第三章扭转刚度与设计
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扭转
n W = Me ⋅ 2π ⋅ 60
P k
P k
8
2.扭矩 2.扭矩
截面法
T = Me
9
扭矩
截面法
T = Me
10
扭矩
截面法
11
扭矩
截面法
12
扭矩
扭矩正负规定
截面法
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-) (+),反之为
13
扭矩图
扭矩图
(+)
(−)
14
例题1 一传动轴如图所示， 主动轮A输 例题 一传动轴如图所示，其转速 n = 300 r/min ，主动轮 输 入的功率为P 若不计轴承摩擦所耗的功率， 入的功率为 1 = 500 kW 。若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从 若不计轴承摩擦所耗的功率 动轮输出的功率分别为P 动轮输出的功率分别为 2 = 150 kW 、P3 = 150 kW 及 P4 = 200 kW。试做扭矩图。 。试做扭矩图。 Me1 Me2 Me3 n Me4
6
§3-2、扭转时的内力 1.外力偶矩 1.外力偶矩 直接计算
7
二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－ 轴转速－n 转/分钟 输出功率－ 输出功率－Pk 千瓦 求：力偶矩Me
电机每秒输入功： 电机每秒输入功： 外力偶作功完成： 外力偶作功完成：
W = P ×1000(N.m) k
(3) 扭矩图
22
23
二.切应力互等定理
24
25
三.剪切胡克定律
τ = Gγ
其中， 称为切变模量。常用单位GPa 其中，比例常数G 称为切变模量。常用单位GPa
P k
P k
8
2.扭矩 2.扭矩
截面法
T = Me
9
扭矩
截面法
T = Me
10
扭矩
截面法
11
扭矩
截面法
12
扭矩
扭矩正负规定
截面法
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-) (+),反之为
13
扭矩图
扭矩图
(+)
(−)
14
例题1 一传动轴如图所示， 主动轮A输 例题 一传动轴如图所示，其转速 n = 300 r/min ，主动轮 输 入的功率为P 若不计轴承摩擦所耗的功率， 入的功率为 1 = 500 kW 。若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从 若不计轴承摩擦所耗的功率 动轮输出的功率分别为P 动轮输出的功率分别为 2 = 150 kW 、P3 = 150 kW 及 P4 = 200 kW。试做扭矩图。 。试做扭矩图。 Me1 Me2 Me3 n Me4
6
§3-2、扭转时的内力 1.外力偶矩 1.外力偶矩 直接计算
7
二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－ 轴转速－n 转/分钟 输出功率－ 输出功率－Pk 千瓦 求：力偶矩Me
电机每秒输入功： 电机每秒输入功： 外力偶作功完成： 外力偶作功完成：
W = P ×1000(N.m) k
(3) 扭矩图
22
23
二.切应力互等定理
24
25
三.剪切胡克定律
τ = Gγ
其中， 称为切变模量。常用单位GPa 其中，比例常数G 称为切变模量。常用单位GPa
材料力学第3 章 扭 转习题及答案
第 三 章 扭 转一、判断题1．杆件受扭时，横截面上的最大切应力发生在距截面形心最远处。
（ × ） 2．薄壁圆管和空心圆管的扭转切应力公式完全一样。
（ × ） 3．圆杆扭转变形实质上是剪切变形。
（ √ ） 4．非圆截面杆不能应用圆截面杆扭转切应力公式，是因为非圆截面杆扭转时“平截面假设”不能成立。
（ √ ）5．材料相同的圆杆，它们的剪切强度条件和扭转强度条件中，许用应力的意义相同，数值相等。
（ × ） 6．切应力互等定理，仅适用于纯剪切情况。
（ × ) 7．受扭杆件的扭矩，仅与杆件受到的转矩（外力偶矩）有关，而与杆件的材料及其横截面的大小、形状无关。
( √ ) 8．受扭圆轴在横截面上和包含轴的纵向截面上均无正应力。
（ √ ) 9．受扭圆轴的最大切应力只出现在横截面上。
（ × ) 10． 因木材沿纤维方向的抗剪能力差，故若受扭木质圆杆的轴线与木材纤维方向平行，当扭矩达到某一极限值时，圆杆将沿轴线方向出现裂纹。
（ √ )二、填空题1．一级减速箱中的齿轮直径大小不等，在满足相同的强度条件下，高速齿轮轴的直径要比低速齿轮轴的直径（ 小 ）。
2． 当实心圆轴的直径增加1培时，其抗扭强度增加到原来的（ 8 ）倍，抗扭刚度增加到原来的（ 16 ）倍。
3． 直径D=50mm 的圆轴，受扭矩T=2.15kn.m ,该圆轴横截面上距离圆心10mm 处的剪应力τ=（35.0 MPa ），最大剪应力τmax=（87.6 MPa ）。
4． 一根空心轴的内外径分别为d ，D ，当D=2d 时，其抗扭截面模量为（33256153215D d ππ或）。
5． 直径和长度均相等的两根轴，在相同的扭矩作用下，而材料不同，它们的τmax 是（ 相 ）同的，扭转角φ是（ 不 ）同的。
6． 等截面圆轴扭转时的单位长度相对扭转角为θ，若圆轴直径增大一倍，则单位长度扭转角将变为（16θ）。
材料力学第三章 扭转
n
250
横截面上的最大切应力为
max
T Wt
T (D4 d 4)
16D
16 0.55573000 Pa 19.2MPa [ ] 50MPa (0.554 0.34 )
满足强度要求。
跟踪训练 7.机车变速箱第II轴如图所示，轴所传递的功率为
p 5.5KW,转速n 200r / min，材料为45钢，
（3）主动轮放在两从动轮之间可使最大扭矩取最小值
B
A
C
Me2
Nm
M e1
Me3
4220
2810
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
P M e 9549 n (N m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件的应用
' max
T
180 [']
（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。
再根据平衡条件，可得 Me1 Me2 Me3 (2810 4220)N m 7030N m
所作扭矩图如右图
（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
根据强度条件确定AB直径d1
AB
TAB Wt
16TAB
d12
[ ]
根据刚度条件确定AB直径d1
mB
(a)
1
350 2
C
1
2
T1
11463
446
A
D
3
mB
(b)
(c) mB
mC
T2
mC
mA T3
mD
T1 350N m 350 1 350 2
材料力学第四版课件 第三章 扭转
2
例1：图示空心圆轴外径D=100mm,内径 图示空心圆轴外径D=100mm,内径 d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变 =6kN· 模量 G=80GPa. （1） 试画轴的扭矩图； 试画轴的扭矩图； （2） 求轴的最大切应力,并指出其位置. 求轴的最大切应力,并指出其位置.
