复变函数与积分变换第一章习题课.

解：
1）（1 i 3）10 [2(cos2 i sin 2 )]10
3
3
210 (cos20 i sin 20 )
3
3
1024(cos2 i sin 2 )
3
3
512 i512 3.
2)3
27
2k i
3e 3 , k
0,1,2.
13
13
w0
3( 2
i
2
), w1
3,
w2
3( 2
x2
x
y2
i
x2
y
y2
u iv,
u2 v2 1 . 4
13.已知映射 z3,求： 2）区域0 arg z 在平面上的像。
3
解：
2）映射 z3将区域0 arg z 映成
3
0 arg z .
15.设f (z) 1 ( z z ),(z 0),试证：当 2i z z
22
2
2 22
z 34 , Argz arctan5 2k , k 0,1,.
2
3
2.当x, y等于什么实数时，等式
x 1 i( y 3) 1 i 5 3i
成立。
解：
原式等价于x 1 i( y 3) 2 8i, 根据复数
相等的概念，有
x y
1 3
28,即
x 1 .
y 11
13. 三角函数
1）定义：
sin z eiz eiz , cos z eiz eiz
2i
2
2）性质： 在复平面内是解析的，且 (sin z) cosz ，(cosz) sin z ．
14. 对数函数
定义: 若 ew z ，则称 w 为复变函数 z 的对数 函数，记为 Lnz ．
w Lnz ln z iArgz
7. 复变函数导数与微分
f
( z0
)
lim
z z0
f (z) f (z0 ) z z0
dw f (z0 )dz
8. C-R(Cauchy-Riemann)条件
u v , v u ． x y x y
9.可导的充要条件:函数 f (z) u(x, y) iv(x, y)在 区域 E 内一点z x iy 处可导的充分必要条 件是： u(x, y),v(x, y) 在点 (x, y)处可微、 且满足C-R条件.
10. f (z) 可写成以下四种形式：
f (z) u i v v i u x x y y
u i u v i v x y y x
11.解析与奇点 1)定义:如果函数f (z)在 z0的某一邻域内处处 可导，则称f (z)在 z0处解析；如果 f (z)在区域 E 内每一点解析，则称f (z) 在 E 内解析，或称 f (z)是 E 内的一个解析函数．
x 0, y 0
3.令 z x iy
有如下一些常用的不等式:
xz
yz
z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
4.表示
(3)三角表示: (4)指数表示:
z z (cos i sin) r(cos i sin) z rei
(5)代数表示:
z x iy
5.运算 1)相等; 2)四则运算,及运算规律; 3)共轭运算,及运算规律; 4) z1 z2 r1 r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
不解析的点就称为是奇点。
2)函数在区域内解析与它在这一区域可导是等价 的．
3）解析一定可导，但可导不一定解析。
12. 指数函数
1) 定义: exp z ez ex (cos y i sin y) 2) 性质:
1. exp z ez 在复平面内处处解析； 2. (exp z) exp z ； 3. ez 0 ；
注 1. Lnz 的主值支，记为lnz，即
ln z ln z i arg z
2. Lnz 与lnz之间的关系是： Ln z ln z 2ki k 1, 2,
15. 乘幂
z z2 1
定义:
z e z2
z2 Lnz1
1
注:
1.由于
Lnz1是多值的，因而一般来讲
z z2 1
也是多值的．定义中的 Lnz1 如果取主值 ，
3.将下列复数化为三角式和指数式：
1） 5i; 3)1 i 3; 5) 1 i ; 1 i
解：
1）z
5[ c os (
)
i
sin(
)]
i
5e 2 ;
2
2
3) z
2[ c os (
)
i
sin(
)]
i
2e 3
;
3
3
5)
z
c os (
)
i
sin(
)
e2
i
;
2
2
5.求下列各式的值： 1）（1 i 3）10； 2)3 27 ;
第一章 知识点总结
1.复数是指形如 z x iy的数,实部记为 Re z x , 虚部 记为 Imz y .
2. 模: r z x2 y2
辐角: Argz arg z 2k 辐角主值: arg z
arctan y x
arg
z
2
arctan
y x
x0
x
0,
y
0
x
0,
y
0
5)
z1 z2
r1 r2
[cos(1
2
)
i
sin(1
2
)]
r1 e ． i(1 2 ) r2
6)方根运算: n z
wk
(n
z)k
n
i 2k
re n
k 0,1,2n 1
6. 实变复值函数 : z(t) x(t) iy(t)
复变函数:
w f (z) u(x, y) iv(x, y)
z 0时，f (z)的极限不存在。
解：
f (z) 2xy , 令z沿着y kx的方向趋近于 x2 y2
0，则 lim y k x, x 0
2xy x2 y2
lim x0
2k x2 (1 k 2 )x2
2k 1 k2
,
极限值与k有关，即当z 0时，f (z)的
极限随k的改变而改变，因此当z 0时,
所得ln 结z1 果
称为e z的2 ln z1 主值．z1 z2
2 .当
z2 是特殊的 n
或
1 n
时, 就是我们所熟
悉的幂函数 z n 或 n z .Leabharlann 第一章 习题课P55
1.求下列复数z的实部与虚部、共轭复数、 模与幅角：
1）z 1 3i ; i 1i
解：
1）z 3 5 i, Re z 3 , Im z 5 , z 3 5 i,
i
2
).
9.指出下列各题中点z的轨迹，并作图： 1）z 2 3i 5; 3) Re(z 2) 1；
解： 1）为一圆周：(x 2)2 ( y 3)2 25; 3)为一直线：x 3;
12.函数 1 把下列z平面上的曲线映射成
z
平面上怎样的曲线？
1）x2 y2 4.
解：
1 z