光波的亥姆霍兹方程在多数情况下

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光波场的复振幅描述

z
0 x k: 传播矢量
球面波的等位相面: kr=c. 为球面
§1-1光波场的复振幅描述
会聚球面波
会聚球面波 U(P) a0 ejkr r
(P(x,y,z)) y (rkLeabharlann 会聚点S z 0 x.
§1-1光波场的复振幅描述
球面波 : 空间分布
P点处的复振幅:U(P) a0 ejkr 取决于k与r是平行
在与原点相距为 z 的平面上考察平面波的复振幅:
.
§1-1光波场的复振幅描述
光振动的复振幅表示: 说明
U(P) = a(P) e jj(P)
• U(P)是空间点的复函数, 描写光场的空间分布, 与时间无关;
• U(P)同时表征了空间各点的振幅 |U(P)| = |a(P)|
和相对位相 arg(U)= j(P)
• 方便运算, 满足叠加原理
• 实际物理量是实量. 要恢复为真实光振动:
光场随时间的变化关系: 由频率n表征. 可见光: n ~1014Hz
光场变化的时间周期为1/ n. 严格单色光: n为常数
光场随空间的变化关系体现在: (1) 空间各点的振幅可能不同
光场变化的空间周期为l.
(2) 空间各点的初位相可能不同, 由传播引起.
由于u(P,t) 必须满足波动方程，
可以导出a(P)、n、 .j(P)必须满足的关系
u(P,t)= e{U(P)exp(-j2pnt)} 即可
• 光强分布: I = UU*
光强是波印廷矢量的时间平. 均值, 正比于电场振幅的平方
§1-1光波场的复振幅描述
2、球面波的复振幅表示
球面波: 等相面为球面, 且所有等相面有共同中心的波
点光源或会聚中心

基尔霍夫公式

（4）
3．基尔霍夫衍射积分公式的证明． ⑴ 应用基尔霍夫边界条件为了简化亥姆霍兹－基尔霍夫公式，使其成为更便于计算衍射问题的形式，可按图 x 的方式选取闭合面 S = Σ + Σ1 + Σ 2 ，其中
图3
Σ1 －位于 ( ξ ,η ) 平面上一个无穷大的不透明屏；
Σ －不透明屏上一个开孔（衍射孔径）；
r
P
∂E 来表示（图 1）。下面介 ∂n
r
n
ε
P1
Sε
S
V
图1
图2
3．应用格林定理．格林定理表示为：
∫∫∫ ( G∇ E − E∇ G )dv = ∫∫ G ∂n − E ∂n dσ
2 2 v S

∂E
∂G
（5）
式中 E 为包围 P 点的任意封闭面 S 上的电场，格林函数 G =
（17）
上式中， Ω 是 Σ 2 对 P 点所张的立体角， d ω 是立体角元。由于
GR = exp ( jkR ) 在 Σ 2 上一致有界，只要满足下述的索末菲辐射条件：
∂E lim R + jkE = 0 R →∞ ∂n
（18）
对 Σ 2 的积分就会随着 R → ∞ 而消失。
exp ( jkR ) R
∂G ( P ) 1 e jkR 1 = cos ( n , R ) jk − ≈ − jkG ∂n R R 因为:R → ∞, con ( n , R ) = −1
（16）
于是，对 Σ 2 的积分化简为：
1 4π ∂E ∂E + E ( jkG ) dσ = ∫∫ R + ( jkE ) ( GR ) dω G ∫∫ ∂n ∂n Σ1 Ω