平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。
横截面上无σ 1）横截面上无σ 2）横截面上只有τ
F O1 a d dφ d1 dx O2
dd1 ρdφ γ ρ ≈ tanγ ρ = = ad dx
4
πd
3 0
(
)
16T ∴d0 ≥ 3 = 76.3mm 4 π (1−α )[τ ]
取 d0 = 76.3mm、 、 (3)比较空心轴与实心轴的重量 比较空心轴与实心轴的重量 积之比： 二者重量之比等于横截面 积之比：
π (d − di ) 4 = 0.395 β= 2 4 πd
2 0 2
可见空心轴比实心轴的重量轻 可见空心轴比实心轴的重量轻
任一点处的切应变 切应变与到 距圆心为 ρ 任一点处的切应变与到 成正比。 圆心的距离ρ成正比。
2. 物理方面
dφ γρ = ρ dx
dφ τ ρ = Gρ dx
3. 静力学方面
dφ 2 T = ∫ ρτ ρ dA = G ∫ ρ dA dx A A
Ip = ∫ ρ dA 称为极惯性矩
2 A
ρ
dA
MB
1
MC
MA
2 2
A
3
MD
例1：图示空心圆轴外径D=100mm,内径 图示空心圆轴外径D=100mm,内径 d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变 =6kN· 模量 G=80GPa. （1） 试画轴的扭矩图； 试画轴的扭矩图； （2） 求轴的最大切应力,并指出其位置. 求轴的最大切应力,并指出其位置.
平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。
横截面上无σ 1）横截面上无σ 2）横截面上只有τ
F O1 a d dφ d1 dx O2
dd1 ρdφ γ ρ ≈ tanγ ρ = = ad dx
4
πd
3 0
(
)
16T ∴d0 ≥ 3 = 76.3mm 4 π (1−α )[τ ]
取 d0 = 76.3mm、 、 (3)比较空心轴与实心轴的重量 比较空心轴与实心轴的重量 积之比： 二者重量之比等于横截面 积之比：
π (d − di ) 4 = 0.395 β= 2 4 πd
2 0 2
可见空心轴比实心轴的重量轻 可见空心轴比实心轴的重量轻
任一点处的切应变 切应变与到 距圆心为 ρ 任一点处的切应变与到 成正比。 圆心的距离ρ成正比。
2. 物理方面
dφ γρ = ρ dx
dφ τ ρ = Gρ dx
3. 静力学方面
dφ 2 T = ∫ ρτ ρ dA = G ∫ ρ dA dx A A
Ip = ∫ ρ dA 称为极惯性矩
2 A
ρ
dA
MB
1
MC
MA
2 2
A
3
MD
材料力学-第三章扭转
3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得： m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例：由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T， 两者之间无相对滑动，求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件
0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析
圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件：
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3
4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2
Mn 0.208 0.886 d
b
6.913
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学第3章扭转
τ ρ = Gγ ρ
=G
ρdϕ
dx
22
C)静力平衡关系 C)静力平衡关系
T = ∫ A dA ⋅ τ ρ ⋅ ρ
2 dϕ = ∫ A Gρ dA dx
τ ρ = Gγ ρ
=G
dA
ρdϕ
dx
ρ
O
=G
dϕ ∫ A ρ 2dA dx
令
dϕ T = GI p dx
dϕ T = dx GIp
I p = ∫ A ρ 2dA
由公式
Pk/n
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (2)计算扭矩
(3) 扭矩图
12
§3-3、纯剪切
1、薄壁圆筒扭转：壁厚 、薄壁圆筒扭转：
t≤
1 r0 10
为平均半径） （r0：为平均半径）
A）观察实验： ）观察实验：
实验前： 实验前： ①绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。 。
16
纯剪切的概念： 纯剪切的概念：
当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 就称为纯剪切。 就称为纯剪切。
3、剪应变与扭转角
