2018北京二中高二(上)期中数学
北京市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案
北京市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题1．直线（a为实常数）的倾斜角的大小是( )A．30° B．60° C．120°D．150°2．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是( )A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交3．到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是( )A．3x﹣4y﹣11=0 B．3x﹣4y﹣11=0或3x﹣4y+9=0C．3x﹣4y+9=0 D．3x﹣4y+11=0或3x﹣4y﹣9=04．一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的体积为( )A．B．C．πD．5．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E6．直线x+（1+m）y=2﹣m和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为( )A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．﹣7．下列四个结论：（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行；（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．38．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是( ) A．B．C．4πD．9．已知点M（0，﹣1），点N在直线x﹣y+1=0上，若直线MN垂直于直线x+2y﹣3=0，则点N的坐标是( ) A．（﹣2，﹣1）B．（2，3）C．（2，1）D．（﹣2，1）10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为( )A．30° B．45° C．60° D．90°11．由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体木块有( )A．6块B．7块C．8块D．9块12．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°．其中错误的结论是( )A．①B．②C．③D．④二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．过点（1，2）且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程是__________．14．△ABC的三顶点分别是A（﹣8，5），B（4，﹣2），C（﹣6，3），则BC边上的高所在的直线的一般式方程是__________．15．经过两直线2x﹣3y﹣12=0和x+y﹣1=0的交点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为__________．16．直线y=k（x+1）+3与以点A（2，﹣5），B（4，﹣2）为端点的线段AB有公共点，则k的取值范围是___________17．如图，在侧棱和底面垂直的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面ABCD满足条件__________时，有AC⊥B1D1（写出你认为正确的一种条件即可．）．18．如图，P是二面角α﹣AB﹣β棱AB上的一点，分别在α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α﹣AB﹣β的大小是__________．三、解答题（共3小题，满分40分）19．已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．求：（Ⅰ）直线l的方程；（Ⅱ）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．20．如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，试探求点E的位置，使SC∥平面EBD，并证明．21．（16分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=．（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；（2）求证：面SAB⊥面SBC；（3）求SC与底面ABCD所成角的正切值．北京市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题参考答案一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．直线（a为实常数）的倾斜角的大小是( )A．30° B．60° C．120°D．150°【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题．【分析】由已知中直线的方程，可以求直线的斜率，进而根据直线斜率与倾斜角的关系，可以求出直线倾斜角的大小．【解答】解：∵直线（a为实常数）的斜率为﹣令直线（a为实常数）的倾斜角为θ则tanθ=﹣解得θ=150°故选D【点评】本题考查的知识点是直线的倾斜角，其中根据直线方程求出直线的斜率是解答本题的关键2．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是( )A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】若a，b是异面直线，直线c∥a，所以c与b可能异面，可能相交．【解答】解：由a、b是异面直线，直线c∥a知c与b的位置关系是异面或相交，故选D．【点评】此题考查学生的空间想象能力，考查对异面直线的理解和掌握．3．到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是( )A．3x﹣4y﹣11=0 B．3x﹣4y﹣11=0或3x﹣4y+9=0C．3x﹣4y+9=0 D．3x﹣4y+11=0或3x﹣4y﹣9=0【考点】直线的一般式方程；两条平行直线间的距离．【专题】计算题；待定系数法．【分析】设到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是 3x﹣4y+c=0，由两平行线间的距离公式得=2，解方程求出c值，即得所求的直线的方程．【解答】解：设到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是 3x﹣4y+c=0，由两平行线间的距离公式得=2，c=﹣11，或 c=9．∴到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是 3x﹣4y﹣11=0，或 3x﹣4y+9=0，故选 B．【点评】本题考查用待定系数法求平行直线方程的方法，以及两平行线间的距离公式的应用．4．一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的体积为( )A．B．C．πD．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图可判断这个几何体为圆柱体，根据题意可知底面半径以及高，易求体积．【解答】解：由三视图可知这个几何体是圆柱体，且底面圆的半径，高为1，那么圆柱体的体积是：π×（）2×1=，故选A．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键．5．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】证明题；综合法．【分析】由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E是中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项【解答】解：A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确；故选C．【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是理解清楚题设条件，根据所学的定理，定义对所面对的问题进行证明得出结论，本题考查空间想象能力以及推理谁的能力，综合性较强．6．直线x+（1+m）y=2﹣m和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为( )A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．﹣【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】方程思想；数形结合法；直线与圆．【分析】由直线平行可得1×2﹣（1+m）m=0，解方程排除重合可得．【解答】解：∵直线x+（1+m）y=2﹣m和直线mx+2y+8=0平行，∴1×2﹣（1+m）m=0，解得m=1或﹣2，当m=﹣2时，两直线重合．故选：A．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．7．下列四个结论：（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行；（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】常规题型．【分析】根据线线平行、线面平行的判定和性质．即可得出正确结论．【解答】解：：（1）两条直线都和同一个平面平行，那么这两条直线可能平行、相交、异面．故（1）不正确．（2）两条直线没有公共点，那么这两条直线可能平行、异面．故（2）不正确．（3）两条直线都和第三条直线垂，则这两条直线可能平行、相交、异面．故（3）不正确．（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面可能平行、可能相交、可能在平面内．故选A【点评】此题考查学生对空间中点线面之间的位置关系的掌握与理解．考查学生的空间想象能力．8．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是( ) A．B．C．4πD．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由AB=BC=CA=2，求得△ABC的外接圆半径为r，再由R2﹣（R）2=，求得球的半径，再用面积求解．【解答】解：因为AB=BC=CA=2，所以△ABC的外接圆半径为r=．设球半径为R，则R2﹣（R）2=，所以R2=S=4πR2=．故选D【点评】本题主要考查球的球面面积，涉及到截面圆圆心与球心的连垂直于截面，这是求得相关量的关键．9．已知点M（0，﹣1），点N在直线x﹣y+1=0上，若直线MN垂直于直线x+2y﹣3=0，则点N的坐标是( ) A．（﹣2，﹣1）B．（2，3）C．（2，1）D．（﹣2，1）【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题．【分析】根据点N在直线x﹣y+1=0上，设点N坐标为（x0，x0+1），利用经过两点的斜率公式，得到直线MN 的斜率关于x0的表达式，最后根据直线MN垂直于直线x+2y﹣3=0，得到两直线斜率乘积等于﹣1，建立等式并解之可得点N的坐标．【解答】解：∵点N在直线x﹣y+1=0上∴可设点N坐标为（x0，x0+1）根据经过两点的直线的斜率公式，可得=∵直线MN垂直于直线x+2y﹣3=0，而直线x+2y﹣3=0的斜率为∴⇒=2⇒x0=2因此，点N的坐标是（2，3）故选B【点评】本题借助于直线与垂直，求点的坐标为例，着重考查了直线的方程、直线斜率的求法和直线垂直的斜率关系等知识点，属于基础题．10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为( )A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由D1C∥A1B，知∠DA1B是异面直线A1D与D1C所成的角，由此能求出结果．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵D1C∥A1B，∴∠DA1B是异面直线A1D与D1C所成的角，∵A1D=A1B=BD，∴△A1BD是等边三角形，∴∠DA1B=60°，∴异面直线A1D与D1C所成的角是60°．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成的角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体木块有( )A．6块B．7块C．8块D．9块【考点】简单组合体的结构特征．【专题】计算题．【分析】由俯视图易得最底层正方体的个数，由主视图和左视图找到其余层数里正方体的个数相加即可．【解答】解：由俯视图，我们可得该几何体中小正方体共有4摞，结合正视图和侧视图可得：第1摞共有3个小正方体；第2摞共有1个小正方体；第3摞共有1个小正方体；第4摞共有2个小正方体；故搭成该几何体的小正方体木块有7块，故选B．【点评】用到的知识点为：俯视图决定底层立方块的个数，三视图的顺序分别为：主视图，左视图，俯视图．12．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°．其中错误的结论是( )A．①B．②C．③D．④【考点】与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．【专题】证明题．【分析】取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．根据线面垂直的判定及性质可判断①的真假；求出AC长后，可以判断②的真假；求出AB与平面BCD所成的角可判断③的真假；建立空间坐标系，利用向量法，求出AB 与CD所成的角，可以判断④的真假；进而得到答案．【解答】解：取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD BD⊥面AEC∴BD⊥AC设正方形边长为a，则AD=DC=a，AE=a=EC．∴AC=a∴△ACD∠ABD为AB与面BCD所成的角为45以E为坐标原点，EC、ED、EA分别为x，y，z则A（0，0，a），B（0，﹣a，0），D（0，a，0），C（a，0，0=（0，﹣a，﹣a），=（a，﹣a，0）．cos＜，＞==∴＜，＞=60°，故④正确．故选C【点评】本题考查的知识点是线面垂直的判定与性质，空间两点距离，线面夹角，异面直线的夹角，其中根据已知条件将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，结合立体几何求出相关直线与直线、直线与平面的夹角，及线段的长是关键．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．过点（1，2）且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程是x+2y﹣5=0．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题．【分析】设过点（1，2）且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程为 x+2y+m=0，把点（1，2）代入直线方程，求出m值即得直线l的方程．【解答】解：设过点（1，2）且与直线x+2y=0平行的直线方程为x+2y+m=0，把点（1，2）代入直线方程得，1+4+m=0，m=﹣5，故所求的直线方程为 x+2y﹣5=0，故答案为：x+2y﹣5=0．【点评】本题考查用待定系数法求直线方程的方法，设过点（1，2）且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程为 x+2y+m=0 是解题的关键．14．△ABC的三顶点分别是A（﹣8，5），B（4，﹣2），C（﹣6，3），则BC边上的高所在的直线的一般式方程是2x﹣y+21=0．【考点】直线的点斜式方程；待定系数法求直线方程．【专题】方程思想；定义法；直线与圆．【分析】先求出BC所在直线的斜率，根据垂直得出BC边上的高所在直线的斜率，由点斜式写出直线方程，并化为一般式．【解答】解：∵△ABC的三顶点分别是A（﹣8，5），B（4，﹣2），C（﹣6，3），∴k BC==﹣，∴BC边上高AD所在直线斜率k=2，又过A（﹣8，5）点，∴BC边上的高AD所在的直线AD：y﹣5=2（x+8），即2x﹣y+21=0．故答案为：2x﹣y+21=0【点评】本题考查两直线垂直时，斜率间的关系，用点斜式求直线方程的方法，利用定义法是解决本题的关键．15．经过两直线2x﹣3y﹣12=0和x+y﹣1=0的交点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为2x+3y=0；或x+y+1=0．【考点】直线的截距式方程；两条直线的交点坐标．【专题】计算题；方程思想；分类法；直线与圆．【分析】联解两条直线的方程，得到它们的交点坐标（﹣3，﹣1）．再根据直线是否经过原点，分两种情况加以讨论，即可算出符合题意的两条直线方程．【解答】解：由解得∴直线2x﹣3y﹣12=0和x+y﹣1=0的交点坐标为（3，﹣2）①所求直线经过原点时，满足条件方程设为y=kx，可得3k=﹣2，解得k=﹣，此时直线方程为y=﹣x，即2x+3y=0；②当所求直线在坐标轴上的截距不为0时，方程设为x+y=a，可得3﹣2=a，解之得a=1，此时直线方程为x+y﹣1=0综上所述，所求的直线方程为2x+3y=0；或x+y+1=0．【点评】本题给出经过两条直线，求经过两条直线的交点且在轴上截距相等的直线方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系等知识，属于基础题．16．直线y=k（x+1）+3与以点A（2，﹣5），B（4，﹣2）为端点的线段AB有公共点，则k的取值范围是_ 【考点】直线的斜率．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】由直线方程求得直线所过定点P，然后求得PA，PB的斜率得答案．【解答】解：由y=k（x+1）+3，得直线y=k（x+1）+3过定点P（﹣1，3），∵A（2，﹣5），B（4，﹣2），∴k PA=﹣，k PB=﹣1．∴满足直线y=k（x+1）+3与线段AB有公共点的k的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了直线系方程，考查了数学结合的解题思想方法，是基础题．17．如图，在侧棱和底面垂直的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面ABCD满足条件ABCD是菱形或是正方形或是对角线互相垂直的四边形时，有AC⊥B1D1（写出你认为正确的一种条件即可．）．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】开放型．【分析】在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BD∥B1D1，故只需AC⊥BD，则AC⊥B1D1，即只要底面四边形ABCD的对角线相互垂直就行了，比如：菱形、正方形、或者任意一个对角线相互垂直的四边形，只要填一个答案即可．【解答】解：在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∵BD∥B1D1，∴若AC⊥BD，则AC⊥B1D1∴当底面ABCD是菱形、正方形或者是对角线相互垂直的四边形时，AC⊥B1D1故答案为：ABCD是菱形、正方形或者是对角线相互垂直的四边形【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力．18．如图，P是二面角α﹣AB﹣β棱AB上的一点，分别在α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α﹣AB﹣β的大小是90°．【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题考查的知识点是二面角及其度量，我们要根据二面角的定义，在两个平面的交线上取一点Q，然后向两个平面引垂线，构造出二面角的平面角，然后根据平面几何的性质，求出含二面角的平面角的三角形中相关的边长，解三角形即可得到答案．【解答】解：过AB上一点Q分别在α，β内做AB的垂线，交PM，PN于M点和N点则∠MQN即为二面角α﹣AB﹣β的平面角，如下图所示：设PQ=a，则∵∠BPM=∠BPN=45°∴QM=QN=aPM=PN= a又由∠MPN=60°，易得△PMN为等边三角形则MN= a解三角形QMN易得∠MQN=90°故答案为：90°【点评】求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠MQN为二面角α﹣AB﹣β的平面角，通过解∠MQN所在的三角形求得∠MQN．其解题过程为：作∠MQN→证∠MQN是二面角的平面角→计算∠MQN，简记为“作、证、算”．三、解答题（共3小题，满分40分）19．已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．求：（Ⅰ）直线l的方程；（Ⅱ）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．【考点】直线的一般式方程；两条直线的交点坐标．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）联立两直线方程得到方程组，求出方程组的解集即可得到交点P的坐标，根据直线l与x﹣2y﹣1垂直，利用两直线垂直时斜率乘积为﹣1，可设出直线l的方程，把P代入即可得到直线l的方程；（Ⅱ）分别令x=0和y=0求出直线l与y轴和x轴的截距，然后根据三角形的面积函数间，即可求出直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积．【解答】解：（Ⅰ）由解得由于点P的坐标是（﹣2，2）．则所求直线l与x﹣2y﹣1=0垂直，可设直线l的方程为2x+y+m=0．把点P的坐标代入得2×（﹣2）+2+m=0，即m=2．所求直线l的方程为2x+y+2=0．（Ⅱ）由直线l的方程知它在x轴．y轴上的截距分别是﹣1．﹣2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积．【点评】此题考查学生会利用联立两直线的方程的方法求两直线的交点坐标，掌握直线的一般式方程，会求直线与坐标轴的截距，是一道中档题．20．如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，试探求点E的位置，使SC∥平面EBD，并证明．【考点】直线与平面平行的判定．【专题】证明题．【分析】欲证SC∥平面EBD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证SC与平面EBD内一直线平行，取SA的中点E，连接EB，ED，AC，设AC与BD的交点为O，连接EO．根据中位线可知OE∥SC，而SC⊄平面EBD，OE⊂平面EBD，满足定理所需条件．【解答】答：点E的位置是棱SA的中点．证明：取SA的中点E，连接EB，ED，AC，设AC与BD的交点为O，连接EO．∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是AC的中点．又E是SA的中点，∴OE是△SAC的中位线．∴OE∥SC．∵SC⊄平面EBD，OE⊂平面EBD，∴SC∥平面EBD．故E的位置为棱SA的中点．【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，应熟练记忆直线与平面平行的判定定理，属于探索性问题．21．（16分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=．（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；（2）求证：面SAB⊥面SBC；（3）求SC与底面ABCD所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题．【分析】（1）由题设条四棱锥S﹣ABCD的体积： V==，由此能求出结果．（2）由SA⊥面ABCD，知SA⊥BC，由AB⊥BC，BC⊥面SAB，由此能够证明面SAB⊥面SBC．（3）连接AC，知∠SCA 就是SC与底面ABCD所成的角．由此能求出 SC与底面ABCD所成角的正切值．【解答】（1）解：∵底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=．∴四棱锥S﹣ABCD的体积：V====．（2）证明：∵SA⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，∴SA⊥BC，∵AB⊥BC，SA∩AB=A，∴BC⊥面SAB∵BC⊂面SBC∴面SAB⊥面SBC．（3）解：连接AC，∵SA⊥面ABCD，∴∠SCA 就是SC与底面ABCD所成的角．在三角形SCA中，∵SA=1，AC=，∴．…10分【点评】本题考查棱锥的体积的求法，面面垂直的证明和直线与平面所成角的正切值的求法．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．。
最新-北京市重点中学2018学年高二数学上学期期中考试