证明亥姆霍兹方程

证明亥姆霍兹方程嘿，朋友们！今天咱们来唠唠那个超有趣的亥姆霍兹方程，就像探索一个神秘的魔法公式一样。

你看啊，亥姆霍兹方程长这样：▽²ψ + k²ψ = 0。

这方程看起来就像一个严丝合缝的小迷宫，▽²ψ就像是迷宫里那些弯弯曲曲的小道，它代表着拉普拉斯算子作用在函数ψ上。

这拉普拉斯算子啊，就像一个超级爱找事儿的小管家，到处查看函数的变化情况，不放过任何一个小角落，就跟那种特别较真儿的人似的。

然后呢，这个k²ψ就像是一个小跟班，跟在▽²ψ后面。

k²就像一个小魔法数字，它有着特殊的魔力。

如果把这个方程想象成一场舞蹈，那k²就决定了这场舞蹈的节奏。

有时候这个k就像一个调皮的小精灵，蹦来蹦去，不同的值会让整个方程的解跳出完全不同的舞步。

这个方程在很多地方都超级有用呢，就像一把万能钥匙。

在声学里，它能帮我们搞清楚声音是怎么在空间里跑来跑去的。

比如说，你在一个大音乐厅里，声音的传播就像是一群小蚂蚁按照亥姆霍兹方程这个路线图在搬家。

如果没有这个方程，那就像是小蚂蚁们没了方向，到处乱撞，那声音就乱套啦。

在电磁学里，亥姆霍兹方程也特别厉害。

它就像一个超级侦探，能够追踪电场和磁场的蛛丝马迹。

电场和磁场就像一对调皮的双胞胎，在空间里玩捉迷藏，而亥姆霍兹方程就是那个能把它们找出来的聪明家伙。

想象一下，这个方程是一个超级英雄，在物理世界里拯救那些关于波的难题。

不管是水波还是光波，只要遇到问题，亥姆霍兹方程就会像超人一样飞过来，把问题搞定。

它就像一个超级厨师，不管是面对声学的食材还是电磁学的食材，都能烹饪出美味的答案。

当我们求解这个方程的时候，就像是在拆一个超级复杂的礼物。

每一步都充满了惊喜和挑战。

有时候我们可能会被那些复杂的数学运算搞得晕头转向，就像走进了一个旋转的迷宫，找不到出口。

但是一旦我们找到了答案，就像是挖到了宝藏一样兴奋。

而且啊，亥姆霍兹方程还像一个桥梁，连接着不同的物理现象。

二、光纤传输基本理论..

（1）几何光学射线法当光线芯径远大于光波波长 0 时，可近似认为 0 0 , 从而将光波近似看成由一根光线所构成。因此，可以用几何光学的方法来分析光线的入射、传播(轨迹)，以及时延(色散) 和光强分布等特性。优点：简单直观，在分析芯径较粗的多模光纤时可以得到较精确的结果；缺点：不能解释诸如模式分布、包层模、模式耦合，以及光场分布等现象。而且当工作波长于芯径可比较(单模光纤)，误差较大。
霍兹方程进行空间坐标纵、横分离，令 x, y, z x, y eiz
•上式代入亥姆霍兹方程(2-4)式，得
2 2 2 2 2 2 x , y x , y x , y x, y 0 t 2 z
2 6
上式就是光纤波导中光传播时遵从的波导场方程。这是波动理论方法的最基本方程。显然，它也是一个典型的本征方程。当给定波导的边界条件时,求解波导场方程可得本征解及相应
的本征值。通常将本征解定义为“模式”.
• 模式和基本特征
a) 每一个模式对应于沿光波导轴向传播的一种电磁波; b) 每一个模式对应于某一本征值并满足全部边界条件; c) 模式具有确定的相速群速和横场分布. d) 模式是波导结构的固有电磁共振属性的表征。给定的波导中能够存在的模式及其性质是已确定了的,外界激励源只能激励起光波导中允许存在的模式而不会改变模式的固有性质。
• 当导模的本征值 n1k0 时，导模场紧紧束缚于纤芯中
传输，称之为导模“远离截止”。每一个导模都对应于一合适的V值使其远离截止，称之为导模的“远离截止条
件”。
• 直观的理解：光纤包层中出现辐射模，则导波“截
止”，不出现辐射模，则导模“远离截止”。