设轴长为L，半径为R 设轴长为L 半径为R Φ称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 且的剪应变 γ Φ的关系如下： 与 的关系如下：
∑ mz = 0
a dy
γ τ´
dx
τ´
b
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
故
τ
c z
τ
d t
τ =τ′
上式称为剪应力互等定理。 上式称为剪应力互等定理。 为剪应力互等定理
第三章 扭 转
第三章 扭 转 1 扭转的力学模型①构件特征——构件为圆截面直杆。
②受力特征——外力偶矩的作用面与杆件轴线相垂直。
③变形特征——杆件各横截面绕杆轴作相对转动。
2圆轴扭转时，横截面上的内力偶矩——扭矩 ①传动轴的速度、传递的功率与外力偶矩之间的关系为{}{}{}minr n KW P M mN e 9950=∙ ②扭矩——构件受扭时，横截面上的内力偶矩，以T 表示。
③扭矩的正负号规定——用右手螺旋法则，扭矩矢量的方向指向截面的为负，背离截面的为正。
④扭矩图——表示圆杆各截面上的扭矩沿杆轴线方向变化规律的图线。
3圆轴扭转时，横截面上的应力、强度条件 (1)横截面上的切应力①分布规律——一点的切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，其方向与该点的半径相垂直。
②计算公式 ρτP I T =PP max W TR I T ==τ (2)极惯性矩与扭转截面系数， ①实心圆截面 432D I P π= ， 316D W P π=②空心圆截面 ()()444413232αππ-=-=D dDI P ，()44116απ-=D WP式中， Dd =α (3)圆轴扭转的强度条件 []ττ≤=Pmax W T(4)强度计算的三类问题①强度校核 []ττ≤=Pmax W T②截面设计 []τTW P ≥，由P W 计算D⑧许可荷载计算 []P e W M τ≤，由T 计算e M 4．圆轴扭转时的变形，刚度条件 (1)圆轴扭转时的变形小变形时，圆轴的二任意横截面之间仅产生相对的角位移，称为相对扭转角。
① 相对扭转角 ()rad GI TLP=ϕ ②单位长度扭转角 ()m rad GI Tdx d P'==ϕϕ 计算相对扭转角ϕ的公式，应在长度L 范围内，T ,G 和P I 均为常数，若其中任意参数T 或G 或P I 不为常数，则应分段计算ϕ，然后叠加。
2)圆轴扭转时的刚度条件 []()()m GI max T max 'P '0180ϕπϕ≤⨯=5．矩形截面杆扭转的主要结果 (1)横截面上的最大切应力横截面上的最大切应力发生在矩形截面的长边中点处；即 3b Tmax βτ=式中，β为与比值h 有关的系数，可查文献1中表3—1获得。
材料力学 第三章 扭 转
T2
T1
d
T3
Mx1=0.5kN· m
Mx2 =0.32kN· m lAB=300mm G=80GPa d=50mm
B
T2
φAB
lAB
A T1
lAC d φAC
C T3
B
lAB
A
lAC
C
M x1l AB j AB = GI P 500 0.3 = 9 80 10 0.054 32
r O
Mx
几何分析
变 形 应变分布
物理关系
应力分布
平面假定 静力学方程
应力公式
1. 变形几何关系
周线
a b c d
T
周线
a c d
γ
T
φ
b
纵线
dx
纵线
dx
a
c
a
γ
c c' d d'
b
d
b
（1）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变，绕杆轴线相对转动。 （2）所有的纵线都转过了同一角度g。
T
周线
A
dρ
ρ o
ρ2dA
∫ 0ρ2·2πρdρ =
π d = 32
4
d/2
d
3 Ip π d Wp = r = 16
2. 空心圆截面
π D 4 - π d 4 π D 4(1-α4) Ip= 32 32 = 32 α=d/D
ρ o
dρ
π D3 Wp = 16 (1-α4)
d D
3.薄壁圆环截面
I P = 2r0
故该轴满足切应力强度要求。
二、刚度计算 等直圆杆扭转的刚度条件为
θ max = Mxmax ≤[θ] GI
第三章 材料力学-扭转
上计算中对此并未考核。
例题3-2、3-4好好看一下（重要）
第三章 扭转
§3-5 等直圆杆扭转时的变形· 刚度条件
Ⅰ. 扭转时的变形
等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移) 来度量。
Me
Me
A D B C
由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭 d T 转角)为 可知，杆的相距 l 的两横截面之间的 d x GI p 相对扭转角为 l T d dx l 0 GI p
！把重点放在前两条上面（红色字体）
第三章 扭转
受力特点: 杆件的两端作用两个大小相等、转向相反、且作用面垂直于杆件轴线
的力偶。
Me
Me
变形特点： Ⅰ. 相邻横截面绕杆的轴线相对转动； Ⅱ. 杆表面的纵向线变成螺旋线； Ⅲ. 实际构件在工作时除发生扭转变形外，
还伴随有弯曲或拉、压等变形。
第三章 扭转
D
解：轴的扭矩等于轴传递的转矩
T M 1.98KNm
轴的内，外径之比
M M t
d D 2t 0.934 D D
d
D