北京市重点中学2018～2018学年度第一学期期中练习高 二 数 学一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每个小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．双曲线121022=-y x 的焦距为 ( ) A.23 B.24 C.33 D.342．设抛物线的焦点为(2,0)F -，则抛物线的标准方程是 （ ）A ．28y x =-B ．28x y =-C ．24y x =-D ．24x y =-3．直线10ax y ++=与圆()2211x y -+=相切，则a 的值为 （ ） A. 0 B. 1 C.2 D. 1-4.点(2,3)P 关于直线10++=x y 的对称点的坐标是 （ ）A ．(3,2)--B ．(4,3)--C ．(2,3)--D ．(3,4)--5.某个几何体的三视图及其尺寸如图所示（单位：cm ），该几何体的表面积和体积分别为 ( )A ．2324πcm ,12πcmB ．2315πcm ,12πcmC ．2324πcm ,36πcmD ．以上都不正确6.已知双曲线的一个顶点为)2,0(,且渐近线的方程为x y ±=那么该双曲线的标准方程为( ) A.18422=-y x B.14422=-y x C.14422=-x y D. 18422=-x y7.若直线40kx y k --=与曲线y 有公共的点，则实数k 的取值范围（ ）A ．⎡⎢⎣⎦ B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点,点E 是该双曲线的右顶点,过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点,若ABE ∆是锐角三角形,则该双曲线的离心率的取值范围是 ( )A.()2,1 B.()2,1 C.()21,1+ D.()21,2+二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．已知抛物线2y ax =过点1(,1)4A ，那么点A 到此抛物线的焦点的距离为 . 10．已知椭圆2212y x +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在椭圆上，且112PF F F ⊥，则2PF =______.11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为__________．12.已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为y 轴,且与圆422=+y x 相交的公共弦长等于32,则此抛物线的方程为 .13. 点P 是直线30kx y ++=4()3k >-上一动点，PA PB ,是圆22:20C x x y -+=的两条切线，A B ,为切点.若四边形PACB 的最小面积为2，则此时线段PC 的长为 ；实数k 的值是 .14．已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=且到直线2:-=x y l 的距离为2，满足条件的点P 的个数为_____________(个）．三、解答题：本大题共4小题,共44分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分10分）已知直线l 过点(2,1)和点(4,3).（Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）若圆C 的圆心在直线l 上，且与y 轴相切于(0,3)点，求圆C 的方程.16.（本小题满分10分）已知抛物线2x y =与直线m x y +=交于B A ,两点.（Ⅰ）求m 的取值范围.（Ⅱ）若23||=AB ，求m 的值.17.（本小题满分12分）已知1(2,0)F -，2(2,0)F 两点，曲线C 上的动点P 满足12123||||||2PF PF F F +=. （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）若直线l 经过点(0,3)M ，交曲线C 于A ，B 两点，且A 为MB 的中点，求直线l 的方程.18．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率是，且经过点(2,1)M ．直线1(0)2y x m m =+<与椭圆相交于A ，B 两点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线MA ，MB 的斜率分别是1k ，2k ，求证21k k +为定值．。
北京市东城北京二中2017-2018学年高二数学上学期期中试题 理(含解析)
北京二中2017—2018学年度第一学段高二年级模块考试试卷数学选修2—1（理科）一、选择题（共14小题，每小题4分，共56分．每小题给出的四个选项中有且只有一个选．．．．．．．项是正确的．．．．．） 1．抛物线216y x =的焦点坐标为（）．A ．(8,0)B ．(4,0)C ．(0,8)D ．(0,4)【答案】B【解析】解：由216y x =，得216P =，则8P =，42P=， 所以抛物线216y x =的焦点坐标是(4,0)． 故选B ．2．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题： ①αββγαγ⎫⇒⎬⎭∥∥∥；②m m αββα⎫⇒⎬⎭⊥⊥∥；③m m ααββ⎫⇒⎬⎭⊥⊥∥；④m n m n αα⎫⇒⎬⎭∥∥∥．其中正确的命题是（）．A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④【答案】B【解析】解：①．由面面平行的性质可知，αβ∥，αγ∥，则βγ∥，故①正确； ②．若αβ⊥，m α∥，则m β∥或m 与β相交，故②错误； ③．若m β∥，则存在m β'⊂，且m m '∥，又m α⊥，得m α'⊥， 所以αβ⊥，故③正确；④．若m n ∥，n α∥，则m α⊂或m α∥，故④错误． 故选B ．3．若方程2214x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（）．A ．2m <B ．02m <<C ．24m <<D ．2m >【答案】B【解析】解：若方程2214x y m m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则0404m m m m>⎧⎪->⎨⎪->⎩，解得02m <<．故选B ．4．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是（）．A．10πB．7πC．13π3D．7π3俯视图侧左()视图正主()视图【答案】 C【解析】解：由几何体的三视图可得，该几何体是一个组合体，下面是一个圆柱，圆柱的底面半径是1，高是3，上面是一个球，球的半径是1，所以该几何体的体积2344π13ππ13π13π333V=⨯⨯+⨯=+=．故选C．5．椭圆22:416C x y+=的长轴长、短轴长和焦点坐标一次为（）．A．8，4，(±B．8，4，(0,±C．4，2，(±D．4，2，(0,±【答案】C【解析】解：椭圆22:416C x y+=化为标准方程为：221164y x+=，可得4a=，2b=，c=所以椭圆22416x y+=的长轴长，短轴长和焦点坐标分别为：8，4，(0,±．故选B．6．若一个圆锥的轴截面是正三角形，则此圆锥侧面展开图扇形的圆心角大小为（）．A．60︒B．90︒C．120︒D．180︒【答案】D【解析】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为R，由该圆锥的轴截面是正三角形，得2r R=，∴π22π180n rr ⨯=︒，解得180n =︒． 故选D ．7．抛物线26y x =上一点11(,)M x y 到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为（）．A ．3B．C ．27D．【答案】B【解析】解：∵抛物线26y x =上一点11(,)M x y 到其焦点的距离为92， ∴211163922y x x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得13x =，1y =±，∴点M故选B ．8．如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（）．A．6πB．6π+C．184πD．18π+正视图俯视图【答案】D【解析】解：由三视图知，此组合体上部是一个半径为12的球体，故其表面积为π，下部为一直三棱柱，其高为3，底面为一边长为2三棱柱的侧面积为3(222)18⨯++=，因为不考虑接触点，故只求上底面的面积即可，上底面的面积为：122⨯18π+．故选D ．9．双曲线2212x y m m-=的一个焦点坐标为(3,0)，则双曲线的实轴长为（）．AB ．C ．D 【答案】C【解析】解：∵双曲线2212x y m m-=的一个焦点坐标为(3,0)，∴29m m +=，得3m =，∴双曲线的实轴长为． 故选C ．10．已知椭圆C 的对称轴与两条坐标轴重合，且长轴长的短轴长的2倍，抛物线28y x =-的焦点与椭圆C 的一个顶点重合，则椭圆C 的标准方程为（）． A ．2214x y +=B ．221416x y +=C ．221164x y +=或2214y x +=D ．2214x y +=或221416x y +=【答案】D【解析】解：由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即有2a b =，又抛物线28y x =-的焦点(2,0)-与椭圆C 的一个顶点重合，得椭圆经过点(2,0)-，若焦点在x 轴上，则2a =，1b =，椭圆方程为2214x y +=，若焦点在y 轴上，则2b =，4a =，椭圆方程为221164y x +=，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=或221416x y +=．故选D ．11．点(2,0)M 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>渐近线的距离为1，则双曲线的离心率等于（）．A ．2B ．43C D ．4【答案】C【解析】解：∵点(2,0)M到双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的渐近线0bx ay±=的距离为1，21bc==，∴2c b=，a=，∴双曲线的离心率cea==故选C．12．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α与β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α与β都平行于γ；③存在直线lα⊂，直线mβ⊂，使得l m∥．其中，可以判定α与β平行的条件有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】解：①项、存在平面γ，使得α，β都垂直于γ，则α，β不一定平行，利如正方体相邻的三个面，故①错误；②项、若αγ∥，βγ∥，则由面面平行的性质可得αβ∥，故②正确；③项、若直线lα⊂，mβ⊂，l m∥，α与β可能相交，故③错误．故选A．13．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（）．A．B．4C．D．俯视图()左视图()主视图()【答案】A 【解析】解：BAPD根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且2AD AB==，4BC=，PA⊥平面ABCD，且2PA=，∴PBPD=CD=PC=∴这个四棱锥中最长棱的长度是．故选A．14．已知椭圆22:143x yE+=和圆22:()1C x m y-+=，当实数m在闭区间[3,3]-内从小到大连续变化时，椭圆E和圆C公共点个数的变化规律是（）．A．1，2，1，0，1，2，1B．2，1，0，1，2C．1，2，0，2，1D．1，2，3，4，2，0，2，4，3，2，1【答案】A【解析】解：椭圆22:143x yE+=的顶点坐标为(2,0)-，(2,0)，，(0,，圆22:()1C x m y-+=，表示以(,0)m为圆心，1为半径的圆，当3m=-时，椭圆E与圆C只有一个焦点(2,0)-，当31m-<<-时，圆C向右平移，与椭圆E有两个交点，当1m=-时，圆C与椭圆E只有1个交点，当11m-<<时，圆C椭圆在E内部，此时椭圆E与圆C无公共点，∴当m在闭区间[3,3]-从小到大连续变化时，椭圆E和圆C公共点个数的变化规律是1，2，1，0，1，2，1．故选A．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）15．双曲线的对称轴和坐标轴重合，中心在原点，交点坐标为(2,0)-和(2,0)，且经过点(2,3)P -，则双曲线的标准方程是__________．【答案】2213y x -=【解析】解：由题意，2c =，|22a =， ∴1a =，b 2c =，故双曲线的标准方程是2213y x -=．16．如图在正三角形ABC △中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点，将ABC △沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的大小为__________．JIF E C BA HG D【答案】60︒ 【解析】解：ID GHEFM将ABC △沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，点A ，B ，C 重合为点M ，得到三棱锥M DEF -， ∵I ，J 分别为BE ，DE 的中点， ∴IJ ∥侧棱MD ，∴MD 与GH 所成的角即是GH 与IJ 所成的角， ∵60AHG ∠=︒，∴GH 与IJ 所成角的大小为60︒．17．从正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点中任意选择3个点，记这3个点确定的平面为α，则垂直于直线1AC 的平面α的个数为__________． 【答案】2 【解析】解：DA BCA 1D 1B 1C 1与直线1AC 垂直的平面有平面1A BD 和平面11CB D ，故与直线1AC 垂直的平面α的个数为2．18．已知椭圆222:1(40)16x y C b b+=>>的左右焦点为1F ，2F ，若P 为椭圆C 上一点，且1290F PF ∠=︒，则12F PF △的面积等于__________． 【答案】4【解析】解：由题意4a =，c e a ==，得4a =，2b =，c = ∵P 为椭圆C 上一点，且1290F PF ∠=︒，∴12||||28PF PF a +==，22212||||448PF PF c +==，∴2122(||||)2||||48PF PF PF PF +-⋅=，即12642||||48PF PF -⋅=，得12||||8PF PF ⋅=，故12F PF △的面积1211||||8422S PF PF =⋅=⨯=．19．抛物线24y x =上两个不同的点A ，B ，满足OA OB ⊥，则直线AB 一定过定点，此定点坐标为__________． 【答案】(4,0)【解析】解：设直线l 的方程为x ty b =+代入抛物线24y x =，消去x 得2440y ty b --=, 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y t +=，124y y b =-， ∴1212()()OA OB ty b ty b y y ⋅=+++ 22121212()t y y bt y y b y y =++++222444bt bt b b =-++- 24b b =- =0，∴0b =（舍去）或4b =, 故直线l 过定点(4,0)．20．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，N 为面1111A B C D （包括边界）内一动点，当点N 与1B 重合时，异面直线AN 与1BC 所成的角的大小为__________；当点N 在运动过程中始终保持AN ∥平面1BDC ，则点N 的轨迹是__________．DABCN D 1C 1B 1A 1【答案】60︒；线段11B D【解析】解：当点N 与1B 重合时，AN 即1AB , ∵11AB DC ∥,∴1DC B ∠即直线AN 与1BC 所成的角， ∵1BD DC BC ==， ∴1BDC △是等边三角形， ∴160DC B ∠=︒，故异面直线AN 与1BC 所成的夹角是60︒，∵平面11AB D ∥平面1BDC ，AN ∥平面1BDC ，且N 在平面1111A B C D 内， ∴点N 在平面11AB D 与平面1111A B C D 的交线11B D 上， 故点N 的轨迹是线段11B D ．三、解答题（共5小题，满分64分．解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 21．（本题12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，PB PD =，E ，F 分别为AB 和PD 的中点． （1）求证：EF ∥平面PBC ． （2）求证：BD ⊥平面PAC ．FECBAP D【答案】见解析． 【解析】解：D P ABCEFGO（1）证明：取PC 中点为G ，∵在PCD △中，F 是PD 中点，G 是PC 中点，∴FG CD ∥，且12FG CD =，又∵底面ABCD 是菱形， ∴AB CD ∥， ∵E 是AB 中点，∴BE CD ∥，且12BE CD =，∴BE FG ∥，且BE FG =， ∴四边形BEFG 是平行四边形， ∴EF BG ∥，又EF ⊄平面PBC ，BG ⊄平面PBC ， ∴EF ∥平面PBC ． （2）证明：设ACBD O =，则O 是BD 中点，∵底面ABCD 是菱形， ∴BD AC ⊥，又∵PB PD =，O 是BD 中点，∴BD PO ⊥，又AC PO O =，∴BD ⊥平面PAC ．22．（本小题13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，M 是PA 的中点，PD ⊥平面ABCD ，且4PD CD ==，2AD =．（1）求AP 与平面CMB 所成角的正弦．（2）求二面角M CB P --的余弦值．DPAB C M【答案】见解析．【解析】解：（1）∵ABCD 是矩形，∴AD CD ⊥，又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD AD ⊥，PD CD ⊥，即PD ，AD ，CD 两两垂直，∴以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系，由4PD CD ==，2AD =，得(2,0,0)A ，(2,4,0)B ，(0,4,0)C ，(0,0,0)D ，(0,0,4)P ，(1,0,2)M ，则(2,0,4)AP =-，(2,0,0)BC =-，(1,4,2)MB =-，设平面CMB 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则1100BC n MB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111120420x x y z -=⎧⎨+-=⎩，令11y =，得10x =，12z =， ∴1(0,1,2)n =， ∴1114cos ,5||||25AP n AP n AP n ⋅<>===⋅， 故AP 与平面CMB 所成角的正弦值为45． （2）由（1）可得(0,4,4)PC =-， 设平面PBC 的一个法向量为2222(,,)n x y z =，则2200BC n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22220440x y z -=⎧⎨-=⎩，令21y =，得20x =，21z =， ∴2(0,1,1)n =， ∴12cos ,n n <>= 故二面角M CB P --31023．（本题13分）已知抛物线22(0)y px p =>过点0(2,)A y ，且点A 到其准线的距离为4．（1）求抛物线的方程．（2）直线:l y x m =+与抛物线交于两个不同的点P ，Q ，若OP OQ ⊥，求实数m 的值．【答案】见解析．【解析】解：（1）已知抛物线22(0)y px p =>过点0(2,)A y ，且点A 到准线的距离为4， 则242p +=， ∴4p =，故抛物线的方程为：28y x =．（2）由28y x m y x=+⎧⎨=⎩得22(28)0x m x m +-+=， 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则1282x y m +=-，212x x m =，121228y y x x m +=++=，212121212()()()8y y x m x m x x m x x m m =++=+++=，∵OP OQ ⊥，∴2121280x x y y m m +=+=，∴0m =或8m =-，经检验，当0m =时，直线与抛物线交点中有一点与原点O 重合，不符合题意，当8m =-时，2=244640∆-⨯>，符合题意，综上，实数m 的值为8-．24．（本题13分）已知点(0,2)A ，椭圆2222:=1(0)x y E a b a b+>>，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为，O 为坐标原点． （1）求椭圆E 的方程．（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当OPQ △的面积最大时，求直线l 的方程．【答案】见解析．【解析】解：（1）设(,0)F c ，由直线AF的斜率为得2c -=，解得c又离心率c e a =2a =，∴1b ，故椭圆E 的方程为2214x y +=． （2）当直线l x ⊥轴时，不符合题意，当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 联立22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(41)16120k x kx +++=， 由2=1643)0k ∆->（，得234k >，即k <或k >， 1221641k x x k -+=+，1221241x x k =+，∴||PQ又点D 到直线PQ的距离d =∴OPQ △的面积1||2S PQ d =⋅⋅，t =，则0t >， ∴24441414t S t t t===++≤，当且仅当2t =，即k =0∆>， ∴直线l的方程为：2y =+或2y =+．25．（本题13分）对于正整数集合{}12,,,(*,3)n A a a a n n ∈N ≥，如果去掉其中任意一个元素(1,2,,)i a i n =之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”．（1）判断集合{}1,2,3,4,5是否是“和谐集”（不必写过程）．（2）请写出一个只含有7个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”．（3）当5n =时，集合{}12345,,,,A a a a a a ，求证：集合A 不是“和谐集”．【答案】见解析．【解析】解：（1）集合{}1,2,3,4,5不是“和谐集”．（2）集合{}1,3,5,7,9,11,13，证明：∵35791113+++=+，19135711++=++，91313711+=+++，13511713+++=+，19113513++=++，3791513++=++，1359711+++=+，∴集合{}1,3,5,7,9,11,13是“和谐集”．（3）证明：不妨设12345a a a a a <<<<，将集合{}1345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有1534a a a a +=+①，或者5134a a a a =++②，将集合{}2345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有2534a a a a +=+③，或者5234a a a a =++④，由①③得12a a =，矛盾，由①④得12a a =-，矛盾，由②③得12a a =-矛盾，由②④得12a a =矛盾，故当=5n 时，集合A 一定不是“和谐集”．。
2018北京二中高一(上)期中数学
