人教版八年级数学上册 全等三角形专题练习(解析版)

人教版八年级数学上册全等三角形专题练习（解析版）

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P有_____个．

【答案】4

【解析】

【分析】

由A点坐标可得OA=22，∠AOP＝45°，分别讨论OA为腰和底边，求出点P在x轴正半轴和负半轴时，△APO是等腰三角形的P点坐标即可.

【详解】

（1）当点P在x轴正半轴上，

①如图，以OA为腰时，

∵A的坐标是（2，2），

∴∠AOP＝45°，OA＝22，

当∠AOP为顶角时，OA=OP=22，

当∠OAP为顶角时，AO=AP，

∴OPA=∠AOP=45°，

∴∠OAP=90°，

∴OP=2OA=4，

∴P的坐标是（4，0）或（22，0）.

②以OA为底边时，

∵点A的坐标是（2，2），

∴∠AOP=45°，

∵AP=OP，

∴∠OAP=∠AOP=45°，

∴∠OPA=90°，

∴P点坐标为（2，0）.

（2）当点P在x轴负半轴上，

③以OA为腰时，

∵A的坐标是（2，2），

∴OA＝22，

∴OA＝OP＝22，

∴P的坐标是（﹣22，0）．

综上所述：P的坐标是（2，0）或（4，0）或（22，0）或（﹣22，0）．

故答案为：4．

【点睛】

此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用是解题关键．

2．如图，在△ABC和△DBC中，∠A=40°，AB=AC=2，∠BDC=140°，BD=CD，以点D为顶点作∠MDN=70°，两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则△AMN的周长为

___________．

【答案】4

【解析】

延长AC至E，使CE=BM，连接DE．证明△BDM≌△CDE（SAS），得出MD=ED，

∠MDB=∠EDC，证明△MDN≌△EDN（SAS），得出MN=EN=CN+CE，进而得出答案．【详解】

延长AC至E，使CE=BM，连接DE．

∵BD=CD，且∠BDC=140°，

∴∠DBC=∠DCB=20°，

∵∠A=40°，AB=AC=2，

∴∠ABC=∠ACB=70°，

∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°，

同理可得∠NCD=90°，

∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°，

在△BDM和△CDE中，

BM CE

MBD ECD

BD CD

⎧

⎪

∠∠

⎨

⎪

⎩

＝

＝，

＝

∴△BDM≌△CDE（SAS），

∴MD=ED，∠MDB=∠EDC，

∴∠MDE=∠BDC=140°，

∵∠MDN=70°，

∴∠EDN=70°=∠MDN，

在△MDN和△EDN中，

MD ED

MDN EDN

DN DN

⎧

⎪

∠∠

⎨

⎪

⎩

＝

＝，

＝

∴△MDN≌△EDN（SAS），

∴MN=EN=CN+CE，

∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4；

故答案为：4．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．

3．如图，已知等边ABC

∆的边长为8，E是中线AD上一点，以CE为一边在CE下方作等边CEF

∆，连接BF并延长至点,N M为BN上一点，且5

CM CN

==，则MN的长为_________．

【答案】6

【解析】

【分析】

作CG⊥MN于G，证△ACE≌△BCF，求出∠CBF=∠CAE=30°，则可以得出

1

2

4

CG BC

==，在Rt△CMG中，由勾股定理求出MG，即可得到MN的长．

【详解】

解：如图示：作CG⊥MN于G，

∵△ABC和△CEF是等边三角形，

∴AC=BC，CE=CF，∠ACB=∠ECF=60°，

∴∠ACB-∠BCE=∠ECF-∠BCE，

即∠ACE=∠BCF，

在△ACE与△BCF中

AC BC

ACE BCF

CE CF

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴△ACE≌△BCF（SAS），

又∵AD是三角形△ABC的中线

∴∠CBF=∠CAE=30°，

∴

1

2

4

CG BC

==，

在Rt△CMG中，2222

543

MG CM CG

=-=-，

∴MN=2MG=6，

故答案为：6．

【点睛】

本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ACF≌△BCF．

4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有_____个．

【答案】4

【解析】

【分析】

以O为圆心，OA为半径画弧交x轴于点P1、P3，以A为圆心，AO为半径画弧交x轴于点P4，作OA的垂直平分线交x轴于P2．

【详解】

解：如图，使△AOP是等腰三角形的点P有4个．

故答案为4．

【点睛】

本题考查了在平面直角坐标系中寻找等腰三角形，掌握两圆一线找等腰三角形是解题的关键．

∠内任意一点，OP=5 cm，点M和点N分别是射线OA和射线5．如图，点P是AOB

++的最小值是5 cm，则AOB

OB上的动点，PN PM MN

∠的度数是__________．