D 4 (1 4 ) IP 7.82105 mm4 32 IP Wt 2.06104 mm3 D 2
由强度条件 由刚度条件
max
第三章
扭转
扭转这一章节一般出一道大题，而且这一章题型比较独立，不牵涉其 他章节的知识点，这一章题分值大概15分，而且题型比较简单，把公式记 牢，概念好好理解，应该问题不大。
• 铁大考试大纲： 扭转（5-10%） （1）掌握圆轴扭转时横截面上的扭矩计算和切应力计算方 法，掌握握圆轴扭转的变形计算方法。 （2）熟练运用强度条件和刚度条件对圆轴进行设计。 （3）理解应变能的概念并能够进行杆件的应变能计算。 （4）了解矩形截面杆自由扭转时的应力和变形计算方法。
材料力学-第三章
21
第三章 扭转
3.5 圆轴扭转强度计算
22
扭转失效与扭转极限应力
扭转屈服应力：s 扭转强度极限：b 扭转强度极限：b 扭转屈服应力（s ）和扭转强度极限（b ），统 称为材料的扭转极限应力u。
23
圆轴扭转强度条件
材料的扭转许用应力为：
u
n
n为安全系数。
强度条件为：
max
（2) 若将轮1与轮2的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
（3) 若将轮1与轮3的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
33
提高圆轴扭转时强度和刚度的措施
• 提高轴的转速 • 合理布局主动轮和被动轮的位置 • 采用空心轴 • 选用优质材料，提高剪切模量
34
例3-8：图示圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向载荷F作用。 所谓密圈螺旋弹簧，是指螺旋升角α很小（例如小于5º ）的 弹簧。设弹簧的平均直径D，弹簧丝的直径d，试分析弹簧 丝横截面上的应力并建立相应的强度条件。
第三章 扭转
3.1 扭转的概念
1
扭转的概念
以横截面绕轴 线作相对旋转为 主要特征的变形 形式，称为扭转。
2
受力特点： 变形特点：
受到垂直于构件轴线的外力偶 矩的作用。
构件的轴线保持不变，各横截面绕 轴线相对转动 截面间绕轴线的相对角位移，称为扭转角
使杆发生扭转变形的外力偶，称为扭力偶，其矩 称为扭力偶矩。 凡是以扭转为主要变形的直杆，称为轴。
公式的适用条件：以平面假设为基础；适用胡克定律。
18
圆轴截面的极惯性矩和抗扭截面模量
IP
d4
32
WP
d3
16
19
空心圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量
工程力学中的扭转刚度如何影响设计？
工程力学中的扭转刚度如何影响设计？在工程领域，设计的合理性和安全性至关重要。
而扭转刚度作为工程力学中的一个重要概念，对设计有着深远的影响。
它不仅关系到结构的稳定性和可靠性，还直接影响着产品的性能和使用寿命。
要理解扭转刚度对设计的影响，首先得明白什么是扭转刚度。
简单来说，扭转刚度是指一个结构抵抗扭转变形的能力。
当一个物体受到扭矩作用时，如果它的扭转刚度大，那么它的扭转变形就会小；反之，如果扭转刚度小，扭转变形就会大。
在机械设计中，扭转刚度的考虑是不可或缺的。
以传动轴为例，传动轴在工作时会传递扭矩，如果其扭转刚度不足，就会发生过度的扭转变形，导致传动不平稳，甚至可能出现疲劳断裂等严重问题。
为了保证传动轴的正常工作，设计师需要根据传动功率、转速等因素，精确计算出所需的扭转刚度，并选择合适的材料和结构来实现。
在汽车设计中，扭转刚度同样起着关键作用。
车身的扭转刚度直接影响着车辆的操控性能、舒适性和安全性。
如果车身的扭转刚度不够，在行驶过程中，车身容易发生扭曲变形，这会影响车辆的悬挂系统和转向系统的工作精度，导致操控性能下降。
同时，车身的变形还会产生噪音和振动，降低乘坐的舒适性。
在极端情况下，如发生碰撞，车身刚度不足可能无法有效抵抗冲击力，危及车内人员的生命安全。
在航空航天领域，扭转刚度的影响更是至关重要。
飞机的机翼在飞行中会受到各种复杂的载荷，包括扭矩。
如果机翼的扭转刚度不合适，可能会导致机翼的气动外形发生改变，影响飞行性能，甚至可能引发结构失效。
因此，在飞机设计中，对机翼等关键部件的扭转刚度进行精确的分析和设计是极其重要的。
在建筑结构设计中，扭转刚度也不容忽视。
例如，高层建筑在风荷载和地震作用下，会产生扭转效应。
如果结构的扭转刚度不足，可能会导致建筑物发生较大的扭转位移，影响结构的稳定性和安全性。
为了减小扭转效应，设计师通常会通过合理的平面布局和结构布置，来提高建筑结构的扭转刚度。
那么，如何提高结构的扭转刚度呢？一方面，可以选择合适的材料。
材料力学 第三章 扭转
为一很小的量，所以
tan 1.0103rad
G
(80 109 Pa)(1.0 103rad) 80 MPa
注意： 虽很小，但 G 很大，切应力 不小
例 3-3 一薄壁圆管，平均半径为R0，壁厚为，长度为l， 横截面上的扭矩为T，切变模量为G，试求扭转角。
解：
T
2πR02
G
T
2πGR02
塑性材料：[] =（0.5~0.6）[s] 脆性材料：[] = （0.8~1.0）[st]
例 3-1 已知 T=1.5 kN . m，[τ] = 50 MPa，试根据强度条 件设计实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。 解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
