§13怎样计算磁感应强度

§13 怎样计算磁感应强度

在稳恒磁场中的磁感应强度，可用毕奥-沙伐尔定律和安培环路定律来求解。

毕奥-沙伐尔定律在成块中的地位，好像静电场中的库仑定律一样，是很重要的。它是计算磁感应强度最普遍、最基本的方法。安培环路定律，是毕奥-沙伐尔定律的基础上加上载流导线无限长等条件而推导出来的。困此，用安培环路定律遇到较大的限制。但是，有一些场合，应用安培环路定律往往给我们带来不少方便。 一、用毕奥-沙伐尔定律计算

真空中有一电流元Idl r ，在与它相距r r

处的地方所产生的磁感应强度dB r ，由毕奥-沙伐

尔定律决定。

03

(1)4Idl r dB r μπ⨯=

r r

r

式中，r r

是由电流元Idl r 指向求B r 点的距离矢量。式(1)是矢量的矢积，故dB r 垂直于dl

r 与r r

组成的平面，而且服从右手螺旋法则。真空的磁导率7

0410/H m μπ-=⨯。

B r 是一个可叠加的物理量，因此，对于一段(弯曲的或直的)载流导线L 所产生的B r

磁感

应强度为：

03(2)4L

Idl r B r μπ

⨯=

⎰r r r

1、 基本题例

在磁场的计算中，许多习题是载流直导线和圆弧导线不同组合而成的。因此，必须熟练掌握一段载流的长直导线和一段载流的圆弧导线的磁场的计算公式。 图2-13-1所示为一段长直载流导线，它的磁感应强度的计算公式为：

()0

12cos cos 4B a

μθθπ=

- 或：

()0

21cos cos 4B a

μββπ=

- 当载流直导线“无限长”时，02I

B a

μπ=

；

半无限长时，04I

B a

μπ=

运用时，应注意a 是求B 点到载流导线的垂直距离；辨认θ与β的正负，请辨认图2-13-2中的θ，β的正负。

一段载流圆弧，半径为R ，在圆心O 点的磁感应强度为：

004I B R

μθ

π=

方向由右手螺旋法则决定。 当2

π

θ=

时， 002I

B R μ=

当θπ=时， 004I

B R

μ=

2、 组合题例

［例1］已知如图2-13-3所示，求P 点的磁感应强度。

［解法一］由图可见，此载流导线由两根半无限长载流导线和一个半圆弧组成。 两根半无限长的载流导线在P 点产生的磁感应强度为：

011222P I

B R

μπ=⨯

载流半圆弧在P 点产生的磁感应强度为发：

0222P I

B R

μ=⨯

故总的磁感应强度：

()01224P P P I

B B B R

μππ=+=

+ ［解法二］图示载流导线也可以看成两根无限长载流导线和一个载流圆环组成(如图2-13-3)。将所得结果除以2，即为题设答案。

两根无限长载流导线和一个载流圆环在P 点所

产生的磁感应强度分别为022I R μπ⨯和02I

R

μ，它们的和被2除，即得与解法一相同的结果。

［例2］赫姆霍兹线圈由两个细的平面线圈组成(图2-13-4)。设半径为a ，其中心间的距离为12

a

OO =

。试求O 点的磁感应强度与OO 1中点的磁感应强度，并将两者的结果加以比较。

［分析］O 点的磁感应强度B 0是由两个线圈共同产生的，因此，可用叠加原理方便地求得。

［解］设两个线圈中的电流都是i ，则在O 点产生的磁感应强度为：

201312

ia B a μ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

2B =

2022

2124ia B a a μ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥

⎛⎫+⎢⎥

⎪⎝

⎭⎣⎦ 总的磁感应强度为：

2001233

222200311

2410.8582125ia B B B a a a ia I a a μμμ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎛⎫+⎢⎥

⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

⎡=+=⎢⎥⎣

⎦ 同理可得1OO 中点的磁感应强度：

2003

22

220.913

216m ia i

B a

a a μμ=

=⎛⎫

+ ⎪

⎝

⎭

两者的相对差值为：

00.9130.858

6%0.913

m m B B B δ--=

== 可见，环心1OO 中点磁感应强度的大小是差不多的。

在磁感应强度的计算中，长直载流导线与载流圆弧组合而成的习题不少，如图2-13-5所示。将各图示情况中的O 点之磁

感应强度求出后，对于长直载流导线与载流圆弧在O 点产生的磁感应强度公式就能熟练地掌握，对叠加原理就能领会更深，对于合磁场方向的判断能力也会大大地提高。 ［例3］载流I 的方线圈，边长为2a 。求其轴线上的磁感应强度的分布(图2-13-6) ［分析］当求B r

点P 与载流导线平面或线圈不是共面时，为了容易建立空间概念，能较顺利地求解，必须按照题设条件仔细地作好图。进而容易看出这个空间是由四个平面简单组

成的。例如，长直载流导线AB 与P 共面，因而很容易用长直载流导线外一点B r

的计算，求

得在P 点的磁感应强度AB B r ，又因为AB 与CD 关于Z 轴对称，因而不需要计算出CD B r

。由于BC 、DA 载流在P 点所产生的BC B r 、DA B r ，在数值上与AB B r

相等，而方向只要用右手法就

很快可以确定。于是其实主要是如何求AB B r

的问题了。

［解］首先计算载流导线AB 在轴线上产生的磁感应强度分布。对P 点而言，有：

()0120

cos cos 4AB I

B r μββπ=

- 式中22012,,r a z PAE PBF ββ=+=∠=。

在△PAB 中，由于PA=PB ，故为等腰三角形，由此可得：

121cos cos 2cos βββ-=

122220cos 2AE AP a r a z

β=

==

++ 将0r 、1cos β代入B AB 表达式，得：

02

2

2

2

42AB B a r

a z

π=

++

AB B r

的方向和PE 、AB 组成的平面相垂直(如图2-13-6)，它在z 轴上的分量为：