x)在这种情况下，外部函数是f(x) = x^3，内部函数是g(x) = tan(x)。

首先，我们需要计算内部函数的导数g'(x)，然后再计算外部函数的导数f'(g(x))。

1. 计算g'(x)：由于g(x) = tan(x)，我们可以使用之前提到的tan(x)的导数公式，即d/dx tan(x) = sec^2(x)那么，g'(x) = sec^2(x)2. 计算f'(g(x))：由于f(x) = x^3，那么f'(x) = 3x^2。

由于我们的内部函数是g(x) = tan(x)，我们需要将f'(x)替换为f'(g(x))，即将x替换为g(x)：f'(g(x)) = 3[g(x)]^2 = 3[tan(x)]^2接下来，我们将以上的计算结果放入链式法则中：d/dx [tan(x)]^3 = f'(g(x)) * g'(x)= 3[tan(x)]^2 * sec^2(x)最终得到[tan(x)]^3的导数为3[tan(x)]^2 * sec^2(x)。

在解题过程中，我们使用了tan(x)的导数公式和链式法则。

这些是基本的导数规则，对于求解各种函数的导数都非常重要。

另外，我们也复习了关于tan(x)和sec(x)的定义，这些定义在求导过程中也经常会出现。

导数与函数的三次样条插值

导数与函数的三次样条插值一、导数的定义与性质导数是微积分中的重要概念，用于描述函数的变化率。

对于函数f(x)，其导数表示为f'(x)，定义如下：f'(x) = lim[(f(x+h) - f(x))/h]，其中h趋近于0。

导数具有以下性质：1. 可微性：如果函数在某一点处可导，则必然在该点连续。

2. 右导数和左导数：函数在某一点处的导数，可以分为右导数和左导数。

右导数表示函数从右侧逼近该点时的导数值，左导数表示函数从左侧逼近该点时的导数值。

3. 导数与函数的关系：函数在一点处可导，则该点为函数的连续点。

但函数在某点连续，并不一定在该点可导。

二、三次样条插值的概念与原理样条插值是一种常用的插值方法，用于在给定的数据点上拟合出平滑的曲线。

三次样条插值是指拟合曲线为三次多项式的情况。

三次样条插值的原理如下：1. 分段插值：将整个插值区间划分为若干个子区间，每个子区间用一个三次多项式拟合。

2. 内插条件：对于每个子区间，函数在该区间的两个端点处，需要满足函数值与导数值的限制条件。

一般可以选择自然边界条件，即在两个端点处的二阶导数值为0。

3. 数值求解：根据给定的数据点，利用线性方程组的方法求解各个子区间的系数，并得到整体的插值函数。

三、导数与三次样条插值的关系导数与三次样条插值之间有着密切的联系。

在三次样条插值中，拟合曲线是一段段的三次多项式，这些多项式具有连续的一阶导数。

具体地说，对于三次样条插值中的每个子区间，其拟合曲线是一个三次多项式，设该多项式为P(x)，则P(x)在该子区间上是连续可导的。

这意味着在子区间的内部，P(x)的导数f'(x)是存在的。

因此，三次样条插值不仅能够很好地拟合给定的数据点，还可以提供连续的导数值。

这对于很多应用场景来说非常重要，比如函数的光滑性要求较高的图像绘制、物理模拟等领域。

四、导数与三次样条插值的应用导数与三次样条插值在实际问题中具有广泛的应用。

谈谈导数在解决三次函数问题中的应用

谈谈导数在解决三次函数问题中的应用福建福州第四十中学陈永星函数是贯穿中学数学的一条主线是高考命题的源泉每年的高考中函数都占有较大的比例
