工程制图 截交线

第2节 平面与立体相交
——求截交线 求截交线 2.1 平面与平面立体相交 2.2 平面与曲面立体相交 2.3 平面与组合体相交
•2.1 平面与平面立体相交 2.1
截平面
断面 断面的边界线是： 截交线。 断面的边界线是：截平面与立体表面的交线 —— 截交线。
一、平面立体的截交线
平面立体的截交线是截平面与平面立体表面的交线。 平面立体的截交线是截平面与平面立体表面的交线。
虚实分界点
[例12] 补画正面投影 12]
2.2.2 平面与圆锥相交
圆
三角形
椭圆
双曲线加直线段
抛物线加直线段
平面截圆锥（ 平面截圆锥（一）
截平面垂直于圆 锥轴线，截交线为 锥轴线， 垂直于轴线的圆。 垂直于轴线的圆。
截平面平行于圆锥轴 线，或截平面倾斜于 截平面过锥顶， 截平面过锥顶，截交 线为两相交直线 两相交直线。 线为两相交直线。
•2.2 平面与曲面立体相交 2
截交线 截平面 截平面
截交线
一、截交线的性质： 截交线的性质： • 截交线是截平面与曲面立体表面 截交线是截平面与曲面立体表面 曲面立 共有线。 的共有线。 • 截交线的形状取决于曲面立体表 截交线的形状取决于曲面立体表 曲面立体 面的形状及截平面与曲面立体轴 截平面与曲面立体 面的形状及截平面与曲面立体轴 线的相对位置。 线的相对位置。 截交线都是封闭的平面图形 封闭的平面图形。 • 截交线都是封闭的平面图形。
[例9] 补画侧面投影 同一立体被多个 平面截切， 平面截切，要逐个截 平面进行截交线的分 析和作图。 析和作图。
●
解题步骤： 解题步骤：
★空间及投影分析 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 ★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影
●
●
●
[例10] 补画侧面投影
●
●
●
●
[例11] 补画侧面投影 11]
7" 8"
6"
4．光滑且顺次地连接各点，作 光滑且顺次地连接各点， 出截交线，并且判别可见性； 出截交线，并且判别可见性； 5．整理轮廓线。 整理轮廓线。
Ⅲ
Ⅰ
6 4
2
Ⅶ
Ⅷ
Ⅵ
[例3] 求圆柱截交线
3' 4'5' 1'2' 5' 2" 3" 4' 1"
解题步骤
分析侧面投影为圆的一部分， 1 ． 分析侧面投影为圆的一部分 ， 截 交线的水平投影为椭圆的一部分； 交线的水平投影为椭圆的一部分； 2 ． 求出截交线上的特殊点 Ⅰ 、 Ⅱ 、 Ⅲ； 3．求出若干个一般点Ⅳ、 Ⅴ ； 光滑且顺次地连接各点， 4 ． 光滑且顺次地连接各点 ， 作出截 交线，并且判别可见性； 交线，并且判别可见性； 整理轮廓线。 5 整理轮廓线。
3
3
[例题4] 求圆锥截交线 例题4
2' 3'
a'
解题步骤
1 ． 分析 截平面为正垂 面侧平面， 面侧平面 ， 截交线为部 分椭圆和梯形的组合； 分椭圆和梯形的组合 ； 其水平投影为部分椭圆 和直线的组合， 和直线的组合 ， 侧面投 影为部分椭圆和梯形的 组合； 组合； 2．求出截交线上的特殊 点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ ； 3．出一般点Ⅳ、Ⅴ ；
二、求平面与曲面立体截交线的一般步骤 ⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状 确定截交线的形状。 的相对位置，以便确定截交线的形状。 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 ☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，予见未知投影 已知投影 投影。 截交线的已知投影，予见未知投影。
水平投影和侧面投影。 水平投影和侧面投影。 s” s’ Pv 3’ 3” 2’ 2” 1’ a’ b’ c’ c a 1 s 2 b 3 c” 1” a” b” 具体步骤如下： (1) 求Pv与s’a’、s’b’、 s’c’的交点1’、2’、3’为 截平面与各棱线的交点 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。 (2) 根据线上取点的方 法，求出1、2、3和1”、 2”、3”。 (3) 连接各点的同面投 影即等截交线的三个投 影。 (4) 补全棱线的投影。
Ⅱ Ⅳ Ⅰ Ⅲ
[例7] 求圆柱截交线
1' 4' 5' 3' 2'
y yy
4" 1" 5" 3" 2"
