影院座位设计问题

影院座位设计问题摘要： 关键词：一、问题重述电影院座位的满意程度主要取决于视角和仰角。

视角是观众眼睛到屏幕的上、下边缘的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘与水平线的夹角，仰角太大会使人的头部过分的上仰，引起不舒服，一般要求仰角不超过30。

下图为某影院的剖面示意图，设地面到屏幕上边缘的距离为H ，地面到屏幕下边缘的距离为h ，地板倾角θ，第一排和最后一排与屏幕的水平距离分别为l 和L ，观众的平均坐高为d （眼睛到地板的垂直距离）。

已知参数5H =， 3.2h =， 4.5l =，19L =， 1.1d = （单位：m ）（1）地板倾角010θ=，问最佳位置在什么位置。

（2）求地板线倾角θ（一般不超过020θ=），使所有观众的平均满意度最大。

（3）地板线如何设计可以进一步提高观众的满意度。

二、模型的假设1．假设观众的满意度只取决于仰角β和视角α，与其他因素无关；2．假设观众坐下后眼睛到地板的垂直距离相等，都为d，且在同一直线L上；30的围，观众都感到满意，毫无不舒适3．视角对观众的满意度影响较大，且仰角β在小于感，且满意程度相同；4．同一排座位，观众的满意程度相同。

三、符号说明四、模型的建立与求解（一）最佳位置求解模型1．建立直角坐标系及问题分析为方便分析，以屏幕所在的墙壁的剖面为y轴，向上为正方向，以与之垂直的地面为x轴，以交点为原点O,建立直角坐标系如下：根据第一排观众眼睛坐标1(,)P l d 及斜率tan θ得，直线L 的方程：()tan y x l d θ=-+ （1）直线L 上任意一点),(y x P 的仰角β的正切值为：tan H yxβ-=（2） 由图1，当仰角β大于视角α时，观众眼睛到屏幕下边缘的仰角()βα-的正切值为：tan()h yxβα--=（3） 由图2，当仰角β小于视角α时，观众眼睛到屏幕下边缘的俯角()αβ-的正切值为：tan()y hxαβ--=（4） 又由公式：tan tan()tan tan[()]1tan tan()ββααββαββα--=--=+⋅- （5）或tan tan()tan tan[()]1tan tan()βαβαβαββαβ+-=+-=-⋅- （6）联合（1）（2）（3）（5）或（1）（2）（4）（6）式：视角α的正切值为：2tan (tan )(tan )(tan 1)(22tan )tan H hH d l h d l x H h d l xαθθθθθ-=-+-+++-+-+ (7)所以我们得到α、β在坐标系的表达式为：2arctan (tan )(tan )(tan 1)(22tan )tan ()tan arctan H h H d l h d l x H h d l x H x l d x αθθθθθθβ-⎧=⎪-+-+++-+-+⎪⎨⎪---=⎪⎩ (8)已知观众的满意度主要取决于视角α和仰角β两个因素，并且视角对观众的满意度影响较大，所以一般要求在仰角不超过30度的条件下求视角最大时观众所在的位置，即为观众最满意的位置。

假设θ的大小以固定，则根据(8)式，视角α是关于x 的函数，不妨令2(tan )(tan )()(tan 1)(22tan )tan H d l h d l F x x H h d l xθθθθθ-+-+=++-+-+ (9)即： tan ()H hF x α-=又由30β≤，即tan tan 30β≤得：tan tantan 6H d l x θπθ-+≥+则x 的取值围为：tan tan tan 6l x L H d l x θπθ≤≤⎧⎪⎪-+⎨≥⎪+⎪⎩（10） 由以上分析把求观众最佳视角位置转换为，求解当x 取何值时()F x 在式（10）条件下最小。

2．建立最佳位置求解模型根据以上分析，建立最满意位置求解模型如下：2(tan )(tan )()(tan 1)(22tan )tan H d l h d l MinF x x H h d l xθθθθθ-+-+=++-+-+tan .tan tan 6l x L H d l s t x θπθ≤≤⎧⎪⎪-+⎨≥⎪+⎪⎩（11） 3．模型的求解已知参考数据（单位：m ）如下：对公式（9）求导得：22(tan )(tan )()(tan 1)H d l h d l F x xθθθ-+-+'=+-令()0F x '=得：1x =又2tan tantan 6H d l x θπθ-+=+如果1(,)x l L ∈或2(,)x l L ∈，比较1()F x ，2()F x ，()F l 的大小，最小的即为式（11）解。

带入参数利用数学软件MATLAB7.0求解得：1 3.6292x = 1(4.5,19)x ∉，2 6.2274x =2(4.5,19)x ∈，2()()F x F l >所以当2 6.2274x x ==时，()F x 最小。

最佳位置点约在（6.23，1.4）处，即所求最佳位置离屏幕的水平位置为6.23米，此处仰角为30度，视角为15.72度。

具体运算过程请见附录1。

（二）平均满意度模型 1． 满意度函数的构建人们的心理变化是一个模糊的概念。

本文中观众对某个座位是否满意的看法就是一个典型的模糊概念。

将模糊的问题数学化，离散的问题连续化，观众的满意度与眼睛所处的位置的视角和仰角有关，而视角对观众满意度的影响较大，所以视角最大的位置可以定为观众最满意的位置，因此可以通过观众所在位置的视角与最佳位置的视角差距来间接反映观众对所在位置的满意程度。