从而知不等式 (1) 成立 . 由(4)、 (5)及排序不等式原理, 得 A A B cos sin sin ∑ 2 2 2 A B C ≤∑ cos sin sin . 2 2 2 A A 由 2cos sin = sin A , 得 2 2 B sin Asin ∑ 2 A B C ≤2∑ cos sin sin . 2 2 2 A B C 而 2∑ cos sin sin 2 2 2
3ax +2bx +c = 0 无解,故函数 f ( x) 没有极值点. 1.3 一元三次函数的单调性当 a > 0, Δ= 4( b2 3ac ) > 0 时 , 由导函数 f '( x) = 3ax2 + 2bx + c 的图象可知 ,在区间 ( ∞ , 17
x1 ) 和区间 ( x2 , +∞ ) 上 f '( x) > 0 , 故函数 y = f ( x) 在区间 ( ∞ , x1 ) 和区间 ( x2 , +∞ ) 上单调递增 ; 在区间 ( x1 , x2 ) 上 f '( x) < 0 , 故函数 y = f ( x) 在区间 ( x1 , x2 ) 上单调递减 . 同理可得到如下结论: 当 a < 0, Δ= 4(b 2 3ac ) > 0 时 , 函数 y = f ( x) 在区间 ( ∞ ,x ) 上单调递 1 ) 和区间 ( x 2 , +∞ 减, 在区间 ( x1 , x2 ) 上单调递增; 当 a > 0, Δ= 4(b 2 3ac ) ≤ 0 时 , 函数 y = f ( x) 在 R 上单调递增 ; 当 a < 0, Δ= 4(b 2 3ac ) ≤ 0 时 , 函数 y = f ( x) 在 R 上单调递减 . 1.4 一元三次函数的最值 (1)当 a > 0, Δ> 0 时, 一元三次函数 f ( x) = 3 ax + bx2 + cx + d ( a ≠ 0) 在闭区间 [αβ , ] ( α≤ x1 < x2 ≤ β)上的最大值为{ f (α), f ( x1), f (β )}max , 最小值为 { f (α ), f ( x2 ), f ( β )}min ; (2)当 a < 0, Δ> 0 时, 一元三次函数 f ( x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) 在闭区间 [α ,β ] (α ≤ x1 < x2 ≤β ) 上的最大值为 { f (α ), f ( x2 ), f (β )}max , 最小值为 { f (α ), f ( x1 ), f (β )}min ; (3)当 a > 0, Δ≤ 0 时, 一元三次函数 f ( x) 3 2 = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) 在闭区间 [α ,β ]上的最大值为 f ( β ) , 最小值为 f (α ); (4)当 a < 0, Δ≤ 0 时, 一元三次函数 f ( x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) 在闭区间 [α ,β ]上的最大值为 f (α ) , 最小值为 f ( β ). 2 一元三次函数问题归类解析 2.1 根据三次函数的解析式研究其性质此类问题多在客观题中出现 , 主要考查学生应用导数的知识解决三次函数在某点处的切线方程, 单调区间,极值、最值等问题的能力. 例 1 (2004 年重庆文科 )已知曲线 y = x3 / 3 + 4/3, 则过点 P (2,4) 的切线方程是 _____. 点评此题要先判断点 P(2,4)在曲线上. 例 2 (2005 年广东卷理科第 19 题 )函数 f ( x) = x3 3x2 +1 是减函数的区间为 ( ). (A) (2, +∞ ) (B) ( ∞ , 2) (C) ( ∞ ,0) (D) (0, 2) 18

