高中数学人教版必修函数的概念作业(系列一)

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高中数学第三章函数的概念与性质 3.4 函数的应用(一)一课一练(含解析)新人教A版必修第一册-

第三章函数的概念与性质3.4函数的应用(一)考点1一次、二次函数模型的应用1.(2019·某某某某中学高一期中考试)一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元,卖出的价格是每份3元,卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社。

在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,且每天从报社买进报纸的份数都相同,要使推销员每月所获得的利润最大,则应该每天从报社买进报纸()。

A.215份B.350份C.400份D.520份答案：C解析：设每天从报社买进x(250≤x≤400,x∈N)份报纸时,每月所获利润为y元,具体情况如下表:数量/份单价/元金额/元买进30x 2 60x卖出20x+10×250 3 60x+7500退回10(x-250) 0.8 8x-2000y=[(60x+7500)+(8x-2000)]-60x=8x+5500(250≤x≤400,x∈N)。

∵y=8x+5500在[250,400]上是增函数,∴当x=400时,y取得最大值8700。

即每天从报社买进400份报纸时,每月获得的利润最大,最大利润为8700元。

故选C。

2.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数:m=162-3x。

若要使每天获得最大的销售利润,则该商品的售价应定为()。

A.40元/件B.42元/件C.54元/件D.60元/件答案：B解析：设每天获得的销售利润为y元,则y=(x-30)(162-3x)=-3(x-42)2+432,所以当x=42时,获得的销售利润最大,故该商品的售价应定为42元/件。

3.某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系式为y=5x+40000。

而手套出厂价格为每双10元,要使该厂不亏本至少日产手套()。

A.2000双B.4000双C.6000双D.8000双答案：D解析：由5x +40000≤10x ,得x ≥8000,即至少日产手套8000双才不亏本。

高中数学第三章函数的概念与性质 3.1.2 函数的表示法课时作业(含解析)新人教A版必修第一册-

3.1.2 函数的表示法一、选择题1．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中错误的是( )A ．这天15时的温度最高B ．这天3时的温度最低C ．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃D ．这天21时的温度是30 ℃解析：这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14 ℃，故C 错．答案：C2．已知f (x －1)＝1x ＋1，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝11＋x B ．f (x )＝1＋xxC ．f (x )＝1x ＋2D ．f (x )＝1＋x 解析：令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝1t ＋1＋1＝12＋t，∴f (x )＝1x ＋2. 答案：C3．函数y ＝x 2|x |的图象的大致形状是( )解析：因为y ＝x 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0，所以函数的图象为选项A.答案：A4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，且f (a )＋f (1)＝0，则a 等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：当a >0时，f (a )＋f (1)＝2a ＋2＝0⇒a ＝－1，与a >0矛盾；当a ≤0时，f (a )＋f (1)＝a ＋1＋2＝0⇒a ＝－3，符合题意．答案：A 二、填空题5．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1]2－x ，x ∈(1，2]的定义域为______，值域为______．解析：函数定义域为[0,1]∪(1,2]＝[0,2]．当x ∈(1,2]时，f (x )∈[0,1)，故函数值域为[0,1)∪[0,1]＝[0,1]．答案：[0,2] [0,1]6．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________.解析：因为f (2x ＋1)＝32(2x ＋1)＋12，所以f (a )＝32a ＋12.又f (a )＝4，所以32a ＋12＝4，a ＝73.答案：737．若f (x )－12f (－x )＝2x (x ∈R )，则f (2)＝________.解析：∵f (x )－12f (－x )＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (2)－12f (－2)＝4，f (－2)－12f (2)＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧2f (2)－f (－2)＝8，f (－2)－12f (2)＝－4，相加得32f (2)＝4，f (2)＝83.答案：83三、解答题8．某同学购买x (x ∈{1,2,3,4,5})X 价格为20元的科技馆门票，需要y 元．试用函数的三种表示方法将y 表示成x 的函数．解析：(1)列表法x /X 1 2 3 4 5 y /元20406080100(2)图象法：如下图所示．(3)解析法：y ＝20x ，x ∈{1,2,3,4,5}． 9．求下列函数解析式：(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )； (2)已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式．解析：(1)由题意，设函数为f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9， ∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9，即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9，∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3. (2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1，即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数为f (x )＝x 2＋2x －2.[尖子生题库]10．画出下列函数的图象：(1)f (x )＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)； (2)f (x )＝|x ＋2|.解析：(1)f (x )＝[x ]＝⎩⎪⎨⎪⎧…－2，－2≤x <－1，－1，－1≤x <0，0，0≤x <1，1，1≤x <2，2，2≤x <3，…函数图象如图1所示．图1 图2(2)f (x )＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.画出y ＝x ＋2的图象，取[－2，＋∞)上的一段；画出y ＝－x －2的图象，取(－∞，－2)上的一段，如图2所示．。

【金版教程】人教版高中数学必修一练习：1.2.1.1函数的概念(含答案解析)

答案 B 解析 A 中 x 的取值为 0≤x≤，１不符合； C 中 y 的取值为 0≤y≤，３不符合； D 中，当 x>0 时，一个 x 存在两个 y 与之对应，不是函数，故选 B.
3．下列函数中，不满足 f(2x) ＝ 2f(x) 的是 ( )
A． f(x) ＝|x|
B ．f(x) ＝ x－|x|
7．若 [a,3a－ 1]为一确定区间，则 a 的取值范围是 ________．
答案
1，＋ ∞ 2
解析 3a－ 1>a 则 a>12，故 a 的取值范围是 12，＋ ∞ .
8．已知函数 f(x) 的定义域为 (0，＋ ∞），且满足 f(2) ＝ 1， f(xy) ＝ f(x) ＋ f(y) ，则 f(1) ＝
R，但 g(x) ＝ 3 x3＝ x 与 f(x)
对应关系不同，不是同一函数；③中，定义域相同，对应关系也相同；④中虽然表示自变量
的字母不相同，但两函数的定义域和对应关系都相同．故选
C.
5． [2016 ·西安高一检测 ] 下列式子中不能表示函数 y＝ f(x) 的是 ( )
A． x＝ y2
B．y＝x＋1
C． x＋ y＝ 0
2
D．y＝x
答案 A
解析根据函数的定义判断，由于 A 中对于一个确定的 x，有 2 个 y 与它对应，所以不
符合函数的定义要求，故选 A. 二、填空题
2
6．已知 f(x) ＝π (∈x R) ，则 f(x )＝ ________. 答案 π 解析由函数的定义可知， f(x 2)＝ π．
C． f(x) ＝ x＋ 1
D． f(x) ＝－ x
答案 C
解析将 f(2x) 表示出来，看与 2f(x) 是否相等．

新教材高中数学第四章指数函数与对数函数指数函数的概念课时作业新人教A版必修第一册

4．2.1 指数函数的概念必备知识基础练1．(多选)下列函数是指数函数的有( ) A ．y ＝x 4B ．y ＝(12)xC ．y ＝22xD ．y ＝－3x2．已知某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个……依此类推,那么1个这样的细胞分裂3次后,得到的细胞个数为( )A ．4个B ．8个C ．16个D ．32个3．如果指数函数f (x )＝a x(a >0,且a ≠1)的图象经过点(2,4),那么a 的值是( ) A ． 2 B ．2 C ．3 D ．44．若函数f (x )是指数函数,且f (2)＝2,则f (x )＝( ) A ．(2)x B ．2xC ．(12)xD ．(22)x5．已知f (x )＝3x －b(b 为常数)的图象经过点(2,1),则f (4)的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．86．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <0，3x ，x >0，则f (f (－1))＝( )A ．2B ． 3C ．0D ．127．已知函数y ＝a ·2x和y ＝2x ＋b都是指数函数,则a ＋b ＝________．8．已知函数f (x )是指数函数,且f (－32)＝525,则f (3)＝________．关键能力综合练1．若函数y ＝(m 2－m －1)·m x是指数函数,则m 等于( ) A ．－1或2 B ．－1 C ．2 D ．122．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋3，x ≤0，则f (f (－2))的值为( )A ．14B ．12C ．2D ．43．若函数f (x )＝(12a －1)·a x是指数函数,则f (12)的值为( )A ．－2B ．2C ．－2 2D ．2 24．若函数y ＝(2a －1)x(x 是自变量)是指数函数,则a 的取值范围是( ) A ．a >0且a ≠1 B ．a ≥0且a ≠1 C ．a >12且a ≠1 D ．a ≥125．某产品计划每年成本降低p %,若三年后成本为a 元,则现在成本为( ) A ．a (1＋p %)元 B ．a (1－p %)元 C ．a （1－p %）3元 D ．a1＋p %元 6．(多选)设指数函数f (x )＝a x(a >0,且a ≠1),则下列等式中正确的是( ) A ．f (x ＋y )＝f (x )f (y ) B ．f (x －y )＝f （x ）f （y ）C ．f (xy)＝f (x )－f (y ) D ．f (nx )＝[f (x )]n(n ∈Q )7．某厂2018年的产值为a 万元,预计产值每年以7%的速度增加,则该厂到2022年的产值为________万元．8．若函数y ＝(k ＋2)a x＋2－b (a >0,且a ≠1)是指数函数,则k ＝________,b ＝________． 9．已知指数函数f (x )＝a x(a >0,且a ≠1), (1)求f (0)的值；(2)如果f (2)＝9,求实数a 的值．10．已知函数f (x )＝(a 2＋a －5)a x是指数函数． (1)求f (x )的表达式；(2)判断F (x )＝f (x )－f (－x )的奇偶性,并加以证明．核心素养升级练1．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%,那么x 年后若人均一年占有y 千克粮食,则y 关于x 的解析式为( )A ．y ＝360(1.041.012)x －1B ．y ＝360×1.04xC ．y ＝360×1.04x1.012D ．y ＝360(1.041.012)x2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x（x ＞0）2x －3（x ≤0）,若f (a )－f (2)＝0,则实数a 的值等于________．3．截止到2018年底,我国某市人口约为130万．若今后能将人口年平均递增率控制在3‰,经过x 年后,此市人口数为y (万).(1)求y 与x 的函数关系y ＝f (x ),并写出定义域；(2)若按此增长率,2029年年底的人口数是多少？(3)哪一年年底的人口数将达到135万？4．2.1 指数函数的概念必备知识基础练1．答案：BC解析：对于A,函数y ＝x 4不是指数函数, 对于B,函数y ＝(12)x是指数函数；对于C,函数y ＝22x＝4x是指数函数；对于D,函数y ＝－3x不是指数函数． 2．答案：B解析：由题意知1个细胞分裂3次的个数为23＝8. 3．答案：B解析：由题意可知f (2)＝a 2＝4,解得a ＝2或a ＝－2(舍). 4．答案：A解析：由题意,设f (x )＝a x(a >0且a ≠1), 因为f (2)＝2,所以a 2＝2,解得a ＝ 2. 所以f (x )＝(2)x. 5．答案：C 解析：f (2)＝32－b＝1＝30,即b ＝2,f (4)＝34－2＝9.6．答案：B解析：f (－1)＝2－1＝12,f (f (－1))＝f (12)＝312＝ 3.7．答案：1解析：因为函数y ＝a ·2x是指数函数,所以a ＝1, 由y ＝2x ＋b是指数函数,所以b ＝0,所以a ＋b ＝1. 8．答案：125解析：设f (x )＝a x(a >0且a ≠1),则f (－32)＝a －32＝525＝5－32,得a ＝5,故f (x )＝5x,因此,f (3)＝53＝125.关键能力综合练1．答案：C解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1m >0m ≠1,解得m ＝2.2．答案：C解析：由题意f (－2)＝－2＋3＝1,∴f (f (－2))＝f (1)＝2. 3．答案：B解析：因为函数f (x )＝(12a －1)·a x 是指数函数,所以12a －1＝1,即a ＝4,所以f (x )＝4x,那么f (12)＝412＝2.4．答案：C解析：由于函数y ＝(2a －1)x(x 是自变量)是指数函数,则2a －1>0且2a －1≠1,解得a >12且a ≠1.5．答案：C解析：设现在成本为x 元,因为某产品计划每年成本降低p %,且三年后成本为a 元, 所以(1－p %)3x ＝a , 所以x ＝a（1－p %）3.6．答案：ABD解析：因指数函数f (x )＝a x(a >0,且a ≠1),则有：对于A,f (x ＋y )＝ax ＋y＝a x ·a y＝f (x )f (y ),A 中的等式正确；对于B,f (x －y )＝a x －y＝a x·a －y＝a x a y ＝f （x ）f （y ）,B 中的等式正确；对于C,f (x y )＝a x y ,f (x )－f (y )＝a x －a y ,显然,a xy≠a x －a y,C 中的等式错误；对于D,n ∈Q ,f (nx )＝a nx ＝(a x )n ＝[f (x )]n,D 中的等式正确． 7．答案：a (1＋7%)4解析：2018年产值为a ,增长率为7%. 2019年产值为a ＋a ×7%＝a (1＋7%)(万元).2020年产值为a (1＋7%)＋a (1＋7%)×7%＝a (1＋7%)2(万元). ……2022年的产值为a (1＋7%)4万元． 8．答案：－1 2解析：根据指数函数的定义,得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋2＝1，2－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2.9．解析：(1)f (0)＝a 0＝1. (2)f (2)＝a 2＝9,∴a ＝3.10．解析：(1)由a 2＋a －5＝1,可得a ＝2或a ＝－3(舍去), ∴f (x )＝2x.(2)F (x )＝2x －2－x,定义域为R , ∴F (－x )＝2－x－2x＝－F (x ), ∴F (x )是奇函数．核心素养升级练1．答案：D解析：不妨设现在乡镇人口总数为a ,则现在乡镇粮食总量为360a ,故经过x 年后,乡镇人口总数为a (1＋0.012)x ,乡镇粮食总量为360a (1＋0.04)x, 故经过x 年后,人均占有粮食y ＝360a （1＋0.04）xa （1＋0.012）x ＝360(1.041.012)x. 2．答案：2解析：由已知,得f (2)＝9；又当x ＞0时,f (x )＝3x, 所以当a >0时,f (a )＝3a, 所以3a－9＝0,所以a ＝2. 当x <0时,f (x )＝2x －3, 所以当a <0时,f (a )＝2a －3, 所以2a －3－9＝0,所以a ＝6, 又因为a <0,所以a ≠6. 综上可知a ＝2.3．解析：(1)2018年年底的人口数为130万；经过1年,2019年年底的人口数为130＋130×3‰＝130(1＋3‰)(万)；经过2年,2020年年底的人口数为130(1＋3‰)＋130(1＋3‰)×3‰＝130(1＋3‰)2(万)；经过3年,2021年年底的人口数为130(1＋3‰)2＋130(1＋3‰)2×3‰＝130(1＋3‰)3(万).……所以经过的年数与(1＋3‰)的指数相同,所以经过x年后的人口数为130(1＋3‰)x(万).即y＝f(x)＝130(1＋3‰)x(x∈N*).(2)2029年年底,经过了11年,过2029年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134(万).(3)由(2)可知,2029年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134<135.2030年年底的人口数为130(1＋3‰)12≈134.8(万),2031年年底的人口数为130(1＋3‰)13≈135.2(万).所以2031年年底的人口数将达到135万．。