通过分析观众所在位置越接近最佳位置，观众的视角就越大，则观众的满意程度越高。

将离散的问题连续化，可以看到其相关函数的分布图像类似于正态分布函数，所以不妨定义观众对座位的满意度函数为：20()()x x m x eσ--= （12）x 为观众的眼睛在直角坐标系点的横坐标值，0x 为最佳位置的横坐标，σ为常数。

2． 平均满意度模型的建立关于地板的设计，可以根据其角度来进行设计，即通过对地板的倾角进行微调，从而得到倾角多少度时，观众的平均满意程度m 最大。

记第i 排座位的满意度为：20()()i x x i m x eσ--=1,...,i n =从而建立模型如下：Max1()nii m x m n==∑20()().(1)i x x ii m x e s t x l i c L l n c σ--⎧⎪=⎪⎪=+-⎨⎪-⎡⎤⎪=⎢⎥⎪⎢⎥⎩1,...,i n = (13)3． 模型求解查阅相关资料可知，相邻两排座位间的间距一般为0.8C m =，随着地板线倾角θ的变化，相邻两排座位间的间距不变，但相邻两排座位间的水平间距会发生改变.由上图可看出，相邻两排座位间的水平间距与地板线倾角θ的关系为*cos()c C θ= ，座位的总排数L l n c -⎡⎤=⎢⎥⎢⎥，用数学软件MATLAB7.0编程求出使观众的平均满意程度达到最大时的地板线倾角θ值（01020θ≤≤）。

算法设计思想：（具体程序见附录2）（1）让地板倾角θ在0[10,20]逐一求值，步长为0.01； （2）求出此时的最佳位置0x 。

（3）求出平均满意程度，如果大于best_t ，将此时的倾角θ赋值给best_t 。

（4）如果倾角大于020，停止运算，否则返回（1）。

得出结果为：017.45θ=，此时的平均满意程度最大。

（三）地板设计首先证明如下结论：如图所示，随着点A 的下降，α逐渐减小。

证明：222222cos 1222a b c ab c c ab ab abα+--=≥=-∵随着点A 的下降，a ,b 都在增大∴212c ab-增大，即cos α增大又∵090α<< ∴α逐渐减小基于以上结论，我们可以适当升高位于屏幕下边缘所在水平面以下的座位，从而增大视角，进一步提高观众的满意程度。

地板可设计如下：值得注意的是，ab 、cd 不能太长，否则位于同一水平面的前排观众会影响后排观众的视线，不符合题目要求。

另外，cd 应该稍低于屏幕下边缘所在水平线，否则后排观众将不能看到屏幕下边缘。

参考文献： 附录附录1：倾角10度时最佳位置求解H=5;h=3.2;l=4.5;L=19;d=1.1;q=10*pi/180;c=0.8*cos(q);n=(L-l)/c;if round(n)>n;n=round(n);else n=round(n)+1;endang=0;x_best=0;ang_best=0;x1=sqrt((H-d+l*tan(q))*(h-d+l*tan(q))/((tan(q))^2+1)); if x1>l && x1<L;y=(x1-l)*tan(q)+d;ang=atan((H-h)/(x1+(H-y)*(h-y)/x1^2));endx_best=x1;ang_best=ang;x2=(H-d+l*tan(q))/(tan(pi/6)+tan(q));if x2>l && x2<L;y=(x2-l)*tan(q)+d;ang=atan((H-h)/(x2+(H-y)*(h-y)/x2^2));if ang>ang_best;x_best=x2;ang_best=ang;endendif l>x2;y=d;ang=atan((H-h)/(l+(H-y)*(h-y)/l^2));if ang>ang_best;x_best=l;ang_best=ang;endendfor i=1:n;x=l+(i-1)*c;sum_m=sum_m+exp(-(x-x_best)^2);endsum_m=sum_m/n;disp('倾角10度时最佳位置 x=')disp(x_best)disp('视角为(单位：度)')disp(ang_best/pi*180)%end附录2：平均满意度求解H=5;h=3.2;l=4.5;L=19;d=1.1;t=10;mm=zeros(1001);j=1;best_m=0;best_t=10;while t<=20;q=t*pi/180;c=0.8*cos(q);n=(L-l)/c;if round(n)>n;n=round(n);else n=round(n)+1;endang=0;x_best=0;ang_best=0;%求最佳位置x1=sqrt((H-d+l*tan(q))*(h-d+l*tan(q))/((tan(q))^2+1)); if x1>l && x1<L;y=(x1-l)*tan(q)+d;ang=atan((H-h)/(x1+(H-y)*(h-y)/x1^2));endx_best=x1;ang_best=ang;x2=(H-d+l*tan(q))/(tan(pi/6)+tan(q));if x2>l && x2<L;y=(x2-l)*tan(q)+d;ang=atan((H-h)/(x2+(H-y)*(h-y)/x2^2));if ang>ang_best;x_best=x2;ang_best=ang;endendif l>x2;y=d;ang=atan((H-h)/(l+(H-y)*(h-y)/(l^2)));if ang>ang_best;x_best=l;ang_best=ang;endendsum_m=0;for i=1:n;x=l+(i-1)*c;sum_m=sum_m+exp(-(x-x_best)^2);endsum_m=sum_m/n;mm(j)=sum_m;j=j+1;if sum_m>best_m;best_m=sum_m;best_t=t;endt=t+0.01;end %end whiledisp('平均满意度最大时，倾角为(单位为：度)：'); disp(best_t);a=10:0.01:20;plot(a,mm);。