2018北京二中高一（上）期中数学一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|2≤x＜4}，B={1＜x＜3}，则A∪B=（）A. {x|1<x<4}B. {x|x<1或x>3}C. {x|2<x<3}D. {x|x<2或x>4}2.定义域为R的函数y=x3，y=x2+1，y=2x，y=2x中，奇函数的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 13.已知集合A{x|x2-3x+2=0，x∈R}，B={x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 44.已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（-1）+g（1）=2，f（1）+g（-1）=4，则g（1）=（）A. 4B. 3C. 2D. 15.50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为（）A. 50B. 45C. 40D. 356.已知全集为R，集合A={x|（12）x≤1}，B={x|x2-6x+8≤0}，则A∩（∁R B）=（）A. {x|x≤0}B. {x|2≤x≤4}C. {x|0≤x<2或x>4}D. {x|0<x≤2或x≥4}7.已知定义域为R的函数f（x）在（8，+∞）上为减函数，且函数y=f（x+8）函数为偶函数，则（）A. f(6)>f(7)B. f(6)>f(9)C. f(7)>f(9)D. f(7)>f(10)8.下列选项中，使不等式x＜1x成立的x的取值范围是（）A. (−∞,−1)∪(0,1)B. (−1,0)∪(1,+∞)C. (0,1)D. (1,+∞)9.函数f（x）=a x-1a（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=3x-1，给出下列命题：①若x＞0，则f（x）＞1；②对于任意的x1，x2∈R，x1-x2≠0，则必有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0；③若对于任意的x1，x2∈R，x1-x2≠0，则f(x1)+f(x2)2＞f(x1+x22)．其中所有正确命题的序号是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③11.如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A．B，C的机动车辆数如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段AB，BC，CA的机动车数（假设：单位时间内，在上述路段中同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（）A. x 2>x 3>x 1B. x 1>x 3>x 2C. x 1>x 2>x 3D. x 3>x 2>x 112. 用min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小值．若函数f （x ）=min{|x |，|x +t |}的图象关于直线x =-12对称，则t 的值为（ ） A. −2 B. 2 C. −1 D. 1二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13. 已知函数f （x ）=x 2-6x +18，x ∈（-∞，a ]，且函数f （x ）的最小值为f （a ），则a 的取值范田是______．14. 已知函数f （x ）={−1x ，x ≥12x ，x ＜1，且f （a ）+f （2）=0，则实数a =______． 15. 计算(18)−23+log 36+log 392-101+lg 12=______． 16. 若函数f （x ）=x(2x−1)(x+a)为奇函数，则a =______．17. 函数f （x ）=x x−1（x ≥2）的最大值为______．18. 函数f （x ）的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），则称函数f （x ）在D 上为非减函数．设函数f （x ）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f （0）=0；②f(x 3)=12f(x)；③f （1-x ）=1-f （x ）．则f(13)+f(18)=______． 三、解答题（本大题共4小题，共60.0分）19. 已知集合A ={x |x 2-（a +1）x +a ≤0}，B ={x |x−2x−4＜0}．（1）当a =3时，求A ∩B ；（2）若A ∩B 中存在一个元素为自然数，求实数a 的取值范围．20. 已知函数f （x ）=a x （a ＞0，a ≠1）．（Ⅰ）若f(1)+f(−1)=52，求f （2）+f （-2）的值． （Ⅱ）若函数f （x ）在[-1，1]上的最大值与最小值的差为83，求实数a 的值．21. 已知二次函数f （x ）的最小值为1，且f （0）=f （2）=3．（1）求f （x ）的解析式；（2）若f （x ）在区间[3a ，a +1]上不单调，求实数a 的取值范围；（3）在区间x ∈[-1，1]上，y =f （x ）的图象恒在y =2x +2m +1的图象上方，试确定实数m 的取值范围．22.A={a1，a2，…，a k}（k≥2），其中a i∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}．其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总有-a不属于A，则称集合A具有性质P．；（1）对任何具有性质P的集合A，证明：n≤k(k−1)2（2）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．2018北京二中高一（上）期中数学参考答案1.【答案】A【解析】解：因为集合A={x|2≤x＜4}，B={1＜x＜3}，则A∪B=，故选：A．由集合的并集及其运算得：A∪B=，得解本题考查了集合的并集及其运算，属简单题2.【答案】C【解析】解：y=x3和y=2x都是奇函数，y=x2+1是偶函数，y=2x为非奇非偶函数．故选：C．判断每个函数的奇偶性即可．考查奇函数和偶函数的定义及判断，以及非奇非偶函数的定义．3.【答案】D【解析】解：由题意可得，A={1，2}，B={1，2，3，4}，∵A⊆C⊆B，∴满足条件的集合C有{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个，故选：D．先求出集合A，B由A⊆C⊆B 可得满足条件的集合C有{1，2，}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，可求本题主要考查了集合的包含关系的应用，解题的关键是由A⊆C⊆B 找出符合条件的集合．4.【答案】B【解析】解：f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，方程f（-1）+g（1）=2，f（1）+g（-1）=4，化为：-f（1）+g（1）=2，f（1）+g（1）=4，两式相加可得2g（1）=6，所以g（1）=3．故选：B．直接利用函数的奇偶性，化简方程，解方程组即可．本题考查函数的奇偶性的应用，函数的值的求法，基本知识的考查．5.【答案】B【解析】解：根据题意，两项活动都参加的人数=30+25-50=5，仅参加了一项活动的学生人数=50-5=45，故选：B．根据题意，结合交集与并集的元素数目的关系，C（A）+C（B）=C（A∩B）+C（A∪B），首先可求出两项活动都参加的人数，然后计算仅参加了一项活动的学生人数．本题考查集合间的关系及元素数目的运算，注意两个集合的交集与并集的元素数目的关系．6.【答案】C【解析】解：∵≤1=，∴x≥0，∴A={x|x≥0}；又x2-6x+8≤0⇔（x-2）（x-4）≤0，∴2≤x≤4．∴B={x|2≤x≤4}，∴∁R B={x|x＜2或x＞4}，∴A∩∁R B={x|0≤x＜2或x＞4}，故选：C．利用指数函数的性质可求得集合A，通过解一元二次不等式可求得集合B，从而可求得A∩∁R B．本题考查指数函数的性质与元二次不等式，考查交、并、补集的混合运算，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：∵y=f（x+8）为偶函数，∴f（x+8）=f（-x+8），即y=f（x）关于直线x=8对称．又∵f（x）在（8，+∞）上为减函数，∴f（x）在（-∞，8）上为增函数．由f（8+2）=f（8-2），即f（10）=f（6），又由6＜7＜8，则有f（6）＜f（7），即f（7）＞f（10）．故选：D．根据y=f（x+8）为偶函数，则f（x+8）=f（-x+8），即y=f（x）关于直线x=8对称．又f（x）在（8，+∞）上为减函数，故在（-∞，8）上为增函数，故可得答案．本题主要考查偶函数的性质．对偶函数要知道f（-x）=f（x）．8.【答案】A【解析】解：根据题意，⇒x-＜0⇒＜0⇒x（x-1）（x+1）＜0，解可得x＜-1或0＜x＜1，即不等式成立的x的取值范围是（-∞，-1）∪（0，1）；故选：A．根据题意，将不等式变形可得x（x-1）（x+1）＜0，由高次不等式的解法分析可得其解集，即可得答案．本题考查分式不等式的解法，注意将分式不等式转化为整式不等式．9.【答案】D【解析】解：当0＜a＜1时，函数f（x）=a x-，为减函数，当a＞1时，函数f（x）=a x-，为增函数，且当x=-1时f（-1）=0，即函数恒经过点（-1，0），故选：D．先判断函数的单调性，再判断函数恒经过点（-1，0），问题得以解决．本题主要考查了函数的图象和性质，求出函数恒经过点是关键，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：对于①，x＞0时，3x＞1，所以f（x）=3x-1＞0，①错误；对于②，f（x）=3x-1是定义域R上的单调增函数，所以满足对任意的x1，x2∈R，若x1-x2≠0，则（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，②正确；对于③，画出f（x）的图象，由图象可知，对任意的x1，x2∈R，若x1-x2≠0，则y Q=，y P=f（），即，③正确．综上所述，正确命题的序号是②③．故选：C．①根据指数函数的图象与性质判断命题错误；②根据函数f（x）是定义域R上的单调增函数，判断命题正确；③画出f（x）的图象，结合图象得出命题正确．本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数的单调性应用问题，是基础题．11.【答案】A【解析】解：由图可知：，即，所以x2＞x3＞x1，故选：A．先对图表数据进行分析处理得：，再结合数据进行简单的合情推理得：，所以x2＞x3＞x1，得解本题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题12.【答案】D【解析】解：如图，在同一个坐标系中做出两个函数y=|x|与y=|x+t|的图象，函数f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象为两个图象中较低的一个，分析可得其图象关于直线x=-对称，要使函数f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象关于直线x=对称，则t的值为t=1故选：D．由题设，函数是一个非常规的函数，在同一个坐标系中作出两个函数的图象，及直线x=，观察图象得出结论本题的考点是函数的图象与图象的变化，通过新定义考查学生的创新能力，考查函数的图象，考查考生数形结合的能力，属中档题．13.【答案】（-∞，3]【解析】解：函数f（x）=x2-6x+8=（x-3）2-1，x∈（-∞，a]，并且函数f（x）的最小值为f（a），当a≤3时，∵函数f（x）在区间x∈（-∞，a]，上单调递减，函数f（x）的最小值为f（a），当a＞3时，函数f（x）的最小值为f（3），不满足题意，∴a≤3，故答案为：（-∞，3]．由题意知，函数f（x）在区间x∈（-∞，a]，上单调递减，结合二次函数的对称轴求出实数a的取值范围．本题考查二次函数函数的单调区间，联系二次函数的图象特征，体现转化的数学思想．14.【答案】-1【解析】解：∵f（2）=-，∴f（a）+f（2）=0可化为f（a）=，∴2a=或-=，解得，a=-1或a=-2（舍去）；故答案为：-1．可求得f（2）=-，从而可得2a=或-=，从而解得．本题考查了分段函数的应用及分类讨论的思想应用．15.【答案】2【解析】解：原式=+-10lg5=4+3-5=2．故答案为：2．利用指数与对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】12【解析】解：∵f（x）为奇函数：∴f（x）的定义域关于原点对称；∵f（x）的定义域为：；∴；∴．故答案为：．根据奇函数的定义域关于原点对称即可得出-a=，从而求出a．考查奇函数的定义，奇函数定义域的对称性．17.【答案】2【解析】解：；∴f（x）在[2，+∞）上单调递减；∴x=2时，f（x）取最大值2．故答案为：2．分离常数便可得到，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在[2，+∞）上为减函数，从而x=2时f（x）取最大值，并可求出该最大值．考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值的方法．18.【答案】34【解析】解：∵f （0）=0，f （1-x ）=1-f （x ），令x=1，则f （0）=1-f （1），解得f （1）=1，令x=，则f （）=1-f （），解得：f （）=． 又∵， ∴f （）=f （1）=，f （）=f （）=，f （）=f （）=， 又由f （x ）在[0，1]上为非减函数，故f （）=， ∴f （）+f （）=． 故答案为：． 由已知函数f （x ）满足的三个条件求出f （1），f （），f （），进而求出f （），f （）的函数值，又由函数f （x ）为非减函数，求出f （）的值，即可得到答案．本题主要考查了抽象函数及其应用，以及对新定义的理解，同时考查了计算能力和转化的思想，属于中档题．19.【答案】解：（1）B ={x |2＜x ＜4}；a =3时，A ={x |1≤x ≤3}；∴A ∩B ={x |2＜x ≤3}；（2）∵A ∩B 中存在一个元素为自然数；∴A ∩B ={3}；∴3∈A ；∴9-3（a +1）+a ≤0；解得a ≥3；∴实数a 的取值范围为[3，+∞）．【解析】（1）可求出B={x|2＜x ＜4}，a=3时可求出集合A ，然后进行交集的运算即可；（2）根据题意可得出A∩B={3}，从而得出3∈A ，从而x=3满足x 2-（a+1）x+a≤0，从而得出9-3（a+1）+a≤0，解出a 的范围即可．考查描述法、列举法的定义，分式不等式和一元二次不等式的解法，交集的定义及运算．20.【答案】解：（Ⅰ）∵f （x ）=a x ，f(1)+f(−1)=52，∴f(1)+f(−1)=a +1a =52，解得：a =2或12，当a =2时，f （x ）=2x ，f(2)+f(−2)=22+2−2=174， 当a =12时，f(x)=(12)x ，f(2)+f(−2)=(12)2+(12)−2=174，故f(2)+f(−2)=174．（Ⅱ）当a ＞1时，f （x ）=a x 在[-1，1]上单调递增，∴f(x)max −f(x)min =f(1)−f(−1)=a −a −1=83，化简得3a 2-8a -3=0，解得：a =−13（舍去）或a =3．当0＜a ＜1时，f （x ）=a x 在[-1，1]上单调递减，∴f(x)max −f(x)min =f(−1)−f(1)=a −1−a =83，化简得3a 2+8a -3=0．解得：a =-3（舍去）或a =13．综上，实数a 的值为3或13．【解析】（Ⅰ）利用，求出a，得到结果．（Ⅱ）当a＞1时，f（x）=a x在[-1，1]上单调递增，利用单调性求解函数的最值，通过已知条件转化求解即可．本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力．21.【答案】解：（1）根据f（0）=f（2）=3知，f（x）的对称轴为x=1，f（x）的最小值为1；∴设f（x）=a（x-1）2+1，∴f（0）=a+1=3；∴a=2；∴f（x）=2（x-1）2+1=2x2-4x+3；（2）f（x）在区间[3a，a+1]上不单调；∴3a＜1＜a+1∴a∈（0，13）；（3）若在区间x∈[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，2（x-1）2+1＞2x+2m+1，即m＜x2-3x+1在x∈[-1，1]上恒成立；y=x2-3x+1在[-1，1]上单调递减；∴x=1时，y取最小值-1；∴m＜-1；∴m的取值范围为（-∞，-1）．【解析】（1）由条件f（0）=f（2）便知f（x）的对称轴为x=1，这样可设出f（x）=a（x-1）2+1，根据f（0）=3便可得出a=2，从而得出f（x）的解析式；（2）根据f（x）的对称轴为x=1，从而由f（x）在区间[3a，a+1]上不单调，便可得到3a＜1＜a+1，这样便可得出实数a的取值范围；（3）根据题意2（x-1）2+1＞2x+2m+1，经整理得到m＜x2-3x+1在[-1，1]上恒成立，从而求函数x2-3x+1在[-1，1]上的最小值便可得到m的取值范围考查二次函数的对称轴，二次函数的最小值，以及二次函数的单调性，根据二次函数的单调性求最值．22.【答案】（1）证明：首先，由A中元素构成的有序数对（a i，a j）共有k2个．∵0不属于A，∴（a i，a i）不属于T（i=1，2，，k）；又∵当a∈A时，-a不属于A时，-a不属于A，当（a i，a j）∈T时，（a j，a i）不属于T（i，j=1，2，，k）．从而，集合T中元素的个数最多为12(k2−k)=k(k−1)2，即n≤k(k−1)2．（2）解：m=n，证明如下：（1）对于（a，b）∈S，根据定义，a∈A，b∈A，且a+b∈A，从而（a+b，b）∈T．如果（a，b）与（c，d）是S的不同元素，那么a=c与b=d中至少有一个不成立，从而a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立．故（a+b，b）与（c+d，d）也是T的不同元素．可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m≤n，（2）对于（a，b）∈T，根据定义，a∈A，b∈A，且a-b∈A，从而（a-b，b）∈S．如果（a，b）与（c，d）是T的不同元素，那么a=c与b=d中至少有一个不成立，从而a-b=c-d与b=d中也不至少有一个不成立，故（a-b，b）与（c-d，d）也是S的不同元素．可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m，由（1）（2）可知，m=n．【解析】（1）首先，由A中元素构成的有序数对（a i，a j）共有k2个，已知0不属于A，得到（a i，a i）不属于T，当（a i，a j）∈T时，（a j，a i）不属于T，得到集合T中元素的个数最多为两者之差．（2）分两种情况进行讨论对于（a，b）∈S，和对于（a，b）∈T，根据所给的定义得到S中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m≤n，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m，从而得到m=n．本题采用分类讨论的方法和归纳总结的方法，归纳是一种重要的推理方法，由具体结论归纳概括出定义能使学生的感性认识升华到理性认识，培养学生从特殊到一般的认知方法．Word下载地址。
2018届北京东城北京二中高三上学期期中考试数学(理)试题(含解析)
北京二中2017-2018学年度第一学段高三年级学段考试试卷理科数学（I 卷）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分， 1．已知集合1|02x A x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，集合B N =，则A B 等于（）．A ．{}1,0,1-B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0-【答案】C【解析】∵集合{}1|0|122x A x x x x +⎧⎫=<=-<<⎨⎬-⎩⎭，集合B N =， ∴{}0,1A B = ． 故选C2．已知向量(1,2)a = ，(,2)b x =- ，且a b⊥，则||a b + 等于（）．AB ．5C ．D 【答案】B【解析】∵(1,2)a = ，(,2)b x =- ，且a b ⊥，∴40x -=，得4x =，∴(1,2)a = ，(4,2)b =-，(5,0)a b += ，∴||5a b +=． 故选B ．3．设复数z 满足(12i)2i z -=+（其中i 为虚数单位），则z 的模为（）． A．1BCD ．3【答案】A【解析】由题意，复数2i (2i)(12i)5ii 12i (12i)(12i)5z +++====---+，∴z 的模||1z =．故选A ．4．执行如图所示的程序框图，若输入的5n =，则输出的结果为（）．A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】模拟执行程序，可得5n =，i 1=，执行循环体， 不满足n 是偶数，16n =，不满足条件1n =，i 2=； 满足条件n 是偶数，8n =，不满足条件1n =，i 3=； 满足条件n 是偶数，4n =，不满足条件1n =，i 4=；满足条件n 是偶数，2n =，不满足条件1n =，i 5=；满足条件n 是偶数，1n =，满足条件1n =，退出循环，输出i 的值5． 故选B ．5．已知π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3tan(π)4α-=-，则sin cos αα+等于（）．A ．15±B ．15-C ．15D ．75-【答案】B【解析】∵3tan(π)tan 04αα-==-<，且π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴4cos 5α=-，3sin 5α=，∴1sin cos 5αα++-．故选B ．6．下列命题中正确的是（）．A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的充分必要条件 C ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”D ．命题0:p x ∃∈R ，使得20010x x +-<，则:p x ⌝∀∈R ，使得210x x +-≥【答案】D【解析】A 项．若p q ∨为真命题，则p ，q 中至少有一个为真，则p q ∧为真假不确定，故A 错误；B 项．若0a >，0b >，则22ba ab+≥，当且仅当a b =时取得等号，反之，若2b a a b+≥，即2220a b ab ab +-≥，即2()0a b ab-≥，即有0ab >， 则“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的充分不必要条件，故B 错误；C 项．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”故C 错误；D 项．命题0:p x ∃∈R ，使得20010x x +-<，则:p x ⌝∀∈R ，使得210x x +-≥，故D 正确．故选D ．7．函数1()cos (ππf x x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭≤≤且0)x ≠的图象可能为（）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】对于函数1()cos (ππf x x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭≤≤且0)x ≠，它的定义域关于原点对称，且1()cos f x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，故函数()()f x f x -=-，所以()f x 的奇函数，故它的图象关于原点对称，排除A 、B ， 又当πx =时，11(π)πcos ππ0ππf ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，排除C ．故选D ．8．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．A ．2号学生进入30秒跳绳决赛B ．5号学生进入30秒跳绳决赛C ．8号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛 【答案】B【解析】由于这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a ，60，63，1a -有且只有3人进入30秒跳绳比赛，故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，则5号学生进入30秒跳绳决赛．故选B ．二、填空题（每小题5分，共30分） 9．已知正方形ABCD 边长为2，E 为AB 边上一点，则ED EC ⋅的最小值为__________．【答案】3【解析】以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立如图所示直角坐标系， 则由正方形边长为2得(2,0)C ，(2,2)D ，设(0,)E y ，（其中02y ≤≤），则(2,2)ED y =- ，(2,)EC y =-， ∴2222(2)()24(1)3ED EC y y y y y ⋅=⨯+-⨯-=-+=-+，故当1y =时，ED EC ⋅ 取得最小值，ED EC ⋅的最小值为3．10．10(e 2)d x x x +=⎰__________．【答案】e【解析】1201(e 2)d (e )e 11e 0x x x x x +=+=+-=⎰．11．已知数列{}n a 满足11a =，且1()(*)n n n a n a a n +=-∈N ，则2a =__________；n a =__________． 【答案】2；n【解析】由1()n n n a n a a +=-得11n n n a a n++=， 又11a =，∴2122a a ==， 由11n n n a a n ++=，得11n na n a n ++=， ∴212a a =，3232a a =，4343a a =， ，11n n a n a n -=-，∴324112313412231n n n a a a a na a n a a a a n -=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=- ．12．设函数()1||xf x x =+，则使得2(2)(36)f x x x ->-成立的x 的取值范围是__________． 【答案】(,2)(3,)-∞+∞【解析】∵函数()1||x f x x =+为奇函数，当0x >时，1()111x f x x x==-++，可得()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴由奇函数的性质，可得()f x 在R 上单调递增，∴由2(2)(36)f x x x ->-，可得2236x x x ->-，即2560x x -+>， 解得2x <或3x >，故x 的取值范围是(,2)(3,)-∞+∞ ．13．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件3()2f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且函数34y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数，给出以下四个命题：①函数()f x 是周期函数；②函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；③函数()f x 是偶函数；④函数()f x 在R 上是单调函数．