解题步骤
截交线为矩形、 1 ． 分析 截交线为矩形 、 椭圆 及圆和直线的组合； 及圆和直线的组合 ； 截交线的 水平投影为已知， 水平投影为已知 ， 侧面投影为 矩形、椭圆和直线的组合； 矩形、椭圆和直线的组合； 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ 、 Ⅲ 、Ⅳ； 3．求一般点Ⅴ； 4 ． 顺次地连接各点 ， 作出截 顺次地连接各点， 交线，并且判别可见性； 交线，并且判别可见性； 5．整理轮廓线。 整理轮廓线。
2.2.1 平面与圆柱相交
矩形
圆
椭圆
2.2.1 平面与圆柱相交
截平面垂直于圆 柱轴线， 柱轴线，截交线 为垂直于轴线的
圆
截平面平行于圆 柱轴线， 柱轴线，截交线 为 平行于轴 线的
截平面倾斜于圆 柱轴线， 柱轴线，截交线为
椭圆
两条直线
[例1] 求圆柱被截切后的侧面投影
分析：截平面与圆柱轴线斜 分析： 1’ 3’4’ 3” 2’ 2” 3 2 1 4” 1” 交，截交线为椭圆。 截交线为椭圆。 作图方法: 作图方法: 1.求特殊点 求特殊点 2.适当求一般点 适当求一般点 3.连线 连线 4.处理轮廓线 处理轮廓线
[例6] 求截切圆柱的水平投影和侧面投影
解题步骤
1 分析 截交线的水平投影 为圆的一部分 ， 侧面投影 为矩形； 为矩形； 2 求出截交线上的特殊点Ⅰ 求出截交线上的特殊点Ⅰ 、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ； 3 顺次地连接各点，作出截 顺次地连接各点， 交线并判别可见性 判别可见性； 交线并判别可见性； 4 整理轮廓线。 整理轮廓线。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： 当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： 先找特殊点，补充中间点。 ☆ 先找特殊点，补充中间点。 将各点光滑地连接起来， ☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。 见性。
三、具体的作图步骤
四、截交线上的特殊点
极限点 转向点 特征点 结合点
4'5' 1'
3" 5" 1" 4"
2"
5 1
3
4．光滑且顺次地连接各 作出截交线， 点 ， 作出截交线 ， 并且 判别可见性； 判别可见性； 5．整理轮廓线。 整理轮廓线。
a
4
2
[例题5] 分析圆锥切割后截交线投影的形式 例题5]
[例题6] 分析并想象出圆锥穿孔后的投影 例题6
[例题7] 已知立体的正面投影，试完成 、W两面投影 例题7 已知立体的正面投影，试完成H、 两面投影
2 5 3 4 1
[例4] 求圆柱被截切后的水平投影和侧面投影
轮廓线要不要？ 轮廓线要不要？
分析: 分析: 该圆柱被侧平面截 切后,侧面投影为矩形; 切后,侧面投影为矩形; 切后， 被水平面截切后，水平 投影为圆。 投影为圆。
[例5] 求切口圆柱的水平投影和侧面投影
解题步骤
1 分析 截交线的水平投影为 椭圆，侧面投影为圆； 椭圆，侧面投影为圆； 求出截交线上的特殊点Ⅰ 2 求出截交线上的特殊点 Ⅰ 、 Ⅳ、 Ⅴ、 Ⅷ； 求出若干个一般点Ⅱ 3 求出若干个一般点 Ⅱ 、 Ⅲ 、 Ⅵ、Ⅶ； 光滑且顺次地连接各点， 4 光滑且顺次地连接各点 ， 作 出截交线，并且判别可见性 判别可见性； 出截交线，并且判别可见性； 整理轮廓线。 5 整理轮廓线。
4 1 2 3 5
yy y
[例8] 想象出物体及其侧面投影的形状
作图步骤如下： 作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。 先作出完整基本形体的三面投影图。 （2）然后作出槽口三面投影图。 然后作出槽口三面投影图。 作出穿孔的三面投影图。 ( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
5
3 1
7 2 6 4
求截交线的实质是求两平面的交线
[例题2] 求立体截割后的投影 例题2
[例题3] 求立体截割后的投影 例题3]
1'（2'） 2" 4" 5" 1"
Ⅱ
10"
3'（4'）
10' （5'）
3"
Ⅳ Ⅺ
Ⅰ Ⅲ
Ⅹ Ⅸ
9' 11' 5 2（4） 11 1（3） 10
（6'）
8' （7'） 6 7
6" 11" 7" 8"
9"
8 9
2．棱锥上截交线的求法