2023版新教材高中数学第三章函数的概念与性质-函数的概念课时作业新人教A版必修第一册

3．1.1　函数的概念必备知识基础练1．下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是( )2．已知函数f(x)＝＋，则f(3)＝( )A．1 B．2C．3 D．43．已知函数f(x)＝x，则下列函数与f(x)表示同一函数的是( )A．y＝B．y＝C．y＝()2D．y＝4．函数y＝f(x)与y轴的交点个数为( )A．至少1个 B．至多一个C．有且只有一个 D．与f(x)有关，不能确定5．[2022·广东深圳高一期末]函数f(x)＝的定义域为( )A．[1，2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞)C．[1，2) D．[1，＋∞)6．[2022·山东青岛高一期末](多选)下面选项中，变量y是变量x的函数的是( ) A．x表示某一天中的时刻，y表示对应的某地区的气温B．x表示年份，y表示对应的某地区的GDP (国内生产总值)C．x表示某地区的学生某次数学考试成绩，y表示该地区学生对应的考试号D．x表示某人的月收入，y表示对应的个税7．函数f(x)＝的定义域是________．8．已知函数f(x)＝－1，且f(a)＝3，则a＝________．关键能力综合练1．[2022·安徽歙县高一期末]∀x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，十八世纪，函数y＝[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，则[4.8]－[－3.5]＝( )A．0 B．1 C．7 D．82．学习了函数的概念后，对于构成函数的要素：定义域、对应关系和值域，甲、乙、丙三个同学得出了各自的判断：甲：存在函数f(x)，g(x)，它们的定义域相同，值域相同，但对应关系不同；乙：存在函数f(x)，g(x)，它们的定义域相同，对应关系相同，但值域不同；丙：存在函数f(x)，g(x)，它们的对应关系相同，值域相同，但定义域不同．上述三个判断中，正确的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．03．函数f(x)＝－(x＋3)0的定义域是( )A．(－∞，－3)∪(3，＋∞)B. (－∞，－3)∪(－3，3)C．(－∞，－3)D．(－∞，3)4．若函数f(x)＝3x－1，则f(f(1))的值为( )A．2 B．4C．5 D．145．已知函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围是( )A．[0，1] B．(0，＋∞)C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)6．(多选)下列各组函数是同一个函数的是( )A．f(x)＝·与g(x)＝B．f(x)＝与g(x)＝xC．f(x)＝与g(x)＝D．f(x)＝与g(x)＝7．[2022·江苏盐城高一期末]函数f(x)＝的定义域为________．8．[2022·辽宁营口高一期末][x]为不超过x的最大整数，若函数f(x)＝[x]，x∈(a，b)，f(x)的值域为{－1，0，1，2}，则b－a的最大值为________．9．求下列函数的定义域：(1)y＝·；(2)y＝.10．已知定义域为R的函数f(x)＝2x2－3和g(x)＝4x，求f(g(－1))，g(f(－1))，f(f(－2))，g(g(－2))的值．核心素养升级练1．已知函数f(x)的定义域为(0，4)，则函数g(x)＝的定义域为( )A．(0，16) B．(－1，2)C．(－1，0)∪(0，2) D．(－2，0)∪(0，2)2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为f(x)＝x2，值域为{0，1}的“同族函数”共有________个．3．已知函数f(x)＝.(1)求f(2)＋f()，f(3)＋f()的值；(2)求证：f(x)＋f()是定值；(3)求f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＋f()＋f()＋…＋f()的值．3．1.1　函数的概念必备知识基础练1．答案：C解析：由函数定义：定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应，A、B、D选项中的图象都符合；C项中对于大于零的x而言，有两个不同的函数值与之对应，不符合函数定义．2．答案：C解析：f(3)＝＋＝3.3．答案：A解析：f(x)＝x的定义域是R，四个选项中，B选项定义域是{x|x≠0}，C选项定义域是{x|x≥0}，不是同一函数，AD选项定义域都是R，D选项对应法则是y＝|x|，不是同一函数，A选项化简后为y＝x，是同一函数．4．答案：B解析：由函数定义可知，定义域包含x＝0时，则与y轴有1个交点，当定义域不包含x＝0时，则与y轴无交点，所以函数y＝f(x)与y轴的交点个数最多为1个．5．答案：A解析：函数f(x)＝有意义，则有，解得x≥1且x≠2，所以原函数的定义域是[1，2)∪(2，＋∞).6．答案：ABD解析：ABD均满足函数的定义，C选项，同一个分数可以对应多个考试号，不满足对于任意的x，都有唯一的y与其对应，故C选项错误．7．答案：(－2，＋∞)解析：x＋2>0，x>－2，所以f(x)的定义域为(－2，＋∞).8．答案：16解析：因为f(x)＝－1，f(a)＝3，所以－1＝3，解得：a＝16.关键能力综合练1．答案：D解析：由题意可知[4.8]－[－3.5]＝4－(－4)＝8.2．答案：B解析：甲：f(x)＝x2，g(x)＝|x|，两个函数的定义域和值域相同，但对应关系不同，故甲正确；乙：根据函数相等的定义可知，若两个函数的定义域相同，对应关系相同，值域一定相同，故乙错误；丙：f(x)＝x2，x∈(1，2)，g(x)＝x2，x∈(－2，－1)，两个函数的对应关系相同，值域相同，但定义域不同，故丙正确．3．答案：B解析：由f(x)＝－(x＋3)0，则，解得x<3且x≠－3，所以函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3，3).4．答案：C解析：由f(x)＝3x－1，所以f(1)＝2，所以f(f(1))＝f(2)＝5.5．答案：D解析：由题意，函数f(x)＝有意义，则满足ax2＋1≥0，因为函数f(x)的定义域为R，即不等式ax2＋1≥0在R上恒成立，当a＝0时，1≥0恒成立，符合题意；当a>0时，ax2＋1≥0恒成立，符合题意．当a<0时，不符合题意，综上可得，实数a的取值范围是[0，＋∞).6．答案：CD解析：A选项，f(x)的定义域为{x|x≥1}，g(x)的定义域为{x|x≤－1或x≥1}，不是同一个函数．B选项，f(x)＝，x≤0，f(x)＝＝－x≠g(x)，不是同一个函数．C选项，f(x)＝＝＝g(x)，是同一个函数．D选项，f(x)＝＝1(x>0)，g(x)＝＝1(x>0)，是同一个函数．7．答案：[1，5]解析：由－x2＋6x－5≥0，得x2－6x＋5≤0，(x－1)(x－5)≤0，解得1≤x≤5，所以函数的定义域为[1，5].8．答案：4解析：因为函数f(x)＝[x]，x∈(a，b)，f(x)的值域为{－1，0，1，2}，所以b最大取到3，a最小取到－1，所以b－a的最大值为3－(－1)＝4.9．解析：(1)依题意⇒2≤x≤3，所以函数的定义域为[2，3].(2)依题意，解得－2≤x<2且x≠－.所以函数的定义域为[－2，－)∪(－，2).10．解析：由已知g(－1)＝4×(－1)＝－4，f(－1)＝2×(－1)2－3＝－1，同理g(－2)＝－8，f(－2)＝5，所以f(g(－1))＝f(－4)＝29，g(f(－1))＝g(－1)＝－4，f(f(－2))＝f(5)＝47，g(g(－2))＝g(－8)＝－32.核心素养升级练1．答案：C解析：因为f(x)的定义域为(0，4)，所以0<x2<4，解得－2<x<0或0<x<2.又因为x＋1>0，解得x>－1，所以g(x)的定义域为(－1，0)∪(0，2).2．答案：3解析：已知函数解析式为f(x)＝x2，值域为{0，1}的“同族函数”的定义域可以为：{0，1}，{0，－1}，{0，－1，1}，所以“同族函数”共有3个．3．解析：(1)f(x)＝，f(2)＋f()＝＋＝1，f(3)＋f()＝＋＝1.(2)f(x)＋f()＝＋＝＋＝1.(3)f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＋f()＋f()＋…＋f()＝[f(2)＋f()]＋[f(3)＋f()]＋…＋[f(2 022)＋f()]＝2 021×1＝2 021.。

高中数学必修一《函数的概念》经典练习(含详细解析)

高中数学必修一《函数的概念》经典练习（含详细解析）一、选择题1.函数f(x)=(x∈R)的值域是( )A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1]D.(0,1)2.下列各组函数中,表示同一个函数的是( )A.y=与y=x+1B.y=与y=C.y=-1与y=x-1D.y=x与y=3.已知函数f(x)的定义域为[0,1),则函数f(1-x)的定义域为( )A.[0,1)B.(0,1]C.[-1,1]D.[-1,0)∪(0,1]4.函数y=的定义域是(-∞,1)∪[2,5),则其值域是( )A.(-∞,0)∪B.(-∞,2]C.∪[2,+∞)D.(0,+∞)5.函数f(x)的定义域为[-6,2],则函数y=f()的定义域为( )A.[-4,4]B.[-2,2]C.[0,]D.[0,4]二、填空题6.函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为.7.若函数y=的定义域是A,函数y=的值域是B,则A∩B= .8.函数y=f(x)的图象如图所示,那么f(x)的定义域是;其中只与x的一个值对应的y值的范围是.9.给出定义:若m-<x≤m+(其中m为整数),则m叫做离实数x最近的整数,记作{x},即{x}=m.在此基础上给出下列关于函数f(x)=|x-{x}|的四个结论.①f=;②f(3.4)=-0.4;③f=f;④y=f(x)的定义域为R,值域是.则其中正确的序号是.三、解答题10.(10分)已知函数y=(1<x≤2),求函数值域.11.(10分)记函数f(x)=的定义域为集合A,函数g(x)=图象在二、四象限时,k的取值集合为B,函数h(x)=x2+2x+4的值域为集合C.(1)求集合A,B,C.B),A∩(B∪C).(2)求集合A∪(R参考答案与解析1【解析】选C.因为x2≥0,所以x2+1≥1,所以0<≤1,所以值域为(0,1]. 2【解析】选D.对于选项A:函数y=的定义域不包含1,而y=x+1的定义域是R,显然不是同一个函数.对于选项B:函数y=的定义域为x≥0,而函数y=的定义域是{x|x≠0},显然不是同一个函数.对于选项C:函数y=-1的值域是大于等于-1的,而直线y=x-1的值域是R,显然不是同一个函数.对于选项D:因为y=x与y=的最简解析式相等,且定义域都为R,所以为同一个函数.3【解题指南】原函数的定义域,即为1-x的范围,解不等式组即可得解.【解析】选B.因为原函数的定义域为[0,1),所以0≤1-x<1,即所以0<x≤1,所以函数f(1-x)的定义域为(0,1].4【解题指南】根据定义域求值域.【解析】选A.因为x∈(-∞,1)∪[2,5),所以x-1∈(-∞,0)∪[1,4),当x-1∈(-∞,0)时,∈(-∞,0);当x-1∈[1,4)时,∈.5【解析】选D.因为函数f(x)的定义域为[-6,2],所以-6≤≤2,又因为≥0,所以0≤≤2,所以0≤x≤4.6【解析】当x=0时,y=0;当x=1时,y=-1;当x=2时,y=0;当x=3时,y=3.故函数的值域为{-1,0,3}.答案:{-1,0,3}【补偿训练】已知函数f(x)=2x-3,x∈A的值域为{-1,1,3},则定义域A 为.【解析】值域为{-1,1,3},即令f(x)分别等于-1,1,3,求出对应的x,则由x组成的集合即为定义域A,为{1,2,3}.答案:{1,2,3}7【解析】由题意知A={x|x≠2},B={y|y≥0},则A∩B=[0,2)∪(2,+∞).答案:[0,2)∪(2,+∞)8【解析】观察函数图象可知,f(x)的定义域是[-3,0]∪[2,3];只与x的一个值对应的y值的范围是[1,2)∪(4,5].答案:[-3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5]9【解析】①因为-1-<-≤-1+,所以=-1,所以f===,所以①正确;②因为3-<3.4≤3+,所以{3.4}=3,所以f(3.4)=|3.4-{3.4}|=|3.4-3|=0.4,所以②错误;③因为0-<-≤0+,所以=0,所以f==,因为0-<≤0+,所以=0,所以f==,所以f=f,所以③正确;④y=f(x)的定义域为R,值域是,所以④错误.答案:①③10【解析】设x1,x2∈(1,2]且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=,因为x1<x2,所以x2-x1>0,因为x1,x2∈(1,2],所以(2x1-1)(2x2-1)>0,所以f(x1)-f(x2)>0,所以f(x)在(1,2]上单调递减,所以当1<x≤2时,f(2)≤f(x)<f(1),即≤f(x)<1,所以函数的值域为.【补偿训练】已知函数f(x)=(a∈R且x≠a),当f(x)的定义域为时,求f(x)的值域.【解析】f(x)==-1+.当a+≤x≤a+时,-a-≤-x≤-a-,-≤a-x≤-,-3≤≤-2,于是-4≤-1+≤-3,即f(x)的值域为[-4,-3].11【解析】(1)由2x-3>0,得x>,所以A=, 又由k-1<0,得k<1,所以B=,而h(x)=x2+2x+4=+3≥3,所以C=.(2)A∪(B)=,A∩(B∪C)=.R。