max
T Wp
T πd 3
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
Tmax ml
[例3-1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
解：1、计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
m1
9.55
P1 n
9.55
一、薄壁圆筒扭转时的应力
t
1、试验现象
壁厚
t
1 10
r0（r0：平均半径）
rO
各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动，距离不变。 当变形很小时，各纵向平行线仍然平行，倾斜一定的角度。
由于管壁薄，可近似认 为管内变形与管表面相 同，均仅存在切应变γ 。
2、应力公式 微小矩形单元体如图所示：
´
①无正应力
d T
dx GI p
材料力学 第 三 章 扭转
扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
材料力学（扭转）
τ
dy
τ
τ´
c
t
z
dx d
3 剪切胡克定律
τ =τ′
当τ ≤τp ，切应力与切应变成正比关系
τ = G ⋅γ
剪切弹性模量
26
§3–4 等直圆杆扭转时的应力和变形
一 等直圆杆横截面应力
①变形几何方面 ②物理关系方面 ③静力学方面
27
无数薄壁圆筒
表
里
28
等直圆杆扭转实验观察： 1. 平截面假设； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍平行。
P P
二 受力特点 构件两端受到两个在垂直于轴线 平面内的力偶作用，两力偶大小 相等，转向相反。
3
三 变形特点 各横截面绕轴线发生相对转动 即：任意两截面间有相对的角位移 — 扭转角
扭转角（ϕAB）：B截面绕轴线相对A截面转动的角位移。 切应变（γ）：直角的改变量。
ϕAB
A
O B
A
γ
O
B
M
M
4
四轴 工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。
γ =ϕ⋅RL
l
2 剪切胡克定律
τT
当τ ≤τp ，切应力与切应变成正比关系
τ = G ⋅γ
剪切弹性模量 Pa
ϕγ
21
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个 常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系
G= E
2(1 + ν )
22
一 受力特点 构件两端受到两个在垂直于轴线平面内的力偶作用，两力偶 大小相等，转向相反。
24
三 薄壁圆筒的扭转 1 实验结论 ① 无轴向正应力 ② 无径向正应力 ③ 切应力环向均布 ④ 切应力径向均布
第三章 扭转
解:
4—5一传动轴的转速，n=200转／分，轴上装有五个轮子，主动轮2输入的功率为60千瓦，从动轮1、3、4、5依次分别输出18千瓦、12千瓦、22千瓦和8千瓦。试作该轴的扭矩图。
解：
4—6一轴AB传递的功率P＝7．5千瓦，转速n＝360转／分。轴的AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面，如图所示，已知D=30mm，d=20mm。试计算AC段横截面边缘处的剪应力，以及CB段横截面上的内、外边缘处的剪应力。
所以
4—14吊车梁的行走机构如图所示。已知电机的功率P＝3．7kW，平均分配在两轮轴CD上，经减速后轮轴的转速n＝32．6转／分。轴为Q235号钢，[ ]=40MPa，G=80GPa，[ ]＝1 ／m。试选择传动轴CD的直径，并校核其扭转刚度。
解：
取
图示绞车同时由两个人操作，如果每人加在手柄上的力都是F=200N，已知轴许用剪应力[ ]=40MPa，试按强度条件初步估算AB轴的直径，并确定最大起重量W。
DB段的单位长度扭转角为
综上所述可知，各段均满足强度、刚度要求。
4—13全长为 ，两端直径分别为 、 的圆锥形杆，在其两端各受一矩为 的集中力偶作用，如图所示。试求杆的总扭转角。
解：
这是一变截面的扭转轴，应由公式 计算两端面间的相对扭转角。首先应求出该轴任一横截面的极惯性矩。
由图示的几何关系可知，任一横截面的直径为
解：首先做阶梯轴的扭矩图，如图所示。
强度校核
根据平衡条件，有
AC段最大切应力为
AC段的最大工作切应力小于许用切应力，满足强度要求。CD段的扭矩与AC段相同，但其直径比AC段的大，所以CD段也满足强度要求。
DB段上最大切应力为
故DB段的最大工作切应力小于许用切应力，满足强度要求。
4—5一传动轴的转速，n=200转／分，轴上装有五个轮子，主动轮2输入的功率为60千瓦，从动轮1、3、4、5依次分别输出18千瓦、12千瓦、22千瓦和8千瓦。试作该轴的扭矩图。
解：
4—6一轴AB传递的功率P＝7．5千瓦，转速n＝360转／分。轴的AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面，如图所示，已知D=30mm，d=20mm。试计算AC段横截面边缘处的剪应力，以及CB段横截面上的内、外边缘处的剪应力。