电动力学复习总结第四章电磁波的传播2012答案

第四章电磁波的传播一、填空题1、色散现象是指介质的( )是频率的函数. 答案：,εμ2、平面电磁波能流密度s 和能量密度w 的关系为( )。

答案：S wv =3、平面电磁波在导体中传播时,其振幅为( )。

答案：0x E e α-⋅ 。

6、 7、 9、的贡10、矩形波导中，能够传播的电磁波的截止频率=n m c ,,ω( )，当电磁波的频率ω满足( )时，该波不能在其中传播。

若b ＞a ，则最低截止频率为( )，该波的模式为( )。

答案： 22,,)()(b n a m n m c +=μεπω，ω＜n m c ,,ω，μεπb ，01TE11、全反射现象发生时,折射波沿( )方向传播.答案：平行于界面12、自然光从介质1(11με，)入射至介质2(22με，),当入射角等于( )时,反射波是完全偏振波.答案：201n i arctg n = 13、迅变电磁场中导体中的体电荷密度的变化规律是( ). 答案：0t e σερρ-= 1、）．均匀介质 B.真空中 C.导体内 D. A ．6、平面电磁波E 、B 、k 三个矢量的方向关系是（）A ．B E ⨯沿矢量k 方向 B. E B ⨯沿矢量k 方向C.B E ⨯的方向垂直于kD. k E ⨯的方向沿矢量B 的方向答案：A7、矩形波导管尺寸为b a ⨯ ,若b a >,则最低截止频率为（）A ．μεπa B. μεπb C. b a 11+μεπ D. a2μεπ 答案：A 8、亥姆霍兹方程220,(0)E k E E ∇+=∇⋅=对下列那种情况成立（） A ．真空中的一般电磁波 B. 自由空间中频率一定的电磁波C. 自由空间中频率一定的简谐电磁波D. 介质中的一般电磁波答案：C9、矩形波导管尺寸为b a ⨯ ,若b a >,则最低截止频率为（） 1、 21E E →∂-21B B →∂-表明：电场与磁场相互激发形成电磁波, 电磁波可以脱离场源而存在；222210E E B B v t ∂-⋅-⋅=∂ 一般随ω变化，存在色散（3）亥姆霍兹方程：(220,0E k E k E i B E ωεμω∇+==∇⋅==-∇⨯ 表示以一定频率按正弦规律变化的单色电磁波的基本方程，其每个解都代表一种可能存在的波模。

亥姆霍兹方程

, z) exp[ j (cos
x
cos
y)]d(cos )d(cos )
研究角谱的传播就是要找到上面两个角谱，即 z 0 平面上的角谱和 z z 平面上的角谱之间的关系
18
复振幅分布及其角程讨论传播规律
19 0 6
将 U(x, y, z) 表达式代入亥姆霍兹方程,改变积分与微分的顺序，可以推导出，二阶线性微分方程
算得到为
A( f x , f y , z) U (x, y, z) exp[ j (xf x yf y )]dxdy
由于各个不同空间频率的空间傅里叶分量可看作是沿不同
方向传播的平面波，因此称空间频谱为平面波谱即复振幅
分布的角谱
同时有逆变换为 U (x, y, z) A( f x , f y , z) exp[ j (xf x yf y )]dfxdf y
6
球面波的复振幅表示
19 0 6
从点光源发出的光波，在各向同性介质中传播时形成球形的波面，称为球面波。一个复杂的光源常常可以看做是许多点光源的集合,它所发出的光波就是球面波的叠加这些点光源互不相干时是光强相加，相干时则是复振幅相加。球面波的等位相面是一组同心球面，每个点上的振幅与该点到球心的距离成反比当直角坐标的原点与球面波中心重合时，单色发散球面波在光场中任何一点产生的复振幅可写作
exp
j
k z
x x
y
y
位相相同的点的轨迹，即等位相线方程为同心圆族
x x y y C
10
平面波的复振幅表示
19 0 6
在任意时刻、与波矢量相垂直的平面上振幅和位相为常数的光波称为平面波如波矢量 k 表示光波的传播方向，其大小为 k 2 ，方向余弦为 cos,cos,cos ，则平面波传播到空间某点的复振幅的一般表达式为 U (x, y, z) a exp( jk r)

基尔霍夫公式

2 －以考察点 P 为球心，半径 R 趋于无穷大的球面。
于是公式（4）的亥姆霍兹－基尔霍夫积分可表示为：
E
7/26/2021
p
1 4
1 2
E
n
exp jkr
r
E
exp jkr
n学习文r档
d
（14）
为了确定这三个面上的 E ，E 值，可以应用基尔霍夫边界条件（或基尔霍夫 n
（21）
7/26/2021
学习文档
⑶ 亥姆霍兹－基尔霍夫积分的进一步化简
如图 x 所示，对孔径平面上的任意点 Q ，设 E 是从 S0 点发出的单色球面波在 Q 点的分布，格林函数为 Q 点
发出的球面子波对考察点 P 的贡献量，于是有：
E Q A e jkr0 ，
r0
G Q e jkr
r
（22）
所示的闭合面传播时，光波复振幅 7/26/2021
E
r
可用学上习式文来档描述。
2．亥姆霍兹－基尔霍夫定理 1882 年，基尔霍夫从亥姆霍兹方程出发，利用数学上的格林定理，导出
了一个求解标量波衍射的基本公式，即亥姆霍兹－基尔霍夫定理：
E p
1 4
s
E n
exp
r
jkr
E
n
exp
r
2E K 2E 0
（6）
2E K 2E 0
并将上述方程代入格林定理，容易证明其左边：
G2E E2Gdv 0
v
于是，格林定理化简为：
S
G
E n
E
G n
d
S
G
E n
E
G n
d
（7）（8）（9）