人教版高中数学必修第一册 3.1.1函数的概念(第2课时)【课件】

思考题2 (1)下列各组函数表示同一函数的是( B )
A．f(x)＝x，g(x)＝( x)2
B．f(x)＝x2＋1，g(t)＝t2＋1
C．f(x)＝1，g(x)＝xx
D．f(x)＝x，g(x)＝|x|
【解析】 A中，由于f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝( x )2的定义域为{x|x≥0}，
它们的定义域不相等，所以它们不是同一函数．
对于B，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠1}；
对于C，f(x)的定义域为{x|x≠－3}，g(x)的定义域为R；
对于D，f(x)＝
x x
＝1(x>0)，g(x)＝
x x
＝1(x>0)，解析式与定义域都相同，故f(x)
与g(x)表示同一个函数．
探究2 只有当两个函数的定义域、值域和对应关系都相同时，两个函数才表示同一函数，但由于值域是由定义域和对应法则确定的，所以只要定义域及对应法则相同，两函数即表示同一函数．
C．y＝x，y＝3 x3
D．y＝|x|，y＝( x)2
【解析】 A、B、D定义域均不同．
题型三简单函数的值域
例3 求下列函数的值域． (1)y＝2x－1(x∈N*)；(2)y＝2＋1 x2. 【解析】 (1)观察法：值域为{1，3，5，7，…}． (2)∵2＋x2≥2，∴0<2＋1 x2≤12，即值域为0，12.
(2)求定义域时要将结果写成集合或区间形式．
思考题1 求下列函数的定义域．
(1)y＝x－＋21－ 1－x； (2)y＝ 3－x· x－1； (3)y＝（（xx－－22））（（xx＋＋13））.
【解析】 (1)使分式x－＋21有意义的实数x的取值集合是{x|x≠－1}，使根式 1－x有意义的实数x的取值集合是{x|x≤1}，所以这个函数的定义域是{x|x≠－1}∩{x|x≤1}＝{x|x≤1且x≠－1}． (2)要使式子有意义，当且仅当3x－－1x≥ ≥00，，∴1≤x≤3，所以这个函数的定义域是{x|1≤x≤3}． (3)要使函数有意义，需使(x－2)(x＋3)≠0⇒x≠2且x≠－3，故所求函数的定义域为{x|x≠2且x≠－3}．常见错解：原式＝xx＋＋13，所以函数的定义域为{x|x≠－3}．错因分析：约分改变了(扩大了)原函数的自变量的取值范围，所以在求定义域时一定是使未变形的最原始的式子有意义，确定自变量的取值范围．

高中数学的概念与性质3-1函数的概念及其表示3-1-2函数的表示法课时作业新人教A版必修第一册

3．1.2 函数的表示法必备知识基础练1．函数y ＝x －1(x ≥0)的图象是( ) A ．一条射线 B ．一条线段 C ．两条射线 D ．一条直线2．已知函数f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象为如图所示的曲线ABC ，其中A (1，3)，B (2，1)，C (3，2)，则f (g (2))＝( )A ．3B ．2C ．1D ．03．已知f (x )是反比例函数，且f (－3)＝－1，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝－3x B. f (x )＝3xC ．f (x )＝3xD ．f (x )＝－3x4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，1x，x >1，则f (f (－1))＝( )A ．2B ．12C ．1D ．－15．已知函数f (x )和g (x )的定义域为{2，3，4，5}，其对应关系如下表，则g (f (x ))的值域为( )A.{2，3} B ．{2，C ．{3，4} D ．{2，3，4}6．(多选)下列给出的式子是分段函数的是( )A ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤52x ，x <1B ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈R x 2，x ≥2C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，1≤x ≤5x 2，x ≤1D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x <0x －1，x ≥57．已知二次函数f (x )的图象经过点(－3，2)，顶点是(－2，3)，则函数f (x )的解析式为________．8．[2022·广东梅州高一期末]已知f (2x －1)＝x 2－2x ，则f (0)＝________．关键能力综合练1．某学生离家去上学，一开始岀发，心情轻松，缓慢行进，后来发现时间比较紧，为了赶时间开始加速，走完余下的路程．下列图形中，纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0－2x ，x >0，若f (x )＝5，则x 的值是( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－523．函数y ＝x ＋|x |x的图象是( )4．已知函数f (x ＋1)＝x 2－2x ＋3，则函数y ＝f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－6x ＋4 B ．f (x )＝x 2－4x ＋6 C ．f (x )＝x 2－4x －4 D ．f (x )＝x 2－6x ＋115．已知函数f (x )是一次函数，且f [f (x )－4x ]＝5恒成立，则f (2)＝( ) A ．1 B ．3 C ．7 D ．96．(多选)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5，x ≤0，x ＋1x ，x >0，若f (f (a ))＝2，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－43C ．－1D ．17．[2022·广东深圳高一期末]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <3f （x －2），x ≥3，则f (f (5))＝________．8．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (－x )＝2x ＋3，则f (x )＝________．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －1，x ≥01x，x <0且f (2)＝0.(1)求f (f (1))；(2)若f (m )＝－m ，求实数m 的值．10．求下列函数的解析式．(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )； (2)若函数f (x ＋1)＝x －1，求f (x ).核心素养升级练1．(多选)具有性质f (1x)＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数，其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．f (x )＝x －1xB ．f (x )＝x ＋1xC ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <10，x ＝1－1x ，x >1D ．f (x )＝x 2－1x2．对于任意的实数x 1、x 2，min{x 1，x 2}表示x 1、x 2中较小的那个数．若函数f (x )＝2－x 2，g (x )＝x ，记h (x )＝min{f (x )，g (x )}，则h (x )的解析式为________________．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x >02，x ＝01－2x ，x <0(1)画出函数f (x )的图象；(2)求f (f (3))，f (a 2＋1)(a ∈R )的值；(3)当f (x )≥2时，求x 的取值范围．3．1.2 函数的表示法必备知识基础练1．答案：A解析：函数y ＝x －1为一次函数，图象为直线，但是当x ≥0时，所得到的图象为一条射线．2．答案：B解析：观察函数y ＝g (x )的图象得：g (2)＝1，由表格知：f (1)＝2，所以f (g (2))＝2. 3．答案：B解析：设f (x )＝k x(k ≠0)， ∵f (－3)＝k－3＝－1，∴k ＝3， ∴f (x )＝3x.4．答案：B解析：根据题意，因为f (－1)＝2，所以f (f (－1))＝f (2)＝12.5．答案：B解析：g (f (2))＝g (4)＝2，g (f (3))＝g (2)＝4，g (f (4))＝g (5)＝4，g (f (5))＝g (2)＝4，所以所求值域是{2，4}．6．答案：AD解析：对于A ：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤52x ，x <1，定义域为[1，5]∪(－∞，1)＝(－∞，5]，且[1，5]∩(－∞，1)＝∅，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系，故A 正确；对于B ：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈Rx 2，x ≥2，定义域为R ∪[2，＋∞)＝R ，但R ∩[2，＋∞)＝[2，＋∞)≠∅不满足函数的定义，如当x ＝2时，f (2)＝3和4，故不是函数，故B 错误；对于C ：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，1≤x ≤5x 2，x ≤1，定义域为[1，5]∪(－∞，1]＝(－∞，5]，且[1，5]∩(－∞，1)＝{1}，且f (1)＝5和1，故不是函数，故C 错误；对于D ：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x <0x －1，x ≥5，定义域为(－∞，0)∪[5，＋∞)，且(－∞，0)∩[5，＋∞)＝∅，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系，故D 正确．7．答案：f (x )＝－x 2－4x －1解析：根据顶点为(－2，3)，设f (x )＝a (x ＋2)2＋3(a ≠0)，由f (x )过点(－3，2)，得2＝a ×1＋3，解得a ＝－1，所以f (x )＝－(x ＋2)2＋3＝－x 2－4x －1. 8．答案：－34解析：令x ＝12，则2x －1＝0，所以f (0)＝f (2×12－1)＝(12)2－2×12＝－34.关键能力综合练1．答案：C解析：由题意知：一开始岀发，心情轻松，缓慢行进，所以开始曲线比较平缓，后来发现时间比较紧，为了赶时间开始加速，所以曲线变得越来越陡峭，又因为纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，所以开始距离最大，最后距离为0，故选C.2．答案：A解析：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋1＝5，解得：x ＝－2或x ＝2(舍)，∴x ＝－2；当x >0时，f (x )＝－2x ＝5，解得：x ＝－52(舍)；综上所述：x 的值是－2. 3．答案：C解析：对于y ＝x ＋|x |x，当x >0时，y ＝x ＋1；当x <0时，y ＝x －1.即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0x －1，x <0，故其图象应为C.4．答案：B解析：因为f (x ＋1)＝x 2－2x ＋3，令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，则f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＋3＝t 2－4t ＋6，所以f (x )＝x 2－4x ＋6. 5．答案：D解析：因为函数f (x )是一次函数，且f [f (x )－4x ]＝5恒成立，令f (x )－4x ＝t ，则f (x )＝4x ＋t ，所以f (t )＝4t ＋t ＝5，解得t ＝1，所以f (x )＝4x ＋1，f (2)＝2×4＋1＝9. 6．答案：AB解析：令f (a )＝t ，故f (t )＝2，进而得t ＝－1或t ＝1，所以f (a )＝－1或f (a )＝1，由于x >0时，f (x )≥2，所以3a ＋5＝－1或3a ＋5＝1，解得a ＝－2或a ＝－43.7．答案：1解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <3f （x －2），x ≥3，所以f (5)＝f (3)＝f (1)＝12＝1，所以f (f (5))＝f (1)＝12＝1. 8．答案：－2x ＋1解析：因为f (x )＋2f (－x )＝2x ＋3，① 所以f (－x )＋2f (x )＝2·(－x )＋3，② ②×2－①得，f (x )＝－2x ＋1.9．解析：(1)∵f (2)＝2a －1＝0得a ＝12，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －1，x ≥01x ，x <0，∴f (1)＝－12，∴f (f (1))＝f (－12)＝－2.(2)当m ≥0时，由f (m )＝－m 得12m －1＝－m 解得m ＝23；当m ＜0时，由f (m )＝－m 得1m＝－m ，无实数解，综上所述，m ＝23.10．解析：(1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b ，(a ≠0)，则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ，f (x －1)＝a (x －1)＋b ，所以3f (x ＋1)－2f (x －1)＝ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝7，所以f (x )＝2x ＋7.(2)由函数f (x ＋1)＝x －1，令x ＋1＝t ≥0，则x ＝t 2－1，所以f (t )＝t 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ∈[0，＋∞).核心素养升级练1．答案：AC解析：对于选项A ，f (1x )＝1x －x ，－f (x )＝1x－x ，故满足“倒负”变换；对于选项B ，f (1x )＝1x ＋x ，－f (x )＝－1x－x ，故不满足“倒负”变换；对于选项C ，当0＜x ＜1时，f (1x)＝－x ，－f (x )＝－x ，当x ＝1时，f (1)＝0，成立，当x ＞1时，f (1x )＝1x ，－f (x )＝1x，故满足“倒负”变换；对于选项D ，f (1x )＝1－x 3x 2，－f (x )＝1－x3x，故不满足“倒负”变换．2．答案：h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2，x ≤－2或x ≥1x ，－2<x <1解析：当f (x )≤g (x )时，即2－x 2≤x ，即x 2＋x －2≥0，解得x ≤－2或x ≥1，此时，h (x )＝min{f (x )，g (x )}＝f (x )＝2－x 2；当f (x )>g (x )时，即2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.此时，h (x )＝min{f (x )，g (x )}＝g (x )＝x .综上所述，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2，x ≤－2或x ≥1x ，－2<x <1.3．解析：(1)函数f (x )的图象如图所示：(2)f (f (3))＝f (3－32)＝f (－6)＝1－2×(－6)＝13，f (a 2＋1)＝3－(a 2＋1)2＝－a 4－2a 2＋2；(3)当x >0时，f (x )≥2⇒3－x 2≥2⇒－1≤x ≤1，∴0<x ≤1；当x ＝0时，f (x )＝2，符合题意；当x <0时，f (x )≥2⇒1－2x ≥2⇒x ≤－12，综上所述：x 的取值范围为：(－∞，－12]∪[0，1].。

新人教版高中数学必修第一册函数的概念ppt课件及课时作业

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2.下列图形中不是函数图象的是
√
A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，B，C，D均符合函数定义.
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例2 (1) 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的定义域为 {_x_|_－__2_≤_ _x_≤__4_或__5_≤__x_≤__8_}__，值域为_{_y_|－__4_≤__y_≤__3_}_.
根据 y ＝ f(x) 的函数图象可看出， f(x) 的定义域为{x|－2≤x≤4或5≤x≤8}，值域为 {y|－4≤y≤3}.
1234
3.函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 022的公共点有
A.0个
√C.0个或1个
B.1个 D.以上答案都不对
1234
4.若函数y＝x2－3x的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为_{_－__2_,0_,_4_}_.
1234
课时对点练
基础巩固
1.(多选)对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有
注意点： (1)A，B是非空的实数集. (2)定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B，而是集合B的子集. (3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应. (4)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积， f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系. (5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数.