在述四个命题中，正确命题的序号是__________（写出所有正确命题的序号）． 【答案】①②③【解析】对于①，∵3(3)(3)2f x f x f ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，∴函数()f x 是以3为周期的周期函数，故①正确；对于②，∵34y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数，∴其图象关于原点对称，又函数()f x 的图象是由34y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移34个单位长度得到，所以函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故②正确； 对于③，由②知，对于任意的x ∈R ，都有3344f x f x ⎛⎫⎛⎫--=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，用34x +换x ，可得：3()02f x f x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， ∴33()22f x f x f x ⎛⎫⎛⎫--=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意的x ∈R 都成立，令32t x =+，则()()f t f t -=，∴函数()f x 是偶函数，故③正确；对于④，由③知()f x 是偶函数，偶函数的图象关于y 轴对称， ∴()f x 在R 上不是单调函数，故④错误． 综上所述，正确命题的序号是①②③．14．已知1x ，2x 是函数()2sin 2cos2f x x x m =+-在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两个零点，则12sin()x x += __________．【解析】由1x ，2x 是函数()2sin 2cos2f x x x m =+-在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两个零点，可得：11222sin2cos22sin2cos2m x x x x =+=+，即为：12122(sin 2sin 2)cos2cos2x x x x +=-+，即有121221214cos()sin()2sin()sin()x x x x x x x x +-=-+-， 由12x x ≠，可得12sin()0x x -≠，可得2112sin()2cos()x x x x +=+，又221212sin ()cos ()1x x x x +++=，可得21220sin ()25x x +=， ∵12[0,π]x x +∈，∴12sin()x x +=三、解答题（共80分）15．（本小题满分13分）已知向量2(cos ,cos )a x x = ，(sin ,b x = ，且函数()f x a b =⋅ ． （1）求函数()f x 的最大值以及取最大值时x 的取值集合．（2）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3a =，b c +=求ABC △的面积． 【答案】见解析．【解析】（1）由题意，211()sin cos sin 221)sin 2222f x a b x x x x x x x =⋅=-=+=-πsin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当ππ22π32x k -=+，k ∈Z ，即5ππ12x k =+，k ∈Z 时，()f x 取最大值1，∴函数()f x 的最大值为1，此时x 的取值集合为5π|π,12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ．（2）∵πsin 23A f A ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴πsin 03A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵A 为ABC △的内角， ∵π3A =， 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-即2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，又3a =，b c +=9123bc =-， 得1bc =，∴ABC △的面积11sin 122S bc A ==⨯=．16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{}n b 满足11b a =，43b S =． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式．（2）设11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证12n T <． 【答案】见解析．【解析】（1）∵n a 是n S 和1和等差中项， ∴21n n S a =-，当1n =时，11121a S a ==-，得11a =，当2n ≥时，111(21)(21)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， ∴12n n a a -=，即12nn a a -=， ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴12n n a -=，设{}n b 的公差为d ，则由111b a ==，431247b S ==++=，得2d =， ∴1(1)221n b n n =+-⨯=-， 综上所述，12n n a -=，21n b n =-． （2）证明：111111(21)(21)22121n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， ∴111111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， ∵*n ∈N ， ∴1021n >+， ∴11112212n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭， 即12n T <． 17．（本小题满分13分）某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名、4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．（1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率．（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和均值． 【答案】见解析．【解析】（1）由题意，参加集训的男、女学生各有6人，参赛学生全从B 中抽出的概率为：33343366C C 1C C 100=，故A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为：1991100100-=． （2）由题意X 的可能取值为：1，2，3，133346C C 1(1)C 5P X ===，223346C C 3(2)C 5P X ===，313346C C 1(3)C 5P X ===， 故X 的分布列为：均值131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=．18．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD =︒∠，Q 为AD 的中点． （1）若PA PD =，求证：平面PQB ⊥平面PAD ．（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，且2P A P D A D ===，点M 在线段PC 上，试确定点M 的位置，使二面角M BQ C --大小为60︒，并求出PMPC的值．【答案】见解析． 【解析】（1）证明：∵PA PD =，Q 为AD 的中点， ∴PQ AD ⊥，又∵底面ABCD 为菱形，60BAD =︒∠， ∴ABD △是等边三角形， ∵Q 是AD 中点， ∴BQ AD ⊥， 又∵PQ BQ Q = ， ∴AD ⊂平面PQB ， ∵AD ⊂平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD ．（2）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PQ AD ⊥， ∴PQ ⊥平面ABCD ，以Q 为坐标原点，分别以QA ，QB ，QP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，Q P CBADC则由题意知：(0,0,0)Q，P，B，(C -， 设(01)PM PC λλ=<<，则(2))M λλ=--，平面CBQ 的一个法向量是1(0,0,1)n =，设平面MQB 的一个法向量2(,,)n x y z =， 则2200QM n QB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2)00x y z y λλ⎧--=⎪=，取2332n λλ-⎛=⎝ ， ∵二面角M BQ C --的大小为60︒，∵21121||2||||n n n n ⋅=⋅， 解得13λ=，此时13PM PC =． 19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F，点A ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的标准方程．（2）是否存在斜率为2的直线l ，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线53y =上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM NQ =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】见解析．【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2C ，则1C =，∵A ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上，∴122||||a AF AF =+=∴a 2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）假设这样的直线存在，设直线l 的方程为2y x t =+，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，35,3P x ⎛⎫⎪⎝⎭，44(,)Q x y ，MN 的中点为00(,)D x y ，由22222y x t x y =+⎧⎨+=⎩，消去x ，得229280y ty t -+-=， ∴1229ty y +=，且22436(8)0t t ∆=-->，故12029y y ty +==且33t -<<， 由PM NQ =，知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此D 为线段PQ 的中点， ∴405329y t y +==，得42159t y -=， 又33t -<<，可得4713y -<<-，∴点Q 不在椭圆上， 故不存在满足题意的直线l ． 20．（本小题共14分）已知函数()ln(1)f x x x =--，22()()2x x ag x a x ++=∈+R ． （1）求函数()f x 的单调区间及最值．（2）若对0x ∀>，()()1f x g x +>恒成立，求a 的取值范围． （3）求证：1111ln(1)35721n n ++++<++ ，(*)n ∈N ． 【答案】见解析．【解析】（1）()f x 的定义域为(1,)-+∞，1()111x f x x x '=-=-++， 令()0f x '>得10x -<<，令()0f x '<，得0x >， ∴()f x 的单调增区间是(1,0)-，单调减区间是(0,)+∞， max ()(0)0f x f ==，无最小值．（2）若对0x ∀>，()()1f x g x +>恒成立，则对0x ∀>，22ln(1)12x x ax x x +++-+>+恒成立， 即对0x ∀>，(2)[1ln(1)]a x x >+-+恒成立，令()(2)[1ln(1)]h x x x =+--，则21()1ln(1)ln(1)11x h x x x x x +'=-+-=---++， 当0x >时，显然1()ln(1)01h x x x '=-+-<+， ∴()h x 在(0,)+∞上是减函数， ∴当0x >时，()(0)2h x h <=， ∴2a ≥，即a 的取值范围是[2,)+∞．（3）证明：由（2）知，当2a =，0x >时，2ln(1)12x x ++>+，即ln(1)2xx x +>+， 在上式中，令1(*)x k k =∈N ，得11ln 12k kk k+>+，即11ln 21k k k +>+，依次令1k =，2，3， ，n ，得21ln13>，31ln25>，41ln37>，11ln21nn n+>+，将这n个式子左右两边分别相加得1111ln(1)35721 nn+>++++，即1111ln(1)35721nn++++<++，(*)n∈N．。
北京2017-2018学年上学期高二期中试卷数学(理科)试题
绝密★启用前 【全国校级联考】北京2017-2018学年第一学期高二数学期中考试（理）word 含解析 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ） A ． 平行 B ． 相交 C ． 异面 D ． 以上都有可能 2．已知直线 的倾斜角为 ，则 为（ ）． A ． B ． C ． D ． 不存在 3．圆 的圆心横坐标为 ，则 等于（ ）． A ． B ． C ． D ． 4．在空间四边形 的边 ， ， ， 上分别取 ， ， ， 四点，如果 ， ，交于一点 ，则（ ） A ． 一定在直线 上 B ． 一定在直线 上 C ． 一定在直线 或 上 D ． 既不在直线 上，也不在直线 上 5．已知直线 不经过第一象限，且 ， ， 均不为零，则有（ ）．A ．B ．C ．D ． 6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）．○…………外…………○…………订…………………线…………○……※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………内…………○…………订…………………线…………○…… A ． B ． C ． D ．7．在圆柱内有一个内接正三棱锥，过一点侧棱和高做截面，正确的截面图形是（ ）．A ．B ．C ．D ．8．已知 ， 是不同的直线， ， 是不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）．A ． 若 ， ，则B ． 若 ， ，则C ． 若 ， ，则D ． 若 ， ，则9．过点 且被圆 截得弦长最长的直线 的方程为（ ）．A ．B ．C ．D ．10．如图，在正方体 中， 为对角线 的三等分点， 到各顶点的距离的不同取值有（ ）．A．个B．个C．个D．个…○…………订……※装※※订※※线※※内※※答※…○…………订……第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则a的值为_______12．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是__________．13．圆的圆心到直线的距离为，则__________．14．如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件__________时．有．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）15．已知从球的以内接长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为，，，则此球的表面积为__________．16．直线与曲线的位置是__________．三、解答题17．已知三个顶点是，，．（）求边高线所在直线方程．（）求外接圆方程．18．如图，在正四棱柱中，是的中点，若，．（）求证：平面．（）求证：平面平面．（）求三棱锥的体积．…装…………○………○…………线…………○……__姓名：___________班级：________ …装…………○………○…………线…………○…… 19．如图，等腰梯形 中， ， ， ， ， 为 的中点，矩形 所在的平面和平面 互相垂直． （ ）求证： 平面 ． （ ）设 的中点为 ，求证： 平面 ． （ ）求三棱锥 的体积．（只写出结果，不要求计算过程）参考答案1．D【解析】分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．故选D2．A【解析】【分析】利用斜率与倾斜角的关系解题即可.【详解】∵直线的斜率为，∴直线的倾斜角为．故选．【点睛】本题考查斜率与倾斜角的关系，属基础题.3．D【解析】【分析】根据题意可求出圆心坐标，由圆心横坐标为，可求值.【详解】圆的圆心坐标为，∴，解得．故选．【点睛】本题考查利用圆的方程求圆心坐标，属基础题.4．B【解析】【分析】由题意，，相交于点，则点，且，而平面，平面，又面面由此可得结论.【详解】由题意，，相交于点，则点，且，又平面，平面，则平面，且平面，则点必在平面与平面的交线上，即点一定在直线上．故选．【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5．C【解析】【分析】由直线不经过第一象限，且，，均不为零，∴，，即可得出．【详解】∵直线不经过第一象限，且，，均不为零，∴，，即，．故选．【点睛】本题考查了直线的斜率与截距的意义，属于基础题．6．A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为，下底长为，高为，棱锥的一条侧棱垂直底面高为，所以这个几何体的体积：，故选．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.7．D【解析】由题意作出图形，如图所示；SO⊥底面BPM，过侧棱SB与高的平面ABCD截得圆柱与圆柱内接正三棱锥S﹣BPM，截面图形为D选项．故选：D．点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.8．C【解析】考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：A选项可由线面平行的判定定理进行判断；B选项可由线面垂直的位置关系进行判断；C选项可由面面垂直的判定定理进行判断．D选项可由面面垂直的性质定理进行判断；解答：解：A选项不正确，因为m∥n，nα时，mα也有可能，故m∥α不成立．B选项不正确，因为m⊥α，n⊥α，只能得出n∥m；C选项正确，因为m⊥α，m∥β，则α⊥β是面面垂直的判定定理．D选项不正确，因为α⊥β，mα时，m⊥β不一定成立，有可能是m∥β；故选C．点评：本题考查空间中线面垂直的判断及线面平行、面面垂直的判断．主要考查答题者空间想像能力及组织条件证明的能力．9．A【解析】【分析】题意可知过点和圆心的直线被圆截得的弦长最长，求出圆心坐标，即可得到线的方程.【详解】依题意可知过点和圆心的直线被圆截得的弦长最长，整理圆的方程得，圆心坐标为，此时直线的斜率为，∴过点和圆心的直线方程为，即．故选．【点睛】本题考查圆的标准方程，直线方程的求法，属基础题.10．B【解析】设正方体的棱长为，计算得，，，，所以到各顶点的距离的不同取值有个，故选．11．－6.【解析】【分析】根据它们的斜率相等，可得﹣=3，解方程求a的值【详解】∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y=0平行，∴它们的斜率相等，∴﹣=3，∴a=﹣6．故答案为：-6．【点睛】本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．12．【解析】设等边三角形边长为，则，∴，即圆锥底面的圆半径为，圆锥的高，母线长为，侧面积．13．【解析】【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标，代入点到直线距离公式即可求出.【详解】圆可化为，圆心坐标为，半径，圆心，到直线的距离，解得．即答案为.【点睛】本题考查圆的标准方程，点到直线距离公式，属基础题.14．【解析】【分析】根据题意，由，结合直棱柱的性质，分析底面四边形，只要，进而验证即可．【详解】∵四棱柱是直棱柱，∴，若，则平面，∴，又由，则有，反之，由亦可得到．即答案为..【点睛】题主要考查了棱柱的几何特征以及空间线线，线面，面面垂直关系的转化与应用．15．【解析】【分析】求出长方体的体对角线长，即可得到球的半径，进而得到球的表面积.【详解】长方体从一个顶点出发的三条棱分别是，，，∴长方体的体对角线长为：，∴内接于该长方体的球的半径为，故此球的表面积．【点睛】本题考查球的接长方体的有关性质，属基础题.16．相交【解析】【分析】化简得，，故直线恒过定点，可判断点在圆内，即直线与圆相交.【详解】化简得，，故直线恒过定点，将代入得，所以点在圆内，故直线与曲线的位置关系是相交．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属基础题.17．（1）；（2）【解析】【分析】（1）先求出边所在直线的斜率，进而求出边上的高所在直线的斜率，用斜截式求直线方程并化为一般式．（）设外接圆的方程为，将，，代入圆的方程求出，，即可.【详解】（）∵，，∴，∴，∴所在直线方程为．（）设外接圆的方程为，将，，代入圆的方程得：，解得，，，故外接圆的方程为．【点睛】本题考查两直线垂直，斜率之积等于-1，以及利用待定系数法求圆的一般方程，属基础题. 18．（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）设，由三角形的中位线的性质可得，从而证明直线平面．（2）证明，，可证平面，进而证得平面平面平面．（3）利用可求三棱锥的体积．【详解】（）证明：设，则是中点，又∵是的中点，∴，又∵平面，平面，∴平面．（）证明：∵是正四棱柱，∴是正方形，∴，又∵底面，平面，∴，∴平面，∵平面，∴平面平面．（），∵，，∴，，∴，，∴．【点睛】本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，求直线和平面所称的角的大小，找出直线和平面所成的角是解题的难点．同时开出利用等体积法求三棱锥的体积，属基础题.19．（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）欲证平面，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证与平面内两相交直线垂直，而A，，，满足定理条件；（2）欲证平面，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行，设的中点为，又平面，平面，满足定理条件．（3）先计算底面三角形的面积，在等腰梯形中，可得此三角形的高为，底为1，再计算三棱锥的高，即为，最后由三棱锥体积计算公式计算即可.（只写出结果，不要求计算过程）【详解】（）∵是矩形，∴，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∴，又，且，平面，平面，∴平面．（）证明：设的中点为，∵是的中点，∴，且，又∵是矩形，是的中点，∴，且，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面．（）．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．。
最新-北京二中2018年上学期高二数学期中考试 精品
北京二中02-18年上学期高二数学期中考试班级 姓名 分数一、 选择题(共10个小题，每小题4分，满分40分，每小题的四个选项中，有且只有一个是符合要求的，把你认为正确的选项填在括号内)1．与直线0543=+-y x 关于y 轴对称的直线的方程为( )A.0543=++y x B ．0543=-+y x C ．0543=--y x D ．0534=+-y x2．“b a +＞c 2”的一个充分条件是( )A ．a ＞c 或b ＞cB ．a ＞c 或b ＜cC ．a ＞c 且b ＞cD ．a ＞c 且b ＜c3．点P 分有向线段AB 的比为31-，则点B 分有向线段AP 的比为( ) A ．32 B ．23 C ．23- D ．32- 4．不等式)1)(1(x x -+＞0的解集是( )A ．{0x ≤x ＜1｝B ．{x x ＜1且1-≠x ｝C ．{1-x ＜x ＜1｝D ．{x x ＜0且1-≠x ｝5．直线05)4()252(22=+--+-m y m x m m 的倾斜角是4π，则m 的值是( ) A ．3 B ．-3 C ．2 D ．-26．己知ab ＞0，则下述关系中成立的是( )A ．b a +＜b a +B ．b b a ++＜aC ．b a +=b a +D ．b a +＞b a +7．己知点A (-1，4)、B (1，5)，则与直线AB 垂直的直线的倾斜角等于( )A ．π-arctg2B ．arctg2C ．arctg(-2)D ．π-arctg 21 8．若a ＞b ＞1，)2lg(),lg (lg 21,lg lg b a R b a Q b a P +=+=∙=，则( ) A ．R ＜P ＜Q B ．P ＜Q ＜R C ．Q ＜P ＜R D ．P ＜R ＜Q9．如果直线02=-+-k y kx 不通过．．．第四象限，那么k 的取值范围是( ) A ．［21，1］ B ．［0，21］ C ．［0，1］ D ．［0，2］ 10．用一张钢板制作一个容积为4m 3的无盖长方体水箱,可用的长方形钢板有四种不同的规格(长×宽的尺寸如各选项所示,单位均为m),如果既要使用钢板最省,又要做完后所剩最少,则应选择的规格是( )A ．2×5B ．2×5.5C ．2×6.1D ．3×5二、填空题(共5小题，每小题4分，满分20分)11．若两条直线1l ：012=--y x ，2l :032=+-y ax 平行，则1l 与2l 的距离等于 。