所以
4—14吊车梁的行走机构如图所示。已知电机的功率P＝3．7kW，平均分配在两轮轴CD上，经减速后轮轴的转速n＝32．6转／分。轴为Q235号钢，[ ]=40MPa，G=80GPa，[ ]＝1 ／m。试选择传动轴CD的直径，并校核其扭转刚度。
解：
取
图示绞车同时由两个人操作，如果每人加在手柄上的力都是F=200N，已知轴许用剪应力[ ]=40MPa，试按强度条件初步估算AB轴的直径，并确定最大起重量W。
DB段的单位长度扭转角为
综上所述可知，各段均满足强度、刚度要求。
4—13全长为 ，两端直径分别为 、 的圆锥形杆，在其两端各受一矩为 的集中力偶作用，如图所示。试求杆的总扭转角。
解：
这是一变截面的扭转轴，应由公式 计算两端面间的相对扭转角。首先应求出该轴任一横截面的极惯性矩。
由图示的几何关系可知，任一横截面的直径为
解：首先做阶梯轴的扭矩图，如图所示。
强度校核
根据平衡条件，有
AC段最大切应力为
AC段的最大工作切应力小于许用切应力，满足强度要求。CD段的扭矩与AC段相同，但其直径比AC段的大，所以CD段也满足强度要求。
DB段上最大切应力为
故DB段的最大工作切应力小于许用切应力，满足强度要求。
第3章 扭转
(2) BC段：在截面Ⅱ−Ⅱ处将轴截开，取左段为脱离 体，如图d，由平衡条件 M
å
得
e4
M
e1
M
x
= 0
T2 + M 4 - M 1 = 0
（d）
A
B
Ⅱ T2 Ⅱ
T 2 = - M 4 + M 1 = - 6 .3 7 + 1 5 .9 = 9 .5 3
(3) CD段：在截面Ⅲ-Ⅲ处将轴截开，取右段为脱离 体，如图e，由平衡条件 M e3 M = 0 Ⅲ å T3 - M 3 = 0
Me n n （a） Me
x
Me
n T x n （b） n
T
n （c） Me
x
12
传动轴的外力偶矩
功率、转速与力偶矩的转换关系：在工程实际中，给出 轴所传递的功率和轴的转速。需要将其换算为力偶矩。 轴转动1分钟力偶所作的功为：
W = 2π 鬃 M e n
A B
电动机每分钟所作的功为：
W ' = 60
t
a
= t co s 2 a
28
s
a
= - t sin 2 a
t
a
= t co s 2 a
讨论:
a = 0
0
s 00 = 0
t 00 = t
max
= t
τ
τ
a = - 45
0
st-
45
0
= s max = t
= 0
τ
45
0
σmin
τ
σmax
a = 45
0
s 450 = s min = - t
t
45
27
e
å
得
e4
M
e1
M
x
= 0
T2 + M 4 - M 1 = 0
（d）
A
B
Ⅱ T2 Ⅱ
T 2 = - M 4 + M 1 = - 6 .3 7 + 1 5 .9 = 9 .5 3
(3) CD段：在截面Ⅲ-Ⅲ处将轴截开，取右段为脱离 体，如图e，由平衡条件 M e3 M = 0 Ⅲ å T3 - M 3 = 0
Me n n （a） Me
x
Me
n T x n （b） n
T
n （c） Me
x
12
传动轴的外力偶矩
功率、转速与力偶矩的转换关系：在工程实际中，给出 轴所传递的功率和轴的转速。需要将其换算为力偶矩。 轴转动1分钟力偶所作的功为：
W = 2π 鬃 M e n
A B
电动机每分钟所作的功为：
W ' = 60
t
a
= t co s 2 a
28
s
a
= - t sin 2 a
t
a
= t co s 2 a
讨论:
a = 0
0
s 00 = 0
t 00 = t
max
= t
τ
τ
a = - 45
0
st-
45
0
= s max = t
= 0
τ
45
0
σmin
τ
σmax
a = 45
0
s 450 = s min = - t
t
45
27
e
化机基础(力学)_第三章轴扭转
【5.3】一轴以300转/分的转速传递331kW的功率，如 [ ]=40MPa，[ ]=0.5°/m，G=80GPa，求轴的直径。
解：
（1）计算扭矩：
P 331 M e 9550 9550 10537 N m n 300
T M e 10537 m N
（2）设计轴径 T T 由强度条件： max W 3 [ ] t d 16
轴扭转时，横截面上的扭矩T引起切应力 ，故横截面 上各点只有切应力，与该点所在半径垂直，方向与截 面扭矩转向保持一致。
第三节 纯剪切
一、切应力互等定理
围绕横截面上某点取一微小六面体，称为单元体。 y
’
dy x dx z
由平衡条件：
M 0
dy dz dx
'dx dz dy
二、扭矩和扭矩图
1. 研究AB轴各横截面上的内力 me me
1
A me
1 T1-1 1 x 1 T1-1
B
求AB段内的任 一横截面上的内 力：用截面法计 算内力。
m 0
T11 me 0
me
T11 me
注：
1. 内力名称——扭矩T 2. 扭矩正负号规定，利用右手螺旋法则，当拇指背离截 面时，T为正；反之，为负。 不论取截面的哪一侧研究，所得结果的正负号一致。 T1-1 mB mA 1 T1-1
轴：工程上将以扭转变形为主的构件称为轴
第二节
扭转时力偶和内力的计算
一、外力偶矩的计算
作用于轴上的外力偶矩一般不是直接给出的，而是给出 轴的转速n和传递的功率P。