高中数学第三章函数概念与性质 3.4 函数的应用(一)精品练习(含解析)新人教A版必修第一册-新

3.4 函数的应用（一）必备知识基础练知识点一用一次函数模型解决实际问题1.某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x 的函数关系式为( )A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A．310元 B．300元C．390元 D．280元知识点二用二次函数模型解决实际问题3.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x 和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A．90万元 B．60万元C．120万元 D．120.25万元4．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______m.知识点三用幂函数、分段函数模型解决实际问题5.一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图所示，则当t＝2时，汽车已行驶的路程为( )A ．100 kmB ．125 kmC ．150 kmD ．225 km6．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x (万元)与药品利润y (万元)存在的关系为y ＝x α(α为常数)，其中x 不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．关键能力综合练一、选择题1．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为( )A ．4 050元B ．4 000元C ．4 100元D ．4 150元2．某厂生产中所需一些配件可以外购，也可以自己生产．如果外购，每个配件的价格是1.10元；如果自己生产，则每月的固定成本将增加800元，并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元，则决定此配件外购或自产的转折点(即生产多少件以上自产合算)是( )A ．1 000件B ．1 200件C ．1 400件D ．1 600件3．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元4．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m (件)与售价x (元)满足一次函数：m ＝162－3x ，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为( )A ．30元B ．42元C ．54元D ．越高越好5．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，1≤x ≤10，x ∈N ，2x ＋10，10<x <100，x ∈N ，1.5x ，x ≥100，x ∈N ，其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )A ．15B ．40C ．25D ．1306．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0时到6时，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断： ①0点到3点只进水不出水； ②3点到4点不进水只出水； ③4点到6点不进水不出水．则一定正确的是( ) A ．① B．①② C ．①③ D．①②③ 二、填空题7．稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4 000元，定额减除费用800元；每次收入在4 000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：(1)每次收入不超过4 000元的：应纳税额＝(每次收入额－800)×20%×(1－30%)； (2)每次收入在4 000元以上的：应纳税额＝每次收入额×(1－20%)×20%×(1－30%)．已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前)为________元． 8．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费________元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了________千米．9．(探究题)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是______(单位：元)．三、解答题10．某种商品在近30天内每件的销售价格P (元)和时间t (天)的函数关系为：P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，－t ＋100，25≤t ≤30.(t ∈N *)设该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q ＝40－t (0<t ≤30，t ∈N *)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？学科素养升级练1．(多选题)生活经验告诉我们，当把水注进容器(设单位时间内进水量相同)，水的高度会随着时间的变化而变化，则下列选项中容器与图象匹配正确的是( )A ．(A)—(3)B ．(B)—(1)C ．(C)—(4)D ．(D)—(2)2．某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P ＝1 000＋5x ＋110x 2，Q ＝a ＋xb ，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )A ．a ＝45，b ＝－30B ．a ＝30，b ＝－45C ．a ＝－30，b ＝45D ．a ＝－45，b ＝－303．(学科素养—数据分析)医院通过撒某种药物对病房进行消毒．已知开始撒放这种药物时，浓度激增，中间有一段时间，药物的浓度保持在一个理想状态，随后药物浓度开始下降．若撒放药物后3小时内的浓度变化可用下面的函数表示，其中x 表示时间(单位：小时)，f (x )表示药物的浓度：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ＋400<x ≤1，431<x ≤2，－3x ＋482<x ≤3.(1)撒放药物多少小时后，药物的浓度最高？能维持多长时间？(2)若需要药物浓度在41.75以上消毒1.5小时，那么在撒放药物后，能否达到消毒要求？并简要说明理由．3．4 函数的应用(一)必备知识基础练1．解析：由题意得y ＝0.3(4 000－x )＋0.2x ＝－0.1x ＋1 200.(0≤x ≤4 000) 答案：C2．解析：由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，可求得解析式y ＝500x ＋300(x ≥0)，当x ＝0时，y ＝300.答案：B3．解析：设公司在甲地销售x 台，则在乙地销售(15－x )台，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1922＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．答案：C4．解析：设隔墙的长为x m ，矩形面积为S m 2，则S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，0<x <6，所以当x ＝3时，S 有最大值为18. 答案：35．解析：t ＝2时，汽车行驶的路为s ＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50＝150(km)．答案：C6．解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y ＝x α中，即3α＝27，解得α＝3，故函数解析式为y ＝x 3，所以当x ＝5时，y ＝125.答案：125关键能力综合练1．解析：设每辆车的月租金为x (x ＞3 000)元，则租赁公司月收益为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050(x －150)－x －3 00050×50，整理得y ＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050.∴当x ＝4 050时，y 取最大值为307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元．答案：A2．解析：设生产x 件时自产合算，由题意得1.1x ≥800＋0.6x ，解得x ≥1600，故选D. 答案：D3．解析：设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20.B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15.t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.∴A 正确．答案：A4．解析：设当每件商品的售价为x 元时，每天获得的销售利润为y 元．由题意得，y ＝m (x －30)＝(x －30)(162－3x )(30≤x ≤54)．上式配方得y ＝－3(x －42)2＋432. 所以当x ＝42时，利润最大．答案：B5．解析：若4x ＝60，则x ＝15>10，不合题意；若2x ＋10＝60，则x ＝25，满足题意；若1.5x ＝60，则x ＝40<100，不合题意．故拟录用25人．答案：C6．解析：由甲乙两图知，出水的速度是进水的2倍，所以0点到3点只进水不出水，3点到4点水量减少，则一个进水口进水，另一个关闭，出水口出水；4点到6点水量不变，可能是不进水不出水或两个进水口进水，一个出水口出水，所以只有①正确，故选A.答案：A7．解析：当此人收入为4 000元时(扣税前)，应纳税(4 000－800)×20%×(1－30%)＝448＞280，可知此人收入不超过4000元(扣税前)，则设此人应得稿费为x 元(扣税前)，则(x －800)×20%×(1－30%)＝280，解得x ＝2 800.故正确答案为2 800. 答案：2 8008．解析：设出租车行驶x 千米时，付费y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋2.15x －3＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85x －8＋1，x >8，当x ＝5.6时，y ＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59(元)．由y ＝22.6，知x >8，由8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1＝22.6，解得x ＝9. 答案：14.59 99．解析：设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4xm ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x＝160⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取等号.所以该容器的最低总造价为160元．答案：16010．解析：设日销售金额为y (元)，则y ＝PQ ，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800，0<t <25，t 2－140t ＋4 000，25≤t ≤30.(t ∈N *)①当0<t <25且t ∈N *时，y ＝－(t －10)2＋900，所以当t ＝10时，y max ＝900(元)．②当25≤t ≤30且t ∈N *时，y ＝(t －70)2－900，所以当t ＝25时，y max ＝1 125(元)．结合①②得y max ＝1 125(元)．因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大．学科素养升级练1．解析：(A)容器下粗上细最上方为柱形，水高变化为逐渐变快再匀速，故(A)应匹配(4)，(B)容器下方为球形上方为柱形，水高变化为先逐渐变慢再逐渐变快再匀速，故(B)应匹配(1)；(C)，(D)容器都是柱形的，水高变化的速度都应是不变的，但(C)容器细，(D)容器粗，故(C)容器水高变化快，(D)容器慢．(C)应匹配(3)，(D)应匹配(2)，故正确匹配的是BD.答案：BD2．解析：设生产x 吨产品全部卖出，获利润为y 元，则y ＝xQ －P ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋x b －⎝ ⎛⎭⎪⎫1 000＋5x ＋110x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110x 2＋(a －5)x －1 000(x >0)．由题意知，当x ＝150时，y 取最大值，此时Q ＝40.所以⎩⎨⎧－a －52⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110＝150，a ＋150b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝－30.答案：A3．解析：(1)当0<x ≤1时，f (x )＝－x 2＋4x ＋40＝－(x －2)2＋44，∴f (x )在(0,1]上是增函数，其最大值为f (1)＝43；f (x )在(2,3]上单调递减，故当2<x ≤3时， f (x )<－3×2＋48＝42.因此，撒放药物1小时后，药物的浓度最高为43，并维持1小时．(2)当0<x ≤1时，令f (x )＝41.75，即－(x －2)2＋44＝41.75，解得x ＝3.5(舍去)或x ＝0.5；当2<x ≤3时，令f (x )＝41.75，即－3x ＋48＝41.75，解得x ≈2.08. 因此药物浓度在41.75以上的时间为2.08－0.5＝1.58小时>1.5小时， ∴撒放药物后，能够达到消毒要求．。

第三章函数的概念与性质章末测试(提升)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一

当 f x 的图象经过点 (1, 1) 时， f (1) 1 1，
因为 f x 经过点 (1, 1) ，
所以 0 时， f x 的定义域为 R ， 0时， f x 的定义域为x | x 0 ，都关于坐标原点对称，
又 f (x) x 1 x x f (x) ，
所以 f x 为奇函数，B 正确；
m 0
若
m
0
，要使
mx 2
mx
2
0
对任意实数
x
恒成立，则
Δ
m2
8m
，解得 0
0
m
8 ，综上所述，0
m
8
故选：A 8．（2023 河北）某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量 y （微克）与时间 t （小时）之间近似满足如图所示的曲线.据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗该疾病有效的时间为（）
B． f 3 0
C．
f
1 2
f
5 2
【答案】A
D． f 2023 0
【解析】因为 f x 1为偶函数，所以 f x 1 f x 1 ，
所以 f x 的图象关于 x 1 对称.所以 f x 2 f x
又因为 f x 4 f x ，所以 f x 的图象关于 x 2 对称，
A．4 小时 C． 415 小时
16 【答案】C
B． 4 7 小时 8
D．5 小时
【解析】由题意，当 0 t 1时，函数图象是一个线段，由于过原点与点 1, 4 ，故其解析式为 y 4t ，0 t 1；
当
t
1
时，函数的解析式为
y

人教A版高中数学第一册(必修1)学案1：3.1.1 函数的概念

第三章函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示3.1.1函数的概念课前自主学习知识点1函数的定义及相关概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个实数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)相关概念：x叫做，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的. 显然，值域是集合B的.(3)同一个函数：如果两个函数的相同，并且完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．『微思考』(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？(2)什么样的对应可以构成函数关系？知识点2区间及相关概念(1)一般区间的表示设a，b是两个实数，而且，我们规定：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间{x|a<x<b}开区间{x|a≤x<b}半闭半开区间{x|a<x≤b}半开半闭区间(2)实数集R可以用区间表示为，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．(3)特殊区间的表示定义区间数轴表示{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤b}{x|x<b}『微体验』1．下列区间与集合{x|x<－2或x≥0}相对应的是()A．(－2,0)B．(－∞，－2』∪『0，＋∞)C．(－∞，－2)∪『0，＋∞)D．(－∞，－2』∪(0，＋∞)2．下列集合不能用区间的形式表示的个数为()①A＝{0,1,5,10}；②{x|2<x≤10，x∈N}；③∅；④{x|x是等边三角形}；⑤{x|x≤0或x≥3}；⑥{x|x>1，x∈Q}．A．2B．3 C．4D．53．{x|x＞1且x≠2}用区间表示为________．课堂互动探究探究一函数关系的判断例1 下列对应中是A 到B 的函数的个数为( ) (1)A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |； (2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2； (3)A ＝『－1,1』，B ＝{0}，f ：x →y ＝0；(4)A ＝{1,2,3}，B ＝{a ，b }，对应关系如下图所示：(5)A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6}，对应关系如下图所示：A ．1B ．2C ．3D ．4『方法总结』判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断 (1)A ，B 必须是非空数集；(2)A 中任何一个元素在B 中必须有元素与其对应； (3)A 中任何一个元素在B 中的对应元素必须唯一．跟踪训练1 对于函数y ＝f (x )，以下说法正确的有( )①y 是x 的函数；②对于不同的x 值，y 的值也不同；③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量；④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个探究二求函数定义域问题例2 求下列函数的定义域：(1)y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x |x |－3；(3)y ＝ax －3(a 为常数)．变式探究将本例(1)改为y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 2，其定义域如何？『方法总结』求函数定义域的常用依据(1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零； (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合； (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义； (5)若f (x )是实际问题的『解析』式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．跟踪训练2 (1)设全集为R ，函数f (x )＝2－x 的定义域为M ，则∁R M 为( ) A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，2』D ．『2，＋∞)(2)函数f (x )＝xx －1的定义域为________．探究三求函数值和函数值域问题例3 已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )．(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (2))的值； (3)求f (x )，g (x )的值域．『方法总结』求函数值域的原则及常用方法(1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算确定其值域．(2)常用方法：①逐个求法：当定义域为有限集时，常用此法；②观察法：如y＝x2，可观察出y≥0；③配方法：对于求二次函数值域的问题常用此法；④换元法：对于形如y＝ax＋b＋cx＋d的函数，求值域时常用换元法，令t＝cx＋d，将原函数转化为关于t的二次函数；⑤分离常数法：对于形如y＝cx＋dax＋b的函数，常用分离常数法求值域；⑥图象法：对于易作图象的函数，可用此法，如y＝1x－1.跟踪训练3求下列函数的值域：(1)y＝3x－1，x∈{1,3,5,7}；(2)y＝－x2＋2x＋1，x∈R；(3)y＝x＋1－2x.探究四同一个函数的判定例4 下列各组函数是同一个函数的是________．(填序号)①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x0与g(x)＝1x0；③f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.『方法总结』判断同一个函数的三个步骤和两个注意点(1)判断函数是否相等的三个步骤．(2)两个注意点．①在化简『解析』式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示变量无关．跟踪训练4下列各组中的两个函数是否为同一个函数？(1)y1＝(x＋3)(x－5)x＋3，y2＝x－5；(2)y1＝x＋1·x－1，y2＝(x＋1)(x－1).随堂本课小结1．对函数概念的五点说明(1)对数集的要求：集合A，B为非空数集．(2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．(4)一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值．(5)函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可．2．求函数的定义域就是求使函数『解析』式有意义的自变量的取值范围，列不等式(组)是求函数定义域的基本方法．3．求函数的值域常用的方法有：观察法、配方法、换元法、分离常数法、图象法等．——★参*考*答*案★——课前自主学习知识点1函数的定义及相关概念(2)自变量定义域函数值值域子集(3)定义域对应关系『微思考』(1)提示：不一定，两个集合必须是非空的数集.(2)提示：两个非空数集之间是一一对应关系或多对一可构成函数关系．知识点2区间及相关概念(1)a<b『a，b』(a，b) 『a，b) (a，b』(2) (－∞，＋∞)(3) 『a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，b』(－∞，b)『微体验』1．C『『解析』』集合{ x|x<－2或x≥0}可表示为(－∞，－2)∪『0，＋∞)．2．D『『解析』』用区间表示的集合必须是连续的实数构成的集合，只有⑤是连续实数构成的集合，因此只有⑤可以用区间表示．3．(1,2)∪(2，＋∞)『『解析』』{x|x＞1且x≠2}用区间表示为(1,2)∪(2，＋∞)．课堂互动探究探究一函数关系的判断例1 B『『解析』』(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；(3)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数；(4)集合B 不是确定的数集，故不是A 到B 的函数；(5)集合A 中的元素3在B 中没有对应元素，且A 中元素2在B 中有两个元素5和6与之对应，故不是A 到B 的函数．跟踪训练1 B『『解析』』①③正确，②是错误的，对于不同的x 值，y 的值可以相同，这符合函数的定义，④是错误的，f (x )表示的是函数，而函数并不是都能用具体的式子表示出来．探究二求函数定义域问题例2 解 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1，且x ≠－1，即函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数的定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}．(3)要使函数有意义，必须使ax －3≥0.当a ＞0时，原函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≥3a ；当a ＜0时，原函数的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≤3a；当a ＝0时，ax －3≥0的解集为∅，不符合函数的定义，故此时不是函数．变式探究解由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x 2≥0，解得{x |－1＜x ≤1}．跟踪训练2 (1)A『『解析』』由2－x ≥0，解得x ≤2，所以M ＝(－∞，2』，所以∁R M ＝(2，＋∞)． (2){x |x ≥0，且x ≠1}『『解析』』要使xx －1有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －1≠0，解得x ≥0，且x ≠1，故函数f (x )的定义域为{x |x ≥0，且x ≠1}．探究三求函数值和函数值域问题例3 解 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6.(2)f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17. (3)f (x )＝11＋x 的定义域为{x |x ≠－1}，∴值域是{y |y ≠0}．g (x )＝x 2＋2的定义域为R ，最小值为2，∴值域是{y |y ≥2}．跟踪训练3 解 (1)(逐个求法)将x ＝1,3,5,7依次代入『解析』式，得y ＝2，8,14,20.∴函数的值域是{2,8,14,20}．(2)(配方法)∵y ＝－x 2＋2x ＋1＝－(x －1)2＋2≤2， ∴函数的值域是(－∞，2』．(3)(换元法或配方法)令1－2x ＝t ，则x ＝1－t 22，且t ≥0，∴原函数化为y ＝1－t 22＋t ＝－12t 2＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1≤1.∴所求函数的值域是(－∞，1』．探究四同一个函数的判定例4 ②③『『解析』』①f (x )＝－x －2x ，g (x )＝x －2x ，对应关系不同，故f (x )与g (x )不是同一个函数；②f (x )＝x 0＝1(x ≠0)，g (x )＝1x 0＝1(x ≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一个函数；③f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1，对应关系和定义域均相同，故是同一个函数．跟踪训练4 解 (1)两函数定义域不同，所以不是同一个函数．(2)y 1＝x ＋1·x －1的定义域为{x |x ≥1}，而y 2＝(x ＋1)(x －1)的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，定义域不同，所以不是同一个函数．。