北京市2017-2018学年上学期高二年级期中考试理科数学试题
……外……………装…………○___姓名：___________班级……内……………装…………○绝密★启用前 北京市2017-2018学年上学期高二年级期中考试理科数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．三条直线l 1，l 2，l 3的位置如图所示，它们的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系是（ ） A ． k 1>k 2>k 3 B ． k 1> k 3> k 2 C ． k 3> k 2> k 1 D ． k 2> k 3> k 1 2．如图所示，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，若AB a =， AD b =， 1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ） A ． 1122a b c -++ B ． 1122a b c ++ C ． 1122a b c --+D ． 11a b c -+○…………外……………装…………○…※※要※※在※※装※※订○…………内……………装…………○…3．过点（-l ，3）且与直线x-2y+3=0平行的直线方程是（ ） A ． x-2y-5=0 B ． x-2y+7=0 C ． 2x+y-1=0 D ． 2x+y-5=0 4．已知球O O 的表面积为（ ） A ． B ． 2π C ． 4π D ． 6π 5．在下列命题中： ①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行； ②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量,,a b c ，则对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z ，使得p xa yb zc =++。
2018高二上期中数学试卷解析版
高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．在等差数列{a n}中，a1+a5=8，a4=7，则a5=（）A．11 B．10 C．7 D．32．满足条件a=6，b=5，B=120°的△ABC的个数是（）A．零个B．一个C．两个D．无数个3．已知a，b，c∈R，且a＞b，则一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．ac2＞bc2 D．4．下列函数中，最小值为2的函数是（）A．y=x+B．y=sinθ+（0＜θ＜）C．y=sinθ+（0＜θ＜π）D．5．△ABC中，若=，则该三角形一定是（）A．等腰三角形但不是直角三角形B．直角三角形但不是等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形6．不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，则关于x的不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣∞﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，）7．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m8．数列的前n项和为S n，且满足a1=1，a n=a n+n，（n≥2），则S n等于（）﹣1A．B．C．D．9．已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．10．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，下列五个命题：①d＞0 ②S4029＞0 ③S4030＜0 ④数列{S n}中的最大项为S4029，其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2 B．4 C．2 D．312．把数列{2n+1}依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为（）A．1992 B．1990 C．1873 D．1891二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（文科做）命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是．14．两等差数列{a n}和{b n}，前n项和分别为S n，T n，且，则等于．15．方程x2﹣2kx﹣3k=0一根大于1，一根小于﹣1，则实数k的取值范围．16．设M是，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，的最小值是．三、解答题17．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列，求{a n}的公比q．18．变量x，y满足（1）设z=，求z的最小值；（2）设z=x2+y2+6x﹣4y+13，求z的取值范围．19．已知△ABC的外接圆的半径为，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量，，且．（I）求角C；（II）求△ABC的面积S的最大值，并判断此时△ABC的形状．20．已知函数y=的定义域为R．（1）求a的取值范围．（2）若函数的最小值为，解关于x的不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0．21．已知关于x的不等式x2﹣（a2+3a+2）x+3a（a2+2）＜0（a∈R）．（Ⅰ）解该不等式；（Ⅱ）定义区间（m，n）的长度为d=n﹣m，若a∈[0，4]，求该不等式解集表示的区间长度的最大值．22．已知等比数列{a n}的前n项和为S n=2•3n+k（k∈R，n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足a n=4，T n为数列{b n}的前n项和，试比较3﹣16T n与4（n+1）b n的大小，并证明你的结论．+1高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．在等差数列{a n}中，a1+a5=8，a4=7，则a5=（）A．11 B．10 C．7 D．3【考点】8F：等差数列的性质．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a5=8，a4=7，∴2a1+4d=8，a1+3d=7，解得a1=﹣2，d=3．则a5=﹣2+4×3=10．故选：B．2．满足条件a=6，b=5，B=120°的△ABC的个数是（）A．零个B．一个C．两个D．无数个【考点】HP：正弦定理．【分析】由余弦定理可得：52=62+c2﹣12ccos120°，化简解出即可判断出结论．【解答】解：由余弦定理可得：52=62+c2﹣12ccos120°，化为：c2+6c+11=0，△=62﹣44=﹣8＜0，因此方程无解．∴满足条件a=6，b=5，B=120°的△ABC的个数是0．故选；A．3．已知a，b，c∈R，且a＞b，则一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．ac2＞bc2 D．【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】A、当a=﹣1，b=﹣2，显然不成立；B、∵由于ab符号不确定，故与的大小不能确定；C、当c=0时，则ac2=bc2，；D、由c2+1≥1可判断．【解答】解：对于A、当a=﹣1，b=﹣2，显然不成立，故A项不一定成立；对于B、∵由于ab符号不确定，故与的大小不能确定，故B项不一定成立；对于C、当c=0时，则ac2=bc2，故C不一定成立；对于D、由c2+1≥1，故D项一定成立；故选：D4．下列函数中，最小值为2的函数是（）A．y=x+B．y=sinθ+（0＜θ＜）C．y=sinθ+（0＜θ＜π）D．【考点】7F：基本不等式．【分析】A．x＜0时，y＜0．B.0＜θ＜，可得1＞sinθ＞0，利用基本不等式的性质即可判断出结论．C.0＜θ＜π，可得1≥sinθ＞0利用基本不等式的性质即可判断出结论．D．利用基本不等式的性质即可判断出结论．．【解答】解：A．x＜0时，y＜0．B．∵0＜θ＜，可得1＞sinθ＞0，∴y=sinθ+=2，最小值不可能为2．C..∵0＜θ＜π，可得1≥sinθ＞0，∴y=sinθ+≥=2，当且仅当sinθ=1时取等号，最小值为2．D. +＞=2，最小值不可能为2．故选：C．5．△ABC中，若=，则该三角形一定是（）A．等腰三角形但不是直角三角形B．直角三角形但不是等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【考点】HP：正弦定理．【分析】已知等式变形后，利用正弦定理化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简，即可确定出三角形形状．【解答】解：由已知等式变形得：acosA=bcosB，利用正弦定理化简得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B．∴2A=2B或2A+2B=180°，∴A=B或A+B=90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．6．不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，则关于x的不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣∞﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，）【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】由不等式的解集与方程的关系，可知，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a的值，再代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．【解答】解：由已知条件可知a＜0，且，2是方程ax2+5x﹣2=0的两个根，由根与系数的关系得：×2=﹣解得a=﹣2所以ax2﹣5x+a2﹣1＞0化为2x2+5x﹣3＜0，化为：（2x﹣1）（x+3）＜0解得﹣3＜x＜，所以不等式解集为：（﹣3，）故选：D．7．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m 【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．【解答】解：如图，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD•tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣=120（﹣1）（m）．∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．故选：B．8．数列的前n项和为S n，且满足a1=1，a n=a n+n，（n≥2），则S n等于（）﹣1A．B．C．D．【考点】8E：数列的求和．【分析】由a n=a n﹣1+n（n≥2）得a n﹣a n﹣1=n，利用累加法求出a n，代入化简后，由等差数列的前n项和公式求出则数列的前n项和为S n．【解答】解：由题意得，a n=a n﹣1+n（n≥2），则a n﹣a n﹣1=n，所以a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，…，a n﹣a n﹣1=n，以上（n﹣1）个式子相加得，a n﹣a1=2+3+…+n，又a1=1，则a n=1+2+3+…+n=，所以=，则数列的前n项和为S n= [2+3+…+（n+1）]==，故选：B．9．已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，由，解得，即C（1，﹣1），∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，∴﹣1=﹣2a，解得a=．故选：C．10．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，下列五个命题：①d＞0 ②S4029＞0 ③S4030＜0 ④数列{S n}中的最大项为S4029，其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】推导出等差数列的前2015项和最大，a1＞0，d＜0，且前2015项为正数，从第2016项开始为负数，由S2016＞S2014，得S2016﹣S2014=a2016+a2015＞0，由此求出S4029＞0，S4030＞0．【解答】解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，∴等差数列的前2015项和最大，∴a1＞0，d＜0，且前2015项为正数，从第2016项开始为负数，故①和④错误；再由S2016＞S2014，得S2016﹣S2014=a2016+a2015＞0，S4029=（a1+a4029）=×2a2015＞0，故②正确；S4030==2015（a2015+a2016）＞0，故③错误．故选：A．11．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2 B．4 C．2 D．3【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简可得角C，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到c的值．【解答】解：===1，即有2cosC=1，可得C=60°，=2，则absinC=2，若S△ABC即为ab=8，又a+b=6，由c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣ab=（a+b）2﹣3ab=62﹣3×8=12，解得c=2．故选C．12．把数列{2n+1}依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为（）A．1992 B．1990 C．1873 D．1891【考点】F1：归纳推理．【分析】由a n=2n+可得数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故第100个括号内各数之和是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数，所有第2个数、所有第3个数、所有第4个所有第4个数分别组成都是等差数列，公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．代入可求【解答】解：由已知可知：原数列按1、2、3、4项循环分组，每组中有4个括号，每组中共有10项，因此第100个括号应在第25组第4个括号，该括号内四项分别为a247、a248、a249、a250，因此在第100个括号内各数之和=a247+a248+a249+a250=495+497+499+501=1992，故选A．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（文科做）命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．【考点】21：四种命题．【分析】欲写出它的否命题，须同时对条件和结论同时进行否定即可．【解答】解：条件和结论同时进行否定，则否命题为：若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．故答案为：若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．14．两等差数列{a n}和{b n}，前n项和分别为S n，T n，且，则等于．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】利用==，即可得出结论．【解答】解：====．故答案为：．15．方程x2﹣2kx﹣3k=0一根大于1，一根小于﹣1，则实数k的取值范围（1，+∞）．【考点】7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】设（x）=x2﹣2kx﹣3k，令f（1）＜0且f（﹣1）＜0即可解出k的范围．【解答】解：设f（x）=x2﹣2kx﹣3k，由题意可知，即，解得k＞1．故答案为：（1，+∞）．16．设M是，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，的最小值是18．【考点】HP：正弦定理；7F：基本不等式；9R：平面向量数量积的运算．【分析】由平面向量的数量积运算法则及∠ABC的度数，求出的值，再由sinA的值，利用三角形的面积公式求出三角形ABC的面积为1，即△MBC，△MCA，△MAB的面积之和为1，根据题中定义的，得出x+y=，利用此关系式对所求式子进行变形后，利用基本不等式即可求出所求式子的最小值．【解答】解：由，得，所以，∴x+y=，则，当且仅当时，的最小值为18．故答案为：18三、解答题17．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列，求{a n}的公比q．【考点】89：等比数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【分析】由题意可得2（a1+a1•q+）=a1+（a1+a1•q），再根据a1≠0，q≠0，从而求出公比q的值．【解答】解依题意有2S3=S1+S2，即2（a1+a1•q+）=a1+（a1+a1•q），由于a1≠0，∴2q2+q=0，又q≠0，∴q=﹣．18．变量x，y满足（1）设z=，求z的最小值；（2）设z=x2+y2+6x﹣4y+13，求z的取值范围．【考点】7C：简单线性规划．【分析】（1）先画出满足条件的平面区域，求出A，B，C的坐标，根据z=的几何意义，从而求出z的最小值；（2）z=（x+3）2+（y﹣2）2的几何意义是可行域上的点到点（﹣3，2）的距离的平方，结合图形求出即可．【解答】解由约束条件作出（x，y）的可行域，如图阴影部分所示：由，解得A（1，），由，解得C（1，1），由，可得B（5，2），（1）∵z==，∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率，观察图形可知z min=k OB=；（2）z=x2+y2+6x﹣4y+13=（x+3）2+（y﹣2）2的几何意义是可行域上的点到点（﹣3，2）的距离的平方，结合图形可知，可行域上的点到（﹣3，2）的距离中，d min=4，d max=8．故z的取值范围是[16，64]．19．已知△ABC的外接圆的半径为，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量，，且．（I）求角C；（II）求△ABC的面积S的最大值，并判断此时△ABC的形状．【考点】HT：三角形中的几何计算；9R：平面向量数量积的运算．【分析】（I）根据建立等式关系，利用正余弦定理即可求角C；（II）根据△ABC的面积S=absinC，利用余弦定理和基本不等式求最大，即可判断此时△ABC的形状．【解答】解：向量，，且．（I）∵，∴sin2A﹣sin2C=（a﹣b）sinB．由正弦定理可得：sinA=，sinB=，sinC=，∴a2﹣c2=（a﹣b）b．由余弦定理：cosC=．∵0＜C＜π，∴C=．（II）△ABC的面积S=absinC，∵C=，R=，∴c=2RsinC=．由余弦定理：得a2+b2=6+ab．∵a2+b2≥2ab，（当且仅当a=b是取等）∴ab≤6．故得△ABC的面积S=absinC=．∵C=，a=b．此时△ABC为等边三角形．20．已知函数y=的定义域为R．（1）求a的取值范围．（2）若函数的最小值为，解关于x的不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0．【考点】74：一元二次不等式的解法；33：函数的定义域及其求法．【分析】（1）由函数y=的定义域是R，得出ax2+2ax+1≥0恒成立，求出a的取值范围；（2）由题意得ax2+2ax+1的最小值是，求出a的值，代入不等式x2﹣x﹣a2﹣a ＜0，求解集即可．【解答】解：（1）函数y=的定义域为R，∴ax2+2ax+1≥0恒成立，当a=0时，1＞0恒成立，满足题意；当a≠0时，须，即，解得0＜a≤1；综上，a的取值范围是{a|0≤a≤1}；（2）∵函数y的最小值为，∴≥，a∈[0，1]；∴ax2+2ax+1≥；当a=0时，不满足条件；当1≥a＞0时，ax2+2ax+1的最小值是=，∴a=；∴不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0可化为x2﹣x﹣＜0，解得﹣＜x＜；∴不等式的解集是{x|﹣＜x＜}．21．已知关于x的不等式x2﹣（a2+3a+2）x+3a（a2+2）＜0（a∈R）．（Ⅰ）解该不等式；（Ⅱ）定义区间（m，n）的长度为d=n﹣m，若a∈[0，4]，求该不等式解集表示的区间长度的最大值．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】（Ⅰ）原不等式化为[x﹣（a2+2）]（x﹣3a）＜0，根据1＜a＜2，a=1或a=2分类讨论，能求出原不等式的解集．（Ⅱ）当a≠1且a≠2时，，a∈[0，4]，由此能求出该不等式解集表示的区间长度的最大值．【解答】解：（Ⅰ）原不等式可化为[x﹣（a2+2）]（x﹣3a）＜0，…当a2+2＜3a，即1＜a＜2时，原不等式的解为a2+2＜x＜3a；…当a2+2=3a，即a=1或a=2时，原不等式的解集为∅；…当a2+2＞3a，即a＜1或a＞2时，原不等式的解为3a＜x＜a2+2．…综上所述，当1＜a＜2时，原不等式的解为a2+2＜x＜3a，当a=1或a=2时，原不等式的解集为∅，当a＜1或a＞2时，原不等式的解为3a＜x＜a2+2．（Ⅱ）当a=1或a=2时，该不等式解集表示的区间长度不可能最大．…当a≠1且a≠2时，，a∈[0，4]．…设t=a2+2﹣3a，a∈[0，4]，则当a=0时，t=2，当时，，当a=4时，t=6，…∴当a=4时，d max=6．…22．已知等比数列{a n}的前n项和为S n=2•3n+k（k∈R，n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足a n=4，T n为数列{b n}的前n项和，试比较3﹣16T n与4（n+1）b n的大小，并证明你的结论．+1【考点】89：等比数列的前n项和；8K：数列与不等式的综合．【分析】（I）利用递推关系可得，n≥2 时，a n=S n﹣S n﹣1=4×3n﹣1由{a n}是等比数列可得a1=S1=6+k=4从而苛求得k=﹣2，代入可求通项公式（II）结合（I）可求得，根据通项公式的特点求和时可利用错位相减可求T n，要比较3﹣16T n与4（n+1）b n的大小，可通过作差法可得，4（n+1）b n+1﹣（3﹣16T n）+1=通过讨论n的范围判断两式的大小【解答】解：（Ⅰ）由S n=2﹣3n+k可得=4×3n﹣1n≥2 时，a n=S n﹣S n﹣1∵{a n}是等比数列∴a1=S1=6+k=4∴k=﹣2，a n=4×3n﹣1（Ⅱ）由和a n=4×3n﹣1得T n=b1+b2+…+b n=两式相减可得，=4（n+1）b n﹣（3﹣16T n）=+1而n（n+1）﹣3（2n+1）=n2﹣5n﹣3当或＜0时，有n（n+1）＞3（2n+1）所以当n＞5时有3﹣16T n＜4（n+1）b n+1那么同理可得：当时有n（n+1）＜3（2n+1），所以当1≤n≤5时有3﹣16T n＞4（n+1）b n+1综上：当n＞5时有3﹣16T n＜4（n+1）b n；+1当1≤n≤5时有3﹣16T n＞4（n+1）b n+1。
北京市高二上学期数学期中考试试卷
北京市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）设，则下列不等式一定成立的是（）A .B .C .D .2. （2分）在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+ a4+ a5=（）A . 33B . 72C . 84D . 1893. （2分） (2018高二下·黑龙江月考) 在中，，，，则的值等于（）A .B .C .D .5. （2分）已知数列的通项公式为，那么是这个数列的（）A . 第3项B . 第4项C . 第5项D . 第6项6. （2分）已知点， P是函数图象上不同于的一点.有如下结论：①存在点P使得是等腰三角形；②存在点P使得是锐角三角形；③存在点P使得是直角三角形.其中，正确的结论的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 37. （2分）若不等式ax2+bx﹣2＜0的解集为{x|﹣2＜x＜}，则ab等于（）A . -28B . -26C . 28D . 268. （2分） (2018高一下·张家界期末) 已知数列满足则该数列的前18项和为（）A .B .C .D .9. （2分）若函数在上单调递减，则a的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）若△ABC的三边为a,b,c，它的面积为，则内角C等于（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分）(2013·上海理) 在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则b=________．12. （1分）(2017·徐水模拟) 不等式组表示的平面区域为Ω，直线x=a（a＞1）将Ω分成面积之比为1：4的两部分，则目标函数z=ax+y的最大值为________．13. （1分） (2018高一下·百色期末) 已知等比数列的前项和为，若，则 ________．14. （1分） (2015高三上·巴彦期中) 一元二次方程kx2+3kx+k﹣3=0有一个正根和一个负根，则实数k的取值范围为________三、解答题 (共3题；共30分)15. （10分）ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍（1）（I）求（2）(II)若AD=1，DC=，求BD和AC的长17. （10分） (2016高一上·石家庄期中) 已知函数f（x）=4x+a•2x+3，a∈R（1）当a=﹣4时，且x∈[0，2]，求函数f（x）的值域；（2）若f（x）＞0在（0，+∞）对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共3题；共30分)15-1、15-2、17-1、17-2、。
