§13怎样计算磁感应强度

§13 怎样计算磁感应强度在稳恒磁场中的磁感应强度，可用毕奥-沙伐尔定律和安培环路定律来求解。

毕奥-沙伐尔定律在成块中的地位，好像静电场中的库仑定律一样，是很重要的。

它是计算磁感应强度最普遍、最基本的方法。

安培环路定律，是毕奥-沙伐尔定律的基础上加上载流导线无限长等条件而推导出来的。

困此，用安培环路定律遇到较大的限制。

但是，有一些场合，应用安培环路定律往往给我们带来不少方便。

一、用毕奥-沙伐尔定律计算真空中有一电流元Idl r ，在与它相距r r处的地方所产生的磁感应强度dB r ，由毕奥-沙伐尔定律决定。

03(1)4Idl r dB r μπ⨯=r rr式中，r r是由电流元Idl r 指向求B r 点的距离矢量。

式(1)是矢量的矢积，故dB r 垂直于dlr 与r r组成的平面，而且服从右手螺旋法则。

真空的磁导率70410/H m μπ-=⨯。

B r 是一个可叠加的物理量，因此，对于一段(弯曲的或直的)载流导线L 所产生的B r磁感应强度为：03(2)4LIdl r B r μπ⨯=⎰r r r1、 基本题例在磁场的计算中，许多习题是载流直导线和圆弧导线不同组合而成的。

因此，必须熟练掌握一段载流的长直导线和一段载流的圆弧导线的磁场的计算公式。

图2-13-1所示为一段长直载流导线，它的磁感应强度的计算公式为：()012cos cos 4B aμθθπ=- 或：()021cos cos 4B aμββπ=- 当载流直导线“无限长”时，02IB aμπ=；半无限长时，04IB aμπ=运用时，应注意a 是求B 点到载流导线的垂直距离；辨认θ与β的正负，请辨认图2-13-2中的θ，β的正负。

一段载流圆弧，半径为R ，在圆心O 点的磁感应强度为：004I B Rμθπ=方向由右手螺旋法则决定。

当2πθ=时， 002IB R μ=当θπ=时， 004IB Rμ=2、 组合题例［例1］已知如图2-13-3所示，求P 点的磁感应强度。

［解法一］由图可见，此载流导线由两根半无限长载流导线和一个半圆弧组成。

两根半无限长的载流导线在P 点产生的磁感应强度为：011222P IB Rμπ=⨯载流半圆弧在P 点产生的磁感应强度为发：0222P IB Rμ=⨯故总的磁感应强度：()01224P P P IB B B Rμππ=+=+ ［解法二］图示载流导线也可以看成两根无限长载流导线和一个载流圆环组成(如图2-13-3)。

将所得结果除以2，即为题设答案。

两根无限长载流导线和一个载流圆环在P 点所产生的磁感应强度分别为022I R μπ⨯和02IRμ，它们的和被2除，即得与解法一相同的结果。

［例2］赫姆霍兹线圈由两个细的平面线圈组成(图2-13-4)。

设半径为a ，其中心间的距离为12aOO =。

试求O 点的磁感应强度与OO 1中点的磁感应强度，并将两者的结果加以比较。

［分析］O 点的磁感应强度B 0是由两个线圈共同产生的，因此，可用叠加原理方便地求得。

［解］设两个线圈中的电流都是i ，则在O 点产生的磁感应强度为：201312ia B a μ⎛⎫=⎪⎝⎭2B =20222124ia B a a μ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎛⎫+⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦ 总的磁感应强度为：20012332222003112410.8582125ia B B B a a a ia I a a μμμ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎛⎫+⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡=+=⎢⎥⎣⎦ 同理可得1OO 中点的磁感应强度：200322220.913216m ia iB aa a μμ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭两者的相对差值为：00.9130.8586%0.913m m B B B δ--=== 可见，环心1OO 中点磁感应强度的大小是差不多的。

在磁感应强度的计算中，长直载流导线与载流圆弧组合而成的习题不少，如图2-13-5所示。

将各图示情况中的O 点之磁感应强度求出后，对于长直载流导线与载流圆弧在O 点产生的磁感应强度公式就能熟练地掌握，对叠加原理就能领会更深，对于合磁场方向的判断能力也会大大地提高。

［例3］载流I 的方线圈，边长为2a 。

求其轴线上的磁感应强度的分布(图2-13-6) ［分析］当求B r点P 与载流导线平面或线圈不是共面时，为了容易建立空间概念，能较顺利地求解，必须按照题设条件仔细地作好图。

进而容易看出这个空间是由四个平面简单组成的。

例如，长直载流导线AB 与P 共面，因而很容易用长直载流导线外一点B r的计算，求得在P 点的磁感应强度AB B r ，又因为AB 与CD 关于Z 轴对称，因而不需要计算出CD B r。