人教A版高中数学必修第一册课后习题第3章函数的概念与性质 3.4 函数的应用(一)

3.4 函数的应用(一)课后训练巩固提升1.从装满20 L 纯酒精的容器中倒出1 L 酒精,然后用水加满,再倒出1 L 酒精溶液,再用水加满,照这样的方法继续下去,如果倒第k 次时前k 次共倒出纯酒精x L,倒第(k+1)次时前(k+1)次共倒出纯酒精f(x) L,则f(x)的解析式是( )A.f(x)=1920x+1 B.f(x)=120x+1 C.f(x)=1920(x+1) D.f(x)=120xk 次时共倒出纯酒精xL,所以第k 次后容器中含纯酒精(20-x)L,第(k+1)次倒出的纯酒精是20-x 20L,故f(x)=x+20-x 20=1920x+1.2.某商品的进货价为40元/件,当售价为50元/件时,一个月能卖出500件.通过市场调查发现,该商品的单价每提高1元,该商品一个月的销售量就会减少10件,为使销售该商品的月利润最高,商店应将每件商品定价为( )A.45元B.55元C.65元D.70元50元的基础上提高x元,x∈N,每月的月利润为y元,则y与x 的函数解析式为y=(500-10x)·(50+x-40)=-10x2+400x+5000,x∈N,其图象的对称轴为直线x=20,故每件商品的定价为70元时,月利润最高.3.(多选题)甲、乙两人同时从A地赶往B地,甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步;乙先跑步到两地的中点再改为骑自行车,最后两人同时到达B地.已知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快,且两人骑车的速度均大于跑步的速度.现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示如下:则上述四个函数图象中,表示甲、乙两人运动的函数关系的图象对应正确的是( )A.甲对应图①B.甲对应图③C.乙对应图②D.乙对应图④,知前半程的速度大于后半程的速度,则前半程的直线的斜率大于后半程直线的斜率.乙是先跑步,到中点后改为骑自行车,则前半程的直线的斜率小于后半程直线的斜率.因为甲骑自行车比乙骑自行车的速度快,则甲前半程的直线的斜率大于乙后半程直线的斜率,所以甲是①,乙是④.4.一批商品按期望获得50%的利润定价,结果只销售出70%的商品,为了尽早销售完剩下的商品,商场决定按定价打折出售,这样所获得的全部利润是原来所期望利润的82%,则应打( )A.六折B.七折C.八折D.九折a,商品打x折,-a)×30%=0.5a×82%-0.5a×70%,解得x=8.即商品由题意,得(1.5a·x10应打八折.5.已知直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥OC,AB=1,OC=BC=2,直线x=t截这个梯形位于此直线左方的图形的面积(图中阴影部分)为y,则函数y=f(t)的大致图象为( )0≤t≤1时,f(t)=12t·2t=t2;当1<t≤2时,f(t)=12×1×2+(t-1)×2=2t-1,故当t∈[0,1]时,函数的图象是抛物线的一部分,当t∈(1,2]时,函数的图象是一条线段,故选C.6.将边长为1 m的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,设S=(梯形的周长)2梯形的面积,则S的最小值是.,根据题意,得S(x)=√3·(3-x)21-x2(0<x<1),令3-x=t,则t∈(2,3),1t ∈(13,12),则S=√3·t2-t2+6t-8=√3·1-8t2+6t-1,故当1t =38,即x=13时,S有最小值,最小值是32√33.7.有一种新型的洗衣液,去污效果特别好.已知在装有一定量水的洗衣机中投放k(1≤k≤4,且k∈R)个单位的洗衣液时,它在水中释放的浓度y(单位:克/升)随着时间x(单位:分钟)变化的函数解析式近似为y=kf(x),其中f(x)={248-x-1(0≤x≤4),7-12x(4<x≤14).若多次投放,则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时,它才能起到有效去污的作用.(1)若只投放一次k个单位的洗衣液,第2分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升,求k的值;(2)若只投放一次4个单位的洗衣液,则有效去污时间可达几分钟?(3)若第一次投放2个单位的洗衣液,10分钟后再投放1个单位的洗衣液,则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用?请说明理由.由题意知,k(248-2-1)=3,解得k=1.(2)因为k=4,所以y={968-x -4,0≤x≤4,28-2x,4<x≤14.当0≤x≤4时,由968-x-4≥4,解得-4≤x<8,所以0≤x≤4;当4<x≤14时,由28-2x≥4,解得x≤12,所以4<x≤12.综上,当y≥4时,0≤x≤12.故只投放一次4个单位的洗衣液的有效去污时间可达12分钟.(3)能.理由:在第12分钟时,水中洗衣液的浓度为2×(7-12×12)+1×[248-(12-10)-1]=5(克/升),因为5>4,所以在第12分钟时还能起到有效去污的作用.8.在经济学中,函数f(f(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x台(x>0)报警系统装置的收益函数为R(x)=3 000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4 000(单位:元).(1)求生产P(P(P(x)取得最大值时的实际意义是什么?由题意,得P(x)=R(x)-C(x)=(3000x-20x2)-(500x+4000)=-20x2+2500x-4000,其中P(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2500(x+1)-4000-(-20x2+2500x-4000)=248 0-40x,其中x∈[1,99],且x∈N*.(2)由(1)知P(x)=-20x2+2500x-4000=-20(x-1252)2+74125.由x∈N*,知当x=62或x=63时,P(a P(x)=2480-40x,该函数是减函数,即随着产量的增加,每台报警系统装置与前一台相比较,利润在减小,故当x=1时,MP(P(x)取得最大值时的实际意义是生产第2台报警系统装置与生产第1台的总利润差最大.。

高中数学第一章集合与函数概念 12 函数及其表示 121 函数的概念学案(含解析)新人教版必修1

§1.2函数及其表示1.2.1 函数的概念学习目标 1.理解函数的概念(重点、难点).2.了解构成函数的三要素(重点).3.正确使用函数、区间符号(易错点).知识点1 函数的概念(1)函数的概念概念设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值X围值域与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的定义域和值域一定是无限集合.( )(2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.( )(3)在函数的定义中，集合B是函数的值域.( )提示(1)×函数的定义域和值域也可能是有限集，如f(x)＝1；(2)×根据函数的定义，对于定义域中的任何一个x，在值域中都有唯一确定的y与之对应；(3)×在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集.知识点2 区间及有关概念(1)一般区间的表示.设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b } 闭区间 [a ，b ] {x |a <x <b }开区间 (a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间 [a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ](2)特殊区间的表示. 定义 R {x |x ≥a } {x |x >a } {x |x ≤a } {x |x <a } 符号(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )【预习评价】已知全集U ＝R ，A ＝{x |1<x ≤3}，则∁U A 用区间表示为________. 解析 ∁U A ＝{x |x ≤1或x >3}，用区间可表示为(－∞，1]∪(3，＋∞). 答案 (－∞，1]∪(3，＋∞)题型一函数关系的判定【例1】 (1)下列图形中，不能确定y 是x 的函数的是( )(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？ ①f ：把x 对应到3x ＋1；②g ：把x 对应到|x |＋1； ③h ：把x 对应到1x；④r ：把x 对应到x .(1)解析任作一条垂直于x 轴的直线x ＝a ，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点.结合选项可知D 不满足要求，因此不表示函数关系. 答案 D(2)解 ①是实数集R 上的一个函数.它的对应关系f 是：把x 乘3再加1，对于任意x ∈R ，3x ＋1都有唯一确定的值与之对应，如当x ＝－1时，有3x ＋1＝－2与之对应. 同理，②也是实数集R 上的一个函数. ③不是实数集R x ＝0时，1x的值不存在.④不是实数集R x <0时，x 的值不存在.(1)任取一条垂直于x 轴的直线l ； (2)在定义域内平行移动直线l ；(3)若l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.【训练1】设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )解析 ①错，x ＝2时，在N 中无元素与之对应，不满足任意性.②对，同时满足任意性与唯一性.③错，x ＝2时，对应元素y ＝3∉N ，不满足任意性.④错，x ＝1时，在N 中有两个元素与之对应，不满足唯一性. 答案 B题型二相等函数【例2】(1)下列各组函数：①f (x )＝x 2－xx，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝x x；③f (x )＝（x ＋3）2，g (x )＝x ＋3； ④f (x )＝x ＋1，g (x )＝x ＋x 0；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5).其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号).(2)试判断函数y ＝x －1·x ＋1与函数y ＝（x ＋1）（x －1）是否相等，并说明理由. (1)解析 ①f (x )与g (x )的定义域不同，不是相等函数；②f (x )与g (x )的解析式不同，不是相等函数；③f (x )＝|x ＋3|，与g (x )的解析式不同，不是相等函数；④f (x )与g (x )的定义域不同，不是相等函数；⑤f (t )与g (x )的定义域、值域、对应关系皆相同，故是相等函数. 答案 ⑤y ＝x －1·x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋1≥0，解得x ≥1，故定义域为{x |x ≥1}，对于函数y ＝（x ＋1）（x －1），由(x ＋1)(x －1)≥0解得x ≥1或x ≤－1，故定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，显然两个函数定义域不同，故不是相等函数. 规律方法判断两个函数为相等函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相等函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相等函数.(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (3)在化简解析式时，必须是等价变形.【训练2】判断以下各组函数是否表示相等函数： (1)f (x )＝(x )2；g (x )＝x 2.(2)f (x )＝x 2－2x －1；g (t )＝t 2－2t －1.解 (1)由于函数f (x )＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，而g (x )＝x 2的定义域为{x |x ∈R }，它们的定义域不同，所以它们不表示相等函数.(2)两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示相等函数. 题型三求函数值【例3】已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R ).(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (3))的值.解 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f (g (3))＝f (11)＝11＋11＝112. 规律方法求函数值的方法及关注点(1)方法：①已知f (x )的解析式时，只需用a 替换解析式中的x 即得f (a )的值；②求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则.(2)关注点：用来替换解析式中x 的数a 必须是函数定义域内的值，否则函数无意义. 【训练3】已知函数f (x )＝x ＋1x ＋2. (1)求f (2)；(2)求f (f (1)). 解 (1)∵f (x )＝x ＋1x ＋2，∴f (2)＝2＋12＋2＝34. (2)f (1)＝1＋11＋2＝23，f (f (1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋123＋2＝58.【例4－1】求下列函数的定义域： (1)y ＝（x ＋1）2x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x |x |－3.解 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0.解得x ≤1，且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}.(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}. 规律方法求函数定义域的实质及结果要求(1)求函数的定义域实质是解不等式(组)，即将满足的条件转化为解不等式(组)的问题，要求把满足条件的不等式列全.(2)结果要求：定义域的表达形式可以是集合形式，也可以是区间形式. 方向2 求抽象函数的定义域【例4－2】 (1)设函数f (x )＝x ，则f (x ＋1)等于什么？f (x ＋1)的定义域是什么？ (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，那么函数y ＝f (x ＋1)的定义域是什么？解 (1)f (x ＋1)＝x ＋1.令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以f (x ＋1)＝x ＋1的定义域为[－1，＋∞).(2)函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，所以令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－1，＋∞).【例4－3】若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1，2]，根据函数定义域的定义，这里的“[1，2]”是指谁的取值X 围？使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的X 围是什么？函数y ＝f (x )的定义域是什么？解这里的“[1，2]”是自变量xx ∈[1，2]，所以x ＋1∈[2，3]，所以使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的X 围是[2，3]，所以函数y ＝f (x )的定义域是[2，3].【例4－4】 (1)已知函数y ＝f (x )的定义域为[－2，3]，求函数y ＝f (2x －3)的定义域； (2)已知函数y ＝f (2x －3)的定义域是[－2，3]，求函数y ＝f (x ＋2)的定义域.解 (1)因为函数y ＝f (x )的定义域为[－2，3]，即x ∈[－2，3]，函数y ＝f (2x －3)中2x －3的X 围与函数y ＝f (x )中x 的X 围相同，所以－2≤2x －3≤3，解得12≤x ≤3，所以函数y ＝f (2x －3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. (2)因为x ∈[－2，3]，所以2x －3∈[－7，3]，即函数y ＝f (x )的定义域为[－7，3]. 令－7≤x ＋2≤3，解得－9≤x ≤1，所以函数y ＝f (x ＋2)的定义域为[－9，1]. 规律方法两类抽象函数的定义域的求法(1)已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域：若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值集合即为f (g (x ))的定义域.(2)已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域：若f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，即a ≤x ≤b ，求得g (x )的取值X 围，g (x )的值域即为f (x )的定义域.课堂达标1.下列图象中表示函数图象的是( )解析根据函数的定义，对定义域中任意的一个x 都存在唯一的y 与之对应，而A ，B ，D 都存在一对多，只有C 满足函数的定义.故选C. 答案 C2.下列各组函数中表示相等函数的是( ) A.f (x )＝x 与g (x )＝(x )2B.f (x )＝|x |与g (x )＝x (x >0)C.f (x )＝2x －1与g (x )＝2x ＋1(x ∈N *)D.f (x )＝x 2－1x －1与g (x )＝x ＋1(x ≠1)解析选项A ，B ，C 中两个函数的定义域均不相同，故选D. 答案 Df (x )＝x －4＋1x －5的定义域是________.解析 ∵函数f (x )＝x －4＋1x －5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，x －5≠0，解得x ≥4，且x ≠5.∴函数f (x )的定义域是[4，5)∪(5，＋∞). 答案 [4，5)∪(5，＋∞)f (x )的定义域为(0，2)，则f (x －1)的定义域为________.解析由题意知0<x －1<2，解得1<x <3，故f (x －1)的定义域为(1，3). 答案 (1，3)f (x )＝x 2＋x －1.(1)求f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ；(2)若f (x )＝5，求x 的值. 解 (1)f (2)＝22＋2－1＝5， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1x－1＝1＋x －x 2x 2.(2)∵f (x )＝x 2＋x －1＝5，∴x 2＋x －6＝0， ∴x ＝2或x ＝－3.课堂小结1.函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.由于函数的定义域和对应关系一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应法则一样即可.2.f (x )是函数符号，f 表示对应关系，f (x )表示x 对应的函数值，绝对不能理解为f 与xff (x )表示外，还可用g (x )，F (x )等表示.基础过关1.下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A.y ＝(x )2B.y ＝x 2C.y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0－x ，x <0D.y ＝3x 3解析函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x 2＝|x |，对应关系不同；y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0，对应关系不同；y ＝3x 3＝x ，且定义域为R .故选D.答案 D2.下列四个图象中，是函数图象的是( )A.①B.①③④C.①②③D.③④解析由每一个自变量x 对应唯一一个f (x )可知②不是函数图象，①③④是函数图象. 答案 By ＝1－x ＋x 的定义域为( )A.{x |x ≤1}B.{x |x ≥0}C.{x |x ≥1或x ≤0}D.{x |0≤x ≤1}解析由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.答案 Df (x )＝2x －1，g (x )＝x 2，则g (f (2)－1)＝________.解析 f (2)－1＝2×2－1－1＝2，所以g (f (2)－1)＝g (2)＝22＝4. 答案 45.用区间表示下列集合： (1){x |－12≤x <5}＝________；(2){x |x <1或2<x ≤3}＝________.解析 (1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x |－12≤x <5}＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，5. (2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x |x <1或2<x ≤3}＝(－∞，1)∪(2，3].答案 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，5 (2)(－∞，1)∪(2，3]f (x )＝x ＋5＋1x －2.(1)求函数的定义域；(2)求f (－4)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值. 解 (1)使根式x ＋5有意义的实数x 的取值集合是{x |x ≥－5}，使分式1x －2有意义的实数x 的取值集合是{x |x ≠2}，所以这个函数的定义域是{x |x ≥－5}∩{x |x ≠2}＝{x |x ≥－5且x ≠2}. (2)f (－4)＝－4＋5＋1－4－2＝1－16＝56. f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋5＋123－2＝173－34＝513－34.f (x )＝x 21＋x2.(1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值； (2)求证f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 是定值.(1)解 ∵f (x )＝x 21＋x2， ∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1. f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝321＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1. (2)证明 f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. 能力提升f (x )＝ax 2－1，a 为一个正常数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是( )A.1B.0解析 f (－1)＝a ·(－1)2－1＝a －1，f (f (－1))＝a ·(a －1)2－1＝a 3－2a 2＋a －1＝－1. ∴a 3－2a 2＋a ＝0，∴a ＝1或a ＝0(舍去). 答案 Af (x )＝x －4mx 2＋4x ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值X 围是( )A.(－∞，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，43 解析 (1)当m ＝0时，分母为4x ＋3，此时定义域不为R ，故m ＝0不符合题意.(2)当m ≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝16－4×3m <0，解得m >43. 由(1)(2)知，实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞. 答案 Cf (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f (x －1)的定义域是________. 解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1，－1<x －1<1，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，0<x <2.从而0<x <2，于是函数g (x )的定义域为(0，2).答案 (0，2)f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )，且f (5)＝m ，f (7)＝n ，则f (175)＝________.解析 ∵f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )，且f (5)＝m ，f (7)＝n ，∴把x ＝5，y ＝7代入得f (5)＋f (7)＝f (35)，∴m ＋n ＝f (35)，把x ＝5，y ＝35代入得f (5)＋f (35)＝f (175)，∴m ＋m ＋n ＝f (175)，即2m ＋n ＝f (175)，∴f (175)＝2m ＋n .答案 2m ＋n数的定义域：(1)y ＝（x ＋1）0x ＋2； (2)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x . 解 (1)由于00无意义，故x ＋1≠0，即x ≠－1.又x ＋2>0，x >－2，所以x >－2且x ≠－1.所以函数y ＝（x ＋1）0x ＋2的定义域为{x |x >－2，且x ≠－1}. (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0，解得－32≤x <2，且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x <2，且x ≠0. 13.(选做题)已知甲地到乙地的高速公路长1 500 km ，现有一辆汽车以100 km/h 的速度从甲地驶往乙地，写出汽车离开甲地的距离s (单位：km)与时间t (单位：h)的函数解析式，并求出函数的定义域.解 ∵汽车在甲、乙两地之间匀速行驶，∴s ＝100 t .∵汽车行驶速度为100 km/h ，两地之间的距离为1 500 km ，∴从甲地到乙地所用时间为15小时.∴所求函数解析式为s ＝100t ，0≤t ≤15.。