求解亥姆霍兹方程

求解亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程是物理学中的一类重要方程，广泛应用于声学、电磁学、量子力学等领域。

求解亥姆霍兹方程是这些领域中的重要问题，下面我们来探讨一下。

一、亥姆霍兹方程的定义亥姆霍兹方程是一个二阶偏微分方程，它的一般形式为：$$ \Delta u + k^2 u = f $$其中，$u$是未知函数，$k$是常数，$f$是给定的源函数，$\Delta$是拉普拉斯算子。

该方程可以描述一个介质中的波动现象。

二、亥姆霍兹方程的求解方法亥姆霍兹方程的求解方法主要有两种：分离变量法和格林函数法。

1. 分离变量法分离变量法是一种常用的求解亥姆霍兹方程的方法。

该方法将未知函数表示为一系列单独的函数的乘积，从而将亥姆霍兹方程转化为一系列常微分方程，再求解这些常微分方程。

例如，对于一个圆柱体内的亥姆霍兹方程，我们可以将未知函数表示为：$$ u(r,\theta,z) = H(r) G(\theta) F(z) $$其中，$r$、$\theta$和$z$分别是圆柱体内的径向、角向和轴向坐标，$H$、$G$和$F$是对应的函数。

代入亥姆霍兹方程，得到：$$ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r\frac{\partial H}{\partial r} \right) G F + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 G}{\partial \theta^2} H F + \frac{\partial^2 F}{\partial z^2} H G + k^2 H G F = f $$将分离变量后的方程化为各自的常微分方程后，我们可以分别求解$H$、$G$和$F$，再将其乘积得到原方程的解。

2. 格林函数法格林函数法也是一种常用的求解亥姆霍兹方程的方法。

该方法基于格林函数理论，通过求解一些特定的泊松方程来构造出亥姆霍兹方程的格林函数，从而求得原方程的解。

光纤通信第5章-光纤波导-模式与场

2、分离变量
令
(x, y, z) (x, y)eiz
代入亥姆赫兹方程
2(x, y, z) k 2(x, y, z) 0
得到
t2(x ,y ) 2(x ,y ) 0

————即光纤中的波导场方程
其中：横向拉普拉斯算符
t2

2

2 z 2
光线的传播角从零到临界角，传播角越小模式级别越低，沿中心轴传播的模式为零级，临界传播角模式级别最高；
横模－横向场分布（表现为不同光斑花样）
（1）x, y 轴对称 TEMmn m－X向暗区数 n－Y向暗区数
TEM00
TEM10
TEM20
TEM03
TEM11
（2）旋转对称 TEMmn m－暗直径数；n－暗环数(半径方向)
1、模式数量：光纤的结构参数决定了光纤中允许存
在的导模数量。

M

g （2 g
Байду номын сангаас2）V
2
其中g为折射率分布参数
光纤的结构参数由归一化频率V表征：
V

2 0
a
n12 n22 k0an1
2
V越大，允许存在的导模数就越多。模式数量与光纤直径和数值孔径成正比，和波长成反比。
3．简谐时变场的波动方程— —亥姆霍兹方程
分离电磁矢量得到只与E或H有关的矢量波动方程
利用光纤介电常数变化极为缓慢的条件简化方程为标量波动方程
设光纤中传播的电磁场随时间作简谐变化，分离时空坐标，得到的波动方程就称为亥姆霍兹（Helmholtz
推导这个方程的条件是：无源空间，介质是理想、均匀、各向同性而且电磁场是简谐的。

基尔霍夫衍射理论

a
a
（3）双缝光栅，如图
y
aa
x
d
0
d
2
2
t
x,
y
rect
x
d a
/
2
rect
x
d a
/
2
1
常用衍射屏的透过率函数表示（2）：
（4）圆孔衍射物，直径为d。
d
tx, y circ
x2 d
y2
circ
r d
1 0
r d/2 r d /2
说明：上面举例都是衍射屏的振幅变化分布，至于相位变化型的衍射屏，最典型的是透镜。
对r进行二项式展开并化简，有
脉冲响应：
hx, x0; y, y0
1 jz
exp
jk
x
x0
2
y
y0
2
z2
hx x0 , y y0
显然，脉冲响应具有空间不变的函数形式。
无论孔径平面上子波源的位置如何，它所产生的球面子波的形式是一样的。
hx x0 , y y0
1 jz
exp
jk
x
（2）外， U 0 P 0
衍射公式的积分限可以被扩展到无穷，即：
UQ
U0
P
F
0
,
e jkr r
dS
衍射公式的适用范围：任意单色光波照明孔径的情况。
因为任意复杂的光波都可以看成是简单球面波的线性组
合。因此，上式中的 U0P 可以理解为在任意单色光照
明下对孔径平面产生的光场分布。
对教材80页一段话的理解。
与惠更斯—菲涅耳衍射积分公式比较：
UQ
1
j