由于BC 、DA 载流在P 点所产生的BC B r 、DA B r ，在数值上与AB B r相等，而方向只要用右手法就很快可以确定。

于是其实主要是如何求AB B r的问题了。

［解］首先计算载流导线AB 在轴线上产生的磁感应强度分布。

对P 点而言，有：()0120cos cos 4AB IB r μββπ=- 式中22012,,r a z PAE PBF ββ=+=∠=。

在△PAB 中，由于PA=PB ，故为等腰三角形，由此可得：121cos cos 2cos βββ-=122220cos 2AE AP a r a zβ===++ 将0r 、1cos β代入B AB 表达式，得：0222242AB B a ra zπ=++AB B r的方向和PE 、AB 组成的平面相垂直(如图2-13-6)，它在z 轴上的分量为：()cos AB z AB B B γ=式中γ是AB B r与轴线的夹角，由图可知，它是和∠PEO 相等的，故有：220cos OEr a z γ==+()022222242AB z B a za za zπ∴=+++这个结果正确吗？让我们以特例来检查一下：当0z =时， ()002442AB z IB a a aa μππ∴==。

显然这是正确的，可见上述如此冗长的表达式是正确的。

方形线圈四条载流I 的直线在P 点产生的B r，两两互相对称，故只剩下z 轴方向分量是互相加强的，而且是相等的。

因此载流方线圈在轴上的磁感应强度沿OZ方向，其大小为：()()20222200044224AB zAB B B a z a z I B B aπμπ==++==［讨论］当z a ?时，22003328,4,,44m mP Ia B P Ia B z z μμππ===令则这表明在远场的情况下，载流线圈的几何形状形状已无关紧要。

不管线圈是什么形状，只要P m 相同，B 的表达式都 是相同的。

3、 关于积分变量的统一问题应用毕奥-沙伐尔定律解题时，象长直带电细线的电场强度计算一样，常常会遇到积分号中包含几个相关变量问题。

这时必须将相关变量由统一变量表示，方能进行积分。

积分变量 的统一原则，也是可以任意选择的，不管是否在积分号里面，只要能统一就行。

当然具体决择时，看方便而定。

现以长载流导线在P 点产生的磁感应强度计算为例，来说明怎样统一积分变量，见图2-13-7。

长直载流导线上各点流元在P 点产生的磁感应强度：02sin (1)4CDIdz B r μθπ=⎰积分号中Z 、θ、r 三个都是变量。

如选θ做自变量，则：()()sin sin sin cos cos cos cot sin a r r a r aZ r r a πθθθπθθθθθ=-==⎛⎫=-=-=-=-⎪⎝⎭2sin adz d θθ=将这些关系式代入式(1)，并注意积分限为θ1→θ2，则：()210012sin cos cos (2)44I IB d a aθθμμθθθθππ==-⎰如把z 选作积分变量，其情况又如何呢？由图可知： 222r a z =+ 22sin a zθ=+将这两个关系式代入式(1)，从z 1积分到z 2，得：()()212121022220322202220212222214444z z z zz z B dza z a z Ia dzazIa z a a z I a a z a z πμπμπμπ=++=+=+⎛⎫ ⎪=-⎪++⎝⎭⎰⎰其实，容易从图2-10-5中得知：2121222221sin sin Z aZ aββ==++故 ()021sin sin 4IB aμββπ=-当然也可以把r 作为自变量，情况与上述相似。

必须指出，不但可以把积分号包含的变量选作自变量，而且也可以选择与r 、θ、z 这三个量都有关的其它量，如β作为自变量，有时这样作还受到人们的欢迎。

把β作为自变量时，由图可知：2sin cos sec tan sec r a z a dz a d θβββββ====故()212120220021sec cos sec cos 4sin sin 4Ia d B a I d a Iaββββμββββμββπμββπ===-⎰⎰总之，只要能将积分号里包含的几个变量统一，可以任意选择一个为自变量，而不管这个变量是否包含在积分号中。

当然，究竟选择哪一个？要根据具体情况而定。

二、利用安培环路定律 真空中的安培环路定律为：0i LB dl I μ⋅=∑⎰r r Ñ它表明：B r的环流是由闭合环路(俗称安培环路)L 中包围的电流的代数和决定的。

因此，它并不表明i I ∑与环路上各点B r的直接关系。

但是，这并不妨碍安培环路定律在某些情况下可以用来求环路上某点的磁感应强度B r。

已知电流的分布i I ∑，要用安培环路定律来求B r，必须要求i I ∑所产生的磁场具有一定的性质---作为待求的未知量B r应能从LB dl ⋅⎰r r Ñ的积分号中提出来。

因此，利用安培环路定律来求B r，关键在于“怎样合理选取安培环路？”例如，载流环形螺线管的磁感应线形成一个个的同心圆，在每一圆形磁感应线上，B 的大小处处相等，其方向处处与圆形相切。

如要求管内离开圆心为r 的点之磁感应强度B ，则可选择以r 为半径的同心圆为安培环路。

此时，根据安培环路定律得：2LB dl B r π⋅=⎰r r Ñ根据安培环路定律有：0022rBNINI B rπμμπ==令 02Nn B nI rμπ== 式中 I---螺线管中的电流 N----螺线管的匝数。

从这个例子，很容易提出一个问题：安培环路上B 的大小各点B 的大小都要相等，才能利用安培环路定律来求B r呢？不是的。

例如长直密绕螺线管里中部的B(图2-13-8)。

我们选取abcda 为安培环路。

在ab 段。

各点的B r沿着ab ，且大小相同，bc da 、两段，在管内部分，B 不等于零，但都与bc da 或相垂直，因此Bdl rr 也都等于零，即对B 的环流没有贡献，至于管外部分，与cd 段上的各点B一样都为零。