2017-2018年北京二中高二第一学期期中考试3-1 模块(带答案)
北京二中2017—2018学年度第一学段高二年级模块考试试卷物理 选修3-1命题人： 审核人： 得分：常用物理量：元电荷e=1.6×10-19C ，sin37o =0.6，cos37o =0.8一、单项选择题（每道小题只有一个选项是正确的，每小题3分，多选或错选不得分，共45分） 1、关于机械波的概念，下列说法中正确的是 A ．质点振动的方向总是垂直于波传播的方向B ．简谐波沿长绳传播，绳上相距半个波长的两质点振动位移相同C ．任一振动质点每经过一个周期沿波的传播方向移动一个波长D ．简谐波的周期和每个质点振动周期相同2、两个相同的金属小球(可视为点电荷)，带同种电荷，所带电量之比为1:7，在真空中相距为r ，把它们接触后再放回原处，则它们间的静电力为原来的 A ．4/7 B ．3/7 C ．9/7 D ．16/73、A 为已知电场中的一固定点，在A 点放一电量为q 的电荷，所受电场力为F ，A 点的场强为E ，则 A ．若在A 点换上－q ，A 点场强方向变成反向B ．若在A 点换上电量为2q 的电荷，A 点的场强将变为2EC ．若在A 点移去电荷q ，A 点的场强变为零D ．若在A 点换上－2q ，A 点场强仍为E4、保护知识产权、抵制盗版是我们每个公民的责任与义务。
盗版书籍影响我们的学习效率甚至会给我们的学习带来隐患。
小华有一次不小心购买了盗版的物理参考书，做练习时，他发现有一个关键数字看不清，拿来问老师，如果你是老师，你认为可能是下列几个数字中的那一个A ．6.2×10-19CB ．6.4×10-19CＣ．6.6×10-19C Ｄ．6.8×10-19C5、一个点电荷从静电场中的a 点移到b 点，其电势能的变化为零，则 A ． a 、b 两点的电场强度一定相等 B ． 该点电荷一定沿等势面运动 C ． a 、b 两点的电势一定相等D ． 作用于该点电荷的电场力与其运动方向总是垂直的6、如右图所示，A 为空心金属球，B 为靠近A 的另一个原来不带电的枕形金属壳。
北京市东城北京二中高二数学上学期期中试题 理(含解析)
北京二中2017—2018学年度第一学段高二年级模块考试试卷数学选修2—1（理科）一、选择题（共14小题，每小题4分，共56分．每小题给出的四个选项中有且只有一个选．．．．．．．项是正确的．．．．．） 1．抛物线216y x =的焦点坐标为（）．A ．(8,0)B ．(4,0)C ．(0,8)D ．(0,4)【答案】B【解析】解：由216y x =，得216P =，则8P =，42P=， 所以抛物线216y x =的焦点坐标是(4,0)． 故选B ．2．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题： ①αββγαγ⎫⇒⎬⎭∥∥∥；②m m αββα⎫⇒⎬⎭⊥⊥∥；③m m ααββ⎫⇒⎬⎭⊥⊥∥；④m n m n αα⎫⇒⎬⎭∥∥∥．其中正确的命题是（）．A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④【答案】B【解析】解：①．由面面平行的性质可知，αβ∥，αγ∥，则βγ∥，故①正确； ②．若αβ⊥，m α∥，则m β∥或m 与β相交，故②错误； ③．若m β∥，则存在m β'⊂，且m m '∥，又m α⊥，得m α'⊥， 所以αβ⊥，故③正确；④．若m n ∥，n α∥，则m α⊂或m α∥，故④错误． 故选B ．3．若方程2214x y m m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（）．A ．2m <B ．02m <<C ．24m <<D ．2m >【答案】B【解析】解：若方程2214x y m m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则0404m m m m>⎧⎪->⎨⎪->⎩，解得02m <<．故选B ．4．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是（）．A．10πB．7πC．13π3D．7π3俯视图侧左()视图正主()视图【答案】 C【解析】解：由几何体的三视图可得，该几何体是一个组合体，下面是一个圆柱，圆柱的底面半径是1，高是3，上面是一个球，球的半径是1，所以该几何体的体积2344π13ππ13π13π333V=⨯⨯+⨯=+=．故选C．5．椭圆22:416C x y+=的长轴长、短轴长和焦点坐标一次为（）．A．8，4，(±B．8，4，(0,±C．4，2，(±D．4，2，(0,±【答案】C【解析】解：椭圆22:416C x y+=化为标准方程为：221164y x+=，可得4a=，2b=，c=所以椭圆22416x y+=的长轴长，短轴长和焦点坐标分别为：8，4，(0,±．故选B．6．若一个圆锥的轴截面是正三角形，则此圆锥侧面展开图扇形的圆心角大小为（）．A．60︒B．90︒C．120︒D．180︒【答案】D【解析】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为R，由该圆锥的轴截面是正三角形，得2r R=，∴π22π180n rr ⨯=︒，解得180n =︒． 故选D ．7．抛物线26y x =上一点11(,)M x y 到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为（）．A ．3B．C ．27D．【答案】B【解析】解：∵抛物线26y x =上一点11(,)M x y 到其焦点的距离为92， ∴211163922y x x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得13x =，1y =±，∴点M． 故选B ．8．如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（）．A．6πB．6π+C．184πD．18π+正视图俯视图【答案】D【解析】解：由三视图知，此组合体上部是一个半径为12的球体，故其表面积为π，下部为一直三棱柱，其高为3，底面为一边长为2三棱柱的侧面积为3(222)18⨯++=，因为不考虑接触点，故只求上底面的面积即可，上底面的面积为：122⨯18π+．故选D ．9．双曲线2212x y m m -=的一个焦点坐标为(3,0)，则双曲线的实轴长为（）．AB ．C ．D【答案】C【解析】解：∵双曲线2212x y m m -=的一个焦点坐标为(3,0)，∴29m m +=，得3m =，∴双曲线的实轴长为 故选C ．10．已知椭圆C 的对称轴与两条坐标轴重合，且长轴长的短轴长的2倍，抛物线28y x =-的焦点与椭圆C 的一个顶点重合，则椭圆C 的标准方程为（）． A ．2214x y +=B ．221416x y +=C ．221164x y +=或2214y x +=D ．2214x y +=或221416x y +=【答案】D【解析】解：由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即有2a b =，又抛物线28y x =-的焦点(2,0)-与椭圆C 的一个顶点重合，得椭圆经过点(2,0)-，若焦点在x 轴上，则2a =，1b =，椭圆方程为2214x y +=，若焦点在y 轴上，则2b =，4a =，椭圆方程为221164y x +=，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=或221416x y +=．故选D ．11．点(2,0)M 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>渐近线的距离为1，则双曲线的离心率等于（）．A ．2B ．43C D ．4【解析】解：∵点(2,0)M到双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的渐近线0bx ay±=的距离为1，21bc==，∴2c b=，a=，∴双曲线的离心率cea===故选C．12．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α与β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α与β都平行于γ；③存在直线lα⊂，直线mβ⊂，使得l m∥．其中，可以判定α与β平行的条件有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】解：①项、存在平面γ，使得α，β都垂直于γ，则α，β不一定平行，利如正方体相邻的三个面，故①错误；②项、若αγ∥，βγ∥，则由面面平行的性质可得αβ∥，故②正确；③项、若直线lα⊂，mβ⊂，l m∥，α与β可能相交，故③错误．故选A．13．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（）．A．B．4C．D．俯视图()左视图()主视图()【解析】解：BAPD根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且2AD AB ==，4BC =，PA ⊥平面ABCD ，且2PA =，∴PB =PD =CD =PC =∴这个四棱锥中最长棱的长度是 故选A ．14．已知椭圆22:143x y E +=和圆22:()1C x m y -+=，当实数m 在闭区间[3,3]-内从小到大连续变化时，椭圆E 和圆C 公共点个数的变化规律是（）． A ．1，2，1，0，1，2，1 B ．2，1，0，1，2C ．1，2，0，2，1D ．1，2，3，4，2，0，2，4，3，2，1【答案】A【解析】解：椭圆22:143x y E +=的顶点坐标为(2,0)-，(2,0)，，(0,，圆22:()1C x m y -+=，表示以(,0)m 为圆心，1为半径的圆，当3m =-时，椭圆E 与圆C 只有一个焦点(2,0)-， 当31m -<<-时，圆C 向右平移，与椭圆E 有两个交点， 当1m =-时，圆C 与椭圆E 只有1个交点，当11m -<<时，圆C 椭圆在E 内部，此时椭圆E 与圆C 无公共点，∴当m 在闭区间[3,3]-从小到大连续变化时，椭圆E 和圆C 公共点个数的变化规律是1，2，1，0，1，2，1．故选A ．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）15．双曲线的对称轴和坐标轴重合，中心在原点，交点坐标为(2,0)-和(2,0)，且经过点(2,3)P -，则双曲线的标准方程是__________．【答案】2213y x -=【解析】解：由题意，2c =，|22a =， ∴1a =，b 2c =，故双曲线的标准方程是2213y x -=．16．如图在正三角形ABC △中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点，将ABC △沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的大小为__________．JIF E C BA HG D【答案】60︒ 【解析】解：IJD GHEFM将ABC △沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，点A ，B ，C 重合为点M ，得到三棱锥M DEF -， ∵I ，J 分别为BE ，DE 的中点， ∴IJ ∥侧棱MD ，∴MD 与GH 所成的角即是GH 与IJ 所成的角， ∵60AHG ∠=︒，∴GH 与IJ 所成角的大小为60︒．17．从正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点中任意选择3个点，记这3个点确定的平面为α，则垂直于直线1AC 的平面α的个数为__________． 【答案】2 【解析】解：DA BCA 1D 1B 1C 1与直线1AC 垂直的平面有平面1A BD 和平面11CB D ，故与直线1AC 垂直的平面α的个数为2．18．已知椭圆222:1(40)16x y C b b +=>>的左右焦点为1F ，2F ，若P 为椭圆C 上一点，且1290F PF ∠=︒，则12F PF △的面积等于__________． 【答案】4【解析】解：由题意4a =，c e a ==，得4a =，2b =，c =， ∵P 为椭圆C 上一点，且1290F PF ∠=︒，∴12||||28PF PF a +==，22212||||448PF PF c +==，∴2122(||||)2||||48PF PF PF PF +-⋅=，即12642||||48PF PF -⋅=，得12||||8PF PF ⋅=，故12F PF △的面积1211||||8422S PF PF =⋅=⨯=．19．抛物线24y x =上两个不同的点A ，B ，满足OA OB ⊥，则直线AB 一定过定点，此定点坐标为__________． 【答案】(4,0)【解析】解：设直线l 的方程为x ty b =+代入抛物线24y x =，消去x 得2440y ty b --=, 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y t +=，124y y b =-， ∴1212()()OA OB ty b ty b y y ⋅=+++ 22121212()t y y bt y y b y y =++++222444bt bt b b =-++-24b b =-=0，∴0b =（舍去）或4b =, 故直线l 过定点(4,0)．20．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，N 为面1111A B C D （包括边界）内一动点，当点N 与1B 重合时，异面直线AN 与1BC 所成的角的大小为__________；当点N 在运动过程中始终保持AN ∥平面1BDC ，则点N 的轨迹是__________．DABCN D 1C 1B 1A 1【答案】60︒；线段11B D【解析】解：当点N 与1B 重合时，AN 即1AB , ∵11AB DC ∥,∴1DC B ∠即直线AN 与1BC 所成的角， ∵1BD DC BC ==， ∴1BDC △是等边三角形， ∴160DC B ∠=︒，故异面直线AN 与1BC 所成的夹角是60︒，∵平面11AB D ∥平面1BDC ，AN ∥平面1BDC ，且N 在平面1111A B C D 内， ∴点N 在平面11AB D 与平面1111A B C D 的交线11B D 上， 故点N 的轨迹是线段11B D ．三、解答题（共5小题，满分64分．解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 21．（本题12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，PB PD =，E ，F 分别为AB 和PD 的中点． （1）求证：EF ∥平面PBC ． （2）求证：BD ⊥平面PAC ．FECBAP D【答案】见解析． 【解析】解：D P ABCEFGO（1）证明：取PC 中点为G ，∵在PCD △中，F 是PD 中点，G 是PC 中点，∴FG CD ∥，且12FG CD =，又∵底面ABCD 是菱形， ∴AB CD ∥， ∵E 是AB 中点，∴BE CD ∥，且12BE CD =，∴BE FG ∥，且BE FG =， ∴四边形BEFG 是平行四边形， ∴EF BG ∥，又EF ⊄平面PBC ，BG ⊄平面PBC ， ∴EF ∥平面PBC ． （2）证明：设ACBD O =，则O 是BD 中点，∵底面ABCD 是菱形， ∴BD AC ⊥，又∵PB PD =，O 是BD 中点，∴BD PO ⊥， 又ACPO O =，∴BD ⊥平面PAC ．22．（本小题13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，M 是PA 的中点，PD ⊥平面ABCD ，且4PD CD ==，2AD =．（1）求AP 与平面CMB 所成角的正弦． （2）求二面角M CB P --的余弦值．D PABC M【答案】见解析． 【解析】解：（1）∵ABCD 是矩形， ∴AD CD ⊥，又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD AD ⊥，PD CD ⊥，即PD ，AD ，CD 两两垂直，∴以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系， 由4PD CD ==，2AD =，得(2,0,0)A ，(2,4,0)B ，(0,4,0)C ，(0,0,0)D ，(0,0,4)P ，(1,0,2)M ，则(2,0,4)AP =-，(2,0,0)BC =-，(1,4,2)MB =-，设平面CMB 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则1100BC n MB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111120420x x y z -=⎧⎨+-=⎩，令11y =，得10x =，12z =，∴1(0,1,2)n =， ∴1114cos ,5||||25AP n AP n AP n ⋅<>===⋅，故AP 与平面CMB 所成角的正弦值为45． （2）由（1）可得(0,4,4)PC =-，设平面PBC 的一个法向量为2222(,,)n x y z =，则2200BC n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22220440x y z -=⎧⎨-=⎩，令21y =，得20x =，21z =，∴2(0,1,1)n =， ∴12cos ,n n <， 故二面角M CB P --．23．（本题13分）已知抛物线22(0)y px p =>过点0(2,)A y ，且点A 到其准线的距离为4． （1）求抛物线的方程．（2）直线:l y x m =+与抛物线交于两个不同的点P ，Q ，若OP OQ ⊥，求实数m 的值． 【答案】见解析．【解析】解：（1）已知抛物线22(0)y px p =>过点0(2,)A y ，且点A 到准线的距离为4， 则242p+=， ∴4p =，故抛物线的方程为：28y x =．（2）由28y x my x=+⎧⎨=⎩得22(28)0x m x m +-+=，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则1282x y m +=-，212x x m =，121228y y x x m +=++=，212121212()()()8y y x m x m x x m x x m m =++=+++=，∵OP OQ ⊥，∴2121280x x y y m m +=+=， ∴0m =或8m =-，经检验，当0m =时，直线与抛物线交点中有一点与原点O 重合，不符合题意， 当8m =-时，2=244640∆-⨯>，符合题意， 综上，实数m 的值为8-．24．（本题13分）已知点(0,2)A ，椭圆2222:=1(0)x y E a b a b +>>，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为O 为坐标原点． （1）求椭圆E 的方程．（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当OPQ △的面积最大时，求直线l 的方程． 【答案】见解析．【解析】解：（1）设(,0)F c ， 由直线AF的斜率为2c -=，解得c又离心率c e a =，得2a =，∴1b =，故椭圆E 的方程为2214x y +=．（2）当直线l x ⊥轴时，不符合题意，当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 联立22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(41)16120k x kx +++=， 由2=1643)0k ∆->（，得234k >，即k <或k ，1221641k x x k -+=+，1221241x x k =+，∴||PQ又点D 到直线PQ的距离d∴OPQ △的面积1||2S PQ d =⋅⋅=，t ，则0t >， ∴24441414t S t t t===++≤，当且仅当2t =，即k =时，等号成立，且0∆>， ∴直线l的方程为：2y +或2y =+．25．（本题13分）对于正整数集合{}12,,,(*,3)n A a a a n n ∈N ≥，如果去掉其中任意一个元素(1,2,,)i a i n =之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”．（1）判断集合{}1,2,3,4,5是否是“和谐集”（不必写过程）．（2）请写出一个只含有7个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”． （3）当5n =时，集合{}12345,,,,A a a a a a ，求证：集合A 不是“和谐集”． 【答案】见解析．【解析】解：（1）集合{}1,2,3,4,5不是“和谐集”． （2）集合{}1,3,5,7,9,11,13， 证明：∵35791113+++=+，19135711++=++，91313711+=+++， 13511713+++=+， 19113513++=++， 3791513++=++， 1359711+++=+，∴集合{}1,3,5,7,9,11,13是“和谐集”．（3）证明：不妨设12345a a a a a <<<<，将集合{}1345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有1534a a a a +=+①，或者5134a a a a =++②， 将集合{}2345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有2534a a a a +=+③，或者5234a a a a =++④，由①③得12a a =，矛盾，由①④得12a a =-，矛盾，由②③得12a a =-矛盾，由②④得12a a =矛盾，故当=5n 时，集合A 一定不是“和谐集”．。
2018北京二中高二(上)期中数学
2018北京二中高二（上）期中数学命题人：王雪梅审核人：温瑶得分：一.选择题：（本大题共10小题，每小题6分，共60分，请将答案填涂在机读卡上）1.椭圆的焦点坐标是（）A B C D2.已知满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（）A B C D3.不等式的解集是（）A B C D4.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（）A B C D5.下列四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（）A B C D6.椭圆的焦距等于2，则的值为（）A 5或3B 5C 8D 167.若不等式的解集为，则等于（）A B C 1 D 88.已知数列是等差数列，若，则数列的前项和有最大值，那么当取得最小正值时，等于（）A 20B 17C 19D 219.已知数列则是数列中的（）A 第48项B 第49项C 第50项D 第51项10.若函数且，则等于（）A 0B 100CD 10200二.填空题（本大题共8小题，每小题6分，共48分，请将答案写在答题纸相应的横线上.）11.命题“”的否定是 .其是命题（填“真、假”）12.若双曲线的左、右焦点分别是,过的直线交右支于两点，若，则的周长为 .13.若不等式对一切恒成立，则的最小值为14.椭圆上动点与定点的连线段的中点所形成的曲线的方程为15.已知数列中，,则数列的通项公式16.若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为17.曲线是平面内与两个定点的距离的积等于常数的点的轨迹，，给出三个结论（1）曲线过坐标原点（2）曲线关于坐标原点对称（3）若点在曲线上，则的面积不大于其中，正确结论的序号是 .18.已知数列的各项为正整数，其前项和.若且,则= ; .三.解答题19.（本小题满分14分）已知等差数列的公差，它的前项和，若，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的的前项和，若对恒成立，求的取值范围.20.（本小题满分14分）设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且点和关于点对称.（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆相交与两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）若数列满足数列为数列，记=.（1）写出一个满足，且的数列；（2）若,证明：数列是递增数列的充要条件是（3）对任意给定的整数，是否存在首项为0的数列，使得如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由.。
北京市东城北京二中2018届高三数学上学期期中试题理(含解析)