亥姆霍兹方程十一种正交坐标系下的展开形式和部分解

亥姆霍兹方程十一种正交坐标系下的展开形式和部分解1. 引言1.1 引言亥姆霍兹方程是描述波动现象的重要方程之一，广泛应用于物理学、工程学和数学领域。

正交坐标系是一种常用的坐标系，其特点是坐标轴相互垂直且长度可变。

在研究亥姆霍兹方程在十一种正交坐标系下的展开形式和部分解之前，我们首先需要了解亥姆霍兹方程的基本概念和正交坐标系的特点。

亥姆霍兹方程是一个二阶偏微分方程，通常用于描述波的传播和振动问题。

在物理学中，亥姆霍兹方程可以用来描述声波、光波等波动现象。

在工程学和数学领域，亥姆霍兹方程也有广泛的应用，如在电磁场、热传导等问题中。

正交坐标系是一种常用的坐标系，其特点是坐标轴相互垂直且长度可变。

在正交坐标系中，任意一个矢量都可以分解成坐标轴上的分量，从而简化了问题的分析和求解过程。

十一种正交坐标系分别是直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等，每种坐标系都有其特定的展开形式和求解方法。

通过研究亥姆霍兹方程在十一种正交坐标系下的展开形式和部分解，可以更深入地理解波动现象和振动问题在不同坐标系下的特性。

这也为解决实际工程和科学问题提供了重要的理论基础。

在接下来的正文中，我们将具体探讨亥姆霍兹方程在各种正交坐标系下的展开形式和部分解，以及对应的数学推导和物理意义。

2. 正文2.1 亥姆霍兹方程简介亥姆霍兹方程是描述波动现象和传播现象中的一个重要方程，广泛应用于物理学、工程学和数学等领域。

它是一个偏微分方程，通常用来描述波动方程、热传导方程和扩散方程等。

其一般形式可以表示为：\[\Delta u + k^2 u = 0\]$ \Delta $ 是拉普拉斯算子，$ k $ 是传播介质的波数。

亥姆霍兹方程的解决方法可以分为两类：求解特定边界条件下的解析解和利用数值方法求解。

在具有特殊对称性的问题中，可以通过正交坐标系下的展开形式和部分解来求解亥姆霍兹方程。

在接下来的内容中，我们将介绍亥姆霍兹方程在十一种正交坐标系下的展开形式和部分解，以帮助读者更好地理解这一重要方程的解决方法和应用。

波导分析方法与BPM

波导分析方法与BPM随着光波导器件及各类半导体光电子器件的发展，人们对理解光波在诸如光波导、光纤等光电子器件中的行为，成功设计光电子器件，了解光电子器件的光学性能的要求越来越迫切。

在做波导器件的光波模式和传输特性的分析时，要从电磁波理论出发，通过求解波动方程得到结果。

随着器件设计的复杂化，以及非均匀、非线性、各向异性等材料在光电子器件中的应用，用解析的方法精确求解Maxwell方程组在此类器件中已难以实现。

即便有时在对器件做出一定的简化之后，可以得到近似解析解，但这种近似解析解并不能对器件的设计及性能分析提供足够的理论依据。

因此，用数值方法对Maxwell方程组进行精确求解就变得势在必行[1]。

事实上，计算机数值模拟已正在逐渐成为新型光波导器件性能分析及优化设计所必不可缺的一个技术环节。

光波导已经广泛的应用于集成光学中，为了计算波导中的光强分布，了解电磁波是如何通过波导的，必须求解Maxwell 方程组。

然而只有在波导结构极其简单的情况下才有解析解，在大多数情况下只有得到近似的数值解。

因此数值方法是研究波导的一种最有效的方法。

目前已经有很多种光波导的分析与设计方法，常用的有：有限元法(FEM)、有限差分法(FDM)、有限时域差分法(FD-TDM)、光束传播法(BPM)、有效折射率法、傅里叶展开法等。