高中数学人教版必修1第一章集合与函数概念单元测试卷(A)(含答案)

第一章集合与函数概念单元测试卷（A ）时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{2,4}，则A ∪B ＝( ) A ．{2} B ．{1,2,2,4} C ．{1,2,4}D ．∅2．设全集U ＝R ，集合M ＝{y |y ＝x 2＋2，x ∈U }，集合N ＝{y |y ＝3x ，x ∈U }，则M ∩N 等于( ) A ．{1,3,2,6} B ．{(1,3)，(2,6)} C ．MD ．{3,6}3．如图1所示，阴影部分表示的集合是( ) A ．(∁U B )∩A B ．(∁U A )∩B C ．∁U (A ∩B )D ．∁U (A ∪B )图14．设全集U ＝{x |0<x <10，x ∈Z }，A ，B 是U 的两个真子集，(∁U A )∩(∁U B )＝{1,9}，A ∩B ＝{2}，(∁U A )∩B ＝{4,6,8}，则( )A ．5∈A ，且5∉B B ．5∉A ，且5∉B C ．5∈A ，且5∈BD ．5∉A ，且5∈B5．下列各图中，可表示函数y ＝f (x )的图象的只可能是( )6．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )A ．[2,5] C ．(0,20)D ．N7．图中给出的对应是从A 到B 的映射的是( )8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，x 2，x <0，则f [f (－2)]的值是( )A ．2B ．－2C ．4D ．－49．函数y ＝x 2－2x ＋3，－1≤x ≤2的值域是( )A ．RB ．[3,6]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)10．已知函数f (x )是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且当x <0时，函数的部分图象如图4所示，则不等式xf (x )<0的解集是( )图4A ．(－2，－1)∪(1,2)B ．(－2，－1)∪(0,1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(1,2)D ．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(0,1)∪(2，＋∞)11．定义在R 上的偶函数f (x )在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，f (7)＝6，则f (x )( )A ．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6B ．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6C ．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6D ．在[－7,0]上是减函数，且最小值是612．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，都有x 2－x 1f (x 2)－f (x 1)>0，则( )A ．f (－5)<f (4)<f (6)B ．f (4)<f (－5)<f (6)C ．f (6)<f (－5)<f (4)D ．f (6)<f (4)<f (－5)第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，若P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |x ＋12<2，x ∈R }，则P －Q ＝________.14．函数y ＝x 2＋2x －3的单调递减区间是________．15．若函数f (x )＝kx 2＋(k －1)x ＋2是偶函数，则f (x )的递减区间是________．16．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|(0<x <2)，2－|x －1|(x ≤0，或x ≥2)，则函数y ＝f (x )与y ＝12的图象的交点个数是________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1<x <6}，C ＝{x |x >a }，U ＝R . (1)求A ∪B ，(∁U A )∩B ；(2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．18．(12分)设A ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，B ＝{x |x (x ＋4)(x －12)＝0，x ∈Z }．若A ∩B ＝A ，求a 的取值范围．19．(12分)已知函数f (x )＝－2x ＋m ，其中m 为常数． (1)求证：函数f (x )在R 上是减函数； (2)当函数f (x )是奇函数时，求实数m 的值．20．(12分)某公司生产的水笔上年度销售单价为0.8元，年销售量为1亿支．本年度计划将销售单价调至0.55～0.75元(含端点值)，经调查，若销售单价调至x元，则本年度新增销售量y(亿支)与x－0.4成反比，且当x＝0.65时，y＝0.8.(1)求y与x的函数关系式；(2)若每支水笔的成本价为0.3元，则水笔销售单价调至多少时，本年度该公司的收益比上年度增加20%?21．(12分)已知函数f(x)是正比例函数，函数g(x)是反比例函数，且f(1)＝1，g(1)＝2，(1)求函数f(x)和g(x)；(2)判断函数f(x)＋g(x)的奇偶性．(3)求函数f(x)＋g(x)在(0，2]上的最小值．22．(12分)函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(12)＝25.(1)求f(x)的解析式；(2)证明f(x)在(－1,1)上为增函数；(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.第一章集合与函数概念单元综合测试一答案第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．答案：C2．解析：M＝[2，＋∞)，N＝R.答案：C3．解析：因为阴影部分既在集合∁U B中又在集合A中，所以阴影部分为(∁B)∩A.U答案：A4．解析：可借助V enn图(如图2)解决，数形结合．图2答案：A5．解析：根据函数的概念知，只有“一对一”或“多对一”对应才能构成函数关系．答案：A6．答案：B7．解析：根据映射定义，A中每一个元素在B中仅有1个元素与之对应，仅D适合．答案：D8．解析：∵x ＝－2，而－2<0， ∴f (－2)＝(－2)2＝4. 又4>0，∴f [f (－2)]＝f (4)＝4. 答案：C9．解析：画出函数y ＝x 2－2x ＋3，－1≤x ≤2的图象，如图3所示，观察函数的图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[2,6]，所以值域是[2,6]．图3答案：C10．解析：xf (x )<0⇔x 与f (x )异号，由函数图象及奇偶性易得结论．答案：D11．解析：∵f (x )是偶函数，∴f (x )的图象关于y 轴对称．∴f (x )在[－7,0]上是减函数，且最大值为6. 答案：B12．解析：∵对任意x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，都有x 2－x 1f (x 2)－f (x 1)>0，∴对任意x 1，x 2∈(－∞，0]，若x 1<x 2，总有f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，0]上是增函数．∴f (－4)>f (－5)>f (－6)．又∵函数f (x )是偶函数，∴f (－6)＝f (6), f (－4)＝f (4)，∴f (6)<f (－5)<f (4)．答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．解析：因为x ∉Q ，所以x ∈∁R Q ，又Q ＝{x |－12≤x <72}，故∁R Q ＝{x |x <－12，或x ≥72}，故P －Q ＝{4}．答案：{4}14．解析：由x 2＋2x －3≥0，得x ≥1或x ≤－3， ∴函数减区间为(－∞，－3]．答案：(－∞，－3]15．解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝kx 2－(k －1)x ＋2＝kx 2＋(k －1)x ＋2＝f (x )． ∴k ＝1.∴f (x )＝x 2＋2，其递减区间为(－∞，0]．答案：(－∞，0]16．解析：函数y ＝f (x )的图象如图5所示，则函数y ＝f (x )与y ＝12的图象的交点个数是4.图5答案：4三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．解：(1)A ∪B ＝{x |2≤x ≤8}∪{x |1<x <6}＝{x |1<x ≤8}． ∁U A ＝{x |x <2或x >8}． ∴(∁U A )∩B ＝{x |1<x <2}． (2)∵A ∩C ≠∅，∴a <8.18．解：由B ＝{x |x (x ＋4)(x －12)＝0，x ∈Z }，得B ＝{－4,0}．由A ∩B ＝A ，得A ⊆B .于是，A 有四种可能，即A ＝∅，A ＝{－4}，A ＝{0}，A ＝{－4,0}．以下对A 分类讨论：(1)若A ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4a 2＋4＝8a ＋8<0，解得a <－1； (2)若A ＝{－4}，则Δ＝8a ＋8＝0，解得a ＝－1.此时x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0可化为x 2＝0，所以x ＝0，这与x ＝－4是矛盾的；(3)若A ＝{0}，则由(2)可知，a ＝－1； (4)若A ＝{－4,0}，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝8a ＋8>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1.综上可知，a 的取值范围是{a |a ≤－1，或a ＝1}．19．解：(1)证明：设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(－2x 1＋m )－(－2x 2＋m )＝2(x 2－x 1)，∵x 1<x 2，∴x 2－x 1>0. ∴f (x 1)>f (x 2)．∴函数f (x )在R 上是减函数． (2)∵函数f (x )是奇函数，∴对任意x ∈R ，有f (－x )＝－f (x )． ∴2x ＋m ＝－(－2x ＋m )．∴m ＝0.20．解：(1)设y ＝kx －0.4，由x ＝0.65，y ＝0.8，得k ＝0.2，所以y ＝15x －2(0.55≤x ≤0.75)．(2)依题意，(1＋15x －2)·(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)，解得x ＝0.6或x ＝0.5(舍去)，所以水笔销售单价应调至0.6元． 21．解：(1)设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ，其中k 1k 2≠0. ∵f (1)＝1，g (1)＝2，∴k 1×1＝1，k 21＝2. ∴k 1＝1，k 2＝2.∴f (x )＝x ，g (x )＝2x . (2)设h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝x ＋2x ， ∴函数h (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵h (－x )＝－x ＋2－x＝－(x ＋2x )＝－h (x )，∴函数h (x )是奇函数，即函数f (x )＋g (x )是奇函数．(3)由(2)知h (x )＝x ＋2x ，设x 1，x 2是(0，2]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则h (x 1)－h (x 2)＝(x 1＋2x 1)－(x 2＋2x 2)＝(x 1－x 2)＋(2x 1－2x 2)＝(x 1－x 2)(1－2x 1x 2)＝(x 1－x 2)(x 1x 2－2)x 1x 2，∵x 1，x 2∈(0，2]，且x 1<x 2，∴x 1－x 2<0,0<x 1x 2<2. ∴x 1x 2－2<0，(x 1－x 2)(x 1x 2－2)>0. ∴h (x 1)>h (x 2)．∴函数h (x )在(0，2]上是减函数，函数h (x )在(0，2]上的最小值是h (2)＝2 2.即函数f (x )＋g (x )在(0，2]上的最小值是2 2.22．解：(1)由题意得⎩⎨⎧f (0)＝0，f (12)＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.所以f (x )＝x 1＋x 2. (2)证明：任取两数x 1，x 2，且－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22).因为－1<x 1<x 2<1，所以x 1－x 2<0，x 1x 2<1，故1－x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，故f (x )在(－1,1)上是增函数．(3)因为f (x )是奇函数，所以由f (t －1)＋f (t )<0，得f (t －1)<－f (t )＝f (－t )．由(2)知， f (x )在(－1,1)上是增函数，所以－1<t －1<－t <1，解得0<t <12，所以原不等式的解集为{t |0<t <12}．。

高中数学必修一第三章函数的概念与性质知识总结例题(带答案)