1．已知集合
A
x
|
x 1 x2
0
，集合
B
N
，则
A
B
等于（）．
A． 1, 0,1
B． 1
C． 0,1
【答案】C
【解析】∵集合
A
x
|
x 1 x2
0
x
|
1
x
2
，集合
B
N
，
∴ A B 0,1 ．
故选 C
D． 1,0
2．已知向量 a (1,2) ， b (x,2) ，且 a ⊥b ，则 | a b | 等于（）．
（
2
）在 △ABC
中，角
A
，B
，C
的对边分别为
a
，b
，c
，且
f
A 2
3 2
，a
3
，b
c
2
3，
求 △ABC 的面积．
【答案】见解析．
【解析】（1 ）由题意，
-7-
如果您喜欢这份文档，欢迎下载! 来源网络，造福学生
———————欢迎下载，祝您学习进步，成绩提升———————
f (x) a b sin x cos x
13．已知定义在 R
上的函数
y
f
(x) 满足条件
f
x
3 2
f (x)
，且函数
y
f
x
3 4
是奇函
数，给出以下四个命题：
①函数 f (x) 是周期函数；
②函数
f
(x)
的图象关于点
3 4
,
0
对称；
③函数 f (x) 是偶函数；
2017-2018学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年高二上学期期中数学试卷一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．103．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=04．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=16．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．2017-2018学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：根据空间中直线与平面的位置关系可得答案．解答：解：根据空间中直线与平面的位置关系可得：b可能与平面α相交，也可能b与平面相交α，故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中点、直线以及平面之间的位置关系．2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．10考点：斜率的计算公式．专题：计算题．分析：因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．解答：解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2， m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选 B．点评：本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．3．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=0考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：首先讨论斜率不存在的情况，直线方程为x=﹣1满足条件．当斜率存在时，设直线方程为：y﹣5=k （x+1）．利用圆心到直线的距离等于半径解得k的值，从而确定圆的切线方程．解答：解：①斜率不存在时，过点M（﹣1，5）的直线方程为x=﹣1．此时，圆心（1，2）到直线x=﹣1的距离d=2=r．∴x=﹣1是圆的切线方程．②斜率存在时，设直线斜率为k，则直线方程为：y﹣5=k（x+1）．即kx﹣y+k+5=0．∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离．解得，．∴直线方程为5x+12y﹣55=0．∴过点M（﹣1，5）且与圆相切的直线方程为x=﹣1或5x+12y﹣55=0．故选：C．点评：本题考查直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的运用．做题时容易忽略斜率不存在的情况．属于中档题．4．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：充分利用线面平行和线面垂直的性质和判定定理对四个选项逐一解答．A选项用垂直于同一条直线的两个平面平行判断即可；B选项用两个平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；C选项用线面垂直的性质定理判断即可；D选项由线面平行的性质定理判断即可．解答：解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D．点评：本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1考点：轨迹方程．专题：直线与圆．分析：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．解答：解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．6．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，代入圆锥体积公式，可得答案．解答：解：将△ABC绕直线BC旋转一周，得到一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，故所形成的几何体的体积V=×π×42×3=16π，故选：D点评：本题考查的知识点是旋转体，其中分析出旋转得到的几何体形状及底面半径，高等几何量是解答的关键．7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图的数据，直接求解三棱柱的表面积．解答：解：因为正三棱柱的三视图，其中正（主）视图是边长为2的正方形，棱柱的侧棱长为2，底面三角形的边长为2，所以表面积为：2×+2×3×2=12+2．故选C．点评：本题考查几何体的三视图的应用，几何体的表面积的求法，考查计算能力．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：抛物线的应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．解答：解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故应选：A点评：本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为11cm．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：利用面积之比是相似比的平方，求出截取棱锥的高，然后求出截面与底面的距离．解答：解：设截取棱锥的高为：h，则，∴h=5，所以截面与底面的距离：16﹣5=11cm故答案为：11cm点评：本题是基础题，考查面积之比是选上比的平方，考查计算能力，空间想象能力．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．解答：解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．点评：本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．考点：平面与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，利用余弦函数，即可求出cosα：cosβ．解答：解：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，∴cosα==，cosβ=，∴cosα：cosβ=，故答案为：．点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=±．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．解答：解：圆心C（2，2），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，解得a=±，故答案为：±．点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A、B、C的坐标代入，建立关于D、E、F的方程组，解之即可得到△ABC的外接圆E的方程；（II）化圆E为标准方程，得圆心为E（1，2），半径r=1．设直线l方程为y=kx，由点到直线的距离公式和垂径定理建立关于k的方程，解之得到k=1或7，由此即可得到直线l的方程．解答：解：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0∵A（2，2）、B（1，3）、C（1，1）都在圆E上∴，解之得因此，圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+4=0；（II）将圆E化成标准方程，可得（x﹣1）2+（y﹣2）2=1∴圆心为E（1，2），半径r=1设直线l方程为y=kx，则圆心E到直线l的距离为d=∵直线l与圆E相交所得弦的长为，∴由垂径定理，得d2+（）2=r2=1可得d2=，即=，解之得k=1或7∴直线l的方程是y=x或y=7x．点评：本题给出三角形ABC三个顶点，求它的外接圆E的方程，并求截圆所得弦长为的直线方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）根据三角形中位线定理，证出DE∥BC，再由线面平行判定定理即可证出DE∥面PBC；（II）连结PD，由等腰三角形“三线合一”，证出PD⊥AB，结合DE⊥AB证出AB⊥平面PDE，由此可得AB ⊥PE；（III）由面面垂直性质定理，证出PD⊥平面ABC，得PD是三棱锥P﹣BEC的高．结合题中数据算出PD=且S△BEC=，利用锥体体积公式求出三棱锥P﹣BEC的体积，即得三棱锥B﹣PEC的体积．解答：解：（I）∵△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC∵DE⊄面PBC且BC⊂面PBC，∴DE∥面PBC；（II）连结PD∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，∴AB⊥平面PDE∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P﹣BEC的高又∵PD=，S△BEC=S△ABC=∴三棱锥B﹣PEC的体积V=V P﹣BEC=S△BEC×PD=点评：本题在三棱锥中求证线面平行、线线垂直，并求锥体的体积．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先根据线面垂直的性质证明出BB1⊥A1C1．进而根据菱形的性质证明出A1C1⊥B1D1．最后根据线面垂直的判定定理证明出A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．先证明OC1∥AE和OC1=AE，推断出AOC1E为平行四边形，进而推断AO∥C1E，最后利用线面平行的判定定理证明出AO∥平面BC1D．（Ⅲ）先由E为BD中点，推断出BD⊥C1E，进而根据C1D=C1B，推断出ME⊥BD，进而根据OM⊥BD，推断出BD∥B1D1．直角三角形OC1E中利用射影定理求得OM．解答：解：（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以BB1⊥底面A1B1C1D1．又A1C1⊂底面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1．因为A1B1C1D1为菱形，所以A1C1⊥B1D1．而BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．依题意，AA1∥CC1，且AA1=CC1，AA1⊥AC，所以A1ACC1为矩形．所以OC1∥AE．又，，A1C1=AC，所以OC1=AE，所以AOC1E为平行四边形，则AO∥C1E．又AO⊄平面BC1D，C1E⊂平面BC1D，所以AO∥平面BC1D．（Ⅲ）在△BC1D内，满足OM⊥B1D1的点M的轨迹是线段C1E，包括端点．分析如下：连接OE，则BD⊥OE．由于BD∥B1D1，故欲使OM⊥B1D1，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．又在△BC1D中，C1D=C1B，又E为BD中点，所以BD⊥C1E．故M点一定在线段C1E上．当OM⊥C1E时，OM取最小值．在直角三角形OC1E中，OE=1，，，所以．点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是1．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在展开式的通项公式，令x的指数为3，利用（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，即可实数a的值．解答：解：（ax+1）5的展开式的通项公式为T r+1=，则∵（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，∴=10，∴a=1．故答案为：1．点评：二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题的重要方法．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为4．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据侧面展开图求解得出，再利用直角三角形求解．解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，∴侧面展开为下图连接AA得：RT△中，长度为4，∴△AEF的周长的最小值为4，故答案为：4，点评：本题考查了空间几何体中的最小距离问题，属于中档题．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是（0，]．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：运用图形得||=||，再根据向量求解．解答：解：0为BD中点，∵AB=BC=CD=DA=BD=1，∴|OA|=|OB|=，||=||==，θ∈（0°，180°]∴AC的取值范围是（0，]故答案为：（0，]点评：本题考查了向量的运用求解距离，属于中档题．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．考点：直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由线面垂直得A1A⊥AB，再由AB⊥AC，能证明AB⊥面A1CC1．（II）由AB∥DE，在△ABC中，E是棱BC的中点，推导出D是线段AC的中点．（III）由已知条件推导出A1C⊥AC1，AB⊥A1C，从而得到A1C⊥面ABC1，由此能证明EF⊥AC1．解答：（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，（2分）∵AB⊥AC，A1A∩AC=A，∴AB⊥面A1CC1．（4分）（II）解：∵面DEF∥面ABC1，面ABC∩面DEF=DE，面ABC∩面ABC1=AB，∴AB∥DE，（7分）∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．（8分）（III）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，（9分）由（Ⅰ）得AB⊥A1C，∵AB∩AC1=A，∴A1C⊥面ABC1，（11分）∴A1C⊥BC1．（12分）又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，（13分）∴EF⊥AC1．（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点的位置的确定，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（Ⅰ）分两种情况：当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线l的方程即可；当直线l的斜率不存在时，得到在线l的方程，经过验证符合题意；（Ⅱ）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（Ⅲ）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．解答：解：（Ⅰ）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y﹣0=k（x﹣2）．又圆C的圆心为（3，﹣2），半径r=3，由，解得．所以直线方程为，即3x+4y﹣6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件；（Ⅱ）由于，而弦心距，所以d=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（Ⅲ）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，而，所以．由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）由圆的方程找出圆心坐标，设出圆心关于直线l的对称点的坐标，由直线l的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线C1C2的斜率，由圆心及对称点的坐标表示出斜率，等于求出的斜率列出一个关系式，然后利用中点坐标公式，求出两圆心的中点坐标，代入直线l的方程，得到另一个关系式，两关系式联立即可用m表示出a与b，把表示出的a与b代入圆C2的方程即可；（Ⅱ）由表示出的a与b消去m，得到a与b的关系式，进而得到圆C2的圆心在定直线上；分公切线的斜率不存在和存在两种情况考虑，当公切线斜率不存在时，容易得到公切线方程为x=0；当公切线斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，根据点到直线的距离公式表示出圆心（a，b）到直线y=kx+b的距离d，当d等于圆的半径2|m|，化简后根据多项式为0时各项的系数为0，即可求出k与b的值，从而确定出C2所表示的一系列圆的公切线方程，这样得到所有C2所表示的一系列圆的公切线方程．解答：解：（Ⅰ）∵圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，∴圆心为（2，3m），设它关于直线l：y=x+m﹣1的对称点为（a，b），则，解得a=2m+1，b=m+1，∴圆C2的圆心为（2m+1，m+1），∴圆C2的方程为：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2，∴C1关于l对称的圆C2的方程：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2．（Ⅱ）根据（Ⅰ）得圆C2的圆心为（2m+1，m+1），令，消去m得x﹣2y+1=0，它表示一条直线，故C2的圆心在一条定直线上，①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x=0；②当公切线的斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，∴=2|m|，即：（1﹣4k）m2+2（2k﹣1）（k+b﹣1）m+（k+b﹣1）2=0∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，∴所以有：，解得，∴C2所表示的一系列圆的公切线方程为：y=，∴故所求圆的公切线为x=0或y=．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及关于点与直线对称的圆的方程．此题的综合性比较强，要求学生审清题意，综合运用方程与函数的关系，掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，在作（Ⅱ）时先用消去参数的方法求定直线的方程，然后采用分类讨论的数学思想分别求出C2所表示的一系列圆的公切线方程．。
【解析】北京市第二中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题
北京二中教育集团2018—2019学年度第三学段高二年级学段考试试卷数学选修2—3一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知双曲线()22210x y a a-=>0y +=，则a =( )A.B.C.D.【答案】D 【分析】求出双曲线的渐近线，和已知条件对比，即可求出a【详解】双曲线()22210x y a a-=>的渐近线方程为：1y x a =±0y +=，即y =所以1a =3a =故选：D【点睛】本题考查的是双曲线的渐近线方程，较简单.2.已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =，3.5y =，则由该观测数据算得线性回归方程可能为( ) A. $0.34.4y x =-+ B. $2 3.5y x =+ C. $29.5y x =-+ D. $0.4 2.3y x =+【答案】D 分析】由变量x 与y 正相关可排除A 、C ，然后线性回归方程要过点()3,3.5，可得出答案【详解】因为变量x 与y 正相关，所以A 、C 不满足 因为线性回归方程要过点()3,3.5，故B 不满足 故选：D【点睛】线性回归方程一定过点(),x y .3.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，其数量之比依次是3:4:7，现在用分层抽样的方法抽出样本容量为n 的样本，样本中A 型号产品有15件，那么n 等于（ ） A. 50 B. 60C. 70D. 80【答案】C 【分析】求出A 型号产品的占有的比例，列出等式，求解样本容量n . 【详解】由分层抽样方法得315347n ⨯=++，解之得70n =.【点睛】本题考查了分层抽样，考查了运算能力. 4.某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝( )A. 2231344C ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭B. 2233144C ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ C. 21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ D.23144⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ 【答案】Cξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，本题选择C 选项. 点睛：准确理解并运用二项分布的概率公式是求解该类问题的关键，()()1n kk kn P X k C p p -==-表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率.5.袋中有10个大小相同但编号不同的球，6个红球和4个白球，无放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球的概率为（）A. 35B.25C.110D.59【答案】D试题分析：先求出“第一次摸到红球”的概率为：，设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是，再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为，根据条件概率公式，得：,故选D.考点：条件概率与独立事件.【易错点晴】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解.利用定义，分别求和，得.注意：事件与事件有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要弄清的求法．属于中档题，看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键.6.2019年春运已经拉开序幕，在外漂泊的游子归家心切，有两位来自南方的北漂商讨着购票事宜，希望购买的火车票座位能挨着在一起，并且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的是( )窗口1 2过道3 4 5窗口6 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 ………A. 48，49B. 62，63C. 75，76D. 84，85 【答案】D【分析】由图得出被5除余1的数和能被5整除的数对应的座位临窗即可分析出满足条件的答案 【详解】由已知图形中的座位的排列顺序可得：被5除余1的数和能被5整除 的数对应的座位临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗 分析答案中的4组座位号，只有D 符合条件 故选：D【点睛】本题考查的是对表格的观察能力，较简单7.甲、乙两人独立地解决同一个问题，甲能解决这个问题的概率是1P ，乙能解决这个问题的概率是2P ，那么至少有一人能解决这个问题的概率是( ) A. 12P P + B. 12PPC. 121PP -D. ()()12111P P ---【答案】D 【分析】事件“至少有一人能解决这个问题”的对立事件是“两个人都不能解决这个问题”，算出后者的概率即可【详解】因为事件“至少有一人能解决这个问题”的对立事件是 “两个人都不能解决这个问题”，事件“两个人都不能解决这个问题”的概率为()()1211P P -- 所以至少有一人能解决这个问题的概率是()()12111P P --- 故选：D【点睛】若事件A 、B 对立，则有()()1P A P B +=.8.