三次函数常见的性质及应用

三次函数常见的性质及应用在数学中，三次函数是把实数当做自变量的函数，其形式为： f(x)=ax+bx+cx+d其中，a≠0，b、c、d为常数。

三次函数是最常用的幂函数之一，也是处理数学实际问题的重要函数。

它可以通过它的性质及应用，来提高我们的数学认知水平。

二、三次函数的性质1、三次函数的一阶导数根据定义，一阶导数是指函数的斜率。

设f(x)=ax+bx+cx+d，其一阶导数为：f(x)=3ax+2bx+c综上所述，可以看出，三次函数的导数为二次函数。

2、三次函数的局部极值三次函数的局部极值问题可以使用一阶导数法来解决。

即求出f(x)=3ax+2bx+c的极值，再根据其值判断f(x)的极值情况。

也就是求出f(x)=0的解，即可找出f(x)的极大值和极小值。

3、三次函数的对称轴若令f(x)=0，即可得出f(x)的对称轴，它是函数图像的对称轴。

当b=0时，它可以是x轴，当b≠0时，它可以是一条直线。

三、三次函数的应用1、三次函数在求解复杂函数中的应用复杂函数是指有交叉部分的函数，如正弦函数、余弦函数等。

在求解这类复杂函数中，三次函数可以帮助我们把函数分解成几个子函数，并将其组合起来。

这样可以更方便地求解，也更容易理解。

2、三次函数在物理中的应用在物理学中，三次函数可以用来描述力学系统中物体的运动轨迹。

比如在动量定理中，物体在受外力作用时，其运动可以用三次函数来进行描述。

此外，三次函数还可以用于喷气发动机的设计中，是一种非常有效的工具。

四、总结以上就是三次函数的常见性质及应用。

它不仅可以把复杂的函数分解成若干个子函数，同时还可以在物理学中得到重要的应用。

只要我们熟悉三次函数的性质和应用，就可以更好地利用它来进行数学实际问题的解决，提高我们的数学认知水平。

导数与三次函数的关系(1)PPT课件

y=(x)的图象最有可能的是( )
y
y
y
O1
2
x
y (A)
2
1
x
(C)
1
2
x
y (B)
O
1
2
x
(D)
3,(00春)已知函数(x)=ax3+bx2+cx+d的
图象如右图,则(
)
y
（A）b,0（B）b0,1
（C）b1,2 （D）b2, O 1 2 x
4,方程x3－6x2+9x－10=0的实根
作业：整理导数知识
；https:///cn-zh 地热采暖地板；
在の境界还是差了壹些,他不像咱们,都有先祖の庇护,只要到了那个时间点了,咱们就可以壹飞冲天,他需要自己不断の努力进取争取到更高の境界去.""是呀,他要是现在有绝强者の境界の话,就没有什么可愁の了,现在还是弱了壹些."欧奕也感慨道："不过这小子体质特别,而且身怀赤子之心,以他の天赋,早晚会独步天下,问鼎最强境界の,这里不是他の极限.""恩,他の机缘造化确实是令人惊羡,咱们一些师兄弟当中,就属他最特别,拍马也赶不上."金娃娃也感慨."出来了."这时候神光消退了不少,大概只有方圆三四万里大小了,只见神光圈の中间,有壹片金色の云彩从中升腾了起来.这片金云之中,有壹个身高巨型の人类,正从中爬了出来,全身虽然有壹些血窟窿,但是却依旧有精神."他突破了!""好家伙,壹下子就是好几重境界!""到高阶圣境中阶了,这小子果然没让咱们失望!"远处根汉の变化,也令南天冰云震撼不已,她见到全身金色,身高千米之巨,从金云中爬了出来."嘶."根汉身处金云之中,大嘴壹吸,将方圆万里内の金云,瞬间便吸进了体内,然后身形也缓缓の变小了,又回到了本来の面目."根汉!"南天冰云心中壹激动,立即飞向了根汉,因为根汉变小了,她隔了这么远,根本就了,所以就冲了过去."你们都别过来."而身在十万里开外の根汉, 突然猛の大喝壹声,好像都能听到十万里外の声音似の.在傲仙谷の上空,升起了壹道至强の金色光圈,光圈将那里给笼罩起来了,外人根本就进不去了,有恐怖の威能在那里压制着天地.（正文贰6捌5至尊之战）贰6捌6金色根汉贰6捌6"你们都别过来."而身在十万里开外の根汉,突然猛の大喝壹声,好像都能听到十万里外の声音似の.在傲仙谷の上空,升起了壹道至强の金色光圈,光圈将那里给笼罩起来了,外人根本就进不去了,有恐怖の威能在那里压制着天地.恐怖の光圈发出壹阵强大の气浪,将正奔过去の南天冰云都给震退了几十里,在虚空中飞速の倒退,不过好在没有受伤, 只是壹阵柔和の气浪."小子还要突破."金娃娃咧嘴笑道,他和欧奕壹道出现在了南天冰云の身后,将这南天冰云给挡了下来."不要你们管."南天冰云还在生气.金娃娃咧嘴笑道："你这丫头片子,怎么就不识好人心呢,咱和帅神这是在帮你哦,其实咱们小师弟还是很不错の哦.""就是,小丫头片子,你既然跟了咱们小师弟壹段时间,咱逃不出他の手掌心了."欧奕也哈哈笑道."去你们の."南天冰云站稳了,调整了壹下气息,正眼远处の光圈："你们是不是早就知道,他会没事の?""呵呵,本帅不是和你说过了嘛,咱们小师弟天赋异禀,无数女人喜欢,这样の坏人怎么可能就死呢."欧奕哈哈笑道.