高中数学必修一第三章函数的概念与性质知识总结例题单选题1、已知定义在R 上的奇函数f (x )在(0,+∞)上单调递增，且f(1)=0，若实数x 满足xf (x −12)≤0，则x 的取值范围是（）A ．[−12,0]∪[12,32]B ．[−12,12]∪[32,+∞)C ．[−12,0]∪[12,+∞)D ．[−32,−12]∪[0,12] 答案：A分析：首先根据函数的奇偶性和单调性得到函数f (x )在R 上单调递增，且f (1)=f (−1)=0，从而得到x ∈(−∞,−1)，f (x )<0，x ∈(−1,0)，f (x )>0，x ∈(0,1)，f (x )<0，x ∈(1,+∞)，f (x )>0，再分类讨论解不等式xf (x −12)≤0即可.因为奇函数f (x )在(0,+∞)上单调递增，定义域为R ，f(1)=0，所以函数f (x )在R 上单调递增，且f (1)=f (−1)=0.所以x ∈(−∞,−1)，f (x )<0，x ∈(−1,0)，f (x )>0，x ∈(0,1)，f (x )<0，x ∈(1,+∞)，f (x )>0.因为xf (x −12)≤0，当x <0时，f (x −12)≥0，即−1≤x −12≤0或x −12≥1，解得−12≤x <0.当x =0时，符合题意.当x >0时，f (x −12)≤0，x −12≤−1或0≤x −12≤1，解得12≤x ≤32. 综上：−12≤x ≤0或12≤x ≤32. 故选：A2、若函数f (x )=x α的图象经过点(9,13)，则f (19)=（）A ．13B ．3C ．9D ．8分析：将(9,13)代入函数解析式，即可求出α，即可得解函数解析式，再代入求值即可. 解：由题意知f (9)=13，所以9α=13，即32α=3−1，所以α=−12，所以f (x )=x −12，所以f (19)=(19)−12=3.故选：B3、若函数f(x)=x 2−mx +10在(−2,1)上是减函数，则实数m 的取值范围是（）A ．[2,+∞)B ．[−4,+∞)C ．(−∞,2]D ．(−∞,−4]答案：A分析：结合二次函数的对称轴和单调性求得m 的取值范围.函数f(x)=x 2−mx +10的对称轴为x =m 2，由于f (x )在(−2,1)上是减函数，所以m 2≥1⇒m ≥2. 故选:A4、函数f (x )=x 2−1的单调递增区间是（）A ．(−∞,−3)B ．[0,+∞)C ．(−3,3)D ．(−3,+∞)答案：B分析：直接由二次函数的单调性求解即可.由f (x )=x 2−1知，函数为开口向上，对称轴为x =0的二次函数，则单调递增区间是[0,+∞).故选：B.5、若函数f （x ）＝x ln （x +√a +x 2）为偶函数，则a 的值为（）A ．0B ．1C ．﹣1D ．1或﹣1答案：B分析：由f （x ）＝x ln （x +√a +x 2）为偶函数，则设g （x ）＝ln （x +√a +x 2）是奇函数，由g （0）＝0，可解：∵函数f（x）＝x ln（x+√a+x2）为偶函数，x∈R，∴设g（x）＝ln（x+√a+x2）是奇函数，则g（0）＝0，即ln√a=0，则√a=1，则a＝1．故选：B．6、函数f(x)=log2x−1x的零点所在的区间为（）A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)答案：B解析：判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理，判断选项.f(1)=0−1=−1<0，f(2)=1−12=12>0，且函数f(x)=log2x−1x 的定义域是(0,+∞)，定义域内y=log2x是增函数，y=−1x也是增函数，所以f(x)是增函数，且f(1)f(2)<0，所以函数f(x)=log2x−1x的零点所在的区间为(1,2).故选：B小提示：方法点睛：一般函数零点所在区间的判断方法是：1.利用函数零点存在性定理判断，判断区间端点值所对应函数值的正负；2.画出函数的图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或是转化为两个函数的图象交点判断.7、函数y=√2x+4x−1的定义域为（）A．[0,1)B．(1,+∞)C．(0,1)∪(1,+∞)D．[0,1)∪(1,+∞)答案：D分析：由题意列不等式组求解由题意得{2x≥0x−1≠0，解得x≥0且x≠1，故选：D8、设a为实数，定义在R上的偶函数f(x)满足：①f(x)在[0,+∞)上为增函数；②f(2a)<f(a+1)，则实数a 的取值范围为（）A．(−∞,1)B．(−13,1)C．(−1,13)D．(−∞,−13)∪(1,+∞)答案：B分析：利用函数的奇偶性及单调性可得|2a|<|a+1|，进而即得.因为f(x)为定义在R上的偶函数，在[0,+∞)上为增函数，由f(2a)<f(a+1)可得f(|2a|)<f(|a+1|)，∴|2a|<|a+1|，解得−13<a<1.故选：B.多选题9、某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为（）A．2.5元B．3元C．3.2元D．3.5元答案：BC分析：设每册杂志定价为x(x>2)元，根据题意由(10−x−20.2×0.5)x≥22.4，解得x的范围，可得答案.依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，设每册杂志定价为x(x>2)元，则发行量为10−x−20.2×0.5万册，则该杂志销售收入为(10−x−20.2×0.5)x万元，所以(10−x−20.2×0.5)x≥22.4，化简得x2−6x+8.96≤0，解得2.8≤x≤3.2，故选：BC小提示：关键点点睛：理解题意并求出每册杂志定价为x(x>2)元时的发行量是解题关键.10、已知函数f(x)={|x |+2,x <1x +2x,x ≥1 ，下列说法正确的是（） A ．f(f(0))=3B ．函数y =f(x)的值域为[2,+∞)C ．函数y =f(x)的单调递增区间为[0,+∞)D ．设a ∈R ，若关于x 的不等式f(x)≥|x 2+a|在R 上恒成立，则a 的取值范围是[−2,2]答案：ABD解析：作出函数f(x)的图象，先计算f(0)，然后计算f(f(0))，判断A ，根据图象判断BC ，而利用参变分离可判断D ．画出函数f(x)图象.如图，A 项，f(0)=2，f(f(0))=f(2)=3，B 项，由图象易知，值域为[2,+∞)C 项，有图象易知，[0,+∞)区间内函数不单调D 项，当x ≥1时，x +2x ≥|x 2+a|恒成立，所以−x −2x ≤x 2+a ≤x +2x 即−32x −2x ≤a ≤x 2+2x 在[1,+∞)上恒成立，由基本不等式可得x 2+2x ≥2，当且仅当x =2时等号成立，3x 2+2x ≥2√3，当且仅当x =2√33时等号成立，所以−2√3≤a ≤2.当x <1时，|x |+2≥|x 2+a|恒成立，所以−|x |−2≤x 2+a ≤|x |+2在(−∞,1)上恒成立，即−|x |−2−x 2≤a ≤|x |+2−x 2在(−∞,1)上恒成立令g (x )=|x |+2−x 2={−32x +2,x ≤0x 2+2,0<x <1 ，当x ≤0时，g (x )≥2，当0<x <1时，2<g (x )<32，故g (x )min =2；令ℎ(x )=−|x |−2−x 2={12x −2,x ≤0−3x 2−2,0<x <1 ，当x ≤0时，ℎ(x )≤−2，当0<x <1时，−72<ℎ(x )<−2，故ℎ(x )max =−2；所以−2≤a ≤2.故f(x)≥|x 2+a|在R 上恒成立时，有−2≤a ≤2. 故选：ABD ．小提示：关键点点睛：本题考查分段函数的性质，解题方法是数形结合思想，作出函数的图象，由图象观察得出函数的性质，绝对值不等式恒成立，可以去掉绝对值符号，再利用参变分离求参数的取值范围．11、已知函数f (x )={x 2,−2≤x <1−x +2,x ≥1关于函数f (x )的结论正确的是（） A ．f (x )的定义域为RB ．f (x )的值域为(−∞,4]C ．若f (x )=2，则x 的值是−√2D ．f (x )<1的解集为(−1,1)答案：BC分析：求出分段函数的定义域可判断A ；求出分段函数的值域可判断B ；分x ≥1、−2≤x <1两种情况令f (x )=2求出x 可判断C ；分x ≥1、−2≤x <1两种情况解不等式可判断D.函数f (x )={x 2,−2≤x <1−x +2,x ≥1的定义域是[−2,+∞)，故A 错误；当−2≤x <1时，f (x )=x 2，值域为[0,4]，当x ≥1时，f (x )=−x +2，值域为(−∞,1]，故f (x )的值域为(−∞,4]，故B 正确；当x ≥1时，令f (x )=−x +2=2，无解，当−2≤x <1时，令f (x )=x 2=2，得到x =−√2，故C 正确；当−2≤x <1时，令f (x )=x 2<1，解得x ∈(−1,1)，当x ≥1时，令f (x )=−x +2<1，解得x ∈(1,+∞)，故f (x )<1的解集为(−1,1)∪(1,+∞)，故D 错误．故选：BC．填空题12、写出一个同时具有下列性质的函数f(x)=___________.①f(x)是奇函数；②f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数；③f(x1x2)=f(x1)f(x2).答案：x−1（答案不唯一，符合条件即可）分析：根据三个性质结合图象可写出一个符合条件的函数解析式．f(x)是奇函数，指数函数与对数函数不具有奇偶性，幂函数具有奇偶性，又f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数，同时f(x1x2)=f(x1)f(x2)，故可选，f(x)=xα,α<0,且α为奇数，所以答案是：x−113、已知幂函数f(x)=(m2−3m+3)x m+1的图象关于原点对称，则满足(a+1)m>(3−2a)m成立的实数a 的取值范围为___________.答案：(23,4)分析：利用幂函数的定义及性质求出m值，再解一元二次不等式即可得解.因函数f(x)=(m2−3m+3)x m+1是幂函数，则m2−3m+3=1，解得m=1或m=2，当m=1时，f(x)=x2是偶函数，其图象关于y轴对称，与已知f(x)的图象关于原点对称矛盾，当m=2时，f(x)=x3是奇函数，其图象关于原点对称，于是得m=2，不等式(a+1)m>(3−2a)m化为：(a+1)2>(3−2a)2，即(3a−2)(a−4)<0，解得：23<a<4，所以实数a的取值范围为(23,4).所以答案是：(23,4)14、若幂函数y=f(x)的图像经过点(18,2)，则f(−18)的值为_________.答案：−2分析：根据已知求出幂函数的解析式f(x)=x−13，再求出f(−18)的值得解.设幂函数的解析式为f(x)=x a ，由题得2=(18)a =2−3a ,∴−3a =1,∴a =−13，∴f(x)=x −13.所以f(−18)=(−18)−13=(−12)3×(−13)=−2.所以答案是：−2.小提示：本题主要考查幂函数的解析式的求法和函数值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 解答题15、美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A ，B 两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B 芯片的毛收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）的函数关系为y =kx a (x >0)，其图像如图所示.（1）试分别求出生产A ，B 两种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式；（2）现在公司准备投入40千万元资金同时生产A ，B 两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.答案：（1）生产A ，B 两种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式分别为y =0.25x ，y =√x (x >0)，（2）9千万元分析：（1）根据待定系数法可求出函数解析式，（2）将实际问题转换成二次函数求最值的问题即可求解解：（1）因为生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设y =mx (m >0)，因为当x =1时，y =0.25，所以m =0.25，所以y =0.25x ，即生产A 芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式为y =0.25x ，对于生产B 芯片的，因为函数y =kx a (x >0)图像过点(1,1),(4,2)，所以{1=k k⋅4a=2，解得{k=1a=12，所以y=x12，即生产B芯片的毛收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系为y=√x(x>0)，（2）设投入x千万元生产B芯片，则投入(40−x)千万元生产A芯片，则公司所获利用f(x)=0.25(40−x)+√x−2=−14(√x−2)2+9，所以当√x=2，即x=4千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元。

高中数学必修一第三章函数的概念与性质考点专题训练(带答案)