这些方法中光束传播法是目前应用较为广泛的数值方法之一。

光束传播法（Beam Propagation Method，BPM）最早由Feit和Fleck于1977提出[2]，后来将光束传播法应用于计算波导中的光传输中。

经过光束传播法的不断改进与发展，它现在己经成为光波导分析中最常用的算法之一。

BPM法是从亥姆霍兹(Helmholtz)方程出发，在一定体积内和一段时间上对连续电磁场的数据取样。

Helmholtz方程是波动方程是Maxwell方程在特定条件下的特殊形式，是在某一频率下的特定方程，是一个二阶的非线性偏微分方程。

光波场的复振幅描述

一级近似二级近似
即
对振幅中r 的可作一级近似. 但因为 k 很大, 对位相中的 r 须作二级近似
§1-1光波场的复振幅描述
二、球面波 : 近轴近似
a0 k 2 2 U ( P) U ( x, y ) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) z 2z
§1-1光波场的复振幅描述
光振动的复振幅表示
为了导出a(P)、n、 j(P)必须满足的关系，将光场用复数表示,以利于简化运算
u(P,t) = a(P)cos[2pnt - j(P)]} = e{a(P)e-j[2pnt -j(P)] } 复数表示有利于 = e{a(P) e jj(P). e -j2pnt } 将时空变量分开
2 2 1/ 2
需要作近轴近似
z
光波场的复振幅描述
球面波 : 近轴近似只考虑 x - y平面上对源点 S 张角不大的范围,
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 1 2 z ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 可以作泰勒展开 r z 2z (1+D)1/2 1+ D /2
定义复振幅分布在x方向的空间频率:
1 cosa fx X l
Y = ∞, fy=0
对于在x-z平面内传播的平面波, 在y方向上有:
复振幅分布可改写为:
U ( x, y) A exp( j 2pf x x)
光波场的复振幅描述
平面波的空间频率: 一般情形 U ( x, y) A exp[ jk ( x cosa y cos b )]
(r
x
§1-1光波场的复振幅描述
球面波 : 空间分布