在62⎛⎫- ⎝的二项展开式中，2x 的系数为（ ） A. 154-B.154C. 38-D.38【答案】C【详解】因为1r T +=662()()2rrr x C x-⋅⋅-,可得1r =时，2x 的系数为38-，C 正确.9.已知抛物线的焦点为F ，点111(,)P x y 、222(,)P x y 、333(,)Px y 在抛物线上，且2132x x x =+，则有 A. 123FP FP FP += B. 222123FP FP FP += C. 2132FP FP FP =+ D. 2213FP FP FP =⋅ 【答案】C试题分析：由题可知：在抛物线上任一点到焦点的距离等于它到准线L 的距离，因此，到准线的距离为，到准线的距离为，到准线的距离为，故2132FP FP FP =+．考点：抛物线的定义10.设{}n a 为等差数列，p ，q ，k ，l 为正整数，则“p q k l +>+”是“p q k l a a a a +>+”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【分析】根据不等式p q k l a a a a +>+，得到等差数列公差的正负性和p ，q ，k ，l 之间的关系，结合充分性、必要性的定义选出正确答案即可. 【详解】设等差数列的公差为d ，1111(1)(1)(1)(1)p q k l a p d a q d a a a a a k d a l d ⇒+-+++->+>++-+-[()()]0d p q k l ⇒+-+>0d p q k l >⎧⇒⎨+>+⎩或0d p q k l<⎧⎨+<+⎩，显然由p q k l +>+不一定能推出p q k l a a a a +>+，由p q k l a a a a +>+也不一定能推出 p q k l +>+， 因此p q k l +>+是p q k l a a a a +>+的既不充分也不必要条件，故本题选D. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了充要条件的判断.11.某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查.若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是( ) A. 48 B. 72C. 84D. 168【答案】D 【分析】分两步，第一步选2名理科班的学生检查文科班，第二步，理科班检查的方法，需要分三类，根据分布和分类计数原理可得.【详解】第一步：选2名理科班的学生检查文科班，有2412A =种第二步：分三类①2名文科班的学生检查剩下的2名理科生所在的班级，2名理科生检查另2名理科生所在的班级，有22224A A =种②2名文科班的学生检查去文科班检查的2名理科生所在班级，剩下的2名理科生互查所在的班级，有21212A A =种③2名文科生一人去检查去文科班检查的2名理科生所在的班级的一个和一人去检查剩下的2名理科生其中一个所在的班级，有1112228A A A =种根据分步分类技术原理可得，共有()12428168⨯++=不同的安排方法 故选：D【点睛】本题考查的是分步分类计数原理及排列组合的知识，怎么将一个复杂的事情进行合理的分步分类去完成是解题的关键.12.已知M 为椭圆22143x y +=上一点，N 为椭圆长轴上一点，O 为坐标原点，有下列结论：①存在点M ，N ，使得OMN ∆为等边三角形；②不存在点M ，N ，使得OMN ∆为等边三角形；③存在点M ，N ，使得90OMN ∠=︒；④不存在点M ，N ，使得90OMN ∠=︒.其中，所有正确结论的序号是( ) A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ②③【答案】A 【分析】利用椭圆的简单几何性质，直接可判断①正确②错误，分情况讨论点M 、N 的位置，利用余弦定理判断OMN ∠，即可确定③错误④正确.【详解】过原点且倾斜角为60︒的直线一定与椭圆有交点，假设y 轴右侧的交点 是M ，在长轴上取ON OM =，则OMN V 就是等边三角形 故①正确，②错误若点M 和点N 在y 轴两侧，则OMN ∠一定是锐角 若点M 和点N 在y 轴同侧，不妨设为在y 轴右侧 设点(),M x y ，则22334y x =-，且02x << 由椭圆性质可知，当点N 是长轴端点时，OMN ∠最大 因为222OMx y =+，222(2)MN x y =-+，24ON =所以22222222(2)2244OM MNx y x y x y x +=++-+=+-+()21(4)24,102x =-+∈ 所以222OM MNON +>即90OMN ∠<︒，故③错误，④正确 故选：A【点睛】1.本题考查的是椭圆性质的应用，椭圆关于原点、x 轴、y 轴对称. 2.可以用余弦定理判断一个角是锐角、直角还是钝角.二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）13.某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[)40,50，[)50,60，…，[]90,100后得到频率分布直方图（如下图所示），则分数在[)70,80内的人数是__________．【答案】30由频率分布直方图得,分数在[)60,80内的频率为：()10.0100.0150.0250.005100.45-+++⨯=，∴分数在[)60,80内的人数为：1000.4545⨯=，故答案为45.14.随机变量η的分布列如下：η1 2 3 4 5 6 P0.2x0.250.10.150.2则x =______，()3P η≤=______. 【答案】 (1). 0.1 (2). 0.55 【分析】 由0.20.250.10.150.21x +++++=可算出x，()()()()3123P P P P ηηηη≤==+=+=【详解】由0.20.250.10.150.21x +++++=得0.1x =()()()()31230.20.10.250.55P P P P ηηηη≤==+=+==++=故答案为：0.1，0.55【点睛】本题考查分布列的知识，较简单.15.某市教委派出5名调查人员到3所学校去调研学生作业负担问题，每校至少1人，则共有______种不同的派遣方法. 【答案】150【分析】先将5人分成3组，然后再将3组分配到3个学校. 【详解】第一步，把5人分成3组，有两类分法： ①一组3人，另两组各1人，有3510C =种分法②一组1人，另两组各2人，有1225422215C C C A =种分法 第二步：将3个小组分配到3所学校去，有336A =种分法所以共有()10156150+⨯=种不同的选派方案.【点睛】解决分组分配问题的基本指导思想是先分组，后分配.16.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1，F 2．若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为___________本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想.利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：1AF a c =-，122FF c =，1F B a c =+.又已知1AF ，12F F ，1F B 成等比数列，故2()()(2)a c a c c -+=，即2224a c c -=，则225a c =.故c e a ==.. 【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关,a c 的方程，然后化为有关,a c 的齐次式方程，进而转化为只含有离心率e 的方程，从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等.17.已知()2311nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项，*N n ∈且58n ≤≤，则n =______.【答案】7【分析】先将问题转化成二项式31()nx x+的展开式中没有常数项、x 项和2x 项，利用二项展开式的通项公式求出第1r +项，然后即可求解 【详解】因为()2233111()(12)()n n x x x x x x x++=+++的展开式中没有2x 项 所以31()nx x+的展开式中没有常数项、x 项和2x 项 31()n x x+的展开式的通项为341,0,1,2r n r r r n rr n n T C x x C x r n ---+===L 所以方程40,41,42n r n r n r -=-=-=，当*N n ∈且58n ≤≤时无解 检验可得7n = 故答案为：7【点睛】二项式(+)na b 的展开式的通项为：1,0,1,2r n r r r n T C a b r n -+==L18.甲乙二人轮流掷一枚质地均匀的骰子，甲先掷.规定：若甲掷出1点，则由甲继续掷，否则下一次由乙掷；若乙掷出3点，则由乙继续掷，否则下一次由甲掷，两人始终按此规则进行.记第n 次由甲掷的概率为n P ，则3P =______，n P =______. 【答案】 (1). 1318 (2). 2112233n -⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】先求出甲掷到1点（乙掷到3点）的概率为16，甲未掷到1点（乙未掷到3点）的概率为56，设第k 次由甲掷的概率为k p ，可得到递推公式15263k k p p +=-，然后用数列的知识即可求出.【详解】甲掷到1点（乙掷到3点）的概率为16， 甲未掷到1点（乙未掷到3点）的概率为56， 设第k 次由甲掷的概率为k p ，则乙掷的概率为1k p - 第一次由甲掷，故第二次由甲掷的概率216p = 于是，第1k +次由甲掷的概率为()155216663k k k p p p +-=-即15263k k p p +=-，因为216p =，1121232k k p p +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭所以数列12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21123p -=-为首项，以23-为公比的等比数列（2n ≥） 所以2112233n n p -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，适合1n =从而2112233n n p -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭所以31318p =故答案为：1318，2112233n -⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查递推数列和等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.三、解答题（共5小题，共60分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）19.已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）3(1,2,)n a n n ==L ，132(1,2,)n n b n n -=+=L ；（2）3(1)212n n n ++-试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n 项和公式即可求得数列{}n b 前n 项和． 试题详细分析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d ，由题意得 d=== 3．∴a n =a 1+（n ﹣1）d=3n设等比数列{bn ﹣an}的公比为q ，则q 3===8，∴q=2，∴b n ﹣a n =（b 1﹣a 1）q n ﹣1=2n ﹣1， ∴bn=3n+2n ﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n =3n+2n ﹣1， ∵数列{3n}的前n 项和为n （n+1），数列{2n ﹣1}的前n 项和为1×= 2n ﹣1，∴数列{bn}的前n 项和为；考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；3.数列求和．20.A 、B 两个班共有65名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个），用茎叶图记录如下：(1)试估计B 班的学生人数；(2)从A 班和B 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，B 班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量X .规定：当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记1X =-；当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记X 0=；当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记1X =.求随机变量X 的分布列及数学期望.(3)再从A 、B 两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8（单位：个），这2个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1μ，表格中数据的平均数记为0μ，试判断0μ和1μ的大小.（结论不要求证明） 【答案】（1）35，（2）随机变量X 的分布列： X -1 0 1P272211321()13E X =（3）10μμ> 【分析】(1)由题意可知，抽出的13名学生中，来自B 班的学生有7名，根据分层抽样方法，能求出B 班的学生人数(2)由题意可知X 的可能取值为：1,0,1- ，分别求出相应的概率，由此能求出X 的概率分布列和期望(3)利用数学期望的性质能得出10μμ>【详解】（1）由题意可知，抽出的13名学生中，来自B 班的学生有7名， 根据分层抽样方法可得：B 班的学生人数估计为7653513⨯= (2)X 的可能取值为：1,0,1-()1221677P X =-==⨯，()4206721P X ===⨯， ()()()13111021P X P X P X ==-=--==则随机变量X 的分布列：22131101721213EX =-⨯+⨯+⨯=(3)10μμ>【点睛】本题考查的是离散型随机变量得分布列及期望，在解题的时候关键是要把概率求正确.21.某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[ 0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（1）写出频率分布直方图（甲）中的a 的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为21s ，22s ，试比较21s 与22s 的大小；（只需写出结论）（2）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（3）设X 表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X 的数学期望．【答案】（1）0.015a =，2212s s >；（2）0．42；（3）0．9．试题分析：（Ⅰ）由各个小矩形的面积和为1，先求出a ，由频率分布直方图可看出，甲的销售量比较分散，而乙较为集中，由此可得出与的大小关系；（Ⅱ）首先设事件：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B ：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C ：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱；然后分别求出事件和事件B 的概率，最后由相互独立事件的概率乘法计算公式即可得出所求的结果；（Ⅲ）首先由题意可知X 的可能取值为0，1，2，3，然后运用相互独立重复试验的概率计算公式分别计算相应的概率，最后得出其分布列即可．试题详细分析：（Ⅰ）由各小矩形的面积和为1可得：(0.0100.0200.0250.03)101a ++++⨯=，解之的0.015a =；由频率分布直方图可看出，甲的销售量比较分散，而乙较为集中，主要集中在2030-箱，故2212s s >．（Ⅱ）设事件：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B ：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C ：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则()0.200.100.3P A =+=，()0.100.200.3P B =+=．所以()()()()()0.42P C P A P B P A P B =+=．（Ⅲ）由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3．0033(0)0.30.70.343P X C ==⨯⨯=，1123(1)0.30.70.441P X C ==⨯⨯=， 2213(2)0.30.70.189P X C ==⨯⨯=，3303(3)0.30.70.027P X C ==⨯⨯=．所以X 的分布列为所以X 的数学期望00.34310.44120.18930.0270.9EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．考点：1、离散型随机变量的均值与方差；2、相互独立事件的概率乘法公式；3、频率分布直方图．【方法点睛】本题主要考查频率分布直方图、离散型随机变量的均值与方差和相互独立事件的概率乘法公式，属中档题．这类题型是历年高考的必考题型之一，其解题的关键有二点：其一是认真审清题意，掌握二项分布与几何分布，并区分两者的适用范围；其二是掌握离散型随机变量的分布列和均值的求法以及频率分布直方图的性质的应用．22.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，椭圆C 的下顶点和上顶点分别为1B ，2B，且122B B =.过点()0,2P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当2k =时，求OMN ∆的面积；(3)求证：不论k 为何值，直线1B M 与直线2B N 的交点T 恒在一条定直线上.【答案】（1）2212x y +=，（2）9，（3）证明见详解【分析】（1）由122B B b =可求出b，c e a ==a（2）算出MN 和点O 到直线l 的距离即可（3）设()()1122,,,M x y N x y ，联立方程消元可得12122286,2121k x x x x k k -+==++，由1,,T M B 三点共线得113n k m x +=+，由,,T N B 三点共线得211n k m x -=+，然后通过变形可得出12n =，即可得出点T 恒在直线12y =上. 【详解】（1）由1222B B b ==，得1b =由2c e a ===得a =所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=（2）当2k =时，直线l 的方程为22y x =+联立方程222212x x y y ++==⎧⎪⎨⎪⎩得291660x x ++= 设()()1122,,,M x y N x y ，则有1212162,93x x x x +=-=所以MN ==点O 到直线l5=所以12959OMN S ∆=⨯=（3）直线l 的方程为2y kx =+由22212kx x y y ++==⎧⎪⎨⎪⎩得()2221860k x kx +++=由()226442160k k ∆=-+⨯>得232k >设()()1122,,,M x y N x y ，则有12122286,2121k x x x x k k -+==++ 因()()10,1,0,1B B -，设(),T m n由1,,T M B 三点共线得11111+1313y kx n k m x x x ++===+① 由,,T N B 三点共线得222221111y kx n k m x x x -+-===+② 由+⨯①②3得212122833()133********k x x n n k k k m m x x k -⨯++-++=+=+=+ 所以可得420n -=，即12n =故可得点T 恒在直线12y =上.【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法. 23.对于各项均为整数的数列{}n a ，如果i a i +(i =1，2，3，…)为完全平方数，则称数 列{}n a 具有“P 性质”．不论数列{}n a 是否具有“P 性质”，如果存在与{}n a 不是同一数列的{}n b ，且{}n b 同 时满足下面两个条件：①123,,,...,n b b b b 是123,,,...,n a a a a 的一个排列；②数列{}n b 具有“P 性质”，则称数列{}n a 具有“变换P 性质”． （I ）设数列{}n a 的前n 项和2(1)3n n S n =-，证明数列{}n a 具有“P 性质”； （II ）试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换P 性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列{}n b ，不具此性质的说明理由；（III ）对于有限项数列A ：1，2，3，…，n ，某人已经验证当2[12,](5)n m m ∈≥时，数列A 具有“变换P 性质”，试证明：当”22[1,(1]n m m ∈++时，数列A 也具有“变换P 性质”． 【答案】（I ）证明见解+析．（II ）数列1，2，3，4，5具有“变换P 性质”，数列为3，2，1，5，4．数列1，2，3，…，11不具有“变换P 性质”理由见详解；（III ）证明见解+析．【详解】（I ）当时，又2*10,()n a a n n n N ==-∈所以．所以是完全平方数，数列具有“P 性质”（II ）数列1，2，3，4，5具有“变换P 性质”， 数列为3，2，1，5，4数列1，2，3，…，11不具有“变换P 性质” 因为11，4都只有5的和才能构成完全平方数所以数列1，2，3，…，11不具有“变换P 性质” （III ）设注意到令由于，所以又所以 即因为当时，数列具有“变换P 性质”所以1，2，…，4m+4-j-1可以排列成使得都是平方数另外，可以按相反顺序排列，即排列为使得所以1，2，可以排列成满足都是平方数.即当时，数列A也具有“变换P性质”。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018北京二中高二（上）期中
数学
命题人：王雪梅审核人：温瑶得分：
一.选择题：（本大题共10小题，每小题6分，共60分，请将答案填涂在机读卡上）
1.椭圆的焦点坐标是（）
A B C D
2.已知满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（）
A B C D
3.不等式的解集是（）
A B C D
4.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（）
A B C D
5.下列四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（）
A B C D
6.椭圆的焦距等于2，则的值为（）
A 5或3
B 5
C 8
D 16
7.若不等式的解集为，则等于（）
A B C 1 D 8
8.已知数列是等差数列，若，则数列的前项和有最大值，那么当取得最小正值时，等于（）
A 20
B 17
C 19
D 21
9.已知数列则是数列中的（）
A 第48项
B 第49项
C 第50项
D 第51项
10.若函数且，则等于（）
A 0
B 100
C
D 10200
二.填空题（本大题共8小题，每小题6分，共48分，请将答案写在答题纸相应的横线上.）
11.命题“”的否定是 .其是命题（填“真、假”）
12.若双曲线的左、右焦点分别是,过的直线交右支于两点，若，则的周长为 .
13.若不等式对一切恒成立，则的最小值为
14.椭圆上动点与定点的连线段的中点所形成的曲线的方程为
15.已知数列中，,则数列的通项公式
16.若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为
17.曲线是平面内与两个定点的距离的积等于常数的点的轨迹，，给出三个结论（1）曲线过坐标原点
（2）曲线关于坐标原点对称
（3）若点在曲线上，则的面积不大于
其中，正确结论的序号是 .
18.已知数列的各项为正整数，其前项和.若且,则
= ; .
三.解答题
19.（本小题满分14分）
已知等差数列的公差，它的前项和，若，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的的前项和，若对恒成立，求的取值范围.
20.（本小题满分14分）
设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且点和关于点对称.
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点的直线与椭圆相交与两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.
21.（本小题满分14分）
若数列满足数列为数列，
记=.
（1）写出一个满足，且的数列；
（2）若,证明：数列是递增数列的充要条件是
（3）对任意给定的整数，是否存在首项为0的数列，使得如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由.。