三角函数图象及应用

函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用

1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念

y

＝A sin(ωx ＋

φ)(A >0，ω>0)，x ∈

[0，＋∞)

振幅 周期 频率 相位 初相 A

T ＝

2πω

f ＝1

T ＝ω

2π

ωx ＋φ

φ

2.如下表所示.

x

0－φ

ω π2

－φω π－φ

ω 3π2

－φω 2π－φ

ω ωx ＋φ

0 π2

π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ) 0

A

－A

3.函数y x y A x

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)作函数y ＝sin(x －π6)在一个周期的图象时，确定的五点是(0,0)，(π

2，1)，(π，0)，(3π2，－

1)，(2π，0)这五个点．( × )

(2)将函数y ＝3sin 2x 的图象左移π

4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin(2x ＋

π

4

)．( × ) (3)函数y ＝sin(x －π4)的图象是由y ＝sin(x ＋π4)的图象向右移π

2

个单位长度得到的．( √ )

(4)函数y ＝sin(－2x )的递减区间是(－3π4－k π，－π

4－k π)，k ∈Z .( × )

(5)函数f (x )＝sin 2x 的最小正周期和最小值分别为π，0.( √ )

(6)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为

T

2

.( √ )

1．(2014·)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1

2个单位长度

B ．向右平行移动1

2个单位长度

C ．向左平行移动1个单位长度

D ．向右平行移动1个单位长度 答案 A

解析 y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin 2(x ＋1

2)的图象，即函数y ＝

sin(2x ＋1)的图象．

2．(2013·)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π

2)的部分图象如图所

示，则ω，φ的值分别是( ) A ．2，－π

3

B ．2，－π

6

C ．4，－π

6

D ．4，π

3

答案 A

解析 ∵34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π

3，∴T ＝π，∴ω＝2，

∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π

3，k ∈Z ，

又φ∈⎝⎛⎭

⎫－π2，π2，∴φ＝－π

3，故选A.

3．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π

3个单位长度后，所得的图象与原

图象重合，则ω的最小值等于( ) A.13 B ．3 C ．6 D ．9

答案 C

解析 由题意可知，nT ＝π

3 (n ∈N *)，

∴n ·2πω＝π

3

(n ∈N *)，

∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.

4．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π

2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，

则下列说确的是________．(填序号) ①f (x )的图象过点(0，3

2)；

②f (x )在[π12，2π

3]上是减函数；

③f (x )的一个对称中心是(5π

12

，0)；

④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝3sin ωx 的图象． 答案 ①③

解析 ∵周期为π，∴2π

ω＝π⇒ω＝2，

∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，f (23π)＝3sin(4π

3＋φ)，

则sin(4π

3

＋φ)＝1或－1.

又φ∈(－π2，π2)，4π

3＋φ∈(5π6，116π)，

∴

4π3＋φ＝3π2⇒φ＝π6

， ∴f (x )＝3sin(2x ＋π6)．

①：令x ＝0⇒f (x )＝3

2

，正确．

②：令2k π＋π2<2x ＋π

6<2k π＋3π2，k ∈Z

⇒k π＋π

6

令k ＝0⇒π

6

，

即f (x )在(π6，23π)上单调递减，而在(π12，π

6)上单调递增，错误．

③：令x ＝5π

12⇒f (x )＝3sin π＝0，正确．

④：应平移π

12

个单位长度，错误.

题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换

例1 设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；

(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；

(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到的． 解 (1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx

＝2(12sin ωx ＋32cos ωx )＝2sin(ωx ＋π3)，

又∵T ＝π，∴2π

ω＝π，即ω＝2.

∴f (x )＝2sin(2x ＋π

3

)．

∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π

3.

(2)令X ＝2x ＋π

3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X .

列表，并描点画出图象：

x －π

6 π12 π3 7π12 5π6 X 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin X

1

－1