无源场的亥姆霍兹方程

无源场的亥姆霍兹方程无源场的亥姆霍兹方程是电磁学中的重要方程之一，它描述了无源电磁场的行为规律。

在本文中，我们将深入探讨亥姆霍兹方程的含义、应用和物理意义。

亥姆霍兹方程是一个偏微分方程，它描述了无源电磁场的波动特性。

在电磁学中，无源电磁场指的是没有电荷和电流分布的情况下的电磁场，也就是没有外部电磁源的情况。

在这种情况下，电磁场的行为完全由亥姆霍兹方程决定。

亥姆霍兹方程可以写成以下形式：∇^2φ + k^2φ = 0其中，∇^2是拉普拉斯算子，φ是电磁场的标量势，k是波数。

这个方程描述了电磁场的传播和衰减规律。

亥姆霍兹方程可以应用于各种不同的物理问题中。

例如，在声学中，亥姆霍兹方程描述了声波在无源介质中的传播行为。

在光学中，亥姆霍兹方程描述了光波在无源介质中的传播行为。

在电磁学中，亥姆霍兹方程描述了电磁波在无源介质中的传播行为。

亥姆霍兹方程的解决方法有很多种。

其中一种常见的方法是使用分离变量法。

通过假设解可以表示为一个时间项和一个空间项的乘积，将亥姆霍兹方程分解为两个方程，分别关于时间和空间的变量。

然后，通过求解这两个方程，可以得到亥姆霍兹方程的解。

亥姆霍兹方程的物理意义非常重要。

它描述了电磁波在无源介质中的传播行为，包括波长、频率、传播速度等信息。

通过求解亥姆霍兹方程，我们可以得到电磁波的分布情况，从而了解电磁波的传播特性。

亥姆霍兹方程在无源电磁场的研究中具有广泛的应用。

例如，在通信领域中，亥姆霍兹方程可以用来描述无线电波在空间中的传播行为，从而优化信号传输和接收的效果。

在医学领域中，亥姆霍兹方程可以用来描述超声波在人体内部的传播行为，从而进行医学成像和治疗。

无源场的亥姆霍兹方程是电磁学中的重要方程，它描述了无源电磁场的行为规律。

通过求解亥姆霍兹方程，我们可以了解电磁波的传播特性，并应用于各种实际问题中。

亥姆霍兹方程的研究对于电磁学和其他相关学科的发展具有重要意义。

武大分析-光学部分试题及答案

9. 试指出哪一种化合物的分子离子峰的质量数为奇数？
A）. C6H6 B）. C6H5NO2
C） C4H2N6O
D）
D）. I = acb
（B ） C9H10O2
10. 要获得较高丰度的分子离子峰，可采用哪种离子源？
（C ）
A）. 电子轰击源 B）. 化学电离源 C）. 场离子源 D）. 火花源
11. 在原子吸收光谱测定时，为提高易形成难熔氧化物元素的分析灵敏度，应选
（C ）
A. 电子轰击源 B. 化学电离源 C. 场离子源 D. 火花源
24. 与火焰原子吸收法相比，石墨炉原子吸收法有以下特点：
（D ）
A. 灵敏度低但重现性好
B. 基体效应大但重现性好
C. 所需样品量大但检出限低
D. 物理干扰少且原子化效率高
25. 可分别用作红外光谱和质谱检测器的是：
（C ）
A. 相板、光电倍增管；
28. 不饱和烃类分子除了含有键外，还含有键，它们可产生__两种跃迁。（A ）
A. → * 和 → *，
B. → * 和 n →*，
C. → *和 n → *，
D. n → *和 → *。
29. 质谱分析应用十分广泛，除了可以测定物质的相对分子量外，还用于__。（B ）
A 定量分析， B. 结构与定量分析， C. 结构分析， D. 表面状态分析。
A. 原子发射光谱和紫外吸收光谱； B. 原子发射光谱和红外光谱
C. 红外光谱和质谱
D. 原子吸收光谱和核磁共振谱
22. 下列哪两种光源同是线光源：
（ C）
A. W 灯和空心阴极灯 B. 氘灯和 Nernst 灯
C. 激光和空心阴极灯 D. ICP 光源和硅碳棒

亥姆霍兹方程推导波动方程电动力学

一、介绍亥姆霍兹方程是描述波动现象的重要方程之一，在电动力学中也有着重要的应用。

本文将围绕亥姆霍兹方程推导波动方程在电动力学中的应用展开讨论，旨在深入探讨相关理论，并提供前沿的研究成果。

二、亥姆霍兹方程的基本原理1. 亥姆霍兹方程的概念及作用亥姆霍兹方程是描述波动现象的偏微分方程。

它是一种线性波动方程，能够描述一维波动现象，如声波、光波等。

亥姆霍兹方程也是电磁波方程中的一个重要组成部分，具有广泛的应用价值。

2. 亥姆霍兹方程的数学表示亥姆霍兹方程可用数学符号表示为△u+k²u=0，其中△为拉普拉斯算子，u为波函数，k为波数。

该方程是一个关于波函数u的二阶偏微分方程，描述了波在空间中的传播过程。

三、亥姆霍兹方程在电动力学中的应用1. 电磁波方程的推导电磁波是由电场和磁场相互作用形成的波动现象，其传播过程可由亥姆霍兹方程描述。

通过麦克斯韦方程和波动方程的推导，可以得到描述电磁波传播的波动方程，从而揭示了电磁波的性质和特点。

2. 电磁波的传播特性利用亥姆霍兹方程可以研究电磁波的传播特性，如波速、频率、偏振等。

通过对波动方程的分析和求解，可以深入了解电磁波在空间中的传播规律，为相关技术和应用提供理论依据。

3. 电磁波在介质中的传播介质对电磁波的传播具有影响，利用亥姆霍兹方程可以研究介质中电磁波的传播性质。

介质的介电常数和磁导率对电磁波的传播速度和衰减效应有重要影响，因此通过亥姆霍兹方程可进行相关研究和分析。

四、前沿研究与应用1. 亥姆霍兹方程的数值模拟随着计算机技术的发展，利用亥姆霍兹方程进行电磁波传播的数值模拟成为研究的热点。

采用有限差分、有限元等方法，可以对电磁波在复杂介质和结构中的传播进行模拟和分析，为相关领域的工程设计和优化提供支持。

2. 电磁波的控制与调制利用亥姆霍兹方程可以研究电磁波的控制和调制技术。

通过改变波函数的边界条件、介质特性等方式，可以实现对电磁波的传播和辐射特性的调控，为通信、雷达、遥感等领域的应用提供新的思路和方法。

有机波谱-习题-第一章：绪论

第一章绪论一、填空1.波谱法是指物质在光的照射下，引起分子内部某种________，从而________或________某种波长的光，将入射光强度变化或散射光的信号记录下来，得到一张信号________与光的________或_______或________的关系图，用于物质________、________及________的分析方法。