n1 27.5kW 7.5kW A n B
C
n=960r/min
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[ ] 2 / m
例 由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之 比 = 0.5。已知材料的许用切应力[ ] = 40MPa ，切 变模量G=80GPa 。轴的横截面上最大扭矩为Tmax= 9.56 kN•m ，轴的许可单位长度扭转角[' ]=0.3 /m 。 试选择轴的直径。 解：1、按强度条件确定外直径D
16M e d1 M e d1 / 2 T1 d1 / 2 1,min 4 4 4 4 πD1 (1 ) I p1 πD1 (1 ) / 32
d2 d1 D1
2）求切应力 I A Me
刚性板 B
I-I
空心圆轴
1,max
16M e πD1 (1 )
Me
Me
相距l 的两横截面间相对扭转角为
T dx d 0 l GI p
l
等直圆杆仅两端截面受外力偶矩 Me 作用时
M el Tl GI p GI p
(单位：rad)
称为扭转胡克定律
Hale Waihona Puke GIp称为等直圆杆的扭转刚度Me
Me
d l 2
max
G
T Wp G T Ip
32
3 637 10 500 T2l AC 1.69 10 3 rad GI P 80103 π 704 32
CA
CB AB CA [1.52 (1.69)] 10 3 0.17 10 3 rad
例 图示空心圆杆 AB，A端固定，底板 B为刚性杆， 在其中心处焊一直径为d2的实心圆杆CB。空心杆的 内、外径分别为 D1和 d1，外力偶矩 Me、两杆的长 度l1、l2 及材料的切变模量G 均为已知。试求：
max
T Wt
扭转截面系数
单位长度扭转角：
T GI t
短边中点的切应力： max
相当极惯性矩
其中
Wt b 3
I t b 4
h 、、 ——与 m 相关的因数 b
Tmax 180 GI p π
32 9.56 10 180 1 3 4 3 80 10 π 1 0.5 π 0.3 10
6 4
125 .5mm
d D 0.5 125 .5 63.75mm
§3-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形
32M el1 32M el2 4 4 4 GπD1 (1 ) Gπd 2
Ⅱ、刚度条件
等直圆杆在扭转时的刚度条件：
max
180 [ ] π l GI p
Tmax
单位：/m
对于精密机器的轴 对于一般的传动轴
[ ] 0.15 ~ 0.30 / m
3 4
实心圆轴
2,max
16M e πd 2
3
1,min
16M e πD1 (1 4 ) 1,max 1,min
3
2,max
T1 T2
3）求扭转角 I A Me C I
l1 l2
刚性板 B
C AB BC
T1l1 T2l2 GI p1 GI p2
——约束扭转
此时相邻两横截面的翘曲程度不同，横截面上有 附加正应力产生
Ⅱ、矩形截面杆自由扭转时的应力和变形
≤p时
1. max发生在横截面的长边中点 处； 2. 四个角点处 =0 。 3. 横截面周边各点的切应力与周 边相切； 4. 沿周边上的一点与中心的连线， 切应力呈曲线分布 。
最大切应力：
Tmax Tmax max [ ] 3 Wp πD 1 4 16 6 16Tmax 16 9 . 56 10 D3 109mm 3 4 4 π1 [ ] π1 0.5 40
2、由刚度条件确定所需外直径D
Tmax 180 max [ ] 4 πD π 4 G (1 ) 32 32Tmax 180 1 D4 4 Gπ(1- ) π [ ]
lAB
M1
Ⅱ
M3
d
A
lAC
C
解： 1）求扭矩 BA段 AC段
T1 955N m T2 637N m
M2 Ⅰ
B
lAB
M1
d
Ⅱ lAC
M3 C
A
2）求扭转角
AB
T1l AB 955 103 300 1.52 10 3 rad GI p 80103 π 704
l
M el GI p
G
G
1. 适用于线弹性范围 2. 计算长度l范围内其它三个量为常量
例 图示钢制实心圆截面轴，已知： M1=1592N•m, M2=955 N•m，M3=637 N•m， d =70mm， lAB=300mm， lAC=500mm，钢的切变模量G=80GPa。求横截面C相 对于B的扭转角CB。 M2 Ⅰ B
Ⅰ、等直非圆形截面杆扭转时的变形特点
横向线变 成曲线
横截面发生翘曲 不再保持为平面
平面假设不再 成立，可能产 生附加正应力
非圆杆两种类型的扭转 1、等直杆两端受外力偶作用，端面可自由翘曲时
——自由扭转(纯扭转) 此时相邻两横截面的翘曲程度完全相同，无附加 正应力产生
2、非等直杆扭转、扭矩沿杆长变化、或端面有约束 不能自由翘曲时
1、两杆横截面上的切应力分布图； 2、实心杆C端的绝对扭转角C。 I A 刚性板 Me B C I
l1 l2
I-I
d2 d1 D1
C I
l1 l2
T1 M e T2 M e
Me C Me C
T1
B
T2
d2 d1 D1
解：1）求扭矩 I A Me
刚性板 B
I-I
C I
l1 l2
