第三章扭转刚度与设计

l
M el GI p


G

G
1. 适用于线弹性范围 2. 计算长度l范围内其它三个量为常量
例 图示钢制实心圆截面轴，已知： M1=1592N•m, M2=955 N•m，M3=637 N•m， d =70mm， lAB=300mm， lAC=500mm，钢的切变模量G=80GPa。求横截面C相 对于B的扭转角CB。 M2 Ⅰ B
max
T Wt
扭转截面系数
单位长度扭转角：
T GI t
短边中点的切应力： max
相当极惯性矩
其中
Wt b 3
I t b 4
h 、、 ——与 m 相关的因数 b
lAB
M1
Ⅱ
M3
d
A
lAC
C
解： 1）求扭矩 BA段 AC段
T1 955N m T2 637N m
M2 Ⅰ
B
lAB
M1
d
Ⅱ lAC
M3 C
A
2）求扭转角
AB
T1l AB 955 103 300 1.52 10 3 rad GI p 80103 π 704
[ ] 2 / m
例 由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之 比 = 0.5。已知材料的许用切应力[ ] = 40MPa ，切 变模量G=80GPa 。轴的横截面上最大扭矩为Tmax= 9.56 kN•m ，轴的许可单位长度扭转角[' ]=0.3 /m 。 试选择轴的直径。 解：1、按强度条件确定外直径D
——约束扭转
此时相邻两横截面的翘曲程度不同，横截面上有 附加正应力产生
Ⅱ、矩形截面杆自由扭转时的应力和变形
≤p时
1. max发生在横截面的长边中点 处； 2. 四个角点处 =0 。 3. 横截面周边各点的切应力与周 边相切； 4. 沿周边上的一点与中心的连线， 切应力呈曲线分布 。
最大切应力：
32M el1 32M el2 4 4 4 GπD1 (1 ) Gπd 2
Ⅱ、刚度条件
等直圆杆在扭转时的刚度条件：
max
180 [ ] π l GI p
Tmax

单位：/m
对于精密机器的轴 对于一般的传动轴
[ ] 0.15 ~ 0.30 / m
Me
Me

相距l 的两横截面间相对扭转角为
T dx d 0 l GI p
l
等直圆杆仅两端截面受外力偶矩 Me 作用时
M el Tl GI p GI p
(单位：rad)
称为扭转胡克定律
GIp称为等直圆杆的扭转刚度
Me
Me

d l 2

max
G

T Wp G T Ip
16M e d1 M e d1 / 2 T1 d1 / 2 1,min 4 4 4 4 πD1 (1 ) I p1 πD1 (1 ) / 32
d2 d1 D1
2）求切应力 I A Me
刚性板 B
I-I
空心圆轴
1,max
16M e πD1 (1 )
32
3 637 10 500 T2l AC 1.69 10 3 rad GI P 80103 π 704 32
CA
CB AB CA [1.52 (1.69)] 10 3 0.17 10 3 rad
例 图示空心圆杆 AB，A端固定，底板 B为刚性杆， 在其中心处焊一直径为d2的实心圆杆CB。空心杆的 内、外径分别为 D1和 d1，外力偶矩 Me、两杆的长 度l1、l2 及材料的切变模量G 均为已知。试求：
Ⅰ、等直非圆形截面杆扭转时的变形特点
横向线Байду номын сангаас 成曲线
横截面发生翘曲 不再保持为平面
平面假设不再 成立，可能产 生附加正应力
非圆杆两种类型的扭转 1、等直杆两端受外力偶作用，端面可自由翘曲时
——自由扭转(纯扭转) 此时相邻两横截面的翘曲程度完全相同，无附加 正应力产生
2、非等直杆扭转、扭矩沿杆长变化、或端面有约束 不能自由翘曲时
Tmax 180 GI p π
32 9.56 10 180 1 3 4 3 80 10 π 1 0.5 π 0.3 10
6 4


125 .5mm
d D 0.5 125 .5 63.75mm
§3-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形
3 4
实心圆轴
2,max
16M e πd 2
3
1,min
16M e πD1 (1 4 ) 1,max 1,min
3
2,max
T1 T2
3）求扭转角 I A Me C I
l1 l2
刚性板 B
C AB BC
T1l1 T2l2 GI p1 GI p2
Tmax Tmax max [ ] 3 Wp πD 1 4 16 6 16Tmax 16 9 . 56 10 D3 109mm 3 4 4 π1 [ ] π1 0.5 40
2、由刚度条件确定所需外直径D
Tmax 180 max [ ] 4 πD π 4 G (1 ) 32 32Tmax 180 1 D4 4 Gπ(1- ) π [ ]
1、两杆横截面上的切应力分布图； 2、实心杆C端的绝对扭转角C。 I A 刚性板 Me B C I
l1 l2
I-I
d2 d1 D1
C I
l1 l2
T1 M e T2 M e
Me C Me C
T1
B
T2
d2 d1 D1
解：1）求扭矩 I A Me
刚性板 B
I-I
C I
l1 l2
空心圆轴 16M e Me T1 1,max 3 3 4 Wp1 πD1 (1 ) / 16 πD1 (1 4 )