[例题4] 求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的 例题4 求如图所示三棱锥被正垂面所截切，
水平投影和侧面投影。 水平投影和侧面投影。 s” s’ Pv
a’
b’
c’ c
c”来自百度文库
a”
b”
a
s b
[例题4] 求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的 例题4] 求如图所示三棱锥被正垂面所截切，
求圆锥截交线上点的方法
素线法 纬圆法
[例题1]求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影 例题1
分析：截平面过锥顶, 分析：截平面过锥顶,截交线为
三角形。 三角形。
作图： 作图：
[例题2] 求圆锥截交线 例题2]
解题步骤
截平面为正平面， 1 ． 分析 截平面为正平面 ， 截交线 为双曲线； 为双曲线 ； 截交线的水平投影和侧 面投影已知， 面投影已知 ， 正面投影为双曲线并 反映实形； 反映实形； 2．求出截交线上的特殊点A、 B ； 求出截交线上的特殊点 、
4
作图方法: 作图方法: 表面取点法
注意:当截平面与圆柱轴线交线交角为 ° 注意:当截平面与圆柱轴线交线交角为45°时， 截交线投影为圆。 截交线投影为圆。
[例2] 求圆柱截交线
1' 2'3 ' 4'5' 6'7 ' 8' 7 8 5 3 1
Ⅴ Ⅱ Ⅳ
1" 3" 5" 2" 4"
解题步骤
截平面为正垂面， 1．分析 截平面为正垂面，截 交线的侧面投影为圆， 交线的侧面投影为圆 ， 水平投 影为椭圆； 影为椭圆； 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅳ、 Ⅴ、 Ⅷ； 3．求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、 Ⅵ、Ⅶ；
二、平面立体截交线的性质
三、平面立体截交线的求法
1. 棱柱上截交线的求法
[例题1] 求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影 例题1
1‫׳2 ׳‬ 3‫׳‬ 5‫׳‬ 7‫׳‬ 4‫׳‬ 3‫״‬ 5‫״‬ 6‫׳‬ 7‫״‬ 6‫״‬ 1‫״‬ 2‫״‬ 4‫״‬
作图方法: 作图方法
1 求棱线与截平面 的共有点 2 连线 3 根据可见性处理轮廓线
平面截圆锥（ 平面截圆锥（二）
截平面倾斜于圆 锥轴线， b=f， 锥轴线，且b=f， 截交线为抛物线 抛物线。 截交线为抛物线。
截平面倾斜于圆 锥轴线， b>f， 锥轴线，且b>f， 截交线为椭圆 椭圆。 截交线为椭圆。
截平面平行于圆锥轴 线，或截平面倾斜于 圆锥轴线， 圆锥轴线，且b<f ， 截交线为双曲线 双曲线。 截交线为双曲线。
1’ (2)’ (8)’
(4)’ 3’
2”
4”
3”
1”
(12)’
7’ 11’
5’ (6)’
12” 6” 8”
5” 7”
11”
9’ (10)’
10”
9”
分析： 分析：
10 8 12 6 4
截交线有五段组成。 截交线有五段组成。 作图: 作图: 1.求特殊点； 求特殊点； 求特殊点 2.求一般点；（略） 求一般点；（略 求一般点；（ 3.连线，整理轮廓线。 连线，整理轮廓线。 连线
截平面为正垂面， 1 ． 分析 截平面为正垂面 ， 截 交线为椭圆； 交线为椭圆 ； 截交线的水平投 影和侧面投影均为椭圆； 影和侧面投影均为椭圆； 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ； 3．求出一般点Ⅴ； 4．光滑且顺次地连接各点，作 光滑且顺次地连接各点， 出截交线，并且判别可见性； 出截交线，并且判别可见性； 5．整理轮廓线。 整理轮廓线。
a' c' b' c"
a"
3．求出一般点C ； 求出一般点
b"
光滑且顺次地连接各点， 4．光滑且顺次地连接各点，作出截 交线，并且判别可见性； 交线，并且判别可见性； 5．整理轮廓线。 整理轮廓线。
最高点A 最高点
b
c
a
一般点C 一般点 最低点B 最低点
[例题3] 求圆锥截交线 例题3]
解题步骤
3'
[例题5] 求三棱锥被截切后的水平投影和侧面投影 例题5
1’
1”
2’ 3’(4’) 4” 3”
y
4
1
3
y
2
[例题6] 求立体切割后的投影 例题6
6′ 6″ 5″ 4″ 1″ 2″
（5′）
1′ 2′
4′
（3′）
3″
Ⅵ Ⅴ 3 5
1 2 6
Ⅳ Ⅲ Ⅰ Ⅱ
4
[例题7] 求三棱锥被截切后的水平投影和侧面投影 例题7