空心圆轴 16M e Me T1 1,max 3 3 4 Wp1 πD1 (1 ) / 16 πD1 (1 4 )
例 由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之 比 = 0.5。已知材料的许用切应力[ ] = 40MPa ，切 变模量G=80GPa 。轴的横截面上最大扭矩为Tmax= 9.56 kN•m ，轴的许可单位长度扭转角[' ]=0.3 /m 。 试选择轴的直径。 解：1、按强度条件确定外直径D
16M e d1 M e d1 / 2 T1 d1 / 2 1,min 4 4 4 4 πD1 (1 ) I p1 πD1 (1 ) / 32
d2 d1 D1
2）求切应力 I A Me
刚性板 B
I-I
空心圆轴
1,max
16M e πD1 (1 )
Me
Me
相距l 的两横截面间相对扭转角为
T dx d 0 l GI p
l
等直圆杆仅两端截面受外力偶矩 Me 作用时
M el Tl GI p GI p
(单位：rad)
称为扭转胡克定律
Hale Waihona Puke GIp称为等直圆杆的扭转刚度Me
Me
d l 2
max
G
T Wp G T Ip
32
3 637 10 500 T2l AC 1.69 10 3 rad GI P 80103 π 704 32
CA
CB AB CA [1.52 (1.69)] 10 3 0.17 10 3 rad
例 图示空心圆杆 AB，A端固定，底板 B为刚性杆， 在其中心处焊一直径为d2的实心圆杆CB。空心杆的 内、外径分别为 D1和 d1，外力偶矩 Me、两杆的长 度l1、l2 及材料的切变模量G 均为已知。试求：
max
T Wt
扭转截面系数
单位长度扭转角：
T GI t
短边中点的切应力： max
相当极惯性矩
其中
Wt b 3
I t b 4
h 、、 ——与 m 相关的因数 b
Tmax 180 GI p π
32 9.56 10 180 1 3 4 3 80 10 π 1 0.5 π 0.3 10
6 4
125 .5mm
d D 0.5 125 .5 63.75mm
§3-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形
32M el1 32M el2 4 4 4 GπD1 (1 ) Gπd 2
Ⅱ、刚度条件
等直圆杆在扭转时的刚度条件：
max
180 [ ] π l GI p
Tmax
单位：/m
对于精密机器的轴 对于一般的传动轴
[ ] 0.15 ~ 0.30 / m
3 4
实心圆轴
2,max
16M e πd 2
3
1,min
16M e πD1 (1 4 ) 1,max 1,min
3
2,max
T1 T2
3）求扭转角 I A Me C I
l1 l2
刚性板 B
C AB BC
T1l1 T2l2 GI p1 GI p2
——约束扭转
此时相邻两横截面的翘曲程度不同，横截面上有 附加正应力产生
Ⅱ、矩形截面杆自由扭转时的应力和变形
≤p时
1. max发生在横截面的长边中点 处； 2. 四个角点处 =0 。 3. 横截面周边各点的切应力与周 边相切； 4. 沿周边上的一点与中心的连线， 切应力呈曲线分布 。
最大切应力：
Tmax Tmax max [ ] 3 Wp πD 1 4 16 6 16Tmax 16 9 . 56 10 D3 109mm 3 4 4 π1 [ ] π1 0.5 40
2、由刚度条件确定所需外直径D
Tmax 180 max [ ] 4 πD π 4 G (1 ) 32 32Tmax 180 1 D4 4 Gπ(1- ) π [ ]
lAB
M1
Ⅱ
M3
d
A
lAC
C
解： 1）求扭矩 BA段 AC段
T1 955N m T2 637N m
M2 Ⅰ
B
lAB
M1
d
Ⅱ lAC
M3 C
A
2）求扭转角
AB
T1l AB 955 103 300 1.52 10 3 rad GI p 80103 π 704
l
M el GI p
G
G
1. 适用于线弹性范围 2. 计算长度l范围内其它三个量为常量
例 图示钢制实心圆截面轴，已知： M1=1592N•m, M2=955 N•m，M3=637 N•m， d =70mm， lAB=300mm， lAC=500mm，钢的切变模量G=80GPa。求横截面C相 对于B的扭转角CB。 M2 Ⅰ B
Ⅰ、等直非圆形截面杆扭转时的变形特点
横向线变 成曲线
横截面发生翘曲 不再保持为平面
平面假设不再 成立，可能产 生附加正应力
非圆杆两种类型的扭转 1、等直杆两端受外力偶作用，端面可自由翘曲时
——自由扭转(纯扭转) 此时相邻两横截面的翘曲程度完全相同，无附加 正应力产生
2、非等直杆扭转、扭矩沿杆长变化、或端面有约束 不能自由翘曲时
1、两杆横截面上的切应力分布图； 2、实心杆C端的绝对扭转角C。 I A 刚性板 Me B C I
l1 l2
I-I
d2 d1 D1
C I
l1 l2
T1 M e T2 M e
Me C Me C
T1
B
T2
d2 d1 D1
解：1）求扭矩 I A Me
刚性板 B
I-I
C I
l1 l2
空心圆轴 16M e Me T1 1,max 3 3 4 Wp1 πD1 (1 ) / 16 πD1 (1 4 )