高中数学必修一第三章函数的概念与性质考点专题训练单选题1、函数f(x)=log 2x −1x 的零点所在的区间为（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 答案：B解析：判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理，判断选项. f (1)=0−1=−1<0，f (2)=1−12=12>0，且函数f (x )=log 2x −1x 的定义域是(0,+∞)，定义域内y =log 2x 是增函数，y =−1x 也是增函数，所以f (x )是增函数，且f (1)f (2)<0，所以函数f(x)=log 2x −1x 的零点所在的区间为(1,2). 故选：B小提示：方法点睛：一般函数零点所在区间的判断方法是：1.利用函数零点存在性定理判断，判断区间端点值所对应函数值的正负；2.画出函数的图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或是转化为两个函数的图象交点判断. 2、函数y =√2x +4x−1的定义域为（）A ．[0,1)B ．(1,+∞)C ．(0,1)∪(1,+∞)D ．[0,1)∪(1,+∞) 答案：D分析：由题意列不等式组求解由题意得{2x ≥0x −1≠0，解得x ≥0且x ≠1，故选：D3、现有下列函数：①y =x 3；②y =(12)x；③y =4x 2；④y =x 5+1；⑤y =(x −1)2；⑥y =x ；⑦y =a x (a >1)，其中幂函数的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B分析：根据幂函数的定义逐个辨析即可幂函数满足y=x a形式，故y=x3，y=x满足条件，共2个故选：B,则f(x)（）4、设函数f(x)=x3−1x3A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减答案：A分析：根据函数的解析式可知函数的定义域为{x|x≠0}，利用定义可得出函数f(x)为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．定义域为{x|x≠0}，其关于原点对称，而f(−x)=−f(x)，因为函数f(x)=x3−1x3所以函数f(x)为奇函数．又因为函数y=x3在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递增，=x−3在(0,+∞)上单调递减，在(−∞,0)上单调递减，而y=1x3在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递增．所以函数f(x)=x3−1x3故选：A．小提示：本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．5、下列函数为奇函数的是（）A．y=x2B．y=x3C．y=|x|D．y=√x答案：B分析：根据奇偶函数的定义判断即可；解：对于A：y=f(x)=x2定义域为R，且f(−x)=(−x)2=x2=f(x)，所以y=x2为偶函数，故A错误；对于B：y=g(x)=x3定义域为R，且g(−x)=(−x)3=−x3=−g(x)，所以y=x3为奇函数，故B正确；对于C：y=ℎ(x)=|x|定义域为R，且ℎ(−x)=|−x|=|x|=ℎ(x)，所以y=|x|为偶函数，故C错误；对于D：y=√x定义域为[0,+∞)，定义域不关于原点对称，故y=√x为非奇非偶函数，故D错误；故选：B6、已知幂函数y=f(x)的图象过点P(2,4)，则f(3)=（）A．2B．3C．8D．9答案：D分析：先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求f(3)的值解：设f(x)=xα，则2α=4，得α=2，所以f(x)=x2，所以f(3)=32=9，故选：D7、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x+600x−30)元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（）A．60单位B．70单位C．80单位D．90单位答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为y，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y，然后利用基本不等式求解最值即可．解：设每生产单位试剂的成本为y，因为试剂总产量为x单位，则由题意可知，原料总费用为50x元，职工的工资总额为7500+20x元，后续保养总费用为x(x+600x−30)元，则y=50x+7500+20x+x2−30x+600x =x+8100x+40≥2√x⋅8100x+40=220，当且仅当x=8100x，即x=90时取等号，满足50≤x≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D．8、已知f(x)是一次函数，且f(x−1)=3x−5，则f(x)=（）A．3x−2B．2x+3C．3x+2D．2x−3答案：A分析：设一次函数y=ax+b(a≠0)，代入已知式，由恒等式知识求解．设一次函数y=ax+b(a≠0)，则f(x−1)=a(x−1)+b=ax−a+b，由f(x−1)=3x−5得ax−a+b=3x−5，即{a=3b−a=−5，解得{a=3b=−2，∴f(x)=3x−2.故选：A．多选题9、甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y（个）与加工时间x（分）之间的函数关系，A点横坐标为12，B点坐标为(20,0),C点横坐标为128．则下面说法中正确的是（）A．甲每分钟加工的零件数量是5个B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件C．D点的横坐标是200D．y的最大值是216答案：ACD分析：甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A正确；在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B 错误；设D 的坐标为(t,0)，由题得△AOB ∽△CBD ，则有1220=128−20t−20，解可得t =200，所以选项C 正确；当x =128时，y =216，所以y 的最大值是216.所以选项D 正确. 根据题意，甲一共加工的时间为(12−0)+(128−20)=120分钟，一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A 正确，设D 的坐标为(t,0)，在区间(128,t)和(12，20 )上，都是乙在加工，则直线AB 和CD 的斜率相等，则有∠ABO =∠CDB ，在区间(20,128)和(0,12)上，甲乙同时加工，同理可得∠AOB =∠CBD ，则△AOB ∽△CBD ，则有1220=128−20t−20，解可得t =200；即点D 的坐标是(200,0)，所以选项C 正确；由题得乙每分钟加工的零件数为600200=3个，所以甲每分钟比乙多加工5-3=2个，在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B 错误；当x =128时，y =(128−20)×2=216，所以y 的最大值是216.所以选项D 正确. 故选：ACD10、已知函数f(x)={−x,x <0x 2,x >0，则有（）A ．存在x 0>0，使得f (x 0)=−x 0B ．存在x 0<0，使得f (x 0)=x 02C ．函数f (−x )与f(x)的单调区间和单调性相同D ．若f (x 1)=f (x 2)且x 1≠x 2，则x 1+x 2≤0 答案：BC分析：根据函数解析式，分别解AB 选项对应的方程，即可判定A 错，B 正确；求出f (−x )的解析式，判定f (−x )与f(x)的单调区间与单调性，即可得出C 正确；利用特殊值法，即可判断D 错.因为f(x)={−x,x <0x 2,x >0，当x 0>0时，f(x 0)=x 02，由f (x 0)=−x 0可得x 02=−x 0，解得x 0=0或−1，显然都不满足x 0>0，故A错；当x 0<0时，f(x 0)=−x 0，由f (x 0)=x 02可得−x 0=x 02，解得x 0=0或−1，显然x 0=−1满足x 0<0，故B 正确；当x <0时，f(x)=−x 显然单调递减，即f(x)的减区间为(−∞,0)；当x >0时，f(x)=x 2显然单调递增，即f(x)的增区间为(0,+∞)；又f(−x)={x,−x <0x 2,−x >0 ={x,x >0x 2,x <0 ，因此f (−x )在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增；即函数f (−x )与f(x)的单调区间和单调性相同，故C 正确；D 选项，若不妨令x 1<x 2，f (x 1)=f (x 2)=14，则x 1=−14，x 2=12，此时x 1+x 2=14>0，故D 错；故选：BC.小提示：关键点点睛：求解本题的关键在于根据解析式判定分段函数的性质，利用分段函数的性质，结合选项即可得解.11、已知函数f (x )的定义域是(0,+∞)，且f (xy )=f (x )+f (y )，当x >1时，f (x )<0，f (2)=−1，则下列说法正确的是（） A ．f (1)=0B ．函数f (x )在(0,+∞)上是减函数C ．f (12022)+f (12021)+⋅⋅⋅+f (13)+f (12)+f (2)+f (3)+⋅⋅⋅+f (2021)+f (2022)=2022 D ．不等式f (1x )−f (x −3)≥2的解集为[4,+∞) 答案：ABD分析：利用赋值法求得f (1)=0，判断A ；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的单调性，判断B;利用f (xy )=f (x )+f (y )，可求得C 中式子的值，判断C ；求出f (14)=f (12)+f (12)=2，将f (1x )−f (x −3)≥2转化为f (1x )+f (1x−3)≥f (14)，即可解不等式组求出其解集，判断D. 对于A ，令x =y =1 ，得f (1)=f (1)+f (1)=2f (1)，所以f (1)=0，故A 正确；对于B ，令y =1x >0，得f (1)=f (x )+f (1x )=0，所以f (1x )=−f (x )，任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)−f (x 1)=f (x 2)+f (1x 1)=f (x2x 1)，因为x 2x 1>1，所以f (x2x1)<0，所以f (x 2)<f (x 1)，所以f (x )在(0,+∞)上是减函数，故B 正确；对于C ，f (12022)+f (12021)+⋅⋅⋅+f (13)+f (12)+f (2)+f (3)+⋅⋅⋅+f (2021)+f (2022) =f (12022×2022)+f (12021×2021)+⋅⋅⋅+f (13×3)+f (12×2)=f (1)+f (1)+⋅⋅⋅+f (1)+f (1)=0，故C 错误；对于D ，因为f (2)=−1，且f (1x )=−f (x )，所以f (12)=−f (2)=1，所以f (14)=f (12)+f (12)=2，所以f (1x )−f (x −3)≥2等价于f (1x )+f (1x−3)≥f (14)，又f (x )在(0,+∞)上是减函数，且f (xy )=f (x )+f (y )，所以{ 1x (x−3)≤141x>01x−3>0 ，解得x ≥4，故D 正确, 故选:ABD ．填空题12、为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W =f(t)，用−f(b)−f(a)b−a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[t1,t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，在[0,t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．答案：①②③分析：根据定义逐一判断，即可得到结果−f(b)−f(a)b−a表示区间端点连线斜率的负数，在[t1,t2]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，甲企业在[t1,t2]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1,t2]的污水治理能力最强．④错误；在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；所以答案是：①②③小提示：本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.13、已知函数f(x)=mx2+nx+2(m,n∈R)是定义在[2m,m+3]上的偶函数，则函数g(x)=f(x)+2x在[−2,2]上的最小值为______．答案：－6分析：先利用题意能得到f(−x)=f(x)和2m+m+3=0，解得n=0和m=−1，代入f(x)中，再代入g(x)，再结合二次函数的性质求最小值因为函数f(x)=mx2+nx+2(m,n∈R)是定义在[2m,m+3]上的偶函数，故{f(−x)=f(x)2m+m+3=0，即{mx2−nx+2=mx2+nx+2m=−1，则{2nx=0m=−1解得{n=0m=−1，所以g(x)=f(x)+2x=−x2+2x+2=3−(x−1)2，x∈[−2,2]，所以g(−2)=−(−2)2+2×(−2)+2=−6，g(2)=−22+2×2+2=2，则g(x)min=−6，所以答案是：-614、已知y=f(x)是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f(m-1)>f(1-2m)，则m的取值范围是_______.答案：(−12，23)分析：结合函数定义域和函数的单调性列不等式求解即可.由题意得：{-2<m-1<2，-2<1-2m<2，m-1<1-2m，解得−12<m<23.所以答案是：(−12，23)解答题15、已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=−x2+2x．（1）求x<0时，函数f(x)的解析式；（2）若函数f(x)在区间[−1,a−2]上单调递增，求实数a的取值范围．（3）解不等式f(x)≥x+2．答案：（1）f(x)=x2+2x；（2）(1,3]；（3）(−∞,−2]分析：（1）设x<0，计算f(−x)，再根据奇函数的性质f(x)=−f(−x)，即可得对应解析式；（2）作出函数f(x)的图像，利用数形结合思想，列出关于a的不等式组求解；（3）由（1）知分段函数f(x)的解析式，分类讨论解不等式再取并集即可.（1）设x<0，则−x>0，所以f(−x)=−(−x)2+2(−x)=−x2−2x又f(x)为奇函数，所以f(x)=−f(−x)，所以当x<0时，f(x)=x2+2x，（2）作出函数f(x)的图像，如图所示：要使f(x)在[−1,a −2]上单调递增，结合f(x)的图象知{a −2>−1a −2≤1，所以1<a ≤3，所以a 的取值范围是(1,3].（3）由（1）知f(x)={−x 2+2x,x ≥0x 2+2x,x <0，解不等式f(x)≥x +2，等价于{x ≥0−x 2+2x ≥x +2 或{x <0x 2+2x ≥x +2 ，解得：∅或x ≤−2 综上可知，不等式的解集为(−∞,−2]小提示：易错点睛：本题考查利用函数奇偶性求解分段函数解析式、根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，易错点是忽略区间两个端点之间的大小关系，造成取值范围缺少下限，属于基础题.。

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1.2.1 函数的概念
时间：45分钟分值：100分
一、选择题(每小题6分，共计36分)
1．下列四个方程中表示y 是x 的函数的是( ) ①x －2y ＝6 ②x 2＋y ＝1 ③x ＋y 2＝1 ④x ＝y A ．①② B ．①④ C ．③④
D ．①②④
解析：对于①，得y ＝1
2x －3，y 是x 的一次函数；
对于②，得y ＝1－x 2，y 是x 的二次函数；
对于③，得y 2＝1－x ，当x ＝－3时，y 1＝2，y 2＝－2，y 不是x 的函数；对于④，得y ＝x 2(x ≥0)，y 是x 的二次函数．答案：D
2．下列四组式子中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝4x 4，g (x )＝(4x )4 B ．f (x )＝x ，g (x )＝3
x 3 C ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2 D ．f (x )＝x 2－4
x ＋2
，g (x )＝x －2
解析：A 、C 、D 定义域不同，B 定义域、对应关系、值域都相同．答案：B
3．函数y ＝4－x 2
x －1的定义域为( )
A ．[－2,2]
B ．[－2,2)
C ．[－2,1)∪(1,2]
D ．(－2,1)∪(1,2)
解析：解不等式组⎩⎨⎧
4－x 2≥0，
x －1≠0，
解得[－2,1)∪(1,2]．
答案：C
4．若g (x )＝1－2x, f (g (x ))＝1－x 2x 2，则f (1
2)的值为( )
A ．1
B ．15
C ．4
D ．30
解析：方法一：由f [g (x )]＝1－x 2x 2，得f (1－2x )＝1
x 2－1.
设1－2x ＝t ，则x ＝1－t
2，
∴f (t )＝41－t 2－1.
∴f (12
)＝
41－12
2－1＝15.
方法二：令g (x )＝1－2x ＝1
2，
∴x ＝14.∴f (1
2)＝1－1161
16＝15.
答案：B
5．函数f (x )的定义域是[0,3]，则f (2x －1)的定义域是( ) A ．[1
2，2]
B ．[0,3]
C ．[－1,5]
D ．(1
2
，2)
解析：由f (x )定义域为[0,3]知，0≤2x －1≤3，即1
2≤x ≤2.
答案：A
6．已知集合A ＝{x |x ≥4}，g (x )＝1
1－x ＋a
的定义域为B ，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值
范围是( )
A ．(－2,4)
B ．(3，＋∞)
C ．(－∞，3)
D ．(－∞，3]
解析：g (x )的定义域B ＝{x |x <a ＋1}，由于A ∩B ＝∅，
画数轴
易得a ＋1≤4，即a ≤3，故选D.
答案：D
二、填空题(每小题8分，共计24分)
7．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．解析：由题知a<3a－1，解得a>1
2.
答案：{a|a>1
2}
8．若f(x)＝ax2－2，且f[f(2)]＝－2，则a＝________. 解析：∵f(2)＝2a－2，
∴f[f(2)]＝a(2a－2)2－2＝－ 2.
∴a＝0或
2 2.
答案：0或2
2
9．如果f(a＋b)＝f(a)·f(b)，且f(1)＝2，则f2
f1
＋f4
f3
＋f6
f5
＋…＋f2010
f2009
＝
________.
解析：∵f(a＋b)＝f(a)·f(b)，
∴f2
f1
＝f1·f1
f1
＝f(1)＝2，
f4 f3＝f3·f1
f3
＝f(1)＝2，…，
f2010 f2009＝f2009·f1
f2009
＝f(1)＝2.
∴f2
f1
＋f4
f3
＋f6
f5
＋…＋f2010
f2009
＝2＋2＋ (2)
＝2010.
答案：2010
三、解答题(共计40分)
10．(10分)已知全集U＝R，函数y＝x－2＋x＋1的定义域为A，函数y＝2x＋4 x－3
的
定义域为B.
(1)求集合A，B；
(2)求(∁U A)∪(∁U B)．
解：(1)函数y ＝x －2＋x ＋1应满足⎩
⎨⎧
x －2≥0，
x ＋1≥0，
∴x ≥2. ∴A ＝{x |x ≥2}．
函数y ＝2x ＋4x －3应满足⎩⎨⎧
2x ＋4≥0，
x －3≠0，
∴x ≥－2，且x ≠3. ∴B ＝{x |x ≥－2，且x ≠3}．
(2)∁U A ＝{x |x <2}，∁U B ＝{x |x <－2，或x ＝3}， ∴(∁U A )∪(∁U B )＝{x |x <2，或x ＝3}．
11．(15分)已知f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝1
4(x 2＋3)，若g (f (x ))＝x 2＋x ＋1，求a 的值．
解：∵f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝1
4(x 2＋3)，
∴g (f (x ))＝g (2x ＋a ) ＝1
4[(2x ＋a )2＋3] ＝x 2＋ax ＋1
4(a 2＋3)．
又g (f (x ))＝x 2＋x ＋1，
∴x 2＋ax ＋1
4(a 2＋3)＝x 2＋x ＋1，
解得a ＝1. [创新应用]
12．(15分)已知函数f (x )＝x 2
1＋x 2.
(1)求f (2)与f (12)，f (3)与f (1
3
)；
(2)由(1)中求得结果，你能发现f (x )与f (1
x )有什么关系？并证明你的发现；
(3)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2011)＋f (12)＋f (13)＋…＋f (1
2011)．
解：(1)∵f (x )＝x 2
1＋x 2，
∴f (2)＝1＋＝4
5
，
f (12
)＝122
1＋
12
2
＝15， f (3)＝321＋32＝9
10，
f (13
)＝132
1＋
13
2
＝
110
. (2)由(1)发现f (x )＋f (1
x )＝1.
证明如下： f (x )＋f (1x )＝x 2
1＋x 2
＋
1x 2
1＋
1x
2
＝x 21＋x 2＋11＋x 2＝1. (3)f (1)＝121＋12＝1
2.
由(2)知f (2)＋f (1
2)＝1，
f (3)＋f (1
3)＝1，…，
f (2011)＋f (1
2011
)＝1，
∴原式＝1
2＋
＝2010＋12＝4021
2
.。