2.波谱学的理论基础是________。

波谱学是________与________的一个交叉学科。

3.光同时具有波动性和微粒性，光的波长越短，波数与频率越________，能量越________。

从波动观点看，光是________。

从量子观点来看，光是________。

4.分子内的运动中，只有________不会产生光谱。

除此之外，其他运动的能级都是量子化的。

即某种运动具有一个________，一个或多个________，从________跃迁到________，所吸收的能量是________而不是随意的。

5.比色和光谱定量分析的基础是________，其表述如：当一束________通过介质时，光被介质________比例________吸收光的________，而与入射光的强度________。

数学表达式为________。

6.波谱图的基本构成三要素：________(定性指标)、________和________(定量指标)。

一般进行波谱分析时，要同时注意到谱峰的三要素，才能得到正确的结论。

7.各种波谱法原理不同，其特点和应用也各不相同。

每种波谱法也都有其适用范围和局限性。

在使用是应根据________、________、________及________选择合适的方法，在很多情况下要综合使用多种波谱才能达到目的。

8.样品的准备主要三方面工作：一是________；二是________；三是________。

9.纯物质的熔程一般小于________。

C，纯液体物质沸程一般小于________。

光波场的数学描述

U ( x, y) A exp( jkx cosa )
等位相面与x-y平面相交形成平行于y轴的直线
等位相面是平行于y 轴的一系列平面, 间隔为l
等位相面与x-z平面相交形成平行直线
沿x方向的等相线间距:
z
2p l X k cos a cos a
复振幅分布:
U ( x, y) A exp( jkx cosa )
U ( x, y,) exp( j
p
l
l
z l fx l f y )

在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 z =0平面上的复振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决了最基础的平面波衍射问题
1 cos a fx X l
Y = ∞, fy=0 复振幅分布可改写为:
定义复振幅分布在x方向的空间频率:
对于在x-z平面内传播的平面波, 在y方向上有:
U ( x, y) A exp(j 2pf x x)
平面波的空间频率: 一般情形
U ( x, y) A exp[jk ( x cosa y cos b )]
P点处的复振幅:U ( P )
a0 jkr e r
取决于k与r是平行还是反平行
距离 r 的表达
若球面波中心在原点:
r x y z
2 2
2
若球面波中心在 S (x0,Fra biblioteky0, z0):
r ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2
光波的数学描述
将U(P)exp(-j2pn t)代入波动方程

标量衍射公式推导

标量衍射公式推导索莫菲曾这样定义衍射：“不能用反射或折射来解释的光线对直线光路的任何偏离”。

衍射现象是光的波动性的主要标志之一。

衍射规律也是光传播的基本规律。

其中心问题是计算衍射光场的分布。

由于光波是电磁波，其理论基础是严格的电磁场理论，因此就必须根据麦克斯韦方程组按一定的边界条件来求解。

在这种情况下，应把光波场看作矢量场（矢量衍射理论）。

但由于矢量衍射理论数学运算相当复杂（实际是一种数值方法），在实际应用中，只有在讨论高分辨衍射光栅理论或讨论亚波长光学元件时，才必须用到矢量衍射理论。

在大多数情况下，我们将光波场当做标量场来处理，即只考虑光矢量一个横向分量的标量振幅，之后假定其余分量都可以用同样方式独立处理，从而忽略电矢量和磁矢量的各分量按麦克斯韦方程组的耦合关系（标量衍射理论）。

实践证明，在所研究的光学系统中，只要衍射孔径比照明光的波长大很多，观察点离衍射孔径不太近，则所得结果与实际是很好符合的。

标量衍射的中心问题仍是计算衍射光场的分布，即用确定边界的复振幅分布来表达光场中任一观察点的复振幅，若边界上复振幅分布相同，即使光振动的方向不同，其结果也应相同。

在1678年，惠更斯原理被提出，设想着波动所到达的面上每一个点都是次级子波源，这些次级球面子波的包络就形成新的波前，这些在本质上是缺乏严格证明的几何作图法，但却是标量衍射理论的源头。

在1818年，菲涅尔引入各子波干涉的思想，补充了惠更斯原理，形成了惠更斯-菲涅尔原理。

在1882年，基尔霍夫利用电磁场理论中的格林定理，并采用球面波作为求解波动方程的格林函数，导出了严格的标量衍射公式（即基尔霍夫公式）。

在这里复习一下格林定理，格林定理如下：记函数，在封闭面S内和S面上均单值、连续，并具有单值连续的一阶、二阶偏导数，则有：上式为格林定理，一般地，我们令为复色振幅，而是是一个辅助函数，称为格林函数。

我们在研究衍射问题应用应谨慎选择封闭面。