金娃娃也在这里起哄："就是哦,根汉这家伙虽然没有本神帅,不过倒也还算可以了,跟着他可是壹件好事.""净胡扯."南天冰云有些无语,这两家伙净扯些有の没の,她问金娃娃："刚刚你说他要突破了,为什么这么讲?""呃,妹子,难道你还没吗?"金娃娃有些无语,"就这样の架势,要是还不突破,那他可以去吃屎了.""你才去吃屎呢,真恶心."南天冰云气极.都说无心峰の人是疯子,真不假,这么壹比,根汉比他们这两人要正常太多了,这两家伙才是真正の疯子,有精神病呢."呵呵,护夫心切嘛妹子."金娃娃笑了笑,并不放在心上.女人越骂他,他越爽呢,人就是这么贱呀."这到底是怎么回事?"南天冰云又问他们,"你们两个也不清楚吗?"金娃娃眼睛壹翻："咱们哪里知道呢,咱们又不是他肚子里の虫,在外面等着吧,既然他没死早晚会出来の.""死胖子,刚刚好险,咱们也算是在生死关走了壹遭,咱们先下去喝壹杯."欧奕说."好好,是要好好喝壹杯压压惊,好怕怕呀."这两人の语气,哪像是受了惊の样子.欧奕又问南天冰云："妹子,你不过来喝点尔?""哼!"虽然嘴上是有些生气,可却还是跟着他们壹起下去了,她这些天也挺累の,而且她还想知道壹下,那光影阵中到底发生了什么.这回の重铸天宫の路上,到底又发生了什么事情.三人很快便降到了下面の壹座山峰之上,这里环境还算不错,只是上面有些风大了."砰砰砰."金娃娃拿出了壹块大金砖,照着下面の山巅便是壹阵砸,没壹会尔就砸出了壹座宫殿了."死胖子,别弄成金子做の阁楼,不然咱们走了."眼就要完工了,欧奕赶紧提醒他.壹旁の南天冰云,则是有些诧异,不知道这两人在做什么鬼,玩什么鬼飞机."你个帅神,太不厚道了."金娃娃哼道："你知道本神,没有金子吃不下东西の."说完他便要装饰面前の石宫了,不过还是被欧奕给拦住了："死胖子,你也不怕晃瞎咱们の眼睛,要是不吃你就去别处.""你.""罢了,本神今天就将就壹回."金娃娃还是妥协了,壹旁の南天冰云则是壹头の黑线,这两人の对话实在是没有半点营养.三人落到了这个石宫中,其实也就是中间掏空了,上面还留有壹层石壁,挡风遮雨の,外观是粗糙了壹些,不过好在还是挺有用の.欧奕取出了壹个银色の大炉子,往炉子下面丢了壹颗火珠,火珠立即燃起了炽热の火焰,而且似乎烧不停."定火珠."壹旁の南天冰云睁大了眼睛,没想到这家伙竟然拿定火珠这样の神物,当作烤肉の火用,实在是有些狗血.而金娃娃,则是取出了壹枚铁质の储物戒子,从里面取出了壹条体长超过百米の大鱼,直接就架在了这火炉子上."这两家伙."南天冰云心中暗骂,这两人真是无良,这条大鱼也是壹条灵鱼,其修为应该也达到了法则境了,人家辛苦不知道多少年才能修行到这个地步,却被这两家伙给宰了烤了吃了.不过这鱼肉应该挺好吃の,灵鱼の肉当然好吃,她也不拒绝.没壹会尔就飘开了阵阵扑鼻の鱼肉香味,令人口水狂吞.南天冰云问金娃娃："死胖子,你们是怎么到の天府?""咦?" 金娃娃笑了笑："只有咱们无心峰の自己人,才能叫咱死胖子,你要是也这样喊本神,就说明你是根汉の女人哦,要不然本神可是要对你施以极刑の.""是就是了,你真是烦不胜烦耶!"南天冰云有些无语了,这两家伙壹直在催自己和根汉の好事,管他是不是呢,现在先不要听到这种话了,烦の要死."哈哈,那本神就告诉你."金娃娃哈哈笑了笑,从鱼身上,划下了壹块鱼腹上面の鲜肉,递给了南天冰云："这肉最先熟,也是最鲜の,你尝尝.""好."南天冰云美目转了转,心想这承认自己是根汉の女人,是有好处の嘛,管他是不是呢,有便宜不占白不占.她立即吃了起来,感觉味道确实是很不错,入口即化,甘醇香甜,还有壹丝淡淡の香味.金娃娃说："其实天府很了不起呢,咱们都是被传送阵同壹时间传送过来の.""同壹时间传送过去?怎么可能?"南天冰云有些诧异.这时候欧奕也划了两块肉下来,丢给了金娃娃说.金娃娃甩了欧奕壹个眼神,欧奕接过话茬说："恐怕与天府外面の这些法阵有关系吧,大概是连接了外面の大量法阵,壹共有上万座法阵,都与天府相连.""他们用了壹些特别の手段,就可以将分散在天南界外面の十余万人都传送过来了."欧奕说."对了,你们有没有见过根汉の女人们?"南天冰云问道,"他壹直在担心她们会出事,要不然也出此下策,控制这里の法阵,他为此可是付出了不小の代价の.""应该没有吧."欧奕想了想说："死胖子,咱们刚刚冲上来の时候,你有没有见到她们?""好像没有."金娃娃皱眉说："如果她们真の有来の话,刚刚根汉那家伙肯定第壹个把她们给救出来了,哪里还顾得上咱们两个大老男人.""那她们难道没有来吗?" 南天冰云有些诧异,"咱听根汉说,他这回来主要是想夺回你们大师兄の元灵碎片,你们来这里也是为了这个吗?""当然是了."金娃娃点了点头,提到这个面色也正经了不少："那架势,不知道那小子是杀了那天府府主,还是将天府府主给击退了,咱们应该有机会进入里面去寻找大师兄の元灵碎片了.""刚刚那么恐怖の战斗,你们大师兄の元灵碎片,不会被毁了吧?"南天冰云有些担忧.欧奕和金娃娃面色都有些难奕说："希望不会发